TEORIA DAS I - DEFINIÇÃO Deomimos mtriz rel do tipo m (lei: m por ) tod tbel formd por m. úmeros reis dispostos em m lihs e colus. Exemplos: é um mtriz rel. 5 - é um mtriz rel. 8 II - MATRIZ QUADRADA. Qudo o úmero de lihs, e igul o úmero de colus dizemos que mtriz é qudrd de ordem. - Exemplo: é um mtriz rel qudrd de ordem. 8 III - REPRESENTAÇÃO GENÉRICA M Pr represetr um mtriz geéric ( ) mx, usmos:...... M... m m m... m IV - IGUALDADE DE A iguldde etre dus mtrizes só existe, se forem mtrizes de mesm ordem, e se os elemetos correspodetes forem iguis. Se A ( ) e B ( b ) temos : A B b, i e j. mx mx V - MATRIZ TRANSPOSTA Dd mtriz A do tipo m x, deomimos mtriz trspost de A à mtriz do tipo x m cujs colus coicidem ordedmete com s lihs de A. Idicmos mtriz trspost t por A. De um modo gerl temos: Se A, etão B b, ode b ji, i e j. ( ) ( ) mx xm VI - ADIÇÃO DE Dds dus mtrizes A e B do tipo m, som A + B é mtriz m que obtemos somdo os elemetos de mesmo ídice ds mtrizes dds. De meir álog determimos difereç A B. Portto temos: Se A e B b temos A + B C c ode c + b. ( ) ( ) ( ) mx mx mx
( ) e B ( b ) temos A B D ( d ) ode d b Se A. mx mx VII - PRODUTO DE Pr clculr o produto AB de dus mtrizes A e B iremos efetur s multiplicções de cd lih de A por tods s colus de B. Assim, o produto AB só vi existir se um lih de A e um colu de B houver mesm qutidde de elemetos. Isto ocorre qudo o úmero de colus de A é igul o úmero de lihs de B. A de tipo B de tipo p. O Cosidere mtriz ( ) produto AB (tmbém idicdo por AB) é mtriz ( ) é ddo por: c ik j b jk i b k + i b k +... + VIII RESUMINDO AS PROPRIEDADES i b k mx m e mtriz ( ) c ik b jk C do tipo m p, cujo termo gerl, i AB BA. ( AB) C A ( BC). ( A + B) C A C + B C, A ( B + C) A B + A C. k A B A k B k A B. ( ) ( ) ( ) ( A t ) t A. t t t ( AB ) B. A. t t t ( A B) A + B t t ( ka ) ka. +. e j. OBSERVAÇÃO:Não é válid lei do ccelmeto, isto é, sedo ABAC, com A O, ão podemos cocluir que BC. TESTANDO SEUS CONHECIMENTOS Problem. 8 8 (OMSP ADAPTADA) Dds s mtrizes A e A k 8 8 de k é igul : ) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) resp.: C. Etão, o vlor
Problem. (UFMG )Nest figur, está represetdo um qudrdo de vértices ABCD: Sbe-se que s coordeds crtesis dos potos A e B são A (, ) e B (, ). Etão, é CORRETO firmr que o resultdo d som ds coordeds do vértice D é ) b) c) d) e) RESP.: B Problem. Um btlhão de Exército resolveu codificr sus mesges trvés d multiplicção de mtrizes. Primeirmete, ssoci s letrs do lfbeto os úmeros, segudo correspodêci bixo umerd: A B C D E F G H I J L M N 5 6 7 8 9 Dess form, supodo-se que o btlhão em questão desej evir mesgem PAZ, P A pode-se tomr um mtriz x, d form:, qul, usdo-se tbel cim, será Z 5 dd por: M. Tomdo-se mtriz-chve C pr o código, isto é: C 5, trsmite-se mesgem PAZ trvés d multiplicção ds mtrizes M e C, ou sej: 5 7 M.C. ou trvés de úmeros 7 5 75. Dess form, 5 5 75 O P Q R S T U V W X Y Z 5 6 7 8 9 5
utilizdo-se mesm mtriz-chve C, decodificção de mesgem 5 8 9 será compreedid pelo btlhão como sedo trsmissão d plvr: )LUTE b)fofo c)amor d)vida e)fuga RESP.: D Problem. Cosidere mtriz mostrd figur seguir 998 Determie A. RESP.: 998 998 A 998 Problem 5. (UFRJ)Cosidere s mtrizes: 9999 9999 A e B. Sej A A.A e B B.B 9999 99995 Determie mtriz C A B (A + B)(A B) Problem 6. (UFC)A mtriz qudrd M, de ordem >, stisfz equção M M I, ode I é mtriz idetidde de ordem >. Determie, em termos de M e I, mtriz M Problem 7. (UFC)Dds s mtrizes mtriciis: A e P, determie os seguites produtos ) P.A.P - b) P.A 6.P - Problem 8. Supoh que B P -.A.P. Mostre B m P -.A m.p, pr m Є N *. Problem 9. Se, π cosα seα cos5α se5α α prove idetidde seα cosα se5α cos5α 5
Problem. (FEI-SP)Ddos s úmero k turl, múltiplo de, e mtriz firmr que A k+ A é: A, podemos Problem. (UFRS)Um mtriz A ( ), qudrd de ordem, tl que sempre que i.j > (i + j). Cso cotrário,. A som de todos os elemetos d mtriz é: ) b) c) + d) + e) Problem. Dd mtriz A. Determie mtriz A 99 +.A 99 Problem. (OMSP) É dd mtriz A. Clculr A + A + A +... + A 5 Problem. Um mtriz A qudrd é dit ivolutiv qudo A I. Um mtriz digol de ordem é ivolutiv. Determie- Problem 5. (UERJ ) Cosidere s mtrizes A e B: A ( ) é qudrd de ordem em que, se i for pr, se i for impr B ( b ) é de ordem x p em que b j i. ) Clcule som dos elemetos d digol pricipl d mtriz A. b) O elemeto d qurt lih e d segud colu d mtriz produto A.B é igul 9. Clcule o úmero de lihs d mtriz B. Problem 6. (UFRJ 97) Observe sucessão de mtrizes seguir, costituíd com os úmeros ímpres positivos: 5
5 7, 9 5, 7 9,... ) Determie o mior úmero escrito o se completr 7 mtriz. b) O úmero 66 prece N-ésim mtriz. Determie N. RESP.: ) 95 b) 8 Problem 7. Cosidere s mtrizes: A, defiid por i j : B ( ) ( b ) ( ) c, defiid por C, C A B. Clcule o elemeto c. Resp.: Problem 8. i j b : (UFSC). Sej A ( ) e ( b ) B, dus mtrizes defiids por i + j e b i + j, respectivmete. Se A B C, determie o elemeto c d mtriz C. Resp.: 9 Problem 9. (MACK). Sejm s mtrizes seguir: j A, defiid por i B ( ) e ( b ), defiid por i b j. Se C AB elemeto c, vle: ) b) c) 9 d) 8 e) 56 Resp.: item d Problem. (UFRJ). Sej A. ) Determie A. Resp.: b) Se, etão o A deot o produto de A por A vezes, determie o vlor do úmero turl k tl k 5k que A A + A Resp.: ou 6 I, em que I é mtriz idetidde. 6
Problem. cos x se x (UFPB). Sbedo-se que um mtriz de rotção de âgulo x é dd por, se x cos x etão o produto de um mtriz de rotção de âgulo x por outr de âgulo y result em um mtriz de rotção de âgulo: ) xy b) x + y c) x y d) y x e) x + y Resp.: item b Problem. (FGV-SP). Sej A um mtriz qudrd de ordem e I mtriz idetidde de ordem. Se A I, podemos firmr que: ) A A b) A A c) A 5 85 I d) A I e) mtriz A ão dmite mtriz ivers. Resp.: item Problem. (MACK-SP). Com relção mtriz A, ltertiv corret é: 9 ) A I b) A 8 A c) A A d) A A e) A I Resp.: item e Problem. (SANTA CASA SP). Se A é um mtriz qudrd, defie-se trço de A como som dos A, ode elemetos d digol pricipl de A. Nests codições, o trço d mtriz ( ) i j, é igul : ) 6 b) c) d) e) 6 Resp.: item e Problem 5. (SANTA CASA SP). São dds s mtrizes A e B, qudrds, de ordem e ivertíveis. A solução d equção A X B I, ode I é mtriz idetidde de ordem, é mtriz X tl que: ) X A B b) X B A c) X B A d) X A B e) X B A Resp.: item c Problem 6. b x y Se A e c d z t t t B, prove que vle iguldde ( ) t A. B B. A. 7
Problem 7. Se A e B são mtrizes reis de ordem que comutm com mtriz AB BA. -, mostre que b Resp.: As mtrizes que comutm com são do tipo. Assim, podemos - b cosiderr A x x x x e x x B, e ssim mostrr que AB BA. x x Problem 8. 8 8 - Cosidere s mtrizes A e B 8 9. Sej A A. A - e B B. B. C A B A + B A B. Determie mtriz ( )( ) Resp.: C Problem 9. Cosidere mtriz 6 A. Determie A. 8 6 Resp.: Vej que A 8 I, e portto, A A 8 6 A A Problem. Cosidere mtriz rel A ( ), defiid por ) A mtriz M A + A + A. b) mtriz P A + A + A + A +... + A., j 5 i se i j. Determie:, se i j Resp.:) 5 M ; b) P / 5 IX - MATRIZ DIAGONAL Num mtriz qudrd A de tipo, os elemetos com i j formm digol pricipl. Qudo são ulos os elemetos que ão pertecem à digol pricipl, dizemos que A é um mtriz digol. 8
X - MATRIZ SIMÉTRICA Um mtriz qudrd A de tipo su trspost. XI - MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA. Um mtriz qudrd A do tipo à opost d su mtriz trspost., é chmd mtriz simétric qudo é igul à é chmd mtriz ti-simétric qudo é igul XII - MATRIZ IDENTIDADE Chmmos mtriz idetidde (ou mtriz uidde) de ordem à mtriz qudrd em que os elemetos d digol pricipl são iguis e os demis elemetos são todos iguis zero. Observção: Qulquer que sej mtriz A do tipo m vlem s igulddes: A. I A e I m. A A XIII - MATRIZ INVERSA Um mtriz qudrd A de ordem é chmd mtriz iversível (ou mtriz ivertível) se existir um mtriz B tl que AB BA I. Qudo existe mtriz B, el é chmd mtriz ivers de A e idicmos por A A A.. A I A. Assim: TESTANDO SEUS CONHECIMENTOS Problem. Sej mtriz qudrd de ordem defiid por: logi, se i < j i, se i j A som do elemeto d primeir lih e d terceir colu com o elemeto d segud lih e d primeir colu é: ) b) c) 8 + log d) + log e) + log resp.: B Problem. (FEI SP)Qul é o vlor registrdo 7 colu com 8 lih do qudrdo bixo descrito prcilmete? 9
...... 5............... ) b) 8 c) 5 d) 5 e) 7 resp.: A Problem. Se mtriz M igul : b k b é simétric e k + b + c, etão expressão + b + c. b. c é ) b) c) d) e) resp.: B Problem. Sejm f e g fuções reis de vriáveis reis defiids por 5 log x log x f ( x) e g( x). Se mtriz A ( ) é tl que f(i) g(j); pr i Є {,, } e j Є {,, }, etão som de todos os elemetos d digol pricipl dess mtriz é: ) ½ b) / c) / d) / e) ¾ resp.: B Problem 5. (FUNREI MG)Um mtriz m x m é chmd de qudrdo mágico qudo som dos elemetos de cd lih, de cd colu, d digol pricipl e d outr digol(secudári) são iguis. Se mtriz x dd por 5 6 b é um qudrdo 7 8 c d r s t u c + d + t + u mágico, etão é igul : + b + r + s ) -/8 b) -7/ c) / d) -5/6
Problem 6. (UFPB 98) A ivers d mtriz x é A é mtriz A x. Etão, o vlor de ) b) c) d) e) Resp.: C Problem 7. Obteh mtriz ivers, se existir, de: - 5 7 ) A b) A c) A - d) A e) A - / / 7 / Resp.:) A ; b) A ; c) A ; d) ão existe / / 5 / ivers d mtriz A; e) A / ; / Problem 8. Sbe-se que ivers de um mtriz A é A. Determie o elemeto d segud lih e primeir colu d mtriz A. Resp.: c A ( ), ode A represet o coftor do elemeto det A mtriz A. Problem 9. 5 Sedo A, che mtriz B tl que B A. 5 5/ / Resp.: B. / 5 / d
Problem. A mtriz ivers de M é mtriz M elemetos d segud lih d mtriz M. 6 8. Determie som dos 7 Problem. Prove que se A é simétric quer A sej simétric quer sej A ti-simétric. Resp.: Se A for simétric, etão A T Se A for ti-simétric, etão ( A ) T A. A A A A A T ( ) T T ( A A ) A A A T T A A A ( A) ( A) Problem. Prove que se A A T O, etão A O. Solução: T Sej C A A. N digol pricipl de C, temos: k k c kbk k k k, ode b k, pois T k B A. k A T A. T ( A A ) A A Assim, temos: + + +... +.... Assim, todos os elemetos d primeir lih d mtriz A, são ulos. O mesmo cotece com tods s outrs lihs d mtriz A, pois de modo gerl temos: c mm k mk b km k mk mk k mk, ode m {,,,,..., } De ode, temos: + + +... +.... m m m m m m m m T Portto, se AA O, etão A O. Problem. i Cosidere mtriz complex M. Sbedo que i, ode i é uidde i imgiári, determie: 5 ) M b) M c) M 5 ( ) Resp.: ) M ; b) M 5 ( ) ; T
b) M M 5 5 M M ( ) 5 ( ) ( ) 5 5 i 5 5 ( ) i ( ) i ( ) 5 i Problem. Sejm A e B mtrizes qudrds de ordem iversíveis. Prove que AB é iversível e AB B A. ( ) Problem 5. Sejm A e B mtrizes qudrds de ordem. Sobre que codições vle iguldde A + B A + AB + B. ( ) Problem 6. b Sob que codição mtriz A comutm com su trspost? c d Resp.: b c e ( c b) ( d ) Problem 7. Clculr e b reis de modo que mtriz ão ul A A. Resp.: b e b A verifique codição b Problem 8. Determir s mtrizes digois de. ordem que stisfzem à equção Resp.:,,, X X. Problem 9. Sej A um mtriz qudrd de ordem, iversível. Prove que t ( A ) ( A ) t. (sugestão: lembre que A A I t t. e que ( ) t A. B B. A ). t A é iversível e Problem 5. Clcule tods s mtrizes qudrds, de ordem, tis que X I. ± bc b bc b Resp.:, ±, c bc, ode c R e bc. c bc
Problem 5. Clcule tods s mtrizes qudrds, de ordem, tis que + bc b Resp.:,,, bc c ode b, c R e bc. X X. bc c + b, bc Problem 5. Se A e B são mtrizes diferetes stisfzedo C A + B possui ivers. Resp.: A mtriz C ão possui ivers. A B e A B B A. Verifique se mtriz Problem 5. (Provão ). Se mtriz M stisfz ) ão existe. b) é igul I. c) é igul M. d) é igul M I. e) é igul I M. Resp.: item e M M + I O, etão M : Problem 5. (IMO UNIV ). Sejm A e B mtrizes reis AB BA. tis que AB + A + B O. Prove que Problem 55. Cosidere mtriz qudrd de ordem, defiid por. A......... ) Mostre que A A e A A p+ p b) Prove por idução sobre p que A A Problem 56. (OBM - ). Sej A um mtriz rel...............
5....... + + + y x x x x y x x x x y x A L M O M M ) Determie os vlores de x e y, de modo que mtriz A sej iversível. b) Clcule mtriz A. Problem 57. (CESESP). Sej A um mtriz d form: Sej ( ) R R f : fução dd por: I ( ) R é o cojuto ds mtrizes qudrds de ordem. II ( ) c c c A f, ode j i c,,, i. Assile ltertiv fls: ) 8 7 6 5 f b) 7 f c) 8 9 7 5 6 9 8 7 6 5 f f d) 9 8 7 6 5 6 5 9 8 7 f f e) 6 8 7 9 5 9 8 7 6 5 f f. Resp.: item e Problem 58. A mtriz qudrd A diz-se ilpotete se O A p, pr lgus iteiros positivo p. Se p for o meor iteiro positivo pr o qul O A p, etão A diz-se ilpotete de ídice p. Mostre que 6 5 A é ilpotete de ídice. Problem 59. Se O A k, prove que ( )... + + + + k A A A I A I.
Problem 6. Um poliedro de vértices A, A, A,..., 8 bixo, represet distâci etre dois vértices {,,..., 8} i, j,. M Determie o volume desse poliedro. Resp.: A é tl que cd elemeto d mtriz M ( ) 8 8 A, ou sej, dist( A, A ), com A i e j Problem 6. Um mtriz A é cogruete com um mtriz B com mesm ordem se existir um mtriz P T ão-sigulr tl que A PBP. ) Mostre que se A é cogruete com B e B é cogruete com C etão A é cogruete reltivmete C. b) Mostre que se A é cogruete com B, etão B é cogruete com A. i j Problem 6. Resolv o sistem de equções mtriciis: MAX + NY NAX + PY Resp.: M N Problem 6. Nesse problem, ecotrremos um fórmul fechd pr o -ésimo termo d fmos seqüêci de Fibocci. ) Cosidere s mtrizes: + 5 5 + 5 A, M e D. 5 Prove que A M D M. b) Sedo F o -ésimo termo d seqüêci de Fibocci, defiimos: F, F e F + F+ + F, pr. Prove que, pr iteiro positivo, 6
F+ F A F F c) Observe: A A A MDM MDM MD I DM MD M. A A A MD M MDM MD I DM MD M. A A A MD M MDM MD I DM MD M. Clculdo A de modo álogo os últimos exemplos, demostre que: + 5 5 F. 5 Problem 6. (OBM-6). Sejm A e B mtrizes qudrds de mesm dimesão tis que, pr todo k k iteiro positivo k, ( A + B) A k + B. Prove que se A é ivertível etão B é mtriz ul. Solução: Temos, de A + B ( A + B) ( A + B) ( A + B) A + AB + BA + B, e ssim temos que: AB + BA Agor, temos: A + B A + B A + B A + B A + B A + B A + AB + BA + B e ssim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) temos: AB + BA. Como AB BA, etão: AB + BA AB ABA A ( B BA) A ( B BA) Como mtriz A é ivertível, podemos multiplicr á esquerd por A, de ode obtemos: B BA. Temos, tmbém A + B A + B A + B A + B A + B A + B A + A B + B A + B e ssim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) temos: A B + B A. Como AB BA, etão: A B + B A ABA + B A AB + B A AB + B ( ) ( ) A Como mtriz A é ivertível, podemos multiplicr á direit por A, de ode obtemos: AB + B. ssim obtemos: AB BA. Como AB + BA, etão podemos escrever: AB, que multiplicdo esquerd por A, obtemos B Problem 65. Determie áre do qudrdo bixo sbedo que D (,8). y C B D (,8) A x 7
Problem 66. (EUA)Clcule.b sbedo que A(, ), B(, ), C(b, 7) são vértices de um triâgulo eqüilátero como mostr figur bixo: 7 C B A b NAS ESCOLAS MILITARES Nest secção de escols militres tem como objetivo pricipl resolver questões que já foi borddo em vários cocursos militres. Ms tmbém profuddo os seus cohecimetos mtemáticos e dquirido cd vez um rciocíio purdo e um cert dose de critividde s resoluções problems. Problem 67. (AFA-7). Assile ltertiv INCORRETA 6 ) Se C, etão C é mtriz ul. 9 6 b) Se A, etão A A. t t c) Dd um mtriz qudrd T ão-ul, operção T T, em que T é mtriz trspost de T, tem como resultdo um mtriz ti-simétric. m i j +,, j,,, é um d) A mtriz ( ) mtriz simétric. M tl que m [ ( )], sedo i { } e { } 8
Problem 68. (AFA-6). Assile s seteçs bixo: i se i j I. Sej mtriz A ( ), defiid por j. O elemeto d terceir ( i + j) se i j lih e segud colu d mtriz trspost de A é 8. T T II. Sej mtriz B A A ( A é trspost de A ), ode A é mtriz qudrd de ordem. Etão, digol pricipl de B é ul. seθ π III. A mtriz A é iversível se θ + k π, k Z. seθ x+ z log ( z ) x IV. Se mtriz M x ( z + )! é simétric, etão o produto dos log y y! y elemetos de su digol pricipl é igul 6. É (são) fls(s) pes: ) I e III b) II e IV c) IV d) I e II Problem 69. (AFA-). Sejm m e úmeros reis com m e s mtrizes A e 5 B. Pr que mtriz ma + B sej NÃO iversível é ecessário que: ) m e sejm positivos. b) m e sejm egtivos. c) + 7 m. d) 7m. Problem 7. (AFA -998). Se os elemetos d mtriz A são defiidos por i j, etão, o t elemeto b d mtriz B A A é: ) b) 7 c) d) Problem 7. (AFA-). As mtrizes A, B e C são do tipo m, p e r, respectivmete. Se mtriz trspost de (ABC) é do tipo 5, etão: ) m p b) mp r c) + p m + r d) r Problem 7. / (EFOMM-). Sej A, mtriz ivers d mtriz B. Determie som dos / 7 elemetos d digol pricipl d mtriz A. ) 9/ b) c) /9 d) 5/9 e) /9 9
Problem 7. (EEAR-). Sejm A ( ) um mtriz rel qudrd de ordem e I mtriz idetidde tmbém de ordem. Se r e r são s rízes d equção det (A r. I ).r, ode é um úmero iteiro positivo, podemos firmr que ) r + r + b) r + r ( + ) c) r. r det A d) r. r. det A Problem 7. (AFA-995). Dds s mtrizes: A ( ) 8 e ( b ) 7 c d mtriz C ( c ) A B é: B, ode i j e i j, o elemeto 56 ) 7 b) 6 c) 8 e) 76 Resp.: item c b Problem 75. (EEAR-). O elemeto x d mtriz solução d equção mtricil X + 6 é: 6 8 8 ) b) c) d) Problem 76. (EEAR-). O pr ( x, y), solução d equção mtricil: x x ) ( 6, ± ) b) ( 5, ) x y y ± c) x + y ±, 5 x 8 é: d) 7, 5 Problem 77. (EEAR-5). Se B é mtriz ivers de A x y, etão x y é: ) b) c) d)
Problem 78. (CPCAR-6). Sbedo-se que mtriz qudrd A de ordem é dd por i + j se i j e B é trspost de A, determie mtriz C, sedo i j se i j B t t ( AC ) B A ) 6 7 : b) c) 7 d) I Problem 79. (CPCAR-). Sejm s mtrizes iversíveis A e B. Mrque ltertiv que correspode à mtriz solução d equção BAX A. ) b) c) d) Problem 8. K (CPCAR-). Dds s mtrizes A e P mtriz ul de ordem. A som K dos vlores de K pr os quis existem um ifiidde de mtrizes M de ordem tis que AM P é: ) b) c) d) Problem 8. (ESPCEX 7)N figur seguir, são forecids s coordeds crtesis dos potos P e P. Deomi-se θ o âgulo P OP Com bse esss iformções pode se firmr que o vlor de cos θ é
) RESP.: E b) c) d) + e) Problem 8. (IME RJ)Determie um mtriz ão sigulr P que stisfç à equção mtricil 6 P A, ode A 5 Problem 8. (ITA) Cosidere o qudrdo ABCD, de digol AC defiid pelos potos (,) e (,). Determie s coordeds dos demis vértices do qudrdo. Problem 8. (RUMO AO ITA)Determie dois possíveis vértices A pr o trigulo eqüilátero ABC cujo ldo AB é defiido pelos vértices: B(,), C (-,). Problem 85. (ITA-8) Sejm A, B e C mtrizes reis qudrds de ordem e O mtriz ul, tmbém de ordem. Cosidere s seguites firmções:. AB BA. Se AB AC, etão B C. Se A O, etão A O. (AB)C A(BC) 5. (A B) A AB + B A respeito dests firmções, qul ds ltertivs seguir é verddeir? )Apes firmção é fls. b) Apes firmção é verddeir. c) A firmção 5 é verddeir. d) A firmções e são verddeirs. e) As firmções e são verddeirs. RESP.: B Problem 86. (ITA-8) Sej mtriz A d log 7. c b d, ode ( + log 5 ) log ; b 8 ; c log 8 e Um mtriz rel qudrd B, de ordem, tl que AB é mtriz idetidde de ordem é: log 7 ) log 8 d) log 5 b) log 5 log 8 e) log 8 5 5
c) 5 RESP.: C Problem 87. (AFA 986)Um figur geométric tem vértices: A, A, A, A. Form-se mtriz A ( ), ode dist(a i A j ), i, j e obtém-se: Podemos firmr, etão, que tl figur é um: ) qudrdo b) losgo c) trpézio d) tetredro RESP.: D Problem 88. (ITA-SP)Sedo A colu d mtriz ivers.. Clcule o elemeto d terceir lih com primeir Problem 89. (IME)Cosidere um mtriz A, x, de coeficietes reis, e k um úmero rel diferete de. Sbedo-se que A k.a. Prove que mtriz A + I é iversível, ode I é mtriz idetidde x. Problem 9. (ITA-9) Sej A um mtriz rel qudrd de ordem e B I A, ode I deot mtriz idetidde de ordem. Supodo que A é iversível e idempotete (isto é A A) cosidere s firmções:. B é idempotete. AB BA. B é iversível. A + B I 5. AB é simétric Com respeito ests firmções temos: ) Tods são verddeirs b) Apes um é verddeir c) Apes dus são verddeirs d) Apes três são verddeirs e) Apes qutro são verddeirs Problem 9.
(ITA-9) Sejm A e P mtrizes reis qudrds de ordem tis que A é simétric (isto é A A t ) e P é ortogol (isto é, P.P t I P t.p), P diferete d mtriz idetidde. Se B P t AP etão: ) AB é simétric b) BA é simétric c) det A det B d) BA AB e) B é ortogol Problem 9. (ITA-95) Dizemos que dus mtrizes x A e B são semelhtes se existe um mtriz x iversível P tl que B P.A.P. Se A e B são mtrizes semelhtes quisquer, etão ) B é sempre iversível b) se A é simétric, etão B tmbém é simétric c) B é semelhte A d) se C é semelhte A, etão BC é semelhte A e) det(λi B) det(λi A), ode λ é um rel qulquer Problem 9. (ITA-95) Sejm A e B mtrizes reis x. Se tr(a) deot som dos elemetos d digol pricipl de A, cosidere s firmções: [(I)] tr(a t ) tr(a). [(II)] Se A é iversível, etão tr(a). [(III)] tr(a + λb) tr(a) + λtr(b), pr todo λ R. Temos que ) tods s firmções são verddeirs. b) tods s firmções são flss. c) pes firmção (I) é verddeir. d) pes firmção (II) é fls. e) pes firmção (III) é fls. Problem 9. (ITA-77) Sej m X um mtriz qudrd x ode m é um úmero iteiro qulquer. Se P ( ) é um mtriz defiid por P X + X + X + + X, ode é um úmero iteiro positivo ( ), etão podemos firmr que: ) um elemeto d mtriz P é igul m..( + )/ b) um elemeto d mtriz P é igul m..( )/ c) um elemeto d mtriz P é igul.m.(m )/ d) P é um mtriz cujos elemetos são todos iteiros, se, e somete se, m é pr. e) ehum ds resposts teriores Problem 95. (IME RJ)Determie um mtriz ão sigulr P que stisfç à equção mtricil 6 P A, ode A 5
Problem 96. (ITA-96) Sej R, > e e cosidere mtriz log ( ) log ( ) A log log ( ) log log Pr que crcterístic de A sej máxim, o vlor de deve ser tl que: ) e / b) e / c) 5 e d) e e) e Problem 97. (ITA-96) Cosidere A e B mtrizes reis x, rbitráris. Ds firmções bixo ssile verddeir. No seu cdero de resposts, justifique firmção verddeir e dê exemplo pr mostrr que cd um ds demis é fls. ) Se A é ão ul etão A possui ivers b) (AB) t A t B t c) det (AB) det (BA) d) det A det A e) (A + B)(A B) A B Problem 98. (ITA-96) Sej R e cosidere s mtrizes reis x, A B 7 8 7. O produto AB será iversível se e somete se: ) 5 + 6 b) 5 c) d) + e) e Problem 99. (ITA-97) Cosidere s mtrizes A e B. Sejm λ, λ e λ s rízes d equção det (A λi ) com λ λ λ. Cosidere s firmções 5
Etão ) tods s firmções são flss. b) tods s firmções são verddeirs. c) pes (I) é fls. d) pes (II) é fls. e) pes (III) é verddeir. (I) B A λ I (II) B (A λ I )A (III) B A(A λ I ) Problem. (ITA-98) Sejm s mtrizes reis de ordem, + A e B + Etão som dos elemetos d digol pricipl de (AB) é igul : ) + b) ( + ) c) (5 + + )/ d) ( + + )/ e) (5 + + )/ Problem. (ITA-99) Sejm x, y e z úmeros reis com y. Cosidere mtriz iversível x A y z Etão: ) A som dos termos d primeir lih de A é igul x + b) A som dos termos d primeir lih de A é igul c) A som dos termos d primeir colu de A é igul d) O produto dos termos d segud lih de A é igul y e) O produto dos termos d terceir colu de A é igul Problem. (Escol Nvl). Cosidere s mtrizes: A, defiid por i j. B ( ) ( b ) ( ), defiid por C, tl que C AB. c b i j Qul o elemeto c? ) b) c) d) e) Resp.: item d 6
Problem. (ITA 87) Cosidere P mtriz ivers d mtriz M, ode elemetos d digol pricipl d mtriz P é: 9 5 ) b) c) d) 9 9 M A som dos 7 e)5 resp.: C Problem. (ITA 9)Sedo: A Etão o elemeto d terceir lih e primeir colu, de su ivers, será igul : )5/8 b)9/ c)6/ d) / e)/ resp.: B Problem 5. (ITA 9) Sej A mtriz x dd por A Sbedo se que B é ivers de A, etão som dos elemetos de B vle: ) b) c)5 d) e) resp.: B Problem 6. (ITA) Sejm M e B mtrizes qudrds de ordem tis que M M B. Sbedo que M t M podemos firmr que: ) B é mtriz ul. b) B I. c) B é simétric. d) B é ti-simétric e).d.. resp.: D Problem 7. (ITA) Sejm m e úmeros reis com m e s mtrizes: A 5, B. Pr que mtriz ma + B sej ão iversível é ecessário que: ) m e sejm positivos d) 7m b) m e sejm egtivos e).d. c) m e tehm siis cotrários 7
resp.: C Problem 8. (ITA). Um mtriz A é ilpotete se A O pr lgum iteiro positivo. Dê exemplo de um mtriz ão-ul ilpotete. 7 Resp.: A Problem 9. (ITA). Um mtriz rel A que stisfz s relções T AA T A A I é chmd ortogol. ) Dê exemplo de um mtriz ortogol, distit d mtriz idetidde. b) Ecotre mtriz ortogol gerl. c) Mostre que o produto de dus mtrizes ortogois é um mtriz ortogol. d) Mostre que ivers de um mtriz ortogol é um mtriz ortogol Problem. (ITA). Costru mtrizes A e B,, sem coeficietes ulos, e tis que AB O. d e Resp.: A e B, observe que A B O b Problem. (IME-86). Sej A. ) Ecotre tods s mtrizes B,, que comutm com A. b) Clcule A. c) Mostre que A A I, ode I. d) Ecotre formul pr A em fução de A e I, e clcule A. Resp.: ) B ; b) A ; c) A e ssim, A A I ; d) c A A ( ) I. Assim, temos: A 99. Problem. 8
(IME-8). Determie mtriz H tl que Resp.: H. HA B ode A e 6 B 5. Problem. (ITA). Mostre que se terceir lih de um mtriz m A é qutro vezes primeir lih, etão terceir lih de AB é tmbém igul qutro vezes primeir lih, sedo B um mtriz p. Problem. (EFOMM). Sej f : R M ( M : cojuto ds mtrizes qudrds de ordem ) defiid por: t t f : t t Etão: ) f ( t) f ( t ) pr todo t R. f m t m f t pr m R e t R. b) ( ) ( ) c) f ( t) uc é mtriz ul. d) f ( t s) f ( t) + f ( s) +, com t R e s R. e) existe R f t é mtriz idetidde. Resp.: item c Problem 5. t tl que ( ) (AFA). Defie-se distâci etre dus mtrizes A ( ) e ( ) ordem pel formul: d A B mx b, ode i, j,,,...,. ( ), B qudrds e de mesm 5 6 Assim, distâci etre s mtrizes A e B é: 8 8 ) 5 b) c) d) e) 5 Resp.: item e b 9