MRI DE OU MCHDO REU EQUÇÕE POLINOMII Moogfi pesetd á coissão julgdo do cuso de Especilizção d Uivesidde Fedel de Mis Geis ICEX so oietção do pofesso Douto HELDER CNDIDO RODRIGUE, e tedieto eigêci pcil p oteção do cetificdo de EPECILIT EM MTEMÁTIC: ÊNFE EM CÁLCULO. elo Hoizote
UNIVERIDDE FEDERL DE MIN GERI INTITUTO DE CIÊNCI EXT ICEX CURO: EPECILIÇÃO PR PROFEORE COM ÊNFE EM CÁLCULO LUN: MRI DE OU MCHDO REU ORIENTDOR: HELDER CNDIDO RODRIGUE
gdeço Deus, os eus filhos Felipe e dé, e especil os pofessoes Helde Cãdido Rodigues e Fcisco Dutehefe e os igos Mcio Peei, Cistie dão e Tdeu Tui, eu pi i eoi e s ihs iãs Te, Du, Ge, N e i e todo uiveso que cospiou o eu fvo
N io pte ds ciêcis u geção põe io o que out costuiu e o que u esteleceu, out desfz. oete teátic é que cd geção costói u ovo d soe tig estutu Hkel
. INTRODUÇÃO / e-se que os teáticos d ilôi, há is de os, já si coplet quddos p esolve equções do º gu, etetto uitos os se pss té que o itlio Cdo, poido s sugestões de Ttgli e Fei, pulicou soluções p equções de º e º gus, esse fto deu u gde ipulso s pesquiss e álge. N époc os pesquisdoes uscv u solução gel que icluísse poliôios de qulque ode, eo os esultdos ecotdos ão fosse os espedos houve u gde desevolvieto, ess áe, os os que se segui. No osso tlho, pesetos, teoi de poliôios e lgus técics utilizds e equções polioiis.
. POLINÔMIO Ddos N, ode N é o cojuto dos úeos tuis e C,, ode C é o cojuto dos úeos copleos, deoi-se poliôio e C, epessão lgéic defiid po C P, Defiios:,,,, Os coeficietes do poliôio,,, Os teos do poliôio, O teo idepedete do poliôio. edo, o gu do poliôio seá igul.. OPERÇÕE COM POLINÔMIO. Vos defii s opeções dição, utção e Multiplicção de Poliôios.... dição de Poliôios. ej:.. Defiieos opeção dição de poliôios d seguite ei: que é u poliôio e C Pel defiição, veificos que o gu do poliôio esultte d opeção seá igul ou eo o io gu ete e Eeplo: sej. 6
e cujo gu é cico,igul o gu de, Cso os coeficietes, dos teos de io gu, de cd poliôio se ccele, dição, o gu do poliôio seá eo, po eeplo: ej: D D D e Cujo gu é quto, eo que o gu de. dição de poliôios goz ds popieddes; ssocitiv, couttiv, eistêci de eleeto euto, eistêci de eleeto iveso ditivo. Tedo e vist eistêci do eleeto iveso ditivo defiieos sutção dos Poliôios e,,, etão... Multiplicção de Poliôios ej: e ch-se poduto de poliôios., o poliôio. que é o poliôio e, C c c c c C, cujo gu é. Eeplo de poduto de poliôios, 7.,, e que é do quto gu.. POLINÔMIO IDENTICMENTE NULO 7
Deoi-se poliôio ideticete ulo, o poliôio que te todos seus coeficietes ulos, useos o síolo p idic idetidde. e P, etão todos os seus teos são ulos, C. EQUÇÕE POLINOMII ej f e g, poliôios. Ch-se equção polioil seteç et defiid pel iguldde: f g. Os vloes tiuídos podeão to seteç fls ou veddei. Os úeos que toe veddei são chdos ízes d equção. O cojuto C,cujos eleetos são ízes coples d equção ch-se cojuto solução ou cojuto vedde d equção polioil, sigificdo que todo eleeto de f g. C, to veddei seteç et Eeplo de Equção Polioil. ej f e g e equção Ode o cojuto solução {, } Veific-se que f g e g f. TRNFORMÇÕE N EQUÇÕE POLINOMII Dus tsfoções eleetes pode se feits s equções polioiis se que sej ltedo o seu cojuto solução: ª o os dois eos d equção es fução polioil f g f h g h 8
ª Multiplic os dois eos d equção pelo eso úeo copleo k k f g k. f k. g ssi, qulque equção polioil f g pode se tsfod equivlete P f g ou sej, qulque equção polioil é edutível fo :., isto se: P Etetto, u equção do tipo P, podeá se ideticete ul, C Evideteete, esse cso o cojuto solução d equção polioil é o pópio cojuto dos úeos copleos ou. C No etto, podeá ocoe que sej P u costte ão ul p todo, fzedo d seteç et P, fls, qulque sej o esse cso dizeos que : { }. O TEOREM FUNDMENTL D LGER T.F.. Todo poliôio P de gu dite o eos u iz cople 9
ceiteos o esultdo desse teoe, se deost-lo.. O TEOREM D LEMERT O esto d divisão de u poliôio p po é igul p Deostção: Teos: divisão de P po, esult e u quociete Q e o esto P Q, p P. 6.O TEOREM D DECOMPOIÇÃO. Todo poliôio de gu pode se decoposto e ftoes do º gu, eos de ode,ess decoposição seá úic. Deostção: ej P, u poliôio de º gu, de codo co o TF, teeos pelo eos u iz, cheos ess iz de, pel defiição de iz, P egudo o teoe D leet, P é divisível po, pois o esto, P sigificdo que eiste o poliôio Q, tl que P Q,s, sedo P do pieio gu, Q P Result e P Q s p, Q te gu, O que esult e P, plicdo se sucessivete o TF podeos cheg iguldde; P Q... sq, te gu logo, Q e P... Co os pocedietos ci, povos eistêci d decoposição, p povos su uicidde vos supo que osso poliôio dit dus decoposições:
....... P P upodo eduzidos e odedos os dois segudos eos ds igulddes tê:........ e pel defiição de iguldde de poliôios, teos ecessiete: e Cceldo os teos iguis, ficos co iguldde:....... I tiuido o vlo de, teos:... e se o poduto é ulo, u dos ftoes é ecessiete ulo, opedo u udç de ode, podeos fze. iguldde I se tsfo e:...... Cceldo os teos iguis, podeos tiui o vlo de e dí teeos: D es fo, u dos ftoes k é ecessiete ulo, ovete usdo o tifício de ud ode dos ftoes de fo coveiete, podeos coloc:
cotiudo p i i i N, s igulddes,,, são pov que decoposição é úic. Coo coseqüêci do teoe d decoposição é que tod equção polioil de gu, dite e soete ízes coples 7. MULTICIPLIDDE D RÍE DE UM EQUÇÃO POLINOMIL Coo coseqüêci dos esultdos otidos pelo teoe d decoposição todo poliôio P, de gu, pode se etedido coo o desevolvieto de u poduto de ftoes do º gu e u fto costte, que é o coeficiete doite e P, ou : P. Evetulete lgus ou, váios desses ftoes podeão se iguis. o ssocios os ftoes iguis oteeos: P p p edo, seá u iz siples de P, se > seá iz últipl de P,podedo se dupl, tipl etc. cofoe o vlo de, de u fo is gel dieos que é u iz de ultiplicidde de P, qudo o poliôio P é divisível po e ão é divisível po 8. PEQUI DE RÍE MÚLTIPL TRVÉ D DERIVD Eieos segui u teoe que fcilit pesquis ds ízes últipls de equções polioiis. Teoe: e é iz de ulticiplidde d equção, f,etão é iz de ulticiplidde d equção f e que f é deivd piei de f. Deostção ej f q U equção polioil e iz de ulticiplidde, plicdo eg d cdei e eg do poduto teos:
f [. q. q ] e coo.. q. q. q, decoe que é iz de ulticiplidde de f Pelo teoe ci se, po eeplo, fo iz de ulticiplidde de u fução polioil, etão, seá ecessiete iz de ulticiplidde d su fução deivd. Eeplo: Veific se equção 9 6 te lgu iz dupl. Coo tod iz d equção f seá iz siples d equção f,deivdo ecoteos, f 6 8, fzedo f Ecoteos s ízes ou s esss ão são ízes de f, logo f, ão te ízes dupls. 9. RELÇÕE ENTRE COEFICIENTE E RÍE. Ness seção eieos elção ete coeficietes e ízes de equções polioiis, cohecidos coo elções de Gid: 9. EQUÇÕE DO EGUNDO GRU. O teoe d decoposição e sus coseqüêcis os peite esceve u equção do º gu d seguite fo: os coduzido idetidde : c C, s coo é ecessáio, p gti o gu d equção teeos: c. E, po idetidde de poliôios ve: e 9. EQUÇÕE DO TERCEIRO GRU c Pelos esos guetos de 9. esceveeos idetidde:
d c ou: d c, Coseqüeteete: d e c, 9. EQUÇÕE DE GRU QULQUER Dd equção Cujs ízes são,,, Oteos idetidde:, h h h e po idetidde de poliôios ve : h h h h d equção h ízes de podutos C os de todos o, s elções ete coeficietes e ízes de poliôios de qulque gu elções de Gid ão gte solução de qulque poliôio de gu, pois se tetos ecot u iz qulque, pós vis sustituições
oteíos u poliôio de eso gu. Dess fo, o cohecieto do cojuto vedde esti viculdo lgu out codição po eeplo, so, poduto ete ízes 9.. Eecícios Escev s elções de Gid p equção lgéic 7 D equção, teos:, 7, 7 e s ízes d equção 9, estão e P. Nesss codições, esolv equção: edo,, ízes d equção podeos epeset-ls po:, α α, pel elção de Gid teeos: α, 9 α α α α α edo α, u iz, o poliôio é divisível po. Ou 9 6 sedo e, s ízes do poliôio de segudo gu, logo, {,, }.. RÍE COMPLEX NÃO REI DE UM POLINÔMIO O estudo ds elções ete ízes coples de u poliôio é útil deteição de seu cojuto solução, eucieos segui, dois teoes que vle p todos poliôios de coeficietes eis.
Defiição: e i é u úeo copleo ão el, chos de i, seu cojugdo Teoe u: : e u equção polioil de coeficietes eis dite coo iz o ueo copleo, etão ess equção dite coo iz o úeo, cojugdo de. Deostção: Po hipótese, i,é iz d equção polioil. ssuieos s seguites popieddes dos cojugdos, R Po hipótese, e pels popieddes ci, Teoe dois: e u equção polioil de coeficietes eis dite iz co ultiplicidde p, etão dite iz, co ultiplicidde p. É ipotte osev que, de codo co os teoes eucidos, tod equção polioil de coeficietes eis, que diti ízes coples, ão eis, s teá e úeo p, pois cd iz teeos su cojugd. 6
Coseqüeteete, todo poliôio de gu ip teá u úeo ip de ízes eis, po eeplo, u equção polioil de º gu teá ecessiete u, tês ou cico ízes eis, ou sej qulque poliôio de gu ip co coeficietes eis, te pelo eos u iz el, já os poliôios de gu p, co coeficietes eis, podeão ão peset iz el... Eecícios: Resolv equção 9 sedo que i é iz. e i, é iz etão i Cojugdo té o seá logo: P [ i][ i] Q P 6 Q P Podeos clcul Q 6 edo {, } ízes de Q, {,, i, i}. RÍE REI DE UM EQUÇÃO POLINOMIL Le: e P é u equção polioil de coeficietes eis ode P Q [... ] e i Q [ z z z... z p z p ] ode,..., i são ízes eis do poliôio e z, z..., sus ízes coples, ão eis, etãoq > R Deostção: Cosidee u iz cople z k i e su cojugd z i, e o poduto z z z z z z.s >, R p p Logo, Q z z z... z z ] só ssuiá vloes positivos, sedo Q > R 7
. TEOREM DE OLNO e, P é u equção polioil co coeficietes eis e ] [ itevlo el eto etão:, u º P e P te eso sil, eiste u úeo p de ízes eis ou ão eiste ízes o itevlo el ], [ º P e P te siis cotáios, eiste u úeo ip de ízes eis d equção e ], [ Deostção: Ddo u itevlo el eto, u iz el podeá se ite ou ete esse itevlo. ej i u iz ite o itevlo ] [ ou: < e > < i ej e u iz ete o itevlo ], [ i,, etão: < i ieticete, >, s: e e P. P [. Q.... p ]...[ Q... p < ] Podeos veific que o poduto P. P, teá u fto, u fto Q. Q e id p ftoes ode é iz el d equção dd. Ocoe que, > Q. Q >, pois Q > R le, etão, só podeão se possíveis ftoes egtivos do segudo eo d iguldde, os ftoes que coespode s ízes eis de P, o que os peite coclui eistêci de dus úics possiiliddes: º Qudo P e P te o eso sil, isto é P e P >, eiste u úeo p de ftoes egtivos do tipo, logo eiste u úeo p de ízes eis d equção o itevlo el i i 8
º Qudo P e P te siis cotáios ou, P e P <, eiste u úeo ip de ftoes do tipo, eistido u úeo ip de ízes eis d equção. i i. RÍE RCIONI Desevolveeos est seção, u ciocíio que os peitiá ote s ízes ciois de u equção polioil de coeficietes iteios cso els eist De codo co o teoe ds ízes ciois, se: P, de coeficietes iteios, dite u iz ciol p, e que p e q N e, p e q são pios ete q si, etão p é diviso de e q é diviso de.dess fo, podeos ecot ízes de u poliôio de coeficietes iteios, estelecedo o cojuto de todos os divisoes de e o cojuto de todos os divisoes positivos de,dí, dividido cd diviso de po cd u diviso de,teeos o cojuto ds possíveis ízes ciois d equção polioil, segui fzedo veificção de cd cdidt sustituido teeos s ízes ciois. p, q p q Eeplo: Quis são s ízes ciois d equção 6 Iicilete, deveos defii o cojuto de todos os divisoes de {,,,,,,,, 6,6,,} {, }.e equção tive ízes ciois etão: {,,,,,,,, 6,6,,, /,/, /,/ }, segui o cojuto dos divisoes positivos de, veificdo: P. P/ 6 8 6 6 6 p s deis cdidts, P.É ipotte osev que, se u 9
equção polioil de coeficietes iteios, te,s ízes ciois, cso eist, seão iteis.