Resolução de Equações Algébricas por Radicais

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1 Resolução de Euações Algébricas por Radicais Gervasio G. Bastos Resumo Visão histórica do problema da resolução de euações algébricas, desde os antigos egípcios até Galois. A completação de uadrados e os artifícios de cálculo para resolver as euações cúbicas e uárticas. Discussão das euações com coeficientes reais. Comentários sobre a impossibilidade de resolução de euações com grau superior a uatro e o surgimento da teoria dos grupos. 1 Introdução Nesta exposição apresentamos os métodos clássicos para resolver as euações algébricas com grau n 4, em ue se procura determinar expressões para as raízes de um dado polinômio f(x) com grau n, em função de seus coeficientes, envolvendo somente as operações algébricas fundamentais e mais a extração de raízes uadradas, cúbicas, etc. A isso chamamos a resolução por radicais da euação f(x) =0. Para simplificar a uestão, mas sem perder a essência do método de solução, consideraremos somente euações com coeficientes reais. A euação uadrática, apesar de já manuseada no Antigo Egito cerca de l700 anos A. C., somente no século XII foi posta na forma como hoje conhecemos, graças à contribuição de Baskhara (matemático hindu) ue a escrevera em versos. As euações do terceiro e uarto graus tiveram suas fórmulas estabelecidas no século XVI pela escola italiana representada por S. del Ferro (1465?-156), N. Tartaglia (1500?-57), G. Cardano ( ) e L. Ferrari (15-65), entre outros. Deve-se a del Ferro a resolução da euação cúbica (ele manteve o seu método em segredo), mais tarde também resolvida independentemente por N. Tartaglia. Tudo isso se deu até 1545, ano em ue G. Cardano a publicou, com as devidas 1

2 referências a del Ferro e Tartaglia, em seu livro "Ars Magna", juntamente com a fórmula da euação uártica, esta última estabelecida "a seu pedido"por seu discípulo L. Ferrari. No final do século XVIII, o matemático italiano P. Ruffini deu uma prova (com algumas lacunas em sua argumentação) da impossibilidade de se resolver por radicais a euação do 5. o grau. A primeira prova convincente da impossibilidade de resolução da euação uíntica foi estabelecida, no início do século XIX, pelo matemático norueguês N. H. Abel (180-9). O trabalho de Abel foi completado pelo gênio francês E. Galois (1811-), ue caracterizou as euações f(x) =0, com grau arbitrário n, ue são solúveis por radicais, por meio de uma propriedade de certo grupo G f de permutações de suas raízes, atualmente denominado o grupo de Galois de f. Pode-se dizer ue exatamente aí nasce a teoria dos grupos. A partir desse resultado, conclui-se ue a euação geral de grau n 5 nãopodeserresolvidapor radicais. Uma boa referência em língua portuguesa para essa parte da história da matemática se encontra em [M]. Chamaremos euação algébrica de grau n à uma igualdade a 0 + a 1 x a n x n =0 (n) onde a i R (i =0, 1,..., n), a n 6=0. Procura-se determinar os números x, a incógnita, de modo ue a igualdade seja satisfeita. Como conseüência do teorema fundamental da álgebra, sabemos ue o polinômio f(t) = P n i=0 a it i R[t], degraun, fatora-se como f(t) =a n (t z 1 )...(z z n )( ) onde z 1,..., z n C (= corpo dos números complexos) não necesariamente distintos, univocamente determinados. Nesse sentido, dizemos ue toda euação algébrica de grau n tem exatamente n raízes complexas, podendo haver repetições, i. e. contando suas multiplicidades. As raízes, coeficientes, grau, etc. da euação(n) são, por definição, as raízes, coeficientes, grau, etc. do polinômio f. Desenvolvendo o segundo membro de ( ), e comparando os coeficientes de mesmo grau, obtêm-se as relações entre coeficientes e raízes de um polinômio: z z n = a n 1 /a n z 1 z z n 1 z n = a n /a n. P i 1 <i <...<i k z i1 z i...z ik =( 1) k ( a n k /a n ). z 1...z n =( 1) n a 0 /a n

3 Para encontrar as raízes de f(x) =0, podemos dividir todos os coeficientes de f por a n 6=0, e assim supor, sem perda de generalidade, ue a n =1. A Euação de. o Grau Para n =,temos a euação uadrátrica x + bx + c =0 () Para resolvê-la, basta completar o uadrado : x +(b/)+(b/) + µ c (b/) =0 x + b = c (b/) x+ b µ b 1/ = 4c x = 4 b ±,onde = b 4c é chamado o discriminante (). Define-se para r<0: r = i r, ondei é a unidade imaginária no corpo C dos números complexos. Obtém-se, assim, a conhecida fórmula de Baskhara x = b ± AEuaçãodo. o Grau O processo de completamento do cubo para a euação x + ax + bx + c =0apenas retira o seu coeficiente de. o grau. De fato, podemos escrever x +( a )x +( a ) x +( a ) +(b a a )x + c 7 =(x + a ) + p(x + a a )+ =0,ondep = b e = a 7 ab + c. Agora, basta resolver a euação reduzida x + px + =0 () cujas raízes x i fornecem as três raízes x i a/ da euação original completa. Para resolver (), usa-se um artifício de cálculo: x = u + v, com u 6= 0e v 6= 0, a determinar. Note-se ue podemos supor x 6= 0,i. e. 6= 0; caso contrário recaímos em uma euação uadrática. Assim, (u+v) +p(u+v)+ =0 u +v ++(uv+p)(u+v) =0. Obviamente, obtém-se uma raiz x = u+v, se pudermos resolver o sistema de euações em u e v: ½ u + v = (A) uv = p As soluções de (A) são necessariamente soluções (u, v) do seguinte sistema, o ual pode ser resolvido facilmente em u e v :

4 u + v = u v = p 7 (B) No entanto, (B) tem a desvantagem de introduzir soluções estranhas, já ue nem todos os u e v encontrados em (B) servem para (A). De fato, devemos reter apenas os valores de u e v (dados por raízes cúbicas) tais ue uv = p/. Pelas relações ( ),vemosueu e v são as raízes da euação y + y p =0, chamada a euaçãouadráticaresolvente 7 de (). Uma vez encontradas as raízes α, β C da resolvente, podemos tomar u = α 1/ e v = β 1/. Nota: Sabemos se z é uma das raízes cúbicas complexas de γ C, entãoastrêsraízescúbicasdeγ são z,wz e wz, ondew = e i(π/) = cos π/+i sen π/ = 1/+i / é uma raiz cúbica da unidade. Em (B) os possíveis valores para uv são p, wp ou p w. Devemos eliminar as soluções "estranhas"(u, v) tais ue uv 6= p. Pela fórmula pde Baskhara, aplicada à resolvente uadrática, obtemos u = / + /4+p /7 e v = / p /4+p /7. Temos, então nove soluções (u, v) para o sistema (B), ondeu e v re- respectivamente, uma das raízes cúbicas complexas de /+ ppresentam, /4+p /7 e / p /4+p /7. Escolhamos para u ualuer uma das raízes cúbicas complexas de /+ p /4+p /7, ue indicaremos por u = /+ p /4+p /7. Tomemos v = p u.então, v = p 7u = p 7( + p /4+p /7) p ( / p = /4+p /7) 7( + p /4+p /7)( p /4+p /7) = p ( / p /4+p /7) 7u v = / p /4+p /7 Logo, v éumadasraízescúbicascomplexasde / p /4+p /7 com uv = p, a ual denotaremos por v = / p /4+p /7. Obtemosentãoumaraizde() dada por 4

5 x = u + v = /+ p /4+p /7 + / p /4+p /7 Uma vez obtida essa raiz, x = u + v, observemos ue [x (u + v)][x (wu + wv)][x (wu + wv)] = [x (u + v)][x (wu + w v)][x (w u + wv)] = [x (u + v)][x (wu + w v + w u + wv)x +(u + w uv + wuv + v )] = [x (u + v)][x (u + v)(w + w )x + u uv + v ]= x [(u + v)+(u + v)( 1)]x + [(u+v) ( 1)+u uv+v ]x (u+v)(u uv+v )=x uv+(u +v )= x + px +. Logo,asraízesde() são dadas por x 1 = /+ p /4+p /7 + / p /4+p /7 x = w /+ p /4+p /7 + w / p /4+p /7 x = w /+ p /4+p /7 + w / p /4+p /7 onde os radicais /+ p /4+p /7 e / p /4+p /7 são escolhidos sob a condição uv = p/. Portanto, as raízes x de () se expressam pela chamada fórmula de Cardano: x = w k /+ p /4+p /7+w / k p /4+p /7, k=0, 1,. Example 1 x x +1=0. Temos p = 1 e =1. Portanto, temos x 1 = 1/+ p 1/4 1/7 + 1/ p 1/4 1/7 = 1/+ p / / p /108 x = w 1/+ p /108 + w 1/ p /108 x = w 1/+ p /108 + w 1/ p /108 onde w = 1 + i e os dois radicais podem ser tomados como os radicais cúbicos reais, pois ( 1/+ p /108)( 1/ p /108) = 1/ = p/. Example Tomemos agora um exemplo de euação com raízes prescritas: (x 5)(x+1)(x+4) = x 1x 0 = 0. Escolhendo inicialmente ualuer raiz cúbica u = p 10 + i 4, vimosueexisteumaúnicaraiz cúbica v = p 10 i 4 tal ue 5=u + v. Agora, tudo o ue podemos acrescentar é ue { 1, 4} = {wu+wv, wu+wv}. Poderíamos,éclaro, ter partido de 1 ou de 4. 5

6 Example Aeuaçãox x +=0 tem como raízes x 1 = 1+ 1= x = w 1+w 1=1 x = w 1+w 1=1..1 O Discriminante O discriminante da euação () é definido por δ =(x 1 x ) (x 1 x ) (x x ), onde x i C (i =1,, ) sãoasraízes da euação. Proposition 4 O discriminante da euação x + px + é dado, em termos dos seus coeficientes, por δ = 4p 7. Proof. Sabemos ue as raízes da euação são dadas por x 1 = u+v, x = wu + w v e x = w u + wv, ondeu (resp. v) éumadasraízescúbicas complexas de / + p /4+p /7 (resp. / p /4+p /7) e uv = p/. Logo, x 1 x =(1 w)u +(1 w )v =(1 w)(u w v) x 1 x =(1 w )u +(1 w)v =(1 w)( w u + v) x x =(w w )u +(w w)v = w(1 w)(u v) (x 1 x )(x 1 x )(x x )=w(1 w) w (v u )= (1 w) ( p /4+p /7). Por outro lado temos (1 w) 6 =[(1 w) ] =(1 w +w w ) = (i ) = 7. δ =[(x 1 x )(x 1 x )(x x )] = 7( +4p /7) = 4p 7. Como as raízes da euação do. o grau completa x +ax +bx+c =0 são obtidas subtraindo-se a/ das raízes x i da euação reduzida, então o discriminante é o mesmo ue o da euação reduzida. Fazendo as substituições p = b a / e = a /7 + c, obtemos δ = 4a c + a b +18abc 4b 7c. Do mesmo modo, podemos obter expressões para as raízes da euação completa em termos dos coeficientes a, b e c. Em termos do discriminante, as raízes da cúbica reduzida são: x 1 = /+ p δ/108 + / p δ/108 x = w /+ p δ/108 + w / p δ/108 x 1 = w /+ p δ/108 + w / p δ/108 6

7 onde os radicais cúbicos indicam raízes cúbicas tais ue ( /+ p δ/108)( / p δ/108) = p/,ew é a raiz cúbica da unidade dada por w = e πi/ =cosπ/+i sen π/ = 1/+i /.. Discussão da Euação do. o Grau Consideremos o polinômio f(x) =X + px + R[X], eaeuação cúbica f(x) =x + px + =0. Em primeiro lugar, observemos ue z C éraizdef(x) se e somente se z éraizdef(x). De fato, de x + px + =0,tiramos(x) + px + = x + px + = 0=0. 1. A euação tem uma raiz tripla se e somente se p = =0. Com efeito, se p = =0,éclarouex 1 = x = x =0. Reciprocamente, se x 1 = x = x = c, tem-sex + px + =(x c) = x cx + c x + c,paratodox C. Logo, c =0, i.e. p = =0.. A euação tem uma raiz dupla, x 1 = x 6= x δ =0e (p, ) 6= (0, 0). Aimplicação decorre imediatamente da definição do discriminante e de (1). Novamente por (1), se (p, ) 6= (0, 0), então temos, pelo menos, duas raízes distintas. Se, além disso, δ =0, teremos somente uma raiz dupla.. As três raízes são simples (i.e. não há raiz repetida) se e somente se δ 6= 0, como se vê a partir da definição do discriminante. 4. δ 0 se e somente se todas as raízes da euação são reais. A condição é obviamente necessária, pois o uadrado de ualuer número real é não negativo. Também é suficiente, pois se uma das raízes é imaginária, tem-se duas imaginárias conjugadas, digamos x 1 e x = x 1,etemosf(X) =(X x 1 )(X x 1 )(X x ). Comparando os termos constantes, obtemos x 1 x = R; logo, x = c R. Portanto, δ =[(x 1 x 1 )(x 1 c)(x 1 c)] = [=(x 1 )i x 1 c ] = r < Se δ<0, podemostomar x 1 = /+ p δ/108 + / p δ/108, ondeasraízes cúbicas são as reais, pois o produto delas é p/. Ademais,temos neste caso, duas raízes complexas não reais conjugadas. Pelas relações ( ), tem-se: = x 1 x 0 x Se δ > 0, tem-se três raízes reais distintas. Neste caso, tem-se 4p 7 > 0 eportantop<0. 7

8 Quando a euação do. o grau, com coeficientes racionais, f(x) =0 tem uma raiz x 1 Q, podemos escrever f(x) =(x x 1 )g(x). Portanto, as raízes dessa euação são x 1 e mais as raízes da euação uadrática g(x) =0, não havendo necessidade do uso da fórmula de Cardano. Caso contrário, f(x) =x + px + éumpolinômiocomcoeficentes racionais, irredutível sobre Q. Se = 4p 7 > 0, a euação f(x) =0tem três raízes reais (irracionais), x 1,x,x,distintas x 1 = /+i p δ/108 + / i p δ/108 x = w /+i p δ/108 + w / i p δ/108 x = w /+i p δ/108 + w / i p δ/108 Notemos ue não obstante serem reais, as raízes se expressam em termos de radicais cúbicos de números complexos não reais. Esta situação é conhecida como o casus irreducibilis, o ual na época de Cardano era envolto em mistério pois os números complexos não eram ainda bem definidos; por exemplo, os radicais uadráticos de números negativos eram chamados números imaginários. Hoje sabemos ue os dois radicais na expressão de x 1 são complexos conjugados. Example 5 x 4x 1=0.Temosp = 4, = 1, δ = 4 ( 4) 7 ( 1) =9> 0. Assim, a euação tem três raízes reais distintas, dadas pela fórmula de Cardano: x 1 = 1/+i p 9/ / i p 9/108 x = w 1/+i p 9/108 + w 1/ i p 9/108, x = w 1/+i p 9/108 +w 1/+i p 9/108. Usandoocomputador, encontramos essas raízes dadas numericamente: {[x = ], [x = ], [x = ]}; ográfico da curva y = x 4x 1 éouesevêabaixo. y x

9 4 Euação do 4. o Grau A euação completa x 4 + ax + bx + cx + d pode ser escrita na forma (x+a/4) 4 +p(x+a/4) +(x+a/4)+r, pelo processo de completamento da uarta potência. Assim basta considerar a euação do uarto grau reduzida x 4 + px + x + r =0 (4). Comonocasodaeuaçãocúbica, façamos x = u + v + z, comu 6= 0,v 6= 0,z 6= 0.Temos:x (u + v + z )=(uv + uz + vz) [x (u + v + z )] =4(uv + uz + vz) x 4 (u + v + z )x + (u + v + z ) = 4[u v + u z + v z +(u vz + uv z + uvz )] = 4(u v + u z + v z )+ 8uvz(u + v + z) x 4 (u + v + z )x 8(uvz)x +[(u + v + z ) 4(u v + u z + v z )] = 0. Assim, se (u, v, z) é uma solução do sistema: u + v + z = p/ uvz = /8,entãox = u + v + z éumaraizde u v + u z + v z =(p 4r)/16 (4). É mais fácil resolver o sistema seguinte u + v + z = p/ u v z = /64 em u,v,z. De fato, temos ue u v + u z + v z =(p 4r)/16 u,v e z são as raízes da cúbica y +(p/)y +[(p 4r)/16]y /64 = 0 chamada a cúbica resolvente de (4). Encontramos então números complexos u = α, v = β,z = γ. Escolhendo duas raízes uadradas u = α e v = β, determinamos z = /8uv. Como γ = z = /64u v = ( /8uv), temos ue z = /8uv é uma das raízes uadradas de γ. Assim, x = α + β + γ éumaraizde(4). Temos então as uatro raízes de (4), dadaspor: x 1 = α + β + γ x = α β γ x = α + β γ x 4 = α β + γ Example 6 Na euação x 4 +8x +4=0,temosp =0, =8e r =4. Logo, a cúbica resolvente é y (16/16)y 64/64 = y y 1=0,com δ = 4( 1) 7 ( 1) = < 0. Logo,u = 1/+ p / / p /108(radicais reais), v = w 1/+ p /108 + w 1/ p /108 z = w 1/+ p /108 + w 1/ p /108, ondew = 1/ + 9

10 i /. Para f(x) =x 4 + x +4,temosf 0 (x) =4x +1=0 x = p 1/4. Temos f( p 1/4) = ( p 1/4) 4 p 1/4 +4 = 4 4 =. 57 5, 16 f 00 (x) =1x eportantof 00 ( p 1/4) > 0. Assim, não há raiz real para a nossa r euação; todas raízes são complexas não reais, dadas por x 1 = 1/+ p / / p / /+ p /108 + w 1/ p / /+ p /108 + w 1/ p /108 r x = 1/+ p / / p /108 1/+ p /108 + w 1/ p /108 1/+ p /108 + w 1/ p /108 r x = 1/+ p / / p / /+ p /108 + w 1/ p /108 1/+ p /108 + w 1/ p /108 r x 4 = 1/+ p / / p /108 1/+ p /108 + w 1/ p / /+ p /108 + w 1/ p /108. Os três radicais uadráticos em cada raiz são tomados satisfazendo à condição: r 1/+ p / / p /108 1/+ p /108 + w 1/ p /108 1/+ p /108 + w 1/ p /108 = 1/8. Usando o computador, encontramos essas raízes numericamente: [x = i], [x = i], [x = i], [x = i]. 10

11 5 A Euação de Grau n 5 A insolubilidade da euação geral de grau n 5 é provada nos cursos de álgebra sobre a teoria dos corpos, podendo ser encontrada em [E, 9]. Parte deles é dedicada às extensões algébricas de corpos, culminando com o chamado teorema fundamental da teoria de Galois para uma extensão K L de certo tipo, determinando uma correspodência biunívoca entre os subcorpos intermediários K F L eossubgrupos do grupo G(L K) dos automorfismos de L sobre K. Resulta dessa teoria ue a euação f(x) =x n + t 1 x n t n =0pode ser resolvida por radicais se e somente se G f = G(L K) é um grupo solúvel, onde L é construídoapartirdopolinômiof. Prova-se ue esse grupo pode ser considerado como um subgrupo do grupo simétrico S n, das permutações das n raízes de f. Hojeemdia,ateoriadosgruposfazpartedoprograma do curso inicial de álgebra abstrata dos cursos de graduação em matemática. Um dos resultados importantes da teoria dos grupos é o ue mostra ue S n somente é solúvel se n 4 (veja.[b], cap.). Como a euação geral de grau n tem S n comoogrupog f, então conclui-se ue f(x) =0,paran 5 nãoadmiteumafórmulaparasuasraízescomoas dos casos n 4. 6 Referências [B] G. G. Bastos, Notas de Álgebra, Edições Livro Técnico, Fortaleza, 00 [E]O.Endler,Teoria dos Corpos, Monog. de Matemática N. o 44, IMPA, 1987 [M] C. P. Milies, BreveIntroduçãoàHistóriadaTeoriadosGrupos, Notas da XII Escola de Álgebra, Diamantina (MG), 199. Gervasio Gurgel Bastos UFC ggbastos@ufc.br 11