Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir i Sumário Uidde Revisão de Tópicos Fudmetis do Esio Médio... 0. Apresetção... 0. Simologi Mtemátic mis usul... 0. Cojutos Numéricos... 0. Operções com Números Reltivos... 07.. Som ou Adição... 07.. Sutrção ou Difereç... 08.. Multiplicção... 09.. Divisão... 09.. Potecição... 0..6 Rdicição.....7 Produto.....8 Expoete Nulo.....9 Expoete Negtivo.....0 Expoete Frcioário... 6.. Emprego de Potêcis de De pr simplificr represetção de certos úmeros... 6. Produtos Notáveis... 6.. Qudrdo de um iômio... 6.. Produto d Som de dois termos pel difereç etre eles... 7.. Cuo de um iômio... 7.6 Equções... 9.6. Equção do.º gru com um Icógit... 9.6. Equção do.º gru com um Icógit... 0.7 Progressão Aritmétic (P. A....7. Defiição....7. Clssificção....7. Termo Gerl....7. Proprieddes....7. Som dos primeiros termos de um P. A....8 Progressão Geométric (P. G.... 8.8. Defiição... 8.8. Clssificção... 9.8. Termo Gerl... 9.8. Proprieddes... 0.8. Som dos primeiros termos de um P. G....9 Coordeds Crtesis o Plo....0 Equção reduid d Ret... 7. Noção de Aplicção.... Exercícios Propostos.... Resposts dos Exercícios Propostos... 6. Números Complexos... 7.. Itrodução... 7.. Potêcis de j... 0.. Represetções e Forms de um Número Complexo... Represetções... As Fórmuls de Euler e sus decorrêcis... c Forms... c. Crtesi ou Retgulr... c. Trigoométric...
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir ii c. Expoecil ou de Euler... c. Polr ou de Steimet... c. Algums Forms Polres Especiis... 60 c.6 Complexo Cojugdo... 60.. Operções com Números Complexos... 6 Iguldde... 6 Adição e Sutrção... 6 c Multiplicção... 67 d Divisão... 69 e Potecição... 7 f Rdicição... 7.. Desiguldde do Triâgulo... 8..6 Curvs e Regiões o Plo Complexo... 8 Circuferêci... 8 Disco Fechdo... 86 c Disco Aerto... 87 d Exterior d Circuferêci... 87 e Coro Fechd... 88 f Coro Aert... 88 g Circuferêci Uitári... 88 h Ret que ue dois potos... 89. Exercícios Propostos sore Números Complexos... 90.6 Resposts dos Exercícios Propostos sore Números Complexos... 97 Uidde Somtórios, Produtórios e um Itrodução às Medids de Posição.... Itrodução os Somtórios.... Defiição forml de somtório... 6. Proprieddes dos Somtórios... 8. Somtório Duplo.... Propriedde dos Somtórios Duplos... 7.6 Exercícios Propostos sore Somtórios... 8.7 Resposts dos Exercícios Propostos sore Somtórios....8 Itrodução os Produtórios....9 Defiição Forml de Produtório....0 Proprieddes dos Produtórios.... Exercícios Propostos sore Produtórios... 7. Resposts dos Exercícios sore Produtórios... 9. Itrodução às Medids de Posição... 0. Médi Aritmétic Ddos Não-grupdos... 0. Médi Aritmétic Ddos Agrupdos....6 Médi Gerl....7 Médi Geométric Ddos Não-grupdos....8 Médi Geométric Ddos Agrupdos....9 Médi Hrmôic Ddos Não-grupdos....0 Médi Hrmôic Ddos Agrupdos... 6. Exercícios Propostos sore Medids de Posição... 9. Exercícios de Revisão sore Medids de Posição.... Resposts dos Exercícios Propostos sore Medids de Posição.... Resposts dos Exercícios de Revisão sore Medids de Posição... Uidde Mtries, um primeiro efoque..... Apresetção..... Itrodução Históric...
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir iii.. Coceitos Fudmetis..... Mtries Especiis e Operções com Mtries... 60.. Mtri Lih... 6.. Mtri Colu... 6.. Mtri Qudrd... 6.. Mtri Trigulr... 6.. Mtri Digol... 6..6 Mtri Esclr... 6..7 Mtri Idetidde ou Mtri Uidde... 6..8 Mtri Nul ou Mtri Zero... 66..9 Iguldde de Mtries... 66..0 Trsposição de mtries... 67.. Mtri Opost... 68.. Mtri Cojugd... 69.. Mtri Simétric... 70.. Mtri Ati-simétric... 7.. Mtri Hermiti... 7..6 Mtri Ati-hermiti... 7..7 Som ou Adição de Mtries... 7..8 Sutrção ou Difereç de Mtries... 78..9 Produto de um Número Complexo por um Mtri... 79..0 Produto de Mtries... 86.. Mtri Periódic... 0.. Mtri Idempotete... 0.. Mtri Nilpotete ou Nulipotete... 06.. Poliômio de um Mtri... 06.. Mtries em Blocos ou Prtição de Mtries... 07. Exercícios Propostos....6 Resposts dos Exercícios Propostos... 8
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir Uidde Revisão de Tópicos Fudmetis do Esio Médio. Apresetção Est é primeir uidde d discipli Mtemátic dos cursos d áre de Iformátic d Uiversidde Estácio de Sá. Devido à flgrte heterogeeidde dos luos, e já tedo tido váris turms teriores de experiêci, optmos por presetr, mesmo que de form sucit, lgus ssutos ásicos que etedemos como sedo solutmete fudmetis pr o restte do curso, e espermos que os estudtes que estejm for do om comte há lgum tempo, ou há muito tempo, possm colocr sus idéis de ovo em ordem, e os coceitos fudmetis os seus devidos lugres.. Simologi Mtemátic mis usul (igul à Espermos que o estudte coheç seguite simologi: (diferete de c φ ou {} (cojuto vio d (pertece à e (ão pertece à f (está cotido g (ão está cotido h (cotém i / (ão cotém j (existe pelo meos um k / (ão existe l (existe e é úico m (tl que / tis que (ou o (e p A B (iterseção dos cojutos A e B q A B (uião dos cojutos A e B
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir r (pr todo e qulquer, qulquer que sej s (implic t (implic e recíproc é equivlete u (dode se coclui. Cojutos Numéricos É lógico que, pr Mtemátic, os cojutos de mior importâci são queles formdos por úmeros, e certos cojutos uméricos são especilmete importtes devido às proprieddes ds operções etre seus elemetos e, portto, receem omes especiis, quis sejm: N Z { 0,,,,,Κ } é o cojuto dos úmeros iteiros ão-egtivos. { Κ,,,, 0,,,, Κ } é o cojuto dos úmeros iteiros. p c Q x x sedo p Z, q Z e q 0. q É o cojuto dos úmeros rciois. São exemplos de úmeros rciois:, São exemplos de úmeros irrciois: logritmos eperios, 9, 8, etc. π,9κ (pi, e,788κ (se dos,κ,,70κ, etc. d R é o cojuto dos úmeros reis, formdos por todos os úmeros rciois e irrciois, e costummos ssocir tis úmeros os potos de um ret que, por defiição, é ifiit em mos os setidos. 0 Fig.. Represetção gráfic de lgus elemetos do cojuto R. e C { x jy}, sedo x R, y R e j, é o cojutos dos úmeros complexos (voltremos tl ssuto seção..
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir 6 Qudo icluímos o símolo * (sterisco, estmos idicdo que o ero foi excluído do cojuto. Assim, temos: f N * {,,,,, Κ } { x x N e x 0} é o cojuto dos úmeros turis. g Z * { x x Z e x 0} h Q * { x x Q e x 0} i R * { x x R e x 0} j C * { x x C e x 0} Qudo icluímos o símolo (mis, estmos idicdo que form excluídos todos os úmeros egtivos dos cojuto. k Z { x x Z e x 0} N é o cojuto dos úmeros iteiros ão egtivos. l Q { x x Q e x 0} é o cojuto dos úmeros rciois ão egtivos m R { x x R e x 0} é o cojuto dos úmeros reis ão egtivos. Qudo crescetmos o símolo (meos estmos idicdo que form excluídos todos os úmeros positivos do cojuto. Assim, temos: Z { x x Z e x 0} é o cojuto dos úmeros iteiros ão positivos. o Q { x x Q e x 0} é o cojutos dos úmeros rciois ão positivos. p R { x x R e x 0} é o cojuto dos úmeros reis ão positivos. Devemos otr que o ero é elemeto dos cojutos Z, Z, Q, Q, R, R. Se excluímos o ero destes cojutos, teremos: * q Z { x x Z e x > 0} * r Z { x x Z e x < 0}
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir 7 * s Q { x x Q e x > 0} * t Q { x x Q e x < 0} * u R { x x R e x > 0} * v R { x x R e x < 0} * * O cojuto R é chmdo cojuto dos úmeros reis estritmete positivos e R é o cojuto dos úmeros reis estritmete egtivos. Os outros têm omes semelhtes. Notemos propriedde: N * Z Q R C isto é, todo úmero turl é iteiro, todo úmero iteiro é rciol, todo úmero rciol é rel e todo úmero rel é tmém complexo.. Operções com Números Reltivos Ilustrção.: Números reltivos 0.. Som ou Adição Qudo os úmeros têm o mesmo sil st coservá-lo e dicior os úmeros; qudo os siis são cotrários sutrímos o meor do mior, e o sil que prevlece é o deste último. É om lemrr tmém que o sil mis ( tes de um prêtese ão vi lterr o sil do úmero que está etre prêteses, ocorredo o oposto qudo o sil tes do prêtese for o de (. Se ão houver ehum sil tes do prêtese estrá implícito que o sil será o de mis (. ILUSTRAÇÃO. ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 8 c ( 0 ( 0 8 d ( 0 ( 0
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir 8 Qudo devemos somr mis de dois úmeros reltivos o resultdo é otido somdo o primeiro com o segudo, o resultdo otido com o terceiro, e ssim por dite té últim prcel. ILUSTRAÇÃO. ( ( ( 7 ( ( ( ( 7 ( ( ( ( ( ( ( Podemos tmém dicior seprdmete tods s prcels positivs e tods s egtivs e, em seguid, somr os dois úmeros de siis cotrários otidos. ILUSTRAÇÃO. Efetudo som do exemplo terior, temos: som ds prcels positivs: ( ( ( som ds prcels egtivs: ( ( 7 0 som de mos os resultdos: ( ( 0.. Sutrção ou Difereç Cumpre oservr que o sil de meos ( tes de um prêtese troc o sil do úmero que está etre prêteses e, o mis, procedemos como operção terior.
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir 9 ILUSTRAÇÃO. ( 0 ( 0 8 ( 0 ( 0 c ( 0 ( 0 d ( 0 ( 0 8 Pr s operções de multiplicção e divisão que virão logo seguir vle seguite regr: Números de mesmo sil dão sempre resultdo positivo, equto que os de siis cotrários coduem sempre à resultdos egtivos... Multiplicção Ilustrção.6 ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 c ( 0 ( 0 d ( 0 ( 0.. Divisão Ilustrção.7 ( 0 ( ( 0 ( c ( 0 ( d ( 0 (
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir 0.. Potecição Qudo, em um multiplicção, os ftores são todos iguis, em módulo e em sil, est operção recee o ome de potecição. Assim sedo, potêci de um úmero é o produto de ftores iguis este úmero, sedo represetd por: p expoete (.º de repetições dos ftores iguis se (é o úmero ou ftor em questão Coforme veremos seguir, tod potêci de expoete pr é positiv, qulquer que sej o sil d se, porém, tod potêci de expoete ímpr tem o sil de se. Ilustrção.8 ( ( ( ( ( 6 ( ( ( ( ( 6 c ( ( ( ( 8 d ( ( ( ( 8 Pr executr potecição de um úmero reltivo em um miiclculdor, seqüêci de operções é simples: ( Determir :.º Digitmos se (.º Pressiomos tecl expoecil que depede do modelo d miiclculdor. x y y x (CASIO modelo fx-8lb ou (CASIO modelo fx-600 G,.º Digitmos o expoete (
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir.º Pressiomos tecl expoecil que depede do modelo d miiclculdor. EXE (CASIO modelo fx 8LB ou (CASIO modelo fx 600G,.º Vi precer o úmero 6 o visor d clculdor. ( Determir ( : Primeirmete digitmos se (. Em lgums clculdors (CASIO fx 8 LB, por exemplo digitmos o úmero e depois pertmos tecl pr trocr o sil pr meos. Em outrs (CASIO fx 600G pertmos tecl e depois digitmos o úmero. O restte d seqüêci de operções é igul do item : tecl expoecil, expoete... A est ltur é iteresste otr difereç etre potecição seqüecil e potecição esclod, que serão lisds logo seguir. Ilustrção.9 Potecição Seqüecil: [( ] [] 6, que tmém pode ser efetud diretmete mtedo-se se e multiplicdo-se os expoetes: 6 6 Potecição Esclod: que pode ser etedid como 8 6, ou sej:..6 Rdicição
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir Ri -ésim de um úmero: Diemos que um úmero é ri -ésim ext de um úmero qudo e el é represetd por Deomi-se rdicição operção pel qul se otém ri -ésim de um úmero. Ns operções exts, rdicição é operção ivers d potecição. Temos etão: O sil é o rdicl O úmero" "é o rdicdo O úmero" "é o ídice do rdicl Assim sedo 9 porque 9 8 porque 8 No cso de ri se di qudrd e ão é usul escrever este ídice o rdicl. No cso de ri se di cúic, ms este ídice prece o rdicl. Vlor lgérico dos rdicis: Se o rdicdo é cosiderdo em vlor soluto (módulo, rdicição é um operção uívoc. No etto, se este rdicdo é um úmero reltivo uicidde, em lgus csos, ão estrá mis grtid e por isso vmos cosiderr três csos:.º Ídice pr e rdicdo positivo. Neste cso o rdicl dmitirá dus ríes reis e simétrics o cojuto dos úmeros reis, em como um pr complexo cojugdo (vide exercício proposto 9, item j d seção...º Ídice ímpr. Sedo o ídice do rdicl um úmero ímpr, temos um ri o cojuto dos úmeros reis, tedo o mesmo sil que o rdicdo, e ( ríes o cojuto dos úmeros complexos (vide exercício proposto 8, item f, d seção...º Ídice pr e rdicdo egtivo.
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir Neste cso ão existe ehum vlor do cojuto dos úmeros reis que elevdo o ídice pr sej igul o rdicdo. Este ssuto será orddo seção.. Ilustrção.0.º cso 6 ± 8 pois 6 ± pois ( 8 ( 8 ( ( 6 6 6 6.º cso pois pois ( (.º cso ± j e, coforme já meciodo tl ssuto será orddo seção. Oservção: pelo que foi exposto, se lguém lhe pergutr qul é o vlor de simplesmete. Agor se for pedido o vlor lgérico do 9 teremos etão ±. A determição de ríes trvés de miiclculdors é simples: Determir 6 :. Utilido um CASIO fx-8 LB:.º Digitmos o rdicdo 6.º Pressiomos s tecls d F e.º Digitmos o expoete.º Pressiomos tecl 9, respost e x y fim de covocr operção x.º O úmero prece o visor de clculdor, e devemos ter em mete que se desejmos o vlor lgérico d ri respost complet é ±.. Utilido um CASIO fx-600 G.º Digitmos o ídice.º Pressiomos tecl x.º Digitmos o rdicdo 6.º Pressiomos tecl EXE y
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir.º O úmero prece o visor Determir :. Utilido um CASIO fx-8 LB.º Digitmos o vlor e pressiomos tecl pr trocr o seu sil.º Pressiomos s tecls d F e.º Digitmos o ídice.º Pressiomos tecl.º O vlor prece o visor.. Utilido um CASIO fx-600 G.º Digitmos o ídice.º Pressiomos tecl x.º Pressiomos tecl e depois o vlor.º Pressiomos tecl EXE.º O vlor prece o visor. x y fim de covocr operção x Oservção: Devemos otr que s rotis pr clculdors do mesmo fricte (CASIO, ms de modelos diferetes, são totlmete diferetes. O que ão esperr de modelos de outros frictes? Por isso isistimos que cd estudte deve dquirir logo su própri clculdor, fim de se fmilirir com o uso d mesm. y..7 Produto e Divisão de Potêcis de Mesm Bse Pr multiplicr potêcis de mesm se, repetimos se e sommos os expoetes. Pr dividir potêcis de mesm se, repetimos se e sutrímos o expoete do deomidor do expoete do umerdor.
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir Ilustrção. c 8 x x 8 x x d I I I ( I 7..8. Expoete Nulo Tod potêci de expoete ulo é igul à uidde. Ilustrção. 0 Oservção: 0 0 São exceções 0 e, que ão têm qulquer sigificdo umérico, sedo símolos de idetermição, e são orddos em Aálise Mtemátic prte de Limites...9 Expoete Negtivo Tod potêci de expoete egtivo equivle um frção cujo umerdor é uidde e o deomidor é potêci com o expoete positivo ou sej:. ( Ilustrção. 6 9
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir 6 Oservções: ª Em coseqüêci do exposto teriormete temos: ( ª Agor podemos oter o mesmo resultdo do item (d d ilustrção por outro cmiho: I I I I I 7..0 Expoete Frcioário Tod potêci de expoete frcioário equivle um ri cujo ídice é o deomidor d frção e cujo rdicdo é se elevd um expoete igul o umerdor, ou sej: p q q p ( Ilustrção. Determir os vlores lgéricos ds seguites operções: 8 8 6 6 ± 6 c ±.. Emprego de Potêcis de De pr simplificr represetção de certos Números
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir 7 Ilustrção. No Brsil: 000 0 * 6 000 000 0 * c 0,000 0 d 0,0 0 Nos E.U.A.:,000 0,000,000 0 0.000 0 0.0 0 6 (* Atigmete represetv-se e milhões, respectivmete por.000 e.000.000. Já há lgus os olirmse os potos seprtries de clsses, mtedo-se gor um espço etre s mesms.. Produtos Notáveis.. Qudrdo de um iômio ( : ( ( ( ou ( ( ( : ( ( ( ou
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir 8 ( (.. Produto d som de dois termos pel difereç etre eles ( ( : ( ( ou ( ( (6.. Cuo de um iômio ( ( ( ( ( ou ( (7 ( ( ( ( ( ou
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir 9 ( (8 ( x ( ( x ( x x 0 x Ilustrção.6 ( x y ( x ( x ( y ( y x 0x y 9y c ( x y ( x y ( x ( y x y d ( x y ( x ( x ( y ( x( y ( y 8x 6x y xy 7y e ( x y x ( x ( y ( x( y ( y x 6x y xy 8y.6 Equções.6. Equção do º Gru com um Icógit em que 0. Tod equção do º gru com um icógit pode ser reduid form Su solução é: 0 (9 0 (0 EXEMPLO. Resolver s seguites equções do º gru:
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir 0 7 c x y 6 d p q 0 (sedo p 0 Solução: 7 7 x ( x 0x 60 60 x x 0 6 c y 6 ( y 6y 6y y y 6 d p q 0 p q q p.6. Equção do º Gru com um Icógit A form gerl d equção do º gru com um icógit é:
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir ode 0. c 0 ( Vmos etão trsformr equção em outr equivlete, de modo que o primeiro memro sej um qudrdo perfeito do tipo idicdo equção (. Trspodo costte pr o segudo memro, vem: c Multiplicdo por, teremos: c c Somdo os dois memros, result: c d Verificdo que o º memro é um qudrdo perfeito, teremos: ( c e Extrido s ríes qudrds de mos os memros, otemos: ± ± c c ± c ± Δ ( que é cohecid fórmul d Bhskr, ode Δ c...( é o discrimite d equção, e três csos podem ocorrer: º Δ > 0 teremos dus ríes reis e desiguis. º Δ 0 teremos dus ríes reis e iguis. º Δ < 0 ão teremos ríes o cojuto dos úmeros reis, e este cso será orddo seção.. Exemplo. Resolver s seguites equções do º gru: 0 0 c 0
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir Solução: 0 c ( 9 Δ c 7 9 ± ± Δ ± 7 7 0 c ( 0 Δ c ( 8 0 0 ± ± Δ ± ri dupl 8 0 8 0 c 0 c ( 0 6 6 < Δ c e est equção ão dmite ríes o cmpo rel. Su solução será presetd suseção.. ( e são s sus ríes. j j.7 Progressão Aritmétic (P.A..7. Defiição É um sucessão de termos (,,,,,,,,, termos Κ Κ
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir fiit ou ifiit, sedo que, prtir do º termo iclusive, difereç etre um termo qulquer e o seu tecedete é igul um qutidde costte r, deomid rão d progressão, ou sej: Κ r As seguites seqüêcis são exemplos de P.A.: (, 7,, 7, Κ e r ( x, x t, x t, x 6t Κ x e r t c (,,,, Κ e r 0 7 d 7,, 8,, 9 7 Κ e r e ( 8,,,, Κ 8 e r.7. Clssificção As progressões ritmétics podem ser clssificds de cordo com o vlor d rão r: r > 0 P.A. crescete r 0 P.A. costte ou estcioári r < 0 P.A. decrescete.7. Termo gerl A prtir d defiição, podemos escrever os termos d P.A. d seguite form: r r r r ( r ( r r r r r r r r r Λ ( r Oserve que cd termo é otido diciodo-se o primeiro um úmero de rões r igul à posição do termo meos um uidde, ou sej: r r ( ( ( r r Λ ( r r r
Mtemátic Professor Pulo Cesr Pfltgrff Ferreir O termo de ordem d P.A. é ddo, portto, pel fórmul seguir: ( r ( que pode tmém ser otid d seguite meir: r r r r ( r Somdo memro memro ests igulddes otemos expressão do termo de ordem. e ( r ( que é mesm equção teriormete ecotrd..7. Proprieddes I Num P.A. cd termo, prtir do segudo, é médi ritmétic etre o termo precedete e o termo seguite. Com efeito, se Κ,, Κ são termos cosecutivos de um P.A., etão podemos escrever: ou sej, e ( II Em qulquer P.A. limitd, som de dois termos eqüidisttes dos extremos é costte e igul à som dos próprios extremos. Sej pois P.A. limitd, com termos, rão r, e A e B os termos eqüidisttes dos extremos, coforme ilustrdo seguir: ( Κ Κ,, Κ, A,, B,,, p termos p termos