Polos Olímpicos de Treinmento Curso de Álgebr - Nível Prof. Mrcelo Mendes Aul 9 Desigulddes - Prte II A Desiguldde de Cuchy-Schwrz Sejm,,..., n,b,b,...,b n números reis. Então: + +...+ ) n b +b +...+b ) n b + b +...+ n b n ). Perceb o pdrão que há n plicção dest desiguldde: multiplicmos os termos de mesm ordem de cd som do ldo esquerdo e, em seguid, extrímos riz qudrd; o resultdo é colocdo n posição correspondente no somtório do ldo direito, que será elevdo o qudrdo. Vejmos gor lguns exemplos ntes de presentrmos demonstrção d desiguldde. Exemplo Prove desiguldde entre s médis qudrátic e ritmétic pr n números reis positivos. Solução. O cso prticulr pr n = dess desiguldde preceu n ul nterior e solução presentd pens utilizou o fto de um qudrdo de número rel ser não-negtivo. Vejmos gor solução pr um quntidde qulquer. Por Cuchy-Schwrz, temos + +...+ n) + +...+ ) + +...+ n ) + +...+ n + +...+ n, n n como desejávmos expressão no ldo esquerdo é médi qudrátic dos n números,,..., n ).
POT 0 - Álgebr - Nível - Aul 9 - Prof. Mrcelo Mendes Exemplo Sejm,b,c números reis positivos. Prove que Solução. Por Cuchy-Schwrz: +b +c b+bc+c. +b +c ) b +c + ) b+bc+c). Extrindo riz qudrd, temos o resultdo. Demonstrção d Desiguldde de Cuchy-Schwrz) Considere função fx) = k x b k ). Desenvolvendo, teremos um função do o gru em x: cujo descriminnte é ddo por fx) = x k x k b k + ) = 4 k b k 4 k b k, ) Como f é um som de qudrdos, fx) 0, x R. Dí, 0 e segue o resultdo. Já iguldde ocorre qundo = 0. Nesse cso, f possui um riz dupl) x 0. Isso implic que k x 0 b k ) = 0. Ness som, todos os números envolvidos são reis e, portnto, seus qudrdos são não-negtivos. Assim, k x 0 b k = 0, k, o que indic que, pr iguldde, k e b k são proporcionis pr todo k. Problems b k ). Problem. Sej c o comprimento d hipotenus de um triângulo retângulo cujos ctetos medem e b. Prove que +b c. Solução. Do primeiro exemplo, com n =, temos Dí +b c +b) 4 ) +b. +b c.
POT 0 - Álgebr - Nível - Aul 9 - Prof. Mrcelo Mendes Problem. Sendo, b, c números reis positivos, mostre que +b + b+c + ) 9 c+ +b+c. Problem 3. Sejm x,x,...,x n números reis positivos e y,y,...,y n um permutção dos x i, i n. Prove desiguldde x y + x y +...+ x n y n x +x +...+x n. Solução. Pel desiguldde de Cuchy-Schwrz, segue x ) + x +...+ x n y +y +...+y n ) x +x +...+x n ). y y y n O resultdo segue do fto de x +x +...+x n = y +y +...+y n pois os y i são os x i em lgum ordem. Problem4. Bltic-Wy) Provequeprquisquerreispositivosx,x,...,x n,y,y,...,y n ocorre x i y i 4n. x i +y i ) Solução. Por Cuchy-Schwrz, grntimos que x i y i x i +y i ) x i +y i xi y i ). Pel desiguldde entre s médis ritmétic e geométric, obtemos Assim, x i y i x i +y i xi y i. x i +y i ) ) = n) = 4n. 3
POT 0 - Álgebr - Nível - Aul 9 - Prof. Mrcelo Mendes Problem 5. Se,b,c são números positivos, prove que b+b c+c ) c+b +c b ) 9 b c. Obs: Resolv esse problem de dus mneirs, utilizndo desiguldde entre s médis ritmétic e geométric e trvés d desiguldde de Cuchy-Schwrz. Problem 6. Sejm,,..., n,b,b,...,b n números reis positivos tis que b k. Mostre que k k +b k k. k = Problem 7. Se,,..., n,b,b,...,b n são n números reis positivos, mostre que ou ou b + b +...+ n b n n b + b +...+ b n n n. Problem 8. Sejm,b,c os ldos de um triângulo. Mostre que b+c + b c+ + c +b 3. Solução. Somndo cd frção do ldo esquerdo, obtemos +b+c b+c + +b+c c+ + +b+c +b 9. Pr mostrr ess últim desiguldde, vmos utilizr desiguldde de Cuchy-Schwrz [ +b+c [b+c)+c+)++b)] + +b+c + +b+c ] [ 3 ] +b+c b+c c+ +b [ +b+c [+b+c)] + +b+c + +b+c ] 9+b+c), b+c c+ +b de onde segue o resultdo. Problem 9. Se > 0,b > 0,c > 0, então prove que bc + c b + b c +b+c. 4
POT 0 - Álgebr - Nível - Aul 9 - Prof. Mrcelo Mendes Problem 0. Romêni) Prove que 3 bc + b3 c + c3 b reis positivos. +b+c, quisquer que sejm,b,c Problem. Sejm,b,c,d números reis positivos. Mostre que + b + 4 c + 6 d 64 +b+c+d. Solução. Pel desiguldde de Cuchy-Schwrz, obtemos +b+c+d) + b + 4 c + 6 ) +++4) = 64, d de onde segue o resultdo. 5
POT 0 - Álgebr - Nível - Aul 9 - Prof. Mrcelo Mendes Dics. Psse +b+c pr esquerd e escrev +b+c) = +b)+b+c)+c+). 5. Fç primeir solução trvés d desiguldde entre s médis ritmétic e geométric plicd cd som em prênteses do ldo esquerdo. A segund pode ser obtid trvés d desiguldde de Cuchy-Schwrz reescrevendo c+b +c b como c b+ c+b. k 6. Multiplique por k +b k ), plique desiguldde de Cuchy-Schwrz k +b k e lembre-se de que k +b k ) = k. 7. Suponh + +...+ n < n ou b + b +...+ b n < n e plique desiguldde b b b n n de Cuchy-Schwrz com s soms nos ldos esquerdos desss dus desigulddes. Conclu, ssim, um bsurdo. 9. Escrev bc bc = utilize o exemplo. repit o mesmo pr s demis prcels do ldo esquerdo) e 0. Repit idei do problem 9. 6
POT 0 - Álgebr - Nível - Aul 9 - Prof. Mrcelo Mendes Soluções. Por Cuchy-Schwrz +b)+b+c)+c+)) +b + b+c + ) ++) = 9. c+ 5. Solução. Pel desiguldde entre s médis ritmétic e geométric, temos b+b c+c 3 3 b b c c b+b c+c 3bc. Anlogmente, c+b +c b 3bc. Multiplicndo esss dus desigulddes, segue o resultdo. Solução. Por Cuchy-Schwrz, obtemos b+b c+c ) c b+ c+b ) bc+bc+bc) = 9 b c. 6. Por Cuchy-Schwrz, obtemos k k +b k ) k +b k ) k k k +b k ) k k k k +b k k. 7. Supondo + +... + n < n ou b + b +... + b n < n. Pel desiguldde de b b b n n Cuchy-Schwrz e pel últim hipótese, temos n + +...+ ) n b + b +...+ b ) n < n, b b b n n 7
POT 0 - Álgebr - Nível - Aul 9 - Prof. Mrcelo Mendes um bsurdo. Logo, o menos um ds desigulddes b + b +...+ n b n n, é verddeir. b + b +...+ b n n n 9. Utilizndo o resultdo do exemplo, obtemos bc + c + b b c bc c b + c b b c + b bc c = c++b. 8