Apostila de Método dos Elementos de Contorno

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA Apostl e Métoo os Elementos e Contorno por Lcs Mámo Alves CURITIBA PARANÁ - JULHO - 6

LUCAS MÁXIMO ALVES Apostl e Métoos os Elementos e Contorno Prof. Dr. Lz Alkmn Lcer e José Antono Mrqes Crrer CURITIBA PARANÁ - JULHO 6

LUCAS MÁXIMO ALVES Apostl e Métoo os Elementos e Contorno Trblho Apresento como reqsto pr obtenção e not prcl Dscpln e Métoos os Elementos e Contorno o crso e Dotoro o Progrm e Pós-Grção em Métoos Nmércos o Setor e Tecnolog/Setor e Cêncs Ets, Deprtmento e Engenhr Cvl/Deprtmento e Mtemátc Unverse Feerl o Prná Prof. Dr. Lz Alkmn Lcer e José Antono Mrqes Crrer CURITIBA PARANÁ - JULHO - 6

ÌNDICE Apresentção...8 Cpítlo I...9 INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXIMADOS...9. Obetvos o cpítlo...9. Introção 9. Smplfcção e m Problem Rel.... 4 Eqções Dferencs.... 5 Dscretzção o Problem.... 6 Escolh o Métoo Apromo pr solção o problem....6. - Vntgens o Métoo os Elementos e Contorno...4.6. - Desvntgens o Métoo os Elementos e Contorno...4 Cpítlo II...5 CONCEITOS FUNDAMENTAIS...5. - Obetvos o cpítlo...5. Introção 5. Concetos Fnments...6.. O problem nmensonl...6.. O conceto e Fnções e Dstrbção e Erros...6.. Anlsno o Problem no Contorno ª Integrção por Prtes...7..4 ª Integrção por Prtes...7..5 ª Integrção por Prtes...9..6 4ª Integrção por Prtes.... 4 Solções Aproms....4. Resolção prtr e Solções Aproms....4. Avlno os Erros e Apromção.... 5 Técncs e Resíos Poneros...5. 6 Aplcção Prátc os Métoo os Resíos Poneros...7.6. - Eemplo. Obteno m solção Et...7.6. Métoo o Ponto e Colocção...9.6. Métoo Colocção por Sbomíno...4.6.4 Métoo e Glerkn...4.6.5 - Eemplo. Obteno m solção prom por m Métoo e Domíno...45.6.6 Métoo o Ponto e Colocção...47.6.7 - Eemplo. Obteno m solção prom por m Métoo e Domíno...49. 7 Aplcção Prátc Formlção Frc e Formlção Invers...5.7. Formlção Frc - 5ª Integrção por Prtes...5.7. Formlção Invers - 6ª Integrção por Prtes...5.7. Eemplo.4 Formlção Frc sno o Métoo e Glerkn...54. 8 Solções e Contorno e Domíno...59 4

.8. - Aplcção Prátc...59 Solção 6.8. Formlção Frc os Resíos Poneros...6.8. - Métoo os Elementos Fntos...6. 9 Formlção Invers os Resíos Poneros...6.9. Métoo e Trefftz...64.9. Eemplo e tlzção o Métoo e Trefftz...64 Solção: 65.9. - Métoo e Contorno...67.9.4 Eemplo e tlzção o Métoo e Contorno...7 Solção: 7. Qro Resmo os Métoos Apromos...7. Lst e Eercícos e Problems...74.. Resolver eqção ferencl...74 Solção. 74.. - Resolver eqção ferencl...78 Solção: 78..5 - Resolver eqção ferencl...8 Solção: 8..6 Resolver eqção ferencl...86 Solção: 86 Conclsão 9 Cpítlo III...94 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO...94. -Obetvos o cpítlo...94. - Introção 94. Precrsores o Métoo e Elementos e Contorno...95.. Métoo s Fnções e Green...96.. Integrção por Prtes em s mensões...97. 4 Defnção Mtemátc e Desenvolvmento o Métoo....4. Solção Fnmentl-Fnção e Ponerção....4. - Vlor Prncpl e Cch...8.4. Solção Nmérc Eqção e Lplce.... 5 Dscretzção o Contorno....5. - Elemento Constnte Dscretzção Lner....5. - Elemento Lner Dscretzção Lner...4. 6 Eemplos e Aplcções...9. 7 Eercícos e Problems... Cpítlo IV... PROBLEMAS DE POTENCIAL... 4. - Obetvos o cpítlo... 4. Introção 4. A Eqção e Posson... 4.. O problem bmensonl... 5

4.. A ª Iente e Green... ª Integrção por Prtes... ª Integrção por Prtes...5 4.. - Levno o problem pr o contorno...7 ª Integrção por Prtes...7 4ª Integrção por Prtes...8 4. 4 A Formlção Frc o Métoo os Resíos Poneros...9 4.4. Resolveno o problem no contorno...9 5ª Integrção por Prtes Formlção Frc... 4.4.- Motvos frqez... 4. 5 A Formlção Invers o Métoo os Resíos Poneros... 6ª Integrção por Prtes... 4. 6 Eqções Integrs Báscs...4 4.6. Solção Fnmentl...6 4.6. Análse s solções fnments b e trmensonl...4 4.6. Aplcção Solção Fnmentl Eqção Integrl...4 4.6.4 Eqção Integrl e Contorno...4 4. 7 Métoo e Dscretzção o Contorno...44 4.7. Montgem s mtrzes H e G...46 4. 8 Elementos e Dscretzção e m Contorno em D...49 4.8. Elementos e fnção constnte o Elementos Constntes...5 4.8. Elementos e fnção lner o Elementos Lneres...5 4.8. Elementos e fnção prbólc o Elementos Qrátcos...54 4. 9 Os Métoos e Cálclo s Integrs H e G...55 4.9.- Integrções Não-Snglres...56 4.9.- Integrções Qse-Snglres...56 4.9.- Integrções Snglres...56 4. O Mpemento Globl o Contorno pr o Cálclo s Integrs H e G...57 4.. - Cálclo Anlítco Integrl H pr...57 4.. - Cálclo Anlítco e r/n pr...6 4.. - Cálclo Anlítco Integrl G pr...6 4..4 O Cálclo Integrs H H pr pr r...6 4..5 - Cálclo Anlítco e r/n pr...64 4..6 O Cálclo Integrs H H pr pr r...68 4..7 O Cálclo Integrl G G pr e r...7 4. Mpemento Locl o Contorno...7 4.. Mpemento Lner o Contorno...7 4.. Clclo erv r/n Trnsformção e coorens o Mpemento Lner o Contorno...77 4.. Jcobno Trnsformção o Mpemento Lner o Contorno...79 4. Aplcção o Mpemento Locl s Integrs H e G...8 4.. O Cálclo Integrl H pr...8 4.. O Cálclo Integrl H H pr...8 4.. O Cálclo Integrl G pr...84 4..4 O Cálclo Integrl G G pr...87 6

4. Integrção Nmérc pelo Métoo Qrtr e Gss...88 Cpítlo V...94 APLICAÇÕES PRÁTICAS...94 5. Obetvos o cpítlo...94 5. Introção 94 5. Problem e o Potencl Esclr sobre m Plc Pln...95 5. 4 Solção o Problem e o Potencl Esclr sobre m Plc Pln...99 5.4. Mpemento Lner o Contorno o Problem...99 5.4. Elementos Constntes... 5.4. Elementos Lneres e Qrátcos... 5.4.4 Análse Smetr o Problem n reção o número e ntegrs... 5.4.5 Mpemento Nmérco os Elementos e e ss Coorens...4 5.4.6 Tbels e H e G pr os pontos e Gss...5 5.4.7 Tbels e Cálclo e Inversão s Mtrzes H e G pr os pontos e Gss...5 5.4.8 Tbels e H e G pr os pontos nternos com os pontos e Gss...7 5.4.9 Tbels e H e G pr qtro pontos e Gss... 5.4. Tbels e Cálclo e Inversão s Mtrzes H e G pr qtro pontos e Gss 6 5.4. Tbels e H e G pr os pontos nternos com qtro pontos e Gss...8 5. 5 Alterção o progrm POCONBE e cálclo pelo Métoo e Elementos e Contorno pr o Problem o Potencl Esclr...45 5.5. - Entr e Dos o Progrm POCONBE n form Orgnl...47 5.5. - Sí e Dos o Progrm POCONBE n form Orgnl...48 5.5. - Sí e Dos o Progrm POCONBE n form Mofc...5 Cpítlo VI...5 INTRODUÇÃO A TEORIA DA ELASTICIDADE...5 6. - Elementos e mecânc os sólos...5 6. - Análse o esto s tensões...5 6.. Trção e vetores e coplmento s tensões...5 6.. Componente s tensões...54 6.. Tensão em m ponto...56 6..4 Tensão sobre o plno norml...58 6..5 Representção ác s tensões...6 6. - Eqções e Eqlíbro...6 6.. Prncípos Físcos e Mtemátcos...6 6.. Momento lner...6 6.. Momento nglr...64 6. 4 - Tensões Prncps...67 6. 5 Análse s eformções...68 6.5. Tensor s eformções...7 6.5. Dense e energ e eformção...7 6.5. Eqções e comptble...7 6.5.4 Mters Elástcos Lneres...7 6.5.5 Complementre ense energ e eformção...75 7

Cpítlo VII...78 PROBLEMAS DE ELASTOSTÁTICA...78 7. Obetvos o cpítlo...78 7. Introção 78 7. Notção Crtesn Incl...79 7. 4 Teor Elstce Lner...79 Trblho o crso - :...8 Solção: 8 7. 5 Métoo os Elementos e Contorno...84 Trblho o crso - :...85 Solção: 85 Trblho o crso -:...88 Solção: 89 7.5. - Solções Fnments...9 7.5. - Deção forml Iente Somgln...9 7.5. - Tensões nos Pontos Internos...9 7.5.4 - Métoo os Resíos Poneros...94 7.5.5 - Eqção Integrl e Contorno...95 7.5.6 - Regões e Domínos Infntos...97 Pr problems D X ρ :...98 Pr problems D....99 7.5.7 - Implementção Nmérc... 7.5.8 - Sb-Regões...8 7.5.9 Proprees e Smetr... 7.5. - Problem plc com m fro...4 Cpítlo VIII...5 APLICAÇÕES PRÁTICAS EM ELASTICIDADE...5 8. Obetvos o cpítlo...5 8. Introção 5 8. Problem Plc Pln com fro crclr e ro r 5, resolvo pelo Métoo os Elementos e Contorno 6 8.. Apresentção o Problem Plc Pln com fro...6 8.. - Metoolog e Análse o Problem...7 8.. Conserção Smetr Peç n Análse Elástc...7 8..4 Desenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro...8 8..5 Arqvo e Entr e Dos Plc Pln com fro pr o Progrm BINN n form mlh Orgnl...9 8..6 - Desenho Mlh Orgn Plc Pln com fro crclr... 8..7 - Arqvo e Sí e Dos Plc Pln com fro crclr pr o Progrm BINN n form Orgnl... 8..8 Desenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro Crclr Deform...6 8. 4 Problem Cve com Pressão Unforme Elementos resolvo pelo Métoo os Elementos e Contorno...7 8.4. Apresentção o Problem Cve com Pressão...7 8.4. - Metoolog e Análse o Problem...8 8

8.4. Conserção Smetr Cve com Pressão n Análse Elástc...8 8.4.4 - Arqvo e Entr e Dos Cve com Pressão pr o Progrm BINN n form Orgnl...9 8.4.5 Desenho Mlh Orgnl Cve Com Pressão ms sem Deformção... 8.4.6 - Arqvo e Sí e Dos Cve com Pressão pr o Progrm BINN n form Orgnl 8.4.7 Desenho Mlh Orgnl Cve com Pressão Deform...6 8. 5 Problem Vg e Pree resolvo pelo Métoo os Elementos e Contorno...7 8.5. Apresentção o Problem Vg Pree...7 8.5. - Metoolog e Análse o Problem...8 8.5. - Esqem e Análse Mlh Orgnl Vg Pree...8 8.5.4 Desenho Mlh Orgnl Vg Pree sem Deformção...8 8.5.5 Conserção Smetr Vg n Análse Elástc...9 8.5.6 Desenho Mlh Orgnl Vg sem Deformção com Smetr...9 8.5.7 - Arqvo e Entr e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Orgnl sem Smetr 4 8.5.8 - Desenho Mlh Orgnl Vg Pree sem Smetr...4 8.5.9 - Arqvo e Sí e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Orgnl sem Smetr 4 8.5. - Arqvo e Entr e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Orgnl com Smetr 48 8.5. - Desenho Mlh Orgnl Vg Pree com Smetr...5 8.5. - Arqvo e Sí e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Orgnl com Smetr 5 8.5. - Desenho Mlh Orgnl Vg Deform...56 8. 6 Alterção o progrm BINN e cálclo pelo Métoo e Elementos e Contorno pr o Problem Elástco 57 8.6. Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr...57 8.6. Arqvo e Entr e Dos Plc Pln com fro crclr pr o Progrm BINN n form Mlh Dplc...58 8.6. - Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr...6 8.6.4 - Arqvo e Sí e Dos Plc Pln com fro crclr pr o Progrm BINN n form Dplc...6 8.6.5 Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr Deform...68 8.6.6 - Desenho Mlh Dplc Cve com Pressão pr o Progrm BINN...69 8.6.7 Arqvo e Entr e Dos Cve com Pressão pr o Progrm BINN n form Dplc...7 8.6.8 Desenho Mlh Cve com Pressão n form Dplc...7 8.6.9 - Arqvo e Sí e Dos Cve com Pressão pr o Progrm BINN n form Dplc...7 8.6. Desenho Mlh Cve com Pressão n form Dplc...78 8.6. - Esqem e Análse Mlh Dplc Vg sem Smetr...79 8.6. - Arqvo e Entr e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Dplc sem Smetr...8 8.6. - Esqem e Análse Mlh Dplc Vg com Smetr...84 8.6.4 - Arqvo e Entr e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Dplc com Smetr...85 8.6.5 - Desenho Mlh Dplc...88 9

8.6.6 - Arqvo e Sí e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Dplc sem Smetr 89 8.6.7 - Arqvo e Sí e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Dplc com Smetr 96 8.6.8 - Desenho Mlh Dplc e Deform...4 8.6.9 - Comprção os Resltos os Deslocmentos os Corpos...4 Cpítlo IX...45 CONSIDERAÇÕES FINAIS...45 9. Qnto os Resltos os Cálclos Plc Pln...45 9. Qnto os Resltos os Cálclos Elstce...45 9. Qnto o crso e Métoo e Elementos e Contorno...46 Referêncs Bblográfcs...47 Apênces...48 A. Cálclo Anlítco s Mtrzes H e G...48 A.. Cálclo s Mtrzes Snglres H e G sno o Mple 9....48 A.. Cálclo s Mtrzes Não-Snglres H e G sno o Mple 9....4 A. Lstgem fonte o progrm POCONBE Orgnl...45 A. Lstgem fonte o progrm POCONBE Mofco...4 A. 4 Lstgem fonte o progrm POTENCIAL CONSTANTE...47 A. 4 Informtvo s Vráves o progrm BINN Orgnl...46 I Vráves...46 II Vráves...46 III Vráves...46 IV Incênc os elementos...47 V 47 VI 47 VII 47 VIII 48 A. 5 Formto o Arqvo e Entr e Dos o Progrm BINN...49 A. 6 Lstgem fonte o progrm BINN Orgnl...44 A. 7 Lstgem fonte o progrm BINN Mofco...465

LISTA DE FIGURAS Fgr -.. Dgrm e pssos smplfcores e m problem rel... Fgr -.. Dgrm e sbsttção e m Moelo Contíno eto por m Moelo Dscreto Apromo.... Fgr -.. Dgrm e Trnsformção e Eqções Dferencs em Eqções Algébrcs eqvlentes.... Fgr -. 4. Dgrm e pssos smplfcores e m problem rel... Fgr -. 5. Problem e flo e conção e clor em m chp pln.... Fgr -. 6. Fnções potencs... Fgr -.. Estrtr os Métoos Apromos e Solção e Eqções Dferencs...7 Fgr -.. Gráfco solção eqção ferencl:....76 Fgr -.. Conções e contorno o problem....78 Fgr -. 4. Intervlo e vle fnção p...89 Fgr -. 5. Intervlo e vle fnção p...9 Fgr - 4.. Domíno sob conserção pr s efnções báscs eqção e Posson.... Fgr - 4.. Domíno Ω e o contorno, e m problem e Lplcno e m potencl,....9 Fgr - 4.. Defnções geométrcs eqção e Lplce....4 Fgr - 4. 4. Espço vetorl s solções fnments crclrmente smétrcs...7 Fgr - 4. 5. Crclo e ro r centro em ξ no omíno nfnto Ω....9 Fgr - 4. 6. Pontos e contorno pr o cso b- e trmensonl, mento por m peqen hemsfer o semcírclo....4 Fgr - 4. 7. Dferentes tpos e elementos e contorno...44 Fgr - 4. 8. Elementos e Contorno, lner o crvo prbólco o cúbco efno por meo os nós geométrcos....49 Fgr - 4. 9. Elementos e Contorno, lner o crvo prbólco o cúbco efno por meo os nós fncons....5 4 4

Fgr - 4.. Dferentes tpos e ntegrção e coro com posção reltv os nós nos elementos e contorno...55 Fgr - 4.. Erros e promção cometos em ntegrs qse-snglres evo o número e pontos e Gss sobre o própro elemento...56 Fgr - 4.. Mpemento Globl e m contorno....57 Fgr - 4.. Integrção entre os elementos e contornos e ferentes....58 Fgr - 4. 4. Relção entre elementos retos ferentes....59 Fgr - 4. 5. Cálclo s stâncs entre os elementos...6 Fgr - 4. 6. Integrção entre os elementos e contornos e ferentes....6 Fgr - 4. 7. Cálclo s stâncs entre os elementos pr m elemento reto....65 Fgr - 4. 8. Decomposção o vetor norml em termos os cossenos retores...67 Fgr - 4. 9. Intervlo e ro ε sobre o elemento reto ξ....69 Fgr - 4.. Trnsformção entre s coorens globs e s coorens locs e m contorno e geometr qlqer....7 Fgr - 4.. Mpemento lner locl geometr o elemento reto e fnconle constnte em e q....7 Fgr - 4.. Sstem e cooren o elemento e contorno...87 Fgr - 4.. Trnsformção e coorens o mpemento lner o contorno...88 Fgr - 4. 4. Integrl e Gss fnção zη ns coorens e generlzs η k...89 Fgr - 4. 5. Processo e Integrção e Gss...9 Fgr - 4. 6. Integrção e Gss pr m fnção lner...9 Fgr - 5.. Plc pln bmensonl qr e tmnhos,m,m setos s conções e contorno e potencl constnte e flo constnte q q....95 Fgr - 5... Plc pln bmensonl qr e tmnhos,m,m com oto elementos retos e fnconle constnte, setos s conções e contorno e potencl constnte e flo constnte q q...96 Fgr - 5.. Depenênc stânc com o ro e ntegrção entre os elementos e contorno...97 Fgr - 5. 4. Vrção stânc reltvs entre os elementos e m contorno...97 Fgr - 5. 5. Smetrs no processo e ntegrção s Mtrzes H e G entre os elementos o contorno e m plc pln.... Fgr - 5. 6. Plc pln bmensonl qr e tmnhos,m,m com oto elementos e fnconle constnte, setos s conções e contorno e potencl constnte e flo constnte q q...4 Fgr - 5. 7. Depenênc stânc com o ro e ntegrção entre os elementos e contorno...45 Fgr - 5. 8. Vrção stânc reltvs entre os elementos e m contorno...46 Fgr - 6.. Corpo eformável sob crregmento eterno...5 Fgr - 6.. Tensor s tensões norms e cslhntes em m corpo...54 Fgr - 6.. Forçs gno sobre m tetrero elementr em m ponto P...56 Fgr - 6. 4. Elemento ferencl e sperfíce...58 Fgr - 6. 5. Corpo em eqlíbro...6 Fgr - 6. 6. Deformção trmensonl em m corpo fleível....69 Fgr - 6. 7. Csos e eformção e b rotção o ponto e vst e eslocmento vetorl....7 Fgr - 7.. Domíno Ω fntos e nfntos com contorno eterno e nterno respectvmente....8 Fgr - 7.. Corpo em eqlíbro sob ção e crgs e eslocmentos prescrtos....84

Fgr - 7.. Regão complementr em eqlíbro sob ção e crgs e eslocmentos prescrtos...84 Fgr - 7. 4. Sstem e coorens os eos prncps, P, P, P, o problem elástco com omíno Ω e contorno e omíno recíproco Ω * e contorno recíproco *...87 Fgr - 7. 5....9 Fgr - 7. 6. Ponto e Colocção ξ pertencente o contorno...96 Fgr - 7. 7. Regões e omínos fntos...98 Fgr - 7. 8. Utlzção os Métoos Nmércos n solção e problems prátcos one os omínos e os contorno são nternos o eternos... Fgr - 7. 9. Pontos nos e m contorno reglr no cso bmensonl... Fgr - 7.. Elemento lner com o ponto fonte o e e colocção ξ concente com o nó geométrco.... Fgr - 7.. Elemento lner com o ponto e colocção ξ concente com o ponto e colocção.... Fgr - 7.....5 Fgr - 7.. Elemento lner com o ponto e colocção ξ concente com o ponto e colocção....6 Fgr - 7. 4. Seprção o Domíno em Sb-Domínos o Sb-Regões e Sb-Contornos....8 Fgr - 7. 5. Problem rel e smetr e orem os e qtro... Fgr - 7. 6. Smlção Smetr e m problem rel... Fgr - 7. 7.... Fgr - 7. 8.... Fgr - 7. 9.... Fgr - 7.....4 Fgr - 7.. Plc nfnt com m fro no meo....4 Fgr - 8. -Geometr e crregmento peç em nálse como eemplo e m omíno fnto. proz orgnlmente por Rphel Sccto...6 Fgr - 8. - Conserção smetr peç n nálse elástc...7 Fgr - 8. - Dscretzção o contorno conserno smetr o esenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro crclr proz orgnlmente por Rphel Sccto....8 Fgr - 8. 4 - Desenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro crclr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno... Fgr - 8. 5 Desenho Mlh Orgnl Deform gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno...6....6 Fgr - 8. 6 - Geometr e Crregmento Cve com Pressão em Análse com m eemplo e omíno nfnto proz orgnlmente por Rphel Sccto....7 Fgr - 8. 7 - Dscretzção o contorno conserno smetr o esenho Mlh Orgnl Cve com Pressão ms sem Deformção proz orgnlmente por Rphel Sccto...8 Fgr - 8. 8 - Desenho Mlh Orgnl Cve com Pressão ms sem Deformção gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno... Fgr - 8. 9 - Deformção Mlh Orgnl. Deform gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno....6

Fgr - 8. - Geometr e crregmento peç em nálse proz orgnlmente por Rphel Sccto...7 Fgr - 8. - Esqem e Análse Mlh Orgnl Vg Pree proz orgnlmente por Rphel Sccto....8 Fgr - 8. Desenho Mlh Orgnl Vg sem Deformção proz orgnlmente por Rphel Sccto....8 Fgr - 8. - Conserção Smetr Vg n Análse Elástc proz orgnlmente por Rphel Sccto....9 Fgr - 8. 4 - Dscretzção o contorno conserno smetr Vg n Análse Elástc proz orgnlmente por Rphel Sccto....9 Fgr - 8. 5 - Desenho Mlh Orgnl Vg Pree sem Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno....4 Fgr - 8. 6 - Desenho Mlh Orgnl Vg Pree com Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno....5 Fgr - 8. 7 - Deformção Mlh Orgnl Vg Deform com Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno...56 Fgr - 8. 8 - Deformção Mlh Orgnl Vg Deform com Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno...56 Fgr - 8. 9 - Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr proz por Lcs Mámo Alves....57 Fgr - 8. - Desenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro crclr plc gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno...6 Fgr - 8. Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr Deform....68 Fgr - 8. - Desenho Mlh Dplc cve com Pressão proz orgnlmente por Rphel Sccto....69 Fgr - 8. - Desenho Mlh Dplc cve com Pressão gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno....7 Fgr - 8. 4 - Desenho Deformção Mlh Dplc Cve com Pressão gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno...78 Fgr - 8. 5 - Esqem e Análse Mlh Dplc Vg Pree sem Smetr proz por Lcs Mámo Alves...79 Fgr - 8. 6 - Esqem e Análse Mlh Dplc Vg Pree com Smetr....84 Fgr - 8. 7 - Desenho Mlh Dplc Vg gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno....88 Fgr - 8. 8 - Desenho Mlh Dplc Vg Pree Deform sem Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno...4 Fgr - 8. 9 - Desenho Mlh Dplc Vg Pree Deform com Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno...4 4

LISTA DE TABELAS Tbel - II.. Resltos pr o Métoo o Ponto e Colocção...48 Tbel - II.. Resltos pr o Métoo e Glerkn...5 Tbel - II.. Comprção os resltos etos e promos com o eemplo. o lvro...77 Tbel - V.. Coorens os Pontos Fonte os Elementos o Contorno...5 Tbel - V.. Coorens os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...7 Tbel - V.. Cálclo s Coorens e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...9 Tbel - V. 4. Cálclo s Coorens s Norms e e ss Dervs os Pontos Fonte os Elementos o Contorno... Tbel - V. 5. Cálclo s Mtrzes H e G os Pontos Cmpo os Elementos e Contorno... Tbel - V. 6. Cálclo s Mtrzes Inverss e H e G os Pontos Cmpo os Elementos e Contorno...5 Tbel - V. 7. Coorens os Pontos Fonte os Elementos o Contorno...7 Tbel - V. 8. Coorens os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...8 Tbel - V. 9. Cálclo s Coorens e os ros e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...9 Tbel - V.. Cálclo s Coorens s Norms e e ss Dervs os Pontos Fonte os Elementos o Contorno... Tbel - V.. Cálclo s Mtrzes H e G os Pontos Internos os Elementos e Contorno... Tbel - V.. Coorens os Pontos Fonte os Elementos o Contorno... Tbel - V.. Coorens os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...4 Tbel - V. 4. Cálclo s Abcsss e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...6 5

Tbel - V. 5. Cálclo s Orens e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...8 Tbel - V. 6. Cálclo os Ros e Gss e s Coorens s Norms os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno... Tbel - V. 7. Cálclo s Dervs s Coorens s Norms os Pontos Fonte os Elementos o Contorno... Tbel - V. 8. Cálclo s Mtrzes H e G os Pontos Cmpos os Elementos e Contorno...4 Tbel - V. 9. Cálclo s Mtrzes Inverss e H e G os Pontos Cmpo os Elementos e Contorno...6 Tbel - V.. Coorens os Pontos Fonte os Elementos o Contorno...8 Tbel - V.. Coorens os Pontos Cmpos os Elementos o Contorno...9 Tbel - V.. Cálclo s Abcsss e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...4 Tbel - V.. Cálclo s Orens e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...4 Tbel - V. 4. Cálclo os Ros e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...4 Tbel - V. 5. Cálclo s Coorens s Norms e e ss Dervs os Pontos Fonte os Elementos o Contorno...4 Tbel - V. 6. Cálclo s Mtrzes H e G os Pontos Internos os Elementos e Contorno...44 Tbel - VIII..Análse os Resltos pr m Plc com Fro e Ro 5,...4 Tbel - VIII.. Análse os Resltos pr m Cve com Pressão Unforme...4 Tbel - VIII.. Análse os Resltos pr m Vg Pree sem Smetr...44 Tbel - VIII. 4. Análse os Resltos pr m Vg Pree com Smetr...44 6

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Apresentção Est postl e Métoo e Elementos e Contorno é reslto gtção s ls o crso mnstro pelo professores Dr. Lz Alkmn e Lcer e Dr. José Antono Mrqes Crrer e e estos pessos o estnte e otoro M. Sc. Lcs Mámo Alves, o Progrm e Pós-Grção e Métoos Nmércos pr Engenhr-PPGMNE Unverse Feerl o Prná. 8

Cpítlo I INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXIMADOS RESUMO Neste cpítlo será vsto como tlzção e métoos promos poe r resolver problems e eqções ferencs, qno solção nlítc é ncessível. Aborremos o tem s hpóteses smplfcors e tlzção e eqções lgébrcs n sbsttção e eqções ferencs comples.. Obetvos o cpítlo Entener problemátc os Métoos Apromos plcos Engenhr. Dstngr stções one tlzção os Métoos Apromos é vável. Sber estênc e versos Métoos Apromos.. Introção A solção e problems em cênc em engenhr pss por verss etps e smplfcção. Entre els está proposção o moelo mtemátco promo, tlzno-se eqções ferencs. A escolh o métoo e solção ests eqções ferencs e smplfcção nmérc trvés scretzção o problem. O métoo os elementos e contorno é m os métoos promos tlzos em cênc e em engenhr. Ele é plco n solção e eqções ferencs, one ests são trnsforms em eqções ntegrs plcs o contorno o problem. Este por s vez é scretzo em elementos qe poem ser, constntes lneres, qrátcos o cúbcos. 9

. Smplfcção e m Problem Rel N tenttv e se escrever qntttvmente m problem fenômeno físco, o se, e se obter m epressão mtemátc qe correspon o fenômeno em qestão, nclmente o problem físco rel é sbsttío por m problem eqvlente, ms smples. Fgr -.. Dgrm e pssos smplfcores e m problem rel Neste novo problem são seleconos os prâmetros conseros fnments e qe poem ser escrtos mtemtcmente trvés e m sstem e eqções ferencs válo em too o omíno o problem. A esse sstem são mposts conções e contorno e/o conções ncs proprs.. 4 Eqções Dferencs Qse toos os problems em cêncs físcs e engenhr poem ser rezos m eqção ferencl. Por est rzão sber reconhecer m eqção ferencl entro e m problem específco é mto mportnte, pr bsc e s solção. D mesm form, sber clssfcr m eqção ferencl é o prmero psso n bsc e s solção, pos pesr e não estr m métoo únco pr se resolver tos s eqções ferencs, clssfcção els escolher o métoo ms eqno e solção.. 5 Dscretzção o Problem Um sstem e eqções ferencs constt m moelo contíno, qe poss nfntos grs e lbere, m vez qe s vráves se strbem contnmente em too o omíno o problem. Com eceção e lgns csos ms smples, em gerl não é possível encontrr solções nlítcs pr o problem. Recorre-se, então, os moelos scretos o nmércos, obtos os moelos contínos trvés e hpóteses smplfcors: As vráves qe consttem nfntos grs e lbere, são epressos em termos e m número fnto e grs e lbere. Esses grs e lbere são ncógnts os moelos scretos os

sstems eqvlentes e são etermnos prtr solção e m sstem e eqções lgébrcs. Fgr -.. Dgrm e sbsttção e m Moelo Contíno eto por m Moelo Dscreto Apromo. Resmmente, qno o moelo contíno é sbsttío por m moelo screto, o problem mtemátco solção e m sstem e eqções ferencs é sbsttío pelo problem solção e m sstem e eqções lgébrcs. Fgr -.. Dgrm e Trnsformção e Eqções Dferencs em Eqções Algébrcs eqvlentes. Portnto, só nos rest gor estr s eqções ferencs pr se poer plcr os métoos promos n solção e problems físcos res.. 6 Escolh o Métoo Apromo pr solção o problem Dverss são s técncs e promção pr solção e eqções ferencs e eqções ntegrs. Entre os métoos e eqções ferencs, estcm-se o métoo s ferençs fnts, o métoo os elementos fntos, o métoo os volmes fntos, e por últmo entre os métoos e eqções ntegrs, temos o métoo os elementos e contorno. O métoo os elementos e contorno consste em resolver bscmente eqção e Lplce em termos e ntegrs, o se: φ * q q * Cmpo Esclr. Em tos els o problem físco é rezo m moelo qe por s vez é rezo m moelo mtemátco, conforme mostr o esqem Fgr -. 4.

Fgr -. 4. Dgrm e pssos smplfcores e m problem rel O eemplo ms comm é qele e m chp pln set m flo térmco q, conforme mostr Fgr -. 5. Fgr -. 5. Problem e flo e conção e clor em m chp pln. Eqvlentemente o métoo os elementos fntos, tlz scretzção o omíno o nvés o contorno. No métoo os elementos fntos s mtrzes gers são o tpo bn, Y X A 4 4 44. enqnto, qe no métoo os elementos o contorno mtrz é che, o se, complet.

4 A 4 4 X 4 4 4 44 Y 4 4. O métoo os elementos e contorno se plc os ferentes problems em engenhr, ts como: mecânc frtr, mecânc o contto, brrer cústc, proteção ctóc em csco e nvos e torres e strbção elétrc, e problems e elstce. Em toos eles eqção e Lplce poss lrg plcção. Conto, snglres frcs e fortes srgem nesss formlções mtemátcs, s qs evem ser contorns por técncs e rtfícos nmércos. Entre els temos s snglres o tpo: r r α. 4 one fnções potencs germ s snglres o tpo: ln r e r r e r r r e α α r r r α. 5 cos gráfcos são o tpo mostro n Fgr -. 6. Fgr -. 6. Fnções potencs

.6. - Vntgens o Métoo os Elementos e Contorno Precsão os Resltos Problems nfntos o sem-nfntos elmn o efeto e bors Envolve somente scretzção o contorno o qe mn o csto comptconl.6. - Desvntgens o Métoo os Elementos e Contorno Flt e progrms comercs brngentes Problems e não-lneres s eqções Implementção Comptconl ms fícl 4 Necesse e cálclo e solções fnments pr c cso. 4

Cpítlo II CONCEITOS FUNDAMENTAIS RESUMO Neste cpítlo serão vstos os concetos fnments pr solção s eqções ferencs pelos métoos e omínos e e contorno, nclno formlção frc, formlção nvers, o Métoo Trefftz e o Métoo e Glerkn e o Métoo os Resíos Poneros. Aplcremos s ntegrções por prtes à versão nmensonl eqção e Posson.. - Obetvos o cpítlo Entener concetção básc e strbção e erros e o Métoo os Resíos Poneros. Sber plcr o Métoo os Resíos Poneros solção e eqções ferencs. Resolver problems e eqções ferencs pertnentes o Métoo.. Introção A tlzção e eqções ferencs como eqção e Posson é mto útl n Engenhr. Pr r níco o entenmento os métoos e solções proms ms tlzos, nós remos em prmero lgr borr o ssnto sob o ponto e vst nmensonl pr qe os concetos fnments possm ser bem estbelecos pr em se genelzr pr os cso b e trmensonl. 5

. Concetos Fnments.. O problem nmensonl Consere m eqção ferencl mto smples plc m omíno nmensonl, ese té, sto é: λ b em. one é fnção qe govern eqção e nós gerlmente precsmos chá-l sno m técnc nmérc qe fornece m solção prom. λ é m constnte postv conhec e b é m fnção conhec e. A solção eqção. poe ser ch spono-se m vrção pr consstno e m sére e fnções e form conhecs, mltplcs por coefcentes esconhecos. Estes coefcentes poem ser obtos forçno eqção. stsfzer m sére e pontos... O conceto e Fnções e Dstrbção e Erros O conceto e strbção o ponerção e m eqção ferencl não é somente válo pr solções proms, ms este é m conceto mtemátco fnmentl. Pr entener o qe estes concetos sgnfcm ntes e propor qsqer promções conser-se m otr w, rbtrár eceto por ser contín no omíno e cs ervs são contíns cm e m gr reqero o gr e contne vrrá com o problem e será mostro rpmente. Poe-se gor mltplcr to eqção. por est fnção w e ntegrr sobre o omíno como sege: λ b w. Est operção é chm e m proto nterno n mtemátc e embor não mplqe em qsqer novos concetos, permte-nos nvestgr s proprees eqção governnte. 6

.. Anlsno o Problem no Contorno ª Integrção por Prtes Isto é feto ntegrno-se por prtes os termos com ervs n epressão cm. Neste cso poe-se somente mnplr est form o prmero termo, sto é, qe reslt: w w w v v v /., o one w w w. 4 e v v. 5 Note qe ntegrção por prtes tem prozo os termos, m no omíno com prmers ervs e e w e otro nos contornos o ql neste cso são smplesmente os os pontos e. Sbsttno. em. obtemos: w λ b w λ b w w. 6..4 ª Integrção por Prtes Além sso, se fnção w poss gr sfcente e contne, poe-se ntegrr por prtes novmente e obter: w w v v w v. 7 One 7

w w. 8 e v v. 9 Sbsttno. 7 em. 6 obtemos: w λ b w λ b w w w. A epressão. é clro é eqvlente epressão. 6, ms q não, somente, tem-se psso toos s ervs pr nov fnção w, ms os termos em e nos á m vsão pr entro s conções e contorno necessárs pr resolver o problem. Neste cso o / precs ser conhec em e. Note qe fnção w ql em prncípo er m fnção rbtrár com m certo gr e contne poe ser fet pr stsfzer certs conções e contorno se ssm esermos. Embor eqção. fornece o sáro m vsão pr entro, o tpo e conções e contorno reqers pr resolver o problem, ests conções n não form eplctmente ncorpors entro o problem. De form fzer ssm vmos conserr qe s conções e contorno são s por: q em q em. one s ervs e são gor efns como q e os termos com brrs representm vlores conhecos fnção e e ss ervs. É sl chmr s conções e prmero tpo em. e conções essencs e qels como q envolveno ervs são chms e conções ntrs. Sbsttno-se os vlores e. em. obtemos: 8

w w w λ b w wq wq...5 ª Integrção por Prtes Agor é nteressnte retornr epressão orgnl. pel ntegrção por prtes novmente, ms est vez pssno s ervs e w pr. A prmer ntegrção fornece: w w w v v v. one w. 4 e w v v w. 5 Sbsttno. em. obtemos: w wq w A eqção. 6 fc: w λ b w w w wq. 6 w λ b w w w wq wq. 7 9

..6 4ª Integrção por Prtes Além sso, pós m segn ntegrção reslt em: w w w v v v. 8 one. 9 e w v v w. Sbsttno. 8 em. 7 obtemos: λ b w w w q q w Ms m vez m termo esprece, neste cso w q w wq wq. w w λ b w wq wq. Note qe seno q / conforme efn nterormente, nós poemos grpr os termos chegno gor m epressão nteressnte ferente fórml orgnl.. w λ b w q q w. Est epressão mplc qe estmos tentno forçr não somente stsfção eqção ferencl em, ms s s conções e contorno. One s fnções w e w/ poem ser vsts como mltplcores e Lgrnge. Além sso, n fo to sobre promções, s

epressões cm são váls pr solções ets tmbém. Em otrs plvrs o procemento escreve m ferrment gerl pr nvestgção s eqções ferencs.

. 4 Solções Aproms Vmos gor obter solções proms pr os problems envolveno eqções ferencs.4. Resolção prtr e Solções Aproms Embor ns secções nterores tenhmos ntrozo o conceto e strbções, s formlções plcm-se nepenentemente o tpo e solção qe se ch, sto é, els são váls tnto pr solções ets como pr solções proms. Est secção, conto, nvestgrá o qe contece qno o conceto e m solção prom é ntrozo n formlção. N prátc e engenhr solção et poe somente ser conhec em lgns csos smples e este é, portnto mportnte ver como s solções se comportm qno se ntroz m promção. Vmos conserr gor qe fnção efne m solção prom o nvés e m solção et. Neste cso poe-se escrever, por eemplo: α φ α φ α φ.... 4 one os s são os coefcentes esconhecos e os φ são m seqüênc e fnções lnermente nepenentes s qs são conhecs. Os α são coefcentes generlzos embor em lgns csos eles poem ser ssocos com vlores nos vrável sob conserção. Em gerl nos problems e engenhr, prefere-se sr vlores nos conforme eles têm m sgnfco físco clro e este é feto em elementos fntos, ferençs fnts o métoos os elementos e contorno. Em ts csos promção pr poe ser escrt como: φ φ φ.... 5 o N φ. 6 one os φ são m seqüênc e fnções lnermente nepenentes qe são lgms vezes chmos e fnções e nterpolção. são os vlores nos s vráves e cmpo o e ss ervs o ms gerlmente o vlor nol e qlqer vrável com sgnfco físco retmente relcono o ss ervs.

.4. Avlno os Erros e Apromção Introzno promção pr entro eqção ferencl governnte ch-se qe est eqção não é ms entcmente stsfet eceto pr o cso no ql. 5 o. 6 poe representr solção et. Isto proz m erro o m fnção resl qe logo será efn. Por eemplo, ntrozno m vlor promo e entro eqção. gerlmente ch-se qe: λ b em. 7 O mesmo gerlmente ocorrerá com s conções e contorno corresponente est eqção, sto é: q q em em. 8 Poe-se gor ntrozr o conceto e m fnção erro o fnção resl qe represent os erros ocorrentes no omíno o no contorno evo não-stsfção s eqções cm. A fnção erro no omíno é chm R e é por: R λ b. 9 E no contorno tem-se: R R q q. Embor o cso eqção. 9 cm é m eqção prtclr e reltvmente smples o mesmo ocorre pr qlqer otro problem. Se se conser eqção e Posson b, por eemplo, fnção erro no omíno é: R b em Ω. E os erros pr s conções e contorno em e q q em são efnos n por:

R R q q em em. Os métoos nmércos sos n engenhr tentm rezr estes erros m mínmo pel plcção e ferentes técncs. Est reção é lev cbo forçno os erros serem zero em certos pontos, regões o em m form mé. Est operção poe ser gerlmente nterpret como strbção estes erros. A form n ql est strbção é fet proz ferentes tpos e técncs e strbção e erros qe, em gerl, forç s ntegrs os resíos poneros, por m cert fnção, ser zero. Por cs sto els são chms e Técncs os Resíos Poneros. 4

. 5 Técncs e Resíos Poneros A solção o problem e vlor e contorno efn pels eqções. 7 e. 8,. e. o seqüêncs smlres pr otros problems poe ser tent pel escolh e m fnção pr promção e. Poe-se então ter três tpos e métoo. Se spost solção prom stsfz entcmente tos s conções e contorno ms não s eqções governntes em Ω, tem-se m métoo e pro omíno. Se solção prom stsfz o cmpo o s eqções governntes, ms não s conções e contorno têm-se m métoo e contorno. Se spost solção não stsfz nem s eqções e cmpo nem s conções e contorno, tem-se m métoo msto. Vmos prmero spor qe s fnções φ qe são efns pr promr, stsfz tos s conções e contorno. Têm-se então m fnção resl R no omíno conforme s eqções e cmpo são gerlmente não entcmente stsfets. A é é gor fzer R tão peqeno qnto possível estbeleceno se peso resl gl zero pr os vlores s fnções e ponerção, ψ, tl qe, bscmente tem-se: RΩψ Ω em Ω com,,...n Ω. One RΩ é m operor ferencl, e solção prom, por: N ψ. 4 Ests fnções têm e ser lnermente nepenentes. Note qe e m otr form escreveno. em m form qe é ms compct, é fácl operr com el, pel efnção e m nov fnção w, tl qe: w β N ψ β ψ... β Nψ N β ψ. 5 one β são coefcentes rbtráros. Portnto, eqção. poe gor ser escrt em termos, e m form ms compct, como, 5

R Ω wω em Ω Ω. 6 Dferentes tpos e fnções e ponerção ψ o w efnrão ferentes métoos promos. A eqção. o. 5 prozrá m sstem e eqções lgébrcs s qs os vlores esconhecos os coefcentes α o sos em eqção. 4 o. 5 poe ser obt. A promção poe sempre ser melhor pelo mento o número e fnções N ss N é o número e termos n solção prom gl o número e fnções peso reqers. Os métoo promos bseos n eqção. 6 são chmos e Métoo os Resíos Poneros e m solção prom, o métoo vr e coro com s fnções e ponerção ss como peso. No qe sege m poco será revsto. Métoo os Pontos e Colocção ψ δ Métoo Colocção por Sb-regões o Sbomínos ψ φ Métoo e Glerkn v Métoo os Momentos ψ. se Ω ψ se Ω 6

. 6 Aplcção Prátc os Métoo os Resíos Poneros.6. - Eemplo. Obteno m solção Et Como m lstrção e como sr os métoo os resíos poneros, consere segnte eqção ferencl o eqção e cmpo no omíno nmensonl one vr e té sto é:. 7 com conções e contorno homogênes, sto é: em e. 8 Note qe eqção é m cso prtclr eqção. qno λ e b. A et solção e poe ser ch pel ntegrção e á: et 6 6. 9 Vmos gor tentr resolver sno Técnc e Resíos Poneros escrt nterormente cm, começno pel efnção e m solção prom qe stsfz s conções e contorno e poe ser escrt como: α φ α φ α φ.... 4 Poe-se sr polnômos Hermtenos pr φ, ms ese qe somente s els stsfçm s conções e contorno homogênes, somente ests s serão ss, sto é: α. 4 φ α φ one φ φ. 4 A fnção erro o resl neste cso é obt pel sbsttção e. 4 n eqção. 7 qe fornece: 7

8 R 6 4 6,, α α φ α φ α α α. 4 Vmos gor rezr. 4 sno s várs técncs e resíos poneros.

.6. Métoo o Ponto e Colocção Neste cso N pontos,,..., N são escolhos no omíno e o resío é estbeleco zero nestes pontos. Est operção poe ser nterpret como fnções e ponerção efns em termos s fnções elts e Drc nestes pontos, sto é: ψ δ ;,,..., N. 44 δ no ponto tem m vlor nfnto, ms é tl qe s ntegrl ne, sto é: Ω δ Ω ;,,..., N. 45 A fnção e Drc poe ser nterpret como o lmte e m fnção reglr qno s bse tene zero. Portnto, eqção. poe gor ser escrt como: Ω Rδ Ω ;,,..., N. 46 A ql smplesmente z qe fnção erro é zero n sére e pontos, sto é: R ;,,..., N. 47 O métoo consste e m sére e fnções erros o fnções ress gs zero em qe mtos pontos como estes são coefcentes esconhecos n solção prom. A strbção os pontos e colocção é em prncípo rbtrár, ms n prátc melhores resltos são obtos se eles são nformemente strbíos. Solção o Eemplo. pelo Métoo o Ponto e Colocção: Aq forç-se os resíos serem zero n sére os pontos. Consere neste cso qe R é zero nos os pontos,5 e,75. Est fornece R e R o α 6 4 α 6. 48,5,5,5,5 α 6 4 α 6. 49,75,75,75,75 9

4,5 α α R. 5 e,75 α α R. 5 E n α α. 5 Do ql se obtém qe os segntes resltos pr α e α : 6 α α. 5 Sbsttno. 6 em. 4 á o segnte reslto 6 6 6 6 6 ] [ ] [ 6. 54 Note qe este cso é ems trvl e os mesmos resltos form obtos por toos os otros métoos. Em gerl sto não será vere qno solção et não poe ser reproz pelo vlor proposto e e se chrá ferentes resltos epeneno o métoo so.

.6. Métoo Colocção por Sbomíno Pr este métoo o omíno Ω é vo em M sbomínos e ntegrl o erro em c m eles é estbelec ser zero. As fnções pesos são smplesmente escolhs como, pr Ω pr Ω ψ. 55 nc pertencente, e Ω é o esmo sbomíno. A eqção. torn-se Ω R com,,...n. 56 Solção o Eemplo. pelo Métoo os Pontos e Colocção por Sbomínos: Consere o omíno vo em s prtes gs, m e ½ e otr e ½. Neste cso poe-se escrever: e / / R [ 6 4 α 6 ] α. 57 R [ 6 4 α 6 ] / / qe proz o segnte sstem e eqções α. 58 α6 α6 4 4 / / α 6 α 6 / / / /. 59 o,α,5α,5,5α,α,75. 6 e n 4

4,75,5,,5,5, α α. 6 o ql se obtém qe: 6 α α. 6 Sbsttno. 6 em. 4 á o segnte reslto 6 6 6 6 6 ] [ ] [ 6. 6 Note qe solção et. 4 form obts ese qe s fnções e form sposts pr são cpzes e representá-lo.

.6.4 Métoo e Glerkn No cso o Métoo e Glerkn s fnções e ponerção são s mesms qe s fnções e promção, sto é: Portnto eqção. torn-se: φ ψ. 64 RΩφ Ω,,...N Ω. 65 Usno-se mesm efnção qe em. 5 est poe ser escrt como R Ω wω,,...n Ω. 66 com w β... φ β φ β NφN. 67 Este métoo é o ponto e prt e mts formlções o Métoo os Elementos Fntos pr os qs smetr e nerentemente smétrcs, levm mtrzes lgébrcs smétrcs. φ ψ copl s eqções e cmpo Solção o Eemplo. pelo Métoo e Glerkn: Neste cso s fnções peso são: ψ φ ψ φ. 68 e s epressões os resíos poneros são: e [ α 6 4 α 6 ]. 69 [ α 6 4 α 6 ]. 7 o ql proz s segntes eqções lgébrcs em α e α. 4

44 6 4 6 α α. 7 e 6 4 6 α α. 7 o,5 4 4 α α α α. 7 E n,5 4 4 α α. 74 Do ql tmbém se obtém qe: 6 α α. 75 Sbsttno. 6 em. 4 á o segnte reslto 6 6 6 6 6 ] [ ] [ 6. 76 Note qe solção et. 4 form obts ese qe s fnções e form sposts pr são cpzes e representá-lo.

.6.5 - Eemplo. Obteno m solção prom por m Métoo e Domíno Vmos gor estr m otr eqção sno o ponto e colocção tl qe neste cso nós obteremos m solção prom o nvés solção et. Consere eqção. com λ e -b, sto é:. 77 e s conções e contorno homogênes, em e. A et solção e. 77 poe ser fclmente obt pel ntegrção e á: sen sen. 78 Ao nvés e sr. 78 nós tentremos promr est solção efnno m solção o tpo: φ φ φ.... 79 one os φ são termos e m polnômo em, sto é: φ ; φ ; φ.... 8 De form stsfzer s conções e contorno etmente, eqção. 79 tem qe á em e. 8 o qe mplc qe, em em.... 8 Portnto, e poe ser epress em fnção os otros prâmetros, sto é: 4.... 8 Sbsttno e. 8 em. 79 nós poemos escrever: 4 4 5 4... 4.... 84 Defnno gor m nov sére e prâmetros esconhecos α, ts qe: 45

α, α 4,.... 85 4 Poe-se escrever: α α.... 86 Est fnção stsfz s conções e contorno em e tem o gr e contne reqero pels ervs n eqção. 77, portnto, z-se ser mssível. Nós tmbém veremos qe stânc entre s solções ets e proms mn qno o número e termos em. 86 ment e sto mplc qe formlção prom é complet, sto é, tene representr solção et melhor e melhor qno o número e termos ment. 46

.6.6 Métoo o Ponto e Colocção De form plcr técnc e ponto e colocção nós nos restrngremos os termos n epressão. 86, sto é: α α. 87 Sbsttno est fnção n eqção governnte. 77 ch-se o segnte resío, sto é: R 6 α α. 88 A colocção poe gor ser nterpret como estbeleceno R em os pontos, sber ¼ e ½. Isto tmbém poe ser epresso em termos s fnções elt e Drc plcs estes os pontos, sto é, fnção e ponerção é: w δ β δ 4 A ntegrl os Resíos Poneros é represent por: o smplesmente β. 89 R w. 9 em e 4 R. 9 Sbsttno estes vlores e em. 88 obtém-se s eqções em α e α. Eles poem ser escrtos n form e mtrz como sege: α α / 4 / α 6 α 6 / 4 / / 4 /. 9 o 9 5 α α 6 64 4 7 7 α α 4 8. 9 e n 47

9 6 7 4 5 64 α 7 4 α 8. 94 A solção este sstem fornecerá: 6 α 4 α 7. 95 O vlor promo e n eqção. 87 poe gor ser escrto como: 4 4 7. 96 Tbel - II.. Resltos pr o Métoo o Ponto e Colocção X et prom R,,864,978 -,995,,594,558,7,5,69746,748,,7,65585,6586 -,4884,9,9,5 -,8474 Note qe fnção erro poe gor ser tmbém totlmente efn em termos e, pel sbsttção e α e α em. 88. Isto á R 4 9 4. 97 7 Estes resltos poem ser tbelos n Tbel - II., one eles são compros em termos solção et. Note qe os vlores e R são entcmente zero em ¼ e ½, ms o qe sto não sgnfc qe solção pr é et nqeles pontos. 48

.6.7 - Eemplo. Obteno m solção prom por m Métoo e Domíno b Vmos plcr técnc e Glerkn n eqção. pr ql λ e. 98 com conções e contorno homogênes em e.. 99 A solção prom será mesm qe no eemplo., sto é: o ql poe ser escrt como: α α. φ α φ α. one φ e φ são fnções e form φ - ; φ -. O resío é o mesmo qe o o eemplo nteror, sto é: logo R. R 6 α α. A fnção e ponerção w em Glerkn é spost ter mesm fnção e form como solção prom., sto é: w β. 4 φ β φ Os coefcente β e β são rbtráros. A Sentenç e Resíos Poneros é: Ω Rw. 5 ql proz s epressões ntegrs como β e β são rbtráros, sto é: 49

R β φ β φ. 6 o smplesmente φ R. 7 e Rφ. 8 Sbsttno. e s fnções e φ e φ em. 7 e. 8 temos: e [ α 6 α ][ ]. 9 [ α 6 α ][ ]. Após ntegrção sto fornece o segnte sstem. α α 5. Note mtrz é smétrc porqe eqção é e m orem pr e s fnções e ponerção e s fnções proms são s mesms. Resolveno. temos como reslto: 7 α 69 7 α 4. Sbsttno estes vlores em. proz-se solção prom pr, sto é: 5

7 7. 69 4 Poe-se chr tmbém fnção resl R eqção. qe gor é: R 6 6 8 6. 4 69 Os resltos pr e R são s n Tbel - II. one els são comprs em fnção solção et e. Note qe embor solção et e é sobreto ms precs o qe no cso e sr técnc e colocção, gor precs-se levr cbo lgms ntegrções como mostro n forml. 9 e.. Est operção não é necessár pr o cso o ponto e colocção. Tbel - II.. Resltos pr o Métoo e Glerkn et prom R,,864,885 -,6945,,594,56,485,5,69746,69444,888,7,6558,6555,57,9,9,46 -,465 5

. 7 Aplcção Prátc Formlção Frc e Formlção Invers Consere gor eqção. novmente pr lstrr como m formlção frc poe ser s e como Sentenç os Elementos e Contorno e o Domíno são obts. Vmos começr com eqção. qe fo ez prtr eqção. por m processo e ntegrção por prtes, com plcção s conções e contorno, sto é: { w w λ b w} [ q q w] [ ]. 5 qe poe tmbém ser epress em m form ms compct em fnção os resíos, sto é: essencs w R w [ Rw] [ R ]. 6 A fnção será gor ssm stsfzer etmente s conções e contorno em. Neste cso. 5 torn-se { w b w} [ q q w] o em termos e. 6, smplesmente λ. 7 R w. 8 [ Rw].7. Formlção Frc - 5ª Integrção por Prtes Integrno por prtes eqção. 7 poe-se escrever: w { b w} w [ q q w] o cncelno-se os termos semelhntes temos: λ. 9 w { b w} [ qw] [ qw] λ. 5

Se fnção peso w é forç stsfzer versão homogêne s conções e contorno essencs em, eqção. torn-se: { b w} [ qw] λ. ql é nálog eqção 4. 5 obt pr eqção e cmpo e Lplce. Note qe eqção. 6 tmbém poe ser obt pel plcção s conções e contorno entro sentenç. e qe est sentenç fo smplesmente obt por ntegrção por prtes epressão os resíos...7. Formlção Invers - 6ª Integrção por Prtes O tpo e sentenç Elementos e Contorno governnte, por eemplo, sob scssão é ch fzeno-se s ntegrção por prtes consectvs. e est á fórml prevmente obt., sto é: w { λ b w} w w {[ qw] [ qw] }. Est epressão poer tmbém ter so obt por m pl ntegrção por prtes eqção os resíos poneros. e plcno epos sso s conções e contorno. É correto notr qe mbos neste eemplo nmensonl e ns eqções e Lplce bmensonl, m sentenç tpo e elementos fntos poe ser obt epos prmer ntegrção por prtes eqção. e 4. 49, e eqção ntegrl tpo Elemento e Contorno pós segn ntegrção eqção. e 4. 4 o 4. 5 5

.7. Eemplo.4 Formlção Frc sno o Métoo e Glerkn Resolv segnte eqção ferencl:. com s segntes conções e contorno e Usno formlção frc Glerkn one λ e b -, então em. 4 q q em. 5 w λ b w [ qw]. 6 w w [ qw]. 7 Fzeno α α α α. 8 e β β β w β. 9 e stsfzeno s conções e contorno,, logo α tmbém e w, logo, β e e w α α α. β β β. 54

55 e sbsttno. e. em. 7 temos: / / ] [ ] [ w w w q β β β β β β α α α β β β α α α. Fzeno β, β, β temos: { } ] [ ] [. q α α α α α α. o { } q 4 α α α α α α. 4 e { } q 4 α α α. 5 Integrno temos: 5 4 5 4 α α α. 6 O q 5 4 α α α. 7 Logo 5 4 4 q α α α. 8

56 Fzeno β, β e β { } ] [ ] [ q α α α α α α. 9 o { } 5 4 ] [ 6 4 q α α α α α α. 4 e { } q 5 4 6 4 α α α α α α. 4 o { } q 5 4 6 4 α α α. 4 Integrno temos: q 4 6 4 5 4 4 6 4 6 5 4 4 α α α. 4 O q 4 6 4 6 5 4 4 α α α. 44 Logo 4 4 5 7 4 q α α α. 45

57 Fzeno β, β e β { } ] [ ] [ q α α α α α α. 46 o { } 4 6 5 4 5 ] [ 9 6 q α α α α α α. 47 e { } q 4 6 5 5 4 9 6 α α α. 48 Integrno temos: q 5 7 6 6 4 5 5 7 6 9 6 4 6 5 α α α. 49 O q 5 7 6 9 6 4 6 5 α α α. 5 Logo 5 4 5 4 5 4 q α α α. 5 Montno o sstem e eqções temos: 5 4 4 q α α α 4 4 5 7 4 q α α α 5 4 5 4 5 4 q α α α. 5

58 Resolveno este sstem por Mtrzes temos: 5 4 4 4 5 4 4 5 7 4 5 4 4 q q q α α α. 5 c mtrz nvers é: 5 4 956 475 9 9 4 9 9 9 9 4 9 9 q q q α α α. 54 solção fornece os vlores pr: 9 475 5 9 4 9 4 9 5 9 4 9 9 4 5 9 4 9 q q q q q q q q q α α α. 55

. 8 Solções e Contorno e Domíno Ω N secção nteror vmos s Técncs e Resíos Poneros, ts como: - Métoo e Contorno - Métoo e Domíno - Métoo Msto As forms pr se obter m métoo e contorno são: Seleconr noss fnção e ponerção, w, e tl form qe el stsfç eqção governnte homogêne Métoo e Trefftz Seleconr fnção e ponerção w e tl form qe ntegrl e omíno se elmn Métoo os Elementos e Contorno Vemos gor como fcm s fórmls pr o Métoo os Elementos Fntos MEF, Métoo e Trefftz e o Métoo os Elementos e Contorno pr m eqção nmensonl o tpo pel eqção...8. - Aplcção Prátc Consere eqção ferencl por: λ b. 56 No omíno Ω [ ;] com conções e contorno: q q pr pr. 57 Resolver este problem sno Formlção Frc pelo Métoo os Elementos Fntos e Formlção Invers pelo Métoo e Trefftz e pelo Métoo os Elementos e Contorno. 59

Solção Spono m solção prom o tpo. 58 os erros e promção est solção no omíno e no contorno são os por: com ε Ω λ b. 59 ε ε q q pr em pr em. 6 A sentenç Gerl e Resíos Poneros é por: Ω ε w Ω Ω ε w ε w. 6 Conserno qe promção stsfz etmente s conções e contorno, portnto teno m métoo plco pens o omíno temos s segnte Solção e Domíno. ε Ω w Ω Ω. 6 o se: Ω λ b wω. 6 6

.8. Formlção Frc os Resíos Poneros Integrno-se por prtes m vez obtém-se w λ. 64 bw w λ b w one e w w w. 65 v v. 66 chmno e q / no contorno temos: w λ b w wq λ b w. 67 logo w λ b w wq. 68 Forçno w qno temos: w Impono s conções e contorno λ. 69 b w wq q q em temos: w λ b w wq. 7 6

6.8. - Métoo os Elementos Fntos A eqção. 7 é sentenç básc o Métoo os Elementos Fntos. Dvno-se o omíno Ω [;] em E sbomínos, o se: E e e Ω Ω. 7 Dscretzno e escolheno-se solção prom o tpo o prtr e N m m m φ em Ω,. 7 Pr E N plco em. 7 temos o sstem e eqções o Métoo os Elementos Fntos, o por: φ Ω φ φ Ω q w w m l m m l N m m. 7 Sbvno o omíno Ω em Ω e sbntervlos temos: b e m B b e l e e m e m E e e l N m m q w w b e φ Ω φ φ Ω. 74 Escolheno por Glerkn e l e l e l w w φ. 75 Temos: b e m B b e l e e m e m E e e l N m m q b e φ φ Ω φ φ φ Ω. 76 Observe qe n sentenç básc e resíos poneros precem ervs e orem os, conseqentemente, é necessáro qe s fnções e promção possm ervs e orem m, contíns. Neste cso, precsrímos e elementos fntos qrátcos pr s fnções e nterpolção. Conto, pr contornr ess stção tlzno elementos fntos lneres, poemos resolver eqção ferencl prtr form frc os resíos poneros.

. 9 Formlção Invers os Resíos Poneros Integrno-se por prtes m segn vez epressão. 7 temos: w w w λ b w b w λ. 77 one w w. 78 e Sbsttno. 78 e. 79 em. 77 obtemos: v v. 79 w w w bw λ qw. 8 Aplcno s conções e contorno em e q q em obtvemos: w w w λ w bw { [ qw] [ ] } [ ] [ ] qw. 8 6

.9. Métoo e Trefftz Escolheno noss fnção e ponerção w e tl form qe el stsfç eqção ferencl n s form homogêne, o se: w λ w. 8 resolveno-se est eqção ferencl pr chr o w obtemos solção eqção homogêne pr w ql é s como fnção e ponerção, n sentenç bo stsfzeno conção homogêne. w w w { } λ w bw [ qw] [ ] [ ] [ ] qw. 8 Retornno-se eqção ntegrl formlção nvers temos: w w w { } λ w bw [ qw] [ qw] [ ] [ ]. 84 Logo { qw] [ qw] } w w bw [ [ ] [ ]. 85 one q e são vlores esconhecos e q e são vlores conhecos..9. Eemplo e tlzção o Métoo e Trefftz Resolveno segnte eqção ferencl com λ e b - temos:. 86 Com s conções e contorno pr e pr. Prtno segnte ntegrl por prtes: w w w { } λ w bw [ qw] [ ] [ ] [ ] qw. 87 64

Solção: Retornno-se eqção ntegrl formlção nvers temos: w w w { } λ w bw [ qw] [ qw] [ ] [ ]. 88 Logo { qw] [ qw] } w w bw [ [ ] [ ]. 89 Resolveno eqção ferencl homogêne pr λ temos: w λ w. 9 Temos: w. 9 one w w. 9 Sbsttno. 9 n eqção. 89 temos: Logo bw b. 9 { [ q ] [ q ] } q q. 94 One e são constntes rbtrárs. Fzeno e temos: 65

q. 95 O [ q q Fzeno e temos:. 96 q q. 97 O [ q q q q Usno-se q / temos:. 98 q q. 99 6 Assm o problem está resolvo, pos se conhece o potencl e o flo q no contorno em e. 66

.9. - Métoo e Contorno Escolheno noss fnção e ponerção w e tl form qe el stsfç eqção ferencl e Green, o se: w λ w δ ξ. resolveno-se est eqção ferencl pr chr w, encontr-se solção fnmentl e Green, w *, pr w ql é s como fnção e ponerção, n sentenç bo stsfzeno conção fnmentl segnte form: w w w { } λ w bw [ qw] [ ] [ ] [ ] qw. Retornno-se eqção ntegrl formlção nvers temos: w w w { } λ w bw [ qw] [ qw] [ ] [ ] δ ξ. logo ξ bw { [ qw] [ qw] } w w δ [ ] [ ]. Pel propree fnção Delt e Drc á vmos qe: Logo f δ ξ Ω f ξ. 4 δ ξ Ω ξ. 5 Assm tem-se em. qe: 67

w w ξ bw { [ qw] [ qw] } [ ] [ ]. 6 Como w * é solção fnmentl o problem e q* w/ */ poemos escrever. 6 como seno: b * {[ q*] [ q*] } {[ q*] [ q*] } ξ. 7 Sbeno qe solção nmensonl * pr o cso nmensonl é o por: Logo Sbsttno ests solções em. 7 temos: ξ pr ξ * ξ pr ξ. 8 ξ pr ξ q * ξ pr ξ. 9 ξ ξ b ξ ξ ξ Fzeno ξ temos: ξ ξ ξ q ξ ξ q ξ. 68

69 q q b. o q q b. logo q b. Fzeno ξ temos: q q b. 4 O

b q q. 5 logo b q. 6 Portnto b / q pr ξ q b / pr ξ. 7.9.4 Eemplo e tlzção o Métoo e Contorno Resolveno segnte eqção ferencl com λ e b - temos:. 8 Com s conções e contorno pr e pr. Prtno segnte ntegrl por prtes: w w w { } λ w bw [ qw] [ ] [ ] [ ] qw. 9 Solção: Retornno-se eqção ntegrl formlção nvers temos: w w w { } λ w bw [ qw] [ qw] [ ] [ ] δ ξ. 7

logo ξ bw { [ qw] [ qw] } w w δ [ ] [ ]. Pel propree fnção Delt e Drc temos qe: w w ξ bw { [ qw] [ qw] } [ ] [ ]. Resolveno eqção ferencl homogêne pr λ temos: w λ w δ ξ. temos: w δ ξ. 4 One solção fnmentl é por: se ξ w ξ se > ξ. 5 Sbsttno. 5 n eqção. temos: w w ξ bw { [ qw] [ qw] } [ ] [ ]. 6 One w {[ qw] [ qw] } ξ. 7 seno se w ξ se. 8 7

temos: ξ ξ ξ qξ q ξ. 9 Logo ξ ξ [ [ ξ qξ. ξ e ξ ξ ξ ξ qξ. Se ξ -/6 ½ -q, portnto: Poe-se obter ξ ξ ξ qξ. 6 q. ξ ξ ξ ξ ξ ξ. 4 6 6 6 Como m solção qe tene s conções e contorno. E pr o flo: q ξ ξ. 5 6 Um otr solção fnmentl qe tmbém tene às conções e contorno é por: ξ se ξ w ξ se > ξ. 6 7

A ql é fnção e Green. Se ervrmos epressão o potencl em relção ξ temos o flo em qlqer ponto o omíno.. Qro Resmo os Métoos Apromos A metoolog e solção e eqções ferencs por métoos promos é mostr no qro Fgr -.. Fgr -.. Estrtr os Métoos Apromos e Solção e Eqções Dferencs 7

. Lst e Eercícos e Problems.. Resolver eqção ferencl. 7 Com conções e contorno sno m fnção tenttv form e ponto e colocção pr /. Fç m gráfco solção e compre est com qel o eemplo. o teto e com solção et pel eqção b qele eemplo. Solção. e logo e A solção prom seno o tpo:. 8 Pr stsfzer etmente s conções e contorno evemos ter: reescreveno solção temos... 9... 4. 4. 4. 4 c erv é 74

O erro e promção é o por: Logo e. 44 ε Ω. 45 ε.. 46 Ω A sentenç e resíos poneros é por B ε Ω wω. 47 A Sbsttno. 46 em. 47 pr o ponto e colocção / temos. logo [ ] δ. 48 [ ] / e 4. 49 8 4 75

7 4 4 4 Portnto solção prom é: 4. 5 4 Co gráfco é: 4 4 Fgr -.. Gráfco solção eqção ferencl:. Comprno com solção o eemplo. o teto e com solção et pel eqção b qele eemplo temos: 4 4. 5 7 Est solção é m fnção e gr enqnto solção o problem cm é m fnção e gr. Porqe s solções proms tlzs α α no cálclo são e grs e o problem cm é e grs, respectvmente. 76

Tbel - II.. Comprção os resltos etos e promos com o eemplo. o lvro et prom prom,,,864,978,574,,594,558,6,5,69746,748,748,7,6558,6586,6,9,9,5,574, 77

.. - Resolver eqção ferencl. 5 No omíno plno ;, conforme mostr Fgr -.. Fgr -.. Conções e contorno o problem. e com s conções e contorno s por:,,,,. 5 sno m fnção tenttv e form, A- e sno como ponto e colocção /, pr. Solção: A eqção ferencl é por:. 54 Seno s conções e contorno form: 78

,,, -. 55, E sno m fnção form,a-. 56 No ntervlo ter: E E n. Pr qe ests conções e contorno sem stsfets, evemos,a..-. 57,A..-. 58,A..--. 59 Isto sgnfc qe qno tene pr zero pr m qlqer, evemos ter: e lm A. 6, A..-. 6 O qe tmbém sgnfc qe qno tene pr o nfnto pr m qlqer, evemos ter lm A. 6 Portnto fnção A qe stsfz s conções e contorno é o tpo: Seno m A m fnção est form temos qe: Cs ervs são: A α e. 6, e α. 64 79

α α e e. 65 E α α α e α e. 66 O erro e promção é o por: Logo ε Ω. 67 α α ε e α e. 68 Ω A sentenç e resíos poneros é por B ε Ω wω. 69 A Sbsttno. 68 em. 69 pr o ponto e colocção / temos: α α [ e α e ] δ /. 7 O α e [ α ] δ /. 7 Logo e α [ α ] / Dvno to por e α temos: 8

8 α α 4 α 8 ± α. 7 Portnto solção prom é: 8 e. 7

..5 - Resolver eqção ferencl. 74 ese té, com conções e contorno e, sno. 75 como fnção tenttv e o métoo colocção por sbomíno com m únco sbomíno e [ ; ]. Solção: Reescreveno eqção cm temos:.. 76 Aplcno s regrs e ervção som e o proto temos,. 77 Após plcrmos s regrs e ervção temos. 78 Reescreveno eqção. 78 o erro e promção é o por: ε Ω. 79 Efetno s ervs em em termos solção prom em. 75 temos:. 8 8

8.. 8 e.. 8 plcno s conções e contorno pr temos:..... 8 Levno os vlores e com em Ω ε temos qe Ω ε. 84 ssm Ω ε fc segnte form Ω ε. 85 reescreveno eqção. 85 temos,. 4 ε Ω. 86 Reorenno os termos eqção. 86 temos, 4 4 Ω ε. 87 Agor, n eqção nteror sbsttno os vlores e e e temos os segnte reslto. 4 4. ε Ω. 88 Reescreveno eqção. 88 temos:

84 4 4 4 ε Ω. 89 Agor plcno Ω ε Ω w. 9 Pelo métoo colocção por sbomíno, temos qe ω. Assm. 9 fc. Ω ε Ω. 9 Sbsttno Ω ε n eqção cm fcmos com: 4 4 4 [. 9 Efetno os cálclos ntegrl temos o segnte reslto, ] 4 8 4 4 [. 9 Agor sbsttno os etremos sperores e nferores ntegrl, temos: [] ].. 4.. 8.. 4......... 4... [. 94 Agor reoreno eqção. 94 temos: 4... 95 Resolveno est eqção temos o segnte reslto: 4. 96

Encontro segnte reslto: 4 levmos este vlor n eqção. 8 pr encontrr, qe tem o 4. 97 Agor levno este vlor n eqção e. 75 temos o segnte reslto: 4. 98 85

..6 Resolver eqção ferencl A eqção o eslocmento vertcl e m cbo sspenso entre os pontos é p one p rzão entre crg strbí e forç nos etremos. Use formlção frc e promção homogêne solção e contorno pr clclr nclnção nos etremos pr m cbo qe se estene ese té com conções e contorno e. A fnção p é por., < 4 p, <. 99 4 4, < 4 Solção: Se eqção ferencl, p. O erro e promção ε Ω é o por: ε Ω p. A sentenç básc os resíos poneros é por. w ε Ω Ω. Logo, sbsttno. em. obtemos o segnte reslto, p wω. Integrno por prtes m ª vez temos: 86

w p w Ω { p. w} [ w ]. 4 v v one v w w v v v. 5 v v Integrno por prtes novmente m ª vez temos o termo em nteror w n eqção w { w } ω p w p w w v. 6 one w w v v v v v. 7 rerrnno os termos temos: o one w w p w w. 8 w w p w [ qw]. 9 87

Stsfzeno conção homogêne evemos ter: q. w. Logo w. Logo w. e w. 4 Portnto, Usno. em. 9 temos: w. 5 w p w [ qw]. 6 Sbsttno. e. 5 em. 6 temos: p [ [ ] [ ] ] q. 7 Aplcno s conções e contorno temos: Logo. 7 fc: e. 8 88

] [ ] [ ] q p [. 9 Então p [ [ ] ] q. o p [ ] q q. Seprno fnção p nos ntervlos: / 4 p [ q ] q / 4 / 4 p [ ] / 4 p [ ]. A prmer e tercer ntegrl são nls, pos p nestes ntervlos vle zero, conforme mostr Fgr -. 4: Fgr -. 4. Intervlo e vle fnção p. Logo 89

9 4 / 4 / ] [ q q p. Integrno temos: 4 / 4 / q q. 4 seno 4 4 4 4 q q. 5 O 4 4 9 q q. 6 E 4 8 q q. 7 4 q q. 8 rerrnno os termos temos: 4 q q q. 9 Como e são rbtráros por comprção os coefcentes e e temos necessrmente qe: 4 q q e q. logo

q. 4 Portnto, Observe qe se p temos: q e q. 4 4 w. Logo nos ntervlos ¼ e /4, O se: w. 4 Fgr -. 5. Intervlo e vle fnção p. ervno temos: Se w e w então: < / 4 pr. 5 / 4 < 9

q q pr pr. 6 Como q q / 4 então -¼. Ms nestes ntervlos evemos ter qe; e Logo / 4 como q - ¼ temos: Logo / 4 / 4 p [ ] q. 7 [ ] q/ 4 q. 8 4 q / 4 q. 9 4 q / 4. 4 4 4 4 q / 4 4. 4 6 Por otro lo temos: e p [ ] q / 4. 4 / 4 9

/ 4 [ ] q q/ 4. 4 4 Logo como q -¼ temos: Logo q q/ 4. 44 4 q/ 4. 45 4 4 4 4 q / 4 4. 46 6 Portnto, q q / 4 / 4 4 6 4 6. 47 Conclsão Embor se possível clclr nclnção os etremos o cbo, nos pontos e, não é possível etermnr os vlores e e porqe fnção p fnção e Hevse é escontn nos pontos /4 e ¾, fcno os vlores e q /4 e q /4 netermnos. 9

Cpítlo III INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO RESUMO Neste cpítlo será vsto orgem o Métoo os Elementos e Contorno. Este métoo se present como m lterntv o Métoo os Elementos Fntos.. -Obetvos o cpítlo forms Entener orgem o Métoo os Elementos e Contorno Sber plcr o Métoo os Elementos e Contorno ns ss ms ferentes Resolver problems e eqções ferencs pertnentes o métoo.. - Introção Este métoo fo prncpo chmo e Métoo s Eqções Integrs. Ms pr stng-lo os otros métoos qe envolvm tmbém eqções ntegrs, ele fo fnlmente chmo e Métoo os Elementos e Contorno. O Métoo os Elementos e Contorno MEC tem so estbeleco como m métoo nmérco lterntvo o Métoo os Elementos Fntos MEF. Isto se eve s smplce e reção n mensonle o problem. Por eemplo, m problem bmensonl se rez somente lnh nmensonl e contorno o omíno necessáro ser scretzo entro os elementos e, m problem trmensonl se rez m sperfíce o omíno qe necesst ser scretzo. Isto sgnfc qe, compro à nlse 94

e m omíno tpo MEF, m nálse e contorno reslt em m sbstncl reção n preprção os os e, m sstem lgébrco e eqções mto menor ser resolvo nmercmente.. Precrsores o Métoo e Elementos e Contorno O Métoo os Elementos e Contorno teve como precrsores mtemátcos pr o se esenvolvmento os segntes Métoos mostros n Fgr -.. Jnto com esses métoos, o Métoo e Green, é tlzo no esenvolvmento mtemátco o Métoo os Elementos e Contorno, como m formlção básc necessár pr solção eqção ntegrl o problem snglr eqvlente n vrável, w, ql é fnção e ponerção. o se, Fnção e Green o operor ferencl o problem orgnl, é fnção e ponerção, w, conforme veremos no esenvolvmento segr: Fgr -.. Resmo Evolção os Métoos Apromos bseos nos Resíos Poneros 95

.. Métoo s Fnções e Green Se eqção ferencl lner não homogêne, vál pr too, n ql não são mposts conções e contorno. one é m operor lner com coefcentes constntes. [ ] f. Qno o termo f é sbsttío por δ ', fnção elt e Drc, n ql é m prâmetro, eqção. é reescrt como: [ G, '] δ '. G A fnção, ', solção eqção., chm-se Fnção e Green pr o operor e represent o efeto, em, evo m fnção elt e Drc qe t em, o ponto é chmo e cmpo e o ponto é chmo e fonte. Pr resolver. com o ílo e. os termos à esqer e à ret em. são nclmente mltplcos por f, em seg efet-se ntegrção no omíno < ' <. Assm: [ G, '] f ' ' δ ' f ' ' f. Trocno, em., orem o operor ferencl e o snl e ntegrção, obtém-se: [ G, '] f ' ' δ ' f ' ' f. 4 Comprno-se s eqções. 4 e., concl-se qe solção eqção. poe ser escrt como: Ponerção. [ G, '] f ' '. 5 No Métoo os Elementos e Contorno s Fnções e Green são s Fnções e 96

.. Integrção por Prtes em s mensões Se ntegrl Ω ψ φ Ω ψ φ. 6 Conforme mostr Fgr -., one φ, φ e ψ ψ, ; Fgr -.. Integrl por prtes em s mensões em relção. Integrno por prtes em relção : φ ; ψ v φ ; v ψ. 7 Logo φ [ φψ φψ ] ψ T ψ φ D E. 8 B Pr D, tem-se: 97

Conserno m elemento e contorno,, qno D, tem-se: cosβ n n cosβ. 9 one n é o cosseno retor norml n o contorno,, em relção o eo. ~ n n ~ ~ n ~. Assm, o prmero termo à ret em. 8 poe ser nterpreto como m ntegrl, no sento nt-horáro, o longo o contorno,. Portnto, Ω ψ φ Ω Pr E, tem-se: φ φψ n ψω. Ω tem-se: D mesm mner, conserno m elemento e contorno,, qno E, cosβ n cosγ n cosγ. 98

99 Fgr -.. Integrl por prtes em s mensões em relção. Anlogmente, o segno termo à ret em. 8 poe ser nterpreto como m ntegrl, no sento horáro, o longo e. Portnto, Ω Ω Ω ψ φ φψ Ω ψ φ n. As ntegrs. e. serão tlzs no esenvolvmento o Métoo os Elementos e Contorno, segr. Unno. com. obtemos prmer ente e Green. Ω Ω Ω ψ φ φ φψ Ω ψ ψ φ n n. 4 o smplesmente: φψ Ω φ ψ ψ φ Ω n. 5 Utlzno esses precrsores mtemátcos poemos prtr e gor elborr o esenvolvmento mtemátco o Métoo os Elementos e Contorno.

. 4 Defnção Mtemátc e Desenvolvmento o Métoo Consere Eqção e Posson em s mensões: b em Ω. 6 Com s conções e contorno: Essencs ˆ em. 7 e Ntrs q qˆ em q. 8 n one U q. 9 e n é norml o contorno, rg pr for o contorno. ~ Seno m solção prom o problem, qe não tene s conções e contorno, três tpos e resíos, o erros, são geros: em Ω b em c em q os qs evem ser poneros ε Ω b. ε ˆ. ε q q qˆ. n n A sentenç básc e resíos poneros é escrt como:

ˆ ˆ Ω Ω w q q w w b q. one o Lplcno é o por:. 4 As fnções e ponerção w w w e,, poem ser escolhs convenentemente, e mner smplfcr o problem. Integrno por prtes, ntegrl qe contém o Lplcno em., obtém-se: Ω Ω Ω Ω Ω Ω w w w n n w w. 5 one q n n n n. 6 Integrno novmente por prtes, ntegrl e omíno à ret em. 5, tem-se: Ω Ω Ω Ω w w n w n w w w. 7 one q n n w n w n w ˆ. 8 Sbsttno, gor,. 7 em. 5 temos: Ω Ω Ω Ω w n w qw w. 9 Sbsttno gor,. 8 em. 4 temos: Ω Ω Ω Ω q w q q w n w qw bw w ˆ ˆ.

Observno gor qe U q, poe-se escrever: qw qw q qw. w w w n n n. Sbsttno. e. em. temos: q Ω q wω Ω w n bwω w qw q w ˆ qw q qw w n q qw ˆ. A epressão. poe ser smplfc fzeno respectvmente s ntegrs em nlno-se s ntegrs em w w e, nlno-se q qe contém os vlores promos q, e w w, n qe contém os vlores promos. A epressão resltnte é enomn Formlção Invers e Resíos Poneros. w w wω bwω ˆ qw n n ˆ Ω Ω q q qw. 4 o, smplfcno s epressões pr s ntegrs e contorno: Ω w w Ω bwω qw n. 5 Ω Ns ntegrs e contorno em. 5, eve-se sbsttr por û em prmer ntegrl e q por qˆ, n segn ntegrl. OBS: Sbeno-se qe w w e qe eqção. 4, poe ser escrt como: n w w, sentenç básc e resíos poneros, n

De. 5 e. 5 poe-se escrever form frc sentenç e resíos poneros como: q n w w q q bw w w qw Ω Ω ˆ. 6 Conserno qe: q qw qw qw. 7 A epressão. 6 poe ser escrt como: Ω Ω bw n w qw qw w w q ˆ ˆ. 8 Como lgns termos se nlm temos: Ω Ω bw n w qw w w q ˆ. 9 Nós hvímos vsto qe: Ω Ω Ω Ω qw n w bw w. 4 No Métoo os Elementos e Contorno, fnção e ponerção, w é solção o problem snglr-eqvlente, sto é, el é Fnção e Green o operor ferencl..4. Solção Fnmentl-Fnção e Ponerção Pr eqção e Posson, fnção e Green pr o operor, represent por, * X ξ, é solção o problem, o se,, * X X ξ δ ξ. 4

Assm, *, X O ponto X é enomno ponto cmpo, e, o ponto ξ é enomno ponto fonte. ξ, enomn, solção fnmentl, poe ser nterpret como o efeto, no ponto cmpo, e m fonte concentr plc no ponto fonte. Em s mensões, X é o ponto e coorens,, e ξ é o ponto e coorens ξ, ξ ξ, ξ. A epressão pr * é: * ξ, X ln r. 4 π one r é stânc entre ξ e X. Em três mensões, X é o ponto e coorens,, z,, e ξ é o ponto e coorens ξ, ξ, ξz ξ, ξ, ξ. A epressão * é: * ξ, X. 4 4πr Conhec solção fnmentl, s erv em relção à reção norml o contorno é clcl como: o e one, em. 46 * q * ξ, X ξ, X n. 44 * r q * ξ, X ξ, X r n. 45 As epressões e *, X q ξ, em três e em s mensões, são: r q * ξ, X 4πr n D. 46 r q * ξ, X πr n D. 47 4

5 z n z r n r n r n r. 48 E em. 47 n r n r n r. 49 Utlzno notção o métoo os elementos e contorno, eqção. 5 poe ser reescrt fzeno, q q. 5 Como:, *, *, *, * X X q X X X X q X X b X X X X ξ ξ Ω ξ Ω ξ Ω Ω. 5 Em. 5, e X q q Como, * X X ξ δ ξ, prmer ntegrl e omíno à esqer e. 5 se rez :, * ξ Ω ξ δ Ω ξ Ω Ω X X X X X X. 5 D sbsttção e. 5 em. 5 reslt eqção ntegrl e contorno: Ω ξ Ω ξ ξ ξ ξ Ω ;, *, *, * X X b X X X X q X X q X. 5 Lembrno qe: q q q U ˆ ˆ. 54 one:

q ˆ q qˆ prescrto ; prescrto; q?? ncógnt ncógnt. 55 Vemos o eemplo: Fgr -. 4. Eemplo e m omíno, Ω, com ro, r, e ponto fonte, ξ, e contorno U q. Embor eqção ntegrl e contorno represente solção o problem pr pontos, ξ, pertencentes o omíno, Ω, el não poe ser tlz enqnto os vlores e qx em e e X em q não forem conhecos. Pr resolver esse problem, torn-se necessáro encontrr m epressão lmte eqção, n ql o ponto ξ. Pr obtenção epressão lmte, qe torn possível solção o problem, o ponto ξ é levo té o contorno e,, ecl-se o omíno m esfer e ro ε e centro em ξ cso D o m círclo o setor crclr e ro ε e centro em ξ cso D. Em seg, clcl-se o lmte qno ε. Fgr -. 5. Solção geométrc pr o problem o ponto fonte, ξ, o ql é trnsfero o nteror o omíno pr o contorno. 6

OBS: Se Ω ε, é o omíno eclío, em Ω - Ω ε, tem-se, *, X ξ pos ξ Ω Ω ε ε As ntegrs e contorno evem ser vls em, one ε represent o contorno qe fo eclío, e em ε, qe represent o contorno esfer o o setor círclr. A eqção, qno, é escrt como: lm * * * * * q q q q bω. 56 ε ε ε ε ε Ω Ωε As ntegrs em poem ser clcls como note qe r ε constnte, εθ. lm ε ε α * q lm ln.. ε q εθ. 57 ε π lm ε ε lm ξ ε q * lm ε α ε q *[ ξ ] ξ α ξ. εθ πε π ε q *. 58 O termo α/π é esgno por Cξ; Assm se ξ Ω é ponto eterno Ω C ξ se ξ é contorno sve. 59 se ξ Ω ponto e omíno ponto nterno ε As ntegrs em evem ser vlos no sento e Vlor Prncpl e Cch. A ntegrl em Ω - Ω ε não reqer nenhm trblho especl. escrt como: A eqção ntegrl básc o métoo os elementos e contorno, ξ é 7

C ξ ξ * ξ, X q X X q * ξ, X X X ' Ω * ξ, X b X Ω X. 6 Est é Eqção e Lplce n formlção ntegrl, ql eqção poe ser conser m cso prtclr..4. - Vlor Prncpl e Cch Defnção: Integrs e fnções qe se tornm nfnts em m ponto o ntervlo e ntegrção; são ntegrs mpróprs: D ntegrl mprópr: b I f. 6 qe present m ssntot vertcl m escontne nfnt em c, < b < c, então I poe ser clcl como: I lm cε ε f lm b δ c δ f. 6 otro lo: Se os lmtes estem ntegrl converge, o é chm convergente. Se por lm ε lm cε b δ c δ f ± f ±. 6 Então ntegrl verge, o é chm não-convergente vergente. Fzeno-se δ ε ntegrl mprópr não convergente vergente poe estr no sento e Vlor Prncpl e Cch, possno m vlor fnto. VP : b cε b f lm f ε c ε f. 64 Embor 8

9 ± ε ε c f lm. 65 e/o ± b c f ε ε lm. 66 Por eemplo, se f / α. 67 Então é m ssmptot vertcl crv é ntegrl: I α. 68 eve ser vl como: ] [ lm lm lm lm lm lm α δ α α ε δ α δ ε α ε δ α δ ε α ε δ α ε α α α I. 69 Se < α, então > α k e ntegrl mprópr converge, pos: lm lm k k e δ ε δ ε. 7 Se ; f α lm lm lm lm δ δ ε ε ε δ ε ε e ntegrl é vergente. 7

Clclno o Vlor Prncpl e Cch ] lm[ : α α α ε α ε ε α VP. 7 Qno α ] lm[ ε ε ε. 7 ] lm[ ε ε ε. 74 o ] [ ] lm[ ε ε ε. 75.4. Solção Nmérc Eqção e Lplce Pr solção nmérc eqção ntegrl. 6 ssoc eqção e Lplce, eqção é reescrt pr m número fnto e pontos ξ seleconos. Esss eqções prtclrzs são obts tlzno o Métoo Colocção no ql eqção. 6, com b é poner o longo o contorno ξ. Utlz-se, portnto, como fnção e ponerção o Delt e Drc ξ ξ δ one ξ correspone à posção selecon. Poe-se escrever mtno b : ', * ', * ' ' ' ' ξ ξ ξ δ ξ ξ ξ ξ δ ξ ξ ξ ξ δ ξ ξ X T X q X X T X q X C.. 76

Inverteno orem ntegrção: ', * ', * ' ' ' ' ξ ξ ξ δ ξ ξ ξ ξ δ ξ ξ ξ ξ δ ξ ξ X X X q X X q X C.. 77 Aplcno propree fnção Delt e Drc, eqção. 77 é escrt como: ξ ξ ξ ξ, *, * X X X q X X q X C. 78 O omíno Ω eve fcr sempre esqer o sento o percrso o contorno, e tl form qe o vetor norml à sperfíce e contorno se rgo pr for o contorno, conforme mostr Fgr -. 6 Fgr -. 6. Aplcção propree fnção elt e Drc sobre o ponto fonte ξ, sobre o contorno.

. 5 Dscretzção o Contorno Pr obtenção e m sstem e eqções lgébrcs prtr e. 78, c solção forneç os vlores e qx em e e X em q, o contorno é promo o scretzo por elementos e geometr conhec, enomn elementos e contorno. Os tpos ms comns são os lneres e os qrátcos. N promção lner os elementos são segmentos e ret, efnos por os nós geométrcos. N scretzção o promção qrátc os elementos são prbólcos e, são necessáros efnr três nós geométrcos. Fgr -. 7. Dscretzção lner o contorno e m omíno, Ω. Poe-se tlzr, pr representr vrção e X e e qx, fnções e form o e nterpolção em c elemento, qe poe ser constnte lner o qrátc, epeneno o número e nós fncons. Os nós fncons são os nós one os vlores e X e e qx são conhecos o prescrtos. Assm, no cso e elemento constnte, há somente m nó fnconl, sto no meo o elemento. No cso o elemento constnte o lner, stção ms comm ocorre qno os os nós fncons concem com os nós geométrcos. Qno scretzção for lner, no cso o elemento qrátco, os nós fncons tmbém concem com os nós geométrcos scretzção qrátc. Por eemplo:

Fgr -. 8. Tpos e elementos e contorno, lner o prbólco e tpos e nós, geométrcos e fncons, one os nós fncons poem o não concr com os nós geométrcos. Fgr -. 9. Esqemtzção e nós pr o problem e m brr engst..5. - Elemento Constnte Dscretzção Lner -.. Pr m elemento constnte e m scretzção lner temos o eemplo Fgr

4 Fgr -.. F I F I I F I F X. 79 e F I F I I F I F q q X q. 8.5. - Elemento Lner Dscretzção Lner Pr m elemento lner e m scretzção lner temos o eemplo Fgr -.. Fgr -..

5 Fgr -.. Dscrretzção o contorno,. Se o contorno é scretzo promo em n elementos constntes, versão scretz eqção. 78, pr m ponto fonte, ξ,,,,...n sto no meo e c elemento é escrt como: n n q q C * *. 8 one X X q q q q X C C ξ ξ ξ ξ, * *, * *. 8 Como e q são constntes poe-se escrever: q q * *. 8 E q q * *. 84 Por eemplo, pr 8 elementos temos: 8 8 8 8 8 88 8 8 8 8 8 8 8 8...... :...... q g q g q g h h h C q g q g q g h h h C. 85 Como o contorno é sve em c elemento, temos:

C ξ C ;,,..., n. 86 Fgr -.. Cálclo o coefcente Cξ pr m ânglo α qlqer. one α C ξ p / α π C. 87 π Sbsttno. 8,. 84. 86 em. 8 temos: n q * n * q. 88 Fzeno hˆ q * e g *. 89 A eqção. 88 é escrt como: n hˆ n g q. 9 tpo: Agrpno s n eqções. 9 escrt pr ξ,ξ,...ξ n, obtém-se m sstem o H G q ~ ~ ~ ~. 9 No ql os elementos mtrz H são efnos como: ~ 6

hˆ se elemento não sn glr h. 9 h ˆ se elemento sn glr De form gerl temos: h h : h h h n n n h : n h h h n h n............ h n n : nn h h h nn h nn h n n : nn h h h nn h nn h n n : nn h h h nn h nn : ˆ n n n g g : g g g n n n g g g g : n n g n............ g g g g n n : nn nn g nn g g g g n n : nn nn g nn g g g g n n : nn nn g nn qˆ qˆ : q qˆ qˆ n n n. 9 H G q ~ ~ ~ Um eemplo pr 6 elementos mtrz se rez : h h h h h h 4 5 6 h h h h h h 4 5 6 h h h h h h 4 5 6 h h h h h h 4 4 4 44 54 64 h h h h h h 5 5 5 45 55 65 h h h h h h 6 6 6 46 56 66 ˆ ˆ 4 5 6 g g g g g g 4 5 6 g g g g g g 4 5 6 g g g g g g 4 5 6 g g g g g g 4 4 4 44 54 64 g g g g g g 5 5 5 45 55 65 g g g g g g 6 6 6 46 56 66 qˆ qˆ q q4 qˆ 5 qˆ 6. 94 H G q ~ ~ ~ Após mposção s conções e contorno, obtém-se m sstem o tpo: A ~ ~ f ~. 95 é obto, no ql mtrz A é consttí pels colns e ~ ncógnts e e q, gor rmzenos nos vetores contrbções e contorno, trocos, conforme mostr o esqem bo:, e ~ H e ~ G ssocos os vlores ~ f é o vetor qe contém s ~ A, ntercâmbno os vlores conhecos mtrz, com os sns ~ 7

h h h h h h 4 5 6 h h h h h h 4 5 6 g g g g g g 4 5 6 g g g g g g 4 4 4 44 54 64 h h h h h h 5 5 5 45 55 65 h h h h h h 6 6 6 46 56 66 g g q g q4 g 5 g 6 g 4 5 6 g g g g g g 4 5 6 h h h h h h 4 5 6 h h h h h h 4 4 4 44 54 64 g g g g g g 5 5 5 45 55 65 g g g g g g 6 6 6 46 56 66 qˆ qˆ ˆ ˆ4 qˆ 5 qˆ 6. 96 A ~ ~ f ~ Os vlores e q conhecos o prescrtos clclos o não prescrtos q q. Os vlores e conhecos o prescrtos clclos o não prescrtos. q qˆ pelos vlores e q ser ˆ pelos vlores e ser 8

9. 6 Eemplos e Aplcções w q q w w b λ. 97

. 7 Eercícos e Problems

Cpítlo IV PROBLEMAS DE POTENCIAL RESUMO Neste cpítlo será vsto solção o problem o potencl, eqção e Posson e Lplce, por meo o Métoo os Elementos e Contorno. 4. - Obetvos o cpítlo Entener teor mtemátc fnmentl obtenção s eqções ntegrs Sber plcr o Métoo os Elementos e Contorno em problems e potencl ns ss ms ferentes forms Resolver problems e eqções ferencs pertnentes o métoo. 4. Introção O problem o potencl consste em como se obter eqção ntegrl pr o problem?. Estem três forms báscs pr se chegr ess eqção ntegrl, sber: - pelo Métoo os Resíos Poneros - pelo Prncípo os Trblhos Vrts - pelo Teorem Recproce e Bett - pel Tercer Iente e Green A vntgem e sr o Métoo os Resíos Poneros é s generle, qe permte etensão o métoo pr resolver eqções ferencs prcs ms comples. Este métoo tmbém poe ser so pr relconr elementos e contorno otrs técncs nmércs e poe ser fclmente enten pelos engenheros.

4. A Eqção e Posson No cpítlo nteror vmos o esenvolvmento versão nmensonl eqção e Posson, gor veremos versão bmensonl est eqção. 4.. O problem bmensonl Um mportnte eqção n engenhr é tão chm eqção e Posson qe pr s mensões poe ser escrt como: b em Ω 4. o one b em Ω 4., é chmo o operor e Lplce e e são s s coorens e b é m fnção conhec e e. Ω é o omíno no ql eqção se plc e é sposto ser contorn pel crv. O vetor norml rgo pr for o contorno é efno como nˆ, conforme mostr Fgr - 4.. Fgr - 4.. Domíno sob conserção pr s efnções báscs eqção e Posson. A eqção e Posson o s form homogêne sto é b ql é chm e eqção e Lplce, govern mtos tpos e problems em engenhr, ts como: nálses e seepge e qfer, conção e clor, processo e fsão, torção, movmento e flos e otros. Conseqentemente est é m eqção mto mportnte n nálse e engenhr.

4.. A ª Iente e Green Agor nós tmbém poemos ntrozr q é e mltplcr eqção 4. o 4. por m fnção rbtrár w, contín em orem cm erv segn, e coro com sentenç e resíos poneros, forneceno: Ω Ω w b 4. ª Integrção por Prtes Integrno por prtes os termos, em e, temos: Ω Ω Ω Ω w w w w v v v 4. 4 one w e w w e Ω v logo v. Como n e n temos: Ω Ω Ω Ω w w n n w w 4. 5 chmno e: n n n ˆ ˆ ˆ 4. 6 e r ˆ ˆ 4. 7 logo. ˆ n n r n 4. 8 o

n. r ˆ.ˆ ˆ. ˆ ˆ 4. 9 Portnto, os vetores nˆ e r Logo são perpenclres nˆ r entre s, pos n ˆ. r n ˆ ˆ ˆ 4. n 4. Portnto, eqção 4. 5 fc: Ω wω Ω w n w w Ω 4. seno n.ˆ n 4. e n ˆ ˆ 4. 4 com w w w ˆ ˆ 4. 5 temos: Ω w Ω w. n ˆ Ω wω 4. 6 Logo sbsttno 4. 6 em 4. temos: Ω b Ω w bw Ω w.ˆ n o w Ω 4. 7 o 4

5 Ω Ω Ω Ω n n w bw w w b w 4. 8 Neste cso ntegrção por prtes os os termos proz s ervs e com respeto norml, sto é, n / o ql será chmo posterormente e q, sto é, n q /. ª Integrção por Prtes Integrno por prtes novmente os termos, em e, one w w e Ω w w e v logo v. v v bw w w v Ω Ω 4. 9 obtemos: Ω Ω Ω Ω w w w w w w 4. Como n e n temos: Ω Ω Ω Ω w w n w n w w w 4. Como w w n w 4. logo

6 Ω Ω Ω Ω w n w w 4. logo / / Ω Ω n w n w n n w bw w w n w n 4. 4 o Ω Ω n w n w bw w 4. 5 A epressão 4. 5 é gl 4. e portnto poe-se escrever: Ω Ω Ω Ω n w n w w w 4. 6 one o termo em b tem so elmno porqe este prece os os los eqção. A eqção 4. 6 poe tmbém ser epress n form conhec como teorem e Green, sto é: Ω Ω n w w w w ˆ. 4. 7 Embor este teorem em mtos csos forneç o ponto e prt pr mts plcções em engenhr, nclno formlção os elementos e contorno, este teorem é mto ms esclreceor no so o conceto e strbção, conforme se lstr os grs e contne reqer s fnções e mportânc o correto trtmento s conções e contorno.

7 4.. - Levno o problem pr o contorno Neste momento vmos gor conserr qe o contorno o omíno Ω sob esto é vo em s prtes, e tl qe: em 4. 8 q n q em 4. 9 Portnto, eqção 4. 5 poe gor ser escrt como: Ω Ω n w n w qw qw bw w 4. ª Integrção por Prtes Ms m vez poemos ntegrr por prtes, pr recperr o Lplcno orgnl e form ver como mportânc s conções e contorno fet eqção. Integrno por prtes novmente nós temos: Ω Ω n w n w qw qw n w bw w w 4. Poe-se vr prmer ntegrl em em os termos m em e o otro em, o segno termo o ql poe ser cncelo com últm ntegrl em 4.. Este fornece Ω Ω n w qw qw n w bw w w 4.

8 4ª Integrção por Prtes Integrno por prtes novmente segnte epressão é obt: Ω Ω n w qw qw n w w q b w 4. o { }.ˆ.ˆ Ω Ω w n qw qw w n wq bw w 4. 4 A prmer ntegrl em poe novmente ser escrt como m som e s ntegrs, m em e otr em. A prmer em poe ser cncel com ntegrl em e qw n segn eqção. Isto fornece Ω Ω n w qw n w qw b w 4. 5 Est fórml poe ser escrt como: Ω Ω n w w q q b w 4. 6 Ms m vez est epressão mostr qe está se tentno stsfzer eqção ferencl no omíno, Ω, e nto com ms os tpos e conções e contorno, s conções essencs em, ms s conções ntrs q q em. Isto é mto ms o qe tem so mostro n eqção,. com únc eceção e qe o snl o últmo termo é ferente em mbs s epressões. Isto porqe n eqção. s ervs form toms com relção o nvés e ser com relção norml, nˆ, como els são gor.

4. 4 A Formlção Frc o Métoo os Resíos Poneros O estbelecmento s ntegrs fnments o Métoo os Elementos e Contorno e o Métoo os Elementos Fntos poe ser nterpret como m combnção e m Sentenç e Resíos Poneros e e m processo e ntegrção por prtes, qe rez o enfrqece orem contne reqer pr fnção. 4.4. Resolveno o problem no contorno Se retornrmos eqção e Posson em 4. com b, por qestões e smplce, sto é: em Ω 4. 7 eqção e Lplce em 4. 6 poe ser escrt como: Ω w Ω q q w w 4. 8 n o em termos s fnções ress, Ω wrω R w w R n q 4. 9 Conforme mostr Fgr - 4.. Fgr - 4.. Domíno Ω e o contorno, e m problem e Lplcno e m potencl,. 9

Vemos m cso prtclr o especl est eqção em co cso fnção e promção stsfz etmente s conções e contorno essencs em o qe reslt em R. Neste cso eqção 4. 9 torn-se: em R 4. 4 logo Ω Ω w R R w 4. 4 o Ω Ω w q q w 4. 4 5ª Integrção por Prtes Formlção Frc Um form ms sl est epressão poe ser obt pel ntegrção por prtes ms m vez ql fornece. Ω Ω w q q w n w n w w 4. 4 one qw w n flo logo Ω Ω n w qw qw w w 4. 44 one s s s v v v Ω Ω qw qw w w 4. 45

D eqção 4. 45 se mpsermos qe s fnções w stsfzem versão lgrngen s conções e contorno essencs em, então w em one o potencl é conheco. Logo, q w 4. 46 Portnto, não vemos ms porqe nos preocprmos com o flo em. Isto reslt qe: w w Ω Ω qw 4. 47 Est eqção trz o Métoo os Elementos e Fntos MEF e m form sscnt qe correspone Formlção Vrconl Frc. Deve-se observr qe eqção 4. 45 poer tmbém ser obt pel ntegrção por prtes sobre o omíno Sentenç e Resíos Poneros pr ntrozno s conções e contorno, sto é, ncno com: Ω w Ω e então 4. 48 Poe-se ntegrr por prtes ms m vez pr prozr segnte epressão: Ω w w Ω w n 4. 49 Introzno-se então s corresponentes conções e contorno em reslt n eqção 4. 45. O últmo termo n eqção 4. 45 é gerlmente forço ser entcmente gl zero pelo reqermento e qe s fnções w tem e stsfzer versão lgrngen s conções e contorno essencs, o s conções sobre, sto é, w em. Isto á m relção bem conhec no Métoo os Elementos Fntos, sto é: w w Ω Ω qw 4. 5 A eqção 4. 49 é gerlmente nterpret em termos o trblho vrtl o potênc vrtl, pel ssocção e w com m fnção vrtl. Note qe ntegrl no lo esqero é m me o trblho vrtl nterno e o lo reto o trblho vrtl relzo

por forçs eterns q. A eqção 4. 49 é o ponto e prt mor os esqems e elementos fntos pr problems Lplcnos e é gerlmente chm e m formlção vrconl frc. 4.4.- Motvos frqez A frqez poe ser nterpret como evo s rzões: A orem contne fnção fo rez e como ss ervs gor são e m orem ms b o nferores sto é, prmer o nvés e segn A stsfção s conções e contorno ntrs q q é fet e m form prom o nvés mner et, qe rez precsão os resltos esses vlores no contorno est vrável. Note qe R é gerlmente ferente e zero. A formlção o Métoo os Elementos e Contorno poe ser nterpret pel ntroção e m psso forml ms no processo e ntegrção por prtes ns ervs e, e conseqentemente enfrqeceno os reqstos e contne pr. Se prtrmos novmente eqção 4. 8 e ntegrrmos por prtes como ntes, epressão ms complet é obt como sege: Ω w w Ω qw qw w n 4. 5

4. 5 A Formlção Invers o Métoo os Resíos Poneros Vemos gor formlção nvers o Métoo os Resíos Poneros plco eqção e Lplce. 6ª Integrção por Prtes Integrno-se novmente e form elmnr tos s ervs em no lo esqero ntegrl, ch-se Ω w w w Ω qw qw n n 4. 5 Est é sentenç e prt pr formlção o Métoo os Elementos e Contorno Eqção e Lplce. A mesm eqção poe ser obt prtno-se Integrl os Resíos Poneros sobre o omíno Ω eqção 4. 48, ntegrno-se por prtes s vezes e então ntrozno s conções e contorno. O processo á tem so mostro prtr e m otr eqção e cmpo n fórml 4. 4. 5 e então 4. 8 e 4., únc ferenç gor est seno qe b é zero.

4. 6 Eqções Integrs Báscs Pr se resolver problems e potencs, srge segnte pergnt: Como obter eqção ntegrl pr o problem o potencl? Como respost temos três forms báscs ferentes: - Por meo o Métoo os Resíos Poneros - Pelo Tercer Iente e Green - Pelo Teorem Recproce e Bett. - Pelo Prncpo os Trblhos Vrts. Consere qe nós estmos procrno chr solção eqção e Lplce em m omíno Ω b o trmensonl Fgr - 4.. Fgr - 4.. Defnções geométrcs eqção e Lplce. Se eqção e Lplce em D o D, por: sob s segntes conções sobre o contorno. Conções Essencs o tpo. Conções Ntrs ts como: em Ω 4. 5 em 4. 54 q / n q em. 4. 55 one n é o vetor norml o contorno, e s brrs ncm qe qeles vlores são conhecos conforme mostr Fgr - 4.. Conções e contorno ms comples ts como combnção s s conções cm, sto é: 4

Conções Msts ts como q q: α βq γ em 4. 56 one α e β e γ são prâmetros conhecos, qe poem ser fclmente nclíos ms ele não serão conseros gor por qestão e smplce. Em prncípo o erro ntrozo n eqção cm se os etos vlores e e q esconhecos são sbsttíos por m solção prom qe poe ser mnmz pel ortogonlzção els com relção m fnção e ponerção *, com ervs sobre o contorno e q * / n *. Em otrs plvrs se R são os resíos, poe-se escrever e form gerl qe: R 4. 57 R 4. 58 R q q 4. 59 one e q são vlores promos. O fto qe m o ms os resíos poe ser entcmente zero não mn generle o rgmento. A ponerção poe gor ser relz como mostro no Cpítlo II, sto é, w trvés o Métoo os Resíos Poneros, one w * e / n q *, temos: Ω R * Ω R * Rq * 4. 6 o Ω * Ω q q * q * 4. 6 Integrno por prtes o lo esqero est eqção obtemos: Ω k * Ω k q * q * q * q * 4. 6 one k,, e tão chm notção e somtór e Ensten pr ínces repetos, têm so s. Integrno por prtes novmente o termo o lo esqero obtém-se: 5

* Ω Ω q * q * q * q * 4. 6 Est é m mportnte eqção, ssm el é o ponto e prt pr plcção o Métoo os Elementos e Contorno. Note qe eqção 4. 6 é mesm qe o Teorem e Green eqção 4. 7 epos sbsttção eqção 4. 5 e m vez qe s conções e contorno são plcs. Nosso obetvo gor é trnsformr eqção 4. 5 em m eqção ntegrl e contorno. Ms como?. Isto é feto sno-se m tpo especl e fnção e ponerção * chm e solção fnmentl. 4.6. Solção Fnmentl A solção fnmentl * qe stsfz eqção e Lplce,, e represent o cmpo e solção gero por m fonte o prtr e m crg ntár concentr gno em m etermno ponto ï em m omíno nfnto. O efeto est crg é propgo ese té o nfnto sem qlqer conserção e conções e contorno. Porqe est solção poe ser escrto. * δ 4. 64 one δ δx-x represent fnção Delt e Drc ql tene nfnto em qlqer ponto X X e é gl zero em qlqer otro lgr. A ntegrl e δ conto é gl m. O so fnção elt e Drc é m form elegnte e representr crgs concentrs ntárs como forçs qno estmos trtno com eqções ferencs. A solção prtclr * é solção eqção prtclr. * δ ξ, X 4. 65 pr X ξ. o em coorens crtesns * ξ ξ * * δ ξ, X δ, 4. 66 Trnsformno em coorens polres * * * r δ ξ, 4. 67 r r r r θ A solção fnmentl é esfercmente o crclrmente smétrc 6

ξ ξ, ξ X, 4. 68 e r X ξ 4. 69 o ξ ξ r 4. 7 conforme mostr Fgr - 4. 4. Fgr - 4. 4. Espço vetorl s solções fnments crclrmente smétrcs. Logo pr r > δξ,, temos: * r r r r Defno pel smetr crclr, temos: r θ 4. 7 * * constnte θ θ 4. 7 logo 7

* r δ ξ, r r r 4. 7 one * r r r r 4. 74 A eqção 4. 74 poe ser resolv com ntegrção nmensonl conserno o omíno sotrópco. r * r r r r 4. 75 o * r r A 4. 76 logo * r r A r r 4. 77 Portnto, solção eqção homogêne é: r B * Aln 4. 78 Observemos qe é snglr em r. Resolveno pr chrmos A e B evemos clclr, ntegrl plcno propree fnção Delt e Drc: Ω * Ω δ, ξ Ω Ω 4. 79 Aplcno o teorem e Green-Gss teorem vergênc trnsformmos ntegrl e omíno em m ntegrl e contorno. logo 8 Ω w wω 4. 8 n

Ω * * Ω 4. 8 n Vmos efnr m omíno Ω por m círclo e ro r o reor e ξ centro, conforme mostr Fgr - 4. 5. Fgr - 4. 5. Crclo e ro r centro em ξ no omíno nfnto Ω. A prtr e 4. 76 temos: * r A r 4. 8 Como r e nˆ possem mesm reção poemos escrever: * * * A * Ω rθ rθ n r r 4. 8 r Ω π π Aθ π Aπ πa 4. 84 Logo Portnto, solção fnmentl será: A 4. 85 π 9

* ln π r B cte 4. 86 one B é m constnte rbtrár e ot-se B, logo, pr m meo sotrópco bmensonl solção fnmentl eqção 4. 64 é: * ln π r 4. 87 * é noss fnção e ponerção. E o flo q* é o por: * * r q* 4. 88 n r n πr A eqção present se plc m fonte ntár concentr em ξ. Deve-se lembrr qe * e q* são s resposts m stânc r e m fonte e crg ntár concentr em ξ em m espço nfnto com contorno nfnto. Pr o cso e m omíno sotrópco trmensonl, solção fnmentl é: * 4. 89 4πr Qe é snglr em r, one r é stnc ese o ponto X e plcção fnção elt qlqer ponto sob conserção. E o flo q* em três mensões é o por: * * r q* 4. 9 n r n 4πr 4.6. Análse s solções fnments b e trmensonl È fácl checr qe solção 4. 87 e 4. 89 stsfz s eqções e Lplce tr- e bmensonl. Consere por eemplo eqção trmensonl em termos e coorens polres pós se esprezr os termos qe são nlos evo smetr solção, sto é: * * * δ 4. 9 r r r Smplesmente sbsttno solção 4. 87 e 4. 89 nós poemos checr qe eqção é stsfet pr qlqer vlor e r ferente e zero. Pr o cso one r nós precsmos relzr ntegrção o reor e m esfer e ro ε e então fzer ε tener zero. Consere 4

qe esfer tem m omíno Ω, e ntegrmos por prtes pr epressr o Lplcno em termos os flos e contorno / n *, sto é: Ω * * * Ω 4. 9 r r Note qe n r sobre sperfíce esfer. tener zero temos: Sbsttno gor solção fnmentl 4. 87 em 4. 9 e fzeno r o ε lm ε * lm r ε 4πε 4πε lm ε 4πε 4. 9 Note qe sperfíce esfer é ε 4πε. Smlrmente pr o cso bmensonl poe-se efnr m peqeno círclo e ro ε e então tomr o lmte qno ε, sto é: lm ε * lm r ε πε lm ε πε πε 4. 94 Aq o perímetro o peqeno círclo é πε. 4.6. Aplcção Solção Fnmentl Eqção Integrl Voltno-se eqção ntegrl 4. 6 observ-se qe no lo esqero hv m termo o tpo: Ω * Ω δ ξ, X Ω ξ Ω 4. 95 A ntegrl fnção elt e Drc mltplc por qlqer otr fnção é gl o vlor últm no ponto X. Portnto, eqção ntegrl 4. 6 poe gor ser escrt como: 4

ξ X q * X q * q X * q X * 4. 96 one e q são vlores conhecos. Necesst-se lembrr qe eqção 4. 96 plc-se m crg concentr em e conseqentemente os vlores e * e q* são qeles corresponentes qel posção prtclr crg. Pr c otr posção X chremos m nov eqção ntegrl. 4.6.4 Eqção Integrl e Contorno Nós temos gor ezo eqção 4. 96 ql é vál pr qlqer ponto entro o omíno Ω. Em elementos e contorno é gerlmente preferível por rzões comptcons plcr eqção 4. 96 no contorno e portnto nós precsmos chr o qe contece qno o ponto X está sobre. Um smples form e fzer sto é conserr qe o ponto está sobre o contorno, ms o omíno ele mesmo é mento por m hemsfer e ro ε em D conforme mostro n Fgr - 4. 6 pr D o mesmo se plc ms nós conserremos m semcírclo o nvés e m sem-esfer. Fgr - 4. 6. Pontos e contorno pr o cso b- e trmensonl, mento por m peqen hemsfer o semcírclo. O ponto X é consero ser no centro e então o ro ε é tomo zero. O ponto então tornrá m ponto e contorno e epressão resltnte especlzção e 4. 96 pr m ponto sobre 4

. No presente nós somente conserremos sperfíces sves como represento n Fgr - 4. 6 e sctremos o cso os cntos em otrs secções. É mportnte neste estágo ferencr entre os tpos e ntegrs e contorno em 4. 96 conforme solção fnmentl e s erv comportm-se ferentemente. Consere por qestão e smplce eqção 4. 96 ntes e qsqer conções e contorno terem so plcs, sto é: q * q * 4. 97 one e stsfzeno s conções e contorno será e pr epos. Integrs o tpo mostro no lo reto e 4. 97 são fáces e trtr porqe els presentm m b orem e snglre, sto é, pr os csos trmensons ntegrl o reor e fornece: lm ε q * lm ε πε lmq ε 4πε q 4πε 4. 98 Em otrs plvrs n ocorre no lo reto ntegrl qno 4. 96 o 4. 97 são levs pr o contorno. O lo esqero ntegrl, conto comport-se e m form ferente. Aq nós temos o reor e ε o segnte reslto. lm ε q * lm ε πε lm ε 4πε 4πε 4. 99 Eles prozem o qe é chmo e termo lvre. É fácl checr qe o mesmo ocorrerá pr os problems bmensons em co cso o lo reto ntegrl o reor e ε é tmbém entcmente gl zero e o lo esqero ntegrl torn-se 4

lm q * lm ε ε πε lm ε πε πε 4. Dese eqção 4. 98 4. poe-se escrever segnte epressão pr os problems b- e trmensons q * q * 4. one s ntegrs estão no senso o Vlor Prncpl e Cch. Este é eqção ntegrl e contorno gerlmente s como m ponto e prt pr os elementos e contorno. 4. 7 Métoo e Dscretzção o Contorno Vmos gor conserr como epressão 4. poe ser scretz pr chr o sstem e eqções o ql os vlores e contorno poem ser chos. Sponh por qestões e smplce qe o corpo é bmensonl e se contorno é vo em N segmentos o elementos conforme mostro n Fgr - 4. 7. Os pontos one os vlores esconhecos são conseros são chmos nós e são tomos ser no meo o elemento pr o tão chmo elemento-constnte Fgr - 4. 7. Estes serão elementos conseros nest secção, ms epos nós sremos e tmbém sctremos o cso e elementos lneres, sto é, qeles elementos pr os qs os nós são nós etremos o ponts Fgr - 4. 7b e elementos crvos ts como os qrátcos mostros n Fgr - 4. 7c e pr o ql m nó ms no meo o elemento é necessáro. Fgr - 4. 7. Dferentes tpos e elementos e contorno. 44

Observe qe geometr os elementos e contorno poe o não ser comptível com geometr o contorno. No cso Fgr - 4. 7 têm-se m contorno crvo promo por elementos lneres constntes, o segmentos e ret. Pr fcltr o entenmento vmos vslzr scretzção com elemento constnte e geometr lner o ret. Portnto, pr os elementos constntes conseros q o contorno é sposto ser vo em N elementos,,,,...n, temos: N 4. Os vlores e e q são spostos ser constntes sobre c elemento e gl o vlor no meo o nó. A eqção 4. poe ser scretz pr m o ponto ï ntes e plcr qsqer conções e contorno, logo eqção e contorno poe ser escrt como sege, N N ξ X q * q X * 4. O ponto é m os nós o contorno. Note qe pr este tpo e elemento sto é constnte o contorno é sempre sve conforme o nó está no centro o elemento, portnto o mltplcor e c é ½. é o contorno o elemento. ξ é o ponto em qe será plco c m os nós fncons os elementos. Os vlores e e q poem ser levos pr for s ntegrs porqe eles são constntes sobre c elemento. Eles serão chmos e e q pr o elemento. Portnto, * * N N ξ q potencl no potencl no ponto ponto e colocção ξ em c posção e ξ no teto q flo no elemento 4. 4 one são s fnções e form ots qe poem o não representr perftmente o contorno. Note qe pr montr m eqção qe relcon X s e qx s estem os tpos e ntegrs serem efets sobre os elementos, sto é, qels os segntes tpos q * e * 4. 5 45

Ests ntegrs relconm o nó one solção fnmentl está tno com o otro nó. Por cs e qe ses vlores resltntes são lgms vezes chmos e coefcentes e nflênc. Nós chmremos eles Ĥ e G, sto é: Hˆ q * G * 4. 6 : posção fonte ntár no contorno. ínce ssoco o nó o elemento qe está seno ntegro. Note qe nós estmos ssmno qe solção fnmentl é plc m nó prtclr, qe tmbém vr e N, embor sto não está eplctmente nco n notção em *, q* pr evtr prolferção e ínces. Portnto, plcno m fonte o crg ntár em, clcl-se H e G. Logo pr m ponto prtclr poe-se escrever: N Hˆ N G q 4. 7 4.7. Montgem s mtrzes H e G Se nós spsermos qe posção e poe tmbém vrr e té N, sto é, fonte ntár é plc em c m os nós fncons o contorno m ponto e colocção por vez, nós observmos qe solção fnmentl seno plc c m os nós scessvmente obtém-se m sstem e N eqções resltnte plcção e 4. 7 c m os pontos em volt o contorno. N N N Hˆ N N G q 4. 8 O vlor o ínce percorrerá too o contorno, prtr e m ínce fo. Ms em m etermno momento será gl e neste ponto teremos: N N N h Hˆ N N G q 4. 9 Observe qe pr este ínce percorre too o contorno em N elementos. Portnto, poemos escrever: Chmno e: 46 N N Hˆ G q 4.

H Hˆ pr 4. E pr os elementos ferentes o ínce fo, teremos: H ˆ H 4. Portnto eqção 4. 7 poe gor ser escrt como: N N H G q 4. one H H ˆ H ˆ qno qno 4. 4 Est sére e eqções poe ser epress n form mtrcl como: HU GQ 4. 5 one H e G são s mtrzes N N e U e Q são vetores e comprmento N. Note qe N vlores e e N Vlores e q são conhecos em e respectvmente, então estem somente N vlores esconhecos no sstem e eqções 4. 5. Pr ntrozr ests conções e contorno em 4. 5 temos e rerrnr o sstem moveno s colns e H e G e m lo o otro. Um vez qe toos os vlores esconhecos são pssos pr o lo esqero nós poemos escrever: AX F 4. 6 one X é m vetor e vlores nos os potencs e os flos q esconhecos no contorno. F é cho pel mltplcção coln corresponente mtrz resltnte o rerrno s colns e H e G pelo vlores conhecos o prescrtos e s o q s resltnte o rerrno s lnhs e U e Q. É nteressnte pontr qe os vlores esconhecos são gor m mstr o potencl e e ss ervs, o nvés o potencl somente como em elementos fntos. Isto é m conseqênc o Métoo os Elementos e Contorno e ser m formlção mst e á m mportnte vntgem sobre o Métoo os Elementos Fntos. A eqção 4. 6 poe gor ser resolv e toos os vlores e contorno são então conhecos. Um vez qe sto é feto, é possível clclr qlqer vlor nterno e or 47

48 e ss ervs. Os vlores e s são clclos em qlqer ponto nterno sno fórml 4. 96 ql poe ser escrt como: H G q q * * 4. 7 Note qe gor solção fnmentl é conser ser tnte sobre m ponto nterno e qe toos os vlores e e q á são conhecos. O processo é então e ntegrção em gerl nmercmente. A mesm scretzção é s pr s ntegrs e contorno, sto é, N N H q G ˆ 4. 8 Os vlores e e q gor são os vlores conhecos no contorno qe form clclos nterormente. Os coefcentes G e H form clclos novmente pr c ferente ponto nterno. Os vlores os flos nternos nos s reções e, / q e / q, são clclos efetno-se s ervs em 4. 7, sto é: q q q q q q * * * * 4. 9 Note qe s ervs são efets somente sobre solções fnments * e q* conforme nós estmos clclno s vrções e flo o reor o ponto. O cálclo s ntegrs pr os pontos nternos em 4. 8 e 4. 9 são gerlmente efets nmercmente. one N U : e q N q q Q : 4. e

H H H : H N H H H : N.... :.. H H H N N : NN e G G G : GN G G G : N.... :.. G G G N N : NN 4. gonl Agor vmos clclr os elementos mtrz H e G n gonl e for 4. 8 Elementos e Dscretzção e m Contorno em D A scretzção e m contorno, é fet vno-se este em N elementos geométrcos e promção, enomnos elementos e contorno, qe percorrem too ele, procrno reproz-lo mtemtcmente e form prom. Defne-se elemento e contorno, o ente geométrco ntáro qe poss form e fnconle efn por meo e ses nós geométrcos e fncons. conforme mostr Fgr - 4. 8. Fgr - 4. 8. Elementos e Contorno, lner o crvo prbólco o cúbco efno por meo os nós geométrcos. 49

Os nós geométrcos são formos pelo connto e pontos e loclzção o elemento, qe efne form geométrc o elemento. Estes são representos grfcmente por m, conforme mostr Fgr - 4. 8. Os elementos e contorno poem possr bscmente s forms geométrcs, lner e crv. Os elementos crvos poem ser e geometr prbólc, cúbc, etc. Os tpos e elementos qe poem estr qnto s form geométrc são mostros n Fgr - 4. 8. Os nós fncons são formos pelo connto e pontos pertencentes o elemento e contorno qe possem vlores efnos os potencs s, o os flos q s, no contorno loclzos nesses nós. Eles são representos geometrcmente por m, conforme mostr Fgr - 4. 9. Estes nós poem o não concr com os nós geométrcos. Fgr - 4. 9. Elementos e Contorno, lner o crvo prbólco o cúbco efno por meo os nós fncons. C elemento poss certo número e nós geométrcos e fncons qe epenem s fnções e promção escolhs o tlz pr representr geometr e 5

fnconle o elemento. O cso soprmétrco é efno qno os nós geométrcos concem com os nós fncons. As fnções e form são fnções e promção pr geometr o contorno. As fnções e nterpolção são fnções qe promm o potencl e o flo q, respectvmente. Observe qe os vlores s ncógnts e potencl e flo estão loclzos nos nós fncons. Qnto à fnconle os elementos e contorno poem ser: 4.8. Elementos e fnção constnte o Elementos Constntes Nos elementos constntes s fnções e q possem vlores constntes. Pr se scretzr m contorno em elementos constntes tlz-se s fnções e nterpolção o tpo: η φ η 4. e η φb η 4. As coorens e os pontos sobre o elemento são s por: e E O φ η φ η 4. 4 b b φ η φ η 4. 5 b b Sbsttno 4. e 4. em 4. 4 e 4. 5 temos: η η b 4. 6 η η b 4. 7 b b η 4. 8 5

E b b η 4. 9 Chmno e: b ξ 4. e b ξ 4. e e l b 4. e l b 4. temos: l ξ η 4. 4 E l ξ η 4. 5 4.8. Elementos e fnção lner o Elementos Lneres Nos elementos constntes s fnções e q possem vlores qe vrm lnermente com posção. Pr se scretzr m contorno em elementos lneres tlz-se s fnções e nterpolção o tpo: η φ η 4. 6 5

e η φb η 4. 7 As coorens e os pontos sobre o elemento são s por: φ η φ η 4. 8 b b e φ η φ η 4. 9 b b Sbsttno 4. e 4. em 4. 4 e 4. 5 temos: η η b 4. 4 E η η b 4. 4 O b b η 4. 4 E b b η 4. 4 Chmno e: b ξ 4. 44 e b ξ 4. 45 e e l b 4. 46 5

e l b 4. 47 temos: l ξ η 4. 48 E l ξ η 4. 49 4.8. Elementos e fnção prbólc o Elementos Qrátcos Nos elementos constntes s fnções e q possem vlores qe vrm qrtcmente. Pr se scretzr m contorno em elementos qrátcos fnções e nterpolção o tpo: η φ [ η ] 4. 5 η φ b [ η ] 4. 5 [ η ] φc 4. 5 54

4. 9 Os Métoos e Cálclo s Integrs H e G Pr o cálclo s ntegrs H e G, s técncs e ntegrção tlzs epenem posção o nó colocção fonte em relção o elemento, seno ntegro, em, conforme mostr Fgr - 4.. Fgr - 4.. Dferentes tpos e ntegrção e coro com posção reltv os nós nos elementos e contorno. Algms ntegrs e contorno presentm snglres. Ests snglres estão presentes n solção fnmentl, o se, Em D temos: H * ϑ ln r 4. 5 e G q * ϑ r 4. 54 Em D temos: H * ϑ r 4. 55 e G q * ϑ r 4. 56 55

4.9.- Integrções Não-Snglres Integrs como G e Ĥ ns epressões cm poem ser clcls sno fórmls e ntegrção nmérc ts como regrs e Qrtr e Gss, é o ms tlzo pr o cso e r.. 4.9.- Integrções Qse-Snglres As ntegrs qse-snglres precem qno o elemento e o ro é ferente e zero r, conforme mostr Fgr - 4.. Fgr - 4.. Erros e promção cometos em ntegrs qse-snglres evo o número e pontos e Gss sobre o própro elemento. 4.9.- Integrções Snglres As snglres precem qno tem-se, e o ro é gl zero r, por eemplo. Várs técncs são tlzs epeneno snglre. Pr o elemento, conto, presenç snglre sobre qele elemento evo solção fnmentl reqer m ntegrção ms precs. Estem várs técncs qe epenem orem snglre. Pr ests ntegrs é recomeno sr regrs e ntegrção e lt orem o m fórml especl ts como logrítmc e otrs trnsformções s qs será sct posterormente. Conto, pr o cso prtclr e geometr ret como os elementos constntes e lneres, s ntegrs clcls nltcmente. Ĥ e G poem ser 56

4. O Mpemento Globl o Contorno pr o Cálclo s Integrs H e G Consere o contorno, sve, e m problem e eqção ferencl bmensonl, e form geométrc qlqer, conforme mostr Fgr - 4.. Utlzno s coorens globs o contorno, vmos gor efetr cálclos nlítcos pr etermnr o vlor s ntegrs não-snglres e H e G pr. Fgr - 4.. Mpemento Globl e m contorno. 4.. - Cálclo Anlítco Integrl H pr Consere o esenho Fgr - 4. pr one o vetor r e o vetor trço entre os elementos e contorno ferentes, o se,. nˆ está 57

Fgr - 4.. Integrção entre os elementos e contornos e ferentes. Sbeno qe, neste cso temos qe stânc entre o centro os elementos e é não nl, o se,, temos: H ˆ H 4. 57 Est é m ntegrl não-snglr pr r > por: Hˆ q * * n 4. 58 Ms * * r, logo sno regr ce poemos escrever: * r * n r n 4. 59 Portnto, r Hˆ * q * r 4. 6 n Como * ln r temos qe: π *, logo r π r 58

Hˆ π r r n 4. 6 Pr se clclr s ntegrs H e G temos város problems resolver. O prmero eles z respeto vrável e ntegrção pos seno H * r r n π r r n 4. 6 A vrável no ntegrno está em r e o ncremento está em. Logo evemos relconr com r. Ms sso tornrá ntegrl epenente form o contorno. Ms rest n sber qnto vle r / n. Pr etermnr o vlor ess erv evemos lembrr qe s ntegrs H e G epenem posção o nó e referênc em relção o elemento. Pr resolver est qestão tlzremos m mpemento lner qe será feto posterormente. Fgr - 4. 4. Relção entre elementos retos ferentes. observr qe pr Conserno m elemento e contorno reto, prtr Fgr - 4. 4, poemos ntegrl contece for o elemento o contorno. Neste cso ntegrl 4. 6 contn vleno, ms pr clclá-l precsmos etermnr nltcmente o geometrcmente qnto vle r / n qno os elementos e são ferentes. 59

4.. - Cálclo Anlítco e r/n pr A erv reconl r/n poe ser escrt em termos o grente e r como: r n r n 4. 6.ˆ Seno r r rˆ 4. 64 r poemos escrever: r n r.ˆ n 4. 65 r Ms prtr Fgr - 4. 5 nós temos qe r nˆ., logo temos: r n 4. 66 r one é m vlor únco pr c pr e elementos e. Observe prtr Fgr - 4. 5 qe r n r.ˆ n r. nˆ cosθ 4. 67 r r Como nˆ é m vetor ntáro temos n ˆ, logo r n r.ˆ n r cosθ 4. 68 r r 6

Fgr - 4. 5. Cálclo s stâncs entre os elementos. ms r r, logo teremos r n r.ˆ n r cosθ 4. 69 one cosθ r.ˆ n nˆ r n n r n n r r r 4. 7 ˆ Como n temos: r n n r n r r r cosθ 4. 7 Observe qe r / n é gl o cosseno o ânglo θ entre o vetor r e reção n norml nˆ. Este vlor proeção e r n reção e n é únco e fo pr c pr e elementos e, e vle n não epeneno e r pr m elemento e contorno constnte, o se, r n r. n r n r n r r r cosθ 4. 7 One r ˆ.ˆ n n logo teremos: 6

r n n r cosθ 4. 7 One n é m vlor únco pr c pr e elementos e e não epene o ro r entre o centro o elemento e qlqer ponto X, sobre etensão o elemento. Logo retornno 4. 6 temos: Portnto, n Hˆ π r r 4. 74 n H 4. 75 π r Est ntegrl poe ser clcl nltcmente o nmercmente tlzno o métoo qrtr e Gss. 4.. - Cálclo Anlítco Integrl G pr Sbeno qe e n, temos: G * 4. 76 Est é m ntegrl não-snglr, one * * r e * r ln r π 4. 77 Logo G * ln π r 4. 78 e G r ln r π 4. 79 6

Vmos gor tlzr cálclos nlítcos pr clclr o vlor s ntegrs qsesnglres e snglres e H e G pr pr r > e r respectvmente. 4..4 O Cálclo Integrs H H pr pr r Consere o esenho Fgr - 4. 6 pr one o vetor r e o vetor sobre o mesmo elemento e contorno, o se, o própro elemento, conforme mostr Fgr - 4. 6. nˆ estão. Neste cso ntegrl contece sobre Fgr - 4. 6. Integrção entre os elementos e contornos e ferentes. Sbeno qe, neste cso temos qe stânc entre o centro os elementos e é nl, o se,, temos: ˆ H ˆ H H H 4. 8 Est é m ntegrl snglr por: Hˆ * q * n 4. 8 Ms *r*r logo sno regr ce poemos escrever: * * n r r n 4. 8 Portnto, 6

Hˆ q * * r r n 4. 8 como * ln r temos qe: π * r π r, logo r Hˆ π r n 4. 84 Portnto, H * r r n π r r n 4. 85 4..5 - Cálclo Anlítco e r/n pr De form nálog o cso nteror erv reconl r/n poe ser escrt em termos o grente e r como: r n r ˆ. n 4. 86 Seno r r rˆ 4. 87 r poemos escrever: r n r.ˆ n r 4. 88 Ms r nˆ n., logo temos: r n n 4. 89 r o 64

r n r.ˆ n r r. nˆ r cosθ 4. 9 Como nˆ é m vetor ntáro temos n ˆ, logo r n r.ˆ n r r r cosθ 4. 9 Ms r r, logo r n r.ˆ n r cosθ 4. 9 Conserno m elemento e contorno reto, prtr Fgr - 4. 7 poemos observr qe pr r, os vetores r e nˆ são perpenclres nˆ reconl entre eles é nl, o se: E conseqentemente r. Logo erv n r. nˆ 4. 9 r n r.ˆ n r 4. 94 Fgr - 4. 7. Cálclo s stâncs entre os elementos pr m elemento reto. Pr mostr qe r nˆ evemos ter o proto esclr nlo, logo: 65

r. nˆ nˆ r cosθ n r n r 4. 95 logo cosθ r.ˆ n nˆ r n n r n n r r r 4. 96 ˆ Como n temos: cosθ n r r n r r 4. 97 One n r cosα ; n r cos6 β ; senα r r sen6 β 4. 98 o r r cos β e r r sen β 4. 99 Logo, sbsttno 4. 98 e 4. 99 em 4. 95 temos: ˆ. r n r cos β cosα r sen β senα 4. A prtr Fgr - 4. 8 nós temos qe: o α β 9 e sen cos ; cos β senα 4. Portnto, nˆ. r rsenα cosα cosα senα 4. Logo ˆ. r nˆ r 4. n E portnto r n r.ˆ n r 4. 4 66

O se, seprção entre os elementos e é nl, pos logcmente eles concem. Portnto, retornno eqção nós temos qe: Fgr - 4. 8. Decomposção o vetor norml em termos os cossenos retores. Observe qe r / n n r é gl o cosseno o ânglo θ entre o vetor r e / reção n norml n. Este vlor proeção e r n reção e n é únco pr c pr e elementos e, não epeneno e r entre o centro o elemento e qlqer ponto X, sobre etensão o própro elemento. Pr m elemento e contorno constnte, o se, r n n r n r r r cosθ 4. 5 One r ˆ.ˆ n n logo teremos: r n n r cosθ 4. 6 Os termos ˆ ˆ, por eemplo, são entcmente zero, pos norml n e H H cooren o elemento estão sempre perpenclres m otr, sto é: ˆ H H pr e r 4. 7 67

4..6 O Cálclo Integrs H H pr pr r Neste cso em qe e r temos qe H H é m ntegrl snglr qe eve ser resolv por m processo lmte, o por m nálse geométrc. Seno E Temos: H ˆ H 4. 8 r r Hˆ * r n π r n 4. 9 H r π r n 4. Seno r n r.ˆ n 4. r Pr r, nós temos m netermnção, ql eve ser resolv por m processo lmte em termos o Vlor Prncpl e Cch, segnte form: H rb r r π r n r r 4. Observe qe pr temos: r r 4. Logo eqção 4. poe ser escrt como: H rb r r π r n r 4. 4 o smplesmente 68

H π rb r r n r r 4. 5 ql poe ser ntegr tomno-se m ro ε em torno o ponto ξ e fzer ε segnte form: Hˆ r r n r π r r n r π r r n ε ε rb π r ε ε r 4. 6 Conforme mostr Fgr - 4. 9. Fgr - 4. 9. Intervlo e ro ε sobre o elemento reto ξ. pr s ntegrs for o ntervlo e ro ε temos qe repete stção nteror fcno pens ntegrl: r r r.ˆ n nˆ e n n r qe ε r Hˆ r r n 4. 7 π ε Tomno o lmte e ε temos: Hˆ r r n ε lm ε π ε r 4. 8 One r ε então: Hˆ ε lm ε π ε ε ε ε n 4. 9 Sbeno qe o ntegrno é própr efnção e ro e crvtr ρ r ρ ε one 69

lm ε ε ε n ρ ε 4. O lm r r r n ρ r 4. Portnto pr e r temos: H ˆ 4. E fnlmente H ˆ H 4. 4..7 O Cálclo Integrl G G pr e r Sbeno qe e n, temos: G * G * 4. 4 Est é m ntegrl não-snglr, one * * r é por: * r * r ln r π 4. 5 Logo G * ln π r 4. 6 Ests ntegrs G reqerem m mnseo especl. Pr m elemento nmensonl, por eemplo, els poem ser clcls nltcmente o nmercmente tlzno o métoo qrtr e Gss. Pr se relzr ntegrção e form qe est não epen form o contorno o problem, precsmos tmbém fzer m mpemento lner one s coorens e r, 7

pssem epener e m prâmetro genérco η, pr toos os elementos o contorno. Isto rezrá o número e ntegrs serem clcls. 4. Mpemento Locl o Contorno Consere o contorno, sve e form geométrc qlqer, referente m problem e eqção ferencl bmensonl,, conforme mostr Fgr - 4.. Fgr - 4.. Trnsformção entre s coorens globs e s coorens locs e m contorno e geometr qlqer. Vmos gor relzr m trnsformção e coorens generlz sobre o contorno,,. Est trnsformção será efet e tl form qe mrá o mpemento globl o contorno,, o ql é feto por meo s coorens globs X, em m mpemento locl, por meo e m fnção e prmetrzção Xη, e vrável locl, η, sobre c elemento o contorno. Isto trnsformrá e form genérc este mpemento globl em m mpemento locl conforme mostr Fgr - 4.. Logo s ntegrs H e G fcm: n H η 4. 7 π η r η e G r ln r η 4. 8 η π η A trnsformção e coorens prmetrzção o elemento o mpemento lner o elemento e contorno é fet por meo efnção s fnções e nterpolção 7

locs, φ η e η φ b, qe vrm em m ntervlo e - η em corresponênc o elemento, com cooren X, qe vr ese b e b. prâmetro η, one: Seno η e η e r r, fnção r r, pss epener o φ η, φ η φ η, φ η η e η 4. 9 Portnto, b b r, r η, η r η 4. A prtr Fgr - 4. temos e form genérc qe: r, r r 4. X ξ one rξ ξ, ξ e X,, temos qe e m elemento pr m ponto qlqer sobre o elemento temos: r r. ξ ξ 4. Est epressão represent o ro qe sepr o centro os elementos e. 4.. Mpemento Lner o Contorno De form gerl s coorens globs o ponto X,, com ro r X, globl e ro r, coorens locs prtr o ponto e colocção ξ ξ, ξ, são s por: φ φ b b 4. e φ φ b b 4. 4 one e η φ 4. 5 7

η φb 4. 6 qe correspone o mpemento locl o elemento o contorno, conforme mostr Fgr - 4.. O mpemento locl tmbém é vlo qno e este mpemento se á sobre o própro elemento e referênc. Neste cso tos s epressões com ínce pssrão ter ínce. Fgr - 4.. Mpemento lner locl geometr o elemento reto e fnconle constnte em e q. Portnto, sbsttno 4. 5 e 4. 6 em 4. e 4. 4 poemos escrever s coorens X, o ponto e ro r, como seno: η e η 4. 7 o η η η b 4. 8 η η η b 4. 9 Rerrnno os termos e reescreveno temos: b b η η 4. 4 7

74 η η b b 4. 4 Seno s coorens o ponto ξ o elemento são s por: b ξ 4. 4 e b ξ 4. 4 Logo η e η pr m elemento o será o por: η ξ η b 4. 44 e η ξ η b 4. 45 Observe Fgr - 4. qe: r ξ ξ ξ 4. 46 e r r r X ξ, 4. 47 one. r ξ ξ 4. 48 Portnto, sbsttno 4. 44 e 4. 45 em 4. 47 temos:. b b r ξ η ξ ξ η ξ 4. 49 Observe qe seno

75 b b r ξ η ξ 4. 5 e b b r ξ η ξ 4. 5 o b r ξ η ξ ξ 4. 5 e b r ξ η ξ ξ 4. 5 Sbeno qe ξ ξ e poem ser epressos em termos e 4. 4e 4. 4 como: b ξ 4. 54 e b ξ 4. 55 e n b l 4. 56 temos b l 4. 57 Logo s componentes r e r poem ser escrts como: η ξ ξ l r 4. 58 e

76 η ξ ξ l r 4. 59 Sbsttno 4. 58 e 4. 59 em 4. 48 temos: [ ] [ ]. η ξ ξ η ξ ξ l l r 4. 6 e esenvolveno os qros entro rz temos: [ ] [ ] η η ξ ξ ξ ξ η ξ ξ η η ξ ξ ξ ξ η ξ ξ l l l l l l 4. 6 Somno os qros temos:. η Bη C A r 4. 6 One: l l C l l B A ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ 4. 6 Observe qe se, então o ro fcrá:. η η b b r 4. 64 o. η b b r 4. 65 Observe qe o termo n rz é gl l, qe é o comprmento o elemento,logo η l r 4. 66 e

77 l r η 4. 67 4.. Clclo erv r/n Trnsformção e coorens o Mpemento Lner o Contorno A erv r/n pr r rη poe ser clcl prtr eqção 4. 5 por: cosθ r r r n r n n r 4. 68 c erv e r em relção η poe ser clcl sbsttno r η e r η n epressão 4. 68 e obteno: η ξ ξ η ξ ξ η ξ ξ η ξ ξ b b b b n n r n r 4. 69 Usno 4. 56 e 4. 57 temos: η ξ ξ η ξ ξ η ξ ξ η ξ ξ l l l n l n r n r 4. 7 Pr temos: b b b b n n r n r η η η 4. 7 O

78 b b b b n n r n r 4. 7 qe não epene o prâmetro η. Usno 4. 56 e 4. 57 em 4. 7 temos: l l l n l n r n r 4. 7 Seno: l n l n 4. 74 Seno / l temos: l l n l l n 4. 75 Sbsttno 4. 75 em 4. 7 temos: l l l l l l l l r n r 4. 76 o

r n r l l l [ ] l [ l ] l l l 4. 77 como [ ] l [ l ] l 4. 78 Fcmos com: r n r l l l l l l l 4. 79 co reslto é nlo, o se: r n r 4. 8 4.. Jcobno Trnsformção o Mpemento Lner o Contorno Pr resolver ntegrl 4. 7 e 4. 8 precsmos eplctr o Jcobno J / η e trnsformção e r, rη qe é o por: logo o se J 4. 8 η η η η 4. 8 η η 4. 8 η η Agor poemos ervr η e η prtr e 4. 44 e 4. 45 em relção η e obter: 79

8 b η 4. 84 E b η 4. 85 Sbsttno 4. 84 e 4. 85 em 4. 8 obtemos: η η η η η b b 4. 86 Ms, e, b b são s coorens s etremes o elemento e contorno. Portnto, o Jcobno e m elemento constnte correspone mete o comprmento esse elemento. η η η l 4. 87 4. Aplcção o Mpemento Locl s Integrs H e G Vmos gor plcr o reslto o mpemento locl com elemento constnte no cálclo s ntegrs H e G. 4.. O Cálclo Integrl H pr Retornno-se ntegrl H nós poemos gor escrever form o mpemento globl o ncremento e m form gerl em termos o mpemento locl segnte form: η η n r r n r r n H * * * 4. 88 Seno / / l J η o Jcobno trnsformção e coorens temos:

H l * r r n η 4. 89 o se H l r l * η q r n * r η r n η 4. 9 Seno * r / π ln r e q * r * r r e r, rη ssm como * r * η e * r * η q. Logo q / H l r l q r η η H * n π r η 4 r n η 4. 9 Observe qe o problem o ferencl / η η qe fornecem s ntegrs 4. 88 e 4. 4 á fo resolvo. Sbsttno 4. 7 em 4. 9 temos: H l q * r η H r l π 4 η r η 4. 9 Seno r b η ξ ξ ξ η 4. 9 e r b η ξ ξ ξ η 4. 94 E r r r 4. 95 o 8

8 η ξ ξ η ξ ξ b b r 4. 96 temos qe: η ξ ξ η ξ ξ η ξ ξ η ξ ξ b b b b n n r n r 4. 97 Logo eqção 4. 9 fc: η η ξ ξ η ξ ξ π l H b b 4 4. 98 Desenvolveno os qros temos: 4 η η ξ ξ ξ ξ η ξ ξ b b b 4. 99 e 4 η η ξ ξ ξ ξ η ξ ξ b b b 4. Somno estes qros temos: ] [ ] [ ] [ η η ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ b b b b 4. Chmno e: ] [ A ξ ξ ξ ξ 4. e

8 ] [ b b B ξ ξ ξ ξ 4. e ] [ b b C 4. 4 temos qe ntegrl em 4. 98 poe ser escrt como: η η η π C B A l H 4 4. 5 Co reslto é: η η η π C B A l H 4 4. 6 Est ntegrl poe ser clcl nltcmente o nmercmente pelo métoo qrtr e Gss. 4.. O Cálclo Integrl H H pr Neste cso temos ξ ξ e ξ ξ logo η η b b r 4. 7 O b b r η 4. 8 temos qe: b b b b n n r n r η η η 4. 9 O

84 b b b b n n r n r 4. Logo eqção 4. 6 fc: η η π n n l H b b b b 4 4. Usno 4. 79 em 4., neste cso temos qe ess ntegrl poe ser escrt como: η η π η η π l l l l l l H l l l l l l l l H 4 4 4. Co reslto é: H 4. 4.. O Cálclo Integrl G pr Retornno-se ntegrl G nós poemos gor escrever form o mpemento globl o ncremento e m form gerl em termos o mpemento locl segnte form: η η G * * 4. 4 Seno / / l J η o Jcobno trnsformção e coorens temos:

85 η l G * * 4. 5 o se η r l G * 4. 6 Seno r r ln / * π e r r r q / * * e r, rη ssm como * * η r e * * η q r q. Logo [ ] η η π η r l G r l G ln 4 * 4. 7 Observe qe o problem o ferencl η η / qe fornecem s ntegrs 4. 88 e 4. 4 á fo resolvo. Sbsttno 4. 7 em 4. 7 temos: [ ] η η π η r l G r l G ln 4 * 4. 8 sno o fto e qe: η ξ ξ η ξ ξ b b r 4. 9 temos: η η ξ ξ η ξ ξ π l G b b ln 4 4. Desenvolveno os qros temos: 4 η η ξ ξ ξ ξ η ξ ξ b b b 4.

86 e 4 η η ξ ξ ξ ξ η ξ ξ b b b 4. Somno estes qros temos: ] [ ] [ ] [ η η ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ b b b b 4. Chmno e: ] [ A ξ ξ ξ ξ 4. 4 e ] [ b b B ξ ξ ξ ξ 4. 5 e ] [ b b C 4. 6 temos qe ntegrl em 4. poe ser escrt como: [ ] η η η π C B A l G ln 4 4. 7 O [ ] η η η π C B A l G ln 8 4. 8 Co reslto é: [ ] η η η π C B A l G ln 8 4. 9 Est ntegrl poe ser clcl nltcmente o nmercmente pelo métoo qrtr e Gss.

87 4..4 O Cálclo Integrl G G pr De form ntegrr fclmente epressão cm nós poemos mr s coorens pr m cooren homogêne η sobre o elemento Fgr - 4., tl qe: l r η 4. one l é o comprmento o elemento. Fgr - 4.. Sstem e cooren o elemento e contorno Portnto, levno em cont smetr 4. 4 poe ser escrt como: η η π η η π π π ln l ln l l ln l r r n l r n l G Ponto Ponto Ponto Ponto / / 4. A últm ntegrl é gl, logo: / ln l l G π 4. Pr csos ms compleos são ss fórmls poners. As otrs ntegrs sto é pr poem ser clcls sno smples regrs e qrtr e Gss Nós os progrms fontes escrtos neste cpítlo m regr e e 4 pontos tem so s ve Apênce A.

4. Integrção Nmérc pelo Métoo Qrtr e Gss O métoo qrtr e Gss é m métoo tlzo pr se clclr ntegrs nmercmente. A vntgem esse métoo é qe ele é fácl e progrmr e poss bo precsão. Consere m elemento e contorno, conforme mostr Fgr - 4. Fgr - 4.. Trnsformção e coorens o mpemento lner o contorno. no ql ese-se clclr segnte ntegrl: I f b * r f * r 4. fzeno-se m trnsformção e coorens trvés o mpemento lner one stânc é trnsform em r rη. Logo teremos: r X ξ 4. 4 r X ξ r η X η ξ 4. 5 est form ntegrl 4. poe ser epress como: I b f * r I f * r η η η 4. 6 one η é o Jcobno Trnsformção s Coorens Globs pr s Coorens Locs. Qeremos encontrr m solção nmérc prom pr ntegrl e tl form qe: 88

I f N g * r η η I f r ηk w k 4. 7 η η k η k one η k são s coorens e pesos qrtr. Consere segnte ntegrl I N g z η η I z η 4. 8 k k w k one z η f * r η e η z η k f * r ηk η O nosso obetvo, portnto, é vlr ess epressão ntegrl trvés e m somtóro e mostrs poners e zη em pontos η, η, η,...η k, segnte form: η k I N g z η η z ηk wk Erro 4. 9 k one os w k são os pesos e Gss e os η k são s coorens generlzs e Gss, conforme está represento n Fgr - 4. 4. Fgr - 4. 4. Integrl e Gss fnção zη ns coorens e generlzs η k. Poemos efnr os pesos e s coorens e Gss e tl form qe s ntegrs e polnômos sem efets com etão, por meo segnte regr gerl: Com N pontos e Gss ntegr-se com etão polnômos e gr N-. Por eemplo: I Pr os pontos e Gss polnômo o º gr. 89

Neste cso teremos 4 ncógnts w,η e w,η. Logo o polnômo e gr poss qtro 4 coefcentes rbtráros, o se: 4. 4 Vmos gor clclr os pesos e s coorens e Gss pr pontos e Gss. z η η w z η wz η 4. 4 como η η 4. 4 z η η Temos: z η η η ηη η η η η 4. 4, e, Como são rbtráros, c m s ntegrs cm eve ser ntegr com etão. Fzeno., e z logo z η η η η w. w. 4. 44, e z η logo w w 4. 45 η z η η ηη wη wη 4. 46, e z η w η w η 4. 47 9

9 η η η η η η η w w z 4. 48 logo η η w w 4. 49 v, e z η 4 4 4 4 4 4 η η η η η η η w w z 4. 5 Logo η η w w 4. 5 Portnto, prtr o reslto estes cálclos poemos montr m sstem e eqções pr clclr os vlores e w k nos pontos η k segnte form: / η η η η η η w w w w w w w w 4. 5 o / w w η η η η η η 4. 5 Resolveno esse sstem não-lner e eqção.5775.5775; η η w w 4. 54 Logo, sbsttno esses vlores em 4. 4 temos:

z η η w z η wz η. z.5775. z.5775 4. 55 o Grfcmente correspone : z η η z.5775 z.5775 4. 56 Fgr - 4. 5. Processo e Integrção e Gss. pr qlqer polnômo e gr. Est solção será et se zη for m polnômo e º gr no mámo pr N g e será promo pr fnções zη qsqer. A obtenção os pesos e coorens pr m número mor e pontos e Gs sege o mesmo rcocíno. Pr fnções zη proms por polnômos. Qnto melhor for prome fnção zη com o polnômo e gr N tlzo ms prómo será o reslto o vlor eto, o se, menor será o erro e promção. Observe qe se zη for m fnção lner o tpo: Conforme mostr Fgr - 4. 6 temos: η z η b 4. 57 9

Fgr - 4. 6. Integrção e Gss pr m fnção lner. Sbemos qe o vlor áre este trnglo vle: e pel promção qrtr e Gss temos:. A b h 4. 58.5775.5775 I 4. 59 9

Cpítlo V APLICAÇÕES PRÁTICAS RESUMO Neste cpítlo será resolvo o problem e m potencl esclr,, plco m plc pln e mensões conhecs, qe stsfz eqção e Lplce. O problem será resolvo nlítco e nmercmente. 5. Obetvos o cpítlo Resolver m prolem prátco e Métoo e Elementos e Contorno plco o problem e potencl em m plc pln. Utlzr m progrm fonte pr vlr os resltos obtos nmercmente prtr e cálclos promos relzos mão e comprr com os resltos nlítcos. A prener tlzr m ferrment comptconl e cálclo nmérco ts como o FORTRAN, o otr qlqer. v Avlr os resltos obtos pel entr e sís e os. 5. Introção Pr eerctr tlzção o Métoo os Elementos e Contorno, vmos resolver o problem o potencl esclr,. Consere qe esse potencl,, stsfz eqção e Lplce, e poe ser plco m plc pln qe trnsmte e ssp clor trvés e s mss, ql está set s conções e contorno e potencl e flo estconáro plcos, o se, lgns vlores no contorno são prescrtos e otros serão clclos. Pr est stção vmos conserr s conções s segr. 94

5. Problem e o Potencl Esclr sobre m Plc Pln I Consere m plc pln bmensonl e qr e tmnhos,m,m set s conções e contorno e potencl e flo q q, conforme mostr Fgr - 5.. Fgr - 5.. Plc pln bmensonl qr e tmnhos,m,m setos s conções e contorno e potencl constnte e flo constnte q q. Dscretzr est plc no contorno em oto elementos retos e fnconle constnte, conforme mostr Fgr - 5.. Resolver o problem eqção ferencl e Lplce,, pelo Métoo os Elementos e Contorno mostrno tos s pssgens e os cálclos com ses resltos nmércos. Utlzr os pontos n qrtr e Gss pr o cálclo s ntegrs não-snglres e H e G. v Montr o sstem e eqções e H Gq e representr toos os vlores e contorno mtrclmente e resolver o sstem e eqções montno o sstem Ab, presentno solção. v Clclr os vlores o potencl nos pontos A, B, C e D nterores plc, tlzno ntegrl q * *. 95

Fgr - 5... Plc pln bmensonl qr e tmnhos,m,m com oto elementos retos e fnconle constnte, setos s conções e contorno e potencl constnte q q. e flo constnte II Alterr o progrm POCONBE e cálclo pelo Métoo e Elementos e Contorno, qe tlz elemento constnte, o Lvro: C. A. Brebb n J. Domngez, Bonr Elements, An Introctor Corse, n Eton, Compttonl Mechncs Pblctons, McGrw-Hll Book Compn., e tl form qe s ntegrções não-snglres sem efets com m número e pontos e Gss N g respetno s segntes regrs: Se l então N 4 > g. 48 Se < então N g 6 l. 49 Se l então N 8 g. 5 one é stânc entre o centro os elementos e e l é o comprmento eles, conforme mostr Fgr - 5.. 96

Fgr - 5.. Depenênc stânc com o ro e ntegrção entre os elementos e contorno. Verfqe o efeto ess mofcção o ror o progrm POCONBE, segnte form: v Roe o progrm n form orgnl form como está pr N g 4 e epos fç mofcção e roe-o novmente pr os N g vráves conforme s regrs cm e, no fnl compre precsão os resltos e e e q nos pontos solctos. Dc: As regrs e poerão contecer ns stções mostrs n Fgr - 5. 4. Fgr - 5. 4. Vrção stânc reltvs entre os elementos e m contorno. Utlze comnos f then else 97

progrm. f then else... pr fzer s mofcções no 98

5. 4 Solção o Problem e o Potencl Esclr sobre m Plc Pln 5.4. Mpemento Lner o Contorno o Problem Sege o qe fo esenvolvo no cpítlo nteror. 99

5.4. Elementos Constntes Sege o qe fo esenvolvo no cpítlo nteror: φ [ η]. 5 φb [ η]. 5

5.4. Elementos Lneres e Qrátcos plcção Sege o qe fo esenvolvo no cpítlo nteror, ms não será tlzo nest η φ [ η ]. 5 η φ b [ η ]. 54 [ η ] φc. 55

5.4.4 Análse Smetr o Problem n reção o número e ntegrs No cálclo plc pln com oto elementos constntes, pr se montr s mtrzes H e G é necessáro prncpo resolver m número e 8 8 8 ntegrs. Conto, este número poe ser rezo tlzno-se proprees e smetrs plc qr, conforme mostr o esqem Fgr - 5., rezno-se pr m número e ntegrs pos s qtro prmers s ezesses mostrs n Fgr - 5. 5 são nls.,,55,77,,44,66,88,4,56,78,4,65,87,45,67,8,54,76,8 8,4,64,86,5,57,7

4,46,68,8,5,75,7 5,47,6,8 6,8,5,74 4,6,58,7 7,4,6,85 6,48,6,84 5,7,5,7 Fgr - 5. 5. Smetrs no processo e ntegrção s Mtrzes H e G entre os elementos o contorno e m plc pln.

5.4.5 Mpemento Nmérco os Elementos e e ss Coorens 5. 6. As coorens. os nós fncons e geométrcos são mostrs n Fgr - Fgr - 5. 6. Plc pln bmensonl qr e tmnhos,m,m com oto elementos e fnconle constnte, setos s conções e contorno e potencl constnte q q. e flo constnte 4

5.4.6 Tbels e H e G pr os pontos e Gss Tbel - V.. Após relzção o cálclo s ntegrs H e G poemos montr segnte Tbel - V.. Coorens os Pontos Fonte os Elementos o Contorno! ""!! "! ""!! "! ""!! "! ""!! "! ""!! " 5

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Tbel - V.. Coorens os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno # $ % &% % $ $! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' ' 7

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Tbel - V.. Cálclo s Coorens e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno * * * 9 *,-,- * * * * * *!"" " "" " "" "!"" "! "" "!"" " ".!!"" ".".!"" "!.!!"" "!!!"" " "!!"" "." "!"" " "" "!!"" " "" " "" "!"" " "."!"" " "!!"" "!!!"" "!!.!"" ".."!"" ".! "!"" " "!!"" "." "!"" " "" " "" "!"" "! "" "!"" " ".!!"" ".".!"" "!.!!"" "!!!"" ".."!"" ".! "!"" " "" "!!"" " "" " "" "!"" " "."!"" " "!!"" "!!!"" "!!.!"" "!.!!"" "!!!"" " "!!"" "." "!"" " "" " "" "!"" "! "" "!"" " ".!!"" ".".!"" "!!!"" "!!.!"" ".."!"" ".! "!"" " "" "!!"" " "" " "" "!"" " "."!"" " "!

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Tbel - V. 4. Cálclo s Coorens s Norms e e ss Dervs os Pontos Fonte os Elementos o Contorno /$ $ $ $ * * '.. ""!!"! ".".".!.".! '. " '. '. "..".!.".!." " '!!!" ' "".. '. " '. '.. ""!!"! ' "." '.".!.".! '!!!" ' "".. '. ". '.".!.".! '." " ' "." '.".!.".!. ". '.. "" '!!"! '.".!.".! '." "!!!" "".. '.

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Tbel - V. 5. Cálclo s Mtrzes H e G os Pontos Cmpo os Elementos e Contorno 4 56 4 56 47 56 8 $ 9 -, $ :-; $ # $ 5 -.!.! -.. '." '! ;!." ' '.! ;.! ' - '""! ' '""! '!!. - '. '!!. '. '! '!!" ;!!!"! '"! ;" '! " -.. -.!.! '"! ; '! " '! '!!" ;!!"! '!!. - '. '!!. '. ' - '""! ' '""! ' '.! ;!.! '." '! ;"!." '! - '!!" '! '!!" '" -! '"!.! ; '.! '. ; '. '." - '! '." '! ' - '.! ' '.! ' '""! ;! ""! '!!. '. ;".!!. ' - '.! ' '.! '." - '! '." '!. ; '..! ; '.! ' '" -! '"! '! - '!!" '! '!!" '!!. '. ;!.!!. ' '""! ;" ""! ' - '""! ' '""! '!!. - '. '!!. '. '! '!!" ;!!"! '"! ; '! " -.!.! -.. '." '! ;!!." ' '.! ;".! '!!. - '. '!!. '. ' - '""! ' '""! ' '.! ;.! '." '! ;!." -.. -.!.! '"! ;! '! " '! '!!" ;"!!"!

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5.4.7 Tbels e Cálclo e Inversão s Mtrzes H e G pr os pontos e Gss Tbel - V. 6. Cálclo s Mtrzes Inverss e H e G os Pontos Cmpo os Elementos e Contorno 48<* 8$! " '! ' ' '!!. '." '" '" '." '!!. ' ' '! '." '" '! ' ' '!!. ' '! '" '." '!!. ' ' '!!. '." '" '! ' '!!. ' ' '! '" '."! '! ' ' '!!. '." '" " '" '." '!!. ' ' '! 48 8 $! " '." ' ' '!!. '! '" '" '! '!!. ' ' '." '! '" '." ' ' '!!. ' '." '" '! '!!. ' ' '!!. '! '" '." ' '!!. ' ' '." '" '!! '." ' ' '!!. '! '" " '" '! '!!. ' ' '." 4<* $! " '! ' ' '!!. '." '" '" '." '!!. ' ' '!! '! '.! '.!!".! ""!..!!!" '. '.! '!!. ""! ' '!!. '." '" '! ' '!!. ' ' '! '" '."!!!".! ""!.! '! '.! '. " '!!. ""!.!!!" '. '.! 4 $! "!.! ' '!!.!!" '! '!!!" '!!. '.!! '! '" '.! '. '." ' ""!. ' '." '. '.! '" '!. ""! ' '!!.!!" '!!.! '!!. '.!! '!!!"! '." ' ""!. '! '" '.! '. " '" '!. ""! ' '." '. '.! $ <'*! "! ' ". ".!. ' '!. "!" ' ".!. "!"! ' '!. ". '! ' '".!!. '. '.!!!.". '.!! '.!!. '". ' '!.".! ' '!. "!"! ' ". ".!. ' '!. ". ' ".!. "!"! 5

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5.4.8 Tbels e H e G pr os pontos nternos com os pontos e Gss Tbel - V. 7. Coorens os Pontos Fonte os Elementos o Contorno $ >! ""!! " # # # #! # "" #! #! # "! ""!! "! ""!! " 7

Tbel - V. 8. Coorens os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno # $ % % % $ $! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' ' 8

Tbel - V. 9. Cálclo s Coorens e os ros e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno Comprmento Cooren get Cooren get Cooren get Cooren get RoGss RoGss l gn gn gn gn rgn rgn,,,78868,,,48,48,,,78868,,,79,66,,,,,78868,6947,548,,,,,78868,548,6947,,78868,,,,66,79,,78868,,,,48,48,,,,78868,,98,548,,,,78868,,548,98,,,78868,,,66,79,,,78868,,,48,48,,,,,78868,98,548,,,,,78868,548,98,,78868,,,,48,48,,78868,,,,79,66,,,,78868,,6947,548,,,,78868,,548,6947,,,78868,,,6947,548,,,78868,,,548,6947,,,,,78868,66,79,,,,,78868,48,48,,78868,,,,98,548,,78868,,,,548,98,,,,78868,,48,48,,,,78868,,79,66,,,78868,,,98,548,,,78868,,,548,98,,,,,78868,48,48,,,,,78868,79,66,,78868,,,,6947,548,,78868,,,,548,6947,,,,78868,,66,79,,,,78868,,48,48 9

Tbel - V.. Cálclo s Coorens s Norms e e ss Dervs os Pontos Fonte os Elementos o Contorno /$ $ $ $ * * '.!!.!! ' ""! "".... "" ""!.!!.!! '. '. ' ""! '.!!.!!...!!.!! ""! ' "".. '.. "" ' "".. '.. "" ""!.!!.!!.. '.!!.!! ' ""! '. '..!!.!! ""! "".... "" ' ""! '.!!.!!

Tbel - V.. Cálclo s Mtrzes H e G os Pontos Internos os Elementos e Contorno 4 56 4 56 47 8 $ 9 -, $ :-; 8 $?-, $?; '.. " '! '! '"!! ' '.! '." '! '."! '."! '." '! '."! '."! '"!! ' '.! '.. " '! '! '"!." '."!! '"!." '."!! '!".! ' '!.!" '"!. " ' '!. '.! '! '! '"! '."! '" ' '"! '."! '" ' '.! '! '! '"!. " ' '!. '." '!." '"! '"! '." '!." '"! '"! '!" ".". ' '!" " '!. '.". " '! '! '."! '! '" " '"! ' '."! '"!. ". '. '! '."! '.! '"!! ' '". "! '. '. '!." '! " '! '"! '." '"" ' '!".". ' '..!"! '. '". "! '. '"!! ' '. '! '."! '.! '"! ' '."! '"!. ". '."! '! '" " '.". " '! '! '"! '." '"" ' '. '!." '! " '! '!".". ' '..!"! '.

5.4.9 Tbels e H e G pr qtro pontos e Gss Tbel - V.. Coorens os Pontos Fonte os Elementos o Contorno $! ""!! "! ""!! "! ""!! "! ""!! "! ""!! "! ""

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Tbel - V.. Coorens os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno # $ % % % $ $! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' ' 4

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Tbel - V. 4. Cálclo s Abcsss e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno @ * * 6 * * A * * * *.....!.....!.!.....!.........!.....!.!.....!.........!.....!.!.....!.........!.....!.!.....!.........!.....!.!.....!.........!.....!.!.....!....

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Tbel - V. 5. Cálclo s Orens e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno * * * * * * * *.....!.....!.!.....!.........!.....!.!.....!.........!.....!.!.....!.........!.....!.!.....!.........!.....!.!.....!.........!.....!.!.....!.... 8

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Tbel - V. 6. Cálclo os Ros e Gss e s Coorens s Norms os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno,-,-,-,- /$ * * * * $ $ $!......! '. "...! ' "! "! "!! " ".!!".!." "!! "..!! ". " '. "..... " '!... ". '!......! ' "... "... " ".!..! "!! "!.".!" ".! "!! " '! " "! '..!! ". " '. "..... " '!......!. "...! "! "! "!! " ".!!".!." ' "!! " ' "!! " '! " "! '!... ".!......! "... "... " ".!..! "!! " '!.".!" ".! ' ".!!".!." ' "!! " '..!! ". ". "..... "!......!. "...! "! "! ' "!! " ' "!! " '!.".!" ".! ' "!! "! " "!!... ".!......! "... "... '

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Tbel - V. 7. Cálclo s Dervs s Coorens s Norms os Pontos Fonte os Elementos o Contorno * * * *.."..!. ".! "!" " " "..!".!!.....!!! " " ".!.". ".... ".".! ". " "!.!!.....!!.!". " " "!" " ".!..!..".! " " ".!.". "...."..!. ".! "!" " " "..!".!!.....!! "!" " ".!..!.."... ".".! ". " "!.!!.....!!.!". " " " "..!".!!.....!!! " " ".!.". "...."..!. ".! "!" ".!!.....!!.!". " " "!" " ".!..!.."... ".".!

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Tbel - V. 8. Cálclo s Mtrzes H e G os Pontos Cmpos os Elementos e Contorno 47 BC 4 56 4 56 8 $ 9 -, $ :-; $ # $ 5 -.! -.! -! -! '." '! ;! ;." ' '.! ;.! ; ' - '""" ' - '""" '!!." - '. '!!." - '. '" '!!! ;!!!! ;! " '!. ;" '. ;"! -! -! -.! -.! '!. ; '. ;! '" '!!! ;!!! ; " '!!." - '. '!!." - '. ' - '""" ' - '""" ' '.! ;!.! ;! '." '! ;"! ;"." '" - '!!! '" - '!!! '! -. '! -..! ; '.! ; '! ; '! ; '." - '! '." - '! ' - '.! ' - '.! ' '""" ;! """ ;! '!!." '. ;". ;"!!." ' - '.! ' - '.! '." - '! '." - '!! ; '! ;.! ; '.! ; ' '! -. '! -. '" - '!!! '" - '!!! '!!." '. ;!. ;!!!." ' '""" ;" """ ;" ' - '""" ' - '""" '!!." - '. '!!." - '. '" '!!! ;!!! ; " '!. ; '. ;! -.! -.! -! -! '." '! ;!! ;!." ' '.! ;".! ;" '!!." - '. '!!." - '. ' - '""" ' - '""" ' '.! ;.! ; '." '! ;! ;." -! -! -.! -.! '!. ;! '. ;!! '" '!!! ;"!!! ;" " 4

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5.4. Tbels e Cálclo e Inversão s Mtrzes H e G pr qtro pontos e Gss Tbel - V. 9. Cálclo s Mtrzes Inverss e H e G os Pontos Cmpo os Elementos e Contorno 48<* 8$! " '" ' ' '!!." '." '! '! '." '!!." ' ' '" '." '! '" ' ' '!!." ' '" '! '." '!!." ' ' '!!." '." '! '" ' '!!." ' ' '" '! '."! '" ' ' '!!." '." '! " '! '." '!!." ' ' '" 48 8 $! " '." ' ' '!!." '" '! '! '" '!!." ' ' '." '" '! '." ' ' '!!." ' '." '! '" '!!." ' ' '!!." '" '! '." ' '!!." ' ' '." '! '"! '." ' ' '!!." '" '! " '! '" '!!." ' ' '." 4<* $! " '" ' ' '!!." '." '! '! '." '!!." ' ' '"! '. '.! '!!!!.! """..!!!! '! '.! '.!. """ ' '!!." '." '! '" ' '!!." ' ' '" '! '."!!!!.! """.! '. '.! '! " '.!. """.!!!! '! '.! 4 $! "!.! ' '!!."!!! '. '.!!! '!!." '.!! '" '! '.! '! '." ' """. ' '." '! '.! '! '". """ ' '!!."!!! '.!.! '!!." '.!! '.!!!! '." ' """. '" '! '.! '! " '! '". """ ' '." '! '.! $ <'*! ". ' "!! "! '.. '.!!." ' "!!.."!! '. '..! " '!! ' '"!.! ' ' "!!.. ' " '!.! '" ' '!!..!! '.. '.!!.". ' "!! "! 6

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5.4. Tbels e H e G pr os pontos nternos com qtro pontos e Gss Tbel - V.. Coorens os Pontos Fonte os Elementos o Contorno $! ""!! " # # # #! # "" #! #! # "! ""!! "! ""!! "! ""!! " 8

Tbel - V.. Coorens os Pontos Cmpos os Elementos o Contorno # $ % % % $ $! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' ' 9

Tbel - V.. Cálclo s Abcsss e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno @ * * * * * * * *!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ".!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ".!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ".!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ".!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ". 4

Tbel - V.. Cálclo s Orens e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno * * * * * * * *!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ".!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ".!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ".!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ".!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ". 4

Tbel - V. 4. Cálclo os Ros e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno,-,-,-,- * * * * " " ""!!..!.! " "! ".! "!!..."! " " ""!." "... " "." "...!..."! " " ""!." "... " "." "... " " ""!!..!.! " "! ".! "!.! " "! ".! "!!..."! " " ""!." "... " "." "... " " ""!!..!." "... " "." "... " " ""!!..!.! " "! ".! "!!..."! " " ""!!"..!"!!"..!"!!"..!"!!"..!"! 4

Tbel - V. 5. Cálclo s Coorens s Norms e e ss Dervs os Pontos Fonte os Elementos o Contorno /$ $ $ $ **** '.!!.!!.""."" ' ""!.!!. ""...!.."... "". ".! ""!!." " "...!!.!!.""."" '. ".. '..".! ' ""!!." " ".. '.!!.!!.""."". "....".!.!!.!!.""."" ""!.!!. ' ""...!..". '.. "". ".! ' ""...!..". '.. "". ".! ""!!." " "...!!.!!.""."". "....".! '.!!.!!.""."" ' ""!.!!. '. ".. '..".!.!!.!!.""."" ""!.!!. ""...!.."... "". ".! ' ""!!." " ".. '.!!.!!.""."" '!"..!".....! '.!".!". "!!!!"..!".....!.!".!". "!!!!"..!".....!.!".!". "!!! '!"..!".....! '.!".!". "!!! 4

Tbel - V. 6. Cálclo s Mtrzes H e G os Pontos Internos os Elementos e Contorno 47 BC 9-4?56 8 $ 9 -, $ :-; 8 $?-$, $?; '.!! '! '."! '"! " ' '! '." '! ' '."!." '." '! ' '."!." '"! " ' '! '.!! '! '."! '"!! '."!! '"!! '."!!.!! '!!..! '"!!! ' '"" '. " '! '!. '"! ' '" '! '"! ' '" '! '. " '! '!. '"!!! ' '"" '." '!! '"! '!.! '." '!! '"! '!.! '!! '!! '."!! '! '.! '." " '! '"" '"! ' ' '"!. ".. '. '! ' '.!! '" "! ' "! '"!!! '" '. '!! '! " '!. '"! '! '"" '""! " '." "! '"!!! '" '" "! ' "! '. '! ' '.!! '"! ' ' '"!. ".. '." " '! '"" '."!! '! '.! '"! '! '"" '""! '. '!! '! " '!. " '." "! '!! '." '." ' " '." '"!"! ' '." ' '!. ' '." ' '!. ' " '." '"!"! '!! '." '." ' '."! '!! '" ' '."! '!! '" ' " 44

5. 5 Alterção o progrm POCONBE e cálclo pelo Métoo e Elementos e Contorno pr o Problem o Potencl Esclr O progrm POCONBE tlz elemento constnte, o Lvro: C. A. Brebb n J. Domngez, Bonr Elements, An Introctor Corse, n Eton, Compttonl Mechncs Pblctons, McGrw-Hll Book Compn., fo mofco e tl form qe s ntegrções não-snglres são efets com m número e pontos e Gss N g respetno s segntes regrs: Se l então N 4 > g. 56 Se < então N g 6 l. 57 Se l então N 8 g. 58 one é stânc entre o centro os elementos e e l é o comprmento eles, conforme mostr Fgr - 5. 7. Fgr - 5. 7. Depenênc stânc com o ro e ntegrção entre os elementos e contorno. segnte form: O efeto ess mofcção fo verfco o ror o progrm POCONBE, 45

v Roo-se o progrm n form orgnl form como está pr N g 4 e epos fzemos mofcção e roo-se novmente pr os N g vráves conforme s regrs cm e no fnl comprmos precsão os resltos e e e q nos pontos solctos. Dc: As regrs e contecerm ns stções mostrs n Fgr - 5. 8. Fgr - 5. 8. Vrção stânc reltvs entre os elementos e m contorno. Utlzo-se os comnos f then else f then else... fez-se s mofcções no progrm conforme mostr o Apênce A.. 46

5.5. - Entr e Dos o Progrm POCONBE n form Orgnl Eemplo e plc com 8 nós 8 elementos constntes 8...................5...5 47

5.5. - Sí e Dos o Progrm POCONBE n form Orgnl *************************************************************************** EXEMPLO DE FLUXO DE CALOR 8 ELEMENTOS CONSTANTES Dos Nmero e Elementos e Contorno 8 Nmero e pontos nternos one fnção é clcl Coorens os pontos etremos os elementos e contorno Ponto X Y.E.E.E.E.E.E 4.E.E 5.E.E 6.E.E 7.E.E 8.E.E Concões e Contorno nó Cógo Vlor Prescrto.E.E.E 4.E 5.E 6.E 7.E 8.E *************************************************************************** Resltos Nós o Contorno X Y Potencl Derv o Potencl.5E.E.576E.E.5E.E.484E.E.E.5E.E -.6E.E.5E.E -.6E.5E.E.484E.E.5E.E.576E.E.E.5E.E.57E.E.5E.E.57E 48

Pontos Internos X Y Potencl.E.E.4E.5E.E.496E.E.5E.E *************************************************************************** 49

5.5. - Sí e Dos o Progrm POCONBE n form Mofc *************************************************************************** EXEMPLO DE FLUXO DE CALOR 8 ELEMENTOS CONSTANTES Dos Nmero e Elementos e Contorno 8 Nmero e pontos nternos one fnção é clcl Coorens os pontos etremos os elementos e contorno Ponto X Y.E.E.E.E.E.E 4.E.E 5.E.E 6.E.E 7.E.E 8.E.E Concoes e Contorno nó Cógo Vlor Prescrto.E.E.E 4.E 5.E 6.E 7.E 8.E *************************************************************************** Resltos Nós o Contorno X Y Potencl Derv o Potencl.5E.E.57E.E.5E.E.488E.E.E.5E.E -.586E.E.5E.E -.586E.5E.E.488E.E.5E.E.57E.E.E.5E.E.586E.E.5E.E.586E 5

Pontos Internos X Y Potencl.E.E.E.5E.E.4959E.E.5E.E *************************************************************************** 5

Cpítlo VI INTRODUÇÃO A TEORIA DA ELASTICIDADE Apresentmos neste trblho o esenvolvmento mtemátco Teor Elstce Lner, por meo o métoo s Eqções Integrs e Contorno. Pr sso tlzmos ente e Somgln e eqção ntegrl e Bett pr eqconr Teor Elástc Lner em termos o Métoo os Elementos e Contorno. O Métoo os Elemento e Contorno pr Teor Elstce Lner fo esenvolvo mtemtcmente ese s form nlítc básc té s formlção fnl em termos s mtrzes H e G, pr mplementção comptconl nmérc. Os problems Teor Elástc Lner são mto nteressntes pr Engenhr e m form gerl. Nest scpln estmos nteressos em plcr o Métoo os Elementos e Contorno problems cêmcos e Elstce. Os eemplos e plcção qe serão q estos são, o e m plc pln com m fro crclr, qe represent m eemplo e omíno fnto; o e m cve crclr, qe represent m omíno nfnto e m eemplo e vg pree qe represent m problem mto comm em Engenhr. Em toos esses problems o recrso e smetr poe ser o não, tlzos pr smplfcr o cálclo e o csto comptconl o problem ser resolvo. Toos esses eemplos são clásscos e precem em versos problems e Engenhr 6. - Elementos e mecânc os sólos Um borgem solção e problems em mecânc os sólos é estbelecer relções prmero entre crgs plcs e tensões nterns e, sbseqüentemente, conserr s eformções. Um otr borgem é emnr s eformções nclmente, e então proceer às tensões e s crgs plcs. Desprezno-se eventl solção o cmnho 5

selecono, é necessáro ervr s relções os componentes nvlmente. Neste cpítlo, prmer sére e eqções s qs escrevem o eqlíbro entre forçs eterns e tensões nterns são ervs. 6. - Análse o esto s tensões 6.. Trção e vetores e coplmento s tensões Um corpo eformável seto m crregmento eterno é mostro n Fgr - 6.. Poem estr crgs plcs sobre o eteror, proprmente chm e forçs sperfcs, e crgs strbís entro o nteror o corpo, conhecs como forçs nterns. Um eemplo últm é o efeto grve, ql proz o peso-específco o corpo. Focno tenção sobre m elemento com áre N sobre o entro o corpo e orent conforme especfc por m vetor norml n, nós cmlmos forç resltnte F n e o momento M n. Ambs são grnezs vetors e não são, em gerl, prlels n. Logo bscmos ntense s resltntes sobre áre N n form. Fgr - 6.. Corpo eformável sob crregmento eterno. f lm F n /V n ; vetor, 6. One T n é conheco como vetor s tensões o trção, e C n é chmo e vetor o coplmento s tensões. A teor elstce elementr procee sperposção e qe C n, enqnto trção T n represent ntense s tensões em m ponto pr m orentção 5

prtclr e elemento e áre especfc por n. Um escrção complet no ponto reqer qe o esto s tensões se conheco por toos s reções, tl qe T n ele mesmo é necessáro, ms não sfcente, pr est propost. 6.. Componente s tensões Nós gor estmos m prlelepípeo retnglr nfntesml no ponto em qestão e constrímos m sére e coorens crtesns prlels o lo, conforme mostro n Fgr. corresponente c eo cooreno é m vetor ntáro ê. Mostro n fgr são s trções T qe tm sobre c fce, com o sbscrto escolho corresponente fce norml ê. Novmente enftz-se qe, em gerl, T não é prlelo ê, o ql é perpenclr fce o prlelepípeo. Fgr - 6.. Tensor s tensões norms e cslhntes em m corpo. o C trção poe ser escrt em termos s componentes crtesns n form: f f ê f ê f ê f ê, 6. f ê 6. ê f f f ê f ê Ms 54

T σ ê 6. 4 ql epnno eplctm,ente em três eqções fornece: σê σê σê ê 6. 5 T σ σ ê σ ê σ ê ê 6. 6 T σ o n σ ê σ ê σ ê ê 6. 7 T σ σ σ σ T [ T ] σ σ σ ê T σ ê σ σ σ ê ê T 6. 8 Os coefcentes σ, σ,..., σ, são conhecos como componentes s tensões o smplesmente como tensões, enqnto qe to mtrz form o tensor s tensões qno regr e trnsformção propr é verfc. O sbscrto e convenção os sns pr s componentes s tensões σ são como sege: O prmero sbscrto refere-se à norml ê, ql enot fce sobre ql T t. O segno sbscrto correspone à reção ê n ql tensão t. As tão chms componentes norms σ Σ são postvs se els prozem tensões, e negtvs se els prozem compressões. As componentes e cslhmento σ são postvs se recons n reção postv enqnto tm sobre fce com ne norml ê, o se recons n reção negtv enqnto tm sobre fce com ne norml ê. Enqnto é lgms vezes vtl stngr entre tensão e compressão ferenç entre cslhmento postvo e negtvo é glmente rbtráro. 55

6.. Tensão em m ponto Nós gor estmos em posção e proceer o prncpl obeto est secção, e então estbelecer conções sfcentes pr escrever completmente o esto tensões em m ponto. Nós mostrremos qe sto poe ser relzo por especfcção s trções T sobre c m os três plnos ê s qs pel eqção, é eqvlente especfcr s nove componentes s tensões σ. Então, se trção T n t sobre qlqer elemento rbtráro sperfíce, efn por m n propro, poe ser vlo, proposção é prov e o tensor s tensões σ, refero qlqer sstem crtesno convenente, completmente especfc o esto s tensões no ponto. Fgr - 6.. Forçs gno sobre m tetrero elementr em m ponto P. O tetrero ferencl n Fgr - 6. mostr trção T n tno sobre o plno entfco por n, o longo com trções sobre s fces ncs por ê e forç ntern f por ne e volme. A forç sobre fce ncln é T n A n enqnto forç sobre c m s otrs fces é T A,,,, ese qe els têm norms ntárs ns reções negtvs ê. As áres os plnos estão relcons por 6. 8, one A A cos nˆ, eˆ A nˆ ê 6. 9 n n tl qe 56

A n ne ˆ A A 6. ˆ n one n nˆ.ˆ e cos nˆ, ê 6. é componente e n n reção ê e tmbém reção cosseno. A forç e eqlíbro pr o tetrero : T nan T A TA T A f han 6. One h é ltr o tetrero. Usno s eqções 6. 9 6., eqção 6. torn-se: h T nan T A f An 6. Logo, resolveno T n em componentes crtesns T ê e tomno o lmte qno h conção e eqlíbro é stsfet se: T ê T n 6. 4 O prómo psso é escrever T em termos s componentes s tensões sno eqção 6. 4. Conto, é convenente prmero mr o ínce mo sobre o r.h.s eqção 6. 4 e pr, então: T n T n σ n ê 6. 5 O ql permte qe os coefcentes e ê ns eqções 6. 4 e 6. 5 sem eqcons forneceno: T σ n 6. 6 Recprocmente, se s componentes T são conhecs, mgnte e Tn poe ser vl como: / T T T T 6. 7 n n ese qe T n represent m componente trção qe t sobre m plno rbtráro como efno por n, o conhecmento s componentes tensão refers s coorens 57

crtesns é relmente sfcente pr especfcr completmente o esto s tensões no ponto. N eqção 6. 6, T e n são mbs componentes e m tensor [σ] e orem. Portnto, se s componentes s tensões são conhecs em m sstem e coorens, to o sstem, els poem ser vls por m otro sstem e coorens, to o sstem, pel le e trnsformção pr os tensores e segn orem. σ ' α α σ 6. 8 k l kl One c reção cosseno é: α cos ', 6. 9 conforme ntrozo nterormente 6. 9 represent o cosseno o ânglo entre os eos, e. ese qe regr e trnsformção eect m ppel mportnte n teor elstce, vle pen refrmr qe α α, sto é reção os cossenos não são smétrcos. 6..4 Tensão sobre o plno norml É lgms vezes útl resolver T n em componentes qe são norms e tngencs o elemento ferencl e sperfíce A n, conforme mostro n Fgr - 6. 4. Fgr - 6. 4. Elemento ferencl e sperfíce A componente norml é clcl por: σ N T. nˆ 6. nn n 58

T. ê. nˆ 6. T. n 6. o eqção 6. 7 componente tngencl é: σ σ n n 6. nn σ s T sˆ 6. 4 ns n T. ê. sˆ 6. 5 T. s 6. 6 σ σ n s 6. 7 ns one s ê. sˆ 6. 8 Isto freqüentemente convenente clclr σ ns sno o teorem e Ptágors como σ ns T / T σ nn 6. 9 conzno resolção m psso ms, s componentes crtesns e N e S poem ser vls: σ N nˆ. ê 6. nn k. êk σ nn k σ nn n k 6. 59

one k,,. prtr eqção 6. 8 pr σ ns, smples ção á σ n n n 6. k σ T σ k,,. 6. nn k n nn k one T k são s componentes crtesns e T conforme o pel eqção 6.. 6..5 Representção ác s tensões Concetlmente, poe ser útl ver o tensor s tensões como m grnez tpo vetorl teno m mgnte e reções ssocos, especfcs por vetores ntáros. O áco, trbo o mtemátco J. Wllr Gbbs é m tl representção. Nós escrevemos o tensor s tensões o áco s tensões como: [ ] σ.ê. ê σ 6. 4 σ. ê. ê σ. ê σ. ê. ê. ê σ. ê. ê σ. ê σ. ê. ê. ê σ. ê. ê σ. ê σ. ê. ê. ê 6. 5 One os plos vetores stpostos são chmos ácos. As trções corresponentes são vls por m operção nálog o proto esclr o operção e proto n rtmétc vetorl: [ σ ]. ê σ ê T. 6. 6 A operção ponto. e ê sobre [σ] selecon componentes com o segno vetor o gl ê ese qe ê.ê δ. A eqção 6. 6 é êntc eqção 6. 4. Smlrmente, s componentes norms e tngencs trção T n sobre m plno efno pel norml n são: nn [ σ ].ˆ. n nˆ σ 6. 7 T n. nˆ 6. 8 6

σ.n. n 6. 9 e ns [ σ ].ˆ. n sˆ σ 6. 4 T n. sˆ 6. 4 σ.n. s 6. 4 como prevmente cho ns eqções 6. e 6. 4, respectvmente. 6. - Eqções e Eqlíbro A prtr e gor vmos estr s eqções e eqlíbro r os sólos s qs são ecorrentes Mecânc Newtonn. 6.. Prncípos Físcos e Mtemátcos O esto s tensões em m ponto em qlqer reção tem so mostro ser completmente etermno pels componentes o tensor crtesno s tensões σ. Ntrlmente, s tensões vrm entro o corpo. As eqções qe governm strbção s tensões são conhecs como s eqções e eqlíbro e são ervs prtr plcção os prncípos fnments físc o momento nglr e o momento lner à regão mostr como n Fgr - 6. 5 com áre sperfcl A e o volme V. 6

Fgr - 6. 5. Corpo em eqlíbro. O prncípo o momento lner é: f V TA V A V ρ. V 6. 4 no ql ρ é ense e mss; é o vetor eslocmento, e o símbolo.. sgnfc erv em relção o tempo s vezes. reconheceno-se qe: e logo As eqções preceentes poem ser escrts n form e componentes prtr eqção 6. 9. Conserno o vetor posção r. 6.. Momento lner f f. ê 6. 44 T T ê 6. 45 σ.n. ê 6. 46 Pr problems estátcos, o r.h.s. s eqções 6. 4 são zero. Sbsttno-se s eqções, e em nós temos qe s eqções estátcs o momento lner são: 6

. V [ T ].ˆ na V f A 6. 47 o eqvlentemente. ê V σ n ê A V f A 6. 48 e V f. V σ n Aê 6. 49 A o. V σ n A V f A 6. 5 Spono qe s componentes σ s tensões são fnções contíns e clsse C e possem ervs contíns, poe-se sr o teorem vergênc pr trnsformr ntegrl e sperfíce em m ntegrl e volme. Portnto,.[ T ] V V A [ T ]. na ˆ 6. 5 Logo sbsttno em tem-se: V.[ T ] V V f V 6. 5 o V f.[ T ] V 6. 5 o V σ f V 6. 54 Como too elemento e V em eqlíbro, regão e ntegrção é rbtrár, vleno pr qlqer volme V, eqção é stsfet se o ntegro esprece. Portnto, 6

f σ 6. 55 Est é conção e eqlíbro pr o momento lner, ql represent s três eqções e eqlíbro em termos s nove componentes esconhecs tensão σ. 6.. Momento nglr O prncípo o momento nglr é: r f V r T A r ρ V V A V 6. 56 No ql r é o vetor posção como mostro n Fgr - 6. 5. O eqlíbro os momentos emn qe: V r f V r [ T ] nˆ A A 6. 57 one r 6. 58 ê ê ê form esclr e 6. 57 é: one V ε k f k V A ε k σ n A lk l 6. 59 se qsqer os,, k são gs ε k se,, k é m permtção cíclc e,, 6. 6 se,, k é m permtção e,, Usno o teorem vergênc temos: V l ε k σ lk V ε k σ lknla 6. 6 A 64

V σ lk ε k σ lk V ε k fkv 6. 6 l l V logo sno 6. 6 em 6. 6 one: temos: V V σ lk ε k[ fk σ lk ] V 6. 6 l se l ε kσ lk V ε kσ lkδ lv ; δ l 6. 64 l se l sno epressão 6. 55 temos: V V l σ lk ε k[ f k σ lkδ l ] V 6. 65 l V ε k σ lk δ V l V ε k σ k V 6. 66 Como relção é vál pr qlqer volme temos: ε 6. 67 kσ k eqção 6. 67 poe ser vl pr,,, one e e Logo ε σ ε σ 6. 68 ε σ ε σ 6. 69 ε σ ε σ 6. 7 σ σ 6. 7 65

σ σ 6. 7 e σ σ 6. 7 o n e form gerl σ σ 6. 74 ql é m conção smetr o tensor s tensões e qe, lém sso, mplc qe σ tem ses componentes nepenentes, em vez e nove componentes. A eqção 6. 74 é mto mportnte em too o cmpo mecânc os sólos. Nós poemos reescrever eqção 6. 6 como: T σ n 6. 75 e eqção 6. 5 como: f σ 6. 76 A ql é gor m sére e três eqções e ses ncógnts. Dese qe els são ss repetmente, est é útl escrever s últms eqções n form eplíct: f σ σ σ 6. 77 e f σ σ σ 6. 78 e f σ σ σ 6. 79 ql represent m sstem qe é n esttcmente netermno. 66

6. 4 - Tensões Prncps Em too ponto em m corpo este m plno, chmo e plno prncpl, tl qe o vetor tensão se estene o longo norml n este plno. Isto é, T σ n σδ n 6. 8 one σ é tensão norml qe t sobre este plno. A mplcção é qe não este cslhmento gno sobre o plno prncpl. A reção e n é refer à reção prncpl. A ntroção eqção 6. 8 n eqção 6. 6 fornece: σ σδ n 6. 8 A ql é m sére e três eqções homogênes pr reção os cossenos n qe efnem reção prncpl. Dese qe n n, então pr evtr solção trvl,, evemos ter: ql em m form mtrcl é: et σ σδ n 6. 8 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 6. 8 Est é m eqção cúbc em σ qe poe ser escrt como: σ I σ I σ I 6. 84 One I, I, I são grnezs esclres qe são nepenentes o sstem e coorens n ql s componentes s tensões são epressos. Els são chms e tensões nvrntes como: e e I I σ 6. 85 σ σ σ σ 6. 86 67

I ε kε pqrσ pσ qσ kr 6. 87 6 Em m form eten temos: e e I 6. 88 σ σ σ I σ σ σ 6. 89 σσ σ σ σ σ σ σ σ I σ σ σ 6. 9 σ σ σ Devo à smetr o tensor s tensões estem três rzes res σ, σ, σ, referente s tensões prncps eqção 6. 8. Assoco c tensão prncpl este m reção prncpl stsfzeno eqção 6. 8 e n n. As três reções prncps e os plnos ssocos são mtmente ortogons. Poe ser mostro qe s tensões prncps corresponem o vlor mámo, ntermeáro e mínmo s tensões norms em m ponto crclo e Mohr. Conto, mám tensão e cslhmento neste ponto é gl mete ferenç entre s tensões prncps mám e mínm qe t sobre o plno, fzeno m ânglo e 45 o grs com reção s tensões. Um conhecmento s tensões prncps é mportnte porqe els formm bse teor s flhs os mters. 6. 5 Análse s eformções Consere m corpo fleível como m geltn, sofreno peqens eformções, conforme mostr Fgr - 6. 6. e r r,, e r ' r ' ', ', ' 6. 9 r r ' ê 6. 9 ' ê ' ê ' 68

69 Fgr - 6. 6. Deformção trmensonl em m corpo fleível. one o e trção norms eformções l l l l l l ; ; 6. 9 o e cslhmento tngencs efor l l l l l l l l l l l l. ; ; ; ; 6. 94 Chmno e: l l ε, 6. 95 poemos escrever: ε. 6. 96 Pr m eformção qlqer temos:

ε, 6. 97 Pr o cso e temos s stções: Fgr - 6. 7. Csos e eformção e b rotção o ponto e vst e eslocmento vetorl. Pr o cso e formção pr temos: l l l l ε ε, 6. 98 logo ε ε ε, 6. 99 e pr o cso e rotção pr temos: l l l l ε ε, 6. logo 7

ε ε ε, 6. Pr qe m rotção pr não se nclí no cálclo s eformções, conforme é mostro no eemplo Fgr - 6. 7 cm, evemos constrr m tensor e eformções smétrco one ε ε, logo e m form gerl evos ter: ε, 6. Observe qe est constrção tmbém ncl s eformções norms, seno portnto m efnção bsoltmente gerl. 6.5. Tensor s eformções Somno-se s contrbções e c eformção pr encontrr eformção resltnte em m reção temos: e e ε ε ε, 6. ε ε ε, 6. 4 ε ε ε, 6. 5 Escreveno sob form e mtrz nós temos qe o tensor s eformções é o por: ε ε ε ε ε ε ε ε, 6. 6 ε Escolheno orgem one o vetor,, é nlo, o tensor ε á relçào entre os vetores; o vetor cooren r,, e o vetor eslocmento,,. 6.5. Dense e energ e eformção A ense e energ e eformção, W Wε kl, é m fnção potencl s eformções efn como: 7

C convee e conção e estble é por: Usno 6. 7 temos: one W ε σ ε, 6. 7 ε kl W W ε '' W ε ε'' kl ε kl, 6. 8 ε kl ε W ε σ ε, 6. 9 σ W, 6. ε Logo W ε '' W ε σ ε '' kl ε kl, 6. 6.5. Eqções e comptble A prtr regr e Schwrtz temos qe: W ε ε kl W ε ε kl, 6. Portnto σ ε kl σ ε kl, 6. Dest form o Jcobno fc: W ε ε kl ε W ε ε kl W W ε ε ε W kl kl, 6. 4 7

Logo ε W ε W kl W ε ε kl W ε ε kl, 6. 5 6.5.4 Mters Elástcos Lneres Conserno o cso e mters elástcos lneres ense e energ e eformção poe ser epn em sére e Tlor segnte form: W ε W ε kl W ε... ε kl, 6. 6 ε ε Conserno qe o prmero termo epnsão cm se nl por ser m posção e eqlíbro, nível zero ense e energ potencl, temos: kl W ε kl C kl ε ε kl, 6. 7 Est é Le e Hooke n s form generlz, one: W ε kl σ ε C kl ε kl, 6. 8 Est eqção mtrcl á orgem m mtrz C kl e 9 lnh e 9 colns em m totl e 8 elementos n mtrz. Porém por smetr temos qe: C C ; C C ; C C, 6. 9 kl kl kl lk Logo rezmos os elementos pr o número e, os qs escrtos e form eplct temos; kl kl σ σ σ τ τ τ zz z z C C C C C C 4 5 6 C C C C C C 4 5 6 C C C C C C 4 5 6 C C C C C C 4 4 4 44 54 64 C C C C C C 5 5 5 45 55 65 C C C C C C 6 6 6 46 56 66 ε ε ε zz, 6. ε z ε z ε Defnno o mólo e cslhmento, G, como seno o por: 7

τ z Gε z, 6. e τ z Gε z, 6. e τ z Gε z, 6. logo e o mólo e Posson pr,como τ Gε kl, 6. 4 v ε, 6. 5 ε como: As eqções e tensões poem ser escrts em termos o mólo elástco, E, σ Eε veε veε, 6. 6 zz e σ veε Eε veε, 6. 7 zz e σ veε veε Eε, 6. 8 zz zz A mtz nteror poe ser escrt como: σ σ σ τ τ τ zz z z E ve ve ve E ve ve ve E G G ε ε ε zz, 6. 9 ε z ε z G ε Logo s eqções e eformção fcm: 74

ε [ σ v σ σ zz ], 6. E e ε [ σ v σ σ zz ], 6. E e ε zz [ σ zz v σ σ zz ], 6. E Sbeno qe: E v G, 6. De m form gerl, sto é, pr m mterl sotrópco s eqções e tensão poem escrts como: σ v µ ε δ ε kk, 6. 4 v One µ G : é o mólo e cslhmento Combnno s eqções 6. 7 e 6. 8 temos: W σ ε, 6. 5 Sbsttno eqção 6. 4 em 6. 5 temos: W v ε µ ε ε ε ε, 6. 6 v 6.5.5 Complementre ense energ e eformção A estênc e m únc nvers relção constttv 6. ε σ kl ε kl σ, 6. 7 Assegr estênc complementre ense e energ e eformção, W* W*σ, efn por trnsform e Legenre como: 75

W * σ ε W, 6. 8 A prtr regr ce ervno eqção 6. 8 temos: W σ * ε W ε ε σ, 6. 9 ε Sbsttno eqção 6. 8, pr σ temos: W σ * ε σ ε σ, 6. 4 Portnto, * W ε σ, 6. 4 É ret mostr qe convee e W* sege convee e W. fornece: Pr m mterl frágl elástco lner combnção e 6. 5 com 6. 8 W W * σ ε, 6. 4 Poe-se escrever pr este cso qe: W * * σ kl C klσ σ kl, 6. 4 One o tensor C* kl é o nverso o tensor C kl e mesm form: C * kl * * * * * C kl ; C kl C lk ; C kl C kl, 6. 44 Sege e 6. 4 e 6. 4 qe: ε * W σ kl * C klσ kl, 6. 45 σ Pr m mterl sotrópco eqção 6. 45 se rez 76

ε v v σ δ σ kk, 6. 46 E E e W* torn-se: W * v v σ kl σ klσ kl σ kkσ ll, 6. 47 E E Se m le e potênc entre tensão e eformção este, pel eqção 6. 8, e tl form qe eformção é m fnção homogêne e gr n tensão eqção 6. 45, então eqção 6. 4 mplc qe W* eve ser m fnção homogêne s componentes tensão e gr n. Isto sege o teorem e Eler pr fnções homogênes, portnto: W * * W σ σ ε, 6. 48 n σ n Combno 6. 8 com 6. 48 temos: W * n σ ε n, 6. 49 Qno tensão é proporconl eformção n então s eqções 6. 4, 6. 48 e 6. 49 tornm-se êntcs eqção 6. 5. 77

Cpítlo VII PROBLEMAS DE ELASTOSTÁTICA RESUMO Neste cpítlo será vsto formlção ntegrl básc Teor Elstce, Le e Hooke, pr obtenção Solção Fnmentl o Métoo os Elementos e Contorno e o estbelecmento s Implementção Nmérc, tnto pr regões fnts como nfnts. 7. Obetvos o cpítlo Entener formlção Integrl Básc Teor Elstce Sber plcr o Métoo os Elementos e Contorno em problems e potencl ns ss ms ferentes forms envolveno Teor Elstce. Resolver problems e eqções ferencs pertnentes o métoo. 7. Introção A Teor Elstce nsce prtr le e Hooke pr eformção elástc e m mol. Com é o contíno e, pelo fto os corpos sob tensão se comportrem e form nálog m mol sten, teor elástc lner qr m ropgem mtemátc útl pr s plcção em corpos sólos. Dest form el é bse pr otrs áres cêncs ts como: Mecânc os Sólos, Mecânc Estrtrl, Mecânc Frtr, etc. seno m teor fnmentl qe poss lrg plcção n Engenhr. 78

7. Notção Crtesn Incl Os ínces,,, são sos pr sbsttr,, z e os símbolos e somtóro são esnecessáros sempre qe m mesmo ínce prece s vezes em m termo qlqer. Eemplo: No cso D e 7. kk b b b b b 7. O símbolo o Delt e Kroeneker δ é efno como: δ se E : δ 7. se Como por eemplo: δ δ δ δ 7. 4 Pr problems tr-mensons D, os ínces vrm e, pr problems b-mensons, e. 7. 4 Teor Elstce Lner o e A eqção e eqlíbro estátco no nteror Ω e m corpo é por: σ, b 7. 5 σ σ σ σ, σ, σ, b b 7. 6 79

σ σ σ σ σ σ σ σ σ b b b 7. 7 one: σ : represent s componentes o tensor e tensão b : represent s componentes s forçs e volme. As ervs espcs são ncs por m vírgl σ, σ, σ, σ, σ σ σ, σ σ 7. 8 A conção e eqlíbro no contorno o corpo é o por: p σ n 7. 9 one p represent s componentes o vetor e forç e sperfíce e n represent os cossenos retores norml rg pr for o corpo, conforme mostr Fgr - 7.. Fgr - 7.. Domíno Ω fntos e nfntos com contorno eterno e nterno respectvmente. le e Hooke fornece: Pr m mterl elástco sotrópco one não estem vrções e tempertr 8

σ Gv Gε ε kkδ 7. v one: G: mólo e elstce trnsversl v: coefcente e Posson ε : tensor e eformção específc e Cch Seno os componentes o vetor e eslocmentos. ε,, 7. Alterntvmente, eqção 7. poe ser escrt como: σ 7. Cklε kl one C kl é o tensor sotrópco e qrt orem e constntes elástcs. C kl Gv δ δ kl G δ kδ l δ δ k 7. v A sbsttção eqção 7. n eqção 7. permte representr s tensões em termos e ervs e eslocmentos. Est eqção resltnte poe, então ser sbsttí em 7. 5 e 7. 9 pr fornecer s eqções e eqlíbro tmbém em termos e ervs e eslocmentos. Como reslto esss operções, são obts s eqções e eqlíbro e Nver., G G kk k, k b v em Ω 7. 4 Trblho o crso - : Fzer sbsttção eqção 7. n eqção 7. e obter eqção 7. 4, sno 7. 5 e 7. 9. Solção: Fzeno sbsttção eqção 7. n eqção 7. temos: 8

σ Gv G,, k k k k δ v,, 7. 5 o Gv σ G,, k, k k, k δ 7. 6 v Logo Gv σ G,, k, k δ 7. 7 v Sbsttno 7. 7 em 7. 5 temos: Logo Gv G,, k, k δ, b 7. 8 v Gv G,, k, k δ b 7. 9 v sno propree fnção Delt e Drc temos: Gv G,, k, k b 7. v pel gle e Schwrtz one,, poemos escrever epressão 7. como: Gv G,, k, k b 7. v o Gv G, k, k b 7. v vno to epressão por os temos:, Gv G k, k b v 7. 8

Como o ínce é mo ele poe ser troco pelo ínce k, fcno:, Gv G kk k, k b v 7. 4 - - Por otro lo, mltplcno eqção 7. 7 por n, temos: Gv σ n G,, n k, k δ n 7. 5 v sno propree fnção Delt e Drc temos: Gv σ n G,, n k, k n 7. 6 v e sbsttno 7. 9 em 7. 6 temos: Gv p G,, n k, k n 7. 7 v - - Então, s forçs e sperfíce no contorno evem stsfzer segnte eqção: Gv v k, k n G,, n p em 7. 8 As eqções 7. 5 7. 8 são váls pr problems trmensons. Pr problems b-mensons, lém os ínces vrrem e, e lém sso tem-se: - Pr problems e esto plno e tensão, ν eve ser sbsttío por v v / v em tos s eqções e G permnece o mesmo. - Pr problems e esto plno e eformção o vlor e ν não se lter. 8

7. 5 Métoo os Elementos e Contorno Se o corpo efno por Ω qe está em eqlíbro sob ção e crgs e eslocmentos prescrtos. Esse esto é represento pelo grpo σ, ε,, p e b, conforme mostr Fgr - 7.. Fgr - 7.. Corpo em eqlíbro sob ção e crgs e eslocmentos prescrtos. Amte-se então estênc e m omíno Ω* com contorno * qe contém o corpo Ω. Como nterormente, ess nov regão tmbém está em esto e eqlíbro, represento por, σ *, ε *, *, p * e b *, conforme mostr Fgr - 7.. Fgr - 7.. Regão complementr em eqlíbro sob ção e crgs e eslocmentos prescrtos. e D eqção 7. temos: σ 7. 9 Cklε kl 84

σ * Cklε kl * 7. Então mltplcno-se prmer eqção 7. 9 por ε * temos: σ ε * Cklε kl ε * ε kl Cklε * 7. como C kl C kl 7. tem-se: σ ε * ε klcklε * ε kl Cklε * ε klσ kl * 7. Assm: σ ε * σ * ε 7. 4 poe-se ntegrr no omíno Ω e obter: Ω σ ε * Ω σ * ε Ω Ω 7. 5 Integrno por prtes os os los e 7. 5 e sno s eqções 7. 5 e 7., encontrse: b * Ω p * b * Ω p * Ω Ω 7. 6 Qe correspone o º teorem e Bett Recproce. Trblho o crso - : Solção: Obter eqção 7. 6 prtr eqção 7. 5. A prtr e 7. poemos escrever 7. 4 como: σ ε * σ, * σ, * 7. 7 Como o tensor s tensões é smétrco poemos escrever: 85

σ ε * σ, * σ, * 7. 8 o qe reslt em Sbsttno 7. 9 em 7. 5 temos: σ ε σ, * 7. 9 * Ω σ ε * Ω σ, * Ω Ω 7. 4 Ms σ *, σ, * σ, * 7. 4 Logo sbsttno 7. 4 em 7. 4 temos: Ω σ ε * Ω [ σ *, σ, *] Ω Ω 7. 4 o Ω σ ε * Ω σ *, Ω σ, * Ω Ω Ω 7. 4 Pelo teorem vergênc temos qe: σ *, σ n * p * Ω 7. 44 Logo poemos escrever 7. 4 como: Ω σ ε * Ω p * Ω σ, * Ω Ω Ω 7. 45 Usno 7. 5 em 7. 45 temos: Ω σ ε * Ω p * Ω b * Ω Ω 7. 46 Logo tmbém vle: 86

Ω σ * ε Ω p * Ω b * Ω Ω 7. 47 Portnto prtr e 7. 5 temos: Ω p * Ω b * Ω p * Ω b * Ω Ω 7. 48 o fnlmente p * b * Ω p * b * Ω Ω Ω 7. 49 - - b * Ω p * b * Ω p * Ω Ω 7. 5 Amtno qe s componentes s forçs e volme b * corresponem s forçs concentrs ntárs plcs no ponto ξ e Ω* em c m s três reções ortogons efns pelo vetor e componente p, tem-se: b * δ ξ, X 7. 5 P One P, sto é: P P P conforme mostr Fgr - 7. 4 e δ ξ, X é fnção elt e Drc e ξ, X δ se ξ. Fgr - 7. 4. Sstem e coorens os eos prncps, P, P, P, o problem elástco com omíno Ω e contorno e omíno recíproco Ω * e contorno recíproco *. 87

Teno em vst qe: Ω* g X δ ξ, X Ω X g ξ 7. 5 A prmer ntegrl em 7. 5 poe ser sbsttí por: b * Ω ξ P ξ ξ ξ Ω 7. 5 Se c crg ntár concentr tr nepenentemente os eslocmentos e forçs e sperfíce * poem ser escrts n form: * p * p * ξ, X P * ξ, X P 7. 54 one *, X ξ e p * ξ, X representm os eslocmentos e s forçs e sperfíce n reção no ponto X evo m forç ntár plc n reção e tno no ponto ξ. ξ : ponto fonte X : ponto cmpo 7. 55 Alterntvmente, eqção 7. 5 poe ser reescrt pr representr c componente e eslocmento em sepro. Com ess fnle ot-se: procemento proz três eqções form: P δ, P δ e P δ, este ξ Ω * ξ, X b * ξ, X p X X Ω X p * ξ, X ξ, X X 7. 56 Trblho o crso -: Obter ente Somgln 7. 56 prtr 7. 5, 7. 5 e 7. 54. A eqção 7. 56 é conhec como ente e Somgln pr os eslocmentos. Est eqção fo obt trvés recproce com solção snglr eqção e Nver stsfzeno : 88

G *, kk G v k *, k δ ξ, X P b* 7. 57 As solções eqção 7. 57 são enomns solções fnments. OBSERVAÇÃO: Notr lbere e escolh s conções e contorno e form regão Ω* *. Solção: Sbsttno 7. 5 e 7. 54 em 7. 5 temos: Ω δ ξ, X P Ω p * ξ, X p P * ξ, X P Ω * ξ, X b P Ω 7. 58 Aplcno propree fnção Delt e Drc temos: ξ P Usno o fto e qe: p * ξ, X p P * ξ, X P Ω * ξ, X b P Ω 7. 59 Temos ente Somgln: P δ, P δ e P δ 7. 6 ξ p * ξ, X p * ξ, X P X X Ω * ξ, X b Ω X 7. 6 o ξ Ω * ξ, X p * ξ, X b X Ω X p * ξ, X P X 7. 6 89

7.5. - Solções Fnments Estem ferentes solções eqção 7. 57 qe poem ser glmente empregs. Ests solções vrm tnto em relção à regão Ω* * como tmbém em relção às conções e contorno. Qno o omíno Ω* represent o espço elástco nfnto, solção fnmentl é enomn solção e Kelvn Note qe * está nesse cso nfntmente stnte e Ω. Cos eslocmentos pr o esto plno e eformção, são os por: e [ 4v r, r ] * ξ, X δ, pr D 7. 6 6π v Gr [ 4vln r r, r ] * ξ, X δ, pr D 7. 64 8π v G Pr o esto plno e tensão, eve-se tlzr v v / v.além sso: p [ v δ βr, r, ] r ξ, X v r, n r, n α 4απ v r n * 7. 65 one α, ; β, pr problems D e D EPD respectvmente. r rξ,x é stânc entre ξ e X ; s ervs e r são em relção às coorens e X, o se: r r. r / r r X ξ r r r X ξ ; r X ξ 7. 66 e r r r r, 7. 67 X r ξ Como mencono, s epressões o esto plno e tensão EPT são s mesms o esto plno e eformção com v sbsttío por: v v 7. 68 v 9

7.5. - Deção forml Iente Somgln A eqção 7. 5 poe ser escrt n form: σ * ξ, X. ε X Ω X σ X ε * ξ, X Ω X Ω ε Ω ε 7. 69 One Ω ε é o omíno qe rest e Ω qno se retr m esfer e ro ε e o contorno ε, centr em ξ, o omíno orgnl Ω, conforme mostr Fgr - 7. 5. Fgr - 7. 5. em Ω ε os tensores * não são snglres ξ Ω ε Portnto, mtno-se qe ε X e σ X sem mbos contíns e lmts em qlqer ponto X Ω, ntegrção por prtes como fo feto nterormente, fornece. ε Ω p ε * ξ, X X X * ξ, X b X Ω X ε * ξ, X p X X 7. 7 Em relção s ntegrs efns em ε, tem-se: Pos Jstfctv: Cso D: lm * ξ, X p X X ε 7. 7 ε 9

9 ; ~, * ε ε ξ X X 7. 7 Cso D: ε ε ξ ; ~ ln, * X X 7. 7 Qno.ln lm ε ε ε e ε ε ε ξ ξ ξ ξ ξ, * ] [, *, * X X p X X X p X X X p 7. 74 one, pel hpótese e contne e, ε, ξ, temos: ] [, * lm X X X p ξ ξ ε ε 7. 75 Jstfctv: Cso D: ; ~, * ε ε ξ X X p 7. 76 Cso D: ε ε ξ ; ~, * X X p 7. 77 A últm ntegrl em 7. 74 é clcl lembrno qe solção fnmentl correspone crgs ntárs concentrs plcs em ξ. Assm P P X X p P X X p δ ξ ξ ε ε, *, * 7. 78 qe fornece:

ξ p * ξ, X X ξ P ε 7. 79 A epressão 7. 79 é nepenente e ε e poe ser verfc efetno-se ntegrção nlítc. Conseqentemente, trno-se o lmte qno ε e otno-se c crg ntár tno seprmente, eqção 7. 56 chm e nente Somgln é obt. eslocmento tensão eformção 7.5. - Tensões nos Pontos Internos A eqção 7. 56 é m representção contín e eslocmentos em pontos o nteror o corpo. Conseqentemente, s componentes e tensão nesses pontos nternos ξ Ω poem ser etermns ervno eqção 7. 56 em relção às coorens o ponto fonte ξ pr obter s eformções específcs e, em seg, sbsttno epressão resltnte n le e Hooke eqção 7.. A epressão fnl é por: σ ξ Ω k k * ξ, X b * ξ, X p k k X X Ω X p k * ξ, X k ξ, X X 7. 8 Observe qe s ervs form plcs retmente entro s ntegrs. Esse procemento, válo nesse cso, não é sempre plcável no cso e ntegrs relzs nteror o omíno. As componentes os novos tensores são: e k [ v r, δ r, δ r, δ r, r, r, ] * ξ, X k k k β α 4πα v r pr D k 7. 8 p k G * ξ, X απ v r βv n r, r, k n r, r, k β r { β n v βn [ v δ r, v δ r, δ r, γr, r, r, ] k r, r, k n δ k k n δ k k 4v n δ } k k 7. 8 one 9

94 4 5 e e e γ β α 7. 8 Pr D e D respectvmente Notr qe sbsttção, X r r r ξ 7. 84 á fo fet. 7.5.4 - Métoo os Resíos Poneros O Problem Elástco o Métoo os Resíos Poneros consste em resolver eqção e Nver bo e mner prom:,, k k kk b v G G em Ω 7. 85 com s conções e contorno em p p em 7. 86 Os erros e promção poem ser strbíos e coro com sentenç os resíos poneros, segnte form: * * *, Ω Ω σ p p p b k k k k k k k k k 7. 87 One k * e p k * esempenhm ppes s fnções e ponerção e representm s solções fnments n regão Ω* * qe contém o corpo Ω. Integrno por prtes o prmero termo eqção 7. 87 temos: * * * * * ε Ω Ω Ω Ω ε σ p p p b k k k k k k k k k k k 7. 88

Sbsttno eqção 7. σ em 7. 88 e conserno smetr o Cklεkl Tensor C kl, o prmero termo e 7. 88 poe ser novmente ntegro por prtes. A epressão resltnte é: Ω σ * p k k, * k k Ω Ω b p k k k * * Ω k k * p k k * p k 7. 89 Lembrno qe solção fnmentl o fnção e ponerção stsfz σ, * δ ξ, X P 7. 9 k A eqção 7. 56 é obt, ql é ente Somgln pr solção prom one mte-se tmbém qe c crg ntár t em sepro. É mportnte notr qe o empregr o Métoo os Resíos poneros, não fo necessáro mtr qe solção prom stsfzesse etmente eqção e eqlíbro 7. 4 em Ω. No entnto, poe-se ervr eqção 7. 8 e verfcr qe, mesmo pr solções proms, eqção 7. 4 é verfc etmente, o qe vl s formlções nterores. 7.5.5 - Eqção Integrl e Contorno A ente e Somgln não poe ser empreg pr obter os eslocmentos o tensões enqnto os vlores e eslocmentos e e forçs e sperfíces não forem conhecos em too o contorno s forçs e volme são consers sempre conhecs. Portnto, pr solção o problem, o se obtenção epressão lmte eqção ntegrl e contorno, eve-se clclr m epressão pr o lmte qno o ponto ξ pertence o contorno ξ conforme mostr Fgr - 7. 6. k, nesse cso, mte-se qe o corpo poe ser represento 95

96 Fgr - 7. 6. Ponto e Colocção ξ pertencente o contorno Pr o corpo cm, eqção 7. 74 poe então ser escrt como: ε ε ε ε ε Ω Ω ξ ξ ξ *, *, * X X b X X p X X X X p 7. 9 one hpótese e qe c crg ntár t seprmente á fo fet. Poe-se estr seprmente o lmte qno ε e c ntegrl e 7. 9 ε ε ε ε ε ε ε ξ ξ ξ ξ, * lm, * lm, * lm X X p X X X p X X X p 7. 9 A prmer ntegrl à ret em 7. 9 poe ser escrt como: ε ε ε ε ε ε ξ ξ ξ ξ ξ, * lm ] [, * lm, * lm contne e X evo X X p X X X p X X X p 7. 9 one prmer ntegrl à ret é nl, pel contne e X efne-se:

C ξ lm ε ε p * ξ, X X 7. 94 o vlor e C epene geometr o contorno no ponto ξ Voltno-se à eqção 7. 9, verfc-se qe segn ntegrl à ret eve ser nterpret no sento e vlor prncpl e Cch, c estênc poe ser emonstr se X stsfz à conção e Holer: α X ξ Br 7. 95 one B e α são constntes postvs As ntegrs restntes em 7. 9 tem snglres ms frcs e não presentm problems. Portnto, tomno-se o lmte qno ε, eqção 7. 9 resltnte fornece C Ω ξ ξ * ξ b p * ξ, X X Ω X X X * ξ, X p X X 7. 96 one prmer ntegrl à ret é clcl no sento o vlor prncpl e Cch. Poe-se emonstrr qe C ξ δ / pr m contorno sve em 7. 96 ξ. A eqção 7. 96 fornece m relção qe eve ser stsfet pels forçs e sperfíce e pelos eslocmentos no contorno nclno s forçs e volme qe são conhecs. Portnto, qno s conções e contorno são plcs, ess eqção poe ser s pr clclr s ncógnts no restnte o contorno. 7.5.6 - Regões e Domínos Infntos A etensão eqção 7. 96 pr o cso e regões nfnts eve ser stsfet levntno-se em conserção lgms hpóteses cons reltv às fnções envolvs. Ests hpóteses estão ssocs o comportmento s fnções em m sperfíce nfntmente stnte e ξ e efnem chm conção e reglre no nfnto. Se ρ o ro e m esfer e sperfíce ρ, centr em ξ, qe envolve s cves o problem eterno represento conforme mostr Fgr - 7. 7. 97

Fgr - 7. 7. Regões e omínos fntos. smplfcr como: A eqção 7. 96 poe ser escrt pr regão entre e ρ como b pr C ξ ξ p * ξ, X X X * ξ, X p X X ρ ρ 7. 97 Tomno o lmte qno ρ, eqção 7. 97 poe ser escrt em termos e ntegrs sobre pens se conção e reglre for stsfet. lm ρ ρ ξ [ p * ξ, X X * ξ, X p X ] X 7. 98 Pr problems D X ρ : tem-se: X J φθ e J * ξ, X ϑ ρ 7. 99 p ξ, X ϑ ρ ϑ ρ Portnto, se n por s hpóteses, X ϑ ρ nfnto, s conções e reglre 7. 98 são stsfets. e X ϑ ρ p no 98

Deve-se observr qe se crg totl plc sobre sperfíce não for toeqlbr, o qe gerr m ecmento ms rápo n, o prncípo e Snt-Vennt mostr qe X e p X terão o mesmo comportmento qe solção fnmentl corresponente m crg concentr n reção resltnte. Portnto, X ϑ ρ e X ϑ ρ seprmente. Pr problems D. p são obts e c termo e 7. 98 se nl X J φ e J ϑ ρ * * p ξ, X ϑln ρ ; ξ, X ϑ ; ξ, X ϑ ρ 7. Portnto, pr grntr qe c termo e 7. 98 se nl seprmente, é necessáro qe X ϑ ρ e p X ϑ ρ como no cso D vsto nterormente. Esse cso, no entnto, não correspone o comportmento solção fnmentl no nfnto. Com bse no qe fo feto pr o cso D, poe-se sbsttr X e X pelos tensores corresponentes à solção fnmentl D e verfcr qe eqção 7. 98 tmbém é stsfet. A últm ferenç é qe, gor os termos não se nlm seprmente, ms se cncelm qno ρ. p Conclsão se X e X Poe-se frmr, portnto, qe s conções e reglre são sempre stsfets p se comportm n por s hpóteses, como solção fnmentl no nfnto. Nesse cso problems e cve em meos nfntos tmbém poem ser representos pel eqção 7. 96 C ξ ξ p * ξ, X X X * ξ, X p X X 7. note qe norml nˆ pont pr entro cve 99

Fgr - 7. 8. Utlzção os Métoos Nmércos n solção e problems prátcos one os omínos e os contorno são nternos o eternos. 7.5.7 - Implementção Nmérc Se eqção 7. por: C ξ ξ p * ξ, X X X * ξ, X p X X 7. Temos como obetvo resolver est eqção 7. o eqção 7. 96 com s segntes conções e contorno: p p em em 7. segnte mner: Empreg-se o procemento nmérco promo qe poe ser resmo O contorno é scretzo promo em m sére e elementos sobre os qs os vlores e e p são nterpolos em fnção os ses vlores nos.

A eqção 7. 96 é reescrt n form scretz pr c ponto nol ξ o contorno e s ntegrs são clcls slmente e form nmérc, prom sobre c elemento e contorno. Um sstem e N eqções lgébrcs qe envolvem N vlores nos e eslocmentos e N vlores nos e forçs e sperfíce é obto. As conções e contorno 7. são mposts, conseqentemente N vlores nos são prescrtos forç e sperfíce o eslocmentos em c reção por nó. O sstem e eqções poe, então ser, resolvo mner sl pr se obter os N vlores nos ncógntos restntes. Os vlores os eslocmentos e tensões em qlqer ponto nterno ξ ξ Ω selecono poem ser obts posterormente empregno ente Somgln mostr n eqção 7. 56, pr eslocmentos, e eqção 7. 8 pr tensões. Observr qe s forçs e volme, por serem conhecs, contrbem pens pr o termo nepenentemente o sstem e eqções. Fgr - 7. 9. Pontos nos e m contorno reglr no cso bmensonl. Elemento Lner: As coorens crtesns ~ os pontos o contorno loclzos o longo o elemento são epressos em termos e fnções e nterpolção M e s coorens ~ m nos nós geométrcos o elemento n form: ~

~ ~ ~ m M 7. 4 coorens nos os nós geométrcos. Fgr - 7.. Elemento lner com o ponto fonte o e e colocção ξ concente com o nó geométrco. Fgr - 7.. Elemento lner com o ponto e colocção ξ concente com o ponto e colocção. De mner nálog, eslocmentos e forçs e sperfíce são proms sobre c elemento, trvés o so e fnções e nterpolção ~ N nterpolção fnconl ~ ~ ~ ~ ~ ~ m m p N p N 7. 5 one ~ ~ e m m p contém os vlores nos e eslocmentos e e forçs e sperfíces. Observe qe o número e nós geométrcos efnção e ~ m e fncons efnção ~ ~ o m m p poem ser ferentes. Amtno qe o contorno é scretzo em L elemento eqção 7. 96 poe ser escrt como: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ * * m L m L p N N p C ξ ξ 7. 6

pr m ponto ξ. Teno em vst qe s fnções e nterpolção M e ~ N são normlmente ~ epressos em termos e m cooren mensonl η, eve-se escrever em relção esse sstem e coorens: one o cobno est trnsformção é o por: J η 7. 7 J 7. 8 ~ η η Em csos ms smples, s ntegrs ncs em 7. 6 poem ser clcls nltcmente. Em gerl, processos nmércos ntegrção tpo Gss conzem procementos ms efcentes e poem ser ss com fnções e nterpolção e orem ms elev. O cso especl ξ reqer cos especs evo à snglre em r. Nos csos norms em qe ξ, s ntegrs são clcls como: p* N p* N J η ~ ~ ~ ~ K k ~ J w p* N k ~ ~ k 7. 9 e K * N * N J η J ~ ~ ~ ~ k ~ w * N k ~ ~ k 7. one k é o número totl e pontos e ntegrção e w k é o peso ssoco o k esmo ponto. D plcção e 7. 6 toos os NN pontos nos fncons, m sstem e NN eqções é encontro. ~ ^ C H G p 7. ~ ~ ~ ~

one os vetores e ~ p contém os vlores e eslocmento e e forç e sperfíce em tos os ~ pontos nos fncons e mtrz qse gonl form mtrz H : ~ C poe ser ncorpor à mtrz H ^ pr ~ ~ Assm o sstem e eqções poe ser escrto como: ~ ~ ^ H C H 7. ~ H G p ~ ~ ~ ~ 7. As sbmtrzes gonl e H qe corresponem os coefcentes C ξ ms os vlores ~ prncps e Cch poem ser clclos trvés mposção conção e qe trnslções e corpo rígo corresponem s forçs e sperfíces nls. C C C h h h C44 h 4 h h h h 4 44 4 7. 4 Portnto, otno-se s trnslções nepenentes δ e δ, segnte relção, vál pr corpo fntos, é obt: NN q H ~ pq ~ q ~ p,,..., NN 7. 5 One H represent s sbmtrzes e H e I q,,... NN. ~ pq ~ ~ q ~ n form: Seno I mtrz ente e orem. ~ A eqção 7. 5 permte o cálclo nreto s sbmtrzes gonl e H ~ NN H H α,,..., NN 7. 6 ~ αα αq q ~ q α A epressão 7. 6 é vál pr corpos fntos. 4

Pr corpos o regões nfnts, no entnto, eve-se observr qe como ~ q ϑ é constnte, s conções e reglre são vols. Conseqentemente, evese conserr, nesse cso: C ξ ξ p * ξ, X X lm p ρ ρ * ξ, X X 7. 7 one correspone m trnslção qlqer e corpo rígo e ξ. Fgr - 7.. Como p *ξ,x correspone s crgs ntárs postvs plcs n reção, conção e eqlíbro n regão Ω* * conz : lm p * ξ, X X δ ρ 7. 8 ρ A sbsttção e 7. 8 em 7. 7 pr s trnslções ots nterormente proz o segnte reslto pós scretzção: H ~ αα NN H I H α,,..., NN 7. 9 ~ αα ~ αq q ~ q α As epressões 7. 6 e 7. 9 fornecem m mner nret e clclr, sem necesse o cálclo nlítco os coefcentes C ξ e os vlores prncps e Cch. Após plcção s NN conções e contorno, o sstem e eqções 7. represento pel eqção 7. 6 poe ser reoreno n form: 5

A ~ ~ f ~ 7. One A é m mtrz che e não smétrc e orem NN, o vetor ~ é formo pelos ~ vlores nos ncógntos e eslocmento e forç e sperfíce e contrbção os vlores prescrtos está nclí no vetor f ~ H G q ~ ~ ~ ~ 7. E A ~ ~ f ~ 7. O Progrm BEASY Elementos e Contorno pos Fnlmente, cbe observr qe, no cso e corpos fntos, mtrz H é snglr ~ H 7. ~ ~ mte solções não trvs qe corresponem movmentos e corpo rígo. ~ No cso e corpos nfntos, por eemplo: cves, nos qs se mte qe s conções e reglre são stsfets, os movmentos e corpo rígo não são ms lvres e, conseqentemente, Elemento Constnte D H não é ms snglr. ~ Fgr - 7.. Elemento lner com o ponto e colocção ξ concente com o ponto e colocção. 6

7 ~ ~ I C ξ mtrz ente 7. 4 Neste cso tem-se: [ ] m N I N I M ~ ~ ~ ~ ~ 7. 5 ~ ~ ~ ~ I N m 7. 6 ~ ~ ~ ~ p p I p N p p p m 7. 7 l J 7. 8 Qno ξ, tem-se: * * * * ~ ~ ~ ~ ~ ~ k K k k p w l p l I p l N p η η η 7. 9 * * * * ~ ~ ~ ~ ~ ~ k K k k w l l I l N q η η 7. Qno ξ, tem-se: p η * ~ ~ sento o vlor prncpl e Cch 7.

q ~ * snglre logrítmc ~ 7. OBERVAÇÃO: No cso e elementos constntes, momentos e corpo rígo provocm, errmente, esforço. Isto se á evo o fto geometr o elemento ser nterpol com fnções e orem speror à s ncógnts. 7.5.8 - Sb-Regões No cso em qe o corpo não é homogêneo ms present regões homogênes o o corpo é esbelto e necesst sbvsão em regões pr evtr m conconmento o sstem e eqções. Fgr - 7. 4. Seprção o Domíno em Sb-Domínos o Sb-Regões e Sb-Contornos. e são respectvmente, os contornos eternos s regões e. I é nterfces entre els. Poe-se formlr o métoo os elementos e contorno pr c regão em sepro. Regão : p ~ ~ H H G G ~ ~ 7. ~ ~ I I p ~ I ~ I ~, p : Deslocmentos e forçs e sperfíce no contorno. ~ 8

9 ~ I, ~ I p : Deslocmentos e forçs e sperfíce no contorno I, mtno qe I é prte o contorno e Ω. De form nálog temos: Regão : ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ I I I I p p G G H H 7. 4 ~, ~ p : Deslocmentos e forçs e sperfíce no contorno. ~ I, ~ I p : Deslocmentos e forçs e sperfíce no contorno I, mtno qe I é prte o contorno e Ω. Poe-se mtr qe s s regões estão ns plcno-se s: Conções e comptble I I I ~ ~ ~ 7. 5 b Conções e eqlíbro I I I p p p ~ ~ ~ 7. 6 Conseqentemente eqção 7. poe ser escrt como: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ p G p G H H I I I I 7. 7 E eqção 7. 4 como: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ p G p G H H I I I I 7. 8 As eqções 7. 7 e 7. 8 poem ser escrts nts n form:

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ p p G G p G H G H H I I I I I 7. 9 O sstem e eqções 7. 9 poe, gor, ser reoreno e coro com s conções e contorno conhecs e e, seno reescrto como: ~ ~ ~ f A 7. 4 OBS: Notr qe I ~ e I p ~ são sempre ncógnts o problem e qe mtrz ~ A é em bn. O cálclo e eslocmento e tensão em pontos nternos é possível ntegrno pens o contorno regão à ql o ponto pertence. O so e nterpolção sobre s nterfces poe porr os resltos. 7.5.9 Proprees e Smetr No cso e corpos smétrcos setos crregmentos tmbém smétrcos, poese scretzr pens m qrto o corpo plcr s conções e smetr no contorno ntero por meo os eos e smetr. Fgr - 7. 5. Problem rel e smetr e orem os e qtro

Fgr - 7. 6. Smlção Smetr e m problem rel Alterntvmente, poe-se scretzr o contorno e too o corpo. Fgr - 7. 7. O segnte sstem e eqções poe ser escrto como: H ~ H ~ H ~ H ~ 4 H ~ H ~ H ~ H ~ 4 H ~ H ~ H ~ H ~ 4 H ~ 4 H ~ 4 H ~ 4 H ~ 44 4 G G ~ G ~ G ~ ~ 4 G ~ G ~ G ~ G ~ 4 G ~ G ~ G ~ G ~ 4 G ~ 4 G ~ 4 G ~ 4 G ~ 44 p p ~ p p ~ ~ ~ 4 7. 4 One: H ~ o G ~ são sbmtrzes qe mltplcm os vlores nos o contorno regão qno crg ntár o o ponto fonte está em pontos nos regão.

o ~ o corpo. H ~ p são sbvetores qe contém os vlores nos o longo o contorno regão ~ As mtrzes poem ser conenss segnte form: G os termos qe mltplcm p ~ têm os sns trocos e H ~ G ~ é som com H ~ G ~ H G ~ ~ : os sns são trocos e s sbmtrzes soms com H G ~ ~ H ~ 4 G os termos qe mltplcm p ~ 4 têm sns trocos e g g H ~ 4 G ~ 4 é som com H G. ~ ~ obtém-se então: H ' G' ~ ~ ~ p ~ 7. 4 one H ' ~ e G' ~ escrts nterormente. e são s mtrzes qe corresponem H e G pós s operções ~ ~ Notr qe s mensões corresponem o contorno regão pens. Fgr - 7. 8. Portnto, poe-se sempre ntegrr tomtcmente sobre elementos refetos e montr retmente s mtrzes rezs.

OBS: Notr qe mtrz H ' não é ms snglr, pos mposção s conções e smetr ~ está ten mplctmente. Ao comprr s s opções, tem-se; b Fgr - 7. 9. An qe o cso reslte em m mtrz menor, nem sempre é o ms econômco, pos eve-se ntegrr sobre elementos refletos. Os resltos e são ferentes os e b, evo s promções ntrozs o longo os eos e smetr em b A smlção smetr trvés mposção e conções e contorno eqs nos eos e smetr ntroz promções o longo os eos. Conseqentemente, resltos nmércos são observos em nálses relzs com smlção e com técnc e conensção s mtrzes. Em termos e progrmção, gerlmente é ms efcente refletr o nó snglr e trocr o snl s mtrzes os elementos one for necessáro o nvés e refletr os elementos. Nesse cso não é necessár troc conectve os elementos n refleão.

Fgr - 7.. 7.5. - Problem plc com m fro Este problem será resolvo como eercíco. Fgr - 7.. Plc nfnt com m fro no meo. 4

Cpítlo VIII APLICAÇÕES PRÁTICAS EM ELASTICIDADE RESUMO Neste cpítlo será vsto formlção ntegrl básc Teor Elstce, Le e Hooke, pr solção e problems prátcos e m Plc Pln com fro crclr, e m Cve Crclr em m meo nfnto e e m Vg Pree pelo Métoo os Elementos e Contorno e o estbelecmento s Implementção Nmérc, tnto pr regões fnts como nfnts. 8. Obetvos o cpítlo Resolver m problem prátco e Métoo e Elementos e Contorno plco o problem e m cve crclr, e m plc e e m vg pree. Utlzr m progrm fonte pr vlr os resltos obtos nmercmente e plcr mlh e comprr os resltos. Aprener tlzr m ferrment comptconl e cálclo nmérco ts como o FORTRAN, o otr qlqer. v Avlr os resltos obtos pel entr e sís e os. 8. Introção Pr eerctr tlzção o Métoo os Elementos e Contorno, vmos resolver lgns problems prátcos e nível cêmco. Consere m Plc Pln com Fro, m Cve Crclr em m meo nfnto e m Vg Pree, one c m eles poss 5

conções e contorno ts qe lgns vlores no contorno são prescrtos e otros serão clclos. Pr est stção vmos conserr s conções s segr. 8. Problem Plc Pln com fro crclr e ro r 5, resolvo pelo Métoo os Elementos e Contorno 8.. Apresentção o Problem Plc Pln com fro O problem proposto consste em relzr m nálse elástc, trvés o Métoo e Elementos e Contorno, pr m plc retnglr conteno m fro crclr, set m crregmento strbío como lstro n Fgr - 8. segr. Fgr - 8. -Geometr e crregmento peç em nálse como eemplo e m omíno fnto. proz orgnlmente por Rphel Sccto O obetvo nálse é etermnr nflênc scretzção ot pr s mlhs e Elementos e Contorno sobre os vlores e eslocmentos e tensões obtos. Pr tl, nálse será relz tlzno-se s mlhs com números e elementos ferentes com vsts obter-se m comprção qntttv e qlttv ess nflênc. Por trtr-se e m nálse e cnho átco, tos s grnezs envolvs no problem form trts e mner mensonl. A segr são presentos os os necessáros à resolção o problem: 6

Dmensões Cve Crclr: Lrgr chp:,; Altr chp: 6,; Espessr:, Dâmetros o fro: 5,; Crregmento strbío: 5,; Mólo e elstce longtnl: 7,; Mólo e Posson:,; 8.. - Metoolog e Análse o Problem A nálse será relz conserno-se esto plno e tensões, e será tlzo m progrm cêmco e Métoo e Elementos e Contorno, enomno BINN em lnggem FORTRAN 77, estno estos e problems elstoplástcos bmensons. 8.. Conserção Smetr Peç n Análse Elástc Como peç present pl smetr horzontl e vertcl, se frá so este specto pr smplfcr entr e os o progrm, conforme mostr Fgr - 8.. Fgr - 8. - Conserção smetr peç n nálse elástc 7

Os prómos tens presentm etlhmente s entrs e os e c mlh tlz n nálse em qestão. 8..4 Desenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro O contorno o corpo fo scretzo em elementos retos e fnconle constnte, pr relzção o cálclo, conforme mostr Fgr - 8.. Fgr - 8. - Dscretzção o contorno conserno smetr o esenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro crclr proz orgnlmente por Rphel Sccto. Um rqvo e entr e os fo gero conforme retrzes o progrm BINN e e coro com Fgr - 8.. 8

8..5 Arqvo e Entr e Dos Plc Pln com fro pr o Progrm BINN n form mlh Orgnl O rqvo e entr e os sege o formto s tbels bo:???9a9a/6:d6da'e??? " "!!...! "!. ".! " ".! " " " "!!. "!.! " " "."..! "..! ". ""!".!.!.!.!.! "!. "!.. ""!!! "!". "...!! "!!!. 9

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8..6 - Desenho Mlh Orgn Plc Pln com fro crclr Após entr e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr - 8. 4. Fgr - 8. 4 - Desenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro crclr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno

8..7 - Arqvo e Sí e Dos Plc Pln com fro crclr pr o Progrm BINN n form Orgnl O rqvo e sí e os sege o formto s tbels bo:???6667a/676/6/6??????9a6696#a??????a769a76#'/76/a??????9a9a/6:d6da'e??? /D6A/67E" /D6ADA7E /D6/6766/6/6E /D696/67//67E" 796E 696767F 769A/6/76 /A7A7 96976A E! E 7& E 96776/ E 676 E 98 E 66/767/6766/6/6 /6 &!...! "!. ".! " ".! " " " " "!!. "!.

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8..8 Desenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro Crclr Deform Após sí e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr - 8. 5. Fgr - 8. 5 Desenho Mlh Orgnl Deform gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 6

8. 4 Problem Cve com Pressão Unforme Elementos resolvo pelo Métoo os Elementos e Contorno 8.4. Apresentção o Problem Cve com Pressão O problem proposto consste em relzr m nálse elástc, trvés o Métoo e Elementos e Contorno, pr m cve crclr set m pressão ntern como lstro n Fgr - 8. 6 segr. Fgr - 8. 6 - Geometr e Crregmento Cve com Pressão em Análse com m eemplo e omíno nfnto proz orgnlmente por Rphel Sccto. O obetvo nálse é etermnr nflênc scretzção ot pr s mlhs e Elementos e Contorno sobre os vlores e eslocmentos e tensões obtos. Pr tl, nálse será relz tlzno-se s mlhs com números e elementos ferentes com vsts obter-se m comprção qntttv e qlttv ess nflênc. Por trtr-se e m nálse e cnho átco, tos s grnezs envolvs no problem form trts e mner mensonl. A segr são presentos os os necessáros à resolção o problem: Dmensões Cve Com Pressão: Dâmetro cve: 5,; Espessr:, Pressão ntern: 5,; Mólo e elstce longtnl: 7,; Mólo e Posson:,; 7

8.4. - Metoolog e Análse o Problem A nálse será relz conserno-se esto plno e eformções, e será tlzo m progrm cêmco e Métoo e Elementos e Contorno, enomno BINN em Lnggem FOTRAN 77, estno estos e problems elstoplástcos bmensons. 8.4. Conserção Smetr Cve com Pressão n Análse Elástc Como peç present pl smetr, se frá so este specto pr smplfcr entr e os o progrm, conforme mostr Fgr - 8. 7. Fgr - 8. 7 - Dscretzção o contorno conserno smetr o esenho Mlh Orgnl Cve com Pressão ms sem Deformção proz orgnlmente por Rphel Sccto. Os prómos tens presentm etlhmente s entrs e os e c mlh tlz n nálse em qestão. 8

8.4.4 - Arqvo e Entr e Dos Cve com Pressão pr o Progrm BINN n form Orgnl O rqvo e entr e os sege o formto s tbels bo:???56977j6d/:6'a/67???! ' ' '! " '. ' ' ' ' ' ' ' '! '" '.! ' " '!... '! "! '!!!! '".. '.. "" ' '..!..! '.. '! '!!!! " '.!.. '"!! '!!!! '. ". '""..! ".!!!! " " ". 9

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8.4.5 Desenho Mlh Orgnl Cve Com Pressão ms sem Deformção Após entr e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr - 8. 8. Fgr - 8. 8 - Desenho Mlh Orgnl Cve com Pressão ms sem Deformção gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno.

8.4.6 - Arqvo e Sí e Dos Cve com Pressão pr o Progrm BINN n form Orgnl O rqvo e sí e os sege o formto s tbels bo:???6667a/676/6/6??????9a6696#a??????a769a76#'/76/a??????56977j6d/:6'a/67??? /D6A/67E /D6ADA7E /D6/6766/6/6E /D696/67//67E 796E 696767F 769A/6/76 /A7A7 96976A E! E 7& E 96776/ E 676 E 98 E 66/767/6766/6/6 /6 & ' ' '! " '. ' ' ' ' ' ' 66/76796/67//67 96/ & ' '! '" '.! '

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8.4.7 Desenho Mlh Orgnl Cve com Pressão Deform Após sí e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr - 8. 9. Fgr - 8. 9 - Deformção Mlh Orgnl. Deform gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 6

8. 5 Problem Vg e Pree resolvo pelo Métoo os Elementos e Contorno 8.5. Apresentção o Problem Vg Pree O problem proposto consste em relzr m nálse elástc, trvés o Métoo e Elementos e Contorno, pr m vg pree com geometr e crregmento lstros n fgr segr. Fgr - 8. - Geometr e crregmento peç em nálse proz orgnlmente por Rphel Sccto. O obetvo nálse é etermnr nflênc scretzção ot pr s mlhs e Elementos e Contorno sobre os vlores e eslocmentos e tensões obtos. Pr tl, nálse será relz tlzno-se s mlhs com números e elementos ferentes com vsts obter-se m comprção qntttv e qlttv ess nflênc. Temos tmbém como obetvo e nálse etermnr o eslocmento nos pontos e contorno vg e comprá-lo com os vlores teórcos etermno pel teor e vg smples e Eler- Bernoll e pel teor vg pree e Tmoshenko. Por trtr-se e m nálse e cnho átco, tos s grnezs envolvs no problem form trts e mner mensonl. A segr são presentos os os necessáros à resolção o problem: Dmensões Vg Pree: L Comprmento vg:,; h Altr vg:,5; b Espessr vg:,; q Crregmento strbío: 5,; E Mólo e elstce longtnl: 7,; ν Mólo e Posson:,; 7

8.5. - Metoolog e Análse o Problem A nálse será relz conserno-se esto plno e tensões, e será tlzo m progrm cêmco e Métoo e Elementos e Contorno, enomno BINN em Lnggem FORTRAN 77, estno estos e problems elstoplástcos bmensons. 8.5. - Esqem e Análse Mlh Orgnl Vg Pree Fgr - 8. - Esqem e Análse Mlh Orgnl Vg Pree proz orgnlmente por Rphel Sccto. 8.5.4 Desenho Mlh Orgnl Vg Pree sem Deformção Fgr - 8. Desenho Mlh Orgnl Vg sem Deformção proz orgnlmente por Rphel Sccto. 8

8.5.5 Conserção Smetr Vg n Análse Elástc Como peç present pl smetr, se frá so este specto pr smplfcr entr e os o progrm. Fgr - 8. - Conserção Smetr Vg n Análse Elástc proz orgnlmente por Rphel Sccto. 8.5.6 Desenho Mlh Orgnl Vg sem Deformção com Smetr Fgr - 8. 4 - Dscretzção o contorno conserno smetr Vg n Análse Elástc proz orgnlmente por Rphel Sccto. Os prómos tens presentm etlhmente s entrs e os e c mlh tlz n nálse em qestão. 9

8.5.7 - Arqvo e Entr e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Orgnl sem Smetr O rqvo e entr e os sege o formto s tbels bo:???5,977??? "! "!!! "!.. "!!!! ". "! "!! ". "!!!! " "!.!! "! "! "! "! "! 4

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8.5.8 - Desenho Mlh Orgnl Vg Pree sem Smetr Após entr e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr - 8. 5. Fgr - 8. 5 - Desenho Mlh Orgnl Vg Pree sem Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 4

8.5.9 - Arqvo e Sí e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Orgnl sem Smetr O rqvo e sí e os sege o formto s tbels bo:???6667a/676/6/6??????9a6696#a??????a769a76#'/76/a??????5,977??? /D6A/67E /D6ADA7E /D6/6766/6/6E" /D696/67//67E 796E 696767F 769A/6/76 /A7A7 96976A E! E 7& E 96776/ E 676 E 98 E 66/767/6766/6/6 /6 & "!!! "!. "!!!! ". "! 4

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8.5. - Desenho Mlh Orgnl Vg Pree com Smetr Após entr e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr - 8. 6. Fgr - 8. 6 - Desenho Mlh Orgnl Vg Pree com Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 5

8.5. - Arqvo e Sí e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Orgnl com Smetr O rqvo e sí e os sege o formto s tbels bo:???6667a/676/6/6??????9a6696#a??????a769a76#'/76/a??????5,967??? /D6A/67E /D6ADA7E /D6/6766/6/6E /D696/67//67E 796E 696767F 769A/6/76 /A7A7 96976A E! E 7& E 96776/ E 676 E 98 E 66/767/6766/6/6 /6 & "!!! "!. "!!!! ". "! 5

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8.5. - Desenho Mlh Orgnl Vg Deform Após sí e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostrm s Fgr - 8. 7 e Fgr - 8. 8. Fgr - 8. 7 - Deformção Mlh Orgnl Vg Deform com Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. Fgr - 8. 8 - Deformção Mlh Orgnl Vg Deform com Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 56

8. 6 Alterção o progrm BINN e cálclo pelo Métoo e Elementos e Contorno pr o Problem Elástco 8.6. Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr A mlh orgnl fo plc conforme mostr Fgr - 8. 9. Fgr - 8. 9 - Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr proz por Lcs Mámo Alves. 57

8.6. Arqvo e Entr e Dos Plc Pln com fro crclr pr o Progrm BINN n form Mlh Dplc O rqvo e entr e os sege o formto s tbels bo:???9a9a/6:d6da'e???. "! "!!!. ".!..!!!! ".".".! ".!." "!. "...." " "! "! "! " " ".! " " " " "!!! "!..!"!!!! ".! " " ".".. "..! 58

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8.6. - Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr Após entr e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr - 8.. Fgr - 8. - Desenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro crclr plc gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 6

8.6.4 - Arqvo e Sí e Dos Plc Pln com fro crclr pr o Progrm BINN n form Dplc O rqvo e sí e os sege o formto s tbels bo:???6667a/676/6/6??????9a6696#a??????a769a76#'/76/a??????9a9a/6:d6da'e??? /D6A/67E /D6ADA7E /D6/6766/6/6E. /D696/67//67E" 796E 696767F 769A/6/76 /A7A7 96976A E! E 7& E 96776/ E 676 E 98 E 66/767/6766/6/6 /6 & D 5 ID &I5 " " "!!!"!!!!.!.. ".!!!.."...!!!!!!!.! "" "."." "!.! "! " ".!... "!"! "!. ". "!.!..." ".!! "." "." "! " '..! "!" ".!! " '.!. ".! " '. ". " " ' "!..! ""!.! " ' "!! "" " '!"."! "!" "! "! 6

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8.6.5 Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr Deform Após s e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr - 8. Fgr - 8. Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr Deform. 68

8.6.6 - Desenho Mlh Dplc Cve com Pressão pr o Progrm BINN A mlh orgnl fo plc conforme mostr Fgr - 8.. Fgr - 8. - Desenho Mlh Dplc cve com Pressão proz orgnlmente por Rphel Sccto. 69

8.6.7 Arqvo e Entr e Dos Cve com Pressão pr o Progrm BINN n form Dplc O rqvo e entr e os sege o formto s tbels bo:???56977j6d/:6'a/67?????????! ' '".. ' ' ' '. ".! ". ".. ".. ". '. ' '! ' ". '".. ' '. '". ' ' ' ' ' ' '". '. ' '!! '" " '.. ' '!.. '! "! '!!!! '".. '.. "" ' '..!..!! '.. " '. '!!!! '.!. '"!! '!!!! '. ". '"".. 7

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8.6.9 - Arqvo e Sí e Dos Cve com Pressão pr o Progrm BINN n form Dplc O rqvo e sí e os sege o formto s tbels bo:???6667a/676/6/6??????9a6696#a??????a769a76#'/76/a??????56977j6d/:6'a/67??? /D6A/67E /D6ADA7E /D6/6766/6/6E /D696/67//67E 796E 696767F 769A/6/76 /A7A7 96976A E! E 7& E 96776/ E 676 E 98 E 66/767/6766/6/6 /6 & D 5 ID &I5 ' 'G 'G 'G". G. 'G" G! 'G"! G" 'G G 'G. G! 'G. G! 'G G 'G G 'G! G! 'G G 'G! G. 'G! G. 'G. G". 'G! G" 'G" G"!! G G " G. G". G! G" G" G"!. G G G! G. G! G. G G G G G! G! G G G. G! G. G! G". G. G" G! G"! G" G G G". 'G. G" 'G! G"! 'G" G 'G G. 'G! G. 'G! G 'G G 'G G! 'G!! G 'G G! 'G. G! 'G. " G. 'G". G! 'G" G" 'G"!. ' 'G 'G 'G. 'G". 'G! 'G" 'G" 'G"! 'G 'G 'G! 'G. 'G! 'G. 7

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8.6. Desenho Mlh Cve com Pressão n form Dplc Após sí e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr - 8. 4. Fgr - 8. 4 - Desenho Deformção Mlh Dplc Cve com Pressão gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 78

8.6. - Esqem e Análse Mlh Dplc Vg sem Smetr A mlh vg pree fo plc e coro com Fgr - 8. 5. Fgr - 8. 5 - Esqem e Análse Mlh Dplc Vg Pree sem Smetr proz por Lcs Mámo Alves. 79

8.6. - Arqvo e Entr e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Dplc sem Smetr O rqvo e entr e os sege o formto s tbels bo:???5,977??? "!G G G G G G G G G G G G G.! G G G G G! "G! G " G"! G. G G "G G G G G! G!G G G G G! G G"! G! G G "!. G G G G G G.! G G G G G "G! G G"! G G! " G"! G. G! G G G!G G G! G G G "G G G G G"! G! "G! G " G G. G G G.! G G G G G G G G G"! 8

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8.6. - Esqem e Análse Mlh Dplc Vg com Smetr A mlh vg pree fo plc e coro com Fgr - 8. 6. Fgr - 8. 6 - Esqem e Análse Mlh Dplc Vg Pree com Smetr. 84

8.6.4 - Arqvo e Entr e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Dplc com Smetr O rqvo e entr e os sege o formto s tbels bo:???5,967???! G G G G.! G G! G"! " G"!. G G" G G! G! G G! G"!! "!. G G G.! G G G"! G"! G! " G"! G. G! G G G G! G G! G G G G" G G G G"! G! G"! G " G G. G G G.! G G G G G G G G G 85

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8.6.5 - Desenho Mlh Dplc Após entr e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr - 8. 7. Fgr - 8. 7 - Desenho Mlh Dplc Vg gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 88

8.6.6 - Arqvo e Sí e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Dplc sem Smetr O rqvo e entr e os sege o formto s tbels bo:???6667a/676/6/6??????9a6696#a??????a769a76#'/76/a??????5,977??? /D6A/67E" /D6ADA7E /D6/6766/6/6E /D696/67//67E 796E 696767F 769A/6/76 /A7A7 96976A E! E 7& E 96776/ E 676 E 98 E 66/767/6766/6/6 /6 & D 5 ID &I5 G G G 'G". 'G". G G G" 'G" G 'G" G G G 'G!. G 'G!. G.! G G" 'G!! G.! 'G!! G G" 'G!. G 'G!. G G 'G! G 'G!! "! G G" 'G! "!G 'G! " "! G G" 'G "!G 'G. G G 'G!" G 'G!" " G G 'G "G 'G G G 'G! G 'G!! G G 'G".!G 'G".! G G. 'G!G 'G G G" 'G G 'G! G G"" 'G!G 'G "! G G. 'G" "!G 'G"! G G. G G " G G. G G. G G G G G G G G G G 89

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8.6.8 - Desenho Mlh Dplc e Deform Após sí e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr s Fgr - 8. 8 e Fgr - 8. 9. Fgr - 8. 8 - Desenho Mlh Dplc Vg Pree Deform sem Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno.. Fgr - 8. 9 - Desenho Mlh Dplc Vg Pree Deform com Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 4