Dinâmica dos Corpos Rígidos

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1 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 Dinâmic dos orpos Rígidos. Introdução dinâmic, lém d nálise do movimento tmbém nlis origem deste movimento, ou sej, identific s forçs que o provocm, ou determin o movimento de cordo com s forçs plicds. Serão explicdos pens os métodos de resolução dos problems que implementm s equções de movimento e lei d conservção d energi mecânic. Equções de movimento s equções de movimento podem ser igulmente designds, equções de equilíbrio dinâmico. su utilizção predominnte é n resolução dos problems em que se solicitm s celerções, s forçs que originm o movimento ou s recções dinâmics num ddo instnte. Pr isso recorre-se às equções de equilíbrio estbelecidos n posição d estrutur indicd no enuncido (indeformd), ou sej, n posição exct que corresponde àquele instnte de tempo definido no problem. O número ds equções de equilíbrio linermente independentes determin-se d mesm mneir como explicdo n Estátic. únic diferenç neste momento consiste no fcto de serem dicionds s forçs de inérci. Hbitulmente estrutur nlisd será um mecnismo com DL (pr permitir o movimento) e ssim o número de recções vi equivler o número de equções de equilíbrio linermente independentes -, e por isso, lém ds recções, um incógnit corresponderá um prâmetro que crcteriz o movimento (por exemplo um celerção ngulr) e deste modo solução do problem será únic. No entnto, podem existir situções em que s condições de movimento permitem resolver tods s celerções e velociddes, e incógnit dicionl do problem será por exemplo um forç plicd. Lei d conservção d energi mecânic lei d conservção d energi mecânic estbelece que energi mecânic no sistem conservtivo permnece inlterd. utilizção dest lei será predominnte n resolução dos problems em que se solicitm s velociddes num dd posição fstd pelo movimento finito d posição inicil. omo energi é um grndez esclr, equção utilizd será esclr e ssim permitirá resolver pens um incógnit.. Equções de movimento. Introdução onsiderndo um prtícul, segund lei de Newton dit que resultnte de tods s forçs ctuntes n prtícul provoc um movimento celerdo d prtícul, onde celerção obedece à equção vectoril escrit bixo R m dptndo equção cim n form R m 0

2 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 Pode-se concluir que se se designr forç de inérci i m, equção cim representv um equção de equilíbrio, onde, lém ds forçs plicds foi diciond forç de inérci: R i 0 Est equção de equilíbrio é um equção vectoril e pode-se chmr, equção do equilíbrio dinâmico, ou sej, equção do movimento. É possível estender este conceito os corpos rígidos, ms neste cso s forçs de inérci têm que brnger tods s possibiliddes de movimento. onsiderndo um corpo rígido em trnslção, é preciso somr os efeitos de tods s prtículs que o constituem, que no limite define integrção de efeitos elementres sobre o volume do corpo. É possível concluir que s forçs de inérci são definids d mesm mneir como pr prtícul, ms o ponto de plicção tem que ser obrigtorimente no centro de mss do corpo. onsiderndo o corpo rígido em rotção, é novmente necessário somr os efeitos de tods s prtículs. Pr se efectur prov d relção resultnte, seri necessário introduzir quntidde de movimento, que não será incluído nest sebent. É possível concluir que o efeito de inérci durnte rotção em torno de um ponto no plno represent-se pelo momento de inérci de mss reltivmente esse ponto. Em resumo, durnte o movimento plno gerl, s forçs de inérci têm que envolver prte correspondente à trnslção e prte correspondente à rotção. ctução permnece ligd o centro de mss: s componentes ds forçs de inérci envolvem celerção do centro de mss e componente rotcionl celerção ngulr. i m, Mi I ssumindo que o sinl d celerção ngulr será tribuído consonte à regr d mão direit.. Regrs de introdução ds forçs de inérci Record-se que qundo os corpos considerdos tiverem mss uniformemente distribuíd, o centro de mss coincidirá com o centróide geométrico. Durnte resolução dos problems será necessário seprr estrutur em corpos de movimentos diferentes e em cd um, no seu centro de mss, introduzir s forçs de inérci correspondentes. É impossível ligr dois corpos de movimentos diferentes, determinr o centro de mss do conjunto e colocr s forçs de inérci nesse ponto. No entnto, é possível seprr um corpo de movimento igul em corpos elementres pr fcilitr o cálculo, como mostr-se em seguid. Problem onsidere brr com mss concentrd de cordo com figur o ldo. dmit que o conjunto foi libertdo do repouso, cuj posição corresponde à visulizção n figur. Mostre que s forçs de inérci induzem o mesmo efeito sobre o corpo qundo considerdos pr o conjunto, e qundo considerdos em seprdo. ml, Not: Pr est demonstrção compre componente verticl ds forçs de inérci e o momento em torno de poio. M

3 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 Resolução O único movimento que o mecnismo permite é rotção em torno do poio. omponentes de celerção nos centros de grvidde seprção em corpos elementres L / L x x conjunto N figur à esquerd os corpos elementres (brr e mss concentrd) são considerdos em seprdo, por isso há dois centros de grvidde e em mbos form determinds s celerções. s componentes de celerção norml são nuls, porque o conjunto prtiu do repouso. Not-se que no centro de grvidde d mss concentrd não foi introduzid celerção ngulr. omo o rio foi designdo como desprezável, mss concentrd form pens um prtícul, e por isso não tem su inérci de rotção. N figur à direit existe pens um centro de mss onde s componentes de celerções form introduzids. Nturlmente celerção ngulr pode ter designção igul, porque está representr-se o mesmo movimento, no entnto, ntes de proceder é necessário clculr o centro de mss do conjunto: ml /ML x m M s forçs de inérci m M x m L/ I ML O efeito verticl ml /ML m L /ML m M m M Imeditmente confirm-se iguldde. Not-se que não se trt d equção de equilíbrio porque não form introduzids s recções no poio, pens comprou-se o efeito verticl ds forçs de inérci. O efeito ngulr em torno do poio / L ml ML m M L ml m M I m M No ldo esquerdo usou-se ml e ml que represent o momento de inérci d brr esbelt (de espessur e desprezável) em relção o eixo perpendiculr o plno d figur que pss pelo. Pr o movimento plno, este eixo reduz-se um ponto, neste cso. O ldo direito pode simplificr-se, ms ind tem que se completr por L I ml mx M L x I

4 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 pós simplificção pode concluir-se que os dois ldos d equção tomrão o vlor ML ml 3 Demonstrou-se que o cálculo que usou os corpos elementres foi mis simples e por isso será utilizdo preferencilmente. Sublinh-se mis um vez necessidde de utilizr s componentes de celerção no centro de grvidde. figur bixo mostr que em pontos diferentes inérci introduzid é diferente e por isso s forçs de inérci introduzids em outros pontos em vez dos centros de mss, originm necessrimente erros no cálculo. Pr simplificr usou-se pr est demostrção pens um brr de comprimento L e mss m. m L/ m L I I I O efeito verticl Vê-se de imedito que o efeito verticl é diferente em cd cso. O efeito ngulr em torno do poio (centro de rotção) Em primeiro lugr clculm-se L I I ml m ml 3 Os efeitos ngulres são: L cso ml m ml 3 4 cso ml m L ml 3 3 cso ml 3 Pode concluir-se que introduzindo s forçs de inérci num ponto diferente em vez de ser no centro de mss este procedimento induz em erros grves. No entnto, num cso prticulr em que será utilizdo pens o equilíbrio dos momentos em torno do centro de rotção (fixo) e não forem utilizds s outrs equções de equilíbrio dinâmico, é possível reduzir inérci do corpo este centro de rotção. Este fcto será utilizdo no cpítulo de vibrções rotcionis. firmção tem vlidde gerl, no entnto o corpo (que pode envolver vários corpos elementres) tem que estr sujeito um único movimento, que é rotção em torno de um ponto fixo. Este fcto não se lter o longo do movimento, ou sej qundo velocidde ngulr será diferente de zero, porque componente d celerção ngulr vi estr direcciond o centro de rotção e por isso não vi contribuir o efeito rotcionl de inérci.

5 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 Relç-se nest prte utilizção correct ds uniddes. Visto s forçs de inérci e de peso envolverem s celerções, su combinção com unidde de mss deve corresponder à unidde ds forçs plicds o sistem. ssim conselh-se utilizção d combinção: kg,m,n,s ou ton,m,kn,s Há mis um ssunto que é importnte trtr com cuiddo: s estruturs e mecnismos serão definidos de modo que nem tods s prtes terão mss que será necessári pr resolução do problem, ou sej lgums prtes poderão ter mss do vlor muito pequeno, ou sej desprezável. Nturlmente s forçs de inérci serão introduzids pens ns prtes com mss considerd. onsiderndo mss, dever-se-i considerr igulmente o peso, mesmo qundo o peso pode não ser únic origem do movimento, porque podem existir forçs externs plicds o sistem. Se não for dito de um form diferente, os pesos cturão n direcção verticl, pr bixo. Ms podem existir csos em que inérci será indispensável, ms o peso poderá ser desprezdo. Isso por ter vlor pequeno em relção à forç de inérci, ou por não ctur n direcção predominnte o movimento. Estes fctos serão clrmente definidos nos enuncidos dos problems. Outro cso em que é necessário considerr inérci e não o peso, é qundo o peso ctu n direcção perpendiculr o plno do movimento..3 Problems que envolvem s estruturs reticulds com DL resolução dos problems deste tipo vi sempre envolver um forte prte de cinemátic. Nomedmente é preciso determinr s celerções nos centros de grvidde de tods s brrs com mss. posição d estrutur definid no enuncido pode ser posição do repouso ou posição em que existem s velociddes. O cmpo de velociddes é necessário pr determinção ds componentes normis de celerção. No entnto deixndo prâmetro incógnito pr s celerções, é impossível resolver ind outro prâmetro que identific s velociddes, ou sej s velociddes devem ser completmente determináveis usndo os ddos do enuncido. Problem onsidere estrutur representd n figur o ldo. lcule s celerções ngulres ds brrs dmitindo que n posição mostrd velocidde ngulr d brr é 4rd/s no sentido ntihorário e que s brrs têm mss distribuíd no vlor de kg/m. 4N m 4m Not: use g 0m/s Resolução omeç-se pel nálise do possível movimento plicndo s regrs d cinemátic. cinemátic terá ssim 3 prtes, determinção de velociddes, determinção de celerções, e determinção de celerções nos centros de mss.

6 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 s velociddes Pr uxilir determinção ds velociddes, determinm-se primeiro os IRs. O objectivo dest prte é determinr s velociddes ngulres de tods s brrs, porque são estes vlores que são necessários pr s componentes normis de celerção. De cordo com figur o ldo: 4rd/s, 0 Os sentidos ds velociddes ngulres não fectm resolução do problem. s celerções orpo I fz movimento de rotção; introduzindo celerção ngulr podem-se determinr s componentes de celerção no ponto. orpo II tem um poio externo móvel, como tl celerção neste lugr terá um únic componente n direcção do movimento. seprção do movimento (propgção de celerções dit): / em que / corresponde rotção de em torno do ou sej, fixo IR I IR IR, II d comprção ds componentes verticis: (horário) 8rd/s Não é necessário comprr s componentes horizontis. s leis d cinemátic não são suficientes pr resolver outr celerção ngulr (d brr ) que permnece no lugr d incógnit dicionl, tl como explicdo n introdução. s celerções nos centros de grvidde determinção segue s mesms regrs como determinção nterior. Destc-se que pr um correct introdução ds forçs de inérci conselh-se nos centros de grvidde mrcr tmbém s celerções ngulres. Determinção uxilir em que corresponde / ou sej / / /, fixo / / /

7 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 s forçs (e os momentos) ctuntes Record-se que s forçs de inérci ctum nos sentidos opostos às celerções m /, x m / g 6 0, y m 8, x m g, y / 44, x I I m 3 H V 8 I m 3 Neste momento há como incógnits 3 componentes de recções externs, componentes de recções interns e um celerção ngulr. Pr isso há 6 equções de equilíbrio linermente independentes. Visto o objectivo ser o cálculo d celerção ngulr, é vntjoso escolher s equções de equilíbrio que não envolvm muits recções externs, nomedmente: Equilíbrio dos momentos d brr em torno : 8 V Equilíbrio dos momentos d estrutur complet em torno : 8 V Substituindo primeir equção, segund equção pode ser simplificd rd/s (nti-horário) 3 7 Pr terminr, sublinhm-se 4 fctos: ) forç plicd originou o movimento e usndo s equções de equilíbrio dinâmico foi possível determinr o cmpo ds celerções; forç plicd não serviu no entnto pr determinção ds velociddes e por isso s velociddes form definids pelo ddo dicionl do problem ( ddo foi suficiente, porque e estrutur represent um mecnismo com DL); ) O peso d estrutur não fectou os vlores ds celerções, ou sej neste cso o movimento foi provocdo e determindo somente pel forç horizontl plicd; est firmção é vlid pens nesse instnte; 3) Sem fzer cálculos pode-se concluir que num instnte de tempo diferente, geometri d estrutur implicv váris lterções n determinção de celerções (e velociddes) e n form ds equções de equilíbrio; de mneir nenhum o cálculo dv os mesmos vlores ds celerções ngulres e por isso e movimento tem crcterístics completmente geris. 4) Visto que s equções de movimento representm s equções de equilíbrio de um mecnismo com DL, pode-se usr o PTV pr resolução d incógnit cinemátic. resolução torn-se ind mis fácil porque s recções externs não relizm trblho e por isso não estão entrr n equção do trblho virtul. O cmpo de deslocmentos virtuis ssemelh-se o cmpo de velociddes já determindo, ou sej relção entre s velociddes ngulres é igul à relção entre s rotções dos corpos de movimentos 4N I, y, y, x V

8 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 diferentes. utilizção do PTV n resolução ds equções de movimento tem especilmente vntgem nos problems, em que s recções dinâmics não são solicitds..4 Utilizção do PTV n resolução ds equções de movimento Tl como especificdo cim, resolução do problem nterior pode simplificr-se com implementção do PTV. 4N, y I I, y, x, x I 4 0, x, x ou sej rd/s (nti-horário) 3 3 Est form de resolução lém de ser mis simples, permitiu deduzir directmente d deformd virtul, que nest posição do mecnismo os pesos não estão contribuir o movimento. Problem N posição representd, brr tem um velocidde ngulr de 4rd/s no sentido horário. Determine s celerções ngulres de tods s brrs, sbendo que ests têm um mss por unidde de comprimento de 5kg/m. Not: use g 0m/s Resolução Velociddes Em primeiro lugr definem-se os corpos com movimentos diferentes e os seus IRs. Usndo os IR define-se o cmpo de velociddes. Pr s celerções normis pens s velociddes ngulres são exigids. D semelhnç dos triângulos h 60 h 60mm rd/s (nti-horário) I 60 IR II IR 3 III 4 3 IR

9 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, rd/s (horário) 3 Visto que um ddo de velociddes foi fornecido, o cmpo de velociddes está plenmente determindo. celerções Pr s celerções nenhum ddo é fornecido, isso signific que é possível estbelecer dus equções que interligm s celerções, ms um prâmetro vi ficr como incógnit. omprndo s componentes no ponto : D ou sej e celerções nos centros de mss (figur) orçs ctuntes Pr s forçs é necessário mudr unidde mm pr m. s msss ds brrs são: m 50, 0,5kg, m 50,08 0,4kg D m 5 0,03 0,06 0,5 5kg Os momentos de inérci I I 3 4 4,7 0 kgm,,6 0 kgm 4 I,3 0 kgm 4 equção finl será resolvid usndo o PTV. Isso signific que s recções externs serão directmente removids. outr vntgem d plicção do PTV é que os ângulos do cmpo de deslocmentos virtuis estão relciondos à mesm proporção como s velociddes ngulres, n relidde é possível usr estes vlores directmente n equção: 5 4I 0,05 0,05 I 0,06 4,64 0,04 0,04 0, 0,6 0 3 I 0, 050, 05 5,5 5 0, 05 00, Verific-se que no cso dos IRs fixos, componente norml de celerção não está contribuir n equção e foi possível directmente resumir inérci destes corpos os IRs correspondentes. I IR 4 6,67 0 kgm, I IR 3 5,03 0 kgm 4 / / 3 D / 3 / 3 3 D / D 3 / I 0,05 I 3 3 5,4 I 0,05 3 0,5, ,04 0, 0,06 4,64 IIR IIR I, ,04 0, 0,06 4,64

10 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 ssim: 5 4IIR I 0,06 4,64 0,04 0,04 0, 0,6 0 IIR 3 3,5 5 0, 05 00, Resolvendo: 3 45,rd/s (horário). 36,74rd/s (horário), 7,75rd/s (nti-horário), Problem N posição representd o conjunto de brrs está em repouso. Determine s celerções ngulres de tods s brrs, sbendo que ests têm um mss por unidde de comprimento de 5kg/m. Not: use g 0m/s Resolução I IIR 3 3 Neste cso s velociddes ngulres são nuls, e por isso 5 III,5 5 será possível utilizr o IR móvel tmbém. É possível II implementr s velociddes ngulres do problem 0 4 nterior no lugr de rotções virtuis como justificdo n resolução nterior. Usndo os resultdos nteriores 60 s relções entre s celerções simplificm-se pr 0,63 e 0,375 3 Ests relções form possíveis encontrr usndo os IIR IRs e estão ssim n mesm proporção como estvm s velociddes ngulres do problem nterior e como IR estão os ângulos do cmpo de deslocmentos virtuis. Neste cso 4 IIR m 0, 08 0, 04 0,6 0,93 0 kgm m e 5 0 4IIR IIR 40,04 IIR 3 3,5 5 0,05 00, Resolvendo: 45,5rd/s (horário), 53, 44rd/s (nti-horário), 3 40,8rd/s (horário)..5 Utilizção ds celerções n resolução do movimento finito Problem onsiderndo que brr n figur o ldo tem mss m, o comprimento L e que está em repouso n posição presentd, clcule velocidde ngulr pr posição verticl d brr. IIR IR IR

11 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 Resolução Este problem pode ser fcilmente resolvido usndo conservção d energi mecânic, ms existe tmbém possibilidde de o resolver usndo s equções de movimento. É necessário ter cuiddo com s conclusões relcionds o tipo do movimento. orçs de inérci omo posição inicil é posição do repouso, s celerções normis são nuls e s forçs de inérci são s mostrds n figur. orçs ctuntes Pr evitr envolvimento ds recções no poio, pode-se escrever o equilíbrio dos momentos em torno do poio. H I L L 3 m ml 0 g L V Neste momento seri errdo concluir que o movimento é uniformemente celerdo, pesr cinemátic L de o resultdo d celerção ngulr precer n indicr ssim. Pr resolver o problem,, correctmente, é necessário resolver celerção num ds posições intermédis. N posição L rodd pelo ângulo já existe lgum velocidde t ngulr, que será contempld no cálculo. O forçs I L equilíbrio dos momentos em torno do poio: H m L 3 cos cos m L ml 0 g L m L V O resultdo cim pr 0 confirm o resultdo nterior, no entnto not-se que celerção ngulr depende d posição e não é constnte. Pr resolver o problem é necessário fzer integrção seguinte: d d d f f d f f d d d d dt d dt i i dt i i ou sej / 3g cos f d d 0 L i 3g / f 3 sin 0 f L g L inérci Pr terminr sublinh-se que: ) Usndo o primeiro resultdo e dmitindo o movimento uniformemente celerdo, dv: 3g t f L O que não é igul o resultdo clculdo pelo procedimento correcto. forçs m L/ I m L/

12 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 ) conservção d energi mecânic dv de imedito: L 3g V 0, T 0, V, T ml f, ou sej f 3 L O procedimento será explicdo mis trde, ind neste cpítulo..6 Problems que envolvem s rods (discos, esfers) Pr resolver correctmente problems em que estrutur nlisd envolve rods, é necessário explicr introdução ds forçs de trito..6. trito Neste cpítulo s forçs de trito serão determinds somente pel teori de oulomb. Teori de oulomb Escorregmento dmite-se um bloco de dimensões desprezáveis colocdo em cim d superfície horizontl. plicção de um forç prlel com superfície não origin necessrimente o movimento. Primeiro é necessário ultrpssr máxim forç de trito estático. Est forç ctu n superfície de contcto e tem su origem n rugosidde de mbs s superfícies. Ultrpssndo est forç, inici-se o movimento e n superfície de contcto ctu forç de trito dinâmico (cinético): ) Sem movimento plicndo um forç reltivmente pequen, est não consegue provocr o movimento. Não hvendo movimento, s forçs ctuntes são: forç plicd, o peso P, recção de superfície N e por isso forç de trito terá intensidde e o sentido que ssegur o equilíbrio. N Em gerl diz-se que nem intensidde, nem o sentido d forç de trito são conhecidos e têm que ser determindos, no entnto direcção é definid pel direcção de superfície. Do equilíbrio neste cso segue:. umentndo forç plicd, ument forç de trito té tingir o seu vlor limite, que é ddo por,mx en, em que e trito estático, definido de cordo com rugosidde ds superfícies. ) om movimento ontinundo umentr forç plicd, inici-se o movimento. Nesse instnte ocorre um diminuição brusc no vlor d forç de trito, ou sej durnte o movimento o vlor é ddo por cn, e não depende mis do vlor d forç plicd (mntém-se constnte). Reltivmente o bloco, forç de trito ctu no sentido oposto o movimento (não à celerção). Devido o movimento há forç de inérci, e forç de inérci ument com o umento d forç plicd. Em gerl diz-se que intensidde e o sentido d forç de trito são conhecidos. sem movimento forçs P é o coeficiente do commovimento forçs m P N

13 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 O coeficiente neste cso segue: seguinte modo: c chm-se o coeficiente do trito cinético e verific c e forçs. Do equilíbrio m. rficmente é possível representr os dois csos do,mx m cn c umento d forç plicd sem movimento commovimento No gráfico cim rect zul represent forç plicd e rect vermelh forç de trito. té se inicir o movimento. pós o início, e com o umento d forç, ument celerção do movimento que est forç induz e forç de trito mntém-se constnte. O gráfico deve ser utilizdo d seguinte form: sbendo o vlor d forç plicd, encontr-se este vlor n rect zul, e consonte est posição deduz-se se est forç induz ou não o movimento. Em cso firmtivo, pode se retirr o vlor d su celerção. O cso d superfície inclind é semelhnte, pens é necessário decompor o peso. ) Sem movimento forçs sem movimento P Do equilíbrio neste cso segue: sin. umentndo forç plicd, ument forç de trito té tingir o seu vlor limite, que é ddo por,mx N cos. ) om movimento commovimento e e Do equilíbrio neste cso segue: m sin cos m sin. rficmente é possível representr os dois csos do seguinte modo: m c N forçs N P forçs,mx m sin cn c cos umento d forç plicd sem movimento commovimento

14 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 No gráfico cim rect zul represent forç plicd, rect vermelh forç de trito e rect verde forç plicd mis o créscimo do peso sin, ou sej forç totl que promove o movimento. té se inicir o movimento sin. pós o início, com o umento d forç, ument celerção do movimento que forç induz e forç de trito mntém-se constnte. O gráfico deve ser utilizdo d seguinte form: sbendo o vlor d forç plicd, encontr-se este vlor n rect zul, e consonte est posição deduz-se se est forç induz ou não o movimento. Em cso firmtivo, pode-se retirr o vlor d su celerção. Not-se neste cso, que no cso d superfície inclind há dois fctores que fcilitm o início do movimento:. componente do peso sin ctu fvor d forç plicd, ou sej jud inicir o movimento, qundo mior o declive d superfície, tnto mior est contribuição.. outr componente do peso cos equivle à recção de superfície. om umento do declive recção de superfície diminui-se, o que bix o vlor d forç de trito que ind impede o movimento, e cos. Imeditmente pós do início do movimento, forç de trito bix bruscmente pr cos e mntém-se constnte. O equilíbrio ssegur forç de inérci. om umento c d forç plicd ument forç de inérci, ou sej ument celerção do movimento induzido. Rolmento sem o escorregmento onsiderndo s rods que rolm sem escorregmento sobre superfícies horizontis, pode-se fcilmente concluir que cd forç plicd prlel com superfície origin o movimento. Isso porque rod está n superfície horizontl em equilíbrio indiferente e o contcto relizse pens vi um ponto. Visto não hver deslocmentos reltivos entre superfície e rod, no que concerne o cálculo d forç de trito, situção é nálog um bloco em repouso. Ou sej, forç de trito cri-se n direcção de superfície, ms o seu sentido e su intensidde têm que se determinr de modo ssegurr o equilíbrio. Est forç no entnto não pode ultrpssr o vlor máximo que é nlogmente igul N. Ultrpssndo este vlor, o rolmento será com o escorregmento.,mx forç de trito é um forç não conservtiv. Isso pode comprovr-se pelo fcto, de el seguir form de superfície, e por isso o trblho que reliz é dependente do cminho que percorre. onsidere-se por exemplo um bloco de peso P que se move sobre um plno horizontl, ou sej o peso ctu n direcção perpendiculr o plno mostrdo n figur o ldo e corresponde à recção de superfície. Se o cminho for de pr directmente (set zul) o trblho relizdo é P. Se chegr o mesmo ponto vi (sets verdes) o trblho relizdo é mior, P. Por est rzão forç de trito perde energi mecânic e trnsform- num form diferente (clor, som). No entnto, perd de energi só se reliz no cso de escorregmento. Ou sej, forç de trito durnte o rolmento sem o escorregmento não e

15 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 reliz trblho e por isso não perde energi mecânic, mesmo que rod em cus efectue lgum movimento. N relidde, forç de trito cri-se em cd instnte de tempo, ms visto que não há deslocmentos reltivos entre superfície e rod, distânci percorrid pel forç de trito é nul o que implic o trblho nulo..6. Problems Problem Um tmbor com rio r está ligdo um disco de rio R. O disco e o tmbor têm um mss totl m e um rio de girção k. Lig-se um cord como se mostr n figur e pux-se com forç. Sbendo que o disco rol sem escorregr, determine: ) celerção ngulr do disco ; b) o mínimo vlor do coeficiente de trito estático comptível com o movimento. Resolução ) É indiferente sber se há ou não um velocidde ngulr, porque no centro de mss não há componente norml de celerção. celerção do centro de mss tem que ser prlel com superfície. omo não há escorregmento, componente tngencil de celerção do ponto do contcto é nul. forçs celerções Verific-se que neste problem há 3 incógnits:, de equilíbrio dinâmico. Equilíbrio ds forçs n direcção verticl: N 0 N e N pr s quis existem 3 equções Pode-se ssim concluir que pr o problem fzer sentido, forç plicd não pode ultrpssr o peso do tmbor, porque forç d recção de superfície N tem que ctur no sentido indicdo, o que ssegur o contcto entre o tmbor e superfície. Equilíbrio ds forçs n direcção horizontl: m 0 m R R Equilíbrio dos momentos em torno do centro de mss: I r mk r R I 0 R Relç-se que qundo é ddo o rio de girção, não é necessário clculr o momento de N m inérci, ms bst utilizr definição, que é k I m

16 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 r Resolvendo: m k R Vê-se que fórmul cim dá sempre um número positivo, por isso o sentido rbitrdo como nti-horário está correcto. b) Pr ssegurr que o rolmento ocorre sem o escorregmento, é necessário mnter N,mx e ou sej rr rr e,mx e,mx k R k R.7 diferenç entre cinemátic e dinâmic Os problems de cinemátic e dinâmic podem ter enuncidos muito semelhntes. Por isso é necessário sber distinguir os problems correctmente. Os problems d cinemátic têm imensos ddos que especificm o movimento e por isso su resolução é possível sem ter que envolver s forçs, s mss e inérci. No entnto, como um psso dicionl, é possível resolver s forçs, que derm origem este movimento. Problem Dois discos de fricção e estão mbos rodr livremente 40 rpm em sentido nti-horário, qundo são postos em contcto entre si. pós 8s de escorregmento, durnte os quis cd disco tem um celerção ngulr constnte, o disco tinge um velocidde ngulr finl de 60rpm em sentido nti-horário. Pr r =80mm e r =60mm, determine: ) celerção ngulr de cd disco durnte fse de escorregmento; b) o instnte pr o qul velocidde ngulr do disco é zero. Resolução: ) O problem especificdo é um problem típico d cinemátic. Sbe-se que durnte o escorregmento s velociddes no ponto do contcto dos discos são diferentes e ssim permitem o deslocmento reltivo não nulo. Depois de terminr o escorregmento, o deslocmento reltivo é nulo e por isso velocidde do ponto de contcto é igul. 8 v 8 t 0,8 t 8s 8 r 8 r Usndo os sentidos indicdos e escrevendo s equções no sentido nti-horário:

17 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, ,3rd/s (nti-horário) , 8rd/s (nti-horário) 60 r 8 8 8,38rd/s (horário) r Resolvendo,36rd/s (horário), 4,9rd/s (horário), b) t t t s Problem Dois discos de fricção e estão mbos rodr livremente 40 rpm em sentido nti-horário. O disco tem um mss de 6kg e o disco tem um mss de 3kg. Os discos são colocdos em contcto entre si, pel plicção de um forç horizontl de 0N sobre o eixo do disco. Sbendo que μ c =0.5 entre os discos e desprezndo o trito nos poios, determine: ) celerção ngulr de cd disco durnte fse de escorregmento; b) velocidde ngulr finl de cd disco; c) o tempo de durção d fse de escorregmento. onsidere r =80mm e r =60mm. Resolução ) o contrário do problem nterior, este é um problem típico de dinâmic. Existem no totl 6 incógnits: dus componentes de recção no disco, um no disco, dus celerções ngulres, e um forç de contcto N. Neste cso forç de trito é conhecid, porque ocorre o escorregmento. Pr s 6 incógnits tmbém há 6 equções de equilíbrio, 3 em cd disco, ms como não é do interesse clculr s recções, pode-se resolver d equção de equilíbrio n direcção horizontl forç de contcto, ou sej: N e usr pens o equilíbrio dos momentos pr resolver s celerções. c I cr 0,5rd/s mr c I cr 0 33,3rd/s mr cinemátic t 0, t e Deve-se ind concluir que o cálculo efectudo não se lterv com posição dos discos, que permnece igul, por isso celerção ngulr é constnte. R I forçs cn I N N N c R

18 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 b+c) terminndo o problem tl como o problem nterior: t 0 t t 0 t tr tr 0tr 0 tr,7 0, 47rd/s (nti-horário),7 3,96rd/s (horário) 5,3,5t 0,08 5,3 33,3t 0,06 t,7s Voltndo o problem nterior, sbendo s celerções poder-se-i clculr forç que foi necessário plicr pr crir s condições de movimento especificds. Ds relções deduzids vê-se por exemplo que s msss dos discos deverim verificr relção mr mr Se est relção fosse verificd, clculv-se forç plicd usndo m r m r c c 3. lei d conservção d energi mecânic 3. Introdução energi mecânic totl do sistem contempl dus prcels: energi potencil e energi cinétic. energi potencil foi bordd no cpítulo PTV e por isso bst definir energi cinétic. energi cinétic de um prtícul é dd por T mv Verific-se ssim que energi cinétic terá sempre um vlor positivo e esclr. Vê-se directmente que unidde corresponde à unidde de energi, ou sej, Nm=J. N fórmul deve ser utilizd intensidde de velocidde. Sbendo s componentes de velocidde num referencil crtesino, ou sej sbendo s componentes ortogonis, não é necessário clculr intensidde, e pode-se somr contribuição de cd componente T mvx mvy mv Est relção nturlmente não é válid pr componentes que não são ortogonis, nesse cso seri necessário fzer primeiro som vectoril ds componentes de velociddes. É possível estender este conceito os corpos rígidos, ms neste cso energi cinétic tem que brnger tods s possibiliddes de movimento. onsiderndo um corpo rígido em trnslção, é preciso somr s energis cinétics de tods s prtículs que o constituem, que no limite define integrção de efeitos elementres sobre o volume do corpo. É possível concluir que energi cinétic é definid d mesm mneir como pr prtícul.

19 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 onsiderndo o corpo rígido em rotção, é novmente necessário somr s energis cinétics de tods s prtículs. Neste cso o movimento é definido pel velocidde ngulr, existe o IR e intensidde d velocidde v de cd v d d prtícul pode exprimir-se como IR, p onde, IR p represent distânci d prtícul o IR. Somndo pelo volume do corpo, obtém-se pr o cso de densidde constnte: T dir, p dv dir, pdv IIR V V Em resumo, durnte o movimento plno gerl, energi cinétic pode-se exprimir de dus forms equivlentes: T IIR I mv iguldde é fácil de comprovr vi teorem de Steiner I mv I mdir, I mdir, IIR 3. Semelhnçs com s forçs de inérci pesr de s forçs de inérci e energi cinétic representrem quntiddes físics completmente diferentes, su definição us s mesms crcterístics do corpo rígido e mbs contemplm dus prcels : um ligd à trnslção com o centro de mss, e outr à rotção em torno do centro de mss i m, Mi I T I mv Diferençs fundmentis s diferençs fundmentis estão relcionds com o tipo de cd um ds grndezs físics: s forçs de inérci representm o vector de forç e do momento e energi cinétic é um esclr. Por est rzão há possibilidde, sempre que conveniente, usr form T I IR pr cd corpo em movimento diferente e depois somr s contribuições. No entnto, como se comprovou no início deste cpítulo, redução um único momento de inérci M I é possível pens qundo existe somente corpo (possivelmente composto por i vários corpos elementres) em rotção em torno de um ponto fixo, que represent o centro de rotção (e ssim coincide com o IR) e somente o equilíbrio dos momentos será utilizdo em torno deste ponto n resolução do problem (será o cso ds vibrções rotcionis). Excepcionlmente, qundo se consider o instnte em que s velociddes são nuls, o mesmo verific-se pr os IRs.

20 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 Tl como n explicção d tribuição ds forçs de inérci, pode-se concluir que no cso do corpo com o mesmo movimento, ms composto pelos corpos elementres (mis simples e/ou de densiddes diferente), é possível somr contribuição de cd corpo elementr. 3.3 Simplificções Problem onsidere brr com mss concentrd de cordo com figur o ldo. dmit que o conjunto está rodr em torno do poio com um velocidde ngulr. Determine energi cinétic considerndo os corpos elementres em conjunto e seprdos. Resolução mpo de velociddes ml, M x L / L x N figur à esquerd os corpos elementres (brr e mss concentrd) são considerdos em seprdo, por isso há dois centros de grvidde e em mbos form determinds s velociddes de trnslção. N figur à direit existe pens um centro de mss onde s componentes de velocidde liner form introduzids. Nturlmente velocidde ngulr pode ter designção igul porque está representr o mesmo movimento, no entnto, ntes de proceder é necessário clculr o centro e mss do conjunto: ml /ML x m M Pr figur à esquerd L L T m ml M L ml m ML ml ML I 3 Not-se que mss concentrd não contribuiu com su prcel rotcionl, isso porque o rio foi designdo como desprezável e por isso mss concertd teve comportmento de um prtícul que não sofre rotção. Pr figur à direit ml ML / T m M I m M onde L I ml mx M L x

21 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 m M m M m M m/m M m T L m m M m/m m mm m M mm m mm mm 3 3 L L m M 4m M m M m 3M 4mM m 3M L L ml ML 3m M 3 I 3 Not-se que em mbos os csos foi possível considerr directmente pens rotção em torno do poio, ou sej T I Demonstrou-se que o cálculo que usou os corpos elementres foi mis simples e por isso será utilizdo preferencilmente. Relç-se mis um vez necessidde de utilizr s componentes de velocidde no centro de grvidde ou reduzir form o IR. figur bixo mostr que usndo pontos diferentes, energi cinétic é diferente, o que origin erros no cálculo. Pr simplificr usou-se pr est demostrção pens um brr de comprimento L e mss m. Em primeiro lugr clculm-se L I I ml m ml 3 L cso : T ml m I 4 cso : T ml m L ml 3 3 cso: T I L / Pode-se concluir que introduzindo s velociddes num ponto diferente do que no centro de mss, este procedimento induz erros grves. No entnto é possível reduzir expressão pr energi cinétic do corpo usndo o seu IR. L

22 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, Problems Problem onsiderndo que brr n figur o ldo tem mss m, o comprimento L e que está em repouso n posição presentd, clcule velocidde ngulr pr posição verticl d brr. Resolução Este problem já foi referido no início deste cpítulo. conservção d energi mecânic dv de imedito: V 0, T 0, V L, T ml f, ou sej f 3 3g L posição posição Explicção: Pr resolver o problem, ssinlm-se dus posições: inicil () em que sbem-se s condições de movimento e finl () em que se pretende clculr lgum incógnit. N posição () brr está em repouso e por isso energi cinétic é nul. energi potencil, como já explicdo no cpítulo PTV, pode ter contribuições de dus forms: energi cumuld em mols e o negtivo do trblho ds forçs externs. No entnto, pode-se ssumir o nível zero pr s forçs externs, tl como já foi feito no cpítulo PTV. omo não há mols, energi potencil n posição () pode ser tmbém considerd nul. N posição () já existe lgum velocidde, por isso energi cinétic já é diferente de zero. Visto brr fzer um rotção em torno do poio, é possível reduzir fórmul usndo o IR e velocidde finl ngulr f. Reltivmente à energi potencil, vê-se que únic forç que fz trblho entre s dus posições é o peso d brr, o trblho é positivo e equivle L e por isso energi potencil n posição () é negtiv, definid pelo negtivo do trblho, tl como já explicdo no cpítulo PTV. omprndo os níveis de energi ns posições () e (), clcul-se incógnit do problem. Relç-se mis um vez que equção é esclr e por isso permite pens determinção de incógnit. Problem onsidere brr com mss concentrd de rio desprezável de cordo com figur o ldo. dmit que o conjunto n posição presentd está em repouso. Determine energi potencil e cinétic do conjunto n posição rodd pelo ângulo. Not: considere energi potencil n posição de repouso nul. Resolução N posição () s velociddes têm distribuição como visulizdo o ldo. Outr figur mostr s forçs. s IR v L ml, cinemátic M M v L

23 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 únics forçs ctuntes são os pesos, foi indicdo dmitir energi potencil nul n posição (), por isso energi potencil n posição () corresponde o negtivo do trblho dos pesos: L V sin MgLsin T mv ml Mv ou directmente T IIR IIR ml ML 3 Se o rio R d mss concentrd não for desprezável: T mv ml Mv MR contribuem com trnslção e rotção, ou directmente: ou sej, mbos os corpos elementres T IIR IIR ml MR ML 3 ind poderi considerr-se que o comprimento (efectivo) d brr pssv pr L R. Problem Um cord está enrold à volt de um cilindro de rio R, rio de girção k e mss m, ssim como se visuliz n figur o ldo. Sbendo que o cilindro é libertdo do repouso, determine ) velocidde do seu centro pós ter-se deslocdo pr bixo um distânci s ; b) forç no cbo N. posição Mg M L sin posição Lsin Resolução pergunt d líne ) indic clrmente como o método mis vntjoso conservção de energi mecânic. posição s posição IR cinemátic v N posição () s velociddes são nuls e únic forç ctunte é o peso do cilindro, no entnto é possível dmitir nível zero pr energi potencil, ssim: V 0, T 0 N posição () o cilindro já tem lgum velocidde. O cmpo de velociddes é possível determinr com o uxílio dos IRs. Visto que cord está fix no topo, todos os pontos do troço verticl têm velocidde nul, o que determin o IR n posição mostrd. O centro do cilindro é o único ponto do cilindro que tem trjectóri verticl e por isso su componente de velocidde tem que ser verticl. Estes dois fctores permitem determinr velocidde ngulr.

24 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 o contrário do problem nterior, determinção mis vntjos d energi cinétic usv o centro de mss. v k T mv I mv mk mv R R No entnto utilizção do IR dv nturlmente o mesmo resultdo. v k T IIR mk mr mv R R únic forç que fz trblho é o peso do cilindro e por isso V s Resolvendo equção V T V T obtém-se: gs v k R b) Pr clculr forç no cbo, tem que se cortr o cbo pr forç intern poder fzer o trblho. N N posição s posição únic lterção n resolução trzi o trblho d forç no cbo. Pr determinr o trblho relizdo por est forç, tem que se somr os trblhos elementres. No entnto o deslocmento infinitesiml no lugr de ctução d forç N é nulo, porque ds vdt 0dt 0. Isso é um fcto já conhecido porque sbe-se, que o cmpo de velociddes represent igulmente o cmpo dos deslocmentos infinitesimis em cd instnte, e consequentemente o cmpo dos deslocmentos finitos, necessários pr o cálculo dos trblhos relizdos. Por isso cinemátic IR deslocmentos pr o cálculo dotrblho cinemátic v IR v v 0 s s O que igulmente justific que o peso do cilindro relizou o trblho no cminho s. Infelizmente deve-se concluir que neste cso é impossível resolver forç no cbo usndo conservção d energi mecânic. Este vlor pode ser no entnto resolvido vi equções de movimento cinemátic R celerções no R I forçs N m mk R R

25 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 Estão disponíveis dus equções pr dus incógnits: N m 0 0 NR mk R Resolvendo: g, N k R R k É importnte ver que solução não se lterv considerndo outro instnte de tempo, porque celerção norml no primeiro ponto de contcto entre cord e o cilindro, que depende d velocidde ctul, não fect o cálculo. ssim pode concluir-se que forç no cbo e celerção do centro do cilindro são constntes o longo do movimento. Isso n relidde permite confirmr o resultdo d líne nterior. onsiderndo o movimento uniformemente celerdo: s t, v t gs, ou sej v s k R Problem O cilindro (m, r ) está ligdo trvés de um cord o cilindro (m, r ). Se o sistem for libertdo do repouso, determine velocidde do centro do cilindro pós este mover-se um distânci s pr bixo. Determine igulmente os esforços xiis ns prtes livres d cord. Resolução resolução pode ser feit trvés ds equções de movimento ou usndo conservção d energi mecânic. Pr mbs s resoluções é necessário efectur primeiro prte de cinemátic. Tl como no problem nterior o troço d cord fixo no topo tem velocidde nul, e por isso o primeiro ponto de contcto com o cilindro represent o seu IR. cinemátic IR v v v IR Pode-se ssim determinr distribuição de velociddes sobre o diâmetro do cilindro. Visto cord n prte livre entre os dois cilindros ter velocidde únic, velocidde do cilindro trnsfere-se o cilindro. Os triângulos sobre os diâmetros dos cilindros podem representr 4 grndezs físics: (i) deslocmentos infinitesimis; (ii) deslocmentos que podem ser usdos pr exprimir o trblho relizdo pels forçs constntes ctuntes ness direcção; (iii) velociddes; (iv) componente verticl ds celerções.

26 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 Equções de movimento: r cinemátic celerções nos r I forçs I R N N m N É possível evitr introdução d recção no cilindro, porque pr s 3 incógnits N, N, é possível escolher 3 equções que não envolvem s recções. Nomedmente, somtório dos momentos nos cilindros e e somtóri ds forçs no cilindro. ilindro : Nr I mr mr, ou sej N m r r ilindro : N r N r I m r m r, ou sej N N m m g N N m Resolvendo: 3m 4m N, m 3m 4m, N m g m m 3m 4m Not-se que resolução não foi fectd pel posição ctul dos cilindros, ou sej celerção e os esforços determindos estão contntes o longo do movimento, por isso v s 4s 3m 4m Pr resolução ds celerções, foi tmbém possível utilizr o PTV. Pr isso determinv-se ind os deslocmentos virtuis, com uxílio ds figurs nteriores I I m u m gu 0 u u mr mr mu u 0 r r r r m m m m g 0 3m 4m IR u u u deslocmento virtul IR

27 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 onservção d energi mecânic: onsiderndo o conjunto completo, únic forç que reliz o trblho entre s dus posições é o peso do cilindro, por isso, de cordo com s figurs cim: V 0, T 0 V m gs v 4v 3 T m v I I m v m r m r m v m v r r 4 Resolvendo v 4s 3m 4m Sbendo velocidde, pode-se resolver o esforço xil no cbo ilindro V 0, T 0 V m gs N s T 3 m v 4 Resolvendo m N 3m 4m ilindro V 0, T 0 V N s T m v Resolvendo m N 3m 4m Not-se que é impossível por este método resolver o esforço N. Outr conclusão importnte é que qundo um cbo ou cord pss pel rod de rio não desprezável, o vlor d forç no cbo lter-se. 3.4 orçs de trito s forçs de trito são forçs não conservtivs, e por isso pr els o princípio d conservção d energi mecânic não é vlido. Ms como se consegue clculr o trblho relizdo pels forçs de trito, pode-se incluir o negtivo deste trblho como um perd de energi mecânic e ssegurr ssim iguldde de dois níveis energéticos. Problem brr está ligd trvés de pinos dois discos uniformes. Sbendo que o sistem é libertdo do repouso n posição visulizd n figur bixo, determine velocidde do

28 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 centro de mss d brr depois de o disco ter roddo 90º no sentido horário. onsidere r r r /. r Resolução Novmente pode-se dmitir que V 0, T 0 inemátic n posição () IR, O conjunto de 3 corpos form um mecnismo com DL, estti pode ser clculd d mesm mneir como n Estátic, dmitindo que o IR ds rods é equivlente o IR ds brrs, ou sej retir DL tl como o poio fixo. O fcto de se conseguir representr o cmpo de velociddes usndo prâmetro confirm tmbém que o mecnismo tem DL. brr fz movimento de trnslção no instnte representdo n figur cim. Pr exprimir energi cinétic, tl como já explicdo pr s rods, form mis vntjos us o centro de mss e não o IR. T mv I mv mv I v v m4v m4r m v mv mr r r 3 v 3m m m 4 v v IR v v v v r v v v r IR Energi potencil n posição () posição posição N,, N N, r /, N

29 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 Neste cso s forçs de trito não relizm trblho. Os pesos dos discos e s recções de superfície tmbém não, visto serem forçs verticis sujeits às trjectóris horizontis. Por isso pens o peso d brr fz trblho (positivo), ou sej V r Resolvendo: v v r m m 3m Problem Um bloco de dimensões desprezáveis e de mss m move-se sobre um superfície com uxílio d forç plicd como indicdo n figur o ldo. Determine velocidde do bloco depois de se ter deslocdo pel distânci d, ssumindo que est distânci foi medid prtir d posição de repouso. h h m Resolução Princípio d conservção de energi mecânic Pode-se dmitir V 0, e é válido T 0 N posição () energi cinétic vle T m v energi potencil terá contribuição d forç plicd, e ind tem que ser introduzid perd h m de energi devido à forç de trito. Infelizmente o trblho d forç de trito não é fácil de introduzir s x directmente, porque recção de superfície e consequentemente forç de trito não são constntes o longo do movimento. lterção destes vlores é cusd pel posição do cbo que mud o seu declive (rect pret que pss pel verde té à vermelh) e ssim lter-se contribuição d forç no cbo à recção de superfície. Relç-se que no cso ds roldns de rio desprezáveis, que estão qui representds, forç no cbo mntém-se constnte o longo do seu comprimento. Pode-se escrever: d 0 V s x dx O comprimento s pode ser clculdo como diferenç entre os comprimentos inicil e finl d cord num dd zon. Neste cso considerou se o troço entre o bloco e primeir roldn. ssim, de cordo com figur: d s h h h d h N x d N c

30 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, 06 Pr determinr o outro termo n energi potencil, é necessário nlisr s forçs ctuntes no bloco cn c sin c d d h h h x dx xdx m gd h m gd h ln h h x c c c c 0 0 h h d h d h Pode-se verificr que o trblho d forç poder-se-i obter tmbém pel integrção d d h xdx cos dx h h h d s 0 0 h h x Tl como n relção nterior. Resolvendo h h d h d hc v h h h d ln cgd m m h Equções de movimento: N posição intermédi designd x como nteriormente m m g sin cos 0 c ou sej x c c h h cos sin cg cg m m m h h x m h h x celerção depende d posição x. Pr clculr velocidde é necessário fzer integrção: dv dv dx d v dx vdx dt dx dt 0 0 ou sej d h x c h v cg dx m 0 h h x m h h x Verific-se que os termos sujeitos à integrção são iguis como foi determindo cim, por isso: ch h h d h d v h h h d ln cgd m m h o que confirm o resultdo nterior: h h d h d ch v ln h h h d cgd m h m N m N c

31 Sebent de Disciplin DR, Zuzn Dimitrovová, DE/T/UNL, onjuntos dos corpos rígidos com mols Problem Um crg P de 500N é plicd o mecnismo representdo no ponto. Sbendo que mol encontrse indeformd qundo 5º e que o mecnismo esteve em repouso qundo 0º, determine o vlor d velocidde ngulr n posição do equilíbrio estável. onsidere r=50mm, L=500mm e k=8000n/m. Despreze o peso ds prtes envolvids, ms dmit que mss d brr é m =3kg e d prte semi-circulr é m =kg. Resolução: posição do equilíbrio estável foi determind no cpítulo PTV como,647 rd 94,3º. Durnte resolução do problem tmbém já foi determind energi potencil. Relç-se que neste cso não se pode ignorr energi cumuld n mol n posição inicil, tl como foi possível fzer no cpítulo PTV, ou sej: 5, mol V V kr 80 6,69J 5 cos 96,34J V P V, mol PL kr 80 Reltivmente à energi cinétic: T 0 T I IR posição posição Neste cso é mis vntjoso ligr os dois corpos elementres e utilizr o IR do conjunto. IIR ml mr 0, 75kgm 3 Em resumo 6, ,34 0, 75 7, 43rd/s P L cos