O TRIÂNGULO E SUAS PRINCIPAIS CIRCUNFERÊNCIAS Eduardo Wagner, Rio de Janeiro - RJ

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1 O TRIÂNGULO E U PRINIPI IRUNFERÊNI Edudo Wgne, Rio de Jneio - RJ Nível Iniinte Vmos tt neste tigo ds iunfeênis insit, iunsit e exinsits de um tiângulo. Mostemos divess popieddes, elções inteessntes e lguns poblems. Em todo o tigo, o tiângulo possui ldos =, = e = b. O seu semipeímeto é p e su áe é. eá neessáio que o leito onheç fómul de Heon p áe do tiângulo em função de seus ldos: = p( p )(p b)( p ). iunfeêni insit iunfeêni insit tem ento I, inento do tiângulo, que é o ponto de inteseção ds bissetizes intens. I b áe do tiângulo é som ds áes dos tiângulos I, I e I, que possuem ltu igul, io d iunfeêni insit. Potnto, noss pimei elção é: = b 2 = + b + = p 2 = p que pemite lul o io d iunfeêni insit em um tiângulo em função de seus ldos. iunfeêni iunsit onsidee go o tiângulo insito em um iunfeêni de io R. ej H = h um ltu e sej D um diâmeto dess iunfeêni.

2 h 2R b H D Os tiângulos H e D são semelhntes um vez que os ângulos H e D são etos e os ângulos e D são iguis pois subtendem o mesmo o. Logo, D = H 2R = h b ou sej, b = 2Rh. Multiplindo pelo ompimento do ldo os dois ldos, temos b = 2Rh. Ms h é o dobo d áe do tiângulo e ssim enontmos noss segund elção : b = R El pemite lul o io d iunfeêni iunsit um tiângulo em função dos seus ldos. s iunfeênis exinsits iunfeêni exinsit eltiv o vétie do tiângulo é tngente o ldo e às ets e. eu io seá designdo po e seu ento po I, hmdo de exinento (ou exento) eltivo o vétie do tiângulo. O ponto I é inteseção d bissetiz inten de e ds bissetizes extens de e. s outs dus iunfeênis exinsits e os dois outos exinentos são definids de fom nálog. b I

3 áe do tiângulo é igul áe de I mis áe de I menos áe de I. ssim, = 2 + b 2 2 = b + 2. Obseve que b + = + b + 2 = 2p 2 = 2(p ). Logo, noss nov elção é: = ( p ) e, nlogmente, temos = b ( p b) = (p ) que pemitem lul os ios ds iunfeênis exinsits em função dos ldos do tiângulo. P fix o que pesentmos té qui, esolv o poblem segui. Poblem 1: Em um tiângulo de ldos 5, 7, e 8, lule os ios ds iunfeênis insit, iunsit e exinsits Resposts: 3,, 2 3,, 3 7. Dus elções Pimei: = b Est é fáil de demonst. Multiplindo s elções d iunfeêni insit e ds exinsits obtemos: = b p( p )(p b)( p ) = b 2 o que demonst elção. egund: 1 = b Obseve que + + = p + p b + p = 3p ( + b + ) = p = b que demonst elção. Poblem: 2 Existe um tiângulo ujs iunfeênis exinsits tenhm ios 1m, 2m e 6m? Respost: sim. os ldos medem 5, 7 5, 9 5 entímetos Os pontos de tngêni Vmos go loliz os pontos de tngêni ds iunfeênis insit e exinsit em elção d d um dos ldos. onsideemos iniilmente iunfeêni insit tngenindo os ldos, e nos pontos L, M e N, espetivmente.

4 L N M ejm L = N = x, L = M = y, M = N = z. Temos então o sistem: x + y = y + z = z + x = b que esolvido dá L = N = p, L = M = p b, M = N = p. onsidendo um ds iunfeênis exinsits omo most figu segui temos: R Q P o peímeto do tiângulo é 2p = + + = + Q + Q + = + R + P + = R + P = 2P. Logo, P = p, o semipeímeto do tiângulo. Um desiguldde inteessnte Em todo tiângulo, 2. Est desiguldde, lém de inteessnte pelo seu speto, vi se útil p esolução de outos poblems. Obseve figu segui. J I F D E

5 N figu im, I é o inento de e J é o exinento eltivo o vétie. bemos pelo ítem nteio que D = p e que E = p. Logo, E = p b e potnto, DE = p + p = 2p (b + ) =. No tiângulo etângulo IJF temos IJ +, vlendo iguldde se, e somente se =. Potnto, ( + ) 2 IJ 2 = 2 + ( ) 2 2 = omo queímos demonst. Repe que iguldde ooe se, e somente se, o tiângulo é isóseles om vétie. desiguldde ente os ios ds iunfeênis insit e iunsit Em qulque tiângulo, R 1 2. Est lind desiguldde é intignte, pois fim que o io d iunfeêni iunsit não é meno que o dobo do io d iunfeêni insit. Há divess demonstções dest desiguldde; tods muito engenhoss. Ms, seguindo o que estmos desenvolvendo neste tigo, vmos pesent demonstção seguinte. onsidendo desiguldde que bmos de demonst, temos: 2 b b 2 2 Multiplindo ests tês elções temos: 2 b 2 b (R) 2 6 R 1 2 pegunt ntul que devemos fze é qundo vle iguldde. Repe que n demonstção d desiguldde 2, iguldde vle se, e somente se, =, qundo s iunfeênis insit e exinsit eltiv o vétie são tngentes no ponto médio do ldo. Utilizndo o

6 mesmo gumento p s outs desigulddes, onluímos que R = 1 ooe se, e somente se o 2 tiângulo é equiláteo. Poblem 3 bendo que em um tiângulo, tde), moste que sin 2 sin 2 sin ( p b)( p ) sin = (isto voê podeá demonst mis 2 b elção dos ino ios Os ios ds iunfeênis insit, iunsit e exinsits estão ligdos pel elção: + b + = R P demonst isto, neessitmos pens de esultdos nteioes e de lgum mnipulção lgébi. b + = p b + p = ( p b)( p ) = p p omndo, 1 + b + = (p b)(p ) + 1 p(p ) = p(p ) + (p b)(p ) p(p )(p b)( p ) = 2p2 p( + b + ) + b 2 = b = R O ssunto não tem fim. Há muitíssims outs elções ente os elementos de um tiângulo e sus pinipis iunfeênis; lgums legis e outs desinteessntes. Ms, nosso objetivo foi fonee um mteil básio p que os lunos iniintes possm se desenvolve e, po isso, pmos qui. P fix s idéis, voê podeá uti uns pobleminhs bns n list bixo. Poblems suplementes Poblem Em um tiângulo om inento I, bissetiz inten do ângulo enont iunfeêni iunsit em E. Pove que E = E = EI.

7 Poblem 5 Ddos um ângulo gudo XOY, um ponto P exteio e um númeo positivo k (omo sugeido n figu bixo), moste omo se pode onstui um et que psse po P e que ote os ldos do ângulo ddo fomndo um tiângulo de peímeto k. Y O X P Poblem 6 Em um tiângulo utângulo, moste que o simétio do otoento em elção um ldo petene iunfeêni iunsit o tiângulo. Poblem 7 (de um olimpíd intenionl) O tiângulo utângulo está insito em um iunfeêni. ejm M, N e P os pontos médios dos os, e, espetivmente. Pove que áe do hexágono MNP é mio ou igul que o dobo d áe do tiângulo. Poblem 8 Em um qudiláteo onvexo D, s bissetizes dos ângulos e otm-se em M, s bissetizes dos ângulos e D otm-se em N e s ets D e otm-se em P. Moste que os pontos M, N e P são olinees. Poblem 9 Em um tiângulo om inento I, e exinentos J, K, L, moste que I é o otoento do tiângulo JKL. Poblem 10 Em um tiângulo, moste que distâni do otoento um vétie é o dobo d distâni do iunento o ldo oposto. Moste segui que o otoento, o biento e o iunento são olinees. Poblem 11 (este é difíil) Em um tiângulo, X é um bissetiz (X ), N é o ponto médio de X, e M é o ponto médio de. endo I o inento do tiângulo, moste que M, I e N são olinees.