Professor Muricio Lut MTRIZES INTRODUÇÃO Qudo um prolem evolve um grde úmero de ddos (costtes ou vriáveis), disposição destes um tel retgulr de dupl etrd propici um visão mis glol do mesmo s tels ssim formds são chmds mtries O crescete uso dos computdores tem feito com que teori ds mtries ecotre cd ve mis plicções em setores tis como: ecoomi, egehri, mtemátic, físic, esttístic, etc Eemplo: tel io descreve s sfrs de milho, trigo, soj, rro e feijão, em toelds, durte os os de 99, 99, 99 e 99 Milho Trigo Soj rro Feijão 99 99 9 99 9 99 Com os ddos dispostos form de tel (mtri), imeditmete coseguimos fer comprções, estelecer relções e té mesmo tirr coclusões reltivs s sfrs Isto mostr o quto pode ser útil otção mtricil Gerlmete, s mtries são tels de elemetos dispostos em lihs e colus, sedo represetdos etre prêteses, colchetes ou rrs dupls Dest form, um represetção por mtri d tel ds sfrs é: 9 S 9 9 9 9 9 s lihs são umerds de cim pr io e s colus d esquerd pr direit IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut DEFINIÇÃO Chm-se mtri de ordem m (m e *) tod tel costituíd por m e elemetos, dispostos em m lihs e colus Oservção: Pr idicr ordem de um mtri, diemos primeiro o úmero de lihs e em seguid o úmero de colus Eemplos: ordem ordem REPRESENTÇÃO LGÉBRIC s mtries costumm ser represetds por letrs miúsculs e seus elemetos por letrs miúsculs, comphds de ídices que idicm, respectivmete lih e colu ocupd pelo elemeto ssim, um mtri do tipo m é represetd por: IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut m m m m ou revidmete, =(ij)m, ode i represet lih e j represet colu que o elemeto ocup mtri, por eemplo é o elemeto d º lih e d º colu Eemplo: ode =-; =- e = Determie mtri =(ij), tl que ij=i -j Resolução: 7 = -=-; = -=-; = -=-; = -=; = -=; = -=-; = -=7; = -=; = -= () Eercícios Idetifique ordem ds mtries: ) ) B c) C d) D
Professor Muricio Lut Dd mtri idetifique os elemetos d: 7 9 ) º lih ) º lih c) d) Um mtri possui qutro elemetos Quis os tipos possíveis pr ess mtri? Determie mtri =(ij), tl que ij=i +j Costru s mtries: ) M=(ij), tl que ij=i+j ) N=(ij), tl que ij=i -j i j, se i c) Q=(ij), tl que ij, se i j j MTRIZES COM DENOMINÇÕES ESPECIIS Mtri lih É tod mtri do tipo, isto é, com um úic lih Por eemplo: 9 ou 9 7 B Mtri colu É tod mtri do tipo m, isto é, com um úic colu Por eemplo: ou B 7 IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut Mtri retgulr É tod mtri m, sedo m, ou sej, o úmero de lihs e diferete do úmero de colus Por eemplo: ou B Mtri qudrd É tod mtri do tipo, isto é, com o mesmo úmero de lihs e colus Neste cso diemos que mtri é de ordem Por eemplo: 7 9 ou B 7 ) Digol pricipl: digol pricipl de um mtri qudrd é o cojuto de elemetos dess mtri, tis que i=j ) Digol secudári: digol secudári de um mtri qudrd é o cojuto de elemetos dess mtri, tis que i+j=+ É digol que se opõe digol pricipl Eemplos: Sej seguite mtri de ordem : Sej B seguite mtri de ordem : IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut Mtri ul É mtri em que todos os elemetos são ulos Represet-se por Om ou pes O Por eemplo: sej O Mtri digol É tod mtri qudrd ode todos os elemetos que ão estão digol pricipl são ulos Por eemplo: ou B 7 Mtri esclr É tod mtri digol ode os elemetos d digol pricipl são todos iguis Por eemplo ou B Mtri idetidde É tod mtri qudrd ode os elemetos d digol pricipl são iguis e os demis são ulos Represet-se por I, ode idic ordem d mtri idetidde Por eemplo I ou I ssim, um mtri idetidde I ij ij, se i j Tod mtri idetidde é tmém mtri digol, se i j IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut 7 9 Mtri trspost Chmmos de mtri trspost de um mtri mtri que é otid prtir de, trocdo-se ordedmete sus lihs por colus ou sus colus por lihs Por eemplo e é do tipo m, t é do tipo m t Desse modo, se mtri 9 Proprieddes d mtri trspost Se r é um esclr e e B são mtries, etão: ) ( t ) t =; ) (+B) t = t +B t ; c) (r) t =r t Mtri opost Chmmos de mtri opost de mtri otid prtir de, trocdose o sil de todos os seus elemetos Represetmos mtri opost de por - Por eemplo: sej opost é Mtri simétric Um mtri qudrd de ordem é simétric qudo = t por eemplo t t,, ou sej IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut Mtri ti-simétric Um mtri é ti-simétric qudo su mtri trspost for igul à su mtri opost ou sej t =- Por eemplo:, t e Mtri trigulr iferior Os elemetos cim d digol pricipl são todos ulos (m= e ij= pr i<j) Por eemplo: 7 Mtri trigulr superior Todos os elemetos io d digol pricipl são ulos (m= e ij= pr i>j) Por eemplo: IGULDDE DE MTRIZES Dus mtries, e B serão iguis se forem do mesmo tipo e os elemetos correspodetes forem iguis ssim, se =(ij) e B(ij) são mtries do tipo m, etão j m i B ij ij
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut 9 Eemplos: Dds s mtries e B, clculr e pr que =B t Resolução: B t Resolvedo o sistem, temos: X= e =- Determir e iguldde: 9 log Resolução: log 9 9 () Eercícios Qutos elemetos tem um mtri qudrd de ordem? Determie e pr que mtri sej digol Escrev mtri ( t ) t, qudrd de ordem, tl que =(ij) e ij=j-i Determie e pr que mtri M sej simétric Determie mtri rel qudrd B de ordem, defiid por: j i i j i j i ij se se Dd mtri =(ij), com ij=i -j, oter mtri opost de
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut 7 Sejm log 7 e c B 9, determie, e c pr que =B Determie os elemetos d digol pricipl, sedo que é um mtri digol 9 Dd mtri idetidde d c I, clcule ++c+d Determie, e c, de modo que mtri c, sej trigulr iferior OPERÇÕES COM MTRIZES dição e sutrção de mtries dição de mtries Dds mtries de mesmo tipo =(ij)m e B=(ij)m deomi-se mtri som (+B) mtri otid diciodo-se os elemetos correspodetes de e B (lemrr que e B são mtries de mesm ordem) +B=(ij+ij)m, ode i m e j
Professor Muricio Lut Eemplo: Dds s mtries 7 9 e B 7 +B Resolução: B 7 9 7 7 9 9 7, clcule 9 Sutrção de mtries Sejm e B dus mtries do tipo m Deomi-se difereç etre e B, e vmos represetá-l por -B, som d mtri com mtri opost de B, ou sej, -B=+(-B) Eemplo: Dd s mtries Resolução: B 7 e B, determie -B 7 Proprieddes d dição e sutrção de mtries Dds um mtri e B de ordem m vlem s seguites proprieddes: ) Comuttiv: +B=B+ ) ssocitiv: (+B)+C=+(B+C) c) Elemeto eutro: +=+= d) Elemeto oposto: +(-)=(-)+= e) Ccelmeto: =B +C=B+C IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut () Eercícios che m,, p e q, de modo que: 7 q q p p m m Sejm s mtries =(ij), com ij=i-j e B=(ij), com ij=ij+ Clcule: ) -B ) B- c) (+B) t d) t -B t Sedo =(ij) tl que ij=i-j e B=(ij) tl que ij=-i+j+, clcule +B Dds s mtries, B e C Clcule: ) -B ) B-C c) -B-C d) C-+B e) t -C t f) C-(B-) che,, e w, de modo que: w Multiplicção de mtries Multiplicção de mtri por esclr Pr multiplicr um mtri por um esclr (úmero rel ou compleo), multiplicmos todos os elemetos d mtri por este esclr Se =(ij)m e é um esclr, etão =(ij)m Eemplo: Dd mtri, clcule Resolução: 9
Professor Muricio Lut Multiplicção de mtri por mtri Dd um mtri =(ij)m e um mtri B=(ij)p, o produto B é mtri C=(ci)mp, tl que o elemeto ci é clculdo multiplicdo-se ordedmete os elemetos d lih i d mtri pelos elemetos d colu d mtri B e somdose os produtos otidos, ou sej: Ci=ii+i+i++imm D defiição decorre que: O produto ds mtries e B eiste qudo o úmero de colu d mtri é igul o úmero de lihs d mtri B O produto de dus mtries e B, se eistir, tem o mesmo úmero de lihs de e o mesmo úmero de colus d mtri B, isto é, se é do tipo m e B do tipo p, etão B é do tipo mp, ssim: ) Se é mtri do tipo e B é mtri do tipo, etão eiste mtri B, pois o úmero de colus de é igul o úmero de lihs de B mtri B é do tipo Vej o esquem io ) Se é do tipo e B é do tipo, ão eiste mtri B, pois o úmero de colus de é diferete do úmero de lihs de B Eemplo: Dds s mtries e B determie B IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut Resolução: B Proprieddes d multiplicção pós verificds s codições de eistêci pr multiplicção de mtries, são válids s seguites proprieddes: ) ssocitiv: (B)C=(BC) ) Distriutiv em relção dição: (B+C)=B+C ou (+B)C=C+BC c) Elemeto eutro: I=I, ode I é mtri idetidde de ordem Oservções: Não vlem s seguites proprieddes: ) Comuttiv, pois, em gerl BB ) Sedo Om ão implic, ecessrimete que =Om ou B=Om () Eercícios Clcule os produtos ds seguites mtries, se eistirem: ) ) c) d) IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut e) f) / 7 Dds s mtries =(ij), tl que ij=i-j, B(ij), tl que ij=j-i, e C=B, determie o elemeto C Dds s mtries =(ij) e B(ij), qudrds de ordem, com ij=i+j e ij=- i-j se C=+B, etão C é igul? O vlor de pr que o produto d mtries e B sej um mtri simétric, é? Dds s mtries, B, clcule: ) (+B) ) +(B)+B Sedo que e B, clcule B-B 7 ssile V (verddeir) ou F (fls) pr cd um ds firmções relciods com mtries trsposts ( ) Se mtri =(ij) é tl que ij=ji, etão t = ( ) Qulquer que sej mtri, ( t ) t = ( ) Sejm =(ij)m e B=(ij)p, etão (B) t = t B t sequêci corret é: ) V V V ) V F V c) F V F d) F F V e) V V F IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut Sej =(ij) um mtri com > relção que ger, mtri, lihs cujos elemetos estão em P é ) ij=i j ) ij= i+j c) ij=i/j d) ij=ij e) ij=(-) j+j 9 mtri forece os preços (em reis) por g de erv-mte, feijão, rro e çúcr os mercdos M, M, M e M Se um cosumidor ecessit comprr g de erv-mte, g de feijão, e g de rro e g de çúcr, etão mtri que forece os custos (em reis) os mercdos M, M, M e M, respectivmete, é ) [,,,7,] ) [,,,,] c) [,,, 9,] d) [,,,7,] e) [,,,7 9,] i Cosidere s mtries ) ( ij j C d mtri produto C=B é ) / ) / c) / d) / e) e B ( j ) j O elemeto i j IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut 7 7 MTRIZ INVERS Um mtri qudrd, de ordem, é iversível se, e somete se, eistir um mtri idicd por -, tl que - = - =I Eiste mtri ivers somete qudo o determite d mtri for diferete de ero Oservções: I é um mtri idetidde de mesm ordem que s mtries e B; Se eistir ivers, diemos que mtri é iversível e, em cso cotrário, ão iversível ou sigulr; Se mtri qudrd é iversível, el é úic Eemplo: Determir ivers d mtri Resolução: Fedo d c Semos que - =I d c d c d c pel iguldde de mtries, temos os sistems: e c c c e d d d Portto
Professor Muricio Lut () Eercícios Determie ivers ds mtries: ) ) B Dds s mtries e B, oteh mtri B+ - 7 Se e B, etão oteh mtri X=(B - ) t Mostre que ivers d mtri é Dds mtries, P e B, determie os vlores 7 de e, tis que B=PP - () Eercícios complemetres O produto MN d mtri ) ão se defie ) é um mtri idetidde de ordem c) é um mtri de um lih e um colu d) é um mtri qudrd de ordem e) ão é um mtri qudrd M pel mtri N : IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut 9 Cosidere mtri qudrd de ordem, ( ij ) Se B é mtri ivers i j de, etão B+B t é igul : / ) / ) c) / / d) / / e) mtri qudrd =(ij) de ordem, ode ivers mtri - igul ) ) c) ij d) se cos i j i j sei sei j e) j tem como Cosidere s mtries qudrds de ordem, =(ij) ode ij ( i j) e B=(ij) ode ij i j mtri X= -B é igul ) ) c) d) e) Sedo que os produtos ds mtries e B é tl que B=I, podemos firmr que: ) e B ) e B c) e B d) tods s opções teriores são correts e) ehum respost Se ij é um mtri de ordem defiid por é: ) ) c) d) e) ij, sei j, etão o vlor de, sei j IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut 7 Dds s mtries e B, os vlores de e, respectivmete, pr que B : ) e ) e c) e d) e e) e Se, B, C e B=C, etão log é: ) ) c) d) ½ e) 9 mtri =(ij) é defiid de tl modo que j i j i j i ij se, se, ) (, etão é: ) ) c) d) e) Sejm X e Y ode se X =Y, etão é: ) ) c) ½ d) e) ½
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut GBRITOS () ) ) c) d) ) - ) -7 c) = d) = - ; ; 7 ) ) c) () elemetos = e = 9 9 = e =½ B 7 7 = -; = -; c= - 9 =; = -; c= () m=; =; q= -; p= ) ) c) 7 d) ) ) c) 9 d) 9 e) f) 7 9 = -; =; =; w= - () ) 9 7 ) c) d) e) ão eiste o produto f) 9 7 C= = ) 9 ) 7 e d 9d c () ) ) X = e = - () d c e 7 d c 9
Professor Muricio Lut DETERMINNTES DEFINIÇÃO tod mtri qudrd de ordem, podemos ssocir, trvés de certs operções, um úmero rel chmdo determite d mtri Represet-se o determite d mtri como det ou DETERMINNTE D MTRIZ DE ORDEM O determite d mtri =() é o próprio úmero rel Eemplo: Sej mtri =() logo det = = MENOR COMPLEMENTR Chm-se meor complemetr de um elemeto ij de um determite, um ovo determite, represetdo como Dij, que se otém suprimido lih i e colu j que pssm por ij de Eemplos: O meor complemetr do elemeto (º lih e º colu) é: Resolução: 7 D 7 O meor complemetr do elemeto é: Resolução: D IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut DJUNTO OU COFTOR OU COMPLEMENTO LGÉBRICO Coftor (cof) de um elemeto ij de um mtri, é o produto do meor complemetr deste elemeto pelo ftor (-) i+j Dij, ou sej, ij=(-) i+j Dij Eemplos: Clcule o coftor do elemeto do determite Resolução: ( ) ( ) ( )( ) D O complemeto lgérico ou coftor do elemeto é: Resolução: ( ) D ( ) ( ) DETERMINNTE D MTRIZ DE ORDEM Dd mtri, o det é som dos produto dos elemetos de um fil qulquer pelos respectivos coftores Clculdo: =(-) + = =(-) + =- =(-) + =- =(-) + = Desevolvedo pel º lih: det =+=+(-)=- (I) IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut Desevolvedo pel º lih: det =+=(-)+=-+ (II) Desevolvedo pel º colu: det =+=+(-)=- (III) Desevolvedo pel º colu: det =+=(-)+(-)=-+ (IV) Cocluí-se que (I)=(II)=(III)=(IV) Eemplo: Clcule o determite de 7 Resolução: Desevolvedo-se pel º lih temos: det =+=(-) + 7 +(-) + =7-=- Regr prátic: Cosideremos mtri, o determite de um mtri de ordem é difereç etre o produto dos elemetos d digol pricipl e o produto dos elemetos d digol secudári, ou sej, det Eemplo: che o vlor do determite Resolução: ( ) IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut che o vlor do determite 7 Resolução: 7 7 () Eercícios Clculr o coftor do elemeto d mtri =(ij), ode ij=j+, se ij; i+j, se i=j Resolv s equções: ) ) 7 c) Sedo que, resolv equção se se 7 Clculr o coftor dos elemetos e d mtri Clculr o vlor do determite ds mtries seguite, usdo defiição ) ) B Clculr o vlor do determite, usdo regr prátic 9 cos se ) ) c) se cos 7 Sedo =(ij) um mtri de ordem e ij=j-i, clculr o determite d mtri IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut Sej =(ij) um mtri qudrd de º ordem, tl que ij=i +ij Clcule det 9 Sedo e B, clcule det (B) che o vlor dos determites: ) ) c) d) e) DETERMINNTE D MTRIZ DE ORDEM Dd mtri, chm-se det som dos produtos dos elemetos de um fil qulquer pelos respectivos coftores Desevolvedo-se pel º lih: det ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (I) Desevolvedo-se pel º colu: det ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( II ) Cocluí-se que (I)=(II) IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut 7 7 Eemplo: Clcule o determite d mtri, pel º lih e º colu Resolução: º lih: det ( ) ( ) 7( ) ( ) ( ) 7( ) 7 º colu: det ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( 9 7) ( ) 7 Regr prátic: Regr de Srrus Sedo um mtri qudrd de º ordem, seu determite será clculdo trvés d Regr de Srrus : repete-se s dus primeirs colus direit d mtri (ou s dus primeirs lihs pós º lih) e dicio-se o produto dos elemetos d digol pricipl o produto de sus prlels, sutrí-se deste resultdo o produto d digol secudári e o ds sus prlels el Eemplo: Clcule o determite d mtri Resolução: 7 7 7 ( )()() ()( )() (7)()() (7)()() ( )( )() ()()() 9 7 IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut () Eercícios Sej mtri qudrd de º ordem e que ij=i-j, clculr o coftor do elemeto? Clculr o vlor do determite ds mtries seguites usdo defiição: ) ) B Clcule usdo regr de Srrus: ) ) c) d) Resolver s equções, sedo ) ) Sej S=(sij) mtri qudrd de ordem, ode j i j i j i j i j i s ij,,,, clculr o vlor do determite de S O determite d mtri B=(ij) de ordem, ode j i j i se ij se, j i,, é igul : ) ) c) d) e)
Professor Muricio Lut 9 7 Clcule o vlor de det () det (B)+det (C)=, sedo, B, C / ) ) c) d) e) Sedo que e, clcule - 9 che o vlor do determite d mtri P, sedo que P Cosidere s mtries, B e C Sedo que mtri B é igul à mtri C, clcule o determite d mtri 7 DETERMINNTE D MTRIZ DE ORDEM O determite de um mtri é igul som dos produtos dos elemetos de um fil qulquer pelos respectivos coftores (Teorem de Lplce) Eemplo: Clcule o determite Resolução: det ( 9) 9 ( ) IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut MTRIZ COFTOR Dd mtri qudrd (ij)m chm-se mtri coftor de mtri B=(ij)m cujos elemetos são coftores dos elemetos correspodetes de B cof ij, i e j ij Eemplo: Sej mtri Resolução:, determie B coftor de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( 9) ( ) ( ) Portto mtri B 7 9 9 MTRIZ DJUNT trspost d mtri coftor de é chmd mtri djut de dj cof t Eemplo: Sej mtri, determie mtri dj IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut Resolução: Cálculo d mtri coftor Pelo eemplo terior semos que mtri coftor de é 7 B 9 Cálculo d mtri trspost 7 B 9 e t B 7 9 Portto t dj cof t B Logo dj 7 9 INVERSÃO DE MTRIZES COM UXÍLIO D TEORI DOS DETERMINNTES e est é dd por: Dd mtri qudrd =(ij)m se det, etão eiste ivers de cof det t ou dj det Eemplo: Determie ivers d mtri determites Resolução: Cálculo do determite det 7 se eistir, com o uilio dos IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut Cálculo d mtri coftor, cof B ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Cálculo d mtri djut dj dj cof t B t t Cálculo d ivers d mtri det 7 det t cof dj 7 7 7 7 Oservções: Um mtri qudrd que possui seu determite diferete de ero é chmd mtri regulr ou ão-sigulr Logo, é iversível Um mtri qudrd que possui seu determite igul ero é chmd mtri ão regulr ou sigulr Logo, ão é iversível () Eercícios Se e f ( ), clcule f det se cos Determie ivers d mtri, cso eist cos se IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut Verifique se mtri dmite ivers, cso positivo, clcule- Clcule pr que eist ivers d mtri Clculr ivers ds mtries, cso eist: ) ) 7 B PROPRIEDDES DOS DETERMINNTES º) Qudo todos os elemetos de um fil (lih ou colu) são ulos, o determite dess mtri é ulo Eemplos: ) ( ) ( ) ( ) ( º) Se dus fils prlels de um mtri são iguis, etão seu determite é ulo Eemplos: ) ( ) (
Professor Muricio Lut ( ) ( ) º) Se dus prlels de um mtri são proporciois, etão o seu determite é ulo Eemplos: L L ( ) ( ) C C ( ) ( ) º) Se o elemeto de um fil de um mtri são comições lieres dos elemetos correspodetes de fils prlels, etão seu determite é ulo Comições lieres de dus ou mis fils prlels de um determite é um fil prlel às fils cosiderds, represetdos pel som dos produtos ds fils por úmeros reis Eemplos: C C C 7-7 - ( ) ( ) L L L 9 - ( ) ( ) 7 7 7 9-7 9 IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut º) O determite de um mtri ão se lter qudo sommos os elemetos de um fil um comição lier dos elemetos correspodetes de fils prlels Eemplo: ( ) (9 ) C C C - - ( ) ( ) 7 L L L 7 - (7 ) ( ) - 7 - - 7 º) O determite de um mtri e o de su trspost são iguis Eemplo: Sej mtri det, clcule det e det t ( ) det t ( ) Portto det =det t IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut 7º) Multiplicdo por um úmero rel todos os elemetos de um fil em um mtri, o determite fic multiplicdo por esse úmero Eemplo: ) (9 ) ( ) ( ) ( C C ou sej, det =, como multiplicmos colu por o det fic multiplicdo tmém por, o ovo det = º) Qudo trocmos s posições de dus fils prlels, o determite de um mtri mud de sil Eemplo: ) (9 ) ( ) ( ) (9 ) ( ) (9 9º) Qudo em um mtri os elemetos cim ou io d digol pricipl são todos ulos, o determite é igul o produto dos elemetos dess digol Eemplos: ) ( ) ( 7 7 7
Professor Muricio Lut 7 7 7 7 ( ) ( ) º) O determite do produto ds mtries e B é igul o produto do determite pelo determite B, ou sej det det B det( B) Eemplo: Sejs s mtries B det( B) 7 e B 7 9 7 7 7 det det B 7 det det B ( )7 7 det( B) º) Multiplicdo-se mtri de ordem pelo úmero rel otém-se mtri, de modo que det( ) det Eemplo: Sej mtri det( ) de ordem e = det det ( ) ( ), portto det( ) det IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut () Eercícios O determite de um mtri é Se multiplicrmos segud lih dess mtri por e dividirmos su primeir colu por 9, o determite d ov mtri será: ) 7 ) c) d) e) Dd mtri, clcule o determite de Se é um mtri qudrd de ordem, tl que determite de, +=, clcule det Se é um mtri qudrd de ordem, det =, clculr o determite de Sedo e B mtries qudrds de ordem, se det = e det B=, clcule det ( B ) Sedo que mtri é tl que det =, clcule det - 7 Clcule os determites trvés ds proprieddes, justificdo os vlores otidos: ) ) 9 9 c) 9 d) 9 Se det =, clcule det () t 9 Sejm e B dus mtries qudrds de mesm ordem Sedo que det = e det B=, clcule det (B) IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut 9 O vlor de um determite de º ordem é Se dividirmos º lih por 7 e multiplicrmos º colu por, o vlor do ovo determite será? O determite de um mtri qudrd vle Qudo vlerá o ovo determite, se multiplicrmos º lih d mtri por e dividirmos º colu por? Se é um mtri qudrd, t su trspost e det =, etão det t é igul : ) ) c) d) ½ e) ¼ Multiplicdo-se º lih d mtri por e segud por, otém-se mtri B Se det =, etão det B é: ) ) c) d) e) O determite de um mtri qudrd é Trocdo-se etre si º lih com º lih e dividido º colu por 7, o ovo vlor do determite será: ) ) c) d) e) Se 9, etão 9 vle: ) ) / c) / d) e) Se, etão c c é igul : ) ) c) d) e) 7 Um mtri de terceir ordem tem determite O determite de é: ) ) c) d) e) IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut Se é um mtri qudrd de º ordem e det =, etão det é igul : ) ) c) d) e) 9 Se é um mtri qudrd de terceir ordem e det =, dest form det é igul : ) ) c) d) e) Sejm e B mtries qudrds de ordem Se det = e B, etão det B é: ) ) c) d) e) () Eercícios complemetres Sejm e B mtries qudrds de ordem e O mtri ul de ordem Etão, firmtiv corret é seguite: ) Se t é mtri trspost de, etão det t det ) Se det, eiste mtri ivers - e dos coftores de c) Se B=O, etão =O ou B=O d) (-B) = -B+B e) Se, etão det ()=(det ), pr todo t ( cof det ), ode cof é mtri Sejm, B e C mtries reis, tis que B=C -, B= e det C= Etão o vlor de det é ) / ) / c) d) e) IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut lise s firmtivs seguir ( ) I mtri é iversível se = c ( c ) II Se det (B)=m, pode-se grtir que eiste det e det B III Se det =m e det B=/m, etão det (B)= Está(ão) corret(s) ) pes I ) pes II c) pes III d) pes I e III e) I, II, III Sej mtri com determite ão-ulo Se det =det (+), etão det é ) ) c) d) e) Sejm e B mtries reis qudrds de ordem Se det =det B, etão det t B é igul t ) ) ½ c) det d) det e) Dd mtri é, com, o itervlo rel pr o qul det t < ) (-, [ ) ], ) c) [-, [ d) ], ] e) ]-, /[ 7 Cosidere um mtri, ode =(ij) Pode(m)-se firmr: / I det det II Se j=j, j, etão det = III Se det, etão det det - = Está(ão) corret(s) ) pes I ) pes I e II c) pes II e III d) pes III e) pes I e III IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut Dds mtries qudrds, I e sedo um úmero rel, cosidere mtri -I ssile V s firmtivs verddeirs e F s flss ( ) I ( ) det (-I) pr todo rel ( ) -I é iversível se e sequêci corret é ) V F F ) F V F c) V V V d) F F V e) V F V 9 s firmções seguir referem-se mtries e determites ssile V s verddeirs e F s flss ( ) solução d equção é ( ) Se e B são mtries qudrds de ordem e =B, com úmero rel, etão det = (det B) ( ) Se é um mtri de ordem mp e B é um mtri de ordem q, o produto B é defiido se p=q e, esse cso, ordem d mtri produto B será m sequêci corret é ) V F V ) V F F c) F V F d) F V V e) F F V se cos Cosidere equção cos se som de sus soluções, o itervlo, é igul ) -/ ) c) d) / e) / IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut GBRITOS () ), S ) S c), S S, = - e = ) ) ) ) c) 7 9 ) ) c) d) e) () ) ) - ) ) c) d) ), S ), S d 7 D 9 () se cos cos se S / ' e " ) ) Não eiste ivers () 7 ), º propr ), º propr C), º propr d) -, 9º propr 9 e e e 7 d c 9 d c () c c e 7 e e 9 d e IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut SISTEMS LINERES DEFINIÇÃO Cosideremos um equção d form: ++++=, ode,,,, e são úmeros cohecidos e,,,, são vriáveis Um equção desse tipo é chmd equção lier de icógits sore Eemplos: = += ++= -+-= Nomecltur: Coeficietes: são os úmeros reis,,,, Termo idepedete: é o úmero rel Icógits: são os úmeros reis,,,, Oservção: Não são lieres, por eemplo, s equções:, pois icógit tem epoete Ns equções lieres, o epoete de cd icógit é sempre, pois icógit tem epoete ½, pois icógit tem epoete, pois eiste um termo com o produto Ns equções lieres, s icógits precem isoldmete em cd tero IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut SOLUÇÃO DE UM EQUÇÃO LINER Cosideremos equção lier de icógits sore : ++++= Chm-se solução dess equção um seqüêci de úmeros reis (,,,, ) tl que, sustituido-se respectivmete s icógits: por, por, por,, por otém-se iguldde verddeir: ++++= Eemplos: O pr (,) é solução d equção: +=, pois += orded (,,,) ão é solução d equção: +--t=, pois +--= EQUÇÕES LINERES É tod equção d form ++++=, ode:,,,, são os coeficietes;,,,, são s icógits Eemplos: +=, equção lier de icógits; +-=, equção lier de icógits; ++-t=-, equção lier de icógits Oservções: Oserve que os epoete ds icógits são iguis um; IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut Qudo o termo idepedete for igul ero, equção lier deomi-se equção lier homogêi, por eemplo -=; Um equção lier ão preset termos d form,, ½,, isto é, cd termo d equção lier tem um icógit, cujo epoete é sempre solução de um equção lier icógits é sequêci de úmeros reis, (,,,, ) que colocmos respectivmete o lugr de,,,, que torm verddeir iguldde dd () Eercícios che dus soluções de equção += ) =- ) = Determie m pr que (-,, -) sej solução d equção m+-= Dd equção che pr que (, +) tore seteç verddeir SISTEMS LINERES Defiição equções lieres Chm-se sistem lier um cojuto formdo por dus ou mis Eemplos: SL SL é um sistem lier de dus equções e dus icógits SL SL é um sistem lier de dus equções e três icógits IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut 7 SL SL é um sistem lier de três equções e dus icógits Um sistem lier de m equções (m ) de icógits (,,,, ) pode ser ssim escrito: m m m m m SL Vej que, est otção, os coeficietes ds icógits possuem dois ídices: o primeiro represet equção e o segudo represet icógit à qul o coeficiete pertece Por eemplo: represet, º equção, o coeficiete de represet, º equção, o coeficiete de represet, º equção, o coeficiete de Solução e cojuto solução de um sistem lier Já semos em que codições um sequêci de úmeros reis (,,,, ) é solução de um equção lier de icógits Pr que um sequêci de úmeros reis sej solução de um sistem lier de m equções icógits, el deve ser, simultemete, solução de tods s m equções desse sistem Eemplos: Cosidere este sistem lier: 7
Professor Muricio Lut Neste sistem de dus equções dus icógits, tod solução é um pr ordedo (pois são dus s icógits) Vej que o pr ordedo (, ) é solução do sistem, pois: 7 Cosidere o sistem lier: Como gor temos três icógits, cd solução será um ter orded de úmeros Vej que s ters (,, ) e (,, ) são soluções do sistem, pois: e O cojuto solução de um sistem lier é o cojuto formdo por tods s soluções desse sistem Se o cojuto ordedo de úmeros reis (,,,, ) stisfer tods s equções do sistem, será deomido solução do sistem lier Oservção: Se o termo idepedete de tods s equções do sistem for ulo, isto é, ==== o sistem lier será dito homogêeo Eemplo: Um solução evidete do sistem lier homogêeo é === Est solução chm-se solução trivil do sistem lier homogêeo Outr solução, ode s icógits ão são tods uls, será chmd solução ão trivil IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut 9 m m m m Solução trivil: ===== Solução ão trivil: qulquer outr solução s icógits ão são tods uls () Eercícios Sej o sistem S ) Verifique se (, -, ) é solução do sistem ) Verifique se (,, ) é solução do sistem Sej o sistem 9, clcule pr que o sistem sej homogêeo SISTEMS LINERES EQUIVLENTES Se dois sistems lieres S e S dmitem mesm solução, eles são ditos sistems equivletes Eemplo: Clculr m e, de modo que sejm equivletes os sistems: e m m
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut Resolução: Cálculo do e : Sustituido-se e o segudo sistem, vem: ) ( m m m m m m m m Portto = e m= () Eercícios Verifique se os sistems 7 S e 9 S são equivletes Determie e de modo que sejm equivletes os sistems: e EXPRESSÃO MTRICIL DE UM SISTEM DE EQUÇÕES LINERES Detre sus vrids plicções, s mtries são utilids resolução de um sistem de equções lieres Sej o sistem lier: m m m m m
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut Utilido mtries, podemos represetr este sistem d seguite form: m m m () () () () mtri costituíd pelos coeficietes ds icógits; () mtri colu costituíd pels icógits; () mtri colu dos termos idepedetes Eemplo: Represete o seguite sistem form mtricil: 7 Resolução: Ele pode ser represetdo por meio de mtries d seguite form: 7 Oserve que se efeturmos multiplicção iremos oter o sistem ddo Oservção: Sej o sistem Mtri complet: é mtri formd pelos coeficietes ds icógits e pelos termos idepedetes Mtri icomplet: é mtri formd pelos coeficietes ds icógits
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut Mtri ds icógits: é mtri colu formd pels icógits do sistem Mtri dos termos idepedetes: é mtri colu formd pelos termos idepedetes do sistem () Eercícios Epresse mtricilmete os sistems: ) ) c c c epressão mtricil de um sistem S é 7, determie s equções de S Ddos os sistems, oteh s mtries complets ssocids: ) ) Dds s mtries complets, escrever os sistems els ssocidos: ) 9 )
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut 7 SISTEM LINER NORML É um sistem lier de equções e icógits em que o determite d mtri dos coeficietes ds icógits é diferete de ero Cosidere os seguites sistems: ) S, S é um sistem orml, pois ) S, S ão é um sistem orml, porque o úmero de equções é diferete do úmero de icógits c) 7 S, S ão é um sistem orml pois 7 Resumo: º º dsicógits mtri coef icógits equções Norml Lier Sist () Eercícios Verifique se os sistems io são ormis: ) ) 9 Determie os vlores de (), pr que os sistems sejm ormis: ) 9 7 ) ) ( ) (
Professor Muricio Lut REGR DE CRMER Regr de Crmer cosiste um método pr se resolver um sistem lier orml Cosideremos o sistem de equções lieres icógits m m m Cosideremos os seguites determites, cujs mtries são formds com os coeficietes do sistem ddo: ) Determites dos coeficietes: m m m ) Determites ds icógits: m m é o determite otido de, sustituido-se colu dos coeficietes pel colu dos temos idepedetes m m é o determite otido de, sustituido-se colu dos coeficietes pel colu dos temos idepedetes IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut E ssim sucessivmete, té m m Pr otermos su solução, clculmos: º) () determite d mtri formd pelos coeficietes ds vriáveis do sistem º) (,,, ) determites ds mtries otids prtir de, sustituido colu dos coeficietes pel colu dos termos idepedetes do sistem º) solução do sistem lier é dd por:,,, Eemplo: Ecotrr solução do sistem 7 Resolução: 7 7 7 7 7 7 7 S={(,)} IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut () Eercícios Resolv os sistems seguir, utilido regr de crmer ) ) 9 c) 9 d) c c c e) f) 9 DISCUSSÃO DE UM SISTEM LINER Sej o sistem lier de equções icógits m m m Discutir o sistem é ser se ele é possível, impossível ou idetermido Utilido Regr de Crmer, temos:,,, Sistem possível ou comptível (qudo dmite solução): Sistem possível determido (dmite um úic solução), Sistem possível e idetermido (dmite ifiits soluções), Sistem impossível ou icomptível (qudo ão dmite soluções), = e pelo meos um dos
Professor Muricio Lut 7 Eemplos: Ecotrr solução do sistem m Resolução: m m m, m, Discussão: : SPD:, --m, m- S P I: Não eiste m, pois = SI: =, m=- e Determie m, de modo que o sistem icomptível Resolução: m m m m m m m Fedo = -m-= m=- = m-= m=- = m+= m=- sej impossível ou Sedo =- qudo = ou sej m=-; o sistem é impossível, pois pr m=- teremos: (idetermido) (impossível), (impossível) e IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut Discut e resolv o sistem Resolução: Se =, o sistem pode ser: SPI? ou SI?,, Sedo ====, logo o sistem é SPI Vmos gor descorir su solução gerl Fedo = e usdo s dus primeirs equções, vmos oter um sistem de icógits e, ode Temos: =, =-, =+ e Portdo solução gerl é {(-, +,)} (7) Eercícios Clssifique e resolv os sistems: ) ) c) Discut os sistems: ) m m )
Professor Muricio Lut 9 Determie pr que o sistem idicdo sej determido: Clcule os vlores de pr que o sistem sej comptível e determido Determie e pr que o sistem sej idetermido Discutir e resolver o sistem 7 DISCUSSÃO DE UM SISTEM LINER HOMOGÊNEO Como já vimos, um sistem lier homogêeo é formdo por equções cujos termos idepedetes são todos ulos Todo o sistem lier homogêeo é sempre possível pois dmite solução (,, ), chmd solução trivil Oserve que pr um sistem homogêeo teremos sempre =, =,, = (pois sempre um colu será tod ero, logo, pel propriedde, o determite é ulo) Portto, pr discussão de um sistem lier homogêeo é suficiete o estudo dos determites ds icógits Sistem possível determido, (o sistem dmite solução trivil e sem soluções própris) Sistem possível e idetermido, = (o sistem dmite solução trivil e soluções própris) IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut Eemplos: Verifique se o sistem é determido () ou idetermido (=) Resolução: SPD, como, o sistem é determido Clcule o vlor de m pr que o sistem m teh somete solução trivil Resolução: Pr que o sistem teh somete solução trivil, isto é, sej determido, é ecessário que m m m m m m S m/ m Clcule o vlor de pr que o sistem teh soluções diferetes d trivil Resolução: Pr ter soluções diferetes d trivil o sistem tem que ser possível e idetermido, isto é, = IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut Portto {,} () Eercícios Clssifique, quto o úmero de soluções, os seguites sistems homogêeos ) ) c) Determie m pr que o sistem m teh soluções própris Clcule o vlor de, pr que o sistem dmit soluções distits de (,, ) Qul deve ser o vlor de pr que o sistem dmit somete solução ul? Clssifique e resolv os sistems: ) ) 9 c)
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut SISTEMS ESCLONDOS Defiição Um sistem lier se di esclodo (em form de escd) se o úmero e coeficietes ulos, tes do primeiro coeficiete ão ulo, umetr de equção equção, de cim pr io, té que restem, evetulmete, o fil, equções com todos os coeficietes ds icógits ulos Eemplos: S t t t t S Método d elimição gussi Cosiste em sustituir o sistem ddos por outro que lhe sej equivlete e mis simples, chmdo sistem esclodo Este método é tmém chmdo de método de esclometo prcil Eemplos: S t t t t S Procedimetos pr esclor um sistem: Fimos como primeir equção um ds que possu o coeficiete d primeir vriável diferete de ero; Utilido s operções elemetres, ulmos todos os coeficietes d primeir vriável ds demis equções; ulmos todos os coeficietes d segud vriável prtir d terceir equção; Repetimos o processo com s demis vriáveis, té que o sistem se tore esclodo,
Professor Muricio Lut Eemplos: Resolver o sistem 7 7 Resolução: 7 7 7 7 º) Multiplicr primeir equção por (-) e dicior com segud equção, sustituido est: 7 7-7 - - 7 º) Multiplicr primeir equção por (-/) e dicior com terceir equção, sustituido est: 7-7 - - º Multiplicr segud equção por (/7) e dicior com terceir equção, sustituido est: 7 7 7 7-7 - - -7/7 -/7 IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
Professor Muricio Lut O sistem esclodo é: ( I) 7 ( II ) 7 ( III ) 7 7 De (III), otemos Sustituido em (II), otemos e sustituido esses vlores em (I), teremos Portdo solução do sistem é S={(,, )} Resolver o sistem Resolução: 7 L L L - L L L - - 7 / ) ( L - - - -9 - - -/ -/ -9 - - L L 9L L -/ -/ -/ -/ - / -/ -/ -/ Logo Sustituido º equção, otemos, e sustituido os vlores teriores º equção oteremos Portto S={(, -, )} IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut (9) Eercícios Escloe e resolv os seguites sistems: ) 9 ) c) d) e) f) Resolv, trvés do esclometo, os seguites sistems: ) ) c) d) e) f) 7 () Eercícios complemetres Ddo o sistem de equções lieres com,, etão, ) se -, o sistem é possível e determido ) se =- e, o sistem é possível e determido c) se -, o sistem é impossível d) se - e =, o sistem é possível e idetermido e) se =- e =, o sistem é possível e determido
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut Sejm e úmeros reis tis que o sistem t t t dmit solução Etão o vlor de e o vlor de devem ser, respectivmete, ) e ) e c) e d) e e) e Cosidere o seguite sistem de equções lieres: t t t etão, pode-se firmr que o sistem é ) impossível ) possível e determido c) possível e qulquer solução (,,, t) é tl que os úmeros,,, formm, est ordem, um progressão ritmétic d) possível e qulquer solução (,,, t) é tl que os úmeros,,, formm, est ordem, um progressão geométric e) possível, porém ão dmite solução ul Ddo o sistem t t t os vlores de,, e t, est ordem, que stisfem o sistem, ) formm um PG crescete ) formm um PG decrescete c) formm um P decrescete d) formm um P crescete e) são todos iguis
Professor Muricio Lut 7 Cosidere o seguite sistem de equções lieres: ( ) 7 Etão pode-se firmr que ) eistem etmete dois vlores reis de pr os quis o sistem ão tem solução ) eiste um úico vlor rel de pr o qul o sistem dmite ifiits soluções c) o sistem ão tem solução pr todo d) o sistem ão tem solução pr =½ e) o sistem dmite solução pr todo ½ Cosidere s firmtivs referetes o sistem ode,,, ( ), idicdo se são verddeirs (V) ou flss (F) ( ) Se /, o sistem é possível e determido ( ) Se =/, o sistem é impossível ( ) Se =/, o sistem é possível e idetermido sequêci corret é ) V F V ) F V F c) V V F d) V F F e) F F V 7 O vlor d epressão ( ), ode, e são soluções do sistem é ) ) c) d) e) IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut ssile V s firmtivs verddeirs e F s flss, com referêci o sistem lier, com ( ) det ( ) Se, etão o sistem é possível e idetermido ( ) Se, etão o sistem é impossível sequêci corret é ) V F V ) F V F c) F V V d) V F F e) V V F 9 sistem lier ) é possível e determido ) é possível e idetermido c) é impossível d) tem som de sus soluções igul e) tem o produto de sus soluções igul Cosidere o sistem lier ode e são úmeros reis ssile V s firmções verddeirs e F s flss ( ) Se =-, o sistem é impossível qulquer que sej ( ) Se, o sistem tem ifiits soluções qulquer que sej ( ) Se -, o sistem é possível e determido qulquer que sej sequêci corret é ) V V F ) V V V c) V F V d) F F V e) F V F
IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur Professor Muricio Lut 9 GBRITOS () ) = - ) = m= - () ) é solução ) ão é solução K= - () São equivlete =; = () ) ) c 7 ) ) ) 9 ) () ) É SLN ) Não é SLN ) e / S ) / S () ), S ), S c),, S d) 9,, 9 S e), S f),, S (7) ) SPD;, S ) SPI; S, c) SI ) SPD se m - e SI se m= - ) SPD se m - e SI se m= - = ou = - = e = SPI; S,, () ) SPI ) SPI c) SPD m= = - ) S, 9, ) S, c) S,, (9) ),, S ) S,, c) S d), S e),, S f),, S ), S ) S c), S d) S,, e) S,, f) S () e c d c 7 d 9 c d
Professor Muricio Lut 7 REFERÊNCIS BIBLIOGRÁFICS BLD, telmo loisio, COGO, Sdr E Vielmo Mtries e Sistems de Equções Lieres Cdero Didático St Mri: UFSM, CCNE, Deprtmeto de Mtemátic, 997 Currículo Básico do PEIES Uiversidde Federl de St Mri Progrm de Igresso o Esio Superior V, St Mri, 999 DECISÔ PRÉ-VESTIBULR Mtemátic Polígrfo St Mri [s], 997, ão pgido ESCOL ESTDUL DE º GRU CILON ROS Mtries, Determites, Sistems de equções Lieres e álise Comitóri Polígrfo St Mri [s], 999, p FÓTON VESTIBULRES Mtemátic Polígrfo St Mri [s],, ão pgido GIOVNNI, J R, BONJORNO, J R Mtemátic V, Editor FTD S, São Pulo, 99 IEZZI, G, DOLCE, O, DEGENSZJN, D, PÉRIGO, R Mtemátic Volume Úico, Editor tul, São Pulo, SILV, J D, FERNNDES, V dos S, MBELINI, O D Mtemátic: Novo Esio Médio Volúme Úico Curso Completo Sistem de Esio IPEP, São Pulo, IF Frroupilh - Cmpus legrete RS 77 m 7 Psso Novo Foe/F: () -9 wwwliffrroupilhedur