CONTROLE DE REVISÕES REVISÃO AUTOR(ES) DATA

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA AEROESPACIAL INSTITUTO DE PESQUISAS E ENSAIOS EM VOO DIVISÃO DE FORMAÇÃO EM ENSAIOS EM VOO CURSO DE PREPARAÇÃO PARA RECEBIMENTO DE AERONAVES MATEMÁTICA AC-0

CONTROLE DE REVISÕES REVISÃO AUTOR(ES) DATA ORIGINAL ª REVISÃO Thís Frnchi Cruz - º Ten Eng 008 ª REVISÃO ª REVISÃO ª REVISÃO ii

SUMÁRIO - NOÇÕES BÁSICAS (I).... - OBSERVAÇÕES SOBRE A OPERAÇÃO DIVISÃO.... - PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO (ENTRE NÚMEROS).... - PROPRIEDADES DA RELAÇÃO DE IGUALDADE (ENTRE NÚMEROS).... - POTENCIAÇÃO....5 - RADICIAÇÃO....6 - RESOLUÇÕES DE EQUAÇÕES... 5.7 - EQUAÇÕES DO o GRAU... 6.8 - SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES DO o GRAU COM DUAS INCÓGNITAS... 8.9 - INEQUAÇÕES DO o GRAU... 0.0 - PRODUTOS NOTÁVEIS... 0. - FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS.... - RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES... - NOÇÕES BÁSICAS (II)... 5. - CONJUNTOS... 5.. - Noções Primitivs... 5.. - Definições... 6.. - Operções com Conjuntos... 9... - Reunião (ou união) de conjuntos... 9... - Interseção de conjuntos... 9... - Diferenç de Conjuntos.... 0... - Complementr de B em A.... - CONJUNTOS NUMÉRICOS..... - Conjunto dos Números Nturis: N..... - Conjunto dos Números Inteiros: Z..... - Conjunto dos Números Rcionis: Q... 5.. - Conjunto dos Números Reis: R... 6..5 - Ret Numéric... 6. - MÓDULO... 9.. - Definição... 9.. - Proprieddes... 0. - POTÊNCIA DE EXPOENTE REAL... 0.5 - LOGARITMOS....5. - Definição....5. - Proprieddes dos Logritmos....5. - Logritmos Especiis... 6 iii

- NOÇÕES BÁSICAS (III)... 7. - GEOMETRIA... 7.. - Geometri Pln... 7... - Ângulo... 7... - Outrs Definições Importntes... 8... - Triângulos... 0... - Teorem ds Prlels (ou de Tles)......5 - Áre dos Principis Polígonos..... - Geometri Espcil... 7. - TRIGONOMETRIA... 5.. - Trigonometri no Triângulo Retângulo... 5.. - Rdino... 55.. - Circunferênci Trigonométric... 56.. - Arcos Côngruos... 58..5 - Relções Trigonométrics... 60..6 - Trigonometri num Triângulo Qulquer... 6..7 - Adição e Subtrção de Arcos... 65..8 - Arco Duplo... 67..9 - Trnsformção em Produto (ftorção trigonométric)... 68..0 - Arcos Complementres... 69.. - Redução o Primeiro Qudrnte... 70. - GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA... 7.. - O Ponto... 7.. - A Ret... 76.. - Coeficiente Angulr de um Ret... 77.. - Form Reduzid d Equção d Ret... 78..5 - Feie de Rets Concorrentes... 79..6 - Prlelismo e Perpendiculrismo... 8. - POLINÔMIOS... 8.. - Introdução... 8.. - Operções com Polinômios... 85.. - Teorem do Resto... 87.. - Teorem de D Alembert... 87..5 - Dispositivo Prático de Briot-Ruffini... 88 - FUNÇÕES... 0. - GENERALIDADES SOBRE FUNÇÕES... 0.. - DEFINIÇÕES... 0.. - Função Rel de Um vriável Rel... 0 iv

.. - DEFINIÇÕES... 06.. - Função Compost e Função Invers... 08. - PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES..... - Função Constnte..... - Função Identidde..... - Função Afim..... - Função Modulr... 5..5 - Função Qudrátic (ou Função Trinômio do o Gru)... 5..6 - Função f :... 8..7 - Função Recíproc... 9..8 - Função Eponencil de Bse... 0..9 - Funções Trigonométrics.....0 - Função Logrítmic..... - Funções Trigonométrics Inverss.... - FUNÇÃO DEFINIDA POR VÁRIAS SENTENÇAS ABERTAS... 6 5 - VARIAÇÃO DO SINAL DAS FUNÇÕES... 5 5. - INTRODUÇÃO... 5 5. - EQUAÇÕES... 7 5.. - Definições... 7 5.. - Equções Polinomiis... 7 5.. - Equções Trigonométrics... 0 5.. - Eemplos Diversos... 5 5. - INEQUAÇÕES... 8 5.. - Definições... 8 5.. - Sinl ds Funções Afim e Qudrátic... 9 5.. - Solução Gerl de Inequção... 50 5. - IDENTIDADE... 6 5.. - Definição... 6 6 - LIMITE... 69 6. - NOÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO... 69 6. - LIMITES LATERAIS... 7 6. - LIMITES INFINITOS... 75 6. - LIMITES NO INFINITO... 79 7 - CONTINUIDADE... 96 7. - NOÇÃO DE CONTINUIDADE... 96 7.. - Definição... 96 7.. - Definição... 96 7.. - Definição... 96 v

7.. - Definição... 97 7..5 - Definição... 97 7. - PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS... 99 8 - DERIVADAS... 0 8. - INTRODUÇÃO - VELOCIDADE INSTANTÂNEA... 0 8. - DERIVADA... 07 8.. - Derivd no Ponto o... 07 8.. - Função Derivd... 08 8.. - Tbel de Derivds... 0 8.. - Derivds Sucessivs... 8..5 - Equções Diferenciis... 8. - GRÁFICOS E DERIVADAS... 5 8.. - Interpretção Geométric d Derivd... 5 8.. - Derivd e continuidde... 6 8.. - Vrição ds Funções... 8 9 - NOÇOES DE CÁLCULO INTEGRAL... 5 9. - INTRODUÇÃO - ÁREA... 5 9. - A INTEGRAL DEFINIDA... 7 9.. - Prtição... 7 9.. - Norm... 7 9.. - Som de Riemnn... 7 9.. - Função Integrável... 8 9. - O CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA... 8 9.. - PRIMITIVA... 8 9.. - CÁLCULO DA PRIMITIVA... 9 9. - ALGUMAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO... 5 9.. - Integrção por Substituição... 5 9.. - Integrção por Prtes... 5 9.. - Eemplos:... 5 vi

AC-0 NOÇÕES BÁSICAS (I) OBSERVAÇÕES SOBRE A OPERAÇÃO DIVISÃO 6 pois. 6 0 pois O. O 6 0 número).0 6 0 0 nenhum número (operção ineistente), pois (nenhum (qulquer número).o O qulquer número (resultdo indetermindo), pois Não eiste divisão por zero 0 0 Símbolo de indeterminção PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO (ENTRE NÚMEROS) ) Comuttiv (comutr trocr) b b ( ordem ds prcels não lter som). b b. ( ordem dos ftores não lter o produto) ) Associtiv ( b) c (b c) (. b).c. (b. c) ) Elemento neutro - d dição é o número zero; O e O, - d multiplicção é o número um.

AC-0. e., ) Propriedde distributiv d multiplicção em relção à dição. ( b).. b PROPRIEDADES DA RELAÇÃO DE IGUALDADE (ENTRE NÚMEROS) ) Refleiv: qulquer número se relcion com ele mesmo trvés d relção de iguldde () ) Simétric: se um número se relcion com outro trvés d relção de iguldde (), então recíproc tmbém é verddeir. b b, b ) Trnsitiv: se um número se relcion com outro trvés d relção de iguldde () e este outro com um terceiro, então o primeiro se relcion com o terceiro trvés d iguldde () b b c c, b, c Qulquer relção com ests três proprieddes é denomind relção de equivlênci. Outros eemplos: - relção "ser semelhnte" (entre triângulos) é de equivlênci; b - relção "iguldde" (entre conjuntos) é de equivlênci; c - relção "ser perpendiculr" (entre rets) não é de equivlênci.

AC-0 POTENCIAÇÃO n...... n ftores bse epoente 5.... potênci Qundo bse e o epoente é pr potênci positiv é negtiv (-) 6 e o epoente é impr potênci negtiv (-) -8 - Proprieddes ) m. n mn 7. 9 6 ) m : n m-n 5 6 : 5 8 5 - ) (. b) n n. b n (-) 6 ) ( : b) n n :b n ( ) 9 5 ) ( m ) n mn 7 ( 5 ) 5 - Epoente um: torn potênci igul à bse 5 5 ; 0 0 - Epoente zero: torn potênci igul um 5 o ; (-) o ; ( ) 0 7 - Epoente negtivo: inverte bse (que não pode ser zero) e torn-se positivo 5 7 5 ( ) ( ) ; ; ( ) 7 5 5

AC-0 - Epoente rcionl: o denomindor torn-se índice de um / rdicl 8 / 8 ; RADICIAÇÃO A riz n-ésim de um número b é um número tl que n b. n b n b 5 índice riz pois 5 (n N * ) rdicl rdicndo Outros eemplos: 8 pois 8 8 (-) - 8 - Proprieddes (pr 0, b 0 ) m n n: p n: p 5 0 n n ) n.b. b 6. ) n : n n : b b (b > 0) 5 6 5 6 ) m n ( ) m n 5 ( ) 5 m n mn 5) 5 0 - Bse negtiv e índice pr 9 pois ( ) 9 e 9 - Rdicndo negtivo

AC-0 8 pois ( ) 8 6 nenhum rel pois (nenhum rel) 6 Não eiste riz rel de número negtivo se o índice do rdicl for pr. se 0 e se < 0 ; ( ) RESOLUÇÕES DE EQUAÇÕES Isol-se incógnit por trnsposição dos números (de um membro pr o outro d equção) e concomitnte inversão ds operções por eles efetuds: dição multiplicção potencição subtrção divisão rdicição Eemplos: ) 7 7 - b) p 0 p 0 c) - 8 8 5

AC-0 n 7 d) n 7. e) 8 8 f), pois 6 g) 6 ± 6 ± -, pois (-) 6 EQUAÇÕES DO o GRAU São tods s equções n form b c O, onde, b e c são números reis e 0. Chm-se discriminnte d equção do o gru o número b -c - se < 0, equção não tem rízes reis. - se 0, equção tem dus rízes reis iguis. se > 0, equção tem dus rízes reis diferentes. Nos dois últimos csos, s rízes podem ser encontrds b ± pel fórmul e resolução: Eemplos: ) 0 b - c (-) -.. - não tem rízes reis 6

AC-0 b) 0 b - c (-).. 0 um riz rel ( ) ±. 0 8 c) - 0 b c -.. (-) 6 dus rízes reis ± 6. ± Vle tmbém relção: S P 0 onde S -b/ P c/. Neste cso equção pode ser resolvid por tenttiv: Eemplo: ) -5 6 O 5 S -b/ ( ) 5 5 6 P c/ ( ) 6. 6 b) - O O S P ( ). 7

AC-0 SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES DO o GRAU COM DUAS INCÓGNITAS Eemplo: y 5- y 7 Eistem vários métodos de resolução, entre os quis: ) Método de Adição Eemplos: Sommos s equções membro membro, desde que isto provoque einção de um ds incógnits e resolução d outr. y - y -6 - - Se, - então, em qulquer ds equções dds (por eemplo, primeir) : (-) y y y 5 A solução é o pr ordendo (- 5, ) b) Só nos interess somr s equções se nels houver termos que só diferem pelo sinl, pois eles serão eindos n som. Cso contrário, escolhemos um ds incógnits e, com os seus coeficientes, preprmos s equções pr serem somds. y 6y 7 9 tornndo os coeficientes de com sin l diferente y 7 6y 9 8

AC-0 Multiplicndo 6 8y y 6 8y 7 6 y Substituindo por num ds equções dds (por eemplo, segund): 6( ) 9 9 Solução do sistem: (, - ) ) Método d Substituição Isolmos um ds incógnits em um ds equções e substituímos, n outr equção, ess incógnit pel epressão encontrd. y y y 0 y ( ) y 0 6y y 0 y Substituindo esse vlor num ds dus equções (por eemplo, n segund) : -( ) 0-0 8 A solução é o pr (, ). 8 9

AC-0 INEQUAÇÕES DO o GRAU São desigulddes relcionds pels relções de ordem < e e sus respectivs inverss > e. Podem ser resolvids como s equções do gru (isolndo-se incógnit). Ms, se for necessário multiplicr ou dividir os membros d inequção por um número negtivo, devemos inverter relção de ordem. 5-7 5 - -5 7-5 8 pss dividindo -8 X 8 PRODUTOS NOTÁVEIS Por serem usuis, lgums multiplicções de epressões lgébrics podem ser efetuds observndo-se os seguintes modelos: ) Produto d som pel diferenç: ( b) ( - b) b ( 5) ( -5) ( ) 5 6 5 Qudrdo d som: ( b) b b (m 5n) (m). m. 5n (5n) 9m 0mn 5n 0

AC-0 Qudrdo d diferenç: ( - b) - b b ( ) ( ). FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS Podemos trnsformr polinômios em multiplicções de epressões mis simples, plicndo os csos de ftorção, entre os quis destcmos: Cso) Ftor comum os termos: pode ser colocdo em evidênci. b ( b) Eemplo: y 6y y...y...y.y y y. ( y ) Cso) Diferenç de dois qudrdos: é o produto d som pel diferenç ( produto notável). b ( b). ( b)

AC-0 Eemplo: 9 ( ) ( ) () Cso) Trinômio qudrdo perfeito: é o qudrdo de um som ou de um diferenç ( e produtos notáveis). ± b b ( ± b) Eemplos: ) - 0y 5y ( - 5y) () -.().(5y) (5y) b) 6 (6 ) (6 ).6. () 0 Cso) Trinômio do º gru: é o primeiro membro de um equção do o gru onde e são s rízes d equção b c 0. b c ( ) ( ) Eemplo: - -6 ( ) (- ) - - 6 b - c -6 ( ) ± 6 ± 8 ( )..( 6) 6. - Logo - -6.( ) (- )

AC-0 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Consiste em einr os rdicis do denomindor sem lterr frção. º Cso) Rdicl com índice : multiplicm-se o numerdor e o denomindor d frção pelo próprio rdicl ser eindo. Eemplo:. 5. 5. 5 5 5. 5. 5 0 º Cso) Dois rdicis com índice : multiplicm-se numerdor e denomindor pelo conjugdo do denomindor. (Obs.: o conjugdo de b é - b, e vice-vers). 5 ( 5 ( 5 )( 5 ) ) ( o produto notável) 5 5 5 5 5

AC-0 SIMBOLOGIA Eemplos igul. < menor que < 7 menor ou igul 8 8 > mior que - > -5 mior ou igul 6 5 proimdmente igul,,7 π, diferente 5 pr todo, qulquer que sej, - < implic, então > > O equivle, se e somente se > 5 5 < infinito (não é um número 0,,,,... tl que eiste não eiste / / eiste um e um só é perpendiculr // é prlelo portnto é elemento de {,,} é subconjunto de {} {,,}

AC-0 NOÇÕES BÁSICAS (II) CONJUNTOS.. - Noções Primitivs No estudo d Teori dos Conjuntos certs noções são considerds primitivs, isto é, ceits sem definição. São considerds primitivs s noções de conjunto, elemento e pertinênci. Atente pr s seguintes frses: - "conjunto ds flores" - "ros pertence o conjunto ds flores" - "ros é um elemento do conjunto ds flores" Observe que, mesmo não sendo definids s plvrs conjunto, elemento e pertinênci, todos nós temos um perfeit compreensão do significdo de cd um dels. Adotremos s seguintes convenções: conjunto: indicmos com miúscul: A,B,C, Elemento: indicmos com letr minúscul:,b,c, Pertinênci: o símbolo deve ser lido como "é elemento de" ou "pertence ". O símbolo é negção de. Eemplos: ) A, deve ser lido: "elemento pertence o conjunto A". b) b C, deve ser lido: "elemento b não pertence o conjunto C". c) B A está incorreto, pois relcion conjunto com conjunto. Um conjunto pode ser representdo de três mneirs básics: o ) Pel enumerção de seus elementos. Eemplos: ) conjunto ds vogis: {, e, i, o, u} 5

AC-0 b) conjunto dos números pres não negtivos: {0,,,6,8,...} c) conjunto dos inteiros de lo: {,,,..., 0} o ) Enuncindo um propriedde que crcteriz seus elementos. A { possui tl propriedde} A brr verticl quer dizer "tl que". Eemplos : { é vogl} { é número pr não negtivo} { 5n e n Ζ} conjunto dos múltiplos de 5..) Associndo seus elementos pontos dentro de um linh fechd que não se entrelç {digrms de Euler-Venn) {Fig..)... - Definições Conjunto unitário é quele que tem um só elemento. Eemplos : ) {} b) {5} c) { é mês com inicil d} 6

AC-0 Dois conjuntos A e B são iguis qundo todo elemento de A for elemento de B e todo elemento de B for elemento de A. Simbolicmente, escrevemos: A B (, A B ) Eemplos: ) {,5,7,9} {9,7,5,} b) {,,6} {,,6} (não interess ordem!) c) {,,,} {,} {elementos podem repetir!) comum. Se dois conjuntos são diferentes, escrevemos A B Dois conjuntos são disjuntos qundo não têm elementos em Eemplos: ) {,} e {,5} b) {,e,i} e {b,f,g,h} c) {,} e {,,5} são diferentes, ms não são disjuntos. Chmmos de conjunto vzio quele que não possui elemento e indicmos por ou { }. Eemplo: A { } Portnto, A ou A { } pois /. Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A for tmbém elemento de B. Notção: A B Lê-se: "A é subconjunto de B" ou "A está contido em B". Simbolicmente, temos: A B (, A B) Eemplos: ) {0,} c {0,,,} b) {,, 5} {,,,...} 7

AC-0 c){,,} {,,} M T d) T M Observções: ) D mesm form que dizemos que "A está contido em B", podemos dizer que "B contém A" e notmos: B A. ) "não contido" ) "não contém" Já vimos que os símbolos e só podem ser usdos pr relcionr elemento com conjunto; observe gor que os símbolos,,, só podem ser usdos pr relcionr conjunto com conjunto. Assim: A B A G corretos A ( é subconjunto de A), é incorreto, pois está relcionndo elemento com conjunto. O modo correto seri A ( é elemento de A). ) O conjunto vzio é subconjunto de qulquer conjunto. 5) Ddo um conjunto com n elementos, o totl de subconjuntos pode ser clculdo por n. Eemplos: ) Ddo o conjunto {,, }, em que n, teremos.. 8 subconjuntos, que são: {}, {}, {}, {,}, {,}, {, }, {,, }, b) Ddo o conjunto {, b, c, d}, em que n, o totl de subconjuntos será... 6 8

AC-0.. - Operções com Conjuntos Reunião (ou união) de conjuntos Ddos dois conjuntos A e B, chm-se conjunto união (ou reunião) de A e B o conjunto C dos elementos que pertencem A ou B. Simbolicmente: C A B lê-se: "A união B" C A B { A ou B Eemplos: ) {,} {,} {,,,} b) {,,} {,,5} {,,,5} c) {,5} {,,5} {,,5} d) {,,} {,,} e) {,} {,6} {,} {,,,,6}. f) Em digrm: Note, pelos eemplos c e d, que: B A A B A Interseção de conjuntos Ddos dois conjuntos A e B, chm-se interseção de A e B o conjunto C formdo por elementos que pertençm A e B simultnemente. Simbolicmente: C A B lê-se: "A inter B" C A B { A e B} Eemplos: 9

AC-0 ) {,,} {,,} {,} b) {,b,c,d} {} {} c) {,,6} {6} d) {,,5} {,,6} { } e) {,,} { } { } f) Em digrm: Note, pelos eemplos b e e, que: B A A B B Diferenç de Conjuntos. Ddos dois conjuntos A e B, chm-se diferenç entre os conjuntos A e B (nest ordem) o conjunto C formdo pelos elementos que pertençm A e não pertençm B. Simbolicmente: C A - B { A e B} Eemplos: ) A {, b, f} B {b, c, d, e} A - B {, f} B - A {c, d, e} b) {,} - {,,6} { } c) { } - {,} { } d) {,} - { } {,} 0

AC-0 e) Em digrm: Complementr de B em A Ddos dois conjuntos A e B, com condição de B estr contido em A, chm-se complementr de B em relção A o conjunto A B e escrevemos: C A B A - B Observção: Um conjunto U é chmdo universo qundo contém todos os outros conjuntos considerdos. O complementr de um conjunto A qulquer em relção U pode ser representdo por A, ou sej: A' A C U U A Eemplos: ) B {,,6} e A {,,,,5,6} C A B A B {,,5} b) A {,b,c} e B {,b,c,d,e} B C A não é possível, pois B A A C B B - A {d,e} c) U {,,5,6,7,8} ; A {,5,6} e B {5,8} A' {,7,8} B' {,,6,7}

AC-0 d) Em digrm: Os eemplos bio judrão o leitor fir s definições cim presentds. A {,,,} B {,,6,8} C {,,,5,7} ) A B C Solução: A B C {,,,,6,8,5,7} {,,...,8} ) A B C Solução: Só eiste um elemento comum os três conjuntos ddos, logo A B C {} ) (A B) C Solução: Inicilmente fzemos A B {,,,,6,8} Depois, {,,,,6,8} {,,,5,7} {,,} ) (A B) C Solução: A B {,} logo, {,} {,,,5,7} {,,,,5,7}

AC-0 5) (A - B) C Solução: A - B {,} logo, {,} {,,,5,7} {,} 6) Ddos os conjuntos A, B e C do digrm bio, hchure: CONJUNTOS NUMÉRICOS.. - Conjunto dos Números Nturis: N É o conjunto N {O,,,,, 5,... }

AC-0 Ecluindo-se zero desse conjunto, obtemos o conjunto dos números inteiros positivos, indicdo por N * {O,,,,, 5,... } (*indic eclusão do zero de um conjunto) Observe que não é sempre possível fzer operções com os nturis. Por eemplo: 7 9 (possível: 9 N) - 7 5 (possível: 5 N) 7-7 0 (possível: 0 N) 7 - -5 (impossível, pois -5 não é nturl: -5 N) Logo, subtrção ( - b) só é possível em N qundo b (" mior ou igul b"),, b N...5 - Conjunto dos Números Inteiros: Z É o conjunto Z {...-, -, -, 0,,,,... Ζ * conjunto dos números inteiros positivos Ζ * conjunto dos números inteiros negtivos Este conjunto inclui os números inteiros positivos, inteiros negtivos e o zero como elemento centrl. Ζ Ζ * Ζ* { 0}

AC-0 Dizemos que o oposto (ou simétrico) de é, de -5 é 5 e ssim por dinte. Observe que qulquer subtrção é gor possível em Z ms nem tod divisão é ind possivel: (0) : (-) -5 (possível, -5 R) :,5 (impossível, pois,,5 não é inteiro:,5 Z)..6 - Conjunto dos Números Rcionis: Q Vmos permitir gor o precimento de números não inteiros como resultdo d divisão de dois números inteiros. Por eemplo: 7 (7 : ) Z, então 7 :,5 é um número não inteiro. Todos os números que podem ser obtidos d divisão (rzão) entre números inteiros são chmdos números rcionis e formm o conjunto: Q Z e b Z b } Observe: o número b não pode ser zero. Eemplos de números rcionis: ) 0,5 Q b) 8 6 Q 0 c),... Q 5

AC-0 Atenção: Vemos que representção deciml de um número rcionl: ) ou é et ( 7,75) 7 ) ou é periódic ( 0,666...) Quer dizer: n divisão de inteiros, ou cont termin ou prolong-se repetitivmente (dízim períodic)...7 - Conjunto dos Números Reis: R Eistem números cuj representção deciml não é et e nem periódic, não sendo, portnto, números rcionis. São chmdos irrcionis.,56.. Q,59655... π Q Unindo o conjunto de todos esses números com o conjunto dos rcionis, formmos o conjunto R dos números reis. Note que todo número nturl é tmbém inteiro, todo inteiro é tmbém rcionl e todo rcionl é tmbém rel, portnto: N Z Q R..8 - Ret Numéric Um representção muito prátic pr o conjunto R é d por um ret (Figur.). Podemos ssocir cd um dos seus infinitos pontos um número rel e vice-vers. 6

AC-0 São importntes os seguintes subconjuntos de R: - Conjunto dos reis não negtivos (inclui o zero) R { X R 0 } zero) - Conjunto dos reis estritmente positivos (não inclui o R { R > 0} * - Conjunto dos reis não positivos (inclui o zero) R { R 0} zero) - Conjunto dos reis estritmente negtivos (não inclui o { R 0} R * < Subconjuntos de R como esses recebem o nome de intervlos. Um intervlo chm-se fechdo qundo possui os dois números etremos. Eemplo: O conjunto dos infinitos números reis que vão de té 5, inclusive estes, pode ser indicdo { R e 5} ou simplesmente { R 5}, ou ind [ ; 5]. 7

AC-0 Grficmente: Um intervlo chm-se berto qundo não possui os dois números etremos. Eemplos: - O conjunto { R - < < 5}, de todos os números reis entre - e, é um intervlo berto, podendo ser indicdo ]-;[ ou mesmo (;). Grficmente: Podem surgir tmbém csos como os que seguem. { R 0 < 6} ]0 ; 6] (intervlo berto à esquerd) { R } [ ; [ (intervlo berto à direit) Note ind que: R [0; [ R - ]- ;0] * R ]0; [ * R ]- ;0[ - Ddos os conjuntos A { R e > } e B { R e < X 6}, encontrr A B, A B, A - B e B - A. - Solução: 8

AC-0 Inicilmente, visulizemos os conjuntos A e B representndo-os grficmente. É conveniente rrumr s rets com os números mesms posições. Logo A B { R > } A B { R < X 6} A B { R X > 6} B - A { R < X } MÓDULO..9 - Definição Sendo R, define-se módulo ou vlor bsoluto de, que se indic por, trvés d relção: se 0 ou - se < 0 Isto signific que: ) o módulo de um número rel não negtivo é igul o próprio número; ) o módulo de um número rel negtivo é igul o simétrico desse número. 9

AC-0 Assim, por eemplo, temos:, -7 7, 0 0, - 5 5,..0 - Proprieddes Decorrem d definição s seguintes proprieddes: I 0, R II 0, 0 III. y y IV, R V y y VI e > 0 - VII e > 0 - ou POTÊNCIA DE EXPOENTE REAL Sendo um número rel positivo, pode-se determinr pr cd número b R (rcionl ou irrcionl) um único número b, que denominmos potênci de bse e epoente b de modo que se verifiquem s proprieddes: P b. c bc ; c R P (.b) c c.b c ; b > 0 e c R P ( b ) c bc ; c R P b c b-c ; c R 0

AC-0 P5 c ( c c ) b b ; b > 0 e C R Observções: Ddos R, b e c números reis, temos: ) > 0 b > 0 (sempre) ) b > c b > c pr > ) b > c b < c pr 0 < < Eemplos: ),5. 0,5,000.,,88 0,80,7 π 8,85 ) < 7 < 7 e ( ) > 7 ( ) < < e ( ) > ( ) π < 7 5 π < 5 /7 e ( ) 5 π > ( ) 5,7 LOGARITMOS.. - Definição Dá-se o nome de logritmo todo epoente cuj bse é positiv e diferente de um. Eemplos: ) 8 é igul logritmo n bse do número 8 b) ( ) é igul logritmo n bse / do número 6 /6 c) - é igul logritmo n bse do número 9 /9

AC-0 C log b c b onde 0 < b > 0 Nomencltur: ) c é logritmo ) é bse ) b é o logritmndo Eemplos: ) Clculr, pel definição, Solução: 8 log 8 log c c 8 c c ) Clculr pel definição: Solução: 8 log 8 log e > 0, então 8 ± 8 ± ± - (não convém) ) Clculr, pel definição, o vlor do logritmndo : Solução: log log 8 ) Clculr log 6 Solução: log 6 6 6 ( )

AC-0 Como conseqüêncis imedits d definição, vem que sendo 0 <, b > 0, c > 0 e α R, vlem s proprieddes: log b ) b ) log 0 ) log ) b c log b log c α 5) log α Eemplos: log 5 ) 5 b) log 5 0 (o logritmo de é sempre zero) c) log 5 5 d) log 5 log 5 e) log 5 5.. - Proprieddes dos Logritmos. propriedde: logritmo do produto log (b. b... b n ) log b log b log b n desde que 0 < e b,b,b,... b n > 0. propriedde: logritmo do quociente log b ( ) c log b log c desde que 0 < e b, c > 0. propriedde: logritmo d potênci log b α α. log b desde que 0 < e b > 0 e α R

AC-0 Conseqüêncis: α.) log α b. log b ) log n / n b log b. log b n Eemplos: ) Clculr log (9.7) Solução: Pel. propriedde, log log(9.7) log 9 log 7 5 8 ) Clculr log ( ) 6 Solução: Pel 8. propriedde, log ( ) log 8 - log 6 6-6 ) Clculr log (8 5 ) Solução: Pel propriedde log (8 5 ) 5 log 8 5. 0 ) Clculr log 5 7 7 Solução: log 5 7 7 log 7 7 /5 5.log7 7 5. 5

AC-0 propriedde: mudnç de bse Se, b, c são números reis e positivos, sendo e c então: log b log c. log c b que tmbém pode ser escrito: log b log log c c b Conseqüênci: Eemplos: log b, b log b ) Pssr o log 6 pr bse. log ) log log log 6 log log log 6 positivos, Observções: Ddos R - * {}, b e c números reis b c > ) b > c log > log se b b b > log > log se > log > 0 b b < 0 < b < log < log log 0 b c ) b > c log < log se 0 < < b b > log < log log < 0 se 0 < b 5

AC-0 b > 0 < b < log > log log 0 Eemplos: ) 7 > 5 log < 7 5 7 > log e log / log 5 / ) < 5 / log 5 < log e log > log /5 0,5 0,5 < ) log > log 0 < 5 5 > ) log > log 0 0 / < 5) log > 0 e log 0.. - Logritmos Especiis Os logritmos dos números reis positivos de bse 0 denominm-se logritmos decimis ou de Briggs. Indic-se logritmo de b > O n bse 0 pelo símbolo: log b Os logritmos dos números reis positivos de bse e denominm-se logritmos neperinos. Indic-se o logritmo de b > 0 n bse e pelo símbolo: ln b Obs: e /0! /! /! /! /!...,78... é um importnte número irrcionl, conhecido por número de Euler. 6

AC-0 NOÇÕES BÁSICAS (III) GEOMETRIA Como geometri bordd neste cpítulo it-se conceitos, definições e resultdos vistos, presentremos o ssunto d mneir mis breve e diret possível... - Geometri Pln Ângulo Trçndo num plno dus semi-rets de mesm origem, dividimo-lo em dus regiões, que recebem o nome de ângulos. O ângulo I diz-se conveo, o ângulo II côncvo. As semi-rets formm os ldos do ângulo e su origem é o vértice do ângulo. Os ângulos conveos recebem nomes especiis conforme su bertur. Note que dois ângulos retos consecutivos formm um rso e dois rsos consecutivos formm um ângulo de um volt. Em relção um circunferênci, um ângulo pode ocupr dus posições principis: ângulo centrl e ângulo inscrito, conforme o vértice estej, respectivmente, no centro ou n circunferênci. 7

AC-0 Pr medir ângulos usmos s mesms uniddes empregds n medid de rcos, ssim: ângulo centrl mesm medid do rco subtendido ângulo inscrito metde d medid do rco subtendido Outrs Definições Importntes ª) Dus rets no mesmo plno podem ser: ) Bissetriz é semi-ret que eqüiprte um ângulo. Os ângulos resultntes são, portnto, congruentes (mesm medid). ) Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.) são queles formdos por dus rets concorrentes. Ângulos o.p.v. são sempre congruentes. 8

AC-0 ) Se dus rets concorrentes formm ângulos retos, els se dizem perpendiculres (r s), cso contrário dizem-se oblíqus. 5 ) Meditriz de um segmento de ret é ret perpendiculr ele por seu ponto médio. Propriedde d meditriz: os seus pontos eqüidistm dos etremos do segmento. 6 ) Dois rcos (ou dois ângulos) dizem-se: ) complementres qundo som é 90. Eemplos: 0 o é o complemento de 70 o. b) suplementres qundo su som é 80. Eemplos: 0 o é o suplemento de 0 o. c) replementres qundo su som é 60. Eemplos: 60 é o replemento de 00. 7 ) Em relção um circunferênci, um ret pode ocupr três posições: etern, tngente ou secnte (respectivmente se não intercept circunferênci ou intercept em um ou dois pontos). 9

AC-0 - Proprieddes d ret tngente: el é perpendiculr o rio que pss pelo ponto de tngênci. Triângulos Clssificção qunto os ldos: - Eqüilátero: os ldos iguis; - Isósceles: ldos iguis; e - Escleno: os ldos desiguis. Clssificção qunto os ângulos: - Acutângulo: os ldos gudos (menores que 90 ); - Obtusângulo: um ângulo obtuso (mior que 90 ); e - Retângulo: um ângulo reto (90 ) - Altur (reltiv um ldo) É o segmento perpendiculr esse ldo (ou seu prolongmento) que o une o vértice oposto. 0

AC-0 As três lturs de um triângulo interceptm-se num mesmo ponto, chmdo ortocentro do triângulo. - Medin (reltiv um ldo) É o segmento que une o ponto médio desse ldo o vértice oposto. As três medins encontrm-se no ponto chmdo bricentro. - Incentro É o ponto de interseção ds bissetrizes dos ângulos internos. Propriedde do incentro: é o centro d circunferênci inscrit no triângulo. - Circuncentro triângulo É o ponto de interseção ds meditrizes dos ldos do Propriedde do circuncentro: é o centro d circunferênci circunscrit o triângulo. - Lei Angulr de Tles "A Som dos três ângulos internos de um triângulo é sempre igul dois retos (80 o )

AC-0 - Semelhnç de Triângulos Dois triângulos são semelhntes (~) qundo seus ldos homólogos (correspondentes) são proporcionis. Assim,, b c,, k (k chm-se rzão de semelhnç). b c - Propriedde Dois triângulos semelhntes têm os ângulos correspondentes congruentes e, reciprocmente, se dois triângulos têm os ângulos respectivmente congruentes, eles são semelhntes. ABC ~ A'B'C' A A', B B', C Teorem ds Prlels (ou de Tles) Um feie de rets prlels determin sobre dus rets trnsversis, dus séries de segmentos respectivmente proporcionis. Eemplos:

AC-0 - Relções Métrics no Triângulo Retângulo Ao ldo mior de um triângulo retângulo dmos o nome de hipotenus; os outros dois ctetos. A mis importnte relção métric é de Pitágors: "O qudrdo d hipotenus é igul à som dos qudrdos dos ctetos. Assim, b c N figur bio, h é ltur reltiv à hipotenus e divide nos segmentos m e n. válids: Eemplos: Pr todos estes segmentos s seguintes relções são h mn b n c m bc h

AC-0. No triângulo d figur, qunto vle? Solução: Trt-se de um triângulo retângulo onde hipotenus mede. Logo, pel relção de Pitágors: 69 69 5 ± 5 ± 5 Por trtr-se de um problem geométrico, desprezmos o resultdo negtivo. Logo, 5.. Qul é ltur de um triângulo eqüilátero (ldo l)? Solução: A ltur divide o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes, nos quis podemos plicr relção de Pitágors: l l ( ) h l l h h l l h l h ± l ± l l h. Qul é digonl de um qudrdo (ldo l)? Solução: Por Pitágors vem: d l l d l d ± l ± l d l Áre dos Principis Polígonos - Prlelogrmo: é um qudrilátero com os ldos opostos prlelos.

AC-0 - Retângulo: é um prlelogrmo com todos os ângulos retos. - Qudrdo: é um retângulo com todos os ldos congruentes. - Triângulo: su áre é metde d de um prlelogrmo. - Trpézio: é um qudrilátero com pens dois ldos prlelos. Tmbém equivle à metde de um prlelogrmo. A ( B b).h B bse mior b bse menor - Losngo: é um prlelogrmo com todos os ldos congruentes. Sus dus digonis são perpendiculres entre si. A D.d D digonl mior b digonl menor Polígonos Regulres: têm todos os ldos e todos os ângulos respectivmente congruentes, sendo inscritíveis em circunferêncis. Apótem (m) é distânci do ldo o centro do polígono regulr. 5

AC-0 Chmndo de p à metde do perímetro (semi-perímetro) do polígono regulr, su áre é dd por: A p.m Eemplos:. Qul o ldo do qudrdo de áre 8 m? Solução: A l 8 l l 8 9 m. Um retângulo tem um ldo medindo cm e digonl 5 cm. Clcule su áre. Solução: Por Pitágors, 5 h h A b. h. cm. Qul áre do prlelogrmo de bse 7 dm e ltur dm? Solução: A b. h 7. dm. Clcule áre do triângulo d figur o ldo. Solução: b h 8 km km A b.h 8. 8 km 5. Um trpézio de áre 8 cm tem um bse medindo 6 cm e ltur 0 mm. Clcule outr bse. Solução: B h b 6 cm 0 mm? cm ( B b) h (6 b) A 8 8 (6 b) 8 b 8 b b 6 b 8 cm 6

AC-0 6. Clcule áre do losngo com digonis medindo dm e 0 dm. D.d. 0 Solução: A 60 dm 7. Clcule áre d região hchurd: Solução: No qudrdo A l 6 m No círculo A r π π π m Logo, áre procurd é 6 - π, m 8. Qul áre do triângulo eqüilátero de ldo l? Solução: A ltur do triângulo eqüilátero é dd por l b.h Logo su áre será: A l h. l l..5 - Geometri Espcil Se rciocinrmos espcilmente, podemos imginr, "solts" no espço, um infinidde de figurs geométrics tis como s representds seguir: 7

AC-0 Observe o leitor que: ) Dizer que um ret r pss por um ponto P equivle dizer que esse ponto P pertence à ret r. ) Dizer que um plno α pss por um ret r equivle dizer que ret r está contid no plno α. ) Dizer que um ret r fur um plno α equivle dizer que entre eles há pens um ponto em comum. Sbemos que, num plno, dus rets distints ou são concorrentes ou são prlels ms, no espço, ocorre situção em que dus rets nem se encontrm nem são prlels, como é o cso ds rets indicds n figur seguir. Dus rets distints dizem-se reverss qundo não são nem concorrentes nem prlels. Se dus rets são reverss não eiste um plno que psse pels dus. Ou sej, nenhum plno contém simultnemente dus rets reverss. Se considerrmos um ret e um plno no espço, veremos que há três situções possíveis, conforme seguir: 8

AC-0 ) Um ret e um plno são prlelos, isto é, não tem nenhum ponto comum ( r // α r α φ). ) Um ret fur o plno, isto é, entre el e o plno há em comum um e pens um ponto. Esse ponto é interseção d ret com o plno, ou furo (ou trço) d ret no plno ( r α {P} ). ) A ret está contid no plno ( r α r α r). No cso de considerrmos dois plnos no espço há dus situções possíveis: ) Dois plnos são prlelos, isto é, não se encontrm ou não têm nenhum ponto em comum ( α β φ α// β). Qundo dois plnos são coincidentes tmbém os considermos prlelos ( α β α// β). ) Dois plnos são secntes, isto é, não são prlelos. Entre dois plnos secntes há em comum um e pens um ret. Agor, no cso de considerrmos três plnos secntes dois dois, é fácil perceber que eles têm três rets por interseção e que há dus situções possíveis: s três interseções são prlels entre si ou são concorrentes num único ponto: 9

AC-0 Aind é interessnte perceber que: ) Se um ret é perpendiculr um plno el é perpendiculr dus rets concorrentes desse plno. N verdde el será perpendiculr tmbém tods s outrs infinits rets do plno que pssm pelo ponto de interseção. ) Um plno é perpendiculr outro se pssr por um ret perpendiculr o outro. Em símbolos: ) Dus rets reverss dizem-se ortogonis se um prlel um dels for perpendiculr à outr. Por eemplo, s rets r e s que pssm pels rests do cubo d figur são ortogonis. Com efeito, ret t é prlel s s e perpendiculr r. Indic-se: r s. Outro eemplo: sej r α. Qulquer ret s do plno α que não psse pelo trço P de r em α é ortogonl r: conduzindo um ret t // s por P vemos que t r 50

AC-0 Dentre os mis vridos tipos de sólidos imgináveis, vmonos deter dois csos prticulres: o ) Prlelepípedo retângulo É itdo por seis retângulos, dois dois prlelos e congruentes. O volume é ddo pelo produto de sus três dimensões (comprimento, lrgur e ltur): V Prlelepípedo b c A áre de su superfície etern (áre totl) é áre dos seis retângulos: A t b b bc bc c c b bc c A t (b bc c) o ) Cubo É um prlelepípedo retângulo, ms formdo por seis qudrdos iguis. Logo, tem iguis tods s rests. V.. V cubo A áre dos seis qudrdos é áre totl: A t 6 Eemplo: Qul o volume do prlelepípedo retângulo cuj digonl mede 7 cm e dus de sus dimensões medem respectivmente cm e cm? Solução: Esboçndo um figur e nel mrcndo os ddos do problem, vemos que é necessári medid pr clculr o volume. Ms podemos, nteriormente, por Pitágors, clculr medid y (digonl de um ds fces): y y y 5

AC-0 Usndo Pitágors, novmente, no triângulo mior (pois tmbém é retângulo) obtemos: 7 ( ) 9 6 6 Logo, o volume será: V.. 6 6 cm TRIGONOMETRIA..6 - Trigonometri no Triângulo Retângulo Num triângulo retângulo, se dividimos medid de um cteto pel medid d hipotenus obtemos sempre um número menor que um, pois qulquer cteto é sempre menor que hipotenus. cteto oposto seno de um ângulo gudo hipotenus cosseno de um ângulo gudo tngente de um ângulo gudo cteto djcente hipotenus cteto oposto cteto djcente Assim, senos e cossenos de ângulos gudos são números compreendidos entre O e. No triângulo d figur nterior, o seno, o cosseno e tngente do ângulo α serim, respectivmente: sen α c cos α b tg α b c Por outro ldo, o seno, o cosseno e tngente do ângulo β, serim: sen β b cos β c tg β c b 5

AC-0 Podemos notr que: o ) sen α cos β c cos α sen β b Por outro ldo, sbemos que os ângulos gudos de um triângulo retângulo são complementres, isto é, α β 90 o. Logo: O cosseno de um ângulo é igul o seno do seu complemento (donde o nome cosseno) e, reciprocmente, o seno é igul o cosseno do complemento. Abrevidmente: cos α sen (90 o - α) e sen α cos (90 o - α) o ) tg α c b c b tg α sen α cos α Anlogmente, tg β sen β cos β Vimos que seno e cosseno de um ângulo gudo são dois números positivos menores que um. Dividindo gor um pelo outro, o resultdo poderá ser um número menor, igul ou té mior que um, dependendo pens do primeiro ser menor, igul ou mior que o segundo, respectivmente. N mesm figur, podemos gor escrever: tg β b c Eemplos:. No triângulo o ldo temos, 5

AC-0 em relção Bˆ: ^ sen B ^ cosb 5 5 ^ tg B 5 5 em relção ^ C: ^ senc ^ cosc 5 5 ^ tg C 5 5. Clcule o vlor de sen(60º)e sen(0º). Solução: Recorremos um triângulo.eqüilátero (ldo l) pois seus três ângulos internos têm l 60.Como su ltur é dd por h l h sen( 60 ) sen( 60 ) l l l cos( 0 ) cos(0 ) l. Clcule o vlor de sen(5º). Solução: Recorremos um qudrdo (ldo l), pois digonl form 5º com o ldo. Como digonl de um qudrdo é dd por d l o l l rcionlizndo sen( 5 ) sen(5 ) d l. Clcule o vlor do cos(0º), cós(5 ) e cos(60 ). Solução: Tomndo o complemento dos rcos ddos, vemos que: cos( 0 ) sen( 60 ) cos( 5 ) sen( 5 ) 5

AC-0 cos( 60 ) sen( 0 ) 5. Clcule tg(0 ), tg(5 ) e tg(60 ). Solução: sen( 0 ) tg ( 0 ) cos( 0 ) sen( 5 ) tg ( 5 ) cos( 5 ) sen( 60 ) tg ( 60 ) cos( 60 )..7 - Rdino É um unidde muito utilizd em trigonometri. Rdino é um rco de comprimento igul o do rio d su circunferênci. Logo, circunferênci tod tem π rdinos (pois é π vezes mior que o rio), e mei circunferênci tem π rdinos. Em outrs plvrs, em um circunferênci cbem cerc de 6,8 rdinos, ssim como cbem 60 grus. Correspondênci entre rdino e gru: π rd 60 o π rd 80 o Vimos que π rd 90 o 90 π rd e podemos ver 55

AC-0 fcilmente que 5 o π rd ou que 70 o π rd. Pr converter qulquer medid de um unidde pr outr bst utilizr seguinte proporção: medid em 80 grus medid em π rdinos ou equivlente regr prátic: de gru pr rdino: multiplicr por π e dividir por 80 de rdino pr gru: multiplicr por 80 e dividir por π. Eemplos: o 60. π π ) 60 rd; e 80 π π 80 b) rd 70 π Neste ponto d teori, o leitor já está em condições de entender e decorr seguinte tbel: π π π (0 ) (5 ) (60 ) 6 Seno Cosseno Tngente..8 - Circunferênci Trigonométric Estudmos té qui relções trigonométrics só pr os ângulos gudos. Pr um estudo mis generlizdo d trigonometri devemos, inicilmente, substituir noção de ângulo pel noção correspondente de rco. Um circunferênci pode ser orientd em dois sentidos: horário (o mesmo dos ponteiros do relógio) ou nti-horário. Em 56

AC-0 trigonometri dot-se como sentido positivo o sentido ntihorário. Assim, n circunferênci d figur o ldo, podemos considerr qutro rcos orientdos, pelo menos: o ) um rco AB positivo, se formos de A pr B no sentido nti-horário; o ) um rco. AB negtivo, se formos de A pr B no sentido horário; o ) um rco BA positivo, se formos de B pr A no sentido nti-horário; o ) um rco BA negtivo, se formos de B pr A no sentido horário. Ciclo trigonométrico: é um circunferênci orientd possuindo: o ) rio unitário; o ) centro n origem (O) de um sistem de coordends crtesins; o ) um ponto A, de coordends (,0) chmdo origem dos rcos. Os eios coordendos mrcm no ciclo os pontos A, B, A' e B', que o dividem em qutro qudrntes, indicdos por I, II, III, IV. Observções: o ) Tods s medids de rcos são feits prtir do ponto A. o ) Se for feit do sentido horário, medid será negtiv. Eemplos: π rd (ou 90 o ). ) O rco que vi de A té B no sentido nti-horário mede b) O rco que vi de A té B' no sentido nti-horário mede π rd (ou 70 o ). c) O rco que vi de A té B' no sentido horário mede π rd (ou -90 o ). 57

AC-0 d) O rco que si de A, dá um volt no sentido nti- 5π horário e continu té o ponto B, mede rd (50 ). e) O rco que si de A, dá um volt no sentido horário e 7π continu té o ponto B, mede - rd (ou 60 o )...9 - Arcos Côngruos São rcos que têm mesm origem e mesm etremidde. Eemplos: ) Dois rcos medindo 0 e 90 são côngruos, pois mbos começm em A e terminm em M. b) dois rcos medindo 00 o e 60 o. 5π π c) Dois rcos medindo rd e rd. Um rco qulquer tem infinitos outros côngruos com ele. Voltndo o primeiro eemplo terímos:... -690 o -0 o 0 o 90 o 750 o 0 o... Ms n Trigonometri, ddo um rco AM, interess-nos somente posição dos pontos A e M. Todos os rcos cim não pssm de diferentes determinções de um mesmo rco trigonométrico, o rco AM d figur. Logo, bst sber menor determinção positiv (m.d.p.} do rco pr que ele estej bem determindo. De rco trigonométrico devemos ter um noção gerl: é o conjunto de todos os rcos côngruos entre si. 58

AC-0 Podemos indicr tods s medids de um rco trigonométrico AM ssim: o AM kπ AM k. 60 e m.d.p do rco AM K Z Quer dizer: colocndo números inteiros no lugr de k vmos simplesmente lterndo o número de volts e obtendo rcos côngruos com, sem lterr posição do ponto M. Eiste um processo prático pr encontrr menor determinção positiv, dd seguir: I) Sendo o rco positivo e medido em grus: efetue divisão proimd de su medid por 60 (sem suprimir zeros!) e tome o resto. Eemplo: 000º 000 60º 80º é m.d.p. de 000º 80 II) Sendo o rco positivo e medido em rdinos: divid medid do rco por π, etri os inteiros d frção obtid e subtri-os; seguir multiplique de novo por π. Eemplo: 7 π 7π 7 5 5 5 5 rd.. π π π 6 6 6 6 rd III) Sendo o rco negtivo: desprezndo o sinl, fç como nos dois primeiros csos, conforme sej gru ou rdino; então clcule o replemento do resultdo obtido. Eemplos: 59

AC-0 o ) -0-0 60 clculndo o replemento: 60-0 0 0 o ) - 8 π 8π rd.. π π rd π clculndo o replemento: π π π rd Pr sber O qudrnte de um rco bst eminr su menor determinção positiv. Eemplo: 000º tem por mdp 80º, que está no IV qudrnte. Logo 000º é um rco do IV qudrnte...0 - Relções Trigonométrics eios: Ao ciclo trigonométrico vmos ssocir os seguintes Ao ciclo trigonométrico são ssocidos qutro eios pr o estudo ds funções trigonométrics: º) eio dos cossenos () direção: _ OA sentido positivo: O A segmento unitário: OA º) eio dos senos (b) direção:, por 0 sentido positivo: de O B sendo B tl que AM π/ segmento unitário: OB º) eio ds tngentes (c) direção: prlelo b por A sentido positivo: o mesmo de b. º) eio ds cotngentes (d) direção: prlelo por B sentido positivo: o mesmo de. 60

AC-0 Sobre estes eios definimos s seis funções trigonométrics, ddo um rco kπ. sen() cos() OM OM tg() AT cot g() BD sec() OS cos sec() OC A vrição de sinis desss seis funções conforme o qudrnte o qul pertenç é dd n tbel seguir: I II III IV sen - - cos - - tg - - cotg - - sec - - cossec - - As seguintes relções trigonométrics são válids: sen π ( R) tg pr cos kπ cos ( R ) cotg pr tg sen kπ π (R ) sec pr kπ cos ( R ) cos sec pr kπ sen π ( R5) sec tg pr (R 6 ) cos sec kπ cotg pr kπ 6

AC-0 E ind Relção Fundmentl (RFT): sen cos Dest form, sen - cos (RFT) ou cos - sen (RFT) Observe que: O ) seno e cosseno são definidos pr qulquer rco; O ) tngente e secnte não são definidos pr 90, 70 e seus côngruos; O ) cotngente e cossecnte não são definids pr 0, 80 e seus côngruos; O ) Seno inverso de cossecnte Cosseno inverso de secnte Tngente inverso de cotngente Eemplos:. ) se o b) se o sen, então cossec 5 cos, então sec. 5. c) se o tg 5, então cotg -. 5 π. Dd sec, <, clcule s outrs cinco funções trigonométrics do rco. Solução: O vlor d secnte é o inverso do cosseno e vicevers, logo: ) cos sec 6

AC-0 ) sen cos sen ± Iqudr sen rcionlizndo ) cos sec cossec sen sen ) tg cos 5 ) cot g tg. Simplificr epressão: sen cotg. sen Solução: Prr isso, vmos substituir s relções RFT e R n epressão: sen cos cos cos cotg. sen cos sen cos sen. Demonstrr identidde: cos. sec tg. sen. cos ( sen ) ( - sen ) Solução: Demonstrr um identidde é demonstrr que iguldde é verddeir pr qulquer vlor d vriável, pr o qul s funções epresss se definem. Podemos pr isso empregr relções ou identiddes nteriormente demonstrds. Neste eercício plicmos R e R no primeiro membro, e um produto notável no segundo: cos. cos sen cos.sen.cos sen sen sen 6

AC-0 5. Sendo π tg e π < <, clculr cos. Solução: Utilizndo R5, temos: sec ( ) tg sec R III Qudr sec ± ± cos ± cos sec.. - Trigonometri num Triângulo Qulquer Sej, b e c s medids dos ldos de um triângulo qulquer e α, β e γ s medids dos ângulos, respectivmente, opostos os ldos, conforme figur seguir: Então, b c bc cosα Lei dos cossenos Obs.: se α < 90 então cosα > 0 e < b c se α > 90 o então cosα < 0 e > b c se α 90 o então cosα 0 e b c sen α b sen β c sen γ Lei dos Senos 6

AC-0.. - Adição e Subtrção de Arcos Conhecidos os vlores trigonométricos de dois rcos quisquer, podemos clculr os vlores pr o rco som (ou diferenç) desses dois rcos, trvés ds fórmuls seguintes: (i) Som sen (b) sen. cos b cos. sen b cos(b) cos. cos b sen. sen b tg tg b tg(b) tg. tg b (ii) Diferenç sen(-b) sen. cos b cos. sen b cos(-b) cos. cos b sen. sen b tg tg b tg(-b) tg.tg b Em resumo, sen(±b) sen cos b ± cos sen b cos(±b) cos cos b m sen sen b tg(±b) tg ± tg b m tg tg b Eemplos:. Clculr o vlor de sen(75 o ) Solução: Vmos escrever 75 o como som de 5 o e 0 o, pois 5 o e 0 o são rcos de vlores trigonométricos já conhecidos. Utilizndo primeir fórmul, vem: sen 75 O sen(5 o 0 o ) sen 5 o. cos 0 o cos 5 o. sen 0 o,9 6 6 sen (75)..,9 65

AC-0. Clcule tg(5 o ) Solução: Bst escrever 5 como diferenç entre 5 e 0, e utilizr fórmul d diferenç: tg5 o tg(5 o o 0 ) tg5 o tg5 o tg0 o.tg0 o. rcionlizndo ( ) odeno min dor ( ( )( ) ) ( ) 9 6 9. Clcule cossec 85 Solução: cossec85 sen 85 o sen75 o 6 6 6. Sbendo que π < < π e 0 < y < π,e ddos sen e cosy, clcule sen(y). 5 Solução: Pel RFT: sen ( y) sen cos y cos sen y (i) cos sen 69 5 69 cos ± 5 69 ± 5 (II Qudr) cos 5 (ii) sen y cos y 5 6 5 9 5 sen y ± 9 5 ± 5 (I Qudr) sen y 5 Logo, sen ( 5 y).. 5 5 65 66

AC-0.. - Arco Duplo Conhecidos os vlores trigonométricos de um rco qulquer, podemos clculr esses vlores pr o rco que é o dobro do rco ddo, bstndo pr isso usr s fórmuls d som. sen sen ( ) sen. cos cos. sen sen sen cos cos ) cos ( ) cos. cos sen. sen cos cos sen tg tg( ) tg tg tg. tg tg tg tg, π kπ, π kπ Eemplos:. Sendo cos. Clcue cos. Solução: cos cos sen. Ms, usndo R.F.T.: cos sen Logo, ( ) cos 6 6 5 cos 6 6 6 5 6 7 8 5 π. Sendo sen, e < < π, clcule sen. 6 Solução: sen sen cos 67

AC-0 Pel R.F.T cos sen 5 6 5 6 6 cos ± 6 (II Qudr) cos 6 Logo, sen 5.. 6 6 5 8.. - Trnsformção em Produto (ftorção trigonométric) Podemos trnsformr um som ou diferenç de funções em um produto, utilizndo s chmds fórmuls de Prostférese: p q p q sen p sen q sen. cos p q p q sen p - sen q cos. sen p q p q cos p cos q cos. cos p q p q cos p - cos q - sen. sen p q e p q Note que é semi-som (médi ritmétic) dos rcos é semi-diferenç. Eemplos:. Ftore epressão sen 70 sen 0 Solução: Fzemos p 70 e q 0 e utilizmos segund fórmul de prostférese: sen70 o sen0 o 70 cos o 0 o o o cos5 sen5 sen5 o 70.sen o.sen5 0 o o 68

AC-0. Trnsforme som cos 95 cos 55 cos 5 em produto. Solução: Podemos ssocir s prcels ssim, ( ) o cos 95 cos5 cos55 cos cos cos55 o 95 cos55 cos0 o o o 5 cos55 o 95 o o 5 o cos55(cos0 Colocndo cos(55 ) em evidênci, o o o o ) cos55 (cos 0 cos60 ), pois cos(60º) ½ Ftorndo novmente epressão entre prêntese, fic o 0 cos55 (cos o 60 o o 0 cos 60 o cos55 o cos50 o o cos( 0 ) cos55 o cos50 o cos 0 o..5 - Arcos Complementres Sbemos que se dois ângulos são complementres ( e 90 - ), o seno de um é igul o cosseno do outro e vice-vers, ou sej: sen cos(90 o - ) e cos sen(90 o - ) Isso é válido, tmbém, pr dois rcos quisquer, desde que su som sej 90 o (ou côngruo de 90 o ) Agor, vejmos tngente do complemento de um rco: sen cos(90 ) 0 tg cot g(90 ) 0 cos sen(90 ) 0 Ou sej, tngente de um rco é igul à cotngente de seu complemento e vice-vers. tg cotg (90 o - ) cotg tg (90 o - ) 90 k80 k80 e Temos ind: sec cos sen(90 0 cossec (90 - ) ) 69

AC-0 ou sej, secnte de um rco é igul à cossecnte de seu complemento e vice-vers: sec cossec(90 o - ) 90 k80 e cossec sec(90 o - ) k80 Observção: chmmos de octnte à metde de um qudrnte. Reduzir um rco do segundo pr o primeiro octnte signific utilizr o que foi visto cim, pr escrever função de um rco entre 0 o e 5. Eemplos: ) sen 60 cos 0 octnte octnte b) cos 6 sen c) tg 80 cotg0 d) cotg 89º tg º e) sec 0º cossec 70º f) cossec 85º sec 5º..6 - Redução o Primeiro Qudrnte Pr conhecer os vlores ds funções trigonométrics de rcos situdos no II, III e IV qudrntes, bst conhecer esses vlores pr os rcos do I qudrnte, conforme veremos seguir: -Arcos no II qudrnte Se é um rco do II qudrnte, então o seu suplemento 80 o - (ou π - ) será um rco do I qudrnte, e teremos: sen sen (80 o - ) cos - cos (80 o - ) tg - tg (80 o - ) Eemplos: sen 60 sen (80-60 ) sen 0 cos 60 -cos (80-60 ) - cos 0 70

AC-0 tg 60 -tg (80-60 ) - tg 0 Atenção: cosseno e tngente são negtivos no II qudrnte, dí o sinl de menos o fzer redução. - Arcos no III qudrnte Se é um rco do III qudrnte, então - 80 (ou -π) será um rco do I qudrnte, e teremos: sen - sen ( - 80 o ) cos - cos ( - 80 o ) tg tg ( - 80 o ) Atenção: seno e cosseno são negtivos no III qudrnte. Observção: e - 80 dizem-se rcos eplementres (diferem de mei volt). Eemplos: são eplementres 0 o e 90 o, 00 o e 80 o etc - Arcos no IV qudrnte: Se é um rco do IV qudrnte, então seu replemento 60 - (ou π -) será um rco será um rco do I qudrnte, e teremos: sen - sen (60 - ) cos cos (60 - ) tg - tg (60 - ) Eemplos: sen 0 - sen (60-0 ) - sen 0 cos 0 cos (60-0 ) cos 0 o tg 0 - tg (60-0 ) - tg 0 7

Atenção: seno e tngente são negtivos no IV qudrnte. AC-0 Lembrndo gor que 60 - e - (rco negtivo) são côngruos, podemos reescrever s três últims relções ssim: sen - sen (-) cos cos (-) tg - tg (-) Eemplos: sen (-5 ) - sen 5 cos (-00 ) cos 00 o tg (-80 ) -tg 80 Observção: s funções secnte, cossecnte e cotngente, n redução o primeiro qudrnte, comportm-se, respectivmente, como s funções cosseno, seno e tngente. Eemplo: cot g0 cotg0 tg0 tg0 Resumo: II I tomr o suplemento do rco e trocr o sinl d função (eceto sen e cossec) III I tomr o eplemento do rco e trocr o sinl d função (eceto tg e cotg) I IV tomr o replemento do rco e trocr o sinl d função (eceto cos e sec) 7

AC-0 GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA..7 - O Ponto Num plno α tomemos dus rets perpendiculres num ponto O e orientê-mo-ls conforme figur. Ret orientds chmm-se eios. Se convencionrmos um ds rets horizontl e outr verticl, teremos: o ) um eio horizontl, que chmremos de eio ds bscisss (eio dos ); o ) um eio verticl, que chmremos de eio ds ordends (eio dos y). Estes eios dividem o plno crtesino em qutro regiões chmds qudrntes, que são numerdos I, II, III e IV. Tomemos gor no plno um ponto P (qulquer) e por ele conduzmos dus rets r e s, r // O e s // Oy. As figurs mostrm possíveis posições do ponto P em cd um dos qudrntes: Chmmos de medid lgébric de um segmento orientdo em relção um eio o módulo do segmento compnhdo de sinl () ou (-), conforme o seu sentido sej concordnte ou não com o sentido positivo do eio. 7

AC-0 Considerndo os segmentos orientdos OM e ON, d figur, de medids lgébrics p e y p, respectivmente, chmmos: - p de bsciss do ponto P; e - y p de ordend do ponto P. Dess mneir, o ponto P, do plno α, ssocimos um único pr ordendo de números reis ( p, y p ) que chmmos de coordends do ponto P. Reciprocmente, todo pr ordendo de números reis ( p, y p ), eiste no plno α um único ponto P ele ssocido. Observções:.) Todo ponto de bsciss nul pertence o eio ds ordends e reciprocmente. Eemplo: E(O,)..) Todo ponto de ordend nul pertence o eio ds bscisss e reciprocmente. Eemplo: F(,O)..) Todo ponto de bsciss igul ordend está n bissetriz dos qudrntes (I) ou (III). Eemplo: G(,)..) Todo ponto de bsciss igul o oposto d ordend est n bissetriz dos qudrntes (II) ou (IV).Eemplo: H(,-). A distânci entre dois pontos pode ser fcilmente clculd no plno crtesino. Mrquemos dois pontos A(, y ) e B ( b, y b ). Três csos podem ocorrer conforme s figurs seguintes: 7

AC-0 o cso: AB // O No o cso tem-se que d AB, ou sej, distânci B A entre dois pontos é diferenç entre sus bscisss (tomd em modulo). o cso: AB // Oy No o cso, tem-se que d AB y y e neste cso, distânci B A entre os dois pontos é diferenç entre sus ordends (tomd em módulo). o cso: AB qulquer cso: Finlmente, pr o terceiro d AC e C A B A d BC y B y c y B y A Como o ABC é retângulo, plicndo-se Pitágors, vem: d d AB AC d BC d AB (B A) (yb ya) Diferenç Diferenç ds Abscisss ds Ordends ou sej: d AB ( B ) A (y B y ) A 75