Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Elétrica ENG04037 Sistemas de Controle Digitais

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1 Universidde Federl do Rio Grnde do Sul Escol de Engenhri Deprtmento de Engenhri Elétric ENG04037 Sistems de Controle Digitis Aproximções Discrets pr Funções de rnsferênci Contínus Introdução Prof. Wlter Fetter Lges 5 de setembro de 0 Existe um grnde conhecimento cumuldo e ferrments pr nálise e projeto em tempo contínuo. Um form de proveitr esse conhecimento é utilizr o computdor pr gerr sinis discretos que sejm equivlentes os contínuos. Ess filosofi de projeto é chmdo de emulção. O problem é ddoh(s), obterh(z) que proxime s crcterístics de H(s). Existem três prdigms de como fzer ess proximção:. Integrção numéric. Mpemento de pólos e zeros 3. Equivlênci de segurdor Integrção Numéric Existem técnics de integrção numéric bstnte sofisticds, utilizds, por exemplo, pr simulr sistems com modelos no espço de estdos, como por exemplo s técnics de Runge-Kutt. Aqui se está interessdo em técnics simples, de psso fixo e lineres, de form que proximção mntenh crcterístic de lineridde do sistem.

2 . Forwrd Differences (Aproximção de Euler) A derivd é proximd por y(k +) y(k) ẏ(k) = Considerndo o sistem de primeir ordem () tem-se e portnto ẏ(t)+y(t) = u(t) () sy(s)+y(s) = U(s) G(s) = Y(s) U(s) = s+ A proximção discret de () utilizndo () é (3) de onde tem-se e portnto y(k +) y(k) +y(k) = u(k) zy(z) Y(z)+Y(z) = U(z) G f (z) = Y(z) U(z) = G f (z) = z + z + (4) Comprndo-se (3) com (4) tem-se que pr obterg(z) prtir deg(s), bst fzer substituição de vráveis s = z

3 . Bckwrd Differences A derivd é proximd por y(k) y(k ) ẏ(k) = A proximção discret de () utilizndo (5) é (5) de onde tem-se e portnto y(k) y(k ) +y(k) = u(k) Y(z) z Y(z)+Y(z) = U(z) G b (z) = Y(z) U(z) = z z = z(+) = + z G b (z) = z + (6) z Comprndo-se (3) com (6) tem-se que pr obterg(z) prtir deg(s), bst fzer substituição de vráveis s = z z.3 Regr rpezoidl (Aproximção de ustin, rnsformção Biliner) A proximção é dd por ẏ(k)+ẏ(k ) A versão mostrd de () é = y(k) y(k ) (7) ẏ(k) + y(k) = u(k) ẏ(k) = u(k) y(k) (8) 3

4 ou trsdo no tempo Substituindo (8) e (9) em (7) result ẏ(k ) = u(k ) y(k ) (9) y(k) y(k ) (u(k) y(k)+u(k ) y(k )) = de onde tem-se Y(z) ( z + + ) z e portnto = U(z) ( +z ) G t (z) = Y(z) U(z) = = = = G t (z) = ( + (z +) ) z + (z +) (+)z + (z +) z +z + (z +) (z )+(z +) (z ) + (0) (z+) Comprndo-se (3) com (0) tem-se que pr obter G(z) prtir de G(s), bst fzer substituição de vráveis s = z z + Resumidmente, s proximções por integrção numéric podem ser vists n b...4 Mpemento do Semiplno Esquerdo do plno s no plno z.4. Forwrd Differences Utilizndo trnsformção z = +s, o limite de estbilidde s = jω mpeise em z = + jω. Ou sej, n região mostrd n Fig.. Portnto, sistems 4

5 bel : Aproximções por integrção numéric. Aproximção s z z s Forwrd differences (Euler) s = z z = +s Bckwrd differences s = z z = z s Aproximção trpezoidl (ustin, biliner) s = z z = +s z+ s estáveis no plno s podem tornrem-se instáveis qundo mpedos pr z por esse método. I R Figur : Mpemento d região de estbilidde do plno s no plno z utilizndo forwrd differences..4. Bckwrd Differences Nesse cso, tem-se z = s + = + ( s) ( s) = + s+ s }{{} módulo= qundo s=jω logo z =, que represent um círculo de rio centrdo em, como mostr Fig.. Ess trnsformção mpei sistems estáveis em s em sistems estáveis 5

6 em z. No entnto, nem tod região de estbilidde no plno z é utilizd no mpemento. Logo, é nturl supor que utilizção dess trnsformção restringe o espço de projeto, tornndo solução mis difícil cso se deseje crcterístico de desempenho específics. I R Figur : Mpemento d região de estbilidde do plno s no plno z, utilizndo bckwrd differences..4.3 Aproximção de ustin em-se z = + s s }{{} módulo= qundo s=jω logo z =, que represent o círculo unitário, como mostr Fig. 3. A proximção de ustin mpei todo o semiplno esquerdo de s no interior do círculo unitário em z. No entnto, embor exist um congruênci ds regiões de estbilidde há um grnde distorção. 6

7 I R Figur 3: Mpemento d região de estbilidde do plno s no plno z, utilizndo proximção de ustin..5 Prewrping A distorção cusd pel proximção de ustin, pode ser compensd pr um determind frequênci de interesse (normlmente frequênci de corte do sistem). Considere, por exemplo H(s) = s+ Utilizndo proximção de ustin, tem-se H (z) = z + z+ A função de trnsferêncih(s) possui um pólo ems = e su potênci é dd por H(jω) = ω + = ω + Portnto, em ω = potênci é H(jω) =. Agor considerndo proximção discret, frequêncis ω possuem como respost H (z ) z =e jω, ou sej 7

8 e portnto potênci é H (z ) = = H (z ) = e jω + e jω + e jω e jω e jω +e jω jtn( ω + ) + H (z ) = ( tn( ω )) + Consequentemente, o ponto de corte é ddo por ou e portnto H (z ) = ( tn( ω )) = + ( ) ( ) tn ω ω = tn = ) ω = ( tn Note que ω se << tn ( ). Por outro ldo, π ω << << ω s >> π. Pode-se fzer um prewrping pr grntir que frequênci de mei potênci continue sendo ω. O procedimento é. EscreverH(s) n form H(s/ω ).. Substituir ω por = tn( ω ) pr obterh(s/). 3. Substituir s = z pr obter H z+ p(z). O procedimento pode ser resumido como: H p (z) = H(s/ω ) s= ω tn( ω ) z z + 8

9 3 Mpemento de Pólos e Zeros Considere o sinl descrito por cuj trnsform de Lplce é que tem pólos em y(t) = e αt cos(ωt)u(t) () Y(s) = s+α (s+α) +ω A versão discret de () é s = α+jω s = α jω y(k) = r k cos(θk)u(k) comr = e α,θ = ω e cuj trnsformd z é Y(z) = ( ) z z re + z jθ z re jθ ou que tem pólos em Y(z) = z(z rcos(θ)) z rcos(θ)z +r z = re jθ z = re jθ Logo, z = re jθ = e α e jθ = e ( α+jω) z = re jθ = e α e jθ = e ( α jω) ou 9

10 z = e s z = e s Se G(z) é um rzão de polinômios, pode ser expresso como um som de z frções prciis n form ou. Assim, o sinl discreto pode ser gerdo z z pel mostrgem de um sinl contínuo cuj relção entre os pólos emseos pólos emz é dd por z = e s () e pode-se usr ess relção pr mper crcterístics entre o plno s e o plno z. Existem diversos vlores de z que stisfzem relção () pr um determindo vlor de s. Se então s = s +j π n e s = e s Ou sej ocorre um fenômeno de lising. É comum extrpolr-se este mpemento tmbém pr os zeros, ms est é um regr heurístic, sem comprovção forml. Assim, o procedimento pr obter um proximção discret pr um função de trnsferênci contínu H(s) utilizndo mpemento de pólos é:. odos os pólos de H(s) são mpedos por z = e s. Ou sej, se H(s) tem pólo ems =,H(z) tem um pólo em z = e.. odos os zeros finitos de H(s) tmbém são mpedos porz = e s. 3. O zeros de H(s) ems são mpedos emh(z) no ponto z =. Mper zeros no infinito em z = equivle mpe-los n mior frequênci possível, que no cso digitl é e jπ =-. Opcionlmente um dos zeros de H(s) em s é mpedo em z. Ou sej H(z) possui um pólo mis do que zeros no plno finito. Com isso, respost não terá termo constnte, logo h(k) terá um trso de um período, o que deix o computdor com tempo pr clculr o sinl. 0

11 4. O gnho é justdo pr ser igul o gnho de H(s) no centro d bnd de pssgem ou em outr frequênci de interesse. No cso de sistems de controle frequênci crític é s = 0, que é equivlente o gnho DC do sistem e que corresponde à respost em regime permnente. H(s) s=0 = H(z) z= z = e s s=0 = Exemplo H(s) = s+ H(z) = ou mpendo um dos zeros no infinito: zero em s {}}{ (z +) juste de gnho {}}{ e z e }{{} pólo em s= H(z) = e z e 4 Equivlênci de Segurdores Considere o sistem contínuo mostrdo n Fig. 4(), descrito por H(s) e cuj entrd é u(t) e síd é y(t). Desej-se obter função de trnsferênci discret H h (z), tl que qundo submetid à mostrs de u(t) ger um proximção de y(t), tl como mostrdo n Fig. 4. O equivlente discreto é obtido proximndou(t) prtir ds mostrsu (k), de form obter û(t) que é plicdo H(s). Existem diverss forms de fzer ess proximção. 4. Segurdor de Ordem Zero Qunto é utilizdo um segurdor de ordem zero pr obterû(t), prtir deu (k), tem-se situção mostrd n Fig. 5. Ess situção é semelhnte à modelgem de um sistem mostrdo. Portnto, tem-se H h0 (z) = ( z ) { } H(s) Z s

12 u(t) H(s) y(t) () Função de trnsferênci contínu. u(t) u (k) û(t) ŷ(t) ŷ(k) mostrdor segurdor H(s) mostrdor H h (z) (b) Sistem equivlente discreto. Figur 4: Construção de um segurdor equivlente. u(t)û(t) Figur 5: Sinlu(t), sus mostrs e proximção por segurdor de ordem zero. 4. Segurdor de ringulr Pode-se imginr um segurdor com respost impulsiv mostrd n Fig. 6. A idei desse segurdor é interpolr s mostrs trvés de segmentos de rets, o invés de mnter constnte o vlor d últim mostr, como mostr Fig 7. {( H (s) = L + t { = L H (s) = L ) ( (u 0 (t+) u 0 (t))+ t ) } (u 0 (t) u 0 (t )) u 0 (t+) u 0 (t)+ t u 0(t+) t u 0(t)+u 0 (t) u 0 (t ) t u 0(t)+ t } u 0(t ) { u 0 (t+)+ t u 0(t+) t u 0(t) u 0 (t ) t u 0(t)+ t u 0(t ) t }

13 t h (t) 0 t Figur 6: Respost impulsiv de um segurdor tringulr. u(t)û(t) Figur 7: Sinlu(t), sus mostrs e proximção por segurdor tringulr. t { } t L u 0(t+) { } t L u 0(t+) { } τ = e s L u 0(τ) τ } = e L{ s u 0(τ) u 0 (τ) ( = e s s ) = es s es Por similridde: { } t L u 0(t ) = e s s + e s 3

14 Portnto: H (s) = es s + es s es s s e s s H (s) = es +e s s Assim, s + e s s + e s s H t (z) = Z { L { H (s)h(s)} } { e = Z {L s +e s = z { } +z H(s) Z s { } = z z + H(s) Z z s { } (z ) H(s) H t (z) = Z z s }} H(s) s Em gerl, não fz muito sentido utilizr-se um segurdor desse tipo em um A/D, ms pode ser útil em um D/A. 4

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