Mecânic dos Sólidos I List de Exercícios I Exercício Um corpo tringulr, como mostrdo n figur, sofre um deslocmento definido por: u = y 5 e y () Configurção Deformd. A B C C Pr = cm e =. cm, pede -se: (b) Determine Geometricmente o novo comprimento AC e o novo ngulo φ u y ( ) AC d ( ) 5 AC φ( ) tn ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) (c) Com bse nos vlores geométricos clculdos, determine ρ pr fibr AC ρ g ( ) AC d ( ) AC = AC ρ g ( )
(d) Determine s componentes de E em relção o sistem xyz. E Grdu GrduT Grdu T Grdu = E 5 5 T 5 T 5 E (e)clcule nliticmente, isto é, trvés do conhecimento de E, medid de deformção ρ pr fibr AC.. e CA e CB ρ Ee CA e CA = ρ ρ (f)como você clcul o novo ângulo φ e o novo comprimento AC, prtir do conhecimento de E. E e CA e CB AC d ρ AC φ d cos E e CA e CB ρ
Geometri Deformções Finits AC(novo) φ (novo) ρ AC(novo) φ (novo) ρ 5.49 75.87.3843 5.49 75.87.3843..45 89.84.83E-3.45 89.84.83E-3 Exercício Repit o exercício, considerndo hipótese de pequens deformções, ou sej, Pr = cm e =. cm, pede -se: () Clcule s componentes de ε, em relção o sistem xyz. ε Grdu GrduT = ε 5 5 T ε (b)clcule nliticmente, isto é, trvés do conhecimento de e, deformção e n, sendo n um vetor unitário n direção do ldo AC n e CA ε n ε n n ε n ε n
(c)como você clcul o novo ângulo φ e o novo comprimento AC, prtir do conhecimento de ε. AC pd ( ) ( ε n ( ) ) AC AC pd ( ) π φ = ε nt t ε nt ( ) ε nt ( ) φ( ) π (d)compre os resultdos com os do exercício e comente. Deformções Finits Deformções Infinitesimis AC(novo) φ (novo) ρ AC(novo) φ (novo) ρ =ε n 5.49 75.87.3843 4.4 73.79.8843..45 89.84.83.44 89.84.88E-3 Comentários: Pr = o resultdo é discrepnte pois não podemos ssumir hipótese de deformções infinitesimis. Pr =. hipótese de deformções infinitesimis pode ser ssumid e, portnto, os resultdos com teori liner constituem um bo proximção. Exercício 3 N plc mostrd n figur, mediu-se s sequintes deformções: ε =. 5 AB ε = AC ε =. 5 BC Sbendo-se ser este um estdo de deformção uniforme em tod plc, determine s componentes do tensor de deformção ε, em relção o sistem xyz. µ 6 ε AB 5µ ε AC ε BC 5µ
ε y ε AC ε y = ε x ε y ε AB = ε x ε y ε BC = ε xy ε xy ou ε x ε AB ε BC ε x = 4 3 µ ε AB ε BC ε xy ε xy = 5 µ Não há ddos suficentes pr clculr s demis defomções. Se considerrmos estdo plno de deformções, tods s outrs são nuls.
MECÂNICA DO SÓLIDOS I LISTA DE EXERCÍCIOS II TEMA: CINEMÁTICA E DEFORMACÕES () Um qudrdo PQRS é pintdo em um membrn de elástic, como mostr figur. A bord CD d membrn é deslocd pr posição C'D'. Clcule s distorções dos ângulos ( QPS e PSR) e s deformções lineres dos ldos PS e PQ do qudrdo. Considere. DD'/AD = x -3. P Q S R 45º C D C' D' ε x 3 ε y ε xy ε x ε y ε PS ε PS = 5 4 ε PQ ε PS ε PQ = 5 4 ε x ε y ε QPS sin π γ QPS ε QPS γ QPS = 3 ε x ε y ε PSR sin π γ PSR ε PSR γ PSR = 3
()A plc mostrd n figur direit, sofre os seguintes deslocmentos: sendo u x e u y os deslocmentos ns direções x e y, respectivmente. Pede-se: 3 3 ux = x [ y( x )] m uy = x [ y( x)] m 4 () Esquemtizr configurção deformd. (b) As componentes de deformção no plno xy. (c) As leiturs indicds nos extensômetros,, 3, 4, 5 ( 45º de x) e 6 (ortogonl 5). (d) As componentes principis de deformção no ponto E e direção em que ocorrem. (e) A distorção máxim no ponto E e direção em que ocorre. m.5 m y x 5 6 45º E 3 5m m ()Configurção deformd (b) Componentes de deformção u x ( xy,, ) y( x ) u y ( xy,, ) x( y ) ε x ( xy,, ) y ε y ( xy,, ) x ε xy ( xy,, ) ( x y)
(c)leitur no extensômetros Será considerdo nestes cálculos Extensômetro : ε y (,.5, ) = Extensômetro : ε x (.5,, ) = Extensômetro 3: ε y (,.5, ) = Extensômetro 4: ε x (.5,, ) = ε xc ε x (.5,.5, ) ε xc =.5 ε yc ε y (.5,.5, ) ε yc =.5 ε xyc ε xy (.5,.5, ) ε xyc =.5 Extensômetro 5: ε xc ε yc ε 5 ε xc ε yc cos π ε xyc sin π ε 5 = Extensômetro 6: ε xc ε yc ε 6 ε xc ε yc cos π ε xyc sin π ε 6 = (d)direções principis no centro d plc c ε xc ε yc r ε xc ε yc ε xyc c =.5 r =.5 ε p mx c r c r ε p min c r c r ε p = ε p = Observe que s direções principis coincidem com s direções dos extensômetros 5 e 6
Circulo de Mohr.73 ε p ε p.37 γ( θ)...5.8.37.73 εθ (e)direções de distorção máxim no centro d plc As direções que sofrem s miores distorções são s que estão sempre /- 45 o d direções principis, logo são s própris direções x e y, sendo o vlor d distorção máxim igul o rio do círculo de Mohr, ou sej: γ r γ = (f)alongmento ds digonis Digonl AC AC AB BC = AC ε x ( xy,, ) y ε y ( xy,, ) x ε xy ( xy,, ) ( x y) Pr θ=-45 ε x ( xy,, ) ε y ( xy,, ) ε xac ( xy,, ) ( ε x ( xy,, ) ε y ( xy,, ) ) π cos ε xy ( xy,, ) sin ε xac ( xy,, ) = Logo digonl AC permnece do mesmo tmnho.
Digonl BD BD = CD BC BD ε x ( xy,, ) y ε y ( xy,, ) x ε xy ( xy,, ) ( x y) Pr θ=45 ε x ( xy,, ) ε y ( xy,, ) ε x ( xy,, ) ε y ( xy,, ) ε xbd ( xy,, ) cos π ε xy ( xy,, ) sin π ε x ε y ( ε x ε y ) ε xbd ( xy,, ) cos π = ε xy sin π ε xbd ( xy,, ) x y x BD = x cos π ysin π 4 4 y BD = xsin π xcos π 4 4 x BD = x y y BD = Ao longo de BD x=y ou sej x BD = x x BD ε xbd x BD, Logo: BD BD ε xbd ( x BD, ) dx BD simplify
(3) Pr cd um ds configurções de extensômetros presentds n figur bixo, temos n tbel diverss leiturs ( em microns) nos extensômetros, e 3 Pr cd um ds configurções complete o qudro bixo pr cd um ds leiturs dds leiturs (medids em microns) Extensômetro A B C D E -3 5-5 35 - -5 3 5 - - -9 Configurção d esquerd ε xx = ε ε yy = ε 3 ε ε 3 ε = ε ε 3 cos π ε 4 xy sin π 4 ε xy ε = ε 3 ε Pr cd um ds leiturs Leitur A ε leiturs, ε leiturs, ε 3 leiturs, ε = ε = ε 3 = 5 ε xx ε ε yy ε 3 ε xy ε ε 3 ε γ xy ε xy
c ε xx ε yy r ε xy c r c r 8 ε mx ε c r min θ c r x tn π Circulo de Mohr γ xy ε xx = ε xx ε yy ε yy = 5 γ( θ) yx γ xy = 5 ε = 54.57 θ x 9 εθ, x ε = 95.943 γ mx r γ mx = 79.57 θ dx 45 θ dx 45 Leitur B ε leiturs ε, = 3 ε leiturs ε, = 5 ε 3 leiturs ε, 3 = ε xx ε ε yy ε 3 ε xy ε ε 3 ε γ xy ε xy c ε xx ε yy r ε xy c r c r 8 ε mx ε c r min θ c r x tn π γ xy
Circulo de Mohr ε xx = 3 ε xx ε yy ε yy = γ( θ) γ xy = 4 θ x = 9.33 yx ε = 7.56 ε = 37.56 θ x 8.8 γ mx r γ mx = 3.56 εθ, x θ dx θ x 45 θ dx θ x 45 θ dx = 5.8 θ dx = 35.8 Leitur C ε leiturs, ε leiturs, ε 3 leiturs, ε = ε = 35 ε 3 = ε xx ε ε yy ε 3 ε xy ε ε 3 ε γ xy ε xy c ε xx ε yy r ε xy ε mx c r c r ε min c r c r 8 θ x tn π γ xy
Circulo de Mohr ε xx = ε yy = ε yy ε xx γ xy = 6 θ x = 3.77 γ( θ) yx ε = 385.4 ε = 85.4 θ x 53 γ mx r γ mx = 335.4 εθ, x θ dx θ x 45 θ dx θ x 45 θ dx = 98 θ dx = 8 Leitur D ε leiturs 3, ε leiturs 3, ε 3 leiturs 3, ε = 5 ε = ε 3 = ε xx ε ε yy ε 3 ε xy ε ε 3 ε γ xy ε xy c ε xx ε yy r ε xy ε mx c r c r ε min c r c r 8 θ x tn π γ xy
Circulo de Mohr ε xx = 5 ε yy = ε yy ε xx γ xy = 55 θ x = 8.764 γ( θ) ε = 4.96 θ x 3.7 yx ε = 5.96 εθ, x γ mx r θ dx θ x 45 θ dx θ x 45 γ mx = 35.96 θ dx = 3.3 θ dx = 76.7 Leitur E ε leiturs 4, ε leiturs 4, ε 3 leiturs 4, ε = ε = 5 ε 3 = 9 ε xx ε ε yy ε 3 ε xy ε ε 3 ε ε xx ε yy c γ xy r ε xy ε xy ε mx c r c r ε min c r c r 8 θ x tn π γ xy
Circulo de Mohr 5 ε xx = ε yy = 9 γ( θ) yx ε yy ε xx 5 γ xy = 7 ε = 3.57 θ x =.593 θ x 5. ε = 3.5 5 γ mx r γ mx = 53.57 εθ, x θ dx θ x 45 θ dx θ x 45 θ dx = 7. θ dx = 9.9 Configurção d Direit ε yy = ε ε xx ε ε = ε xx ε cos π ε 6 xy sin π 6 ε xx ε ε 3 = ε xx ε cos π ε 6 xy sin π 6 ε ε 3 = 3 ε xx ε ε 3 = ε xy 3 ε ε xx = 3 ε 3 ε 3 ε xy = 3 ε ε 3 3 3 ε Pr cd um ds leiturs Leitur ε leiturs, ε leiturs, ε 3 leiturs, ε = ε = ε 3 = 5
ε xx 3 ε 3 ε 3 3 ε ε yy ε ε xy 3 ε ε 3 3 γ xy ε xy c ε xx ε yy r ε xy c r c r 8 ε mx ε c r min θ c r x tn π γ xy Circulo de Mohr γ( θ) yx 9.84 59.9 59.9 9.84 ε xx ε yy 67.99 5.66 83.33 4. 98.68 εθ, x ε xx = 66.667 ε yy = γ xy = 73.5 ε = 7.55 ε = 95.4 γ mx r θ dx 45 θ x γ mx = 88.9 θ dx 45 Demis leiturs seguem d mesm form...