INSTITTO DE MATEMÁTICA DA FBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA A LISTA DE CÁLCLO IV SEMESTRE 00. (Função vetoril de um vriável, curv em R n. Integrl dupl e plicções) ) Determine um função vetoril F: I R R tl que o trço de F sej: ) prábol y = x +. b) elipse (x-) /4 + (y+) /9 = c) crdióide de equção polr r = (-cosθ). ) Determine um função vetoril F: I R R tl que o trço de F sej: ) elipse x + y = x + y + z = 4 + + = 4 x + z = 0. b) circunferênci x y z ) Escrev s equções d ret tngente e do plno norml à curv dd por: ) r(t) = ( e t, e -t, t ), no ponto ( e, e -, ). b) F(t) = ( t -, t +, t ), no ponto onde tl curv intercept o plno x-y-z+7 = 0. 4) m prtícul move-se no espço com equção R = ( cos(t), sen(t), t/). ) Represente órbit d prtícul. b) Clcule os vetores velocidde e celerção d prtícul no início do movimento. c) Mostre que os vetores velocidde e celerção têm comprimentos constntes. d) Mostre que velocidde e celerção fzem um ângulo constnte com eixo Oz em qulquer instnte t. 5) Sej F(t) o vetor posição de um prtícul que se desloc sobre um esfer de centro n origem e rio r. Mostre que o vetor velocidde é ortogonl o vetor posição F(t) em cd instnte. 6) Dd um curv prmetrizd R= P(t) e um ponto fixo Q, demonstre que se s distâncis P(t)-Q tingem um mínimo pr t o então P(t o )-Q é ortogonl P'(t o ). 7) ) Obtenh um curv prmetrizd X(t) tl que X(0) = (,0,), X'(0) = (,,5) e X''(t) = (e t,t,), pr todo t. b) Encontre equção do movimento de um projétil disprdo d origem com um ângulo de 60 o com horizontl e velocidde esclr inicil de 800 m/s. Considerndo que únic forç tundo no projétil é grvidde, ρ f = ( 0, -mg ) = m ρ, e que é lnçdo d origem no instnte t = 0, determine o vetor posição R d prtícul e mostre que trjetóri está sobre um prábol (pg. 740 - Munem) (Encontre equção do movimento no cso mis gerl, considerndo um ângulo θ com horizontl e velocidde esclr inicil v o ).. 8) Enrol-se um pedço de rme em form de um hélice circulr uniforme (F(t) = ( cos(t), sen(t), bt) ) com cm de rio e 0cm de ltur. Determine o comprimento do rme se ele contém 6 volts complets. 9) Determine o comprimento de rco ds curvs: ) F(t) = ( cos(t), ln cos(t), sen(t) ), entre os pontos correspondentes t = 0 e t = π/4. b) F(t) = ( cos(t), 4cos(t), 5sen(t) ), entre os pontos correspondentes t = 0 e t =. c) y = cosh(x/) (ctenári), entre os pontos correspondentes x = 0 e x = 8. d) F(t) = ( r.(t-sen(t), r.(-cos(t) ) ( ciclóide), entre os pontos correspondentes t = 0 e t = π.
0) Reprmetrize pelo comprimento do rco curv ) F(t) = ( cos(t), sen(t), t ), t R. b) F(t) = ( +e t, e t, +e t ), t [ 0, ]. ) Sej R = F(t) equção do movimento de um prtícul com velocidde não nul. Mostre que norm do vetor velocidde é constnte se, somente se, celerção é ortogonl à velocidde. ) Dê exemplo, cso exist, de um equção de movimento de um prtícul tl que: ) O módulo d velocidde sej constnte ms velocidde não sej constnte. (justifique). b) A trjetóri estej sobre um ret ms velocidde d prtícul não sej constnte (justifique). ) Considere curv prmetrizd F, dus vezes diferenciável, e mudnç de prâmetro t = g(r) = senh(r). Pode-se firmr que (Fog) (r) = F (t).cosh(r) F (t).senh(r)? 4) Determine equção dos plnos osculdor, norml e retificnte à curv dd por ) α(t) = ( t, t, t ), pr t =. b) F(t) = ( t -, t +, t ), no ponto onde tl curv intercept o plno x-y-z+7=0. 5) ) Determine o ângulo de interseção entre s curvs ( e t, e t, -e -t ) e ( t, cos(πt), sen(πt) ) no ponto (,,0). b) Verifique que curv F(t) = (t, t -4t) se uto-intercept. Determine ângulo entre s tngentes est curv no ponto de uto-interseção. 6) Determine os vetores unitários T (tngente), N (norml), B (binorml), curvtur k ds curvs prmetrizds: ) P(t) = ( cos(t), sen(t), bt) ) (hélice); b) P(t) = ( t -, t +7, t +t ). 7) ) Mostre que se R = F(t) é equção do movimento de um prtícul com celerção nul ( F (t) = O ρ ) então o movimento é retilíneo. b) Sej F(s) um curv prmetrizd pelo comprimento de rco. Mostre que o trço de F está sobre um ret se e somente se k(s) = 0, s D(F), sendo k(s) curvtur. 8) Dê interpretção geométric ds integris: π/ 4 cos( θ) ) rdrdθ π/ 4 0 x y, c) +, = {(x,y) R x y /- x,- y }. b) [ ( + )] 4 9) Clcule s seguintes integris dupls: ) x + y 4., onde é região limitd pelo lço d rosáce r = cos(θ) que está no o e no 4 o qudrntes. Dê interpretção geométric., onde é região limitd pel circunferênci C : x +y = 4. b) x + y c) xy x y 5, onde é região limitd pel circunferênci C : (x-) +(y-b) = 4, 0 ou b 0. d) +, onde é região limitd pel elipse E: (x /4) + (y /9) =. 4 9
, onde é região limitd pel elipse E : 7x +7y -xy=4. Sbe-se que g(u,v) = e) y ( u- v, u+ v) lev elipse E : (u /4) + (v /) = n elipse E. 0) Considere o prbolóide z = - x - y + 4. Clcule os volumes V e V, onde V é o sólido limitdo pelo prbolóide e pelo plno z = 0 e V é o sólido limitdo pelo prbolóide e pelos plnos x =, x=-, y=, y=-, z=0 ) tilizndo integrl dupl, clcule os volumes dos seguintes sólidos: ) limitdo pelos plnos x+y+z=4 e z = 0 e pelo cilindro x +y =. b) limitdo pelo prbolóide z = x +y, pelo plno z=0 e pelo cilindro (x-) +y =. (*) c) limitdo pel esfer x +y +z = 4 e pelo cilindro (prte intern) x +(y-) =, cim do plno z=0. (Piskunov,vol.) (**) d) limitdo pelo prbolóide z = x +y `(prte intern) e pel esfer x +y +z =. e) limitdo pelo prbolóide z = x +y e pelo plno z = x+. f) limitdo pelo prbolóide z = x +y e pelo plno z = 4y+. (*), (**) Nestes csos, pode-se fzer um trnslção e utilizr coordends polres ou utilizr pens coordends polres observndo que, no plno, (x-) + y = corresponde r = cosθ e x +(y-) = corresponde r =.senθ. x y ) m vsilh tem form d superfície z = +. 8 8 Qul o volume de águ que cbe n vsilh pr ltur correspondente 8 uniddes de comprimento? ) tilizndo integrl dupl, clcule s áres ds seguintes regiões plns, limitds pels curvs: ) y = x, y=x. b) x / + y /b =. c) r = cos(θ). d) r = cosθ, r = 4cosθ. 4) Considere um lâmin que ocup o qudrdo Q com vértices (0,0), (,0), (,), (0,) e que tem densidde em P(x,y) igul o produto ds distâncis de P os eixos coordendos. Determine mss e s coordends do centro de mss d lâmin. (Simmons, vol. ) 5) Determine mss de um plc redond de rio R se densidde δ do mteril em cd ponto P é proporcionl à distânci do ponto P o centro d plc. (Piskunov, vol.) 6) Determine s coordends do centróide ds seguintes regiões plns. ) limitd pels curvs y = x e y = x. b) limitd pelo triângulo isósceles com vértice n origem, eixo Ox como suporte d medin d bse e ltur igul h.
4 7) se o teorem de Pppus pr clculr: O volume do sólido obtido pel rotção d região {(x,y) R / x + 4y = }, em torno d ret l: x + y =, sbendo que o centróide é origem. 8) Determine o momento de inérci ds seguintes regiões plns, com densidde constnte σ o, ) limitd pels curvs x = y e ret x =, em relção à ret y =. b) disco de rio, em relção um ret que contém um diâmetro. 9) Clcule o momento de inérci d plc pln com formto do disco de centro (,) e rio igul, em relção à ret y=-x, sbendo que densidde é σ (x, y) =. x + y )) F:R R / F(t) = (t,t +) )c) F:R R /F(θ) = ((-cosθ)cosθ,(-cosθ)senθ) b) F:R R / F(t) = ( cost,sent, - cost) (ou,f:[0,π] R ) b) Em F(): ret tngente: X = (0,,)+ λ(,,), λ R plno norml: x+y+z-=0 Resposts )b) F:R R / F(t) = (cost +,sent-) (ou, F:[0,π] R ) )) F:R R / F(t) = (cost,sent,4-cost-sent) (ou,f:[0,π] R ) )ret tng. X = (e,e -, )+λ(e,-e -, ),λ R pl. norml: e x-e - y+ z-6-e 6 +e -6 em F(): ret tngente: X = (,5,6)+ λ(4,4,),λ R plno norml: 4x+4y+z-50=0 4) b) R (0) = (0,,/), R (0) = (-4,0,0) 4)c) R (t) = 7 /, t, R (t) = 4, t 4)d) (R (t),(0,0,)) = rccos( 7 /7), t (R (t),(0,0,)) = π/, t 7)) (t+e t, t+t /6, +5t+t /), t R 7)b) R = (400t, -gt / + 400 t) prábol: y = g x + x gerl: R = ((v o cosθ)t, -gt / + (v o senθ)t) 0000 8) 4 8π + 5 9)) ln(+ ) 0)) Sendo s R, = cte: ~ s + s + s + F( s ) = cos, sen, 4) ) pl. norml: x+y+z-5=0 pl. osculdor: -y+z=0 pl. retificnte: 4x-y-z-=0 Em F(): pl. norml: 4x+4y+z-50=0 pl. osculdor: x-y+=0 pl. retificnte: x+y-8z+4=0 6)) T=(-sent,cost,b)/ N = -(cost,sent,0) 9b) 0 9)c) senh4 9)d) 8r 0)b) ~ ( ) s F s = s + + s,, +, s [0, (e-)] 4b) Em F(): pl. norml: x+y+z-=0 pl. osculdor: -x+y-=0 pl. retificnte: -x-y+4z-6=0 5)) rccos + π 6 + 4π 6)b) T(t,t,+t)/ t + 4t + N = (+t,+t,-4t)/ 4t + 8t + 5b) rccos(/5)
5 B = ( b sen t, b cos t, ) k = B =,, 0 k = / t + 4t + 8)) áre de um pétl d rosáce r = cos(θ) 8)c) volume do sólido limitdo pelo prbolóide z = x y + e pelos plnos: z=0, x=, y=, x=-, y=- 9 8)b) volume do sólido limitdo pelo prbolóide z = x y + e pelos plnos: z=, x=, y=, x=-, 9 y=- ou, volume do sólido limitdo pelo prbolóide x y z = 4, y = -, e z = 0. e pelos plnos x =, x = -, y = 9)) 6/9 9)b) 6π/ 9)c) 4πb 9)d) π 9)e) 0 0) V = 8π V = 40/ )) π )b) π/ )d) π(8-7)/6 )e) π )f) 4 π )) / )b) πb )c) )d)π 4) 4 /4, (/, /) 5) kπ R / 6)) (9/0, 9/0) 6)b) ( (/)h / 0 ) 7) π / 8) ) 8σ o /5 8) b) σ o π 4 /4