MÉODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 2- Resolução de Sistemas Não-lieares. 2.- Método de Newto. 2.2- Método da Iteração. 2.3- Método do Gradiete.
2- Sistemas Não Lieares de Equações Cosidere um sistema ão liear de equações com icógitas. f(, 2,, ) = 0 f f (,,, ) f 2 2 = 0 ou com 2 e 2 f() = 0 f = = f(,,, ) = 2 0 f Note que como caso particular podemos ter um sistema liear de equações algébricas: f(, 2,, ) = a + a22 + a b = 0 f2(, 2,, ) = a2+ a222+ a2 b2= 0 f,, ) = a a + a b = 0 ( 2, + 2 2 ou A b = 0
2.2- Método da Iteração Cosidere um sistema ão liear de equações com icógitas como o seguite: = ϕ(, 2,, ) ϕ ϕ (,,, ) ϕ 2 = 2 2 ou com 2 e 2 = φ() φ = = ( ) = ϕ(, 2,, ) ϕ ode as fuções ϕ, ϕ, 2, ϕ são reais, defiidas e cotíuas * uma vizihaça Ω de uma solução isolada deste sistema. Podemos tetar resolver este problema com o Método da 0 * Iteração escolhedo uma aproimação iicial. + = φ( ) (2) Se este processo iterativo coverge, etão + ξ = lim lim = lim φ( ) = φ(lim ) = φξ ( ) * Ou seja, ξ é uma raiz do sistema (). Se é a úica raiz deste
2.2- Método da Iteração * sistema em Ω, etão ξ =. O Método da Iteração pode ser aplicado também a sistemas de equações a forma: f(, 2,, ) = 0 f f (,,, ) f 2 2 = 0 ou com 2 e 2 f() = 0 f = = ( 3) f(,,, ) = 2 0 f ode f() é uma fução vetor defiida e cotíua uma * vizihaça Ω de uma raiz isolada deste sistema. Etre as varias maeiras de trasformar o sistema (3) o () destacamos a seguite. Reescreva o sistema (3) a forma = +Λf() ode Λ é uma matriz ão sigular. Defiido φ( )= +Λf() segue que = φ( ) e podemos aplicar o método da iteração. Se a fução f e sua primeira derivada é cotíua em Ω segue φ '( ) = E+Λf '() e pode ser provado que o processo iterativo
2.2- Método da Iteração coverge rapidamete se a orma de φ '( ) é pequea. Logo é coveiete escolher a matriz Λ tal que φ '( 0 ) = E+Λ f '( 0 ) = 0 0 e se a matriz f() ' é ão sigular segue que 0 0 0 Λ= [ f() ' ] φ( ) = [ f() ' ] f() = [ f() ' ] f() Aplicado o método da iteração a este sistema segue + = [ f '( 0 )] f( ) ( 4) Note que (4) coicide com o Método de Newto Modificado 0 para o sistema (3), já que [ ' ] 0 f() = W() (Jacobiaa). Ou seja, + = W( 0 ) f( ) ( 4') 0 0 Se a matriz f() ' é sigular ( det( f() ' ) = 0 ), etão deve ser escolhida uma aproimação iicial diferete de 0.
2.2.- Covergêcia do Método da Iteração eorema: Seja um sistema ão liear de equações = φ( ) com fuções φ( ) e φ '( ) cotiuas em Ω tais que em Ω se verifica a desigualdade φ '( ) q < ( q é uma costate). Se todas as I aproimações sucessivas + = φ( ) pertecem a Ω, etão este processo iterativo coverge e seu limite é uma solução do sistema = φ( ) em Ω. Ou seja, * * lim = = φ( ). Aqui as ormas são φ '( ) = ma φ '( ) e φ '( ) = ma Ω Corolário: O Método da Iteração coverge se j= ϕ ( ) i j q < i =,, quado Ω. I m m i ϕ ( ) Estimativa de erro a aproimação para o Método da Iteração: * q q ( ) m q 0 = m q φ 0 0 0 já que = φ( ) m j= i j
2.3 Método do Gradiete (Descida mais Ígreme) Cosidere um sistema ão liear de equações com icógitas. f(, 2,, ) = 0 f f (,,, ) f 2 2 = 0 ou com 2 e 2 f() = 0 f = = ( 3) f(,,, ) = 2 0 f e supoha que as f i são reais e cotiuamete difereciavel o domíio de defiição comum. Costrua a seguite fução U( ) = [ fi ( )] 2 = ( f(), f() ). i= Note que cada solução do sistema (3) aula a fução U ( ) e vice-versa, cada que aula U ( ) é solução do sistema (3). Supoha que (3) tem somete uma solução isolada que correspode ao poto de míimo absoluto de U ( ). Logo o problema se reduze a ecotrar o míimo desta fução.
2.3 Método do Gradiete (Descida mais Ígreme) Seja * a raiz de (3) e 0 a aproimação iicial. Costrua uma superfície de ível para U ( ) em 0. Se 0 está suficietemete * perto de esta superfície de ível U( ) = U( 0 ) deve se assemelhar a um elipsóide. Parta de 0 a direção da ormal da superfície U( ) = U( 0 ) até tocar alguma outras superfície de ível tal que U( ) = U( ) < U( 0 ). Parta de a direção da ormal da superfície U( ) = U( ) até tocar alguma outras superfície de ível tal que U( ) = U( 2 ) < U( ). A repetição deste processo os leva ao poto de meor valor de U ( ), que correspode à raiz do sistema (3).
2.3 Método do Gradiete (Descida mais Ígreme) Lembrado que o gradiete da fução U ( ) tem a direção da ormal da superfície de ível em cada poto. U U U ( ) = 2 U Logo + = λ U( ) ( = 0,, ). Resta determiar λ para cada passo. Para isto cosidere a fução que descreve a + variação cotíua da superfície de ível etre o poto e. Φ ( λ) = U( λ U( ))
2.3 Método do Gradiete (Descida mais Ígreme) O parâmetro λ = λ deve ser escolhido para que Φ( λ) teha um míimo. Ou seja, 2 [ fi( λ U( ))] Φ( λ) U( λ U( )) i= = 0= = ( 5) λ λ λ Em geral, esta equação deve ser resolvida por métodos uméricos. Aqui apresetamos um método para determiar de forma aproimada o parâmetro λ. Para isto supoha que λ é pequeo e que potecias deste parâmetro podem ser desprezadas se comparada com a parte liear. Logo epadido as fuções f i em potecias de λ e retedo apeas o termo liear segue fi fi( ( λ)) = fi( λ U( )) fi ( (0)) + λ = λ f i λ = 0 fi ( ) fi ( ) ( ) + λ = fi ( ) λ U ( ) λ
2.3 Método do Gradiete (Descida mais Ígreme) Note que a equação aterior deve ser etedido por fi( ) fi( ) fi( ) fi( ) = (um vetor) 2 2 fi ( ) Logo Φ ( λ) = f ( ) ( ) e i λ U i= Φ( λ) fi( ) fi( ) = 0 = 2 fi ( ) λ U( ) U( ) λ i= ou λ = i= f i i= fi ( ) ( ) U( ) fi ( ) U ( ) 2
2.3 Método do Gradiete (Descida mais Ígreme) Como U( ) = [ f ( )] segue que i 2 i= U fi ( ) f f f fi ( ) 2 i = f( ) U fi ( ) f f f fi ( ) U ( ) 2 i= = = = f2( ) 2 2 2 2 2 2 2 U fi ( ) f f f fi ( ) 2 i= f ( ) f [ W() ] f f 2 f 2 f 2 f 2 ode W() = 2 é a Jacobiaa da fução vetor f f f 2 f() f()
2.3 Método do Gradiete (Descida mais Ígreme) Logo U ( ) = 2[ W( )] f( ) e i = i= f i f i ( ) ( ) U ( ) = [ f( )] W( ) 2[ W( )] f( ) fi ( ) 2 U ( ) = 2W( )[ W( )] f( ) 2W( )[ W( )] f( ) Portato [ f( )] W( )[ W( )] f( ) λ = 2 [ ] W( ) W( ) f( ) W( )[ W( )] f( ) + = μ [ W( )] f( ) ode μ = 2λ ( 6) μ Note que o parâmetro deve ser calculado para cada passo.
2.3 Método do Gradiete (Descida mais Ígreme) Resumido o método, já que [ W( )] f( ) = [ f( )] W( ) + = μ [ W( )] f( ) [ f( )] W( )[ W( )] f( ) μ = [ ] W( ) W( ) f( ) W( )[ W( )] f( ) + [ ] [ ] [ ] W( ) f( ) W( ) f( ) = W( ) f( ) [ ] W( ) W( ) f( ) W( )[ W( )] f( ) Observe que para otimizar o tempo de computo é coveiete para cada passo fazer os cálculos a seguite ordem: - Calcule f( ), W( ) ou [ W( )] 2- Calcule [ W( )] f( ) e termie as outras operações
2..3- Eemplo 2 pag. 462 do Demidovich Use o Método da Iteração e do Gradiete para ecotrar a solução aproimada positiva 2 2 2 + y + z = 2 2 do sistema de equações: 2 + y 4z = 0 2 2 3 4y+ z = 0 começado com a aproimação iicial 0 = y0 = z0 = 05.. Visualização gráfica do problema a próima tela.
2..3- Eemplo 2 pag. 462 do Demidovich Visualização gráfica do problema
Frase do Dia... the progress of physics will to a large etet deped o the progress of oliear mathematics, of method to solve oliear equatios... ad therefore we ca lear by comparig differet oliear problems. Werer Heiseberg