VI SEMANA DE MATEMÁTICA DA UESC

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1 VI SEMANA DE MATEMÁTICA DA UESC Introdução à Cadeias de Markov: Processos Markovianos de parâmetro discreto Autores: Msc. Cláudia Ribeiro Santana Phd. Enio G. Jelihovschi Msc. Pedro Carlos Elias Ribeiro Junior Ilhéus - BA Outubro de 00

2 Resumo Uma grande quantidade de processos estudados na atualidade, são resultados que são medidos ao longo do tempo. Dentro destes um grande número tem resultados aleatórios, ou seja, são resultados imprevisíveis. Estes processos são chamados de processos estocásticos e são estudados usando a teoria das probabilidades. Como exemplos temos: ) a variação de tráfego em um certo cruzamento que envolvem a formação e a dissipação de congestionamentos de veículos. ) Quantidade de pessoas que chegam ao longo do dia para fazer transações bancárias nos caixas eletrônicos dentro de um banco e um problema seria de como encontrar o número de caixas eletrônicos para que os clientes passem menos tempo nas filas e não haja muitos caixas ociosos durante o dia. ) Ruína do jogador; um jogador joga uma seqüência de jogos independentes contra um oponente, qual será a probabilidade de um dos jogadores se arruinar se iniciar com um capital N? ) Mutações genéticas; qual é a probabilidade de uma mutação desaparecer, continuar numa pequena proporção da população, ou tomar conta de toda a população depois de um certo período de tempo? Um dos modelos que melhor explica uma quantidade importante destes processos, é chamado de Cadeias de Markov, que são processos aleatórios cujo resultado no estágio n depende somente do que aconteceu no estágio n e não dos resultados anteriores a n, ou seja, um Processo Markoviano de parâmetro discreto será uma seqüência aleatória que satisfaz a identidade: Pr(j k j 0, j,..., j k ) = Pr[X k = j k X k = j k = p( j k j k ) para cada k e para cada seqüência j 0, j,..., j k de estados, onde X k são variáveis aleatórias que definem o resultado do processo no estágio k. Sabe-se que uma cadeia aperiódica, irredutível, finita de Markov se estaciona, ou seja, entra em um estado permanente e o vetor limite é o único vetor de probabilidade estacionária do processo. Na verdade este vetor é um autovetor associado à matriz (regular) de probabilidades de transição do processo, daí, o problema iniciado recai na álgebra linear onde teremos que utilizar as ferramentas desta área da matemática para encontrar tal autovetor.

3 Capítulo Definições Este capítulo se dedica a definir alguns conceitos que são necessários para o restante do estudo desejado. Muitas das situações investigadas no nosso estudo diz respeito à uma experiência aleatótia que não conduz a uma única variável aletaória, mas a toda uma seqência de variáveis aleatórias. Sequência de variáveis aleatórias tem uma ampla aplicação em diversos casos, a saber: pedidos comerciais, avarias de máquinas, tempo de vida útil de um componente eletrônico, sistemas de comunicação, cintagem de partículas subatômicas, epidimias, sistemas genéticos, e outros. Qualquer sistema que varie de forma aleatória com o tempo e seja observado em determinadas sequências de tempos segue este padrão. Definição.. Uma sequência de variáveis aleatórias definidas no mesmo espaço amostral é denominada uma Sequência Aleatória ou um Processo Aleatório de Parâmetro Discreto. Observação.. O termo Parâmetro Discreto se refere ao índice i na sequência X i i =,,..., n,... com Os contradomínios das variáveis alatórias podem ser conjuntos contínuos ou discretos. Nosso caso é aquele em que o contradomínio é um conjunto discreto, que tem grande vairedade de aplicações. Definição.. Dizemos que as variáveis aleatórias na sequência {X, X,..., X n,...} sejam Discretas se seus contradomínios consistem de conjuntos de elementos Inteiros. Nesta caso pode-se afirmar que a j-ésima variável aleatória tem valor m, ou seja X j = m, ou então, diz-se que o sistema está no estado m no j-ésimo estágio, e também, o sistema está no estado m no tempo j.

4 O problema consiste em responder alguns questionamentos sobre a função densidade da probabilidade conjunta ou da função distribuição de X, X,..., X n, ou seja, quanto à p(i, i,..., i n ) = P r[x = i ; X = i ;... ; X n = i n ou F (x, x,..., x n ) = P r[x x ; X x ;... ; X n x n quando n é um número suficientemente grande, ou investigar sobre tais questões no caso do limite emq ue n tende ao infinito. Uma forma de de se conhecer tais probabilidades e através do emprego repetido da fórmula para a probabilidade da intersecção p(a B) = p(a) p(b A), obtendo que p(i, i,..., i n ) = p X, X,..., X n (i, i,..., i n )p(i n i, i,..., i n ) =.... p(i, i,..., i n ) = p () i p(i i )p(i i, i )... p(i n i, i,..., i n ), onde p () i é a função densidade de X, ou seja, p () i = P r[x = i, e o significado de cada uma das outras probabilidades condicionais é natural. Desta forma a equação anterior se torna P r[x = i ; X = i ;... ; X n = i n = P r[x = i P r[x = i X = i... P r[x n = i n X = i ; X = i ;... ; X n = i n

5 EXEMPLOS. Existem três marcas de automóveis disponíveis no mercado: o Jacaré, o Piranha e o Urubu. O termo a ij da matriz A abaixo é a propabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o carro da coluna j, quando comprar um carro novo. De J P U J 0, 0, 0, P ara P 0, 0, 0, U 0, 0, 0, Os termos da diagonal de A = carro novo da marca dão a probabilidade a ii de se comprar um A = j depois de duas compras:. Os termos de A, a ij, significam mudar da marca i para a marca De fato: a = probabilidade de tendo inicialmente um carro da marca J mudar para um outro carro desta mesma marca, ou seja, J, depois de duas compras. J 0 J 0 J J 0 P 0 J J 0 U 0 J Daí, a = = a = probabilidade de tendo inicialmente um carro da marca J mudar para um outro carro da marca P depois de duas compras. J 0 J 0 P J 0 P 0 P J 0 U 0 P

6 Daí, a = = a = probabilidade de tendo inicialmente um carro da marca J mudar para um outro carro da marca U depois de duas compras. J 0 J 0 U J 0 P 0 U J 0 U 0 U Daí, a = = 00. a = probabilidade de tendo inicialmente um carro da marca P mudar para um outro carro da marca J depois de duas compras. P 0 J 0 J P 0 P 0 J P 0 U 0 J Daí, a = = 00. a = probabilidade de tendo inicialmente um carro da marca P mudar para um outro carro desta mesma marca, ou seja, P, depois de duas compras. P 0 J 0 P P 0 P 0 P P 0 U 0 P Daí, a = = a = probabilidade de tendo inicialmente um carro da marca P mudar para um outro carro da marca U depois de duas compras.

7 P 0 J 0 U P 0 P 0 U P 0 U 0 U Daí, a = = a = probabilidade de tendo inicialmente um carro da marca U mudar para um outro carro da marca J depois de duas compras. U 0 J 0 J U 0 P 0 J U 0 U 0 J Daí, a = = a = probabilidade de tendo inicialmente um carro da marca U mudar para um outro carro da marca P depois de duas compras. U 0 J 0 P U 0 P 0 P U 0 U 0 P Daí, a = = a = probabilidade de tendo inicialmente um carro da marca U mudar para um outro carro da marca U depois de duas compras. U 0 J 0 U U 0 P 0 U U 0 U 0 U Daí, a = = 6 00.

8 . Seja {X N } uma cadeia de Markov com espaço dos estados {0,, }, vetor de probabilidade inicial p (0) = (,, ) e matriz de transição de passo P : P = 0 0 (a) Calcule p(0,, ) = P r[x 0 = 0, X =, X =. (b) Mostre que P [X = e X = X 0 = 0 = p 0 p. (c) Calcule p () 0, p () ij para i, j = 0,,. RESPOSTAS: (a) p(0,, ) = P r[x 0 = 0, X =, X = = = P r[x 0 = 0 [X = X 0 = 0 P r[x = X =, X 0 = 0 = = P r[x 0 = 0 [X = X 0 = 0 P r[x = X = = = 6. (b) 0 Ou seja, P [X = e X = X 0 = 0 = p 0 p. (c) Calcule p () 0 = a probabilidade de passar do estado 0 ao estado depois de passos Daí, p () 0 = = 6. O mesmo resultado pode ser obtido calculando o elemento a da a potência da matriz de transição: = P () = Os termos p () ij são as entradas da a potência da matriz de transição P.

9 . Um sistema de comunicação tem uma probabilidade tal que, se um símbolo é transmitido corretamente, a probabilidade de que o símbolo seguinte seja correto é de 0,9. Se, no entanto, um símbolo for transmitido incorretamente, a probabilidade de o próximo também o seja é de 0,. A trasmissão pode ser modelada pela seqüência markoviana dependente, {X, X, } onde X i = se o i-ésimo símbolo for transmitido corretamente, X i = 0 se o i-ésimo símbolo for incorreto. Suponha que a probabilidade de que o primeiro símbolo seja transmitido corretamente seja de 0,. (a) Calcule as probabilidades de transmissão p(i n, i n ). (b) Calcule p(i, i,, i n ). (c) Calcule P r[x =. (d) Se o k-ésimo símbolo for correto, X k =, qual a probabilidade de que (k + )-ésimo símbolo seja correto, isto é, X k+ = RESPOSTAS (a) as probabilidades de transmissão p(i n, i n ) são as entradas da seguinte matriz (de transição) : A = [ A = [ (b) p(i, i,, i n ) = p(i ) p(i, i ) p(i n, i n ). (c) P r[x = = 0 p p + 0 p p + 0 p p + 0 p p. (d) Se o k-ésimo símbolo for correto, X k =, a probabilidade de que (k + )-ésimo símbolo seja correto, isto é, X k+ = é p () =. 0

10 Definição.. Uma sequência X, X,..., X n é dita uma Sequência de Variáveis Aleatórias Independentes se e p(i n i, i,..., i n ) = p (n) i n p(i, i,..., i n ) = p () i p () i... p (n) i n Se, além disto, todas as variáveis aleatórias tem a mesma função distribuição, ou seja, p (j) i = p i, para cada j, a sequência é dita Sequência de Variáveis Aleatórias Independentes com Mesma Distribuição. EXEMPLO. Arremessa-se uma moeda 0 vezes e seja X n = se uma cara aparecer e X n = + se uma coroa aparecer. Definição.. A sequência aleatória {X, X,..., X n } é dita Serquência Dependente de Markov, ou um Processo de Markov caso a probabilidade condicional p(i n i, i,..., i n ) = P r[x n = i n X = i, X = i,..., X n = i n. Isto significa que p(i n i, i,..., i n ) = p(i n i n ) ou P r(x n = i n X = i, X = i,..., X in = i n ) = P r[x n = i n X n = i n. Exemplo.. Considere uma seuqência independente {X, X,..., X m,...}, onde cada X i = + ou X i =, com probabilidade p e q, respectivamente. Agora defina a sequência Y n = X + X X n, para n =,,..., e considere a sequência {Y, Y,..., Y m,...},

11 Se a sequência X representa uma sequência independentede passos da unidade de + ou no eixo real, então Y n representa a posição depois de n passos. Por esta razão a sequência {Y, Y,..., Y m,...} é chamado de caminho aleatório. sta sequência aleatória específica é extremamente importante, tnato teoricamente, como em estudos de ordem prática. O estudo de suas propriedades, e determinadas generalizações ocupa grande parte da teoria de probabilidade. Aqui só se destaca o fato de que a sequência {Y, Y,..., Y m,...} náo é uma sequência independente, a despeito do fato de ser proveniente de uma sequência independente {X, X,..., X m,...}. Note que Y n Y n = X n = Y n = Y n + X n Assim, se Y n for dado, Y n dependerá somente de X n, que é independente de qualquer X e e Y s anteriores. Desta forma p(i n i n ) = P r[y n = i n Y n = i n = P r[y n + X n = i n Y n = i n = P r[i n + X n Y n = i n = P r[x n = i n i n Uma vez que X n é independente de X, X,..., X n e, consequentemente de Y n, seque que p, se i n = i n + p(i n i n ) = q, se i n = i n 0, para qualquer outro valor Assim, observa-se que a sequência tem probabilidade de transição estacionária para i, j = 0, ±, ±,... p, se j = i n + p ij = q, se j = i n 0, para qualquer outro valor

12 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (a) Seja {X, X, } uma seqüência aleatória independente onde cada X i, assume somente os valores e 0 com probabilidades p e q, p + q =. Mostre que X, X,, X n tem densidade conjunta p(i, i,, i k ) = p t q n t onde t = n k= i k. Considere S k = k i= X i para k =,, i. Mostre que a seqüência {S, S, } é uma seqüência dependente de Markov. ii. Mostre que as probabilidades de transição são dadas a seguir onde α = i n i n : { p p(i n, i n ) = α q α para α = 0 ou 0 (b) Seja {X, X, } uma seqüência de variáveis aleatórias discretas independentes. Seja S k = k X i para k =,, i= Mostre que {S, S, } é uma seqüência markoviana dependente.

13 RUÍNA DO JOGADOR EXERCÍCIOS PROPOSTOS (a) Um jogador joga um jogo limpo na qual as chances são contra. Em outras palavras em cada jogo ele tem de probabilidade de ganhar e de perder. Se ganhar, ganhará R$,00. Se perder, perderá R$,00. Suponha que os recursos totais em dólar do jogador e do seu oponente sejam N dólares. Se o capital de qualquer um dos jogadores cair abaixo do ponto em que eles pudessem pagar caso perdessem o jogo seguinte, o jogo termina. Que X n representa o caapital do primeiro jogador após n jogadas. i. Determine a matriz de transição de passo da cadeia de Markov {X n }. ii. Suponha que os dois jogadores concordem em que se o capital de qualquer um dos dois cair para R$,00, eles farão o próximo jogo com chances iguais - ganharão ou perderão com igual probabilidade. Determine a matriz de transição de passo para esse caso. Obs: Considere o seguinte experimento: Arremessa-se uma moeda 0 vezes e seja X n = se uma cara aparecer e X n = + se uma coroa aparecer. Seja {X, X, } uma seqüência de variáveis aleatórias discretas independentes. Seja S k = k X i para k =,, i= {S, S, } é uma seqüência markoviana dependente que pode modelar um problema de ruína de Jogador Clássico onde se ganha R$,00 e perde R$,00.

14 (b) Arremessa-se uma moeda 0 vezes e seja X n = se uma cara aparecer e X n = + se uma coroa aparecer. Defina uma nova seqüência {Y n }, onde a seqüência {X n }, da seguinte maneira: Y = X, Y = X + X,.. Y n = X + X + + X n n (c) Identifique a seqüência {Y n }. Trata-se de uma seqüência independente? Uma seqüência de Markov? Um problema da Ruína de Jogador? EXEMPLOS DE MODELOS NÃO-MARKOVIANOS (a) Arremessa-se uma moeda 0 vezes e seja X n = se uma cara aparecer e X n = + se uma coroa aparecer. Defina uma nova seqüência {Z n }, da seguinte maneira: Z = X, Z = X + X,.. Com n=,, 9. Z n+ = X n + X n+ (b) Explique porque {Z n } dada acima não é um modelo Markoviano?

15 (c) Numa ilha maravilhosa verificou-se que a cor azul ocorre em borboletas de genótipo aa, e não ocorre em Aa e AA. Suponha que a proporção de borboletas azuis seja. Depois de algumas gerações, qual será a porcentagem das borboletas não azuis, mas capazes de ter filhotes azuis? RESPOSTA: Denotando por d, dominante, r, recessivo e h, híbrido, e os repectivos cruzamentos por d d, d r, d h, colocando as probabilidaddes em colunas, podemos montar a seguinte matriz de transição: d d r r d r d h r h h h d 0 0 0, 0 0, h 0 0 0, 0, 0, r , 0, p () d p () h p () r = 0 0 0, 0 0, 0 0 0, 0, 0, , 0, p () d p () d p () r p () r p () d p () r p () d p () h p () r p () h p () h p() h = = 0 0 0, 0 0, 0 0 0, 0, 0, , 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, = 0, 0, 0, p () d : porcentagem de indivíduos dominantes. : porcentagem de indivíduos hibridos. p () h p () r : porcentagem de indivíduos recessivos. Obs: p () d = p () d, p() h = p () h, p() r = p () r. Isto não é casualidade. Existe uma lei em genética muito conhecida, que estabelece sob condições ideais que depois da segunda geração, a distribuição entre os genótipos permanece a mesma.

16 APLICAÇÕES DA ÁLGEBRA LINEAR EM CADEIAS DE MARKOV Frequêntemente se deseja estudar a cadeia de Markov que tenha estado em funcionamento há alguma tempo, ou seja, investigar sobre o comportamento das probabilidades de estado n, com n bem grande, isto é, v j = lim p (n) j n Neste caso v j recebe o nome de Probabilidade de Estado Permanente. Em termos razoáveis pode-se esperar que, ao longo de um grande período de tempo, a influência do estado inicial no qual o processo começou pode esmorecer e, assim, as probabilidades limites v j podem não depender do estado inicial. Se for este o caso, então v j também pode ser interpretado como limite das probabilidades de transição de n passos p ij, v j = lim p (n) ij, n já que p (n) ij é a probabilidade do porcesso estar no estado j após n passos, dado que inicialmente estava no estado i. Se realmente cada v j não depende do estado inicial, a matriz P (n) = (p (n) ij ), convergirá para uma matriz V conforme n, e cada linha será identica ao vetor v, com componetes v j, P (n) V = v ṿ. v, quando n, onde v = (v 0, v,..., v j,...) Deve-se estar atento ás algumas perguntas, tais como: os limites que definen v j existem? Se existitrem, formam uma distribuição de probabilidade? Isto é, somam, v j =? Como se pode calcular os v j? se os limites v j = lim p (n) ij n n na identidade existem e não dependem do estado inicial, então, fazendo p (n) j = k p (n ) k p kj obtem-se v j = k v k p kj, com j = 0,,,..., ou, equivalentemente,

17 v = v P Qualquer vetor x = (x 0, x, x,...), com x i 0 tal que x i =, que satisfaça x j = k x k p kj, com j = 0,,,... ou x = x P é chamado de Vetor de Probabilidade Estacionária. Teorema.. Em qualquer cadeia aperiódica de Markov todos os limites v j = lim p (n) j n existem. Teorema.. Em qualquer cadeia aperiódica de Markov todos os limites v j = lim p (n) j = lim p (n) ij n n não dependem da distribuição inicial. Teorema.. Em qualquer cadeia aperiódica irredutível e finita de Markov, o vetor limite v = (v 0, v, v,...) é o único vetor da probabilidade estacionária do processo. Este último teorema implica que, para ca cadeia aperiódica, irredutível e finita de Markov, a matriz P (n) = (p (n) ij ) tende à uma matriz que tem todas sua linhas iguais, sendo cada uma delas id entica ao vetor estacionário, ou seja, lim n P(n) = v ṿ. v = v 0 v v... v 0 v v v 0 v v... Exemplo.. Suponha que um equipamento tanto possa estar ocupado como inoperante, e que, se estiver inoperante, possa estar parado para reparos, como aguardando mais trabalho. Indiqueos estados ocupado, em reparo, e aguardando mais trabalho por 0, e. Observe o estado do sistema em uma sequência de dias sucessivos, e suponha que haja suficiente falta de memóriano sistema, de forma que possa ser aproximado por uma cadeia de Markov com matriz de transição de passo P = p 00 p 0 p 0 p 0 p p p 0 p p = 0, 8 0, 0, 0, 0, 6 0, 0, 6 0 0, Assim, por exemplo, p 0 = 0, significa que a probabilidade de que uma máquina ocupada quebre é de 0,, p = 0, 6 significa que a probabilidade de que uma máquina em reparo hoje ainda esteja em reparo amanhã é de 0, 6, p = 0 significa que uma máquina inoperente não se quebra.

18 Se estiver interessado nas proporções de tmepo à longo prazo que o equipamento gasta em três estados, a distribuição limite deverá ser calculada. O sistema é, claramente, irredutível (cada estado por ser alcaçado partindo de cada outro estado, embora não necessariamente em um único passo, pois leva-se, ao menos, passos para ir do estado para o estado ). É também finito e aperiódico. De acordo com o teorema. só se precisa encontrar o único vetor de probabilidade estacionária, resolvendo-se x = xp, com xi =. Assim, x 0 = (0, 8)x 0 + (0, )x + (0, 6)x x = (0, )x 0 + (0, 6)x x = (0, )x 0 + (0, )x + (0, )x ou (0, )x 0 (0, )x (0, 6)x = 0 (0, )x 0 + (0, )x = 0 (0, )x 0 (0, )x + (0, 6)x = 0 Já que a terceira equação pode ser obtida somando as duas primeiras e multiplicando por, a terceira não oferece nenhuma informação adicional, podendo ser eliminada. As duas primeiras equações aliadas ao fato de que x i =, determinarão a única solução, que será do sistema (0, )x 0 (0, )x (0, 6)x = 0 (0, )x 0 + (0, )x = 0 x 0 + x + x = Das duas primeiras equações do sistemas, verifica-se que x = x 0, x = x 0, e substituindo na última equação, obtem-se x 0 = x = 6 x = 6 ( Assim, o vetor da probabilidade limite é v =, 6, ), e isso oferece as proporções de 6 tempo, a longo prazo, que o sistema gasta nestes estados.

19 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS (a) É observado que as probabilidades de um time de futebol ganhar, perder e empatar uma partida depois de conseguir uma vitória são, e respectivamente; e depois 0 de ser derrotado são, e, respectivamente; e depois de empatar são, e, 0 0 respectivamente. Se o time não melhorar nem piorar, conseguirá mais vitórias que derrotas a longo prazo? RESPOSTA: G P E G 0, 0, 0, P 0, 0, 0, E 0, 0, 0, Como a matriz das probabilidades é regular, podemos aplicar o teorema (..)[:. 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, p G p P p E = p G p P p E 0, p G + 0, p P + 0, p E = 0 0, p G 0, p P + 0, p E = 0 0, p G + 0, p P 0, 6p E = 0 Além disso, sabemos que p G + p P + p E =. Daí, p G = 6 9, p P = 9 e p E = 9 9.

20 (b) Numa cidade industrial, os dados sobre a qualidade do ar são classificados como satisfatório (S) e insatisfatório (I). Assuma que, se um dia é registrado S, a probabilidade de se ter S no dia seguinte é e que, uma vez registrado I, tem-se de probabilidade de ocorrer S no dia seguinte. i. Qual é a probabilidade do quarto dia ser S, se o primeiro dia é I? ii. O que se pode dizer a longo prazo sobre a probabilidade de termos S ou I? RESPOSTA: S I S 0, 0, I 0,6 0,8 Para o item b)como a matriz das probabilidades é regular, podemos aplicar o teorema (..)[:. [ 0, 0, 0, 6 0, 8 [ ps p I = [ ps p I Além disso, p S + p I =. Daí, p S = e p I =. Para o item a) I I I { 0, 6pS + 0, p I = 0 0, 6p S 0, p I = 0 S I I S S I S I S I S S S Portanto, a probabilidade de ocorrer S no quarto dia tendo ocorrido I no primeiro dia é igual a =. O mesmo resultado pode ser obtido calculando o elemento a da a potência da matriz de transição: [ 0, 0, 0, 6 0, 8 [ 0, 0, 0, 6 0, 8 [ 0, 0, 0, 6 0, 8 = [ 9 9

21 (c) Considere duas companhias de comidas prontas, M e N. Cada ano, a companhia M conserva de seus fregueses, enquanto que se transferem para N. Cada ano, N conserva de seus fregueses, enquanto transferem-se para M. Suponha que a distribuição inicial do mercado é dada por X 0 = [ i. Ache a distribuição do mercado após ano. Um ano mais tarde, a distribuição do mercado é A = M [ N M N X = AX 0 = [ [ De fato, suponhamos que o mercado inicial consiste em k pessoas, e que este número não varia com o tempo. Ao fim do primeiro ano, M mantém de seus fregueses e ganha de N, ou seja, M tem ( k) + ( k) = k fregueses e S 9 tem ( k) + ( k) = 9 k fregueses. ii. Ache a distribuição estável do mercado. Como a matriz A é regular, segue pelo teorema da Cadeia de Markov que as probabilidades p M e p N a longo prazo satisfazem o seguinte sistema linear: [ [ pm p N = [ pm p N { pm + p N = 0 p M p N = 0 Além disso, temos que p M + p N =. Daí, podemos concluir que p M = e p N =.

22 (d) Suponha que somente duas companhias rivais, R e S, manufaturam um certo produto. Cada ano, a companhia R retém dos seus fregueses, enquanto que passam a ser fregueses de S. Cada ano, S mantém se seus fregueses, enquanto que se transfere para R. Estas informações podem ser mostradas sob a forma matricial como A = R [ S R S Ao se iniciar a manufatura, R tem do mercado (o mercado é composto pelo número total de fregueses), enquanto que S tem do mercado. Representamos a distribuição inicial do mercado por X 0 = [ Um ano mais tarde, a distribuição do mercado é X = AX 0 = [ [ De fato, suponhamos que o mercado inicial consiste em k pessoas, e que este número não varia com o tempo. Ao fim do primeiro ano, R mantém de seus fregueses e ganha de S, ou seja, R tem ( k) + ( 6 k) = k fregueses e S tem ( k) + ( 9 k) = k fregueses. Como a matriz A é regular, segue pelo teorema da Cadeia de Markov que as probabilidades p R e p S a longo prazo satisfazem o seguinte sistema linear:. [ [ pr p S = [ pr p S { pr + p S = 0 p R p S = 0 Além disso, temos que p R + p S =. Daí, podemos concluir que p R = 8 e p S = 8.

23 BIBLIOGRAFIA (a) BOLDRINE, José Luiz. COSTA, Suelli I. Rodrigues. FIGUEREDO, Vera Lúcia. WETZLER, Henry G. Álgebra Linear. a edição. Editora: HARBRA ltda. (b) CLARKE, A. Bruce. Disney, Ralph L. Traduzido por: Gildásio Amado Filho. Probabilidade e Processos Estocásticos. -Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 99. (c) FERNANDEZ, Pedro Jesus. Introdução à Teoria das Probabilidades. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos; Brasília, Ed. Universidade de Brasília, 9. (d) KOLMAN, Bernard. Traduzido por: João Pitombeira de Carvalho. Álgebra Linear. a edição. Editora: Guanabara.