SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO QUADRÁTICA: CONHECER PARA APLICAR

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1 SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO QUADRÁTICA: CONHECER PARA APLICAR Denise Ritter Instituto Federl de Educção, Ciênci e Tecnologi Frroupilh deniseritter7@hotmil.com Alessndr Vrgs Instituto Federl de Educção, Ciênci e Tecnologi Frroupilh lelekvrgs@hotmil.com Suzine Bopp Antonello Colégio Técnico Industril de Snt Mri CTISM UFSM suziopp@gmil.com Lucini Missio Instituto Federl de Educção, Ciênci e Tecnologi Frroupilh lumissio@jc.iffrroupilh.edu.r Resumo Esse trlho é referente um nálise sore plicção do método d som e produto ds rízes n resolução de equções lgérics de segundo gru. A nálise foi desenvolvid por dus cdêmics do curso de Licencitur em Mtemátic do Instituto Federl Frroupilh Cmpus Júlio de Cstilhos e relizd em três etps. Primeirmente foi relizdo um emsmento teórico sore o ssunto. Em seguid, testou-se ess estrtégi de resolução de equção com lunos de Ensino Médio d Escol Estdul de Ensino Médio Doutor Júlio Prtes de Cstilhos e com lunos d Licencitur em Mtemátic do IF Frroupilh, Cmpus JC. Por fim, foi relizd nálise proprimente dit. O ojetivo do trlho é verificr se os lunos conhecem esse método e principlmente se o utilizm, considerndo que é um form rápid e prátic pr resolução de um equção de segundo gru e que oter su solução consiste num ferrment plicd em muitos prolems que recem em tis equções. Plvrs-chve: Equção de segundo gru; Riz; Método. Introdução O presente rtigo é sedo em um nálise relizd por dus cdêmics do curso de Licencitur em Mtemátic do Instituto Federl Frroupilh Cmpus Júlio de Cstilhos. A idei surgiu qundo consttou-se um grnde dificuldde por prte dos lunos de Ensino

2 Médio e tmém dos cdêmicos do Curso de Licencitur em Mtemátic do IF Frroupilh Cmpus JC pr resolverem equções lgérics de segundo gru. Pelo convívio diário em sl de ul com os colegs d grdução e ns tividdes do PIBID (Progrm Institucionl de Bols de Inicição Docênci - CAPES) desenvolvids com lunos de Ensino Médio d Escol Estdul Júlio Prtes de Cstilhos form oservdos prolems n resolução de equções de segundo gru qunto à delong pr otenção d solução e muitos erros de solução ds mesms. Tis ftos instigrm s cdêmics pesquisr um metodologi eficz pr resolver esss equções e contriuir pr snr tis dificulddes. Justifictiv De um modo gerl, os estudntes d Educção Básic presentm muits dificulddes n prendizgem d mtemátic, legm que é muito difícil compreendê-l e isso c refletindo em níveis ltos de reprovção n disciplin. A resolução de equções lgérics de segundo gru está entre s dificulddes ojetivs encontrds pelos lunos, que levm muito tempo pr resolvê-ls e cometem diversos erros n resolução ds mesms. Um dos ppéis do professor de Mtemátic é o de judr os lunos identificr s cuss de sus dificulddes e presentr metodologis pr que os mesmos consigm melhores resultdos no prendizdo. Pensndo nisso, procurou-se presentr um técnic prátic e mis rápid que fórmul de Bhskr, que diminuísse os erros (principlmente os cometidos ns operções com os números inteiros) e fizessem com que os lunos perceessem que mtemátic, em lguns csos, não possui um cminho único pr resolução de um prolem. Considerou-se importnte testr ess estrtégi tmém com lunos d Licencitur em Mtemátic pr verificr se os mesmos conhecim e utilizvm. Os ojetivos erm totlmente diferentes dos uscdos com os lunos do Ensino Médio, pois tinh-se ciênci de que os lunos d Grdução não costumvm cometer erros n resolução de um equção de segundo gru, ms sim, no tempo despendido pr resolução ds mesms.

3 O principl ojetivo de presentr o método d Som e Produto pr os lunos d Grdução é porque técnic é muito rápid e prátic que estimul o rciocínio lógico, coincidindo com o que os lunos d Grdução uscm que é perfeição e gilidde. A Som e Produto é um importnte ferrment n resolução de equções do segundo gru, pois, lém de ser muito prátic e rápid, desenvolve o rciocínio lógico dos lunos estimulndo os, pensr e efetur cálculos mentis. Metologi Semos que um equção lgéric do º gru possui seguinte form: x + x + c = 0 (1) Ness expressão, temos que os coeficientes, e c são números reis, com 0. Pr solucionr um equção deste tipo logo pensmos em utilizr fórmul de Bháskr, porém pr fcilitr resolução e torná-l mis prátic poderímos utilizr um método diferencido como o d Som e Produto. Este método, qundo se lev em cont os números negtivos, foi estelecido por Alert Girrd, um mtemático grego. Segundo Noé: Por volt do século XVII, inúmeros mtemáticos ocidentis desenvolverm estudos no intuito de estelecer relções entre s rízes e os coeficientes de um equção qudrátic. O grnde ostáculo er presenç de números negtivos como resultdo ds rízes, o que não er ceito entre os estudiosos. Foi Girrd que desenvolveu um método cpz de determinr s relções com utilizção de números negtivos. (NOÉ, Mrcos) A formul de Bhskr é escrit d seguinte form: x c () As rízes otids por ess fórmul são s seguintes: 3

4 c x (3) c x () Somndo esss rízes otém-se: c c (5) e multiplicndo-s, otém-se: c c c c c c * (6) Percee-se que generlizção cim tem uso mis prático qundo =1, cso contrário é mis trlhoso utilizr o método d Som e Produto. Considerndo = 1, consttou-se que som é dd pelo oposto de : S (7) e o produto é o próprio c:

5 P c (8) Portnto pr encontrr s rízes de um equção de segundo gru, st usr o rciocínio de encontrr dois números que somdos resultem no oposto de, e que multiplicdos resultem no próprio c d equção. Utilizção d som e produto com lunos de Ensino Médio Considerndo s dificulddes que os lunos de Ensino Médio em gerl enfrentm pr resolver um equção de segundo gru, e que ess dificuldde é stnte evidente nos lunos do Ensino Médio d E.E.E.M. Dr. Júlio Prtes de Cstilhos, prticipntes do Projeto PIBID, pensou-se em, inicilmente, testr o método de resolução cim com esses lunos. A prtir do que foi exposto, pensou-se em utilizr um procedimento pr fcilitr resolução desss equções. Inicilmente, foi solicitdo os lunos pr que resolvessem 10 equções de segundo gru num tempo delimitdo de trint minutos. Encerrdos os trint minutos oservou-se que miori dos lunos tinh resolvido somente metde ds equções. Todos os lunos se utilizrm d fórmul de Bháskr pr resolver os exercícios. Em seguid, com o uxílio do projetor multimídi, presentou-se o método de resolução nteriormente descrito, incentivndo prticipção dos lunos n descoert ds relções. Os lunos ficrm surpresos o descorir que é possível resolver um equção de segundo gru de um form prátic e rápid. É interessnte notr que nenhum luno d turm conheci ess form de resolução. Logo pós, foi solicitdo pr que novmente eles resolvessem s dez equções de segundo gru, utilizndo, dess vez, o método d Som e Produto. Consttou-se, surpreendentemente, que todos os lunos conseguirm resolver os dez exercícios em, no máximo 0 minutos e, o que é melhor, com um índice de 100% de certo ns soluções. Ess tividde foi um espécie de desfio pr os lunos, despertou o interesse deles e os deixou intrigdos, pois estvm frente um estrtégi de resolução de equção lgéric 5

6 totlmente nov. É importnte destcr, ind, que os lunos que prticiprm ds tividdes, se empenhrm n resolução ds equções, desenvolverm seu rciocínio e descorirm um importnte ferrment de resolução de equções lgérics de segundo gru. Utilizção d Som e Produto com lunos d Licencitur em Mtemátic O mesmo teste foi plicdo os cdêmicos d Licencitur em Mtemátic do IF Frroupilh, Cmpus Júlio de Cstilhos. N ocsião, s qutro turms do curso form reunids e foi solicitdo, els, que resolvessem s mesms dez equções lnçds os lunos de Ensino Médio, em vinte minutos. Qundo utilizrm d fórmul de Bhskr nenhum cdêmico conseguiu resolver s dez equções no tempo estelecido. Em seguid foi perguntdo os cdêmicos se eles conhecim o método d Som e Produto. A miori respondeu que sim, ms que não o utilizv por flt de prátic. No entnto, qunto form sumetidos o mesmo método de resolução utilizdo com os lunos do Ensino Médio consttou-se que todos queles que conhecim s relções d som e do produto pr resolução de equções lgérics de segundo gru não sim como s soluções erm otids. Oservou-se que, qundo, pel segund vez foi plicdo esse último método, todos os cdêmicos levrm quinze minutos, no máximo, pr encontrr s rízes procurds ds equções. Os próprios cdêmicos ficrm impressiondos com gilidde com que conseguim, por esse método, resolver esss equções, e se convencerm de que ele é mis prático e mis rápido do que usc d solução trvés d fórmul de Bhskr, Conclusão Como conclusão, pode-se consttr com esse trlho que o método de resolução de equções de segundo gru pelo método Som e Produto de sus rízes nem sempre é trlhdo durnte o estudo desss equções. Outr conclusão à que se pode chegr é que, tnto lunos de Ensino Médio qunto d Grdução presentm dificulddes n resolução desse tipo de qução. Mis ind, que trvés do método Som e produto, os lunos tiverm 6

7 menos dificulddes no processo de resolução desss equções diminuindo, ssim, chnce de erros ns operções e, com isso, n otenção d solução. Visto que muitos prolems práticos d relidde podem ser modeldos por equções lgérics do segundo gru, é importnte que os lunos conheçm um método rápido de solucioná-ls e, nesse sentido, o método d som e produto mostrou-se stnte eficz. Referêncis iliográfics NOÉ, Mrcos. Estudndo s Relções de Girrd. Disponível em: Acesso em 05 de julho de 01. 7