Unidade 4 Progressão Aritmética. Sequência e definição de PA Função Afim e PA Interpolação Aritmética Soma dos termos de uma PA

Transcrição

1 Uidde 4 Pogessão Aitmétic Sequêci e defiição de PA Fução Afim e PA Itepolção Aitmétic Som dos temos de um PA

2 Sequêci e defiição de PA Obseve tetmete sequêci de figus fomds po plitos de fósfoos.

3 De qutos plitos póxim figu? Existe um fom de se detemi qutos plitos tem um figu qulque sequêci? A sequêci fomd pelos plitos de fósfoos pode se epesetd d seguite mei: 4 º figu tem 4 plitos 7 º figu tem 7 plitos 0 º figu tem 0 plitos A cd ov figu, devemos cescet ovos plitos p fom um ovo quddo. Logo, qut figu teá plitos, ou sej, 4.

4 Obseve que qutidde de plitos depede (está em fução) d posição d figu sequêci. Se º figu tem 4 plitos e, cd ov figu são cescidos outos plitos, -ésim figu seá fomd po ( ) plitos. P P P P Os pocedimetos utilizdos o estudo de fuções seão dotdos qui p se obte qutidde de plitos de fósfoos em cd posição, utilizdo-se do temo gel sequêci temo gel d sequêci

5 Coceito Costum-se epeset os elemetos ou temos de um sequêci pel let povid de um ídice que idic posição do temo sequêci. N* Em gel, p, um sequêci é epesetd po: (,,,...,,...), 4

6 Vejmos um exemplo: Os elemetos d sequêci cujo o temo gel é, Os elemetos d sequêci cujo o temo gel é N são obtidos do seguite modo :... Assim, temos (5, 8,,...) (,,, ) 5 8, Resolução P você fze p.8

7 Coceito Um sequêci é um sucessão de temos, úmeos, figus ou expessões que estão dispostos um odem. As sequêcis desempehm um impotte ppel Mtemátic. Po meio dels, podemos ecohece pdões, obsev cotstes e, de cet fom, peve futuos cotecimetos. Ete os divesos tipos de sequêcis existetes, vmos estud um tipo pticul de sequêci chmd de pogessão itmétic.

8 P compeede o sigificdo de pogessão itmétic, obseve sequêci (,, 5, 7, 9, ). Que ccteístic el possui? Há lgum egulidde ete um temo e outo? Coceito: Um pogessão itmétic (PA) é um sequêci de úmeo ou expessões em que cd temo, pti do segudo, é igul o teio somdo um costte. Ess costte é deomid zão de PA e seá epesetd pel let.

9 P melho compeesão desse coceito, vmos obsev lgus exemplos. Exemplo : A sequêci (, 4, 7, 0,...) é um PA cuj zão ( > 0) Cd temo é igul o teio mis

10 Exemplo : A sequêci (0, 8, 6, 4,...) é PA cuj zão é - ( < 0) Cd temo é igul o teio meos Exemplo : A sequêci (5, 5, 5, 5,...) é PA cuj zão é 0 ( 0) Cd temo é igul o teio

11 De codo com zão, existem tês tipos de PA: > 0 PA é cescete < 0 PA é decescete 0 PA é costte Cosidedo esss ifomções, podemos veific se fimção seguite é veddei ou ão: A sequêci defiid po 4 e é um PA cujo pimeio temo é e cuj zão é 4.

12 Assim, podemos fim que sequêci (, 5, 9,,...) é um PA. Os temos dess PA fom obtidos ecusivmete, ou sej, cd temo foi obtido com bse o teio, diciodose um vlo costte igul

13 Fução Afim e PA

14 A qutidde de bctéis de um cultu, cd miuto, pode se modeld po meio de um fução fim d fom f(), N Obseve ess qutidde de bctéis, po miuto, o decoe do tempo: 0 tempo em miutos 0.0 No iício, f() qutidde de bctéis, N Após miuto, Após miuto, Após miuto, existe bctéi existe bctéi existe 5 bctéi existe 7 bctéi

15 Repe que qutidde de bctéis po miutos costitui um PA cujo temo é igul N* R f: N* R... Odem, ou posição do temo Assim, um fução fim f: N* R, defiid po f(), epeset um PA de zão (coeficiete de ) Vlo do temo

16 Um pogessão itmétic é um fução fim cujo o domíio é o cojuto N*. P evideci ess coexão, vmos costui os gáficos ds fuções:, N*, e f(), R

17 O pimeio gáfico é fomdo po potos lihdos que ão estão ligdos, poque o domíio é fomdo pes po úmeos tuis positivos. Já o segudo gáfico é fomdo po potos lihdos que estão ligdos poque o domíio é fomdo po todos os úmeo eis. Obseve que, cd vez que umet um uidde (vç um posição), umet dus uidde (vç um zão).

18 Fómul do temo gel de um PA

19 P ecot um temo qulque de um PA, ão é ecessáio esceve todos os temos pecedetes. Com fómul do temo gel, podemos obte qulque temo de um sequêci, cohecedo posição desse temo. Cosidee um pogessão itmétic: (,,, 4,...,,...,) de zão. Com bse o segudo, qulque temo é igul o teio diciodo à zão. Logo:

20 Ess últim fómul pemite obte um temo qulque de odem em fução do temo teio, de odem. P elcio um temo de odem em fução do º temo, temos: M

21 ( ) ( ). ]. [ 4 ) ( ) ( ) ( M ( ). : po PA é dd d A fómul do temo gel

22 Qudo cohecemos fómul do temo gel, podemos epeset qulque temo de um sequêci em fução do pimeio temo e d zão. Obseve lgus exemplos: 8º temo: º temo: º temo: 0 0 9

23 Itepolção itmétic

24 Dute um vigem de um co, qudo mcção idicv km 8, João pssou po um posto telefôico à bei d pist. Isso ocoeu ovmete o km 86. Se, ete esses dois potos, ele pssou em mis cico postos telefôicos cosecutivos e igulmete de dois postos d pist estvm esses postos? A difeeç ete s distâcis de dois postos telefôicos cosecutivos é sempe mesm. Logo, els se situm em potos (ou mcos quilométicos) pist que costituem um PA. Obseve como podem se ogizds s ifomções:

25 O poblem pesetdo cim pode se epesetdo do seguite modo: (8,,,,,,86) Com bse isso, podemos utiliz os coceitos já estuddos e esceve:

26 A cd km João pssou po um posto telefôico. Os mcos quilométicos ode se ecotvm esses postos costituem seguite PA: (8,, 4, 47, 60, 7, 86) PA de zão, ). (?

27 Nesse exemplo, fizemos o uso de um itepolção itmétic. Nesse cso, plv itepolção sigific iseção de elemetos sequêci. Os temos iseidos são chmdos de meios itméticos. Obseve defiição de itepolção itmétic: Coceito: Itepol ou isei k meios itméticos ete os úmeos e b sigific costui um PA com k temos, ode é o pimeio temo e b é o último. (,,,...,,, b) PA com k temos k meios itméticos

28 Som dos temos de um PA

29 No fim do século XVIII, um peque escol o iteio d Alemh, um pofesso de Mtemátic pssou os seis luos seguite tef: Adicio os úmeos iteio positivos de 00. O pofesso imgiv que os luos levim um bom tempo p ecot som dos elemetos dess sequêci. Pssdos lgus isttes, um luo levt-se e dá à espost: O pofesso, ceditdo que se ttv de um bicdei, epeedeu-o e pediu p que se tetsse elmete fze s cots. O pecose luo explicou o pofesso que som e igul 50 vezes som do pimeio com último temo, ou sej,

30 Acomphe o ciocíio do luo: S Reescevedo em odem cotái: S Adiciodo membo membo s igulddes: S S ( 00) ( 99)... (99 ) (00 ) S S S 5050

31 O pofesso, que em seque hvi feito cot, compeedeu explicção e pbeizou o luo pelo ciocíio exempl. Algus os depois, iclusive, o peseteou com um livo de cálculo. O humilde luo, que époc cec de oito os, e filho de jdieios e chmv-se Cl Fiedich Guss ( ). Aos mis tde, dedicou-se à Mtemátic e Físic, desevolvedo tblhos os cpos d Teoi dos Númeos, Geometi Difeecil, Mgetismo, Astoomi, Geodésic e Ótic. Po muitos, é cosidedo icotestvelmete, o mio mtemático de tod histói, sedo cohecido como Pícipe dos Mtemáticos. O desevolvimeto utilizdo po Guss pode se geelizdo d seguite mei:

32 ( ) ( ) II I... S... S etão : PA, )é um,,...,,, Se ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PA temos de um pimeios Som dos. S. S pcels... S S :, I Fzedo temos II

33 Exemplos Obteh som dos temos de PA (-0, - 5, 0, 5, 0, 5, 0), fomd po 7 temos: S S S S

34 Exemplos Clcule som dos 0 pimeios temos d PA (,, 5,...) ( ). S S S S