Cálculo I Aul 2 - Cálculo de Volumes Dt: 29/6/25 Objetivos d Aul: Clculr volumes de sólidos por seções trnsversis Plvrs-chves: Seções Trnsversis - Volumes Volume de um Cilindro Nosso objetivo nest unidde é clculr o volume de lguns sólidos usndo integrl definid. Começmos definindo o volume de um sólido prticulr - o cilindro reto - e então clculremos volume de sólidos mis geris usndo proximções por cilindros. Consideremos dus regiões plns R e R 2, que tem mesm form e tmnho e estão situds em plnos prlelos. Chm-se cilindro reto o sólido delimitdo pels regiões R e R 2 e por um superfície lterl gerd por um segmento de ret que tem seus extremos ns fronteirs de R e R 2 e move-se de tl form que fique sempre perpendiculr os plnos de R e R 2. A ltur do cilindro é distânci entre os plnos que contém R e R 2 e bse é qulquer um ds regiões R ou R 2. Se bse R for região delimitd por um circunferênci temos o cilindro circulr. Se R for delimitd por um retângulo temos um prlelepípedo retngulr. Definição. (Volume do Cilindro) O volume V de um um cilindro reto é ddo pelo produto: re d bse ltur. No que segue, denominremos o cilindro reto pens por cilindro. Exercícios. () Clcule o volume do cilindro circulr com ltur h e rio d bse r. áre d bse ltur = áre do círculo h = πr 2 h. (2) Clcule o volume do prlelepípedo retngulr de ltur h e bse o retângulo de medids e b.
2 Cálculo I Prof. Nzré Bezerr áre d bse ltur = áre do retângulo h = bh. (3) Clcule o volume do cilindro de ltur 3 e bse região delimitd pel elípse x2 4 + y2 =. re d bse ltur. Rest então clculr áre d bse, que é região do plno delimitd pel elipse de equção x 2 4 + y2 =. 2 2 áre d bse é dd pel integrl: Are d bse = 4 2 x2 dx. 4 Resolveremos est integrl por substituição trigonométric. Fzendo θ = rcsen( x ) x = 2senθ dx = 2cosθdθ 2 Como novos limites de integrção teremos: θ() = rcsen( ) = e θ(2) = rcsen( 2) = π. 2 2 2 Portnto, x2 4 dx = π 2 sen2 θ2cosθdθ = π 2 2cos2 θdθ = π 2 ( + cos2θ) = [θ + 2 sen2θ] π 2 = π 2. Volume do cilindro = 4 π 2 3 = 6π. 2 Seções Trnsversis Ddo um ponto P (x, ) no eixo x, denotremos por P x o plno que pss por este ponto e é perpendiculr o eixo x.
UFPA Cálculo I 3 Plno P x Definição 2. (Seção trnsversl) Considere um sólido R situdo o longo do intervlo [, b] no eixo x. Ddo x [, b], chm-se seção trnsversl de R em x região do plno determind pel interseção de R com o plno P x. Plno P x cortndo o sólido R Seção Trnsversl R x d interseção o ldo Denotremos por R x seção trnsversl de R em x e por A(x) áre de R x. Observmos que pr cd x [, b] obtemos um vlor pr áre A(x), ssim est áre é um função de x. Exercícios 2. () Considere um esfer de rio r com centro n origem de um sistem de coordends. Ddo x [ r, r] determine áre d seção trnsversl R x. Sejm x [ r, r] fixdo e P x o plno perpendiculr o eixo x pssndo por x. A seção trnsversl R x é um círculo de rio y. Dí, Rest determinr y. A(x) = πy 2.
4 Cálculo I Prof. Nzré Bezerr Q r y x O P Como o ponto Q está sobre esfer, segue que d(q, O) = r. do triângulo retângulo OP Q, segue que x 2 + y 2 = r 2 y 2 = r 2 x 2. Logo áre de A(x) é dd por: A(x) = πy 2 = π(r 2 x 2 ). (2) Considere um cone circulr reto de ltur h e rio d bse r, posiciondo em um sistem de coordends, de modo que seu vértice estej n origem do sistem e seu eixo centrl sobre o eixo x. Ddo x [, h], determine áre A(x) d seção trnsversl R x. Pr cd x [, b] seção trnsversl R x é um círculo de rio y. áre A(x) é dd por: A(x) = πy 2 Pr determinr y usmos semelhnç dos triângulos OAB e OA B, de onde segue que: A A y r O B x B h
UFPA Cálculo I 5 h r = x y y = r h x A(x) = π( r h x)2 (3) Repit o exercício nterior, considerndo que o eixo centrl do cone estej sobre o eixo y. 3 Volume pelo Método ds Seções Trnsversis Vejmos gor como clculr o volume de um sólido R situdo o longo de um intervlo [, b] no eixo x, usndo seções trnsversis. O procedimento é nálogo o que foi feito pr o cálculo de áres. () Começmos dividindo o intervlo [, b] em n subintervlos com extremiddes x, x,..., x n e com lrgurs iguis x = b n ; (2) Pr cd i =, 2,..., n, sej R i fti do sólido posiciondo o longo do intervlo [x i, x i ] e V i seu volume. Então, o volume V deste sólido é ddo por: n V i () i= (3) Agor clculmos o volume V i d fti R i por proximção, usndo cilindros. Mis precismente, escolhe-se um ponto rbitrário x i [x i, x i ] e consider-se o cilindro C i, cuj ltur é x e bse é seção trnsversl R x i de R em x i. o volume do cilindro proximnte C i é ddo por: Volume do cilindro C i = re de R x i x = A(x i ) x. Se x é pequeno, então o volume do cilindro C i é um bo proximção pr V i. pr cd i =, 2,..., temos: V i A(x i ) x. Então, de () segue que: n V i i= n A(x i ) x. (2) i= Como som à direit é um som de Riemnn pr função áre A(x), se tomrmos o limite dest som qundo n, teremos integrl definid d função A(x). Temos ssim seguinte definição do volume de R. Definição 3. Volume por seções trnsversis Se o sólido R se dispõe o longo do intervlo [, b] no eixo x e pr cd x [, b] áre d seção trnsversl de R em x é dd por A(x), então o volume de R é ddo por: b A(x)dx.
6 Cálculo I Prof. Nzré Bezerr No cso de um sólido R disposto o longo do intervlo [c, d] no eixo y, com áre d seção trnsversl de R em y [c, d] dd por A(y), o volume do sólido é ddo por: Exercícios 3. d c A(y)dy. () Clcule o volume de um esfer de rio r. Colocndo esfer com centro n origem de um sistem de coordends, portnto posiciond no intervlo [ r, r], pel definiço cim temos: r r A(x)dx onde A(x) é áre d interseção do plno P x com esfer. Pelo questão do Exercicio (2) est áre é dd por A(x) = π(r 2 x 2 ). r r π(r 2 x 2 ) = 2π r (r 2 x 2 )dx = 2π[r 2 x x3 3 ]r = 4 3 πr3 (2) Clcule o volume de um cone circulr reto de ltur h e rio d bse r. Posicionndo o cone como n questão (2) do Exercício (2), segue que: h A(x)dx = h π r2 h 2 x2 dx = [π r2 h 2.x3 3 ]h = 3 πr2 h. 4 Sólidos de Revolução Chm-se Sólido de Revolução o sólido obtido pel rotção de um superfície em torno de um eixo. Considere f um função contínu, S superfície delimitd pels curvs y = f(x) e y = no intervlo [, b] e R o sólido obtido pel rotção de S em torno do eixo x. y = f(x) S Sólido obtido pel rotção de S em torno do eixo x
UFPA Cálculo I 7 Pel seção nterior o volume V deste sólido é ddo por: b A(x)dx onde A(x) é áre d seção trnsversl de R em x [, b]. Como o sólido é obtido pel rotção de S em torno do eixo x, pr cd x [, b], seção trnsversl R x é um disco circulr de rio f(x), logo A(x) = πf(x) 2 e ssim, Exercícios 4. b πf(x) 2 dx. () Encontre o volume do sólido obtido pel rotção d região S em torno ds ret especificd: () S = {(x, y) R 2 x 3, y 2x + }, em torno do eixo x. 3 A(x)dx, onde A(x) = πf(x)2 = π(2x + ) 2. π 3 (4x 2 + 4x + )dx = 58 3 π. (b) S = {(x, y) R 2 x 2, y }, em torno do eixo x. x A(x)dx, onde A(x) = πf(x)2 = π. x 2 π x 2 dx = π[ x ]2 = 2 π. (c) S = {(x, y) R 2 x 2, y x 2 }, em torno do eixo x. A(x)dx, onde A(x) = πf(x)2 = π(x 2 ) 2 = πx 4. π x 4 dx = π[ 5 x5 ] 2 = 32 5 π. (d) S = {(x, y) R 2 2 x 2, y x2 }, em torno do eixo x. 4 A(x)dx, onde A(x) = 2 πf(x)2 = π( x2 ). 4 Portnto, π 2 ( x2 4 )dx = 8 3 π.
8 Cálculo I Prof. Nzré Bezerr Revolução d Região entre dus Curvs Considere f e g funções contínus com f(x) > g(x) pr todo x [, b] e S região do plno delimitd pels curvs y = f(x) e y = g(x). Sej R o sólido de revolução obtido pel rotção de S em torno do eixo x no intervlo [, b]. Tmbém qui temos que o volume V de R é ddo por: restndo clculr áre A(x). b A(x)dx, Revolução de um região delimitd por dus curvs Seção Trnsversl R x deste sólido Neste cso, pr cd x [, b] seção trnsversl R x é um nel ou coro circulr delimitd por dois círculos concêntricos, logo: A(x) = re do disco externo - re do disco interno = πf(x) 2 πg(x) 2 = π[f(x) 2 g(x) 2 ]. Portnto o volume V do sólido R é ddo por: Exercícios 5. b π[f(x) 2 g(x) 2 ]dx. Clcule o volume do sólido obtido pel rotção d região S delimitd pels curvs dds em torno d ret especificd: () y = 4 x2, y = 5 x 2, em torno do eixo x. { y = Resolvendo o sistem 4 x2 y = 5 x 2, encontrmos ( 2, ) e (2, ) como pontos de interseção ds curvs. o sólido de revolução, no eixo x, está posiciondo no intervlo [ 2, 2] e como 4 x2 5 x 2, pr todo x [ 2, 2], segue que: 2 π ((5 x 2 ) 2 ( 4 x2 ) 2 ) dx = 2 ( ) 5 6 x4 x 2 + 25 dx = 76 3 π. (2) y = x e y = x, em torno do eixo x. y = x Resolvendo o sistem y = x, encontrmos (, ) e (, ) como pontos de interseção ds
UFPA Cálculo I 9 curvs. o sólido de revolução estrá no intervlo [, ] e como x x, pr todo x [, ], sendo rotção em torno do eixo x, segue que: ( x 2 π x 2) dx = 6 π (3) S = {(x, y) R 2 x 3, y 2}, em torno do eixo y. Como rotção é em torno do eixo y, então A(y)dy, onde A(y) = π.32 π. 2 = 8π. 8π dy = 8π[y] 2 = 6π. 5 Volume por Cscs Cilíndrics Outro método pr clculr volume de sólidos de revolução, obtidos por rotção em torno do eixo y, é fzendo proximções por cscs cilíndrics. Considere f um função contínu e positiv, S superfície dd por S = {(x, y) R 2 x b, y f(x)} e R o sólido de revolução obtido pel rotção de S em torno do eixo y, cujo volume V se quer clculr. () Divide-se o intervlo [, b] em n subintervlos com extremiddes x, x,..., x n e com lrgurs iguis x = b n ; (2) Sej S i o retângulo de bse x e ltur f(x i ), onde x i = x i +x i 2 é o ponto médio do intervlo [x i, x i ] e R i o sólido obtido pel rotção de S i em torno do eixo y. O sólido R i é chmdo csc cilíndric - dois cilindros concêntricos com mesm ltur - com volume ddo por: Volume de R i = πx 2 i x πx 2 i x = 2πx i f(x i ). x V n 2πx i f(x i ) x Qunto menor for x, melhor é proximção, então define-se: ( n ) b lim 2πx i f(x i ) x = 2πxf(x)dx. n i= i=
Cálculo I Prof. Nzré Bezerr Exercícios 6. () Determine o volume de sólido obtido pel rotção de região S = {(x, y) R 2 x 3, y 2x + } em torno do eixo y. Usndo o método ds cscs cilíndrics, o volume do sólido é: 3 2πx(2x + )dx = 28 3 π. (2) Determine o volume de sólido obtido pel rotção de região S = {(x, y) R 2 x 2, y x 2 }, em torno do eixo y. Usndo cscs cilíndrics, 2πx.x 2 dx = 8π (3) Determine o volume de sólido obtido pel rotção de S = {(x, y) R 2 x 2, y } em torno do eixo y. x 2πx dx = 2π. x - Resumo Explique o procedimento usdo pr determinr o volume de um sólido por seções trnsversis. 2 - Aprofundndo o contéudo Lei mis sobre o contéudo dest ul no Cpítulo 6 - seção, 6.2 do livro texto. 3. Sugestões de Exercícios Resolv os exercícios sobre o ssunto n seção 6.2 do livro texto. 4. Desfio Clcule S xcosydxdy, onde S = {(x, y) R2 x, x 2 y π}.
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