O Método do Tubo de Trajetórias para a Equação de Convecção. Parte II: Implementação Numérica

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1 O Méodo do Tubo de Traeóras para a Equação de onveção. Pare II: Implemenação Numéra Luana P. M. Pena Laboraóro de ênas Maemáas, (LMAT/T), Unversdade Esadual do Nore Flumnense Dar Rbero - UENF ampos dos Goaazes-RJ, Brasl Nélo Henderson e Elne Flores Grupo de Termodnâma e Omzação Insuo Poléno, Unversdade do Esado do Ro de Janero , Nova Frburgo-RJ, Brasl Resumo. Nesa Pare II, é desenvolvdo um esquema robuso e efene para o méodo do ubo de raeóras, o qual fo formulado de uma forma geral na Pare I dese argo. Aqu são ambém apresenados resulados de exemplos numéros e algumas omparações om ouras meodologas.. INTRODUÇÃO Na prmera pare dese rabalho, vea [], desenvolvemos a formulação geral do méodo do ubo de raeóras desnado à resolução da equação de onveção, +.( V ) = 0, () onde a função nógna = ( X, ) é um esalar denoando a onenração de um raçador, X é um veor que represena a posção e smbolza o empo. A função V = V ( X, ), a qual sasfaz o ssema de EDO s = V, () d é um ampo de velodade prevamene onhedo. Deduzmos o méodo do ubo de raeóras ulzando os prnípos básos da meâna dos meos onínuos, de modo que ele é Lagrangano e onservavo. Assm, onforme mosrado na Pare I, onsderando (num nsane de empo ) uma malha reangular omo ndada na Fgura, obemos ( n+ ) onde élula arbrára ( X, ) D =, () + + é a medda de uma +, D a sua magem ( n+) mapeada para o nsane aneror e é o valor médo da onenração na élula. omo enfazado na Fg., ese mapeameno é feo segundo-se as raeóras do raçador no sendo reverso do empo. Logo, o elemeno D não é neessaramene (apesar da lusração na referda fgura) um quadrláero, e possvelmene enonra-se deformado om relação à. Noe que a formulação na Eq. () é oalmene explía, uma vez que ela deermna valores médos de onenração no nível em função de valores de no empo aneror.

2 Fgura. Tubo de raeóra no domíno dsrezado. Nese argo, parndo da Eq. (), apresenamos um dos possíves esquemas numéros para a formulação geral deduzda na Pare I, [], a qual fo desenvolvda nalmene na ese de douorado de Sampao, []. Tal esquema fo analsado e exausvamene esado na dsseração de douorado de Pena, []. Nossa abordagem basea-se em rês paradgmas fundamenas, robusez, efêna e smpldade.. ESQUEMA NUMÉRIO Supomos, por smpldade, que o domíno mapeado D (no nível empo ) é um quadrláero, mas não neessaramene um reângulo (vea novamene a Fg. ). onsderamos que a raeóra de uma paríula do raçador é deermnada ulzando-se o ampo de velodade V, referene ao fludo. Noe que esa hpóese é basane razoável, pos de aordo om o modelo físo adoado na Eq. () esamos desprezando os efeos da dfusão moleular, ou sea, esamos efevamene onsderando V( a) V, onde V ( a) denoa a velodade do raçador. O proedmeno para o álulo da negral ( X, ) é elaborado omo D desro a segur. O prmero passo é onsuído de uma eapa denomnada de eapa de bakrakng. Nessa eapa realzamos um proesso reroavo no empo ao longo das raeóras. Efevamene, os ponos X, X, X X (os véres do suposo quadrláero D ) e são obdos resolvendo-se o ssema de equações dferenas ordnáras represenado em Eq. (), om ondções fnas do po X ( + ) = X. ~ ~ ~ ~ Isso é feo para ada vére X, X, X e X de. Esse passo deermna ompleamene o (suposo) quadrláero mapeado, D. Depos, a negral ( X, ) é aproxmada aravés de D uma esraéga de negração efene. Essa segunda eapa será denomnada de eapa de negração. No presene rabalho, onsderamos somene exemplos bdmensonas. Assm, esreveremos X = ( x, ) e V = ( u, v). Em odos os exemplos, usaremos uma grade de élulas enradas possundo N N bloos de amanho unforme, om espaçamenos x = L x N x e = L N, onde L x e L são as dmensões do domíno reangular nas dreções x e, respevamene, vea a Fg.. Fgura. Grade de élulas enradas. Dese modo, no nsane, a ( n+ ) varável denoará o valor médo de na élula = [ x, x ] [, ]. ( ) Aqu al quandade efevamene represenará o ( ) valor da onenração no enro de. Na x +

3 eapa de bakrakng, resolveremos o ssema de equações dferenas ndado em Eq. (), sueo às ondções fnas dadas por x ( ) = ~ x e ( ) = ~. Isso é feo aravés do méodo de Runge-Kua de quara ordem. Apesar da possbldade de empregarmos méodos de negração em duas varáves, no enano, obevando a efêna e smpldade do esquema, a negral dupla de ( X, ) sobre o domíno D será alulada omo segue, ( X, ) ˆ Λ, () D sendo ˆ = ( Xˆ, ), onde Xˆ é um pono em D obdo por bakrakng do enro da ( ) élula, e Λ é a medda de uma área + apropradamene esolhda, a ser desra abaxo. Após a deermnação de Xˆ, o álulo de ˆ = ( Xˆ, ) sola uma nerpolação bdmensonal. Isso é exgdo pos esse pono não rea neessaramene, no enro de uma élula da grade, referene ao nsane, vea Fg.. Empregamos uma nerpolação -D om pesos. Traa-se de uma nerpolação robusa que ulza o valor da onenração defndo no enro da élula que oném o pono X ˆ = ( xˆ, ˆ ) e os valores defndos em ada élula vznha ao bloo que possu o referdo pono, vea a Fg.. Fgura. O bakrakng e a loalzação do pono ˆX. Assm, se os nós x, ) represenam ( (de uma forma geral) os enros das élulas ndadas na Fg., enão a nerpolação bdmensonal om pesos pode ser esra na segune forma: d Fgura. Exemplos de ponos usados na nerpolação -D om pesos. d ˆ, (5) d onde as dsânas ˆ ˆ = ( x x ) + ( ) são os pesos onsderados. Fnalmene para omplear o álulo de ( X, ) é neessáro deermnar a área Λ D ndada na Eq. (). Aqu de aordo om a Fg., suporemos que Λ é a área do quadrláero uo os véres são os ponos X = ( x, ), X = x, ), X = x, ) e ( ( x, ( X = ), os quas á foram obdos por bakrakng. Assm sendo, podemos alular Λ pela soma dos segunes deermnanes, x x Λ = x + x. x x (6)

4 . RESULTADOS NUMÉRIOS om obevo omparar o méodo do Tubo de Traeóras om ouras meodologas, opamos por dos méodos desros e analsados no argo de Graldo e Nea, []. Nossa esolha resde em alguns ponos fundamenas. O prmero refere-se ao fao dos ódgos ompuaonas dos algormos analsados por Graldo e Nea (esros em FORTRAN 77) esarem dsponíves, sendo de fál aesso no endereço elerôno hp://mah.nps.nav.ml/~bnea. O segundo pono em haver om os pos de meodologas dsponblzadas por esses auores. Fo desenvolvdo um ódgo de um méodo Eulerano que ulza uma esraéga sofsada de elemenos fnos, e um ouro méodo que ombna a mesma dsrezação em elemenos fnos om uma abordagem Lagrangana para a equação de onveção. Assm, podemos omparar o méodo do Tubo de Traeóras om um méodo do po Eulerano, além de omparálo om um ouro méodo ípo da sua própra lasse.. Teses omparavos Nos eses omparavos seleonamos um problema proposo por Leveque (996). Traa-se da roação de um sóldo defndo no B = 0, 0,. O orpo sóldo em domíno [ ] [ ] seu esado nal defndo pela segune função: 00 ( x,,0) = [ + os( π r( x, ))], (7) onde r x = x x + r r,(8) (, ) mn( ( ) ( ), 0) / 0 sendo x = 0.5, = 0.5 e r 0 = 0.. O orpo é poso a grar no sendo anhoráro om velodade angular ω, em orno de um exo fxo que passa aravés do pono ( x0, 0 ) B e em dreção normal ao plano x. Os valores que represenam a velodade lnear nas dreções x e são dados, respevamene, pelas relações: u = ω, (9) ( 0 ) ( ) v = ω x x 0, (0) sendo, x0 = 0 = 0.5 e ω =. om nuo de omparar a solução numéra om a solução exaa dada por ( x,, ) = ( x,,0) foram espefados f no dferenes valores para k:,,, e 5, sendo f = kp om p = π / ω (o empo de uma revolução omplea do orpo). A análse omparava realzada aqu leva em onsderação o esudo erro ε, defndo por: numéra analía ( ) analía ( ) ε = () Além dsso, omparamos ambém o erro relavo de onservação de massa defndo por: eor. ( n) ( ) ( x,, ) εm.() eor. ( x,, ) onde a negral B eor. ( x,, ) represena a massa exaa obda om auxílo da ( n) ( ) solução eóra e o somaóro represena a massa oal alulada om a solução numéra, ambas omadas sobre o domíno B. A fgura 5 mosra a solução analía, em qualquer nsane de empo. Fgura 5. Superfíe e urvas de nível da solução exaa.

5 Tabela Erros, máxmos e mínmos de onenração e empo ompuaonal para no dferenes valores de k (Número de Revoluções), om o méodo Eulerano sem-mplío. Tabela Erros, máxmos e mínmos de onenração e empo ompuaonal para no dferenes valores de k, om o méodo semlagrangano sem-mplío. k k 5 ε ε M mínmo máxmo ε ε M mínmo máxmo Fgura 6. Superfíes e urvas de nível das soluções numéras obdas om o méodo Eulerano sem-mplío ( θ = ), proposo por Graldo e Nea, para rês dferenes valores de k :, e 5, usando = 0.05 p e x = = 0.0, Fgura 7. Superfíes e urvas de nível das soluções numéras obdas om o méodo semlagrangano sem-mplío ( θ = ), proposo por Graldo e Nea, para rês dferenes valores de k :, e 5, usando = 0.0 p e om R 0.5. x = = 0.0, om R.0.

6 Tabela Erros, máxmos e mínmos de onenração e empo ompuaonal para no dferenes valores de k, om o méodo do Tubo de Traeóras. k ε ε M mínmo máxmo E E E E E E E E E E ONLUSÕES omparações numéras om duas meodologas dferenes, uma Eulerana e a oura sem-lagrangana, demonsram a superordade do méodo proposo. Os resulados ompuaonas onfrmaram que o esquema analsado apresena na práa uma boa propredade onservava, esabldade e presão numéra, e efêna sufene para ser empregado em problemas práos, modelados pela equação de onveção. Em resumo, a análse expermenal desenvolvda nese argo ressala a superordade da solução gerada pelo méodo do Tubo de Traeóras. 6. REFERÊNIAS [] Graldo, F. X. e Nea, B., A omparson of a Faml of Euleran and Sem-Lagrangan Fne Elemen Mehod for he Adveon- Dffuson Equaon, In ompuer Modellng of Seas and oasal Regons I J. R. Anas and. A. Brebba (eds), ompuaonal Mehans Publaons, Souhampon, U. K., (997). [] Pena, L. P. M., Análse de um Méodo para a Equação de onveção Formulado à Luz da Meâna dos Meos onínuos om Aplações a Adveção de Anomalas Oeânas e Meeorológas, Tese de Douorado, IPRJ-UERJ, (006). Fgura 7. Superfíes e urvas de nível das soluções numéras obdas om o méodo sem- Lagrangano sem-mplío ( θ = ), proposo por Graldo e Nea, para rês dferenes valores de k :, e 5, usando = 0.0 p e x = = 0.0, om.0. R [] Pena, L. P. M., Sampao M., Henderson, N. e Pla, G. M., O Méodo do Tubo de Traeóras para a Equação de onveção. Pare I: Formulação, argo ompleo a ser submedo ao XXX NMA, Floranópols, Sana aarna, (007). [] Sampao, M., O Méodo do Tubo de Traeóras: Uma Abordagem Sem Lagrangana para Equações de onveção- Dfusão, Tese de Douorado, IPRJ-UERJ, (006).