. Séries e Itegris de Fourier Vereos coo resolver uitos probles iporttes evolvedo equções diereciis prciis, desde que poss epressr u ução dd coo u séries iiit de seos e ou cosseos. A prtir dqui vos eplicr e detlhe coo isso pode ser eito. Esss séries trigooétrics são chds séries de Fourier; els são álogs às séries de Tylor o setido de que bos os tipos de séries orece u odo de se epressr uções bstte coplicds e teros de certs uções eleetres.
Represetção de Fuções e Séries de Fourier Vos coeçr co u série d or cos b si No cojuto de potos ode est série coverge, el deie u ução cujos vlores e cd poto é so d série pr quele vlor de. Nesse cso, dizeos que série ci é série de Fourier series de. Nossos objetivos ieditos são deterir que uções pode ser represetds coo u so de u série de Fourier e ecotrr eirs de clculr os coeicietes série correspodete u ução dd.
Fuções Periódics É ecessário desevolver proprieddes de si / e cos /, ode é u iteiro positivo. A prieir propriedde é seu cráter periódico. U ução é periódic co período T > se o doíio de coté T sepre que cotiver, e se T, pr todo.
Periodecidde ds Fuções Seo e Cosseo U ução periódic de período T, T pr todo. Note que T é tbé u período e, de to, qulquer últiplo iteiro de T. O eor vlor de T pr o qul é periódic é chdo de período udetl o. Se e g são dus uções periódics co periódo cou T, etão g e c c g são tbé periódic co período T. E prticulr, si / e cos / são periódic co período T /.
Ortogolidde O produto itero usul u, v de dus uções reis u e v e u itervlo α β é deiid por β u, v u v d α As uções u e v são dits ortogois e α β se seu produto itero u, v é zero: u, v β u v d α U cojuto de uções é utulete ortogol se cd distito pres de uções, pertece o cojuto e é ortogol.
Ortogolidde de Seo e Cosseo As uções si / e cos /,,,, orl u cojuto utulete ortogol de uções e -, co,, cos cos d, ; cos si d, ll, ;,, si si d,. Estes resultdos pode ser obtidos por itegrção diret;
Ecotrdo Coeicietes d Epsão de Fourier Supoh que séries coverge, e chos est so de : Os coeicietes,,,, pode ser ecotrdos d seguite eir Por Ortogolidde si cos b d b d d d cos si cos cos cos cos d d cos cos
Fóruls dos Coeicietes Portto coo vios teriorete teos Pr ecotrr o coeiciete, teos que cos d, d d cos d b si d,, Assi, os coeicietes são deteridos pel órul cos d,,,, Alogete, os coeicietes b são deteridos pel órul b si d,,,
As Fóruls de Euler-Fourier Assi, os coeicietes são ddos pels equções b cos d, si d,,,,,,,, s quis são cohecids coo s óruls Euler-Fourier. Note que ests óruls depede soete dos vlores de o itervlo -. Coo cd u dos teros d série de Fourier cos b si é periódico co período, séries coverge pr todo sepre que covergir e -, e é deterid pr todo por seus vlores o itervlo -.
Eeplo : Od Trigulr de Cosidere ução bio,, <, 4, < Est ução represet u od trigulr, e é periódic co período T 4. vej gráico. Neste cso,. Assuido que te u represetção e série de Fourier, ecotrr os coeicietes e b.
Eeplo : Coeicietes de Prieiro, ecotros : d d Etão, pr,,,, teos 8 /, odd cos d cos d, eve, ode usos itegrção por prtes. Alogete, podeos obter os b,,,
Eeplo : Epsão e Fourier de Assi b,,,, e Etão,,5,... ] / cos[ 8 / cos 8 5 cos 5 cos cos 8 cos si b, p, í, 8/, r pr
Eeplo : Fução de Cosidere ução bio., < <, < <, 6, < < Est ução é periódic co período T 6. Neste cso,. Assuido que te u represetção e série de Fourier, ecotrr os coeicietes e b.
Eeplo : Coeicietes de Prieiro, ecotros : Usdo órul de Euler-Fourier, obteos d d,,,, cos si,,,, si si cos d b d
Eeplo : Epsão e Fourier de Assi b,,,, e Etão 5 cos 5 4 cos 4 cos cos cos si si cos b,,, si,
Eeplo : Od Trigulr de 5 Cosidere gor ução do Eeplo, <, 4,, < co o seu gráico e su represetção e série de Fourier, bio 8 cos / Ivertigreos velocidde de covergêci d série e deterireos qutos teros são ecessários pr que o erro ão sej ior que. pr todo.
Eeplo : Sos Prcis de 5 A -ési so prcil série de Fourier s 8 cos /, e pode ser usdo pr proir ução. Os coeicietes diiue coo -, de odo que série, coverge rzovelete rápido. Vej o gráico de s, s, e.
Eeplo : Erro de 5 Pr ivestigr covergêci co is detlhes, cosidereos ução erro e - s. Ddo bio o gráico de e 6 e. Note que o erro é ior os potos e, ode o gráico de te bicos. Alogete, gráicos são obtidos pr outros vlores de.
Eeplo : iite Uiore 4 de 5 Desde que o erro áio ocorre e ou, obteos u cot uiore pr o erro pr cd clculdo e e u destes potos. Por eeplo, e 6.7, ode e 6 <.4 e, e cosequeteete pr todo.
Eeplo : Velocidde de Covergêci 5 de 5 A tbel ostr vlores de e pr outros vlores de, e esses ddos estão plotdos bio. Dess iorção, podeos coeçr estir o úero de teros que serão ecessários pr obter precisão pedid. Pr gurtir que e., ecessitos escolher. e_.997 4.54 6.7.5 5.5. 5.8
.: O Teore de Covergêci de Fourier N Seção., ostros que, se série de Fourier cos b si coverge e, deie u ução, e etão é periódic co período, co coeicietes e b ddo por cos d, b Nest seção vos supor que é dd u ução periódic de período que é itegrvel e [-, ]. Podeos clculr e b usdo s óruls ci e costruir série de Fourier ssocid. O proble é sber se ess série coverge pr lgu vlor de, e se esse or o cso, se su so é. si d
Represetção ds Fuções e Séries de Fourier Pr grtir covergêci de u série de Fourier pr ução d qul seus coeicietes são clculdos, é essecil colocr hipóteses diciois sobre ução. De u poto de vist prático, tis codições deve ser rcs o suiciete pr cobrir tods s situções de iteresse e, id, siples o suiciete pr sere cilete veriicds. Pr este propósito, vos relebrr do deiição de ução cotíu por prtes.
Fuções Cotíus Por Prtes U ução é cotíu por prtes e u itervlo [, b] se este itervlo pode ser prticiodo por u úero iito de potos < < < b tl que é cotíu e cd itervlo k, k li t k <, k,, li k <, k,, A otção c deot o liite de co c pel direit e c- deot o liite de co c- pel esqued. Não é ecessário que ução estej deiid os potos d prtição k,, e e é ecessário que o itervlo [, b] sej echdo.
Teore.. Supoh que e ' são cotíus por prtes e [-,. Alé disso, supoh que está deiid or de [-, de odo ser periódic de período. Etão te u série de Fourier. ode cos b si cos d, b A série de Fourier coverge pr e todos os potos ode é cotíu, e coverge pr [ -]/ e todos os potos ode é descotíu. si d
Idetidde de Prsevl A idetidde de Prsevl ir que d b ode e b são os coeicietes de Fourier correspodetes e se stisz às codições do teore..
Itegrl de Séries de Fourier b b d u d u Se cd tero de u série iiit é cotíuo e u itervlo,b e se série coverge uioreete pr esse itervlo. Etão: tbé é cotíu o itervlo; b série pode ser itegrd tero tero, isto é,
Derivd de Séries de Fourier Se cd tero de u série iiit é derivável, e se série de derivds é uioreete coverge, etão série pode ser derivd tero tero, isto é: u d d u d d
Teore..: Observções Note que série de Fourier coverge pr édi de e - os potos de descotiuidde de. A codição dd este teore são soete suiciete pr covergêci de u série de Fourier; Els ão são ecessári. Ne são s codições suicietes is geris que or descoberts. Fuções ão icluíds o teore são, priciplete, s que tê descotiuiddes iiits o itervlo [-,, coo /. U série de Fourier pode covergir pr pode covergir pr u so que ão é diereciável, e eso cotíu, pesr do to de que cd tero d série é cotíuo e té diereciável u úero iiito de vezes. Vej E. Ateriores e.
Eeplo : Od Qudrd de 8 Cosidere ução bio., < <,, < < Vos, teporriete, deir e berto deiição de e e ±, eceto pr dizer que seu vlor te que ser iito. Est ução represet od qudrd, e é periódic co período T.
Eeplo : Od qudrd de 8 ebre-se que pr oss ução,, < <,, < < O itervlo [-, pode ser prticiodo e dois subitervlos bertos -, e,. E,, e '. Assi e ' são cotíus e tedo liites iitos qudo pel direit e pel esquerd. Alogete e -,. Assi e ' são cotíus por prtes e [-,, e podeos plicr o Teore...
Eeplo : Coeicietes de 8 Prieiro, ecotre : d d Etão pr,,,, teos cos d si, Alogete, pr b,,,, b /, ípr si d cos, p r,
Eeplo : Epsão e Fourier 4 de 8 Assi,,,,, e Etão,,5,... / si / si 5 si 5 si si si cos b, p, í, /, r pr b
Eeplo : Teore.. 5 de 8 Portto si / Agor é cotíu e -, e,, ode série de Fourier coverge pr e todos estes itervlos, pelo Teore... Nos potos, ± ode é descotiu, todos os teros tes do prieiro desprece, e so é /[ -]/. Assi, podeos, escolher coo deiição d ser / estes potos de descotiuidde, pr que dest or series poss covergir pr estes potos.
Eeplo : Feôeo de Gibbs 6 de 8 Cosidere so prcil s O gráico de s 8 e são ddos bio pr. As sos prciis prece covergir pr os potos de cotiuidde e tê tedêci ultrpssr os potos próios de descotiuidde. Este coporteto é típico de séries de ourier e potos de descotiuiddes e é cohecido coo eôeo de Gibbs. sik k k /
Eeplo : Erro 7 de 8 Pr ivestigr covergêci co is detlhes. Cosidere ução erro e - s. É ddo bio o gráico de e 8 e. O eor cot superior de e 8 é.5, e é proid qudo e. Qudo uet, o erro diiui e,, ode é cotíu, s eor cot superior ão diiui qudo uet. Portto ão podeos reduzir uioreete o erro o itervlo iteiro uetdo o úero de teros.
Eeplo : Velocidde de Covergêci 8 de 8 Note que oss série de Fourier, si / os coeicietes são proporciol /-. Assi est séries coverge is devgr do que s dos Eeplos e d Seção., porque estes, os coeicietes são proporciois / -.
.4: Fuções Pres e Ípres Ates de olhr outros eeplos de séries de Fourier, vos distiguir dus clsses de uções pr s quis órul de Euler-Fourier pode ser sipliicd. Esss clsses são ords pels uções pres e ípres, que geoetricete, pel propriedde de sietri e relção o eio dos y e à orige, respectivete. b cos d si d
Deiição de oções pres e ípres Aliticete, é u ução pr se seu doíio coté o poto sepre que cotiver, e se - pr cd o doíio de. igur. A ução é u ução ípr se seu doíio coté o poto sepre que cotiver, e se - - pr cd o doíio de. igur b. Note que pr tod ução ípr. Eeplos de uções pres,, cos,. Eeplos de uções ípres,, si.
Proprieddes Aritiétics Segue s seguites proprieddes ritiétics: A so diereç e o produto quociete de dus uções pres é pr. O produto quociete de ução pr co ípr é ípr. A so diereç de dus uções ípres é ípr. O produto quociete de dus uções ípres é pr. O so diereç de ução pr co ípr ão pr e ípr.
Proprieddes Itegris Se é u ução pr, etão d se é u ução ípr, etão d d
Séries e Cosseos Supoh que e ' são cotíus por prtes e [-, e que é u ução pr e periódic co período. Etão cos / é pr e si / é ípr. Assi, b, cos d,,, ogo, te série de Fourier e é d or cos,,, Assi série de Fourier de u ução pr cosiste soete de teros de cosseos e teros costtes, e é chd de Série de Fourier e Cosseos.
Séries e Seos Supoh que e ' são cotíus por prtes e [-, e que é u ução ípr e periódic co período. Etão cos / é ípr e si / é pr. Assi, b,,,, si d, b si,, ogo, te série de Fourier e é d or Assi série de Fourier de u ução ípr cosiste soete de teros de seos e teros costtes, e é chd de Série de Fourier e Seos.
Eeplo : Od dete de Serr de Cosidere ução bio., < <,, ± Est ução represet u od dete de serr, e é periódic co período T. Ecotre série de Fourier dess ução.
Eeplo : Coeicietes de Coo é u ução ípr periódic co período, teos Segue que série de Fourier de é si,,, cos si si,,,, d b
Eeplo : Gráico d So Prcil de Os gráicos d so prcil de s 9 e são ddos bio. Observe que é descotíu e ±, e estes potos série coverge pr édi dos liites à direit e à esquerd estes potos,[ -]/, que é zero. O eôeo de Gibbs ocorre, ovete, próio os potos de descotiuidde.
Prologetos de Fuções É uito útil epdir u ução dd, origilete, o itervlo [,], e u série de Fourier de período. Etesão Pr: Deiir u ução g de períod tl que A ução g é, etão, u etesão periódic pr de. Su série de Fourier, que é u série e cosseos, represet e [, ]. Por eeplo, etesão periódic pr de e [, ] é od trigulr g.,,, g g g < < < <,, g
Etesão Ípr Coo tes, sej u ução deiid sóete e,. Deiir u ução h de período tl que A ução h é etesão periódic ípr de. Su série de Fourier, que é u série de seos, represet e,. Por eeplo, estesão periódic ípr de e [, é od dete de serr h dd por.,,,, h h h < < < < ± < < h,,
Etesão e Gerl Portto, sej u ução deiid soete e [, ]. Dei u ução k de período tl que, k, k k, < < ode é ução deiid de or cosistete co o Teore... Por eeplo, podeos deiir. A série de Fourier pr k evolve teros tto e seo coo e cosseo, e represet e [, ], idepedete do odo coo é deiid. Assi, eiste u iiidde de tis séries, tods covergido pr e [, ].
Eeplo Cosidere ução bio., <, < Coo idicdo teriorete, podeos represetr por u série de cosseos ou u série de seos e [, ]. ode,. A série e cosseos pr coverge pr u etesão periódic pr de de período 4, e seu gráico é ddo bio à esquerd. A série e seos pr coverge pr u etesão periódic ípr de de período 4, e seu gráico é ddo bio à direit.
Fórul Cople d Série de Fourier Usdo órul de Euler, Pr escrever ogo, o coeiciete de é ddo por ou sej Resuido, i e e e e e i e i i i i i se cos, se cos θ θ θ θ θ θ θ θ θ i i e i b e i b b se cos i e d i ib i b c se cos d c e d e c i,,.., c ode e c i,...,,, ± ± i pr d e c
Itegrl de Fourier A itegrl de Fourier de u ução deiid o itervlo é dd por [ A α cos α B α se α ] dα,, ode A α cos α d e B α se α d
Eeplo Deterie represetção, por u itegrl de Fourier, d ução,,, < < > <
Trsord de Fourier Trsord de Fourier e trsord ivers de Fourier Trsord seo de Fourier e trs. seo de Fourier ivers Trsord cosseo de Fourier e trs. Cosseo de Fourier ivers I I } { } { d e F F e F d e i i α α α α α α I I se } { se } { d F F e F d s s α α α α α I I cos } { cos } { d F F e F d c c α α α α α