Reforço escolr M te mátic Clculo de cbeç, não, com cbeç! Dinâmic 2 9º Ano 2º Bimestre DISCIPLINA SÉRIE CAMPO CONCEITO Mtemátic Ensino Fundmentl 9º Algébrico Simbólico Equção do 2º. Gru DINÂMICA Clculo de cbeç, não, com cbeç! HABILIDADE Básic HABILIDADE PRINCIPAL H34 Reconhecer e utilizr crcterístics do sistem de numerção deciml, tis como grupmentos e trocs n bse 10 e princípio do vlor posicionl. H51 Resolver problem com números inteiros, envolvendo s operções (dição, subtrção, multiplicção, divisão, potencição). CURRÍCULO MÍNIMO Resolver problems, envolvendo o cálculo d som e do produto ds rízes sem resolver equção., nest dinâmic, você irá desenvolver s seguintes etps com seus lunos. 1
ETAPAS ATIVIDADE TEMPO ORGANIZAÇÃO REGISTRO 1 Comprtilhr Ideis Jogo d memóri 20 25 min Em grupos de 3 Individul 2 Um novo olhr... Ajudndo enfermeir 15 20 min Nos mesmos grupos. Individul 3 Fique por dentro! O sorteio e o curioso 20 30 min Nos mesmos grupos. Individul 4 Quiz Quiz 10 min Individul Individul 5 Análise ds resposts o Quiz Análise ds resposts o Quiz 15 min Coletiv Individul Flex Pr Sber + Agor, é com você! Apresentção Est é um seção de profundmento, pr depois d dinâmic. O luno pode relizr, qundo desejr, ms o professor precis ler ntes d ul. Pr o luno resolver em cs ou noutr ocsião e consultr o professor se tiver dúvids. Um dos grndes problems relciondos o ensino d Mtemátic está n ssimilção de lgums fórmuls utilizds em determinds resoluções. Os lunos demonstrm resistênci em memorizr expressões mtemátics. A equção do 2º gru é um exemplo de conteúdo mtemático que requer o uso de um fórmul prátic pr determinção do conjunto solução. Dinte dess situção, nest dinâmic, o luno precis crir mecnismos cpzes de solucionr problemátic d memorizção ds fórmuls. Situção est que exige, do luno, cálculo mentl e estimtivs, que serão bordds n 1ª e 2ª etps. No cso ds equções do 2º gru, o luno verificrá que há outrs forms de resolver um equção do 2º gru. Entre os métodos mis conhecidos, será explordo o d composição de um equção do 2º gru por meio d som e do produto ds rízes. Primeir Etp Comprtilhr ideis Atividde Vend semnl de Blu-ry plyer Objetivo 2 Exercitr o cálculo mentl num gincn
Descrição d tividde Convidmos seus lunos brincrem de estimr. Em dupls, eles deverão completr um tbel, relizndo soms o mis rápido que puderem. Como Jogr Pr jogr, serão necessáris dus dupls. Cd dupl utiliz um tbel idêntic que está reproduzid seguir e que está disponível no encrte do luno, A 196 + 184 + 209 B 95 + 142 + 233 ( ) Menos que 500 ( ) Menos que 400 ( ) Perto de 600 ( ) Mis que 600 ( ) Perto de 500 ( ) Mis que 500 Mtemátic C 352 + 367 + 348 D 37 + 156 + 308 ( ) Menos que 1200 ( ) Menos que 500 ( ) Perto de 1250 ( ) Mis que 1300 ( ) Perto de 550 ( ) Mis que 600 E 26 + 18 + 37 + 21 ( ) Menos que 80 ( ) Perto de 100 ( ) Mis que 120 F 42 + 38 + 42 + 34 G 85 + 62 + 43 + 21 ( ) Menos que 160 ( ) Menos que 200 ( ) Perto de 200 ( ) Mis que 240 ( ) Perto de 210 ( ) Mis que 220 Cd dupl ssinl um respost o mis rápido que puder, tentndo completr tbel. Depois, s dupls trocm s tbels entre si pr verificr os resultdos (usndo clculdor) e contr quntidde de certos d dupl dversári. Gnh Dupl que conseguir um mior número de certos. Em cso de empte, primeir dupl que terminou de fzer s conts é cmpeã. Recursos Necessários Encrte do luno Tbel Estimtivs de soms Procedimentos Opercionis A tividde foi progrmd pr ser feit por dus dupls de lunos e, em cd dupl, um dos lunos fz o registro coletivo n tbel de cálculos. Ess tbel preenchid será trocd ns dupls, entre si, pr que sej feit correção dos cálculos com o uso d clculdor., observe ordem em que s dupls terminrm tividde pr o cso de hver emptes. Se chr mis seguro numere s dupls conforme eles forem terminndo. 3
Intervenção Pedgógic, intenção dest primeir tividde é mostrr importânci do desenvolvimento do cálculo mentl nos lunos. O cálculo mentl desenvolve nos lunos quliddes de ordem (pois permite verificção ds ordens de grndez de lguns resultdos e rápid verificção de vlores proximdos), de lógic, de reflexão e de memóri contribuindo pr su formção intelectul e fornecendo-lhes ferrments pr efeturem cálculos simples sem recorrer jud escrit e, deste modo, preprndo-s pr o di di., considermos ind que é trvés do cálculo mentl, que o luno trblh simultnemente memóri e concentrção, desenvolvendo memóri dos números, o que obrig tomr um contto mis próximo com individulidde de cd número, levndo- progressivmente empregr, em numerosos csos, simplificções opertóris., o cálculo mentl permite à o luno clculr livremente, sem restrições, permitindo-lhe desenvolver novs estrtégis de cálculo ou usr números de referênci e estrtégis que já possui. Por exemplo: oper com números e não com dígitos; us proprieddes elementres ds operções e relções numérics; e permite o recurso registros intermédios em ppel. Além disso, o luno deve identificr que pr fzer conts mentlmente é necessário que conheç bem os ftos básicos (tbud), já que o lgoritmo não o jud obter resultdos nesses csos. É importnte vlorizr s tenttivs dos lunos pr obter os resultdos e incentivá-los utilizr estrtégis própris., sber clculr mentlmente é um hbilidde básic, não só o nível ds prendizgens escolres, ms tmbém d vid quotidin. Vle lembrr que o cálculo mentl nos permite fzer estimtivs que judm identificr erros em conts, sej no mbiente escolr e com muito mis frequênci em noss vid cotidin. Assim, é preciso repensr importânci do cálculo mentl n vid de todos nós e perceber qul o ppel d escol e dos professores no desenvolvimento dest hbilidde. 4
Segund Etp Um novo olhr... Atividde De São Pulo Recife Objetivo Utilizr estimtiv num situção-problem. Descrição d tividde Lucin, por ter sido melhor vendedor de um loj de prelhos eletrônicos, foi promovid supervisor e teve de vijr pr conhecer s demis filiis dess rede de lojs: vijou de São Pulo pr Brsíli. Seguiu depois pr Slvdor e, finlmente, de Slvdor foi pr Recife. Mtemátic São Pulo Brsíli Slvdor Recife São Pulo... 1015 2052 2716 Brsíli 1015... 1542 2223 Slvdor 2052 1542... 842 Recife 2716 2223 842.... Mentlmente, estime quntos quilômetros Lucin vijou, proximdmente. Respost pessol. Respost 5
b. Fç os cálculos e determine quntos quilômetros el vijou desde que siu de São Pulo té chegr Recife. 1015 + 1542 + 842 = 3399 quilômetros. Respost c. Compre quntidde proximd de quilômetros que você encontrou no item () com estes que você clculou no item (b). Como você vli su estimtiv? Respost pessol. Respost d. Invente um questão com os ddos d tbel. Troque com o coleg que fz dupl com você e resolv dele. Respost Respost pessol. Recursos Necessários Encrte do luno Procedimentos Opercionis A tividde poderá ser feit por dupl de lunos e o registro individul. 6
Intervenção Pedgógic, um dos primeiros pssos pr o desenvolvimento do cálculo mentl é o exercício d estimtiv. O luno deverá ter ntevisão do resultdo possível pr determindo cálculo. Só com o exercício continudo de estimtivs o luno gnhrá cpcidde de vlir os resultdos que obtém. Neste sentido, esper-se que n letr () (Mentlmente, estime quntos quilômetros Lucin vijou, proximdmente), o luno encontre um vlor proximdo de 1000 + 1500 + 800 = 3300 km., importânci do cálculo mentl torn-se evidente no di di de cd um, qunto mis não sej, se pretendermos fzer comprs ou efetur s mis diversificds relções entre grndezs e/ou equivlêncis que dispensm, por comodidde, o cálculo escrito. O próprio domínio do lgoritmo é tnto mis fácil qunto mior for cpcidde de cálculo mentl. N letr (c) o luno deve observr como funcionou su estimtiv e o mesmo tempo vlorizr ess hbilidde como um recurso prático de cálculo. Assim, é importnte o luno conferir respost d letr b (Fç os cálculos e determine quntos quilômetros el vijou desde que siu de São Pulo té chegr à Recife) com o que ele ssinlou com relção respost d letr () (Mentlmente, estime quntos quilômetros Lucin vijou, proximdmente)., o uso de estimtivs n resolução de problems permite que os lunos usem seus conhecimentos mtemáticos, estimulndo- -os relizr ntecipções e o cálculo mentl., o luno que trz hbilidde do cálculo mentl torn-se um pesso eficiente e eficz n resolução de situções problems. Ms isso não é motivo pr deixr de ldo os cálculos, envolvendo lgoritmos (escritos), pois devemos considerr os dois procedimentos essenciis pr o desenvolvimento educcionl do estudnte., considermos cálculo mentl como um conjunto de procedimentos de cálculo que podem ser nlisdos e rticuldos diferentes por cd indivíduo pr obtenção mis dequd de resultdos extos ou proximdos, com ou sem o uso de lápis e ppel. O cálculo mentl permite mior flexibilidde de clculr, bem como mior segurnç e consciênci n relizção e confirmção dos resultdos esperdos, tornndo-se relevnte n cpcidde de enfrentr problems. Tl desenvolvimento de estrtégis pessois pr se clculr vi o encontro ds tendêncis recentes d psicologi do desenvolvimento cognitivo, que nos pontm pr importânci de um prendizgem com significdo e do desenvolvimento d utonomi do luno. Neste sentido, propomos letr (d) (Invente um questão com os ddos d tbel. Troque com o coleg que fz dupl com você e re- Mtemátic 7
solv dele) fim de contribuir pr construção dess utonomi discente. Terceir Etp Fique por dentro! Atividde: Preço d pipoc no cinem Objetivo Resolver problem, envolvendo o cálculo d som e do produto ds rízes sem resolver equção. Descrição d tividde A mtéri Lnchinho no cinem pode sir mis cro que o ingresso (O Globo Economi de 11.05.12) relt que pipoquinh no cinem cresceu de tmnho e de preço e já cheg custr pelo menos o dobro do vlor cobrdo em lojs de conveniênci, supermercdos e lnchonetes do Rio de Jneiro. Em lguns csos, mesmo o pcote com menor preço e quntidde si mis cro do que o ingresso de cinem. Tmbém pes mis no bolso o refrigernte, bl, o confete de chocolte e fzer um lnchinho n frente d telon não si por menos de R$ 13,00 (n promoção de pipoc e refrigernte) ns principis redes comerciis. Disponível em: http://oglobo.globo.com/economi/lnchinho-no-cinem-pode-sir-mis-cro-que-ingresso-4869216#ixzz2kyes1lzj Fonte: http://www.sxc.hu/photo/513710 Enqunto Lucin foi visitr s filiis d loj de som e imgem, seu migo Roberto foi o cinem. O vlor, em reis, do ingresso do cinem é representdo pel som ds rízes d equção x² - 9x + 20 = 0 enqunto que o lnchinho n frente d telon (n promoção de pipoc e refrigernte) é representdo pelo produto ds rízes d mesm equção. 8
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/73527 Mtemátic. Qul o vlor do ingresso do cinem? b. Qul o vlor do lnchinho (n promoção de pipoc e refrigernte)? Recursos Necessários Encrte do luno Procedimentos Opercionis A tividde poderá ser feit em dupl de lunos e o registro individul. Intervenção Pedgógic, procure motivr os lunos utilizr o cálculo mentl tmbém n resolução de um equção do 2º gru. Pr isso, é importnte que ele identifique os coeficientes numéricos, b e c. e relcione o coeficiente b à som ds rízes e o coeficiente c o produto entre s rízes. Dest form, então, ele terá lei de formção prtindo d idei d som e do produto ds rízes: x² Sx + P = 0, sempre que o coeficiente numérico for igul 1. Neste cso temos: b S= x1+ x2 = c P= x1 x2 =, mostre o luno como determinr riz n equção do problem, presentdo n tividde, utilizndo ess regr. Assim, ele 9
irá determinr s rízes d equção x² 9x + 20 = 0., ness equção, s rízes são tis que, som precis ser igul 9 e o produto igul 20. Bst descobrir os números que se encixm ness situção, indicndo resolução por meio de um cálculo mentl., incentive o cálculo mentl pr resolução dest tividde: Números em que som é igul 9 e o produto é igul 20 x = 5 e x = 4. 5 + 4 = 9 preço do ingresso 5 * 4 = 20 preço do lnchinho, form ftord de x² 9x + 20 = 0 é dd por (x x ) * (x x ), n qul: (x 5) * (x 4)., observe outro exemplo. Determinr s rízes d equção x² 6x 27 = 0 Som = 9 3 = 6 Produto = 9 * ( 3) = 27 Form ftord = (x 9) * (x + 3) = (x x ) * (x x ) As rízes são x = 9 e x = 3, deixe bem clro que um equção do 2º gru pode ser resolvid medinte esss técnics, ms em lguns csos, melhor form de obter s rízes é utilizndo fórmul resolutiv de Bhskr, principlmente qundo os resultdos são frções e números n form de rdicl. Qurt Etp Quiz Questão 10 (UERGS 2005 Mtemátic) - Sendo S som e P o produto ds rízes d equção 2x 2 5x 7 = 0, pode-se firmr que:
. S P = 6. b. S + P = 2. c. S P = 4. d. S/P= 1 e. S < P. Quint Etp Análise ds Resposts o Quiz Mtemátic Respost. S P = 6. Nest questão, o que nos interess é identificr o vlor d som e do produto ds rízes d equção 2x 2 5x 7 = 0. b Som( x' + x") = c Pr oduto( x ' x ") = Som (S) = - (-5) / 2 = 5/2 Produto (P) = -7/2 Logo: S P = 5/2 - (-7/2) = 5/2 + 7/2 = 12/2 = 6 Opção corret: Letr A) S P = 6. Distrtores: O luno que optou pel lterntiv (B) S + P = 2, provvelmente não tentou pr o vlor de (=2) e considerou Som (S) = - 5 e Produto (P) = 7 encontrndo: B) S + P = -5 +7 = 2. O luno que escolheu opção (C) S P = 4, pode não ter conhecimento do conteúdo. Ao optr pel lterntiv (c) pode ter sido por influênci do enuncido. O luno que optou pel lterntiv (D) Þ S/P= 1, pode não ter conhecimento do conteúdo. O luno que escolheu opção (E) S < P, provvelmente, lém de não ter observdo o vlor de (= 2), não tentou pr o sinl d Som (S) e do Produto e considerou Som (S) = 5 e Produto (P) = 7 encontrndo: E) S < P = 5 <7 11
Etp Flex Pr sber + 1. Aul 74 de mtemátic (ensino fundmentl): deduzindo um fórmul - novo telecurso Nest Aul, você vi conhecer e plicr equção do 2º gru no di di. Disponível em: https://www.youtube.com/wtch?v=fkems5qnj7o 2. Produto E Som, É Só Mentlizr Quem nunc teve um professor que começv cntr durnte ul? Ms não um músic qulquer, um pródi de Mtemátic, Químic ou Físic. N letr, fórmuls e regrs pr judr o estudnte entender o conteúdo que estão nos livros. Adordo pel miori, o método permite ssimilr mtéri com mis fcilidde. Este vídeo, Produto e Som, é só mentlizr bord s relções entre rízes e coeficientes de um equção qudrátic. Disponível em: https://www.youtube.com/wtch?v=uc-rwi1q7ts Agor, é com você! 1. Encontre s rízes d equção do segundo gru x 2-6x + 5 = 0. b Som( x' + x") = c Pr oduto( x ' x ") = Respost Podemos nos perguntr: Quis são os dois números cuj som é igul 6 e cujo produto é igul 5?. 12 Lembrr o luno que um equção do 2º gru possui coeficientes numéricos, b e c. O coeficiente b é relciondo à som ds rízes e o coeficiente c o produto
entre s rízes. Então, temos seguinte lei de formção prtindo d idei d som e do produto ds rízes: x² Sx + P = 0. Sem qulquer esforço podemos chegr 1 e 5. Portnto 1 e 5 são s rízes d equção x 2-6x + 5 = 0. 2. Encontre s rízes d equção do segundo gru x 2 + 2x - 8 = 0. b Som( x' + x") = c Pr oduto( x ' x ") = Mtemátic Respost Podemos nos perguntr: Quis são os dois números cuj som é igul -2 e cujo produto é igul -8?. Lembrr o luno que um equção do 2º gru possui coeficientes numéricos, b e c. O coeficiente b é relciondo à som ds rízes e o coeficiente c o produto entre s rízes. Então, temos seguinte lei de formção prtindo d idei d som e do produto ds rízes: x² Sx + P = 0. Neste cso, com um pouquinho mis de esforço, já que há o envolvimento de números negtivos, chegmos -4 e2, pois -4 + 2 = -2 e -4. 2 = -8. Portnto -4 e 2 são s rízes d equção x2 + 2x - 8 = 0. 3. Encontre s rízes d equção do segundo gru 4x 2-12x + 8 = 0. b Som( x' + x") = c Pr oduto( x ' x ") = Respost Neste outro exemplo, temos um situção um pouco diferente. Note que nos csos nteriores, o coeficiente er sempre igul 1, o que simplificv utilizção deste rtifício, ms neste cso ele é igul 4. 13
Podemos então nos perguntr: Quis são os dois números cuj som é igul 3 (pois 12/4 = 3) e cujo produto é igul 2 (pois 8/4 = 2)?. Lembrr o luno que um equção do 2º gru possui coeficientes numéricos, b e c. O coeficiente b é relciondo à som ds rízes e o coeficiente c o produto entre s rízes. Então, temos seguinte lei de formção prtindo d idei d som e do produto ds rízes: x² Sx + P = 0. Fcilmente chegmos 1 e 2, pois 1 + 2 = 3 e 1. 2 = 2. Portnto 1 e 2 são s rízes d equção 4x2-12x + 8 = 0. 4. Quis s rízes d equção x 2 + 4x + 12 = 0. Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1159639 Respost Vej que por mis que você se esforce em descobrir quis são os números que somdos totlizm -4 e que multiplicdos dão 12, jmis conseguirá encontrá-los dentre os números reis, simplesmente porque eles não existem. Sbe por quê? O cálculo do vlor do discriminnte é muito importnte, pois trvés deste vlor podemos determinr o número de rízes de um equção do segundo gru. O discriminnte é representdo pel letr greg Δ e equivle à expressão b 2-4c, isto é: Δ = b 2-4c. Nest questão, o discriminnte é menor que zero e, cso Δ < 0, equção não tem rízes reis. Como Δ = -32, isto é, como o discriminnte d equção é negtivo, mesm não possui rízes reis. Portnto equção x 2 + 4x + 12 = 0 não possui rízes reis. 14