MODELAGEM MATEMÁTICA: MOVIMENTO COM RESISTÊNCIA DO AR PROPORCIONAL À VELOCIDADE

MODELAGEM MATEMÁTICA: MOVIMENTO COM RESISTÊNCIA DO AR PROPORCIONAL À VELOCIDADE Matheus Bernardi da Silva 1 Dyorgyo Poperaier Valesan 2 Karen Carrilho da Silva Lira 3 Gustavo Henrique Dalposso 4 RESUMO O presente trabalho trata-se de ua odelage ateática de u oviento co resistência do ar proporcional à velocidade, e sob influência da aceleração gravitacional da Terra. Vaos analisar situações de quedas e de lançaentos oblíquos. Co isso, deduzireos as equações do oviento do corpo, e discutireos pontos interessantes dos resultados obtidos. Palavras-chave: Equações diferenciais. Modelage ateática. Newton-Raphson. Resistência do ar. Velocidade terinal. 1 Graduando e Engenharia Eletrônica. Universidade Tecnológica Federal do Paraná/Toledo. E-ail: bernardi.s@protonail.ch 2 Graduando e Engenharia Eletrônica. Universidade Tecnológica Federal do Paraná/Toledo. E-ail: dyorgyo@alunos.utfpr.edu.br 3 Mateática. Universidade Tecnológica Federal do Paraná/Toledo. Mestre e Engenharia Civil. E-ail: karenc@utfpr.edu.br 4 Mateático. Universidade Tecnológica Federal do Paraná/Toledo. Doutor e Engenharia Agrícola. E-ail: gustavodalposso@utfpr.edu.br

1 Introdução U problea frequenteente visto e física, tanto no ensino édio quanto na faculdade, nas atérias de física básica, é a queda ou o lançaento de corpos se o atrito co ar. Este odelo poré, é extreaente idealizado e ineficiente para explicar fatos cotidianos, coo a velocidade terinal da chuva quando chega ao solo por exeplo. Ua gota de chuva sob aceleração de 9,81 /s 2 (supondo-se que a aceleração gravitacional não varie co a distância do solo), caindo de ua altura de 10 quilôetros atingiria o solo a velocidade supersônica de 1594 k/h. O foco desse trabalho é a obtenção de ua equação diferencial que odele o fenôeno de oviento co atrito co o ar, e explorar conceitos do cálculo diferencial e integral e da física para discutiros a respeito das expressões obtidas. Para isso, convencionareos agora que os fenôenos discutidos ocorre no prieiro e no segundo quadrante do plano cartesiano, seguindo as orientações dos eixos coordenados (o eixo das abscissas é positivo para a direita e possui versor ˆı nesse sentido, e o das ordenadas é positivo para cia e possui versor ˆȷ nesse sentido). 2 Modelando o fenôeno Inicialente, vaos considerar u deterinado corpo que cai de ua altura y 0. Consideraos a velocidade do corpo representada pelo vetor v. Nesse caso as forças que estão agindo sobre esse corpo são a força peso P e a força de atrito co o ar F. A força peso que age sobre esse corpo é P = a g. Vaos considerar o ódulo do vetor aceleração gravitacional a g constante e igual a 9,81 /s 2, e g coo ua constante positiva igual a 9,81 /s 2. Assi, o vetor aceleração gravitacional é a g = gˆȷ. A força de atrito co o ar F, caracteriza-se por ser na esa direção e no sentido oposto ao da velocidade, e é e ódulo, diretaente proporcional à ela e portanto podeos escrever a força de atrito co o ar coo F α v, (1) F = kv, (2) onde k é ua contante de proporcionalidade positiva e v o vetor velocidade. Assi, sepre que a velocidade for positiva (sentido positivo do eixo), a força F apontará no 1

sentido negativo, e sepre que a velocidade for negativa (sentido negativo do eixo), a força F apontará no sentido positivo. De acordo co a Segunda Lei de Newton (Halliday et al., 2012), a força resultante e u corpo é a soa das forças aplicadas nele, o que equivale a variação teporal do oento linear Q que é equivalente a n i=1 n i=1 F i = dq dt, (3) F i = dv dt, (4) pois estaos considerando que a assa do corpo não varia no tepo. Assi, a equação 4 ficará que pode finalente ser escrita coo F + P = dv dt, (5) v = g kv, v + k v = g, (6) que ao ser resolvida fornecerá ua equação para a velocidade. Consideraos até esse ponto ua queda de ua altura y 0. Poderíaos desenvolver u raciocínio análogo no eixo x, caso a velocidade horizontal inicial fosse diferente de zero. Nesse caso, pela Segunda Lei de Newton teos v = kv, v + k v = 0, (7) que para não gerar confusão co a equação 6, será representada por v x + k x v x = 0, (8) onde k x é a constante de proporcionalidade que relaciona a velocidade horizontal (v x ) co a força de atrito co o ar na horizontal F x = k x v x, (9) O eso será feito para o oviento vertical. Assi a equação 6 ficará v y + v y = g, (10) 2

sendo a constante de proporcionalidade que relaciona a velocidade vertical (v y ) co a força de atrito co o ar na vertical F y = v y. (11) É iportante ressaltar que, apesar de teros inicialente analisado u oviento de queda, poderíaos analisar u lançaento oblíquo. Nesse caso, o corpo possui ua velocidade inicial de ódulo v 0 forando u ângulo θ co o eixo x, e assi v 0x = v 0 cos(θ), v 0y = v 0 sen(θ) > 0, e se procederos de aneira análoga ao que fizeos até agora, encontraríaos as esas equações diferenciais que 8 e 10 para u lançaento oblíquo. 3 Equações do oviento A resolução das equações diferenciais obtidas e 8 e 10 fornece-nos as equações da velocidade nos eixos x e y, e que podeos utilizar para calcular as equações da aceleração e do espaço. 3.1 Equações da velocidade A equação 8 é hoogênea, e pode ser resolvida através de sua equação característica (Zill, 2012) e portanto, a solução da equação 8 será aplicando o valor inicial v x (0) = v 0x, teos w + k x = 0, w = k x, (12) v x = c 1 e wt, v x = c 1 e k xt, (13) c 1 = v 0x, v x (t) = v 0x e k xt. (14) 3

A equação 10, por se tratar de ua equação diferencial linear, pode ser resolvida ultiplicando-se abos os lados pelo fator de integração μ (Zill, 2012) assi, a equação 10 ficará que é a esa coisa que μ(t) = e, v yμ + v yμ = gμ, (15) d dt (v yμ) = gμ, (16) que finalente, ao ser resolvida fornece ua expressão de v y e função de t: v y = g + c 2 e, (17) Aplicando o valor inicial v y (0) = v 0y, teos c 2 = v 0y + g, v y (t) = g ( + v k 0y + g ) e. (18) y Finalente, o vetor velocidade v é dado pela cobinação linear v = v xˆı + v y ˆȷ, e possui ódulo v = v 2 x + v 2 y. 3.2 Equações da aceleração Sabendo-se as equações da velocidade, e sabendo que a variação teporal da velocidade é a aceleração (Halliday et al., 2012), podeos deduzir a x (t) e a y (t): a x (t) = d dt v x(t), a y (t) = d dt v y(t), a x (t) = k k x t xv 0x e, (19) ( ) ky v 0y a y (t) = + g e g. (20) 4

3.3 Equações do espaço Coo sabeos as equações das velocidades, se as integraros encontrareos as equações do espaço (Halliday et al., 2012). Para isso, deveos apenas nos atentaros aos valores iniciais y(0) = y 0 e x(0) = x 0. Assi, teos que: x dt = v x dt, y dt = v y dt, y = gt x = v 0x k x k x t e + c 3, v 0y e 2 g ky 2 e + c 4, Finalente, ao aplicaros os valores iniciais encontraos: c 3 = x 0 + v 0x k x, c 4 = y 0 + v 0y x = x 0 + v 0x k x + 2 g ky 2, xt 1 e k y = y 0 gt ( + v k 0y + g ) e y, (21), (22) 4 Análise diensional Coo definios anteriorente, F = kv. A análise diensional dessa equação nos perite concluir que [k] = kg s, e assi podeos agora analisar os resultados obtidos nas equações 14, 18, 19, 20, 21 e 22. 4.1 Análise diensional das equações da velocidade Na fórula 14, verifica-se que e k xt, 5

é adiensional, e portanto a diensão da expressão 14 é a esa de v 0x, ou seja, /s. Assi, os valores fornecidos pela equação 14 estão diensionalente corretos. O eso pode ser feito para a equação 18: [ ] g = s, ( v 0y + g ) e = s, e assi concluíos que a diensão da expressão 18 é /s, e ela tabé está correta diensionalente. 4.2 Análise diensional das equações da aceleração Verifica-se nas fórulas 19 e 20 que [ ] kx v 0x = s 2, [ ] ky v 0x = s 2, [g] = s 2, e portanto, abas as expressões fornece valores consistentes diensionalente, e /s 2. 4.3 Análise diensional das equações do espaço Verifica-se nas fórulas 21 e 22 que ( v 0y + g [ v0x ] =, k x [ ] gt =, ) e =, e portanto, abas as expressões fornece valores consistentes diensionalente. 5 Discussões sobre os resultados obtidos Sabeos agora que as equações fornece valores consistentes diensionalente. Vaos então analisar o coportaento das equações e alguas condições. 6

5.1 Instante inicial No instante inicial (quando t = 0), sabeos que as fórulas 14, 18, 21 e 22 vão fornecer os valores iniciais estabelecidos nas seções 3.1 e 3.3. Poré é interessante notar o coportaento das equações 19 e 20, que ainda não fora analisadas nesses instantes de tepo. Para t = 0, teos que a x é a x (0) = a 0x = k xv 0y = ± F x(0), o que era justaente o esperado pela Segunda Lei de Newton. O sinal da coponente a x no instante inicial será positivo ou negativo, dependendo da orientação de F x (0). Para a y teos a y (0) = a 0y = v 0y g = ± F y(0) + P, o que novaente era o esperado pela Segunda Lei de Newton. O sinal da coponente a y no instante inicial será positivo ou negativo, dependendo da orientação de F y (0)+P. 5.2 Velocidade terinal Retoando o problea visto na introdução, sabeos que ua gota de chuva atinge o solo a be enos que 1594 k/h, u pouco acia de 30 k/h 5. Isso parece indicar que, para intervalos uito grandes de tepo, a variação da velocidade tende a zero, e portanto, o corpo tende a realizar u oviento retilíneo unifore no eixo y. De fato o que significa que a velocidade terinal v f será li a y(t) = 0, (23) t v f = li t v y (t) = g. (24) O exeplo apresentado na Figura 1 perite visualizar elhor o coportaento de v y (t). Coo a velocidade terinal só é atingida nua situação de queda, o sinal de enos na equação 24 é correto, pois na convenção que definios na introdução, nessa situação o oviento do corpo está orientado no sentido negativo do eixo y, e portanto v f é negativo. 5 Considerando ua gota esférica de aproxiadaente 4 de diâetro (Battan, 1964). 7

Figura 1: Curvas v y (t) de u lançaento oblíquo e de ua queda de u corpo de assa de 1 kg e k = 1. A curva superior, e azul, representa u lançaento oblíquo co v 0 = 6 /s e θ = 60º. A curva inferior, e verelho, representa ua queda co v 0y = 25 /s. Fonte: Autores. Coo nessa situação a y = 0, o oviento realizado pelo corpo é u MRU, e então a força resultante te que ser nula. Assi, a força de resistência do ar te que ter ódulo igual à força peso. De fato F y = v f ˆȷ, ( F y = g ) ˆȷ, F y = gˆȷ, F y = P = g. 5.3 Ausência de resistência do ar U ponto interessante é o coportaento ideal das equações, isto é, o caso e que o oviento ocorre se resistência do ar, ou seja, quando k = 0. 8

5.3.1 Moviento horizontal No caso do oviento horizontal se resistência do ar, não haverão forças agindo sobre o corpo na horizontal, o que torna o oviento retilíneo e unifore. Nesse caso, de acordo co Halliday et al.,(2012), espera-se que a x (t) = 0, v x (t) = v 0x, x(t) = x 0 + v 0x t, É fácil verificar que, para k = 0, a equação 14 torna-se igual a v 0x e a equação 19 tornase igual a 0. Para a equação 21 deveos atentar para o fato de que não existe divisão por zero, e portanto k x 0. Nesse caso, podeos utilizar nossos conhecientos de liite para solucionar esse problea e aplicado L Hôpital x = x 0 + v 0x li kx 0 t x = x 0 + v 0x li kx 0 x(t) = x 0 + v 0x t. 1 e k xt, k x e k x t, 5.3.2 Moviento vertical Nesse caso, de acordo co Halliday et al., (2012), espera-se que a y (t) = g, v y (t) = v 0y gt, y(t) = y 0 + v 0y t gt2 2. De forar análoga ao que foi feito e 5.3.1, é fácil perceber que para = 0, a expressão 20 torna-se a y = g. Para v y, deveos novaente fazer ender à zero v y = v 0y + g li ky 0 e 1. (25) Aplicando a regra de L Hôpital, concluíos que a expressão 18 torna-se v y = v 0y gt. (26) 9

Para deterinaros y(t) quando = 0, podeos proceder de aneira análoga aos exeplos anteriores, realizando alguas anipulações ateáticas quando necessário. A equação 22 pode ser re-organizada coo O tero y = y 0 gt + v k 0y y 1 e gt + 2 g k 2 y 1 e. (27) pode ser anipulado ultiplicando-se por e por, no nuerador e no denoinador, e assi e portanto a expressão 27 torna-se gt y = y 0 + v k 0y y 1 e = 2 gt k 2 y + 2 g k 2 y 1 e t. (28) Agora, fazendo ender à zero e aplicando a regra de L Hôpital quando necessário, a expressão 28 torna-se 2 g y(t) = y 0 + v 0y t + li ky 0 ky 2 1 e t, (29) que resolvendo o liite dentro da expressão 2 g li 0 ky 2 1 e t = 2 g t li 0 2 e t = gt li 0 2 e 1 = gt li 0 2 t e = gt2 2, fornece finalente que y(t) = y 0 + v 0y t gt2 2. (30) 10

6 Tepo de queda e alcance U dado útil e lançaentos oblíquos é o alcance do corpo lançado. Para calculálo, precisaos antes saber quanto tepo leva para o corpo sair da posição inicial e tocar o solo. 6.1 Tepo de queda Vaos chaar de tepo de queda t q, o tepo necessário para o corpo sair da posição y = y 0 e tocar o chão e y = 0. Podeos rearranjar a equação 22 coo y = y 0 gt v 0y + 2 g + k y 1 e, (31) k 2 y e nessa equação tornar y = 0 e t = t q 0 = y 0 gt q v 0y + 2 q g + k y 1 e, t q = g y 0 + k 2 y ( v0y + g g ) q 1 e, (32) e assi chegaos a ua equação transcendental, que não nos perite isolar o t q. Ua aneira ais fácil de resolver essa equação, co ua precisão tão grande quanto nós queiraos, é utilizar u étodo nuérico. Vaos utilizar o étodo de Newton-Raphson (Ruggiero & Lopes, 1996), fazendo ua análise a partir da interpretação geoétrica do étodo, apresentada na Figura 2. 11

Figura 2: Interpretação geoétrica do Método de Newton-Raphson. L 0 (t) é a reta tangente à y(t) e y(t k ), e t q é a raiz de y(t), ou seja, o tepo de queda. A cada iteração, t k+1 se aproxia ais de t q. Fonte: Autores. A reta L 0 (t) possui coo coeficiente angular a derivada de y(t) no instante t n. Coo y (t) é a velocidade vertical, então v y (t n ) = y t = y(t n+1) y(t n ) t n+1 t n. (33) Agora ipondo à equação 33 que y(t n+1 ) = 0, encontraos v y (t n ) = y(t n) t n+1 t n, o que rearranjando, nos fornece finalente que t n+1 = t n y(t n) v y (t n ). (34) Assi, t q será aproxiadaente igual à t n+1, sendo t n+1 ua aproxiação tão precisa quanto desejado, bastando para isso estipular u erro ε, ipor que y(t n+1 ) < ε, e por fi realizar tantas iterações quantas fore necessárias para cuprir a condição iposta anteriorente. Deveos ainda, ter algu cuidado co a equação 34 para atingiros o resultado pretendido. Nessa expressão teos que v y (t) te que ser diferente de 0. Vaos então denoinar t p o instante tal que v y (t p ) = 0. Assi, substituindo na equação 18, teos que 0 = g ( + v k 0y + g p ) e, y 12

e portanto t p = ( ) ky v 0y + g ln. (35) g Quando = 0, basta aplicar o liite de t p co endendo a zero. Co isso, surgirá a indeterinação 0, que pode ser contornada utilizando L Hôpital, e assi, concluíos 0 que t p = v 0y g. É interessante notar que, analisando a equação da velocidade v y (t), concluíos que t < t p, v y (t) > 0, t > t p, v y (t) < 0. Isso ostra que a velocidade vertical do corpo lançado, inicialente igual a v 0y, diinui e ódulo até atingir 0 (e t = t p ), o que ocorre no ponto ais alto da trajetória no caso de u lançaento oblíquo (Tipler & Mosca, 2006). E seguida, o sentido de v y se inverte, e o ódulo passa a auentar até o corpo chegar ao solo no instante t q. Precisaos tabé, analisar u problea não trivial que surge ao utilizaros o étodo de Newton-Raphson para a resolução desse problea. Dependendo da aproxiação inicial t 0 que fizeros, podereos obter ua sequência que converge para u valor diferente de t q. Vaos então analisar as condições de convergência desse étodo (Ruggiero & Lopes, 1996). Coo o sinal da função v y (t) peranece inalterado (sepre negativo) para t > t p e y (t 1 )y (t 2 ) < 0 para 0 < t 1 < t q e t 2 > t q, então existe apenas ua raiz de y(t) no intervalo (t p, + ), que é a raiz t q que procuraos. Teos ainda que y(t), v y (t) 6 e a y (t) 7 são contínuas no intervalo (t p, + ), e que v y (t q ) é diferente de zero (v y (t) é zero para t = t p ). Assi, concluíos que existe u intervalo I (t p, + ), que conté a raiz t q, tal que para qualquer t 0 I, a expressão 34 gerará ua sequência convergente. De odo geral, bastará escolheros u t 0 suficienteente próxio de t q para obteros ua sequência convergente. Isso torna necessário que, uitas vezes, seja construído u gráfico de y(t) para visualizaros ua boa aproxiação inicial t 0. 6.2 Alcance Chaareos de alcance A a distância entre x 0 e o ponto de queda do corpo lançado, que toca o solo e x(t q ). Assi, aplicando t q e x(t) e subtraindo x 0, teos: A = x(t q ) x(0) = v 0x k x 1 e k x t q. (36) 6 v y é a derivada prieira de y(t). 7 a y é a derivada segunda de y(t). 13

A Figura 3 abaixo, ilustra os diferentes alcances esperados de corpos de assa 1 kg lançados da orige co velocidades iniciais de 6 /s, ângulo θ = 60º, e considerando e todos os lançaentos k x = = k. Figura 3: Curvas paraetrizadas e função do tepo (x(t) e y(t)) de cinco corpos diferentes de esa assa e coeficientes k diferentes. Da esquerda para direita, k=1, k= 3 4, k= 1 2, k= 1 10 e k=0. Fonte: Autores. 7 Exeplos de aplicações Nessa seção, ireos exeplificar alguas situações e que se aplica as fórulas encontradas na seção 3. Coo dito anteriorente, a velocidade terinal da chuva é u pouco aior que 30 k/h. Co essa inforação, podeos calcular a constante de ua gota de chuva. Coo trata-se de ua queda, a velocidade é negativa, portanto v f é aproxiadaente 31 k/h: g = 31 3,6 /s, = 3,6g 31, 0,038 kg/s. Vaos agora supor u cenário e que necessiteos calcular o alcance do tiro de u orteiro posicionado e ua elevação de 15 no terreno, que dispara unições de 1 kg, que possue k x = = 1, e o cano está co ua inclinação de 15º co o solo, sabendo ainda que a velocidade de saída do projétil é de 360 k/h. Assi: x(t) = 115,91 ( 1 e t), y(t) = 15 9,81t + 40,86 ( 1 e t), 14

v y (t) = 9,81 + 40,86 ( e t), t p = 1,427, t 0 = 1,5. Na Figura 4 abaixo, é possível visualizar a trajetória do projétil do orteiro. Figura 4: Curva paraetrizada e função do tepo (x(t) e y(t)), ostrando a trajetória do projétil do orteiro. No gráfico, teos o ponto t p (o da esquerda), e t 0 (o da direita). Fonte: Autores. Utilizando a fórula 34, e fixando o erro coo 10 6, podeos forar a Tabela 1, coposta pela aproxiação inicial t 0 e co teros da sequência gerada: Tabela 1: Aproxiação inicial e valores gerados pelas iterações subsequentes Iteração t y(t) 0 1,5 47,72286780 1 47,7228678-412,30133308 2 5,6941896-0,13751284 3 5,6799727-0,00001396 4 5,67997125 0,00000003 Coo 0,00000003 é enor que o erro, então considerareos o tepo de queda t q aproxiadaente igual à t 4 = 5,67997125 segundos. Para calcular o alcance A do projétil do orteiro, basta usaros a equação 36, e assi, encontraos que A é aproxiadaente 115,5. 15

8 Conclusão Através dos cálculos e das discussões que fizeos acia, pretendeos ostrar u exeplo de utilização de equações diferenciais e do cálculo nuérico para resolver u problea de física interessante, e fornecer u trabalho bastante detalhado dos cainhos e técnicas epregados na resolução dos probleas que encontraos, visando dessa aneira auxiliar nos estudos sobre o assunto. Referências BATTAN, L.J. Soe Observations of Vertical Velocities and Precipitation Sizes in a Thunderstor. Journal of Applied Meteorology, Tucson, v. 3, n. 4, 415-420, 1964. FREIRE, W.H.C.; MEDEIROS, M.L.; LEITE, D.; SILVA, R.M. Lançaento oblíquo co resistência do ar: Ua análise qualitativa. Revista Brasileira de Ensino de Física, São Paulo, v. 38, n. 1, 1306, 2016. HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundaentos de Física, Volue 1. 9ª ed. Rio de Janeiro: Grupo Gen - LTC, 2012. RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L.R. Cálculo Nuérico: Aspectos Teóricos e Coputacionais. 2ª ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1996. THORNTON, S.T.; MARION, J.B. Dynaics of Paticles and Systes. 5 th ed. Belont: Brooks/Cole, 2004. TIPLER, P.A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros, Volue 1. 5ª ed. Rio de Janeiro: Grupo Gen - LTC, 2006. ZILL, D.G. Equações diferenciais co aplicações e odelage. 2ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012. 16