(II) Falsa. Tomando z 1. (III) Verdadeira. De fato, para z z ( i ) a) 2. b). c) 0. d). e) 2. i. Sendo z = x + i y, com x e y, temos:

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2 (9) -0 ELITE RESLVE IT 0 - MTEMÁTI MTEMÁTI NTÇÕES : cojuto dos úmeos tuis : cojuto dos úmeos iteios : cojuto dos úmeos ciois : cojuto dos úmeos eis : cojuto dos úmeos compleos i : uidde imgiái: i : cojugdo do úmeo : módulo do úmeo \ { : e } [ b, [ { : < b} [ b, ] { : b} ] b, [ { : < < b} M ( ) m : cojuto ds mties eis m det M: detemite d mti M P(): cojuto de todos os subcojutos do cojuto (): úmeo de elemetos do cojuto fiito : segmeto de et uido os potos e : âgulo fomdo pelos segmetos e, com vétice o poto k k k 0, k bsevção: s sistems de coodeds cosidedos são ctesios etgules QUESTÃ 0 do ( + i ), etão 89 é igul 89 ) i b) - c) 0 d) e) 89 i 6 ltetiv Po hipótese, ( + i) cis 89 omo som pedid é , pti do vlo de, temos: 89 cis + i cis i cis Podemos ve que + + 0, e que som ds subsequetes k potêcis de, tês tês, é eo lém disso, como, k Logo, QUESTÃ 0 s fimções bio sobe úmeos compleos e : I II III Se ( θ+ i θ), etão ( i ) cos se 0 cosθ seθ é(são) sempe veddei(s) ) pes I b) pes II c) pes III d) pes II e III e) tods ltetiv (I) Fls Tomdo e, obtemos: ( ) 0 Potto, temos um cot-eemplo em que > N vedde, pode-se most que desiguldde sempe válid p quisque dois úmeos compleos e é, isto é, com o sil d iequção ivetido (II) Fls Tomdo 0 e, e sedo mbos úmeos eis, temos que 0 e ssim: 0 0 Potto, temos um cot-eemplo em que bs: osidemos que tlve teh ocoido um eo de digitção ess fimção, pois idetidde que fi mis setido peset sei, qul sei, iclusive, um idetidde veddei (III) Veddei e fto, p ( i ) ( ) ( ) cosθ+ seθ 0, temos que: θ i θ cos se cosθ+ i seθ cosθ+ i seθ cosθ i seθ ( ) ( ) cosθ i seθ cosθ i seθ cos θ i se θ cos θ+ se θ ( ) ( ) cosθ i seθ QUESTÃ 0 som de tods s soluções d equção em : + + i 0 é igul i ) b) c) 0 d) e) i ltetiv E Sedo + i y, com e y, temos: ( ) ( ) ( ) ( y i y ) ( y ) i y i 0 + i y + + y + i + i y y y + 0 ( y ) i ( y ) segud equção, vem que: ( ) y ou y P 0, d pimei equção temos que: 0 y 0 y P y -, d pimei equção temos que: 0 ± ssim, s íes + i y d equção pesetd são: i, i e i som S desss íes é dd po: ( ) S i + i + i S i

3 (9) -0 ELITE RESLVE IT 0 - MTEMÁTI QUESTÃ 0 Num ci com 0 moeds, pesetm dus cs, 0 são omis (c e coo) e s demis pesetm dus coos Um moed é etid o cso e fce obsevd most um coo pobbilidde de out fce dest moed tmbém peset um coo é ) 7 8 b) 7 c) 8 d) e) 7 Pimeimete defiimos os evetos: { moed seleciod tem cs } { moed seleciod é oml (c e coo) } { moed seleciod tem coos } { fce obsevd é um coo } Sem Respost go, computemos p( ) tvés do Teoem d Pobbilidde Totl (já que, e são disjutos e Ω, ode Ω é o espço mostl): p( ) p( ) p( ) + p( ) p( ) + p( ) p( ) 0 p ( ) go computemos oss pobbilidde desejd p( ) tvés do Teoem de yes: p ( ) p ( ) p ( ) 0 p ( ) p ( ) p ( ) 6 est fom, ehum ltetiv está coet bsevção: Um cofusão que podei ocoe é pes que o sbe que um coo foi etid, teímos que sobm moeds o espço mostl, ode 0 são omis e são de dus coos, o que di p ( ) Esse 7 pesmeto, o etto, está edo, pois pti do mometo que sbemos que um fce é coo, isto f osso espço mostl dei de se equipovável, ão vledo mis ão teio, pois cd moed com coos tem o dobo de chce de te sido escolhid Se podemos os csos po sus pobbiliddes chegmos pobbilidde coet: (us oos) 0 p ( ) (Nomis) + (us oos) QUESTÃ 0 Sejm e cojutos fiitos e ão vios tis que e ( { : \ }) 8 Etão, ds fimções bio: I ( ) ( ) é úico; II ( ) + ( ) 8 ; III dupl oded ( ( ), ( )) é úic: é(são) veddei(s) ) pes I b) pes II c) pes III d) pes I e II e) ehum ltetiv úmeo ( { : \ }) 8 epeset justmete o totl de subcojutos que o cojuto \ dmite, ou sej, é o totl de ptes que esse cojuto tem Sbe-se de Teoi dos ojutos que se um cojuto peset um úmeo k de elemetos (k iteio, positivo e fiito), o totl de k subcojutos é ddo etão po ssim, sej k o totl de elemetos de \ pti d fómul teio: k k 7 8 k 7 omo \ tem 7 elemetos e, temos que () () 7, o que to fimção I veddei s fimções II e III são flss e fto, o eecício só pemite coclui que difeeç ete o úmeo de elemetos de e é 7 Pode-se te () 000 e () 99, po eemplo ssim, ão é coeto fim que () + () 8 omo os vloes de () e () ão são detemiáveis com s ifomções dds, ão podemos fim que dupl oded (();()) é úic QUESTÃ 06 + y + sistem y + b y c 0 ) é possível, bc,, 7b b) é possível qudo ou c c) é impossível qudo c, b, 7b d) é impossível qudo, c 7 b e) é possível c e ltetiv Escevedo o sistem o fomto mticil, temos: 0 y b c 0 ' Sej L i i-ésim lih d mti Fedo L L+ L, vem: 0 b 0 7 c 9 ' Fedo L 7 L + L, temos: 0 b 0 0 c 7b últim equção, temos: ( c) 7b Nesse cso, temos s seguites cosideções: (I) Se c, o sistem é do tipo possível e detemido (SP); c (II) Se 7b, o sistem é do tipo possível e idetemido (SPI); c (III) Se 7b, o sistem é do tipo impossível (SI) QUESTÃ 07 osidee s fimções bio: I Se M é um mti qudd de odem >, ão-ul e ãoivesível, etão eiste mti ão-ul N, de mesm odem, tl que MN é mti ul II Se M é um mti qudd ivesível de odem tl que ( det M M) 0, etão eiste mti ão-ul X, de odem, tl que MX X cosθ seθ III mti tgθ θ é ivesível, θ + se k, k sec θ ests, é(são) veddei(s) ) pes II b) pes I eii c) pes I e III d) pes II e III e) tods ltetiv E m m (I) Veddei Sejm M e N m m Etão M N (mti ul de odem ) m m 0 0, o que é equivlete m m 0 0 sistems liees homogêeos d fom:

4 (9) -0 ELITE RESLVE IT 0 - MTEMÁTI m m i 0 M, ode i {,, } idic i-ésim m m i 0 colu de N Ms como M é sigul, tem-se que detm 0, o que f com que cd sistem homogêeo pesete um solução ão tivil Potto, coseguimos mot um mti N ão ul (tomdo o meos um solução ão tivil de cd um dos sistems), tl que sej válid o poduto M N (II) Veddei Temos: det( M M) 0 det( M ( M I)) 0 det( M) det( M I) 0 Ms sbemos que det( M) 0, pois M é ivesível, de modo que det( M I ) 0 go, die que eiste mti colu ão-ul X tl que M X X é equivlete die que eiste um solução ãotivil p M X X ( M I) X 0 E de fto, sbemos que isso é stisfeito, pois temos que det( M I ) 0, o que to osso sistem homogêeo possível e idetemido (III) Veddei Pimeimete, temos: tg () θ tg θ tg θ cos θ se θ sec θ sec θ θ θ () se cos cosθ ssim, eescevemos mti dd como: cosθ seθ cos se tg θ θ θ θ se se cos θ θ sec θ lculdo etão o detemite dess mti, ecotmos: cosθ seθ cos θ+ se θ seθ cosθ omo o detemite é sempe ão ulo, p todo vlo de θ em que eistm tgete e secte ( θ + k, k ), tl mti é sempe ivesível p esses vloes QUESTÃ 08 Se é um i de multiplicidde d equção b 0, com b,, etão b é igul ) -6 b) -6 c) -8 d) 8 e) 7 ltetiv Po hipótese, se é i com multiplicidde de p( ) b, etão, pelo teste d deivd, é i simples d deivd de p( ) Etão: p'( ) + + est fom temos: p'() omo é i de p( ), p 6, temos: p() b 0 b Potto, b ( 6) () b b 8 QUESTÃ 09 poduto ds íes eis d equção + é igul ) b) c) d) e) ltetiv omo há módulo em mbos os ldos d equção, ão é ecessáio lis sepdmete o sil ds fuções deto destes ssim, temos que: + + ± ( ) + 0 ou 0 ± ± ou Sedo tods s íes eis, seu poduto é ddo po: P + + P QUESTÃ 0 osidee equção lgébic ( ) k k 0 Sbedo que 0 k é um ds íes e que (,, ) é um pogessão geométic com e som 6, pode-se fim que ) som de tods s íes é b) o poduto de tods s íes é c) úic i el é mio que eo d) som ds íes ão eis é 0 e) tods s íes são eis ltetiv Podemos eesceve o somtóio d seguite mei: k p( ) 0 ( ) + ( ) + ( ) 0 ( k ) k esevolvedo cd biômio e gupdo os temos com o mesmo epoete, temos: ( ) + ( ) + ( ) 0 + ( ) + ( + ) + ( + ) 0 Sbedo que, temos que: 0 é i (I) q + q 6 (II) Resolvedo equção (II), temos q ou q Se q, equção (I) fic 8+, que é flso Se q, equção (I) fic , que é veddeio Logo,,, 8 e p( ) + Ftodo p(), temos p ( ) + ( + ) ssim, s íes de p() são 0 e Potto, som ds íes é QUESTÃ epessão ± 9i y y e + 9e 6e e + 6 0, com e y eis, epeset ) o cojuto vio b) um cojuto uitáio c) um cojuto ão-uitáio com um úmeo fiito de potos d) um cojuto com um úmeo ifiito de potos e) o cojuto ( ) y y { y, ( e ) + ( e ) } ltetiv y y Reescevedo epessão e + 9e 6e e + 6 0, temos: y y e + 9e 6e e y y e 6e e e ( ) ( ) y ( e ) ( e ) y ( e ) ( e ) y ( e ) ( e ) Note que, com um mudç de viáveis, po eemplo, fedo e u e e y v, temos fomção pcil de um elipse o plo (u,v): ssim, podemos obsev que há um cojuto ifiito de potos que stisfem equção

5 (9) -0 ELITE RESLVE IT 0 - MTEMÁTI QUESTÃ om espeito à equção poliomil é coeto fim que ) tods s íes estão em b) um úic i está em e s demis estão em \ c) dus íes estão em e s demis têm pte imgiái ão-ul d) ão é divisível po e) um úic i está em \ e pelo meos um ds demis está em \ ltetiv E Pelo teoem ds íes ciois, sbemos que s possíveis íes ciois, d fom p/q, são tis que p é um diviso do temo idepedete (que o cso é ) e q é um diviso do coeficiete líde (que o cso é tmbém) Sedo o cojuto dos divisoes iteios de igul () {,,, }, s possíveis íes ciois são: ±, ±, ± Po ispeção, obtemos que + é i (otdo-se que som dos coeficietes é eo, cheg-se pidmete est coclusão) e + é tmbém de fto i Reduido-se o gu do poliômio, tvés do dispositivo de iot-ruffii p +: Logo, + 6 ( ) ( + ) Q( ) Repetido-se edução de gu p o poliômio Q() cim e ssim, temos ftoção do poliômio ddo: ( ) ( ) ( + 6 / ) ( ) ( ) ( + 6 ) e modo que s íes desse poliômio são:,, e Julgdo go cd ltetiv + : ) Icoet Temos pes dus íes ciois, e, já que e b) Icoet e fto há um úic i itei ( ), poém somete i \, equto \ e \, já que ehum desss íes são úmeos ciois c) Icoet e fto, dus íes são ciois ( e ), poém s outs dus íes ( e ) id são eis, isto é, têm pte imgiái ul d) Icoet Sedo um i, segue que é um dos ftoes d equção, cofome pesetdo cim e) oet e fto, um úic i é ciol ão itei ( \ ) e pelo meos um ds íes outs íes é el ão ciol (tto \ como \ ) QUESTÃ m Sejm m e iteios tis que e equção 6 + 6y + m + y 0 epeset um cicufeêci de io cm e o ceto loclido o segudo qudte Se e são os potos ode cicufeêci cu o eio y, áe do tiâgulo, em cm, é igul ) 8 b) c) d) 9 e) 9 ltetiv Temos que: m y 6 + 6y + m + y 0 + y m y m m ssim, o ceto d cicufeêci é, 7 7, e como o io vle cm: m m + m Ms temos que fic: m m 9m e oss equção m + m + 9m m > m omo deve petece o segudo qudte, temos que m < 0 7 m > 0 < 0 > 0 7 Logo m e m 6, e itesecção d cicufeêci com o eio y seá etão: 0 8 ( ) y y ± y ± ( + ) + ( y ) 9 E os potos são: (0, + ) + (0, ) (, ) 0 Filmete: 9 QUESTÃ Ete dus supeposições cosecutivs dos poteios ds hos e dos miutos de um elógio, o poteio dos miutos ve um âgulo cuj medid, em dios, é igul ) b) 6 c) d) e) 7 ltetiv Iicilmete, ote que o poteio dos miutos pecoe 60 em 60 miutos, ou sej, tem velocidde gul de 6 /mi poteio ds hos pecoe 60 em h (70 miutos), ou sej, tem velocidde gul de 0, /mi omo s velociddes gules são costtes, etão o âgulo vido pelo poteio de miutos ete dus supeposições é fio dmit, sem ped de geelidde, que o pimeio ecoto ete os poteios do elógio ocoe às h00mi ssim, o segudo ecoto cotece ete h00mi e h00mi bseve, figu bio que, qudo o elógio mc etmete h00mi o poteio dos miutos está sobe o úmeo, equto o ds hos está sobe o úmeo, ou sej, 0 à fete do poteio dos miutos 0º 60º

6 (9) -0 ELITE RESLVE IT 0 - MTEMÁTI Sej t o istte do segudo ecoto, medido em miutos Nesse istte, temos: ) poteio dos miutos: pecoeu um distâci gul de 6t (medid em gus) ) poteio ds hos: pecoeu um distâci gul de 0,t (tmbém medid em gus) ltetiv Sejm medid do segmeto E e medid do ldo do quddo E 0,t 6t omo o poteio ds hos, o istte iicil (h00mi), estv 0 à fete do poteio dos miutos e mbos se ecotm o istte t, segue que: ,t 6t,t 0 t t mi, 60 esse modo, o segudo ecoto ocoe h mi, ou sej, o tempo ecessáio p ocoeem dus supeposições cosecutivs ete os poteios ds hos e dos miutos é 60 + mi Sbemos que o âgulo vido pelo poteio dos miutos, em gus, é ddo po 6t Em dios esse âgulo sei ddo po t esse 0 modo, o âgulo, em dios, vido pelo poteio dos miutos é 70 ddo po d 0 QUESTÃ Sej um tiâgulo etâgulo cujos ctetos e medem 8 cm e 6 cm espectivmete Se é um poto sobe e o tiâgulo é isósceles, medid do segmeto, em cm, é igul ) b) 6 c) d) e) bio est um deseho ilustdo situção: ltetiv ssim: () áe do quddo: ( ) () áe do tpéio: + () áe do tiâgulo: Pelo eucido, sequêci ; ; é um pogessão itmétic Nesse cso, segue que o temo médio é médi itmétic dos etemos, ou sej: + 0 ( ) 0 0 ou omo epeset medid do ldo do quddo, segue que > 0, de modo que esse modo, pogessão itmétic fic ; ; som desses temos é justmete o tiplo do temo médio, ou sej, som é ssim, temos que medid de E é igul : 0 0 E E 6 QUESTÃ 7 Num tiâgulo o ldo mede cm, ltu eltiv o ldo mede cm, o âgulo ˆ mede e M é o poto médio de Etão medid de ˆ + M ˆ, em dios, é igul 8 8 plicdo Pitágos o tigulo, temos: (8 ) ) b) c) d) 8 e) ltetiv Um deseho epesetdo o poblem se ecot bio: QUESTÃ 6 Sejm em quddo e E um poto sobe osidee s áes do quddo, do tpéio E e do tiâgulo E Sbedo que ests áes defiem, odem em que estão pesetds, um pogessão itmétic cuj som é 00 cm, medid do segmeto E, em cm, é igul ) 0 0 b) c) d) e) 0 β M α

7 (9) -0 ELITE RESLVE IT 0 - MTEMÁTI omo é hipoteus de um tigulo etâgulo, po pitágos temos que su medid é, e logmete descobimos que M e 0, etão: cos( ˆ + M ˆ ) cos( α+β ) cosα cosβ seα seβ M 6 M M 0 0 omo 0<α+β< 80 α+β dios QUESTÃ 8 Um tiâgulo está iscito um cicufeêci de io cm Sbe-se id que é o diâmeto, mede 6 cm e bisseti do âgulo itecept cicufeêci o poto Se α é som ds áes dos tiâgulos e e β é áe comum os dois, o vlo de α β, em cm, é igul ) b) c) 6 d) 7 e) 8 ltetiv pti do eucido, podemos mot seguite figu: P osidee go o tiâgulo P: P 6 plicdo tg : P P tg P cm 6 P 6 ssim, áe do tiâgulo P é dd po 9 cm osidee go o tiâgulo P: plicdo se e cos : P P se P P P cm cos cm P 90 - P ssim, áe do tiâgulo P é dd po: P cm esse modo, ecotmos α β 9+ α β cm QUESTÃ 9 Um esfe está iscit em um piâmide egul hegol cuj ltu mede cm e est d bse mede 0 esfe, em cm, é igul cm Etão o io d ) 0 b) c) d) e) 0 ltetiv E lisdo figu segui, ode é o ceto do heágoo, temos: V N figu P epeset o poto de itesecção ete bisseti e o ldo do tiâgulo Note que se α é som ds áes dos tiâgulos e e β é áe comum os dois, o vlo de α β coespode justmete à som ds áes dos tiâgulos P e P bseve tmbém que os tiâgulos e são etâgulos, um ve que possuem um ldo igul o diâmeto d cicufeêci P simplific otção, utiliemos s tiâgulos P e P são semelhtes, um ve que possuem os mesmos âgulos iteos omo 0 cm e 6 cm, plicdo o teoem de Pitágos o tiâgulo temos: cm Note que, usdo o tiâgulo, temos cos e se pti d idetidde tigoométic cos cos, temos: + cos + co s cos cos cos omo se + cos, segue que, p 0 < < : se cos se se se se id, tg cos F M T H omo bse é um heágoo egul de ldo igul 0 cm, temos que o segmeto M é ltu de um dos seis tiâgulos equiláteos qul é dividido o heágoo egul 0 ssim, M cm N 6

8 (9) -0 ELITE RESLVE IT 0 - MTEMÁTI o fto de que ltu d piâmide é cm, cosidedo o tiâgulo etâgulo VM, temos que: VM M + V VM + VM cm omo os tiâgulos VTH e VM são semelhtes (pois são mbos etâgulos e têm o âgulo o vétice V em comum), temos seguite popoção: 60 0 cm QUESTÃ 0 osidee s fimções: M T cm V H cm Vmos supo que eistm dois cojutos e tis que: ( \ ) ( \ ) ( \ ) ( \ ) ( \ ) ( \ ) ( \ ) Em pticul, ( \ ) ( \ ) ( \ ), é sempe veddei, ms p que pimei seteç, ( \ ) se teh ( \ ), ecessimete \, pois cso cotáio, eisti elemeto em que ão sei elemeto de, o que tulmete impedii iclusão de \ em ssim, teímos \ Se, temos que \, já que e têm pelo meos um elemeto em comum Logo: \ ( \ ) ( \ ) ( \ ) \ \ I - II - III - IV - Eiste um tiedo cujs fces têm mesm medid α 0 ο Eiste um âgulo poliédico coveo cujs fces medem, espectivmete, 0,, 0, 0 e 70 Um poliedo coveo que tem fces tigules, fce qudgul, fce petgol e fces hegois tem 9 vétices som ds medids de tods s fces de um poliedo coveo com 0 vétices é 880 ests, é(são) coet(s) pes ) II b) IV c) II e IV d) I, II e IV e) II, III e IV ltetiv I Fls som ds medids ds fces deve se mio do que 80 e meo do que 60 omo s tês fces têm medid 0, som ds tês é etmete 60 II Veddei Somdo s medids ds fces, temos , ou sej, um vlo mio do que 80 e meo do que 60 III Fls bseve que o totl de fces é F lém disso, o totl de ests é pti d elção de Eule, se V epeset o úmeo de vétices temos V + F, dode segue que V + 7 V 0 ssim, figu tem 0 vétices IV Veddei som ds medids dos âgulos de tods s fces de um poliedo coveo é dd po ( V ) 60 ssim, se ele possui 0 vétices, som seá ( 0 ) QUESTÃ lise eistêci de cojutos e, mbos ão-vios, tis que \ \ ( ) ( ) Tomdo dois cojutos e quisque, temos epesetção de \ \ esquemtid segui ( ) ( ) QUESTÃ Sejm ímp, \ { 0} e,,, s íes de lcule o úmeo de vloes i j, i, j,,,, com i j, distitos ete si Po hipótese, equção dd equivle o poliômio de gu ddo po: 0 e codo com o Teoem Fudmetl d Álgeb, esse poliômio tem íes comples:,,, Repesetdo tis íes o plo compleo de gd-guss bio, temos que os fios desss íes fomm um polígoo egul coveo de ldos iscito em um cicufeêci de io uitáio + + Im e ssim, i j é distâci ete dois fios distitos Potto, o que está sedo pedido é o úmeo totl de distâcis distits ete dois vétices do polígoo fomdo omo o polígoo é egul, podemos escolhe qulque um de seus vétices como efeêci, um ve que o polígoo pode se otciodo em too d oigem e p cd otção obteímos os mesmos esultdos Po simplicidde, tomemos como vétice de efeêci Sbedo do eucido que o úmeo de vétices é ímp (pois é ímp), cd um ds íes esttes possui um i simétic em elção o eio el Potto, se i é simétic de k, etão i k ssim, o úmeo de distâcis distits que podemos obte é Potto, o úmeo de vloes i j distitos ete si é 7

9 (9) -0 ELITE RESLVE IT 0 - MTEMÁTI QUESTÃ Sobe um mes estão dispostos livos de histói, de biologi e de esphol etemie pobbilidde de os livos seem empilhdos sobe mes de tl fom que queles que ttm do mesmo ssuto estejm jutos Vmos clcul o úmeo de possibiliddes de empilh os livos d mei como pede o eecício (jut os do mesmo ssuto) Podemos ve que: evemos pemut os livos de mesmo ssuto deto de cd bloco evemos pemut os blocos ete si Podemos ve figu bio os tês blocos de livos de mesmo ssuto: est fom, o úmeo de possíveis empilhmetos desejdos é e (!!! )! Histói ( livos) Esphol ( livos) iologi ( livos)!!! omo temos um totl de livos, o úmeo de totl empilhmetos possíveis é! ssim, pobbilidde de empilh os livos jutdo queles de (!!! )! mesmo ssuto é p p! QUESTÃ log ( + 9) Resolv iequção em : 6 < Vmos tes ecot s codições de eistêci do logitmo, tomdo o logitmdo como positivo: + 9 > 0 P ess iequção de segudo gu, clculmos o discimite Δ ( ) 9 7< 0 Sedo ssim, o logitmdo + 9 é sempe positivo, Reescevedo etão iequção p igul s bses ds potêcis em mbos os ldos, temos: log ( 9) + < omo s bses são mioes que, podemos comp os epoetes mtedo o sil d iequção: < log + 9 ( ) ( + ) > ( + ) > log 9 log 9 log Sedo qui bse tmbém mio que, compmos os logitmdos ovmete mtedo o sil d iequção: + 9 > 6 > 0 Resolvedo pti do gáfico d fução do segudo gu esboçdo cim, temos que: < ou >! + + ( blocos de livos de mesmo ssuto) QUESTÃ etemie tods s mties ( ) N Μ ( ) M Μ tis que MN NM, y b osideemos M e N, devemos ecot s w c d elções em,y, e w tl que bcd,,, tehmos MN NM, etão isso é equivlete : y b b y w c d c d w + cy b + dy + b y + bw + cw b + dw c + d cy + dw Iguldo o pimeio elemeto de cd mti obtemos: + cy + b cy b, bc, y 0 Etão oss iguldde se edu : b bw cw dw c dw, bcd,,, w 0 Etão oss solução são tods s mties d fom M λ 0 λ, λ 0 u sej M λ I, λ, ode I é mti idetidde de 0 odem QUESTÃ 6 etemie todos os vloes de m tis que equção ( m) + m + m+ 0 teh dus íes eis distits e mioes que eo Po hipótese, se equção do segudo gu dmite dus íes eis, distits e mioes do que eo, s seguites codições devem se stisfeits: Δ> 0 b S > 0 (*) c P > 0 dmitiemos que m 0 m p que equção sej efetivmete um equção do segudo gu equção ( ) m + m + m+ 0 temos: Δ 8m 6 m S m m + P m plicdo s codições de (*), temos: Δ 8m 6 > 0 m > ou m < m S > 0 m < 0 ou m > m m + P > 0 < m< m Fedo itesecção ds tês possibiliddes, temos que < m < 8

10 (9) -0 ELITE RESLVE IT 0 - MTEMÁTI QUESTà 7 osidee um esfe Ω com ceto em e io 6cm e um plo Σ que dist cm de etemie áe d itesecção do plo Σ com um cuh esféic de 0 em Ω que teh est otogol Σ Fedo itesecção ete esfe Ω e o plo Σ, temos: bseve que ess itesecção é um cicufeêci Sej R medid de seu io plicdo o teoem de Pitágos: R + 6 R R cm osidee go itesecção ete cuh esféic e o plo: R 6 0 Logo: cos se cos se cos se b) Sej se cos 0 Pelo desevolvimeto do item (), otmos que os âgulos são complemetes, isto é, + 0 Logo: se cos se cos se (I) 0 0 Tmbém do item (), temos que: se cos se cos se cos 0 0 se (eq I) 0 e 0 se se cos se cos se cos Logo: se cos 0 QUESTà 9 Num tiâgulo o âgulo Ô mede e os ldos e medem cm e cm, espectivmete cicufeêci de ceto em e io igul à medid de itecept o poto ( ) ) Moste que  mede b) lcule o compimeto ) Um deseho que epeset situção é mostdo segui: cm Note que ess itesecção é um seto cicul de io cme âgulo de 0 : cm 0 Pologdo et e fechdo o tiâgulo etâgulo F, temos: ssim, áe dess iteseção coespode d áe de um cículo de io cm esse modo: 8 e ( ) e e cm QUESTà 8 ) lcule cos se cos se cos se 0 0 b) Usdo o esultdo do item teio, clcule se cos 0 ) Sej E cos se cos se cos se 0 0 cos se E cos cos se se cos + cos E F cm cm plicdo o seo do gulo FÔ :  F se( FÔ) F go p o tiâgulo F: F se( Â) 9

11 (9) -0 ELITE RESLVE IT 0 - MTEMÁTI go, usdo o fto de que ( ) se  se : se ( θ) cos se θ, mostemos que cos0 se se( Â) omo se(  ) se e 0<  < 90, etão  b) lisemos figu segui: o tg0 cm b) áe pedid é áe do tiâgulo equiláteo de ldo cm meos áes de um cículo de Logo, ( ) ( ) cm c) No tiâgulo T, temos que distâci d é o segmeto, que é hipoteus do tiâgulo cosidedo ssim, temos: o se0 d d d cm E omo  é âgulo ecêtico eteo à cicufeêci, temos elção: E  omo Ô é âgulo cetl coespodete, Ô Temos que o tiâgulo é isósceles, pois Â Ô Etão io d cicufeêci cm QUESTà 0 osidee um tiâgulo equiláteo cujo ldo mede cm No iteio deste tiâgulo eistem cículos de mesmo io ceto de um dos cículos coicide com o biceto do tiâgulo Este cículo tgeci etemete os demis e estes, po su ve, tgecim ldos do tiâgulo ) etemie o vlo de b) lcule áe do tiâgulo ão peechid pelos cículos c) P cd cículo que tgeci o tiâgulo, detemie distâci do ceto o vétice mis póimo Po hipótese, podemos mot seguite figu: IME 0: povdos em 7 luos Equipe dest esolução Mtemátic cy Gbiel ugusto de mgo uh Rfel d Gm vlli Rodigo do mo Silv Revisão Eliel bos d Silv Fbio Goçlves Lopes Mcelo ute Rodigues ecchio Zbi Vge Figuei de Fi G 0 igitção, igmção e Publicção oli Mcodes Gci Feei Hy Nishimu Mol H T 0 ssim: ) No tiâgulo GH, temos: 0