Cp. 5. Regimes trnsitórios d máquin DC 79 Cpítulo 5 Regimes trnsitórios ds Máquins de Corrente Contínu 5. Introdução As máquins de corrente contínu presentm-se como elementos de conversão electromecânic de grnde verstilidde. Utilizndo s váris combinções de enrolmentos de cmpo série, derivção e independente, ests máquins presentm um mpl vriedde de crcterístics tensão-corrente ou velocidde-binário tnto em regime dinâmico como em regime permnente. Devido à fcilidde de controlo, os motores de corrente contínu ssocidos dispositivos de electrónic de potênci são frequentemente usdos em plicções que requerem um mpl fix de velociddes, ou um controlo preciso, etc. Frequentemente s crcterístics ds máquins são modificds pel introdução de circuitos de relimentção. O objectivo deste cpítulo é preprr o estudo d máquin de corrente contínu como servomecnismo onde s sus crcterístics dinâmics constituem o principl specto considerr. Será dd mis importânci o funcionmento como motor, pois é como motor que tem mntido o seu interesse industril, ddo que, como gerdor el tem vindo ser substituíd por outros sistems. Gil Mrques 7-9-6
8 Dinâmic ds Máquins Eléctrics 5. A máquin de corrente contínu idel Devido à complexidde que o estudo completo d máquin de corrente contínu present, serão feits lgums hipóteses simplifictivs. Ests hipóteses serão: - As escovs são estreits e estão colocds n linh neutr. A comutção é liner. O eixo d ond de f.m.m. do induzido é fixo no espço e está em qudrtur com o do cmpo. - É desprezd recção mgnétic do induzido. Admite-se que máquin tem circuito de compensção e que ess compensção é idel. 3 - Os efeitos d sturção mgnétic são desprezdos. A sobreposição de cmpos mgnéticos pode ser relizd e s indutâncis podem ser considerds constntes. Se se dmitir ests hipóteses tem-se o conceito de Máquin de corrente contínu idel. Será utilizd convenção motor. N fig. 5. present-se o esquem equivlente pr est máquin onde se indicm os sentidos considerdos positivos pr s váris grndezs em jogo. L r i f u f i u M em M c ω m Fig. 5. Representção esquemátic d máquin de corrente contínu r f - Resistênci do enrolmento de excitção L f - Coeficiente de uto-indução do circuito de cmpo i f - Corrente no circuito de cmpo u f - Tensão plicd o circuito de cmpo r - Resistênci do circuito do induzido L - Coeficiente de uto-indução do circuito do induzido i - Corrente no circuito do induzido Gil Mrques 7-9-6
Cp. 5. Regimes trnsitórios d máquin DC 8 u - Tensão plicd o circuito do induzido M em - Binário electromgnético ω m - Velocidde ngulr d máquin M c - Binário de crg - Momento de inérci do conjunto motor-crg Modelo dinâmico d máquin de corrente contínu Admitindo s hipóteses nteriores, o modelo mtemático pr máquin de corrente contínu trduz-se pels equções: u f = r f i f L f di f u = r i L di M o ω m i f (5.) Mem = Mo i if O coeficiente de indução L inclui o efeito de quisquer enrolmentos em série com o induzido tis como interpólos e enrolmentos compensdores. A equção do movimento, n convenção motor, escreve-se: dω m = Mo i if -M c (5.) Em termos de modelo de estdo, obtém-se: u f rf u = M c M r i f di f i f L f di M i i L f.. d (5.3) ωm ωm Que poderá ser escrit n form condensd dx U. (5.4) [ ] = [ R][ X ] [ L] Gil Mrques 7-9-6
8 Dinâmic ds Máquins Eléctrics Existe energi mgnétic rmzend nos circuitos de cmpo e induzido e energi cinétic rmzend ns msss rottivs. As correntes de cmpo e induzido e velocidde são vriáveis de estdo. O sistem (5.3) é um conjunto de 3 equções diferenciis não lineres de primeir ordem devido à presenç n mtriz [R] d vriável de estdo if. Os coeficientes dest mtriz não são constntes, ms irão vrir à medid d corrente de cmpo. Ests equções determinm o comportmento do sistem. É necessário ter tmbém em cont s equções de Kirchhoff pr os circuitos que estão ligdos o circuito de cmpo e o circuito do induzido, bem como s crcterístics bináriovelocidde do sistem mecânico ligdo o eixo. Funções de trnsferênci. Respost no tempo. A mior dificuldde n nálise ds máquins de corrente contínu é sturção. Contudo nálise liner do sistem é útil por dus rzões. Ess simplificção dá-nos um idei do modo como os outros fctores (que não sturção) interferem no sistem. Além disso torn-se possível nálise de sistems que envolvem combinções complexs de máquins eléctrics com outros equipmentos. Não fzendo esss simplificções nálise seri prticmente impossível sem recorrer métodos computcionis. O sistem de equções (5.3) é liner se dmitimos excitção constnte if=cte. Este cso verific-se n máquin de excitção independente qundo o fluxo de excitção é constnte. Seguidmente ir-se-á nlisr o trnsitório de rrnque d máquin de corrente contínu. N prte ) esse trnsitório diz respeito à máquin de excitção independente onde se dmite que if é constnte. A prte b) diz respeito o trnsitório do motor série. Anlisr-se-á tmbém o trnsitório resultnte d plicção de binários de crg o veio. A nálise destes csos permite obter um idei de como s grndezs evoluem no tempo e lém disso, com o conhecimento dquirido nest nálise, permite sber como se fri nálise doutros sistems diferentes e porventur mis complexos. Gil Mrques 7-9-6
Cp. 5. Regimes trnsitórios d máquin DC 83 5.3 Motor de corrente contínu de excitção independente Os motores de corrente contínu são frequentemente utilizdos em plicções que requerem um controlo preciso de velocidde e de binário num gm reltivmente mpl. Um dos modos comuns de controlo é o uso de um motor de excitção independente com excitção do cmpo constnte. A velocidde é controld pel vrição d tensão no induzido. A nálise deste sistem envolve os trnsitórios eléctricos do circuito do induzido e dinâmic d crg mecânic movid pelo motor. Fic-se ssim com dus vriáveis de estdo i e ω m. A corrente if deix de ser considerd vriável de estdo pois permnece constnte o longo de todo o trnsitório. Deve notr-se que à corrente if está ssocido um rmzenmento de energi mgnétic. A energi mgnétic rmzend no circuito de cmpo não é trocd com mis nenhum outro sistem. O modelo d máquin de excitção independente será: u r = M c km km i L ω m di d ω m (5.5) com km e = M o oi f = k m [Nm A - ] ou [Vs rd - ] ωmo L r i f u f M em M c ω m i u Fonte de Energi Eléctric Fig. 5. Representção d máquin de excitção independente (Convenção motor). N fig. 5. represent-se um motor de excitção independente. A fonte de limentção poderá ser um rectificdor controldo, um gerdor de corrente contínu ou outro sistem. Gil Mrques 7-9-6
84 Dinâmic ds Máquins Eléctrics Pr resolução totl do problem será necessário sber como vrim s funções u e Mc. A tensão u é por hipótese um esclão, o binário de crg Mc vri de situção pr situção. Pr se obter um idei do comportmento trnsitório d máquin de excitção independente, vi dmitir-se um situção em que o binário de crg tem um fctor independente d velocidde o qul represent o binário útil, e um fctor proporcionl à velocidde que represent o binário de trito. Assim: Mc = D ωm Mu (5.6) - D - Coeficiente de trito N m rd s Qundo, em situções extrems, n equção 5.6 se fizer D= está-se representr um crcterístic de crg com o binário independente d velocidde. Por outro ldo, qundo M u =, pode representr-se um crg em que o binário é proporcionl à velocidde. Pr se conhecer o sistem completmente ter-se-á de estudr s sus váris funções de trnsferênci, nomedmente: Ω ( s) I ( s) Ω ( s) I ( s) F m ( ) F ( ) G m ( ) G s = s = s = ( s) = (5.7) U( s) U( s) Mu ( s) Mu ( s) Pr se obter s funções de trnsferênci pretendids podem ser utilizdos vários métodos de nálise. Um destes consiste em usr o modelo de estdo resolvendo o sistem de equções lgébrics obtido d plicção d trnsformção de Lplce o sistem de equções diferenciis, depois de introduzid equção (5.6). Assim: U( s ) r = Mu( s ) km km I( s ) L D Ωm( s ) si( s ) sωm( s ) (5.8) U(s), Mu(s), I(s) e Ωm(s) são s trnsformds de Lplce de u(t), Mu(t), i(t) e ωm(t) respectivmente. As equções 5.8 podem tomr form: U( s ) = Mu( s ) Utilizndo regr de Krmer: r Ls km km I( s ) D s Ωm ( s ) (5.9) Gil Mrques 7-9-6
Cp. 5. Regimes trnsitórios d máquin DC 85 U(s) km I(s) = Mu(s) -D-s rls km km -D-s = (Ds)U (s)kmmu(s) (5.) rls Ωm(s) = km rls km U(s) Mu(s) km -D-s = k mu(s)-(rls)mu(s) (5.) onde: = (RLs)(Ds)km (5.) concluí-se: Ω ( s ) K F m m = = U( s ) ( s ) Ω ( s ) r L s G m = = Mu( s ) ( s ) I ( s ) D s F = = U( s ) ( s ) (5.3) I ( s ) K G m = = Mu( s ) ( s ) (5.3b) Verific-se que s funções F e G tem pens dois pólos enqunto que s funções F e G têm pólos e zero. O comportmento ds vriáveis i e ω m será diferente consonte se tenhm vrições ns dus funções de entrd U e Mu. A figur 5.3 ilustr o significdo ds funções de trnsferênci definids cim. F (s) U(s) F (s) I (s) M u (s) G (s) m (s) G (s) Fig. 5.3. Digrm de blocos com funções de trnsferênci. Gil Mrques 7-9-6
Dinâmic ds Máquins Eléctrics Gil Mrques 7-9-6 86 Estudo do polinómio crcterístico. Determinção dos pólos do sistem. A determinção dos pólos do sistem reveste-se de especil importânci. N verdde, o comportmento de um sistem depende d loclizção dos seus pólos e zeros. Os pólos são os zeros do polinómio crcterístico. Tem-se: = L D r k s L D L r s m (5.4) Definem-se: τ = L r Constnte de tempo do induzido (5.5) τ m = r k m Constnte de tempo inercil (5.6) Que correspondem situções extrems. A constnte de tempo do induzido τ corresponde à considerção d hipótese de velocidde constnte ou de inérci infinit. Neste situção máquin pode ser representd por um sistem de primeir ordem com constnte de tempo τ. A constnte de tempo inercil corresponde à situção em que se desprez o coeficiente de indução do induzido. Neste situção corrente do induzido pode vrir instntnemente. O modelo d máquin reduz-se um sistem de primeir ordem com constnte de tempo inercil τ m. Utilizndo estes novos prâmetros equção 5.4 tom form: = m D s D s τ τ τ (5.7) Comprndo com form normlizd s ξ ωn s ω n concluí-se: = D m n τ τ ω (5.8) = D D m τ τ τ ξ (5.9)
Cp. 5. Regimes trnsitórios d máquin DC 87 As rízes são dds pel equção bem conhecid s, = ξωn ± ωn ξ (5.) Se ξ > respost é crcterizd por dois termos exponenciis negtivos, se ξ < tem-se um sinusóide mortecid. Normlmente crg mecânic tem um efeito pequeno sobre ωn e ξ embor est fecte velocidde do regime permnente. Se D/ for desprezdo obtém-se: ω n = τ τ m (5.) ξ = τ m τ (5.) Exemplo 5. São dds s seguintes constntes pr dois motores de corrente contínu típicos e compensdos. Motor Nº Motor Nº Cv, 5 rpm, 4 V Cv, 75 rpm, 4 V r = 7.56 Ω r =.44 Ω L =.55 H L =. H km= 4.3 V.S/rd km =.7 V.s/rd =.68 Kg m =.8 Kg m Suponh-se que crcterístic binário-velocidde é um rect pssndo pel origem e pelo ponto de binário nominl, e que o momento de inérci d crg é igul o momento de inérci do motor. O momento de inérci totl será ssim o dobro do momento de inérci indicdo. Suponh-se tmbém que em série com o induzido dest máquin se encontr um bobin com vlores de resistênci e coeficiente de uto-indução iguis os do induzido d máquin. Determinr frequênci nturl não mortecid ωn e o mortecimento reltivo ξ pr cd motor. Discutir o efeito d proximção D << τm. Gil Mrques 7-9-6
88 Dinâmic ds Máquins Eléctrics Solução: Motor Nº Motor Nº Cv = 735 W Cv = 73.5 kw 5 rpm = 5.3 rd/s 75 rpm = 83 rd/s M N 735 = 5.3 = 4. Nm MN = 4 N.m M D = N ωmn =.69 D=. =(,68)=.36 Kg m =(.8)=3.64 Kg m D/ =.98 D/ =.6 τ =. 5. =,73 τ=,764 s /τ = 37 /τ =3. τ m =.36 x 5. =,5 4.3 τm =.65 /τm = 8.7 /τm =5.4 Verific-se que o efeito d crg D/ é pequeno especilmente no motor de cv. Este resultdo é tnto mis importnte pois está-se considerr o pior cso em termos de D (o mior vlor de D possível). Obtém-se: Motor Nº Motor Nº ω n = 37 x8.7 = 38,3 rd/s ωn= 4.47 rd/s ξ =.8 ξ =,47 z =-.98 z = -.6 z = r L = 37 z = -3. s=-.48 s=-6.85.74 j s=-7.96 s=-6.85 -.74 j Se se desprezr constnte de tempo do induzido, o sistem comport-se como um sistem de ª ordem cuj constnte de tempo é τm. É est rzão porque se definiu τ m e se lhe chmou constnte de tempo inercil. Est proximção é válid pens pr o cso do motor Nª. Em gerl o coeficiente de indução do circuito do induzido pode ser desprezdo pr coeficientes de mortecimento ξ >,5 correspondendo vlores d rzão τ /τ m Gil Mrques 7-9-6
Cp. 5. Regimes trnsitórios d máquin DC 89 menores do que cerc de /9. O mortecimento critico (ξ = ) corresponde o vlor τ /τ m =/4. Como tendênci gerl pr um motor isoldo, pode considerr-se que com o umento d potênci nominl, τ ument e τ m decresce levemente. O mortecimento D/ é usulmente desprezável. Trnsitório de rrnque directo com binário de crg proporcionl à velocidde. Neste cso o fctor M u =, pois o binário útil encontr-se representdo no fctor D. Ds equções (5.) e (5.), e tendo em cont que trnsformd de Lplce do d entrd (esclão) é U /s, obtém-se: D s ( D s) U ( ) U I s = = (5.3) L s( s ξω ns ωn ) L s( s ξωns ωn ) Em regime permnente, plicndo fórmul d trnsformção de Lplce que permite obter o vlor finl, tem-se: Io U D = lim si ( s ) = k s m r D (5.4) k ( ) mu kmu Ω m s = = (5.5) L s( s ξω s ω ) L s( s ξω s ω ) n n k U ω m ( m mo = lim sω s ) = (5.6) s k m r D n n Exemplo Nº 5. Clculr os vlores finis pr os motores do exemplo. Motor Nº Motor Nº I =.95 A I = 34.5 A ωm = 46. rd/s ωm = 8.84 rd/s As figurs 5.4 e 5.5 representm o ndmento ds vriáveis de estdo durnte o trnsitório de rrnque com crg definid no exemplo 5.. Gil Mrques 7-9-6
9 Dinâmic ds Máquins Eléctrics Velocidde [rd/s] 5 45 4 35 3 5 5 5 Corrente I [A] 4 8 6 4...3.4.5 Tempo [s]...3.4.5 Tempo [s] Fig. 5.4. Trnsitório de rrnque d máquin de Cv. 5 45 4 Velocidde [rd/s] 5 5..4.6.8 Tempo [s] Corrente [A] 35 3 5 5 5-5..4.6.8 Tempo [s] Fig. 5.5: Trnsitório de rrnque d máquin de Cv. Os vlores dos fctores de mortecimento reltivo bem como os dos pólos e zeros são os obtidos no exemplo 5. Conclusões Pr o motor Nº, ξ=.8, constnte de tempo do induzido, eléctric, é muito menor do que constnte de tempo mecânic. Pr o estudo do ndmento d velocidde é perfeitmente desprezável constnte de tempo eléctric. Assim o motor comport-se como um sistem de ª ordem cuj constnte de tempo é constnte de tempo inercil. Nos instntes iniciis corrente sobe tão rpidmente que quse poderi ser considerd descontínu. A respost do sistem é semelhnte à respost que se obteri se se desprezsse o coeficiente de uto-indução do induzido. Qunto o motor Nº, ξ =.47, o que corresponde um comportmento osciltório. Isto deve-se o fcto de s dus constntes de tempo (inercil e eléctric) Gil Mrques 7-9-6
Cp. 5. Regimes trnsitórios d máquin DC 9 serem d mesm ordem de grndez (τ m =.65s, τ =.764s). O fcto de se ter um ndmento osciltório tem como consequênci que velocidde tem um pequen sobrelevção, o que se trduz em funcionmento d máquin como gerdor (i <, U > ) durnte um pequeno período de tempo. Tnto pr o motor Nº como pr o motor Nº corrente tinge vlores bstntes elevdos nos primeiros instntes. No primeiro cso tinge 4 vezes o vlor de regime estcionário e no segundo 4 vezes. Assim este trnsitório é bstnte violento e há tod vntgem em evitá-lo. Deve notr-se, que pr trnsitórios tão violentos, lgums ds hipóteses simplifictivs que fizerm poderão não ser verddeirs e o problem exigir um trtmento mis cuiddo. Trnsitório resultnte d plicção de um esclão de binário. Neste cso estud-se máquin num situção diferente d nterior. Admite-se que o motor está rodr em vzio, e que já tingiu o seu regime permnente. Subitmente é plicdo o binário nominl. Em rigor, um vez que gor D=, s constntes de tempo, ξ e ω n, bem como os pólos e zeros deverão ser reclculdos. Contudo, um vez que estes dependem pouco do fctor D, os novos vlores dquels grndezs não serão fectdos significtivmente. Como não form considerds s condições iniciis qundo se plicou trnsformção de Lplce às equções (5.4), s funções de trnsferênci (5.3) são válids em termos ds vrições ds grndezs e não em termos ds grndezs. Assim: com com k ( ) mmu kmm I u s = = (5.7) L s( s ξω s ω ) L s( s ξω s ω ) n n kmmu M I u o = s I ( s) = k s m r D k m lim (5.8) r s ( r ) ( ) sl Mu M u L Ω m s = = (5.9) L s( s ξω s ω ) s( s ξω s ω ) n n n n n n Gil Mrques 7-9-6
9 Dinâmic ds Máquins Eléctrics r Mu r Mu mo = lim s Ω ( s) = m s km r D km ω (5.3) Exemplo Nº 5.3 Clculr s vrições ds grndezs no trnsitório de plicção do binário de crg Reclculndo os novos vlores de ω n e ξ com D= e M c =M N, s vrições que se obtêm em regime permnente são: Motor Nº Motor Nº ω n = 34,58. ω n = 4,9 ξ=.98 ξ=.46 I = 3.33 A % I =37 A % ω m =-.9 rd/s ω m =-7.7 rd/s As resposts no tempo encontrm-se representds ns figurs 5.6 e 5.7. Velocidde [rd/s] 6 5 4 3...3.4.5.6 Tempo [s] Corrente I [A] 5 4.5 4 3.5 3.5.5.5...3.4.5.6 Tempo [s] Fig. 5.6. Respost o esclão de binário de crg pr máquin de Cv. Velocidde [rd/s] 8 6 4 8 6 4 Corrente [A] 4 35 3 5 5 5..4.6.8 Tempo [s]..4.6.8 Tempo [s] Fig. 5.7. Respost o esclão de binário de crg pr máquin de Cv. Gil Mrques 7-9-6
Cp. 5. Regimes trnsitórios d máquin DC 93 Conclusões cerc d plicção de esclão de binário Pr este tipo de trnsitório, enqunto que corrente vriou bstnte (pssou de quse zero o vlor nominl), velocidde quse que se mnteve inlterável. Est respost er de esperr pois é típic do motor de excitção independente. Contudo, o que há destcr ns curvs ds figurs 5.6 e 5.7 é que o comportmento trnsitório tem forms bstnte diferentes pr os dois motores devido o fcto de se ter pólos e zeros diferentes. Assim, pr corrente prticmente não há sobreintensidde, o que contrst profundmente com o trnsitório de rrnque directo. Este tipo de respost é diferente devido à diferente loclizção do zero d função de trnsferênci. Gil Mrques 7-9-6
94 Dinâmic ds Máquins Eléctrics 5.4 Estudo d máquin de corrente contínu de excitção série Introdução O motor de excitção em série tem crcterístics estátics bstnte diferentes do motor de excitção em derivção. Assim s sus plicções são tmbém completmente distints. Apresent-se nálise do motor série em regime trnsitório. Verific-se que, neste cso, o sistem não é liner. Assim, não é possível estudr o sistem nliticmente e ter-se-á de recorrer métodos numéricos. Este exemplo é estuddo não só pr se ficr conhecer um pouco do comportmento do motor série, ms tmbém pr se fzer um pequen introdução os referidos métodos numéricos que hoje em di estão já bem generlizdos. Modelo Mtemático Pr o motor série obtemos s seguintes restrições: i f = i = i u = u f u (5.3) ω Mem m Mc i u u f if u Fonte de Energi Eléctric Fig. 5.8. Motor série. As equções (5.3) e (5.7) tomm form: u rf r = Mu M oi Moi i L f L D ω m di d ωm (5.3) ou, n form condensd, Gil Mrques 7-9-6
Cp. 5. Máquin de Excitção em Série Gil Mrques 7-9-6 95 [ ] [ ][ ] [ ] = dx L X R U. A presenç d vriável de estdo i n mtriz R, permite concluir que se está em presenç de um sistem não liner. Sendo ssim, não se pode determinr respost do sistem nliticmente como se fez pr o motor de excitção independente. Resolve-se o problem utilizndo técnics numérics. Comece-se por pssr o sistem (5.3) pr su form cnónic. = m o o f u m f i D i M i M r r M u d di L L ω ω (5.33) como = L L (5.34) vem = m o o f u m i D i M i M r r L M u L d di ω ω (5.35) ou = M L u i D i M L i M L r r d di u m o o f ω m ω (5.36) Pr integrção numéric deste sistem de equções poderá ser utilizdo um dos muitos métodos de integrção numéric descrito n litertur d especilidde. Pr que os resultdos ssim lcnçdos sejm correctos, é necessário, pr o problem em questão, verificr se o método é ou não convergente. Pr os problems usuis em máquins eléctrics tl verific-se se impuser um psso de cálculo h muito inferior à menor constnte de tempo do sistem. Como à prtid não se conhece respost do sistem, vi-se obtendo váris soluções provisóris com vários pssos de
96 Dinâmic ds Máquins Eléctrics cálculo, e em função ds resposts que se forem obtendo, conclui-se se se tem resposts corrects ou incorrects. O exemplo 5.4 ilustr este specto. Exemplo Nº 5.4 Pr ilustrr integrção ds equções (5.36), vi clculr-se evolução no tempo ds grndezs I e ωm pr um motor de 5CV no trnsitório de rrnque em que é plicdo o motor o seu binário nominl. Admite-se que esse binário de crg é constnte e não depende d velocidde. Admite-se que em série com o motor se encontr um bobin cujo coeficiente de uto-indução é importnte fce LLf. Os prâmetros são os seguintes: PN = 5 Cv, U = V, Mo=.795 Nm.A - RT = 75 m Ω Mu = 3 Nm (const.), ωmn = 5 rd/s, = 3.64 Kg m LT =.33H, D= O trnsitório que se pretendeu simulr, foi do rrnque directo em que o binário d crg tem um vlor constnte e igul 3 N.m. Os resultdos encontrm-se representdos n figur 5.9. 6 5 Velocidde [rd/s] 8 6 4 Corrente [A] 4 3.5.5 Tempo [s] Fig. 5.9. Arrnque directo do motor série..5.5 Tempo [s] Linerizção do modelo de estdo do motor de corrente contínu de excitção em série. Como se cbou de ver, o modelo de estdo do motor série pode ser posto n form de um sistem de dus equções diferenciis não lineres. Regr gerl, os sistems electromecânicos podem ser descritos por sistems de ordem n deste tipo. Frequentemente é necessário nlisr estbilidde desses sistems. Gil Mrques 7-9-6
Cp. 5. Máquin de Excitção em Série 97 Um dos métodos mis simples e mis usul é utilizção, não de um modelo de estdo originl, ms de um outro modelo que result d su linerizção em torno de um determindo ponto de funcionmento. O estudo do motor série foi escolhido propositdmente pr descrição e exemplificção de tl técnic. Pr isso vi-se prtir ds equções (5.36) e linerizá-ls em torno de um ponto de funcionmento genérico (i o, ω mo ). Assim tem-se: u Mu di = R i M o i ω m L (5.37) dω = M i - D - m o ωm (5.38) Se máquin estiver funcionr no ponto (io, ωmo), e esse ponto constituir um ponto de regime estcionário, ter-se-á: uo = R io Mo io ωmo (5.39) Muo =Mo i o - D ωmo (5.4) di pois i = cte = d m ω ωm = cte = Se houver vrições ns grndezs de entrd u e Mu, s funções de estdo tmbém sofrerão vrições. Assim: u uo u Mu Muo Mu i io i (5.4) ωm ωmo ωm Ter-se-á: d o o o mo o (5.4) ( u u) = R( i i) M ( i i)( ω ωm ) L ( i i) o d u u o o mo m mo m (5.43) ( M M ) = M ( i i) D( ω ω ) ( ω ω ) Gil Mrques 7-9-6
98 Dinâmic ds Máquins Eléctrics Desenvolvendo, subtrindo s equções 5.39 e 5.4 e desprezndo infinitésimos de segundo gru, obtém-se: d i u = R i M oio ω m M oωmo i L (5.44) Mu d ω = M i i D m o o ωm Pondo n form mtricil obtém-se: u = Mu R M oωmo Moio M oio i L D ωm d i d ω m (5.45) O sistem de equções (5.45) constitui o modelo de estdo linerizdo em torno do ponto de funcionmento (io, ωmo). Neste cso io e ωmo não são vriáveis de estdo ms vlores constntes. As funções de estdo são gor ( i e ωmo). O sistem de equções (5.45) represent um sistem liner que se proxim do modelo inicil (5.36) junto do ponto de funcionmento (io, ωmo). A mtriz [L] do modelo linerizdo coincide com mtriz [L] do modelo inicil. A mtriz [R] do modelo linerizdo é função ds grndezs io e ωmo, ou sej do ponto de funcionmento. Assim, deve concluir-se que pr um determindo sistem electromecânico o modelo resultnte d linerizção em torno do ponto de funcionmento não é único sendo válido pens pr pequens perturbções. Permite contudo determinr estbilidde do ponto (io, ωmo). Pr tl pode utilizr-se s técnics usds pr sistems lineres. Podem definir-se funções de trnsferênci, determinr pólos do sistem etc. Determinção dos pólos do modelo linerizdo. O polinómio crcterístico será ddo por: Colocdo n form cnónic o modelo linerizdo (5.45) tom form: Gil Mrques 7-9-6
Cp. 5. Máquin de Excitção em Série 99 d i R M oω = L d ω M i m o o mo M oi L D o i ω m u L M u A estbilidde pode ser obtid pel loclizção dos pólos no plno de Argnd pr um determindo ponto de funcionmento. Assim o estudo d estbilidde pss por um primeiro psso que consiste em clculr o ponto de equilíbrio e depois pel obtenção do modelo linerizdo que depende deste ponto (i o e ω mo ) e consequente determinção dos pólos. Exemplo Nº 5.5 Pr ilustrr o estudo d estbilidde locl do motor série vi considerr-se o motor do exemplo 5.4. Pr funcionmento motor e gerdor clcul-se o pondo de equilíbrio e os respectivos pólos. Resolução Recorrendo um progrm de MtLb que se list bixo obtém-se pr funcionmento motor figur 5. e pr funcionmento gerdor figur 5.. Pr funcionmento gerdor é necessário lterr s ligções o que mtemticmente se trduz pel inversão do prâmetro Mo. Pontos d Crcterístic Electromecânic nlisdos Locl ds rízes pr pontos diferentes de funcionmento 6 rpm 5 Binário [Nm] 8 6 4 Img. -5 rpm rpm 4 6 8 Velocidde [rpm] () Pontos nlizdos 6 rpm - -3-5 - -5 - -5 Rel (b) Locl ds rízes Figur Análise d estbilidde do motor série Á medid que velocidde ument s rízes seguem trjectóri d figur segundo o cminho indicdo pels sets. Pr o funcionmento como gerdor obtêm-se figurs semelhntes. Neste cso verific-se que os pólos estão sempre loclizdos no semiplno complexo esquerdo. O gerdor série é instável. Gil Mrques 7-9-6
Dinâmic ds Máquins Eléctrics Binário [Nm] -5 - -5 - Pontos d Crcterístic Electromecânic nlisdos -5 4 6 8 Velocidde [rpm] () Pontos nlisdos Img. Locl ds rízes pr pontos diferentes de funcionmento 5 5-5 - rpm 6 rpm rpm -5 6 rpm - 5 5 5 Rel (b) Locl ds rízes Figur 5.. Análise d estbilidde do gerdor série Listgem do progrm que se utilizou pr nálise d estbilidde %estbilidde d máquin série % U=; M=.795; R=.75; Mu=3; =3.64; L=.33; D=; % Pr um velocidde clcul Io e o binário. k=; for wm=6:: Io=U/(RM*wm); Muo=M*Io^-D*wm; A=[-(RTM*wm)/L -M*Io/L *M*Io/ -D/]; polos=eig(a); Wm(k)=wm; MU(k)=Muo; AA(k)=polos(); BB(k)=polos(); k=k; end Nrot=Wm*3/pi; figure() hndl=plot(nrot,mu) set(hndl,'linewih',.5) xis([ 3 3]) xlbel('velocidde [rpm]') ylbel('bin rio [Nm]') Title('Pontos d Crcterístic Electromecânic nlisdos) grid figure() plot(aa,'*') hold on plot(bb,'*') hold off xlbel('rel') ylbel('img.') Title('Locl ds rízes pr pontos diferentes de funcionmento') Gil Mrques 7-9-6
Cp. 5. Exercícios Exercícios. Um motor de corrente contínu de excitção independente é crcterizdo pelos seguintes prâmetros: U n =V N N =5 rpm I n =A r f =4Ω L f =3.6H r =.Ω L =mh =.684 kgm Sbe-se que rpm e com um corrente de excitção de.5a f.e.m. em vzio é igul 4V. ) Estbeleç o modelo mtemático que lhe permit estudr o regime trnsitório dest máquin. Quis s hipóteses em que se encontr bsedo este modelo. b) No instnte t=, corrente de excitção encontr-se em regime permnente e vle.5a, e o induzido encontr-se ligdo um fonte de tensão contínu igul V. No veio não se encontr plicd qulquer crg.. Qul velocidde de rotção d máquin.. Aplic-se um esclão de binário igul o binário nominl. Determine o ndmento d corrente no induzido e d velocidde em função do tempo. Qul o tempo necessário pr se estbelecer o regime permnente.. Considere o motor Nº do exemplo 5. n situção em que D= e plicdo num situção com um momento de inérci igul 48 vezes o momento de inérci d máquin. Reclcule os vlores dos prâmetros crcterísticos. Comente os resultdos. 3. Considere o motor Nº do exemplo 5.. Lig-se um resistênci em série com o circuito do induzido de modo limitr corrente de rrnque o vlor nominl. Clcule: ) Os vlores dos prâmetros crcterísticos. Comente os resultdos. b) Determine o vlor d velocidde em regime permnente qundo máquin se encontrr em vzio. Qul o tempo de rrnque. c) Qundo o binário de crg for proporcionl à velocidde e à velocidde nominl corresponder o binário nominl clcule o novo vlor de velocidde em regime permnente e o tempo de rrnque. Gil Mrques 7-9-6
Dinâmic ds Máquins Eléctrics 4. Considere o motor Nº do exemplo 5.. Este motor vi ser plicdo num situção que requer um fonte de limentção com tensão justável. Est fonte de limentção é crcterizd por possuir um componente lternd de frequênci elevd (3Hz). Pr reduzir est componente lternd utiliz-se um bobin de vlor elevdo em série com o induzido. Considere que est bobin tem um vlor 5 vezes o vlor de L. ) Clcule os novos vlores ds constntes do motor, dos pólos e zeros etc. b) Determine s resposts no rrnque directo e de plicção de esclão de binário de crg. c) Comente os resultdos. 5. Discut lterção d respost do motor de excitção seprd qundo máquin está funcionr 5% do seu fluxo nominl. 6. Como nlisri o trnsitório d pssgem d tensão de excitção nominl pr 5%, funcionndo máquin (de excitção seprd) em vzio? 7. Neste cpítulo form nlisds s máquins de excitção seprd e de excitção série. Tente modelizr e tirr conclusões sobre o regime dinâmico d máquin de excitção compost. 8. No rrnque ds máquins de corrente contínu utilizrm-se, no pssdo, rrncdores relizdos com resistêncis que se inserim em série com o circuito do induzido (ind se encontrm funcionr lguns destes rrncdores em instlções ntigs). Ests resistêncis são relizds com n pontos e n- elementos. Define-se um corrente do induzido máxim I (mx) que não deve ser ultrpssd e um corrente do induzido mínim I (min) n qul se deve fzer comutção pr o ponto seguinte. ) Desprezndo o vlor do coeficiente de indução do induzido deduz fórmul prátic: I(mx) Rn Rn R = = =... = I(min) Rn Rn R e ( n ) I (mx) R = n I (min) R Onde R n represent o vlor d som ds resistêncis que se encontrm em série. Gil Mrques 7-9-6
Cp. 5. Exercícios 3 b) Considerndo máquin do exemplo clcule o número de pontos necessários, s váris constntes de tempo que resultm dos vários troços, e determine s expressões nlítics do ndmento d velocidde e de corrente do induzido pr os vários troços durnte o rrnque. Considere I mx =I N e I min =I N. 9. O sistem Wrd-Leonrd é constituído por dus máquins de corrente contínu iguis, um funcionndo como gerdor cciond por um máquin de velocidde constnte e outr funcionr como motor. Ests dus máquins encontrm-se com os dois circuitos do induzido ligdos em prlelo. O circuito de excitção do motor encontr-se limentdo com um fonte de tensão contínu e constnte enqunto que o circuito de excitção do gerdor se encontr limentdo por um fonte de tensão vriável. Atrvés dest fonte vri-se excitção do gerdor que por su vez vi vrir tensão os terminis do induzido e por consequênci velocidde do motor. ) Determine o modelo mtemático que lhe permit estudr este sistem. b) Clcule respost de velocidde do motor pr s seguintes tesões plicds os terminis do circuito de excitção do gerdor: b) Um esclão de tensão contínu. b) Um vrição em rmp desde zero té o vlor nominl d tensão de excitção. b3) Um vrição sinusoidl de frequênci ngulr ω c e mplitude Vc. Considere o mortecimento mecânico desprezável pr o motor que se encontr em vzio e que tem um momento de inérci.. Considere máquin de corrente contínu de excitção série do exemplo 5.4. Est máquin vi ser ligd um fonte de tensão lternd sinusoidl de vlor eficz igul V e frequênci igul 5Hz. Considere que o binário de crg é igul sucessivmente 5Nm e 3Nm. ) Utilizndo os conceitos de mplitude complex que se utilizm pr nlisr circuitos em regime permnente em corrente lternd, determine o digrm vectoril que lhe permite representr o regime permnente dest máquin. b) Clcule, pr s dus situções referids, os vlores d velocidde de rotção e do fctor de potênci.. Utilizndo s técnics estudds neste cpítulo, demonstre que o gerdor série é instável qundo debit sobre um resistênci de crg e qundo se encontr directmente ligdo um rede de corrente contínu de tensão constnte. Gil Mrques 7-9-6
4 Dinâmic ds Máquins Eléctrics ) Admit velocidde constnte b) Admit um situção de frengem ANEXO Respost o esclão de sistems de segund ordem A determinção d respost no tempo ds vriáveis de estdo é relizd pel inversão d trnsformd de Lplce respectiv. Est inversão pode ser feit recorrendo técnics bem conhecids ou tbels de trnsformds de Lplce. Verific-se frequentemente dois tipos de problems. O primeiro é o sistem de segund ordem sem zeros, o segundo, é o sistem de segund ordem com um zero. Seguidmente vi nlisr-se estes dois csos recorrendo forms normlizds. A - Sistem normlizdo de segund ordem sem zero A form normlizd d função de trnsferênci de um sistem de ª ordem sem zero escreve-se: F (s) = X (s) V (s) = ω n s ξω n s ω n (A) pr v(t) esclão unitário, tem-se V (s) = s logo ω n X (s) = s s ξω n s ω n (A) Recorrendo um tbel de trnsformds, obtém-se: ξ < Gil Mrques 7-9-6
Cp. 5. Exercícios 5 X (t) =- e - ξω n t sen ω n - ξ trcosξ - ξ (A3) ξ > s =- ξω n ω n ξ - s =- ξω n - ω n ξ s - X (t) = e s t s - e s t s -s s -s s -s =ω n ξ - (A4) O ndmento d função X(t) encontr-se ilustrdo n figur A-.,5 X(t),5 ξ=.3 ξ=.77,,75,5 ξ= ξ= ξ=5,5, 5 5 ω n t Fig. A Respost no tempo d vriável de estdo X(t) de um sistem normlizdo pr vários fctores de mortecimentos reltivo (ξ) B - Sistem normlizdo de ª ordem com zero Neste cso tem-se como form normlizd: Gil Mrques 7-9-6
6 Dinâmic ds Máquins Eléctrics F (s) = X (s) V (s) = ω n sz z s ξω n sω n (A5) Deve procurr-se trnsformd invers d função X (s) = ω n z sz s s ξω n sω n (A6) Recorrendo um tbel, obtém-se: ξ < =-ξω n ω = ω n - ξ α =rtg ω z -rtgω X (t) =Ae t sen ω tα (A7) A= ω z ω z ω ξ > s =-ξω n ω n ξ - s =- ξω n - ω n ξ - X (t) =B e s t -Ce s t (A8) B= s z s z s -s C= s z s z s -s Gil Mrques 7-9-6
Cp. 5. Exercícios 7 As funções representds pels equções (A7) e (A8) encontrm-se representds n figur A. 5 X(t) 4 3 ζ=.5 ξ= ζ=. ζ=. ζ= ζ= 5 5 ω n t X(t) 4 8 6 4 ζ=.5 ζ=. ζ=. ζ= ξ=.5-5 5 ω n t Fig. A Respost no tempo d vriável normlizd X(t). A - fmíli de curvs pr ξ = e ζ=z/ω s vriável B - fmíli de curvs pr ξ =,5 e ζ=z/ω s vriável Gil Mrques 7-9-6