MODELAGEM MATEMÁTICA DO EFEITO CHICOTE EM AMBIENTES COM DEMANDA E LEAD TIME ESTOCÁSTICOS

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1 versão imressa ISSN / versão online ISSN MODELAGEM MATEMÁTICA DO EFEITO CHICOTE EM AMBIENTES COM DEMANDA E LEAD TIME ESTOCÁSTICOS José Carlos Fioriolli Escola de Adminisração Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) Poro Alegre RS fioriolli@roducao.ufrgs.br Flávio Sanson Fogliao* De. de Engenharia de Produção e Transores Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) Poro Alegre RS ffogliao@roducao.ufrgs.br * Corresonding auhor / auor ara quem as corresondências devem ser encaminhadas Recebido em 05/008; aceio em 0/009 aós 1 revisão Received May 008; acceed February 009 afer one revision Resumo O aumeno da variabilidade da demanda ao longo de uma cadeia de abasecimeno é conhecido como Efeio Chicoe (EC). A modelagem dese fenômeno é fundamenal ara a quanificação de sua inensidade, ajudando a reduzir seus imacos negaivos sobre o nível de serviço e sobre os esoques em cadeias de abasecimeno. Ese arigo aresena uma roosa de modelagem do EC que em or objeivo aumenar a recisão na quanificação dese fenômeno em ambienes com demanda e lead ime esocásicos. O novo modelo considera um elemeno que não esá resene nos rinciais modelos disoníveis na lieraura: a variabilidade no lead ime de enrega de edidos. Além disso, define de modo mais reciso o ael do coeficiene de variação da demanda na quanificação do EC. A uilização do modelo rooso aumena a eficiência da gesão de cadeias de abasecimeno ao conribuir ara aenuar a roagação do EC. Palavras-chave: efeio chicoe; modelagem esocásica; cadeia de abasecimeno. Absrac The increase in demand variabiliy as informaion flows from cusomers o manufacurers in a suly chain is known as he Bullwhi Effec (BE). Modeling his henomenon is key in measuring is inensiy, aiming a reducing is negaive imac on boh service and invenory levels in suly chains. This aer rooses a new, more recise mahemaical model for quanifying he BE in sysems wih sochasic demand and lead ime. The new model akes ino accoun he lead ime variabiliy, an elemen no resen in he BE lieraure. In addiion, he model allows a more recise assessmen of he role ha he demand s coefficien of variaion lays when quanifying he BE. The use of he roosed model enables an imroved managemen of he suly chain by aenuaing he roagaion of he BE. Keywords: bullwhi effec; sochasic modeling; suly chain. Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de

2 1. Inrodução Uma cadeia de abasecimeno (CA) é uma esruura que comreende um conjuno de aividades inra e ineremresariais. De acordo com Delfmann (000), inicia com a aquisição de maéria-rima juno a fornecedores indeendenes, assa ela fabricação e disribuição, e ermina com a enrega dos roduos aos varejisas ou consumidores finais. O efeio chicoe (EC) é um imorane fenômeno resene em CAs. Segundo Chen e al. (003), observa-se um EC quando a variabilidade da demanda aumena na medida em que se avança nos níveis da cadeia, desde o varejisa aé o fabricane, roduzindo imacos negaivos sobre a regularidade e a esabilidade dos edidos recebidos em odos os seus níveis. A dinâmica do EC em dois níveis adjacenes k e k 1 de uma CA ode ser assim descria. O edido gerado elo nível k é definido a arir da revisão de demanda do nível imediaamene anerior (k 1) e deende dos dados hisóricos relaivos àquela demanda e da écnica de revisão uilizada no nível k. Da mesma forma, os edidos gerados elo nível k+1 são definidos em função dos dados hisóricos disoníveis sobre a demanda no nível anerior (k) e da écnica de revisão uilizada no nível k+1. Esa lógica se reee a cada avanço de nível, de modo que os dados disoníveis, em cada nível (com exceção do nível mais baixo da cadeia), baseiam-se em uma execaiva de demanda e não na demanda real. Vários asecos gerenciais merecem desaque nese rocesso de amlificação da variabilidade da demanda. De acordo com Lee e al. (1997), Carlsson & Fullér (000) e Chen e al. (003), o EC oencialmene raz consequências locais e sisêmicas ara fabricanes, disribuidores e varejisas. Enre as consequências locais, desacam-se (i) baixos níveis de serviço, gerados ela dificuldade de amorecer, em emo hábil, as variações exremas da demanda; (ii) vendas erdidas em função das ruuras de esoques geradas elas variações exremas da demanda; (iii) aumenos dos esoques de segurança, com visas à recueração dos níveis de serviço que garanam a comeiividade da esruura; (iv) aumeno no número de rerogramações de rodução ara cobrir emergências; e (v) gesão ineficiene de recursos locais, como essoal, equiamenos e caial. Enre as consequências sisêmicas, desacam-se: (i) elevação dos cusos relacionados a esoques na CA em razão do aumeno dos esoques locais, em cada um dos onos do sisema; (ii) queda do reorno sobre o caial invesido nas oerações da CA; (iii) queda da roduividade dos funcionários que auam nos rocessos roduivos ao longo da CA, conforme demonsrado or Anderson e Fine (003); (iv) rocesso decisório reaivo, rincialmene em função dos icos de demanda, causando ruura de lanejameno; e (v) gesão ineficiene dos recursos da CA como um odo, em decorrência das ineficiências locais e da dificuldade de inegração das oerações da CA. O rincial desafio no gerenciameno do EC consise em reduzir ineficiências e aenuar/eliminar a sua roagação ao longo da CA, de modo que seja ossível oimizar o uso dos recursos emregados em seus diferenes níveis. Iso deende do grau de conhecimeno que se em sobre as suas causas e sobre a sua inensidade. Nesse senido, a quanificação do EC em sido um ema frequene de esquisa nos úlimos anos. Auores como Lee e al. (1997), Chen e al. (000), Fransoo & Wouers (000) e Warburon (004) vêm aresenando imoranes desenvolvimenos eóricos sobre o ema. Um dos rinciais modelos de quanificação do EC, aresenado or Chen e al. (000), é formulado como função do lead ime, da variância da demanda e do número de eríodos uilizados na revisão da demanda. O modelo rabalha com cenários com lead ime consane, o que não reflee a realidade de grande are das CAs, em vários seores 130 Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de 009

3 econômicos. Além disso, em sua oeracionalização, o modelo de Chen e al. (000) não quanifica a influência do coeficiene de variação da demanda sobre o EC. De modo similar, os modelos de Lee e al. (1997), Fransoo & Wouers (000) e Warburon (004) ambém oeram em ambienes com lead ime consane. Tais resrições nesses modelos resulam em uma quanificação arcial do EC, sendo alicáveis em cenários raramene enconrados na ráica, uma vez que os lead imes de enrega normalmene aresenam variabilidade. As rinciais conribuições do resene arigo visam surir as deficiências e limiações resenes nos modelos de quanificação do EC disoníveis na lieraura. Mais esecificamene, roõe-se um modelo maemáico ara quanificação do EC em ambienes que uilizam a olíica de edidos do io ou-ea (order-u-o Esoque Alvo), sujeios à demanda e lead ime esocásicos e indeendenes, suondo ambas as variáveis como normalmene disribuídas. Além de considerar a variabilidade nos lead imes de enrega de edidos nos diferenes níveis da CA, exlicia-se no novo modelo o grau de influência que o coeficiene de variação da demanda exerce sobre a amlificação da variabilidade da demanda ao longo da CA. O desenvolvimeno de uma modelagem maemáica de acordo com a roosa aqui aresenada se jusifica já que, a arir da incororação da variabilidade do lead ime e da deerminação do grau de influência que o coeficiene de variação da demanda exerce sobre o EC, orna-se mais recisa a idenificação das causas dese fenômeno e mais fácil o enendimeno da sua dinâmica. Iso é fundamenal ara a adoção de medidas gerenciais que visem à redução dos imacos negaivos do EC sobre os esoques e os níveis de serviço em uma CA. Comlemenarmene, a modelagem ode ser uilizada ara oimizar as quanidades a serem esocadas nos diferenes onos de uma CA e ara qualificar os rocessos decisórios relacionados à gesão dos esoques globais. A escolha da olíica ou-ea deve-se ao seu desemenho em ambienes esocásicos. A arir do rabalho de Clark & Scarf (1960), vários auores desenvolveram esquisas que demonsram a oimalidade desa olíica em ambienes hierárquicos com demanda normalmene disribuída, enre os quais desacam-se Muharremoglu & Tsisiklis (001) e Chen e al. (003). Para um dealhameno sobre a rova de oimalidade da olíica ou-ea em ambienes com demanda e lead ime esocásicos, ver Mucksad (005). Por viabilizar uma quanificação mais recisa do EC em CAs, a imlemenação ráica do modelo aqui rooso ode conribuir ara: (i) a incororação do EC na oimização dos esoques globais de uma CA; (ii) redução dos cusos dos esoques; (iii) idenificação das quanidades óimas a serem esocadas nos diferenes onos da CA; e (iv) qualificação dos rocessos decisórios relacionados à revisão de demanda. Ese arigo esá organizado em cinco seções, incluindo a resene inrodução. Na seção, aresenam-se os rinciais modelos de quanificação do EC disoníveis na lieraura. Um novo modelo ara quanificação do EC, menos resriivo em seus ressuosos, é aresenado na seção 3. Uma análise comaraiva do desemenho do novo modelo em relação ao modelo de Chen e al. (000) é aresenada na seção 4. Uma conclusão encerra o arigo na seção 5.. Referencial Teórico O EC refere-se a uma siuação em que o amanho dos edidos enviados aos fornecedores ende a aresenar maior variância do que as vendas efeuadas juno aos comradores (Carlsson & Fullér, 001). De acordo com Lee e al. (1997), ocorre uma disorção da Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de

4 demanda, que se roaga ao longo da CA aravés do fluxo básico de informação e roduz uma amlificação da variabilidade dos edidos encaminhados aos fornecedores. Considerando uma esruura com rês níveis [(i) Loja; (ii) Deósio; e (iii) Fornecedor], observa-se que a demanda dos clienes aresena equenas variações durane o ano (Figura 1). Em razão da disorção da informação no sisema, os edidos da Loja ara o Deósio (Figura ) aresenam variações maiores em comaração à demanda dos clienes. No úlimo nível, os edidos encaminhados ao Fornecedor esão amlificando as variações observadas na Loja e no Deósio (Figura 3) Unidades Mês Figura 1 Demanda original dos clienes juno à loja. Fone: adaada de Johnson & Pyke (1999) Unidades Mês Figura Pedidos encaminhados ao deósio. Fone: adaada de Johnson & Pyke (1999). 13 Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de 009

5 Unidades Mês Figura 3 Pedidos encaminhados ao fornecedor. Fone: adaada de Johnson & Pyke (1999). As abordagens uilizadas ara a quanificação do EC odem ser divididas em rês gruos: (i) cálculo da relação enre a variância dos edidos e a variância da demanda, uilizado or Lee e al. (1997) e Chen e al. (000); (ii) cálculo da relação enre a axa de edidos e a axa da demanda, uilizado or Warburon (004); e (iii) cálculo do quociene enre o coeficiene de variação da demanda gerada or um nível da cadeia e o coeficiene de variação da demanda recebida or ese mesmo nível, uilizado or Fransoo & Wouers (000). Na exosição que se segue, as noações dos modelos aresenados foram uniformizadas, sendo aresenadas na Tabela 1. O desenvolvimeno dos modelos de Lee e al. (1997) e de Chen e al. (000) é aresenado em dealhes; os demais modelos são aresenados somene quano à sua forma final. No caso de Lee e al. (1997), o dealhameno se jusifica or er sido ese o rimeiro modelo rooso ara o EC na lieraura; no caso de Chen e al. (000), or ser o modelo um dos mais referenciados em rabalhos sobre o EC e or ser direamene comarável com a roosa aresenada na seção 3. Lee, Padmanabhan & Whang (1997) roõem um modelo onde o EC é calculado aravés da relação enre a variância dos edidos e a variância da demanda. O rocesso de formação da demanda é definido uilizando um modelo auorregressivo de rimeira ordem, com a seguine forma: D = µ + ρd + ε (1) 1 O amanho óimo do edido é calculado somando a diferença enre os esoques-alvo dos eríodos e 1 à demanda do eríodo 1 : Q = A A + D () 1 1 O desenvolvimeno algébrico realizado elos auores a arir da eq. (1) ermie definir o amanho do edido a ser colocado em função do arâmero de correlação da demanda e do lead ime, da seguine maneira: L+ ( ρ(1 ρ 1 ) (1 ρ) )( ) Q = A A + D = D D + D. (3) Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de

6 Símbolo D Tabela 1 Noação uilizada nos modelos do referencial eórico. Descrição Subscrio que denoa o momeno de observação da variável no emo Demanda esocásica em µ Consane não negaiva, uilizada no modelo auorregressivo do rocesso de formação da demanda ρ Parâmero de correlação do rocesso de formação da demanda ε A Erro aleaório em, normalmene disribuído, com média 0 e desvio-adrão σ Esoque-alvo (order-u-o) em D ˆ L, Esimaiva da demanda média durane o lead ime, em ˆ σ L, e Esimaiva do desvio-adrão do erro de revisão de demanda durane o lead ime, em z Consane corresondene ao nível de serviço desejado C L, Função consane de L, ρ e e Q L k T in DLk,, ou DLk,, Erro de revisão da demanda em Tamanho óimo do edido em Lead ime Número de eríodos uilizados no cálculo da média móvel da demanda Nível hierárquico da esruura em análise Ajuse emoral θ Coeficiene de variação da demanda recebida durane o lead ime, no nível k θ Coeficiene de variação da demanda gerada durane o lead ime, no nível k A variância dos edidos é resulane da soma de duas arcelas: uma direamene deendene da variância da demanda e a oura conjunamene deendene da esruura da demanda e da magniude do lead ime. ( ) ( ) L+ 1 L+ ( )( ) 1 1 Var Q = Var D + > Var D ρ ρ ρ ( 1+ ρ)( 1 ρ) ( ) 1 1 (4) Desa forma, de acordo com Lee e al. (1997), o EC em a seguine modelagem: EC ( ) ( ) L+ 1 L+ ( )( ) Var Q ρ 1 ρ 1 ρ 1 = = 1 + ( 1+ ρ)( 1 ρ) ( ), 1 Var D 1 Var D 1 (5) O segundo modelo abordado nesa seção é devido a Chen, Drezner, Ryan & Simchi-Levi (000). Nele, o EC ambém é calculado aravés da relação enre a variância dos edidos e a variância da demanda. Nesa modelagem os auores consideram uma CA em que, a cada eríodo, um varejisa observa seu nível de esoque e coloca um edido Q ara um 134 Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de 009

7 fabricane. Aós o edido er sido colocado, o varejisa observa e aende a demanda D relaiva ao eríodo. Demandas não aendidas ficam endenes. Há um lead ime L, fixo, enre o momeno em que o edido é colocado elo varejisa e o momeno em que o edido é recebido or ele, de modo que um edido colocado no fim de um eríodo é recebido no início do eríodo + L. A demanda visa elo varejisa é uma variável esocásica, cujo rocesso de formação é reresenado or um modelo auorregressivo de rimeira ordem, conforme eq. (1). O varejisa segue uma olíica order-u-o em que o esoque-alvo é esimado a arir da demanda observada e assim definido: A = Dˆ + zσ (6), ˆ L L e, onde Dˆ L, L( D i 1 1 = ) = e L e, L, i= 1 i ˆ σ = C ( e ). O edido é calculado em função do esoque-alvo e da demanda [eq. (7)]. Evenuais valores negaivos são assumidos como excesso de esoque que odem ser devolvidos sem cuso, conforme rooso or Kahn (1987) e Lee e al. (1997). Q = A A + D (7) 1 1 O cálculo do edido ode ser aresenado em função das esimaivas da demanda durane o lead ime, da consane vinculada ao nível de serviço desejado, do desvio-adrão dos erros de revisão relaivos ao mesmo eríodo e da demanda observada no eríodo anerior. L L ( σ σ ) Q = Dˆ Dˆ + z ˆ ˆ + D (8) L, L, 1 e, e, 1 1 D D Q L D z ( ˆ σ ˆ σ ) 1 1 L L = e, e, 1 ( 1 L L ) 1 ( ) 1 ( ˆ L L, ˆ σ σ, 1) Q = + D D + z (10) e e Pela definição do EC, segue-se que: (9) Var( Q) L L EC 1 = ρ Var ( D ) ( ) (11) No caso esecífico de não exisir correlação enre as demandas eríodo a eríodo, ou seja, quando ρ = 0: EC ( ) = Var Q 1+ L + L. (1) Var ( D ) Os modelos de Warburon (004) e de Fransoo & Wouers (000), na sequência, são aenas aresenados quano à sua forma final. A noação uilizada nesses modelos ambém enconrase disonível na Tabela 1. Fransoo & Wouers (000) quanificam a amlificação da variabilidade da demanda como sendo o quociene enre o coeficiene de variação da demanda gerada em um nível da Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de

8 esruura e o coeficiene de variação da demanda recebida or ese nível, ambos definidos no eríodo corresondene ao lead ime. ou in DL, DL, EC = θ θ (13) A exressão ode ser generalizada ara uma CA com k níveis, da seguine forma: ( ) ( ) ou ou ou in in in ou in 1, k = DL,,1 DL,, DLk,, DL,,1 DL,, DLk,, = DLk,, DL,,1 EC θ θ θ θ θ θ θ θ (14) No modelo de Warburon (004), o EC é deerminado ela razão enre a axa de edidos que são enviados or um deerminado nível da esruura e a axa de edidos que chegam a ese nível. A axa de edidos ainge o seu ico logo aós L eríodos; dese modo, ese é o momeno adequado ara comarar as axas: EC = L T (15) O ajuse emoral (T) que faz o esoque reornar ao seu valor desejado (esoque-alvo) ode ser obido calculando-se o quociene enre o dobro da defasagem emoral L (lead ime) e π (3, ). Iso significa que um EC em orno de 1,5 é raicamene ineviável, sob ena de se incorrer em frequenes ruuras de esoque. Ouras abordagens ara a quanificação do EC incluem os rabalhos de Chen & Disney (003) e Hosoda & Disney (004), os quais odem ser visos como desdobramenos não indeendenes dos modelos referidos nesa seção, não sendo aqui dealhados. Segue-se uma análise críica dos modelos aresenados nas eqs. (5), (1), (14) e (15), com base na sua caacidade de dimensionar lenamene o fenômeno esudado (EC), no grau de comlexidade de sua oeracionalização e no seu nível de recisão. Conforme ode ser consaado analisando a eq. (5), o modelo de Lee e al. (1997) é simles. Consruído a arir de um modelo auorregressivo de formação de demanda, incorora o faor de correlação da demanda no emo, o lead ime e a variabilidade da demanda de enrada. Na ráica, a idenificação desse faor de correlação é imrecisa, o que enfraquece o modelo. Além disso, não considera a variabilidade do lead ime e a naureza da demanda (quando o faor de correlação da demanda no emo é zero). Aresena, ainda, um erro de formulação referene ao faor de correlação, ois se ese for negaivo (caso de correlação negaiva róxima a 1) o EC ode resular negaivo. Dado que o EC é a razão enre duas variâncias, ese resulado seria incorreo, or definição. O modelo de Chen e al. (000) é um dos mais ciados na lieraura. Foi consruído a arir de um modelo auorregressivo que reresena o rocesso de formação da demanda. Analisando-se a eq. (1), orna-se evidene a imorância da escolha de um número adequado de eríodos ara o cálculo da média móvel a ser uilizada nas esimaivas da demanda, com visas à redução do EC. Ese modelo incorora o lead ime, mas não considera a sua variabilidade. A eq. (1) ermie um dimensionameno arcial do EC e ode, em muios casos, aenas considerar uma arcela equena de sua real inensidade. Nessas siuações, em que os efeios gerados ela variabilidade do lead ime não são conabilizados, ode ocorrer uma fore disorção do eso aribuído ao lead ime médio na amlificação da demanda e uma suervalorização do imaco que o número de eríodos (uilizados no cálculo da média móvel da demanda) exerce sobre a inensidade do fenômeno. O modelo de Fransoo & Wouers (000) aresenado na eq. (14) foi consruído direamene sobre a definição do EC. Seu ono osiivo é a incororação dos coeficienes de variação da 136 Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de 009

9 demanda de enrada e da demanda de saída, ara cada nível da esruura. O aseco negaivo reside no fao de que o modelo não mosra como são calculados o desvio-adrão e a média da demanda de saída, e não incorora a variabilidade do lead ime no cálculo do EC. A formulação final do modelo de Warburon (004), conforme aresenado na eq. (15), é basane simles, aesar da comlexidade de seu desenvolvimeno. O aseco osiivo consise na incororação, ao lead ime, de uma variável de ajuse emoral ara conrolar a axa de edido, o que é comaível com a naureza esocásica do EC. Sua fragilidade reside na linearização do fenômeno em relação ao lead ime e na desconsideração da variabilidade do lead ime e da naureza da demanda (aravés de seu coeficiene de variação). Observa-se que os rinciais modelos de quanificação do EC disoníveis na lieraura são insuficienes ara um dimensionameno mais reciso do EC. O rincial roblema deecado nesses modelos é a ausência de um ermo relaivo à variabilidade do lead ime de enrega de edidos. Oura deficiência imorane é a ausência de elemenos que caracerizem a demanda, al como o seu coeficiene de variação. Por sua consisência e reresenaividade, o modelo de Chen e al. (000) foi escolhido como ono de arida ara o desenvolvimeno da roosa aresenada na seção 3 dese arigo. 3. Modelo rooso Conforme aresenado na seção, o modelo de quanificação do EC desenvolvido or Chen e al. (000) rabalha com cenários com lead ime consane e, ao não incluir em sua formulação o coeficiene de variação da demanda, indica que ese fenômeno indeende dessa variável. Esas simlificações odem levar à quanificação arcial da inensidade do EC em esruuras muli-hierárquicas e, or isso, consiuem deficiências imoranes na modelagem do fenômeno esudado. A rincial conribuição do modelo aqui aresenado, caaz de surir as deficiências idenificadas, consise (i) em sua indeendência em relação ao rocesso de formação da demanda, (ii) na incororação da variabilidade do lead ime e (iii) na deerminação do imaco que o coeficiene de variação da demanda roduz sobre o EC, ao longo da CA. Tais medidas são dealhadas na sequência. Na reresenação da demanda, a maioria dos auores rabalha com modelos auorregressivos de rimeira ordem. Lee e al. (1997), Chen e al. (000) e Warburon (004) uilizam o mesmo modelo de formação da demanda aresenado na eq. (1). Rajaram & Robois (004) uilizam um modelo linear de rimeira ordem ara caurar a roagação da variabilidade da demanda. Os auores mosram que os resulados da alicação desse modelo odem ser uilizados ara rojear esruuras que conribuam ara reduzir a variabilidade da demanda ao longo da CA. De acordo com Kuncová (00), é ossível modelar o EC rabalhando com o ressuoso de que a demanda é uma variável aleaória que ode ser aroximada or uma disribuição normal, sem a necessidade de modelos reliminares que descrevam a sua formação. Nese arigo, rabalha-se com o ressuoso de que a demanda segue uma disribuição normal com média e desvio-adrão conhecidos, a exemlo de Kuncová (00) e de grande are dos comêndios sobre gesão de esoques, e mosra-se que, indeendenemene do seu rocesso de formação, é ossível desenvolver um modelo efeivo de quanificação do EC. Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de

10 A incororação da variabilidade do lead ime na quanificação do EC ermie a geração de modelos mais recisos, orém aumena consideravelmene a dificuldade de sua consrução. Os modelos que rabalham com lead ime consane, a exemlo daqueles aresenados na seção, são relaivamene simles e de fácil oeracionalização, orém ouco recisos. Tal incororação, além de qualificar a modelagem da quanificação do EC, facilia o enendimeno da dinâmica dese fenômeno. Um esudo realizado or Chafield e al. (004) uilizando simulação mosra que a variabilidade do lead ime ode aumenar o EC e, em deerminadas siuações, é o faor redominane na amlificação da demanda ao longo das CAs. Os auores, enreano, não formalizaram a inclusão desse faor na exressão que quanifica o EC. Os modelos aresenados na seção, em regra, não exliciam o imaco do coeficiene de variação da demanda sobre o EC, basicamene or não associarem esses dois elemenos maemaicamene. Enre os rinciais modelos, aenas Fransoo & Wouers (000) uilizam uma função que coném esa variável; sua inclusão decorre direamene da definição uilizada elos auores. A incororação do coeficiene de variação da demanda roosa nese rabalho é de oura naureza, ois se origina da derivação do modelo e não da definição reliminar do EC. Na formalização do novo modelo, considera-se uma CA em que, a cada eríodo, um varejisa avalia seu nível de esoque e envia um edido Q ara um fabricane, a exemlo do rabalho de Chen e al. (000). Aós o edido er sido encaminhado, o varejisa observa e aende (caso o esoque seja suficiene) a demanda D relaiva ao eríodo em curso. Evenuais demandas não aendidas ficam endenes. Considera-se a ocorrência de um lead ime variável L enre o momeno em que o edido é encaminhado elo varejisa e o momeno em que o edido é recebido or ele. Um edido colocado no fim do eríodo é recebido no início do eríodo + L. A Tabela raz a noação, sulemenar àquela aresenada na Tabela 1, uilizada no novo modelo. A Figura 4 aresena esquemaicamene o desenvolvimeno do modelo rooso. A demanda visa elo varejisa e o lead ime de enrega dos edidos são variáveis aleaórias, normalmene disribuídas, com média e desvio-adrão conhecidos ou esimáveis a arir de dados hisóricos; iso é D N ( µ D, σ D ) e L N ( µ L, σ L). A esimaiva da demanda em é calculada a arir de uma média móvel que uiliza os dados relaivos à demanda observada nos úlimos eríodos: D ˆ = D (16) i= 1 i De acordo com Mood e al. (1974,. 31), o valor eserado e o desvio-adrão de uma amosra de amanho n, exraída aleaoriamene de uma oulação com média µ e variância finia σ, são µ e σ n, resecivamene. Desa forma, a demanda esimada aravés da Dˆ N µ, σ. eq. (16) ode ser reresenada or uma disribuição normal, al que ( D D ) A esimaiva da demanda durane o lead ime é obida uilizando a média móvel referida na eq. (16) e o lead ime em, a arir do ressuoso que L e D ˆ uilizam a mesma unidade de emo. 138 Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de 009

11 ( i= 1 ) Dˆ = L Dˆ = L D (17) L, 1 A variância do roduo de duas variáveis aleaórias indeendenes, ais como demanda e lead ime, é exressa como uma soma de rês arcelas, de acordo com Mood e al. (1974,.180): (i) o roduo da variância da rimeira variável com o quadrado da média da segunda variável; (ii) o roduo da variância da segunda variável com o quadrado da média da rimeira variável; e (iii) o roduo das variâncias das duas variáveis. Segundo esses mesmos auores, o valor eserado do roduo de duas variáveis indeendenes é igual ao roduo das médias das variáveis. Com base nesas definições e nas suosições acima aresenadas, a esimaiva da demanda no lead ime ode ser reresenada or uma disribuição normal, com média e desvio-adrão assim exressos: ( µ µ σ µ σ µ σ ) Dˆ N, + ( )( + ). (18) L L D L D D L L Símbolo Tabela Noação sulemenar uilizada no desenvolvimeno do modelo rooso. µ D Média da demanda D, σ σ Variância e desvio-adrão da demanda D θ D Coeficiene de variação da demanda µ L Média do lead ime L, σ σ Variância e desvio-adrão do lead ime L D ˆ L Lead ime em Esimaiva da demanda em Descrição ˆDL σ, Esimaiva do desvio-adrão da demanda durane o lead ime, em EC k, Efeio chicoe em, observado no nível k O varejisa segue uma olíica order-u-o em que o esoque-alvo é calculado a arir da esimaiva da demanda durane o lead ime, do nível de segurança desejado e do desvioadrão da demanda esimada ara o lead ime: A = Dˆ + zσˆ (19) L DL com D ˆ L, L ( D i 1 i = ) = e ˆDL σ conforme definido na eq. (18). O edido é calculado em função do esoque-alvo e da demanda. Evenuais valores negaivos são assumidos como excesso de esoque que odem ser devolvidos sem cuso, de acordo com Kahn (1987), Lee e al. (1997) e Chen e al. (000). ( ˆ ˆ σ ) ( ˆ ˆ σ ) Q = A A + D = D + z D + z + D (0) 1 1 L, DL, L, 1 DL, 1 1 Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de

12 Figura 4 Desenvolvimeno do novo modelo de quanificação do EC. O cálculo do edido ode ser aresenado em função da diferença enre as esimaivas da demanda durane o lead ime (eríodos e 1), da consane vinculada ao nível de serviço desejado, da diferença enre as esimaivas do desvio-adrão da demanda esimada ara o lead ime (eríodos e 1) e da demanda observada no eríodo 1. ( ˆ ˆ ) ( ˆ σ ˆ σ ) Q = D D + z + D (1a) L, L, 1 DL, DL, 1 1 ( ) ( ) ( ˆ σ ˆ σ ) i= 1 i= 1 (1b) Q = L D L D + z + D i 1 i 1 DL, DL, 1 1 A Tabela 3 raz definições adicionais, a serem uilizadas nos desenvolvimenos que se seguem. ( i= i) ( i= 1 i ) E1 = L D 1 Tabela 3 Definições adicionais. () F z( ˆ σdl, ˆ σdl, 1) = (5) E = L 1 D 1 (3) G = D 1 (6) E = E1 E (4) Q = E+ F + G (7) Conforme Mood e al. (1974,. 178), ao calcular a variância de uma soma de variáveis aleaórias correlacionadas, deve-se somar as variâncias de cada uma das variáveis e adicionar, a ese suboal, o dobro das covariâncias relaivas a cada ar de variáveis. Porano, a variância do amanho dos edidos deve ser calculada da seguine forma: Var = Var + Var + Var + ( Cov + Cov + Cov ) (8) Q E F G EF EG FG Dado que E = E1 E, orna-se necessário calcular a variância desa diferença. Como as variáveis E 1 e E esão correlacionadas, de acordo com Mood e al. (1974,. 179), em-se: Var = Var + Var Cov, (9) E E1 E E1E 140 Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de 009

13 Var ( ) σ D E Var 1 E σ Lµ D µ L σl = = + +. (30) A covariância enre E 1 e E foi modelada maemaicamene a arir de um conjuno de simulações comuacionais, resumidas na Tabela 4. Essas simulações, assim como odas as demais aresenadas nese arigo, esão disoníveis no endereço h:// (arquivo EFEITO_CHICOTE.zi). As simulações foram desenvolvidas uilizando lanilhas de cálculo geradas em Excel (com add-in da Crysal Ball, disonível no endereço h://orals.crysalball.com/downloads). Trabalhouse com diversos cenários, combinando rês valores de coeficiene de variação da demanda (0,1; 1 e ), rês valores de coeficiene de variação do lead ime (0,1; 1 e ) e rês valores de (; 10 e 30). Para cada um dos 7 cenários, foram realizadas 5000 rodadas da roina de cálculo da covariância enre E 1 e E, conforme as eqs. () e (3). Uilizou-se, em cada rodada, uma série de 000 valores de demanda e lead ime, gerados aleaoriamene. A covariância enre E 1 e E foi deerminada como: Cov ( 1) E1E = σ D µ L O grau de convergência dos resulados (valores simulados e valores modelados) é esabelecido aravés do índice de convergência (IC), exresso como o quociene enre a covariância simulada e a covariância calculada a arir da eq. (31). O índice de convergência corrigido (IC cor ) é obido aravés do quociene de dois inervalos: (i) diferença absolua enre a covariância em =3 e a covariância em =000; e (ii) diferença absolua enre a covariância calculada aravés do modelo e a covariância em =3. Esa correção orna-se necessária quando o valor ara o qual a covariância converge é róximo de zero (Cenários 1, 10 e 19) e quando a diferença enre os valores da covariância em =3 e =000 é muio maior que seu valor final (em =000, nese caso), a exemlo dos Cenários 11 e 0. Para diferenes valores de enrada (valores inermediários, ou aé mesmo fora dos inervalos uilizados) a equação (31) roosa aresenou o mesmo desemenho observado na Tabela 4. Uilizando-se a eq. (31), é ossível deerminar a variância da diferença enre as esimaivas da demanda durane o lead ime: Var ( ) = + + σ ( 1) D E σ Lµ D µ L σl σ D µ L µ L σ Var L E = σ L µ D + σ D + (31) (3a) (3b) Na sequência, de acordo com a eq. (8), deve-se calcular a variância da diferença enre as esimaivas do desvio-adrão da demanda durane o lead ime, a variância da demanda em 1 e as covariâncias enre (i) E e F, (ii) E e G e (iii) F e G. A variância da diferença enre as esimaivas do desvio-adrão (em e 1) foi modelada maemaicamene a arir de uma série de simulações comuacionais. Trabalhou-se com diversos cenários, combinando quaro valores de coeficiene de variação da demanda (0,1; 0,5; 1 e ) e rês valores de z (1; e 3). Para cada um dos 1 cenários, foram realizadas Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de

14 1000 rodadas da roina de cálculo da variância, dada na eq. (5). Uilizou-se, em cada rodada, uma série de 000 valores de demanda gerados aleaoriamene. A excelene aroximação dos resulados obidos (iso é, enre os valores das simulações e os valores modelados), aresenada na Tabela 5, foi condição suficiene ara validar a exressão roosa na eq. (33). Tabela 4 Simulação comuacional da covariância enre E 1 e E. Cenário µ D σ D µ L σ L Cov E1E =3 Cov E1E =000 1 σ µ D L ,88 5 0,8115 0, ,9591 0, ,9980 0, ,9810 0, ,9934 0, ,9976 0, ,9910 0, ,9954 0, ,9961 0, , ,7033 0, , ,0376 0, ,990 0, ,9586 0, ,9878 0, ,9917 0, ,9751 0, ,989 0, ,9950 0, ,5 3-4,731 0, ,494 0, ,9690 0, , ,9535 0, ,9610 0, ,9891 0, ,9497 0, ,9688 0, ,983 0,985 Fone: elaborada elos auores IC IC cor 14 Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de 009

15 Tabela 5 Simulação comuacional da variância de F. Cenário µ DL σ DL z Var F =000 z ( 1) ˆ 3( + 1) σ DL Diferença ,03 0,03 0, ,14 0,13 0, ,31 0,30 0, ,88 0,83 0, ,64 3,3 0, ,0 7,49 0, ,57 3,3 0, ,76 13,31 0, ,51 9,96 0, ,97 13,31 0, ,46 53,5 0, ,98 119,8 1,16 Fone: elaborada elos auores Var F ( 1) = z 3( + 1) σ DL Reresenando o faor deendene do emo or: T = ( 1) 3( + 1) (33) (34) e uilizando a reresenação ara ( σ µ σ µ σ ) F L D D L L σ DL na eq. (18), em-se: Var = z T + ( )( + ). (35) Na sequência, calcula-se a variância de G, conforme a eq. (6): Var G D = σ (36) Obidas as variâncias de E, F e G [eqs. (3b), (35) e (36), resecivamene], calculam-se as covariâncias dessas variáveis. Conforme verificado or simulação, as covariâncias enre E e F e enre F e G convergem raidamene ara zero. A covariância enre E e G foi modelada maemaicamene a arir de um conjuno de simulações comuacionais, resumidas na Tabela 6. Trabalhou-se com diversos cenários, combinando rês valores de coeficiene de variação da demanda (0,1; 1 e ), rês valores de coeficiene de variação do lead ime (0,1; 1 e ) e rês valores de (; 10 e 30). Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de

16 Tabela 6 Simulação comuacional da covariância enre E e G. Cenário µ D σ D µ L σ L Cov EG = Cov EG =000 D σ µ L IC IC cor ,9851 0, ,0081 1, ,0001 1, ,0011 1, ,0014 1, ,0000 1, ,0003 1, ,9995 0, ,9998 0, ,5 10 1,0486 1, ,0649 1, ,0078 1, ,9867 0, ,0019 1, ,0009 1, ,993 0, ,007 1, ,0003 1, ,5 3, 3 0,9550 0, ,9755 0, ,9774 0, ,063 0, ,000 1, ,999 0, ,9861 0, ,9980 0, ,9993 0,9986 Fone: elaborada elos auores Para cada um dos 7 cenários, foram realizadas 5000 rodadas da roina de cálculo da covariância enre E e G, conforme as eqs. (4) e (6). Uilizou-se, em cada rodada, uma série de 000 valores aleaórios de demanda e lead ime. A exressão ajusada ara Cov EG é dada ela seguine equação: Cov EG σ Dµ L = (37) 144 Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de 009

17 A convergência dos resulados (valores obidos nas simulações e valores modelados) é esabelecida aravés do índice de convergência (IC), definido como o quociene enre a covariância simulada e a covariância calculada aravés da eq. (37). O índice de convergência corrigido (IC cor ) é obido aravés do quociene de dois inervalos: (i) diferença absolua enre a covariância em = e a covariância em =000; e (ii) diferença absolua enre a covariância calculada aravés do modelo e a covariância em =. Para diferenes valores de enrada (valores inermediários, ou aé mesmo fora dos inervalos uilizados) a equação (37) roosa aresenou o mesmo desemenho observado na Tabela 6. Subsiuindo as arcelas da eq. (8) elas resecivas exressões [eqs. (3b), (35), (36), (37)], em-se: µ L σl = Var Q σ L µ D σ D σ D σ Dµ L zt σ Lµ D + ( µ L + σl) + σ D (38a) Var Q σ Lµ D z Tσ Lµ D = + + σ µ σ σ σ µ L σ L σ D µ ( ) L D + + zt L + L + D + D σd σd VarQ = σ L µ D + z T µ D + z T + + µ L µ L µ L σ D zt Var Var = + + ( + z T ) + µ D µ DzT σd Q σσ 1 L D σd σd σd µ L µ L µ L σ D zt + + = + + ( + z T ) + 1 zt 1 Q σσ 1 L D θd θd µ L µ L µ L σ D zt µ L µ L µ L VarQ = σσ ( 1 ) 1 1 L D + + z T + σd z T θd Var µ L µ L µ LzT 1 1 Q = σ D σl + + θd ( z T ) (38b) (38c) (38d) (38e) (38f) (38g) Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de

18 Pela definição do EC ( EC = Var( Q) Var( D) ), segue que: EC µ L µ L µ LzT 1 1 = σ + 1+ ( z T ) L θd (39) Observa-se que o EC deende das seguines variáveis: (i) demanda, (ii) lead ime, (iii) número de eríodos uilizados no cálculo da média móvel da demanda, (iv) consane z, corresondene ao nível de serviço desejado, (v) quadrado do coeficiene de variação da demanda: θ D, (vi) variância do lead ime e (vii) emo (momeno da aferição). Considerando a exisência de k níveis na CA, a quanificação roosa ara o EC é a seguine: EC k k Var( Qk ) = = EC j k (40) Var( D ) j= 1 1 EC k µ Lj µ Lj µ Lj zt j 1 1 k = σ Lj + 1+ j j= 1 j j j θdj j ( z T ) k (41) O novo modelo, rooso nese arigo, ermie quanificar o EC de uma forma mais efeiva. Os modelos aresenados na seção anerior, or rabalharem com lead ime consane, dimensionam o EC de modo imreciso. Ao alicar o novo modelo à siuação simlificada de lead ime consane, em-se: EC L L L z T = (4) Simlificando ainda mais, iso é, considerando o valor de z igual a zero (caso em que não se uiliza esoque de segurança), o modelo adquire a forma roosa or Chen e al. (000), conforme reresenado na eq. (1). EC L L = (43) EC = L L (44) 4. Desemenho dos modelos Na avaliação de desemenho dos modelos são uilizados: (i) os resulados das simulações do EC [realizadas de acordo com o ressuoso de Kahn (1987), Lee e al. (1997) e Chen e al. (000), onde valores negaivos obidos no cálculo do amanho do edido são assumidos como excessos de esoque que odem ser devolvidos sem cuso]; (ii) os resulados obidos aravés da alicação do modelo de Chen e al. (000); e (iii) os resulados obidos aravés da alicação do modelo rooso nesa esquisa. Inicialmene, rabalhou-se na idenificação das variáveis (média e desvio-adrão da demanda e do lead ime e número de eríodos) e dos 146 Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de 009

19 arâmeros a serem uilizados nas simulações. Diversos cenários foram considerados, de acordo com as combinações obidas a arir dos valores da Tabela 7. Para cada um dos 43 cenários, foram realizadas 000 rodadas da roina de simulação e cálculo do EC. Uilizou-se, em cada rodada, uma série de 100 valores de demanda, gerados aleaoriamene. Os resulados obidos indicam que há exressivas diferenças de desemenho enre os dois modelos analisados. Tabela 7 Variáveis e valores uilizados nas simulações. µ D σ D µ L σ L O Gráfico 1 aresena: (i) valores obidos or simulação; (ii) valores do EC obidos aravés do modelo de Chen e al. (000); e (iii) valores do EC obidos aravés do modelo rooso nese arigo. Considera-se, ara fins de análise, um conjuno de 1 cenários (os 31 cenários resanes, aresenando as maiores diferenças, não foram uilizados or razões de ordem ráica, ara faciliar a visualização e a inerreação dos resulados). Observa-se que nos rimeiros 81 cenários (onde a variância do lead ime é zero) não há diferenças enre os valores do EC simulados e os valores calculados aravés de ambos os modelos. Enreano, quando a variância do lead ime é maior do que zero, observa-se que o modelo de Chen e al. (000) ende a subesimar o EC, ao asso que o modelo rooso consegue dimensioná-lo adequadamene. Essas diferenças, geradas rimariamene em função da não incororação da variância do lead ime [modelo de Chen e al. (000)], ornam-se maiores na medida em que a variância do lead ime aumena Simulação Modelo rooso Chen e al. (000) 50 EC Cenários Gráfico 1 Dimensionameno do EC simulação e modelos. Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de

20 O modelo de Chen e al. (000) comora-se bem em siuações onde o lead ime é consane. Quando o lead ime aresena variabilidade, o que ocorre na maior are das siuações reais, há um subdimensionameno do EC. Neses casos, os valores odem ser de a 50 vezes menores em relação aos valores de EC simulados, conforme o Gráfico. 1, Subdimensionameno do EC 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0, Cenários Gráfico Subdimensionameno do EC modelo de Chen e al. (000). Além disso, as simulações comrovam a imorância de considerar o coeficiene de variação da demanda na quanificação do EC. Quano menor for ese coeficiene, maior será o EC (em razão do aumeno do imaco da variabilidade do lead ime), conforme observa-se no Gráfico 3. Eses resulados esão lenamene de acordo com as relações exressas na eq. (39). 0 Efeio Chicoe ,00 0,0 0,40 0,60 0,80 1,00 1,0 Coefic. de variação da demanda Gráfico 3 Imaco do coeficiene de variação da demanda sobre o EC. 148 Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de 009

21 Para obenção do Gráfico 3 foram realizadas 000 rodadas da roina de simulação ara cada um dos cenários obidos a arir dos valores da Tabela 8. Em cada rodada, uilizou-se uma série de 100 valores de demanda, gerados aleaoriamene. Ouras combinações de valores de µ L, σ L e foram esadas e aresenaram resulados semelhanes. A incororação do coeficiene de variação da demanda à modelagem do EC conribui ara ornar mais reciso o dimensionameno dese fenômeno e, or esa razão, ode ser muio imorane ara orienar ações gerenciais voladas à sua minimização. Tabela 8 Valores uilizados na idenificação do imaco do θ D sobre o EC. µ D σ D µ L σ L 14 0, Conclusão A análise dos rinciais modelos disoníveis na lieraura aonou ara a exisência de rês lacunas imoranes no rocesso de quanificação do EC: (i) deendência do rocesso de formação da demanda (ii) desconsideração da variabilidade do lead ime de enrega de edidos; e (iii) ausência de elemenos caracerizadores da demanda (al como seu coeficiene de variação). Enre esas lacunas, a desconsideração da variabilidade do lead ime é a mais comromeedora, ois leva a quanificações imrecisas desse fenômeno. De acordo com o desenvolvimeno aresenado na seção 3, o modelo rooso: (i) indeende do rocesso de formação da demanda; (ii) incorora a variabilidade do lead ime, conforme exresso na sequência de equações de (18) a (40); e (iii) idenifica o grau de influência que o coeficiene de variação da demanda exerce sobre o EC, conforme aresenado na eq. (38e). A análise de desemenho da modelagem de Chen e al. (000) mosra a endência dese modelo no senido de subdimensionar o EC, are ela não incororação da variabilidade do lead ime e are ela desconsideração do ael que o coeficiene de variação da demanda ode desemenhar na inensificação do fenômeno (aumenando o imaco da variabilidade do lead ime sobre o EC). O modelo rooso nesa esquisa sure esas deficiências, resondendo adequadamene às diferenes combinações de valores das variáveis de enrada do sisema esudado. Os resulados obidos aravés da comaração enre modelos evidenciam a imorância das medidas roosas nese arigo, com visas a um dimensionameno mais reciso do EC. A inensidade e o comorameno esocásico e serial do EC só odem ser adequadamene modelados se a variabilidade do lead ime for incororada ao rocesso de modelagem. Raificando os resulados obidos or Chafield e al. (004), o modelo rooso nese arigo comrova que a variabilidade do lead ime ode aumenar o EC e, em deerminadas siuações, ode se consiuir no faor redominane na amlificação da demanda ao longo das CAs. Uma das consequências direas do uso de lead imes consanes nos modelos de quanificação do EC é o seu subdimensionameno (em alguns casos, menos de 5% do fenômeno é Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de

22 quanificado). Em razão da naureza dese fenômeno, as simlificações resenes nos modelos analisados geram disorções que, em função de sua magniude, não odem ser desrezadas. O resene esudo baseou-se no ressuoso de Kahn (1987), Lee e al. (1997) e Chen e al. (000), onde valores negaivos obidos no cálculo do amanho do edido são assumidos como excessos de esoque que odem ser devolvidos sem cuso. Tal suosição, aesar de aceia na lieraura, enconra limiado resaldo ráico. Desa forma, como exensão fuura das esquisas aqui aresenadas, roõe-se analisar o imaco, sobre a quanificação do EC, de diferenes olíicas de raameno de excessos de esoques. Noas Uma versão reliminar do arigo foi aresenada na 008 Inernaional Conference on Indusrial Engineering and Engineering Managemen (IEEM), em Cingaura, onde recebeu o Conference Bes Paer Award. A esquisa do Prof. Fogliao é financiada elo CNPq (PQ Processo /008-) e ela CAPES (PRO-ENG Processo /008-06). Referências Bibliográficas (1) Anderson Jr., E.G. & Fine, C.H. (003). Business cycles and roduciviy in caial equimen suly chains. In: Quaniaive models for suly chain managemen, 6. ed., Kluwer Academic Publishers, Boson, 885. () Carlsson, C. & Fullér, R. (000). A fuzzy aroach o he bullwhi effec. In: Cyberneics and Sysems 000, Proceedings of he Fifeenh Euroean Meeing on Cyberneics and Sysems Research, Vienna, Aril 5-8, (3) Carlsson, C. & Fullér, R. (001). Reducing he bullwhi effec by means of inelligen, sof comuing mehods. Proceedings of he 34 h Hawaii Inernaional Conference on Sysem Sciences, 10. (4) Chafield, D.C.; Kim, J.G.; Harrison, T.P. & Hayya, J.C. (004). The Bullwhi Effec Imac of Sochasic Lead Time, Informaion Qualiy, and Informaion Sharing: A Simulaion Sudy. Producion and Oeraions Managemen, 13(4), (5) Chen, F.; Drezner, Z.; Ryan, J.K. & Simchi-Levi, D. (000). Quanifying he Bullwhi Effec in a Simle Suly Chain: The Imac of Forecasing, Lead Times, and Informaion. Managemen Science, 46(3), (6) Chen, F.; Drezner, Z.; Ryan, J.K. & Simchi-Levi, D. (003). The Bullwhi Effec: managerial insighs on he imac of forecasing and informaion on variabiliy in a suly chain. In: Quaniaive models for suly chain managemen, 6. ed., Kluwer Academic Publishers, Boson, 885. (7) Chen, F.Y. & Disney, S.M. (003). The Order-u-o Policy Swee So Using Proorional Conrollers o Eliminae he Bullwhi Problem. EUROMA POMS Conference, Lago di Como, Iália, June, (8) Clark, A.J. & Scarf, H. (1960). Oimal Policies for a Muli-Echelon Invenory Problem. Managemen Science, 6(4), Pesquisa Oeracional, v.9, n.1, , Janeiro a Abril de 009

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