Colégio Santa Dorotéia Área de Matemática Disciplina: Matemática Ano: 2º - Ensino Médio Professor: Elias Bittar

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1 Colégio Santa Dorotéia Área de Disciplina: Ano: 2º - Ensino Médio Professor: Elias Bittar Atividades para Estudos Autônomos Data: 10 / 5 / 2019 Caro(a) aluno(a), O momento de revisão deve ser visto como oportunidade de reconstruir conhecimentos necessários à continuação do processo de aprendizagem. Naturalmente, a realização dessas atividades exigirá de você um envolvimento maior e mais comprometimento com o ato de aprender. Muitas vezes, a retomada de alguma informação que não esteja bem apreendida poderá ajudá-lo(a) a seguir com maior facilidade. Estratégias de Estudo Aluno(a): N o : Turma: Você deve estudar cada conteúdo proposto no roteiro e fazer os exercícios em anexo. Refaça os exercícios que foram propostos ao longo da etapa, listas de exercícios do Google classroom. Tenha-os à mão os resumos em Power Point para consultá-los sempre que for necessário. Refaça as questões propostas nos módulos. Escolha um lugar sossegado em sua casa para que nada interrompa os seus estudos. Leve a sério esse horário de estudo para que este aprendizado seja bem aproveitado. Identifique os exercícios em que teve maior dificuldade para uma revisão posterior. Reveja o seu caderno de anotações, atividades etc. Se você estiver mesmo empenhado em aprender, não encontrará barreiras. NÃO TENHA RECEIO DE PERGUNTAR! Se você encarar esta tarefa como um desafio, com certeza, será vitorioso. Lembre-se que a monitoria estará a sua disposição para sanar suas dúvidas. Sucesso! Elias Bittar. PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO PARA RECUPERAÇÃO DA 1ª ETAPA DE 2019: Uma avaliação individual, com 6 questões discursivas, no valor de 30 pontos. CONTEÚDO DA AVALIAÇÃO: Geometria plana: o Triângulos retângulos. o Semelhança de triângulos. o Polígonos regulares. o Áreas de figuras planas. Sólidos geométricos: o Prismas. o Pirâmides. o Cilindros. o Cones. Colégio Santa Dorotéia 1

2 LISTA DE EXERCÍCIOS 1) (Faculdade Albert Einstein) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo tal que BC = 6cm e M é ponto médio do lado AB. Se os semicírculos no interior do retângulo são dois a dois tangentes entre si, nos pontos M, P e R, então CALCULE a área de ABCD, em centímetros quadrados. 2) (Acafe-Modificada) Na figura, AM = 8cm, BM = 10cm, BC = 54cm, AH = 45/2cm e MN//BC. Em relação à área do trapézio BCMN e a área do triângulo AMN é CORRETO afirmar que a) a área do trapézio é aproximadamente o quádruplo da área do triângulo. b) diferem entre si em 260cm 2. c) o trapézio é 200% maior que o triângulo. d) a razão entre as áreas é 13/5. 3) (ITA) Seja ABCDEFGH um paralelepípedo de bases retangulares ABCD e EFGH, em que A, B, C e D são, respectivamente, as projeções ortogonais de E, F, G e H. As medidas das arestas distintas AB, AD e AE constituem uma progressão aritmética cuja soma é 12 cm. Sabe-se que o volume da pirâmide ABCF é igual a 10cm 3. CALCULE: a) as medidas das arestas do paralelepípedo. b) o volume e a área total do paralelepípedo. 4) (UFES) Seja ABC um triângulo retângulo de área 24cm 2, com ângulo reto no vértice A e lado AB medindo 8cm. Sejam D e E pontos de BC. CALCULE as medidas de a) BC; b) AH, sendo H o pé da altura de ABC relativa ao vértice A; c) AD, se a área do triângulo ABD for 12cm 2 ; d) AE se a medida de BE for 4cm. Colégio Santa Dorotéia 2

3 5) (UFCE) Na figura abaixo, as bases do trapézio isósceles ABCD medem 10cm e 30cm e a medida do ângulo BÂD é 60º. Além disso, AE = EB. a) DETERMINE a altura do trapézio ABCD. b) ENCONTRE a medida DE. c) CALCULE a medida da área do triângulo DCE. 6) (UFMG) Na figura a seguir, o triângulo ABC tem área igual a 126. Os pontos P e Q dividem o segmento AB em três partes iguais, assim como os pontos M e N dividem o segmento BC em três partes iguais. Com base nessas informações, a) DETERMINE a área do triângulo QBN. b) DETERMINE a área do triângulo sombreado PQM. 7) (Unesp) Uma bola de tênis é sacada de uma altura de 21dm, com alta velocidade inicial e passa rente à rede, a uma altura de 9dm. Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e do seu movimento parabólico, considere a trajetória descrita pela bola como sendo retilínea e contida num plano ortogonal à rede. Se a bola foi sacada a uma distância de 120dm da rede, a que distância dela, em metros, ela atingirá o outro lado da quadra? 8) (IFPE-Adaptada) Na residência de Laércio, há uma caixa d água vazia com capacidade de 5 metros cúbicos. Ele vai encher a caixa trazendo água de um poço próximo, em uma lata cuja base é um quadrado de lado 40cm e cuja altura é 50cm. Qual é o número mínimo de vezes que Laércio precisará ir ao poço até encher integralmente a caixa d água? Colégio Santa Dorotéia 3

4 9) (PUC-RS-Adaptada) Um paralelepípedo possui dimensões 3cm, 8cm e 9cm. CALCULE a medida, em centímetros, da aresta de um cubo que possui volume igual ao do paralelepípedo. 10) (UERJ) Um cubo de aresta EF medindo 8dm contém água e está apoiado sobre um plano de modo que apenas a aresta EF esteja contida nesse plano. A figura abaixo representa o cubo com a água. Considere que a superfície livre do líquido no interior do cubo seja um retângulo ABCD com área igual a 32 5 dm 2. DETERMINE o volume total, em dm 3, de água contida nesse cubo. 11) (PUC-RJ) De uma folha de papelão de lados de medidas 23 e 14 foram retirados, dos quatro cantos, quadrados de lado de medida 3 para construir uma caixa (sem tampa) dobrando o papelão nas linhas pontilhadas. a) DETERMINE o perímetro da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. b) DETERMINE a área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. c) DETERMINE o volume da caixa formada. 12) (Unicamp) A figura a seguir apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5cm cada um e a altura do prisma mede 10cm. a) CALCULE o volume do prisma. b) ENCONTRE a área da secção desse prisma pelo plano que passa pelos pontos A, C e A'. Colégio Santa Dorotéia 4

5 13) (Unicamp) Uma caixa d'água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura adiante. Dados: AB = 6m AC = 1,5m CD = 4m. a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da caixa? b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é de 85% da altura da caixa, quantos litros de água podem ser armazenados na caixa? 14) (UFPR) Temos, abaixo, a planificação de uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa pirâmide? 15) (UPF-Adaptada) Nesta figura estão representados dois poliedros de Platão: o cubo ABCDEFGH e o octaedro MNOPQR. Cada aresta do cubo mede 6cm e os vértices do octaedro são os pontos centrais das faces do cubo. CALCULE a área lateral e o volume do octaedro. Colégio Santa Dorotéia 5

6 16) (Aman-Modificada) Na figura ao lado, está representado um sólido geométrico de 9 faces, obtido a partir de um cubo e uma pirâmide. Sabendo que todas as arestas desse sólido têm medida, CALCULE as medidas da altura (distância do ponto V à face ABCD) e da área total desse sólido. 17) (Unesp) Há anos, o Imperador Quéops do Egito mandou construir uma pirâmide regular que seria usada como seu túmulo. As características e dimensões aproximadas dessa pirâmide hoje, são: 1ª) sua base é um quadrado com 220 metros de lado; 2ª) sua altura é de 140 metros. Suponha que, para construir parte da pirâmide equivalente a 1, m 3, o número médio de operários utilizados como mão de obra gastava em média 60 dias. Dados que 2,2 2 1,4 6,78 e 2,26 1,88 1,2 e mantidas estas médias, DETERMINE, aproximadamente, o tempo necessário para a construção de toda pirâmide, medido em anos de 360 dias. 18) (UFPE-Modificada) Uma pirâmide hexagonal regular tem a medida da área da base igual à metade da área lateral. Se a altura da pirâmide mede 6 cm, CALCULE o volume da pirâmide, em cm 3. Dado: use a aproximação: 3 1,73. 19) (UFPE-Modificada) Os vértices de um tetraedro são um dos vértices de um cubo de aresta 30cm e os três vértices ligados a ele por uma aresta do cubo, como ilustrado na figura abaixo. Se V é o volume do tetraedro, em cm 3, determine o valor de V. Colégio Santa Dorotéia 6

7 20) Numa pirâmide hexagonal regular, a aresta da base mede 2cm. Sabendo-se que a área lateral dessa pirâmide é de 30cm 2, CALCULE o volume e a área total dessa pirâmide. 21) (Cesgranrio-Modificada) Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais a x. CALCULE o volume dessa pirâmide. 22) (Unirio-Modificada) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume da pirâmide, DETERMINE a altura da pirâmide. 23) (Imed-Adaptada) Um reservatório de água tem o formato de um cilindro reto de volume igual a 54m 3. Supondo que esse cilindro está inscrito em um cubo de aresta igual ao dobro do raio, CALCULE o volume desse cubo, em m 3. 24) (UEM) Um produtor de grãos armazena sua produção em um silo na forma de um cilindro reto de base circular com 3 metros de altura e 1 metro de raio. Para otimizar os custos de armazenamento, o produtor quer saber como alterar as medidas do silo para melhorar a relação entre a capacidade de armazenamento (volume do silo) e a quantidade de material utilizado na sua fabricação (área lateral do silo, incluindo as áreas da base e da tampa). Considerando essa situação, ASSINALE o que for correto sobre as ações do produtor. 01) Se ele dobrar o raio e diminuir a altura pela metade, terá um silo com o mesmo volume e com a mesma área lateral. 02) Se ele dobrar apenas o raio, o novo silo terá o dobro do volume. 04) Se ele dobrar apenas a altura, o novo silo terá o dobro do volume. 08) Se ele diminuir o raio e a altura pela metade, então, proporcionalmente ao silo original, o volume irá diminuir mais do que a área lateral. 16) É impossível alterar o volume do silo original sem alterar a área lateral. 25) (UFPR) Um reservatório possui internamente o formato de um cilindro com 3,4m de diâmetro e 10m de comprimento, conforme indica a figura. a) Qual o volume total que esse reservatório comporta? b) Num certo momento, a altura do líquido no interior do reservatório é de 2,5m, como indica a figura. Qual a área da superfície do líquido exposta ao ar dentro do reservatório? 26) (UFPR-Modificada) Segundo dados do Banco Central do Brasil, as moedas de 1 centavo e de 5 centavos são feitas do mesmo material, aço revestido de cobre, e ambas têm a mesma espessura de 1,65mm. Sabendo que a massa de cada moeda é diretamente proporcional ao seu volume, que as massas das moedas de 1 centavo e de 5 centavos são respectivamente 2,4g e 4,1g, e que o diâmetro da moeda de 1 centavo é de 17mm, CALCULE a medida aproximada do diâmetro da moeda de 5 centavos. Colégio Santa Dorotéia 7

8 27) (Fuvest-Modificada) A uma caixa d'água de forma cúbica com 1 metro de lado, está acoplado um cano cilíndrico com 4cm de diâmetro e 50m de comprimento. Num certo instante, a caixa está cheia de água e o cano vazio. Solta-se a água pelo cano até que fique cheio. Qual o valor aproximado da altura da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio? 28) (Unicamp) Um cilindro circular reto é cortado por um plano não paralelo à sua base, resultando no sólido ilustrado na figura a seguir. CALCULE o volume desse sólido em termos do raio da base r, da altura máxima AB = a e da altura mínima CD = b. JUSTIFIQUE seu raciocínio. 29) (UFG) OBSERVE a charge a seguir: Considerando-se que as toras de madeira no caminhão são cilindros circulares retos e idênticos, com 10m de comprimento e que a altura da carga é de 2,7m acima do nível da carroceria do caminhão, então a carga do caminhão corresponde a um volume de madeira de, aproximadamente, X m 3. CALCULE o valor de X. Dados: 3 1,7 e π 3,1 30) (UFPB-Adaptada) Uma fábrica produz embalagens metálicas fechadas, em formato de um prisma reto, medindo 20cm de altura, cuja base é um quadrado de lado 10cm. Para diminuir o desperdício de material, técnicos da fábrica avaliaram que, se as embalagens fossem produzidas em formato de um cilindro fechado, com a mesma altura e volume da embalagem em formato de prisma, haveria uma economia de material usado. Com base nessa avaliação, CALCULE, em porcentagem, a economia da fábrica com o material utilizado ao fazer as embalagens em formato de cilindro. Use: 1,77 31) (UFSC-Modificada) É correto afirmar que: (some os números dos itens corretos) 01) Um retângulo de dimensões 2cm e 9cm gira em torno de um de seus lados maiores. Ao fazer um giro de 240 o ele determina um sólido cujo volume é igual a 36cm 3. 02) A razão entre a área de um quadrado e a área do círculo circunscrito a ele é 2. 04) De um cone reto de volume V 1 diminuímos 1/3 de sua altura e aumentamos 1/3 do diâmetro de 2 sua base. O volume desse novo cone será igual a 3.V ) Um terreno tem a forma de um trapézio cujas medidas da altura, da base maior e da base menor são, respectivamente, 40m, 80m e 50m. Sua área é igual a 2, hectares. 5 Colégio Santa Dorotéia 8

9 32) (Aman) O valor da altura de um cilindro reto de raio R, cujo volume é a soma dos volumes dos sólidos 1 e 2 é a) 13 a. 12 b) 7 a. 6 c) 5 a. 4 d) 4 a. 3 e) 17 a ) (UERJ) Um depósito de óleo tem a forma de um cone circular reto cujo eixo vertical forma com suas geratrizes o ângulo de 45 o. Foram retirados desse depósito 19m 3 de óleo. Com isso, a altura do nível de óleo foi reduzida em 1m e passou a ter x metros de altura. Considerando = 3, CALCULE a altura x do nível de óleo. 34) (Mackenzie) Se um cone reto tem altura igual a 12cm e seu volume é 64cm 3, então sua geratriz, em cm, mede a) 20. b) c) d) 4 2. e) ) (Afa-Modificada) Se uma pirâmide hexagonal regular tem sua base inscrita na base de um cone equilátero cujo volume é igual a 10 3 π cm 3 e tem vértice coincidindo com o vértice do cone, então 7 CALCULE o volume dessa pirâmide, em cm 3. Colégio Santa Dorotéia 9

10 1) (36 2 cm 2 ) GABARITO 19) (V = 4 500cm 3 ) 2) (a) 20) ( V = 2 66 cm 3 ; A T = 6(5 + 3 ) m 2 3) a) (3, 4, 5) b) (V = 60 cm 3 ; A T = 94 cm 2 ) 21) ( 3 x 2 6 ) 4) a) (10cm) b) (4,8cm) 22) (6H) c) (5cm) 23) (216m³) d) (12 5 )/5 cm) 24) (04, 08) 5) a) (10 3 cm) b) (5 13 cm) c) (50 3 cm 2 ) 25) a) (28,9m 3 ) b) (30m 2 ) 6) a) (14 u.a.) 26) (22mm) b) (28 u.a.) 7) (9m) 27) (94cm) 8) 9) (63 latas) (6cm) 28) (V = πr 2 (a + b)/2) 10) (128dm 3 ) 29) (X = 46,5m 3 ) 11) 12) a) (74 u.c.) b) (286 u.a.) c) (408 u.v.) a) (375 3 cm 3 ) b) (50 3 cm) 30) 31) 32) (9,2%) (12) (e) 13) a) (1,2m) b) (1 468,8L) 33) 34) (x = 2) ( c ) 14) cm 35) ( 45 7 ) 15) 2 3 ( 36 3 cm e 36 cm ) 16) e 2 ( 3 5) 17) 18) (20 anos) (V = 83,04cm 3 ) Colégio Santa Dorotéia 10