Minicurso. Rosali Brusamarello. Universidade Estadual de Maringá, Paraná, Brasil.

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1 I Colóuio Regional da Região Centro-Oeste, 3 a 6 de novembro de 009 Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Minicurso Euações Algébricas Rosali Brusamarello 1 Introdução É difícil precisar uando as euações algébricas surgiram na História da Matemática Um dos documentos matemáticos mais antigos é o Papiro de Ahmes (ou de Rhind) ue foi escrito pelos egípcios por volta de 1650 ac Neste papiro já aparecem resoluções de euações de primeiro grau Na mesma época os Babilônicos já sabiam resolver euações de segundo grau Desde então a busca por soluções para euações algébricas de graus maiores do ue dois passou a ser um desafio para muitos matemáticos Este desafio colaborou muito para o desenvolvimento da Álgebra e da Matemática como um todo Neste mini-curso iremos discutir as soluções de euações algébricas Iniciaremos com as euações de primeiro grau, ue eram resolvidas inicialmente pelo método da falsa posição, mas passaram a ser mais facilmente resolvidas usando os axiomas de Euclides Em seguida, trataremos das euações de grau dois, cuja solução da euação geral é bem conhecida como a Fórmula de Bhaskara, apesar de não ter sido ele uem a descobriu O momento mais empolgante desta história é a solução das euações de grau três e uatro, devido a uma grande disputa travada entre grandes matemáticos do século XVI dc Daremos detalhes de toda a polêmica histórica e também deduziremos as fórmulas obtidos por estes matemáticos Embora muitos acreditassem ue a solução de uma euação geral de grau cinco viria em seguida, foram necessários em torno de 300 anos para ue algo significativo fosse descoberto nesta direção Essa demora se deu porue as euações gerais de grau cinco não tem uma solução por meio de radicais, isto foi mostrado por Niels Abel em 183 Pouco depois, em 183, Évariste Galois mostrou ue euações gerais de grau maior ou igual a cinco não tem solução por meio de radicais O último tópico deste mini-curso será esta discussão sobre as euações de grau maior ou igual a cinco, porém, como são necessários muitos pré-reuisitos, não iremos demonstrar os resultados obtidos por Galois Universidade Estadual de Maringá, Paraná, Brasil brusama@uembr 1

2 Euações de Primeiro Grau A euação geral de primeiro grau é da forma ax + b = 0 com a 0, onde a, b são números conhecidos e x é a incógnita a ser descoberta Exemplos: (1) x + 6 = 10 () x + 4 = 8 (3) 1 3 x = 1 1 Método da Falsa Posição Como comentamos na introdução, os egípcios usavam o Método da Falsa Posição para resolver euações deste tipo O método consiste em chutar um valor para x e baseado no resultado obtido ir aproximando a solução usando proporções Por exemplo, vamos chutar ue a resposta do Exemplo (1) seja 5 Ao substituir na euação obtemos ue = 11 Logo erramos apenas por uma unidade a mais, assim a solução deve ser o antecessor do ue tomamos E realmente, se tomarmos o valor de x igual a 4, obtemos ue = 10, como desejado Contribuição de Euclides Por volta de 300 ac surgiu um gênio ue revolucionou o pensamento matemático Este matemático foi Euclides e sua principal obra (talvez a principal obra de Matemática em toda sua história) foi Elementos São na verdade 13 livros ue tratam principalmente de Geometria, mas ue também contribuíram muito para a Teoria de Números e ajudaram na busca de soluções para euações algébricas Nos Elementos de Euclides, além dos cinco postulados ue tratam de pontos, retas e círculos, são também colocados cinco noções comuns (ou a- xiomas) Apesar destas cinco noções comuns não serem muito citadas na bibliografia atual, elas tem uma importância muito grande na Matemática e contribuíram muito para a resolução de euações algébricas Estes axiomas são: 1) Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si ) Se iguais forem somados a iguais, os resultados serão iguais 3) Se iguais forem subtraídos a iguais, os resultados serão iguais 4) Coisas coincidentes são iguais entre si 5) O todo é maior do ue a parte Observe ue usando o axioma 3) podemos resolver a euação do Exemplo (1) facilmente, basta subtrairmos 6 nos dois membros da igualdade Assim, x = 10 6 e portanto x = 4 Para resolver as euações dos Exemplos () e (3) temos ue usar um outro axioma, ue não foi enunciado por Euclides, mas ue segue a mesma linha de raciocínio: 6) Se iguais forem multiplicados a iguais, os resultados serão iguais

3 Vamos então resolver o Exemplo (3) Primeiro vamos somar em ambos os membros da igualdade 1 3 x + = 1 +, ou seja, 1 3 x = 3 Em seguida, usando o axioma 6), vamos multiplicar por 3 os dois membros da igualdade 3 1 x = 33, e portanto, x = 9 3 Este procedimento para achar a solução de euações de primeiro grau é muito mais prático e eficiente, e é utilizado até nos dias de hoje 3 Euações de Segundo Grau A euação geral de grau é da forma ax + bx + c = 0, com a 0 Existe uma fórmula bem conhecida para resolver esta euação, ue é x = b ± b 4ac a Apesar desta fórmula levar o nome de Bhaskara aui no Brasil, na verdade ela foi encontrada por um matemático hindu chamado Sridhara, no século IX Vamos deduzir esta fórmula usando as técnicas já conhecidas pelos hindus, porém iremos utilizar simbologia moderna Perceba ue iremos usar com freuência os axiomas de Euclides Primeiramente, vamos multiplicar os dois membros da igualdade por 1/a (lembre ue a 0), e obteremos x + b a x + c a = 0 Subtraindo os dois membros por c a obtemos x + b a x = c a Queremos agora fazer o primeiro membro virar um uadrado perfeito Para tanto basta ue adicionemos b Para ue a igualdade se preserve temos ue somar esta 4a uantidade nos dois membros, ou seja, x + b a x + b 4a = c a + b 4a Este procedimento é conhecido, nos dias de hoje, como completar uadrados Assim, (x + b a ) = b 4ac 4a 3

4 Extraindo as raízes uadradas (x + b b 4ac a ) = ±, ou seja, 4a Subtraindo b a x + b a = ± b 4ac a em ambos os membros chegamos a fórmula x = b ± b 4ac a 31 Cálculo por Soma e Produto (SP) Uma maneira bem popular entre os estudantes para achar as soluções de uma euação de segundo grau é utilizando o fato ue as soluções x 1, x da euação ax + bx + c = 0 satisfazem { x 1 + x = b a x 1 x = c a Uma das maneiras de ver ue este cálculo funciona é somar e multiplicar as duas raízes dadas pela fórmula de Bhaskara, deixamos isto como exercício Exemplo: As soluções da euação x + x 5 = 0 satisfazem: { x 1 + x = 1 logo x 1 = e x = 3 x 1 x = 5, Quando as soluções não são inteiras, nem peuenas, este cálculo pode ser mais difícil e demorado Neste caso é melhor recorrer a fórmula de Bhaskara 4 Euações de Grau 3 A euação geral de grau 3 é da forma ax 3 + bx + cx + d = 0, com a 0 A descoberta de uma solução para estas euações ocorreu na Itália, no século XVI, e gerou uma disputa histórica entre alguns matemáticos italianos Tudo começou, por volta de 1510, com o matemático Scipione del Ferro, ue encontrou a solução para a euação cúbica x 3 + px + = 0 Sua descoberta não foi publicada, mas antes de sua morte ele a revelou a um de seus alunos, chamado Antonio Maria Fior Outro matemático bem conhecido dauela época era Nicolo Fontana (co- nhecido como Tartaglia) O apelido de Tartaglia, ue uer dizer gago, se deve a um problema de fala ue ele tinha por causa de uma profunda cicatriz na boca, resultado de uma infância sofrida e muito violenta 4

5 Querendo ganhar fama as custas de seu mestre, Antonio Maria Fior esco- lheu Tartaglia para um desafio matemático Fior planejava propor problemas ue envolvessem a resolução da euação cúbica, mas Tartaglia ficou sabendo disso e se empenhou na busca das soluções das mesmas Antes do desafio, Tartaglia já sabia resolver as euações do tipo ue Fior sabia e também sabia resolver euações do tipo x 3 + px + = 0, das uais Fior não tinha a solução Durante o desafio, Fior não conseguiu resolver os problemas propostos por Tartaglia e este resolveu todos os propostos por Fior Neste primeiro episódio, venceu o melhor e mais correto Um segundo episódio ocorreu envolvendo novamente Tartaglia e um outro matemático italiano, chamado Girolamo Cardano Este na época estava escrevendo um livro e sabendo da descoberta de Tartaglia pediu a ele a permissão para publicar a solução da euação cúbica em seu livro Tartaglia não concordou, pois ueria ele mesmo publicar seus resultados Cardano insistiu muito para ue ele revelasse a solução, alegando ue só estava curioso e ue não a publicaria mais Diante disso Tartaglia revelou sua solução a Cardano Quebrando sua promessa, em 1545, Cardano publicou os resultados de Tartaglia na sua obra Ars Magna Ele atribuiu os resultados a Tartaglia, mas também comentou ue os mesmos tinham sido obtidos independentemente trinta anos antes por Scipione del Ferro A fórmula publicada leva hoje o nome de fórmula de Cardano, ou seja, neste episódio a justiça não foi feita Vamos agora deduzir a fórmula obtida por Tartaglia Primeiro vale observar ue podemos reduzir a euação geral ax 3 + bx + cx + d = 0 a uma euação do tipo x 3 + px + = 0, ou seja, Tartaglia realmente achou uma solução geral De fato, fazendo x = y b na euação geral, obtemos 3a ay 3 + (b 3a b 3a )y + ( b 3a b b3 + c)y + ( 3a 7a + b3 9a cb + d) = 0 3a Observe ue o termo de segundo grau se anula e obtemos uma euação em y do tipo y 3 + py + = 0 Uma vez encontrado y obtemos x ue é y b 3a Para deduzir a fórmula, começamos supondo ue y = u + v, logo (u + v) 3 = u 3 + 3u v + 3uv + v 3 e substituindo na euação y 3 + py + = 0 obtemos u 3 + v 3 + (3uv + p)(u + v) + = 0 Vamos tentar determinar u e v de modo ue 3uv + p = 0 e u 3 + v 3 + = 0 Então u 3 + v 3 = e u 3 v 3 = p3 7 e isto significa ue u 3 e v 3 são raízes da euação de segundo grau w + w p3 7 = 0 5

6 Resolvendo esta euação pela fórmula de Bhaskara obtemos u 3 = p3 7 e v 3 = 4 + p3 7 e extraindo as raízes cúbicas de u 3 e v 3 obtemos uma fórmula para y = u + v y = p p3 7 Esta fórmula nos fornece uma solução y 1 para a euação y 3 + py + = 0 Dividindo o polinômio y 3 + py + por y y 1 obteremos uma euação de segundo grau da ual sabemos achar as soluções Exemplo: x 3 6x 9 = 0 Fazendo p = 6 e = 9 na fórmula acima obtemos x = 3 9 ( 9) + + ( 6)3 4 7 = = = = + 1 = ( 9) 4 + ( 6)3 7 Dividindo agora o polinômio x 3 6x 9 por x 3 obtemos o polinômio x +3x+3 As raízes deste polinômio são x = 3 ± 3i Portanto nossa euação admite apenas uma solução real e duas complexas 41 Chute Inteligente Você deve estar pensando ue esta fórmula da euação cúbica é muito difícil de aplicar e ue prefere ir chutando valores até achar uma solução Isto não é uma má idéia, mas se você não tem a menor idéia por onde começar, isto pode levá-lo a cálculos sem fim Mas uando a euação tem todos os coeficientes inteiros, existe uma maneira de fazer um chute inteligente, ue a maioria dos alunos aprendem na escola Este caminho é indicado pela seguinte proposição Proposição 41 Seja a n x n + a n 1 x n a 1 x + a o = 0 uma euação com todos os coeficientes inteiros, a n 0 e a o 0 Se um número racional p (p e primos entre si) é solução da euação, então p divide a o e divide a n Dem: Se p é solução da euação, então p n a n + a p n 1 n n a p n a o = 0 6

7 Multiplicando ambos os membros da igualdade por n obtemos a n p n + a n 1 p n a 1 p n 1 + a o n = 0 (1) Dividindo por p 0 e subtraindo aon p em ambos os membros da igualdade temos a n p n 1 + a n 1 p n + + a 1 n 1 = a o n Como o primeiro membro da igualdade é inteiro, devemos ter ue aon é inteiro e, p como p não divide, p deve dividir a o Analogamente, dividindo a euação (1) por 0 e subtraindo anpn em ambos os termos da igualdade temos: a n 1 p n 1 + a n p n + + a 1 n p a o n 1 = a np n Novamente os dois membros da igualdade são inteiros e como não divide p devemos ter ue divide a n Observe ue se a n = 1, então os únicos racionais ue podem ser solução da euação são os inteiros divisores do termo independente Como a maioria das euações ue aparecem em livros textos do Ensino Médio e até do Ensino Superior são bem simples, esta dica ajuda bastante 4 Números Complexos Muitos acreditam ue os números complexos surgiram para resolver euações de grau, mas isto não é verdade Nos tempos de Bhaskara, se sua fórmula fornecesse uma raiz uadrada de número negativo, eles simplesmente diziam ue a euação não tinha solução (coisa ue ainda ensinamos para os alunos do Ensino Fundamental) Oue não estava errado, pois eles não conheciam os números complexos (assim como nossos aluninhos) Porém, as raízes uadradas de números negativos voltaram a aparecer na fórmula de Cardano Este mesmo, em seu livro, observou ue a fórmula obtida por Tartaglia aplicada a euação x 3 15x 4 = 0 fornecia a solução x = Mas neste caso a euação claramente tinha solução real Note ue x = 4 é solução, basta usar o chute inteligente Os matemáticos da época chegaram diante de um impasse muito grande, pois não sabiam como manipular a expressão dada pela fórmula de Cardano de forma a obter x = 4 Por volta de 1560, Raphael Bombelli descobriu ue ( ± 1) 3 = ± 11 p e assim obteve ue x = ( + 1) + ( 1) = 4 7

8 Bombelli manipulava as expressões do tipo a + b 1 como se fossem números e criou a regra ( 1)( 1) = 1 Ele já estava usando as regras de soma e produto de números complexos Porém ele próprio afirmou ue tudo não passava de uma idéia louca e sem sentido Mal sabia ele ue tinha dado o primeiro passo para a criação dos números complexos Estes números só foram completamente aceitos no meio matemático em 1831, com uma publicação de Gauss 43 Relações entre Soluções e Coeficientes (Fórmulas de Viète) O cálculo por soma e produto das soluções de uma euação de grau dois, usa uma relação entre as soluções e os coeficientes da euação Este tipo de relação existe para euações de ualuer grau Quem estabeleceu estas relações, para o caso em ue as soluções eram positivas, foi François Viète( ) Mas foi Albert Girard, em 169, uem mostrou o caso geral Para facilitar nossas contas, vamos considerar apenas euações do tipo x n + a n 1 x n a 1 x + a o = 0, ou seja, euações ue tem o coeficiente do termo lider igual a 1, mesmo porue, a euação geral pode ser reduzida a uma deste tipo Recordemos ue as soluções x 1 e x da euação x + ax + b = 0 devem satisfazer as relações x 1 + x = a e x 1 x = b Tais relações também existem para as euações de grau três Se x 1, x e x 3 são soluções da euação x 3 + ax + bx + c = 0, então x 1 + x + x 3 = a, x 1 x + x 1 x 3 + x x 3 = b e x 1 x x 3 = c De fato, se então x 3 + ax + bx + c = (x x 1 )(x x )(x x 3 ), x 3 + ax + bx + c = x 3 (x 1 + x + x 3 )x + (x 1 x + x 1 x 3 + x x 3 )x x 1 x x 3 Basta comparar os coeficientes e chegamos nas relações dadas acima Mais geralmente temos ue se x 1, x,, x n são soluções da euação x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0 = 0, então x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0 = (x x 1 )(x x ) (x x n ) Desenvolvendo o produto do segundo membro e comparando os coeficientes obtemos ue a n 1 = x 1 x x n a n = x 1 x + x 1 x x x x n 1 x n = 1 i<j n x ix j a n d = ( 1) d 1 i 1 <i < <i d n x i 1 x i x id a 0 = ( 1) n x 1 x x n 8

9 Estas relações são conhecidas nos dias de hoje como as Fórmulas de Viète A menos do caso das euações de grau, estas fórmulas não nos auxiliam muito para achar as soluções das euações algébricas Mas foi justamente estudando relações como estas ue, mais tarde, Galois iria provar ue euações de grau maior ou igual a cinco não tem solução por meio de radicais 5 Euações de Grau 4 Novo desafio, nova descoberta Desta vez foi o matemático italiano Zuanne de Tonini da Coi uem, em 1540, desafiou Cardano a resolver o seguinte problema: Dividir 10 em três partes iguais numa proporção contínua de forma ue o produto das duas primeira seja 6 A solução deste problema era euivalente a solução da seguinte euação x 4 + 6x 60x + 36 = 0 Cardano propôs este problema a seu secretário Ludovico Ferrari( ), ue encontrou a solução do problema e criou um método para resolver euações de grau 4 dauele tipo Esta descoberta também foi publicada por Cardano na Ars Magna, logo após à solução das euações cúbicas Antes de explicar o método obtido por Ferrari, vale observar ue a euação geral de grau 4 ax 4 + bx 3 + cx + dx + e = 0, a 0 pode ser reduzida a uma euação do tipo y 4 + py + y + r = 0 fazendo x = y b Logo o método de Ferrari resolve ualuer euação de grau 4 4a Ferrari não chegou a uma fórmula explicita, mas obteve um método ue só utiliza as operações elementares e radicais O primeiro passo é tentar obter um uadrado perfeito do lado direito da igualdade, reagrupando os termos e somando e subtraindo uantidades, uando necessários Assim obtemos y 4 + py + p = py y r + p, ou seja, (y + p) = py y + p r () O segundo passo consiste em somar em ambos os membros da igualdade termos envolvendo uma nova variável u de modo ue o primeiro membro se mantenha um uadrado perfeito A euação se torna (y + p + u) = (p + u)y y + (p r + pu + u ) (3) Note ue adicionamos (y + p)u + u em ambos os membros da euação (), ue era oue faltava para ue o primeiro membro virasse o uadrado perfeito desejado O terceiro passo é escolher u conveniente para ue o segundo membro da igualdade (3) também se torne um uadrado perfeito Para isso precisamos ue o discriminante da euação de segundo grau ue aparece do lado direito seja zero Assim 4(p + u)(p r + pu + u ) = 0 9

10 A euação na variável u obtida no terceiro passo é uma cúbica e pode ser resolvida pela fórmula de Cardano Este seria o uarto passo do método Para o uinto passo devemos retornar a euação (3) e substituir o valor obtido para u, assim obtemos um uadrado perfeito também do lado direito da igualdade Basta agora extrair as raizes uadradas em ambos os membros Como resultado teremos uma euação de grau dois ue podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara 6 Euações de Grau Maior ou Igual a Cinco Um vez resolvidas as euações de grau menor do ue cinco, era natural ue todos ficassem curiosos uanto a solução das euações de grau cinco e maior Por volta de 1770, Joseph Louis Lagrange unificou os diferentes truues usados para resolver euações relacionando-os com a teoria de grupos de permutações Os resultados de Lagrange não ajudavam a resolver as euações de grau cinco, mas já indicavam ue tal solução poderia ser impossível Lagrange não chegou a nenhum resultado conclusivo nesta área, mas mudou o rumo das investigações ue vinham sendo feitas Foi Paolo Ruffini uem, em 1799, afirmou ue a euação geral de grau cinco não poderia ser resolvida apenas com as operações elementares e ra- dicais Ele tinha uma demonstração, mas a mesma apresentava erros Em 183, Niels Henrik Abel( ) provou o resultado de Ruffini, usando algumas das idéias do último Alguns autores creditam este resultado aos dois matemáticos, mas mais comumente o resultado é creditado apenas a Abel Abel teve uma vida curta, muitas dificuldades econômicas e saúde precária Desacreditado pelos maiores matemáticos da sua época teve muita dificuldade para ter seus resultados publicados, a maioria só foi publicada depois de sua morte Em 1811, nasceu na França o matemático ue iria dar uma resposta final sobre a uestão da solubilidade por radicais de euações algébricas, seu nome era Évariste Galois Ele desenvolveu uma teoria ue, não apenas provou ue era impossível resolver por meio de radicais as euações gerais de graus maiores ou iguais a cinco, mas contribuiu em muitas outras áreas da Álgebra Podemos citar como exemplo, a teoria de grupos Galois também trabalhou com a idéia de permutar as soluções da euação a ser analisada Ele considerou o conjunto de todas as euações polinomiais com coeficientes racionais ue eram satisfeitas pelas soluções da euação inicial Depois percebeu ue ao permutar as soluções, algumas destas permutações continuavam satisfazendo as euações do conjunto Estas permutações especiais formavam um conjunto muito interessante, ue tinha estrutura de grupo(embora ele não tenha usado este nome) Galois percebeu ue as características deste grupo poderiam determinar se a euação tomada inicialmente era solúvel por radicais ou não Hoje sabemos ue este grupo é o grupo de Galois e ue este grupo tem ue ser solúvel para ue a euação seja solúvel por radicais Quem formalizou a teoria de grupos foi Arthur Cayley( ) Galois também teve uma vida breve, morreu aos vinte anos de idade num duelo Ele era muito engajado politicamente, mas para seu desgosto não foi por causa dos seus ideais políticos ue morreu, e sim por causa de uma mulher O parágrafo anterior dá apenas uma idéia da Teoria de Galois Esta teoria, como é estudada hoje, tem uma roupagem bem diferente e exige muitos pré-reuisitos 10

11 Devido a isto, finalizamos este texto apenas recomendando ue todos façam um curso de Teoria de Galois, pois apenas em um curso completo esta teoria pode ficar bem compreendida Referências [1] Gilberto G Garbi, O Romance das Euações Algébricas Editora Livraria da Física, a edição, São Paulo, 007 [] Carlos A Knudsen, A teoria das euações algébricas, Revista do Professor de Matemática 7, Sociedade Brasileira de Matemática, São Paulo, 1985 [3] IStewart, Galois Theory, 3 a edição, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, London, New York, Washington,