Apostila de Método dos Elementos de Contorno

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA Apostl e Métoo os Elementos e Contorno por Lcs Mámo Alves CURITIBA PARANÁ - JULHO - 6

2 LUCAS MÁXIMO ALVES Apostl e Métoos os Elementos e Contorno Prof. Dr. Lz Alkmn Lcer e José Antono Mrqes Crrer CURITIBA PARANÁ - JULHO 6

3 LUCAS MÁXIMO ALVES Apostl e Métoo os Elementos e Contorno Trblho Apresento como reqsto pr obtenção e not prcl Dscpln e Métoos os Elementos e Contorno o crso e Dotoro o Progrm e Pós-Grção em Métoos Nmércos o Setor e Tecnolog/Setor e Cêncs Ets, Deprtmento e Engenhr Cvl/Deprtmento e Mtemátc Unverse Feerl o Prná Prof. Dr. Lz Alkmn Lcer e José Antono Mrqes Crrer CURITIBA PARANÁ - JULHO - 6

4 ÌNDICE Apresentção...8 Cpítlo I...9 INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXIMADOS...9. Obetvos o cpítlo...9. Introção 9. Smplfcção e m Problem Rel Eqções Dferencs Dscretzção o Problem Escolh o Métoo Apromo pr solção o problem Vntgens o Métoo os Elementos e Contorno Desvntgens o Métoo os Elementos e Contorno...4 Cpítlo II...5 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Obetvos o cpítlo...5. Introção 5. Concetos Fnments O problem nmensonl O conceto e Fnções e Dstrbção e Erros Anlsno o Problem no Contorno ª Integrção por Prtes ª Integrção por Prtes ª Integrção por Prtes ª Integrção por Prtes Solções Aproms Resolção prtr e Solções Aproms Avlno os Erros e Apromção Técncs e Resíos Poneros Aplcção Prátc os Métoo os Resíos Poneros Eemplo. Obteno m solção Et Métoo o Ponto e Colocção Métoo Colocção por Sbomíno Métoo e Glerkn Eemplo. Obteno m solção prom por m Métoo e Domíno Métoo o Ponto e Colocção Eemplo. Obteno m solção prom por m Métoo e Domíno Aplcção Prátc Formlção Frc e Formlção Invers Formlção Frc - 5ª Integrção por Prtes Formlção Invers - 6ª Integrção por Prtes Eemplo.4 Formlção Frc sno o Métoo e Glerkn Solções e Contorno e Domíno

5 .8. - Aplcção Prátc...59 Solção 6.8. Formlção Frc os Resíos Poneros Métoo os Elementos Fntos Formlção Invers os Resíos Poneros Métoo e Trefftz Eemplo e tlzção o Métoo e Trefftz...64 Solção: Métoo e Contorno Eemplo e tlzção o Métoo e Contorno...7 Solção: 7. Qro Resmo os Métoos Apromos...7. Lst e Eercícos e Problems Resolver eqção ferencl...74 Solção Resolver eqção ferencl...78 Solção: Resolver eqção ferencl...8 Solção: 8..6 Resolver eqção ferencl...86 Solção: 86 Conclsão 9 Cpítlo III...94 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO Obetvos o cpítlo Introção 94. Precrsores o Métoo e Elementos e Contorno Métoo s Fnções e Green Integrção por Prtes em s mensões Defnção Mtemátc e Desenvolvmento o Métoo Solção Fnmentl-Fnção e Ponerção Vlor Prncpl e Cch Solção Nmérc Eqção e Lplce Dscretzção o Contorno Elemento Constnte Dscretzção Lner Elemento Lner Dscretzção Lner Eemplos e Aplcções Eercícos e Problems... Cpítlo IV... PROBLEMAS DE POTENCIAL Obetvos o cpítlo Introção 4. A Eqção e Posson O problem bmensonl... 5

6 4.. A ª Iente e Green... ª Integrção por Prtes... ª Integrção por Prtes Levno o problem pr o contorno...7 ª Integrção por Prtes...7 4ª Integrção por Prtes A Formlção Frc o Métoo os Resíos Poneros Resolveno o problem no contorno...9 5ª Integrção por Prtes Formlção Frc Motvos frqez A Formlção Invers o Métoo os Resíos Poneros... 6ª Integrção por Prtes Eqções Integrs Báscs Solção Fnmentl Análse s solções fnments b e trmensonl Aplcção Solção Fnmentl Eqção Integrl Eqção Integrl e Contorno Métoo e Dscretzção o Contorno Montgem s mtrzes H e G Elementos e Dscretzção e m Contorno em D Elementos e fnção constnte o Elementos Constntes Elementos e fnção lner o Elementos Lneres Elementos e fnção prbólc o Elementos Qrátcos Os Métoos e Cálclo s Integrs H e G Integrções Não-Snglres Integrções Qse-Snglres Integrções Snglres O Mpemento Globl o Contorno pr o Cálclo s Integrs H e G Cálclo Anlítco Integrl H pr Cálclo Anlítco e r/n pr Cálclo Anlítco Integrl G pr O Cálclo Integrs H H pr pr r Cálclo Anlítco e r/n pr O Cálclo Integrs H H pr pr r O Cálclo Integrl G G pr e r Mpemento Locl o Contorno Mpemento Lner o Contorno Clclo erv r/n Trnsformção e coorens o Mpemento Lner o Contorno Jcobno Trnsformção o Mpemento Lner o Contorno Aplcção o Mpemento Locl s Integrs H e G O Cálclo Integrl H pr O Cálclo Integrl H H pr O Cálclo Integrl G pr O Cálclo Integrl G G pr

7 4. Integrção Nmérc pelo Métoo Qrtr e Gss...88 Cpítlo V...94 APLICAÇÕES PRÁTICAS Obetvos o cpítlo Introção Problem e o Potencl Esclr sobre m Plc Pln Solção o Problem e o Potencl Esclr sobre m Plc Pln Mpemento Lner o Contorno o Problem Elementos Constntes Elementos Lneres e Qrátcos Análse Smetr o Problem n reção o número e ntegrs Mpemento Nmérco os Elementos e e ss Coorens Tbels e H e G pr os pontos e Gss Tbels e Cálclo e Inversão s Mtrzes H e G pr os pontos e Gss Tbels e H e G pr os pontos nternos com os pontos e Gss Tbels e H e G pr qtro pontos e Gss Tbels e Cálclo e Inversão s Mtrzes H e G pr qtro pontos e Gss Tbels e H e G pr os pontos nternos com qtro pontos e Gss Alterção o progrm POCONBE e cálclo pelo Métoo e Elementos e Contorno pr o Problem o Potencl Esclr Entr e Dos o Progrm POCONBE n form Orgnl Sí e Dos o Progrm POCONBE n form Orgnl Sí e Dos o Progrm POCONBE n form Mofc...5 Cpítlo VI...5 INTRODUÇÃO A TEORIA DA ELASTICIDADE Elementos e mecânc os sólos Análse o esto s tensões Trção e vetores e coplmento s tensões Componente s tensões Tensão em m ponto Tensão sobre o plno norml Representção ác s tensões Eqções e Eqlíbro Prncípos Físcos e Mtemátcos Momento lner Momento nglr Tensões Prncps Análse s eformções Tensor s eformções Dense e energ e eformção Eqções e comptble Mters Elástcos Lneres Complementre ense energ e eformção

8 Cpítlo VII...78 PROBLEMAS DE ELASTOSTÁTICA Obetvos o cpítlo Introção Notção Crtesn Incl Teor Elstce Lner...79 Trblho o crso - :...8 Solção: Métoo os Elementos e Contorno...84 Trblho o crso - :...85 Solção: 85 Trblho o crso -:...88 Solção: Solções Fnments Deção forml Iente Somgln Tensões nos Pontos Internos Métoo os Resíos Poneros Eqção Integrl e Contorno Regões e Domínos Infntos...97 Pr problems D X ρ :...98 Pr problems D Implementção Nmérc Sb-Regões Proprees e Smetr Problem plc com m fro...4 Cpítlo VIII...5 APLICAÇÕES PRÁTICAS EM ELASTICIDADE Obetvos o cpítlo Introção 5 8. Problem Plc Pln com fro crclr e ro r 5, resolvo pelo Métoo os Elementos e Contorno Apresentção o Problem Plc Pln com fro Metoolog e Análse o Problem Conserção Smetr Peç n Análse Elástc Desenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro Arqvo e Entr e Dos Plc Pln com fro pr o Progrm BINN n form mlh Orgnl Desenho Mlh Orgn Plc Pln com fro crclr Arqvo e Sí e Dos Plc Pln com fro crclr pr o Progrm BINN n form Orgnl Desenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro Crclr Deform Problem Cve com Pressão Unforme Elementos resolvo pelo Métoo os Elementos e Contorno Apresentção o Problem Cve com Pressão Metoolog e Análse o Problem...8 8

9 8.4. Conserção Smetr Cve com Pressão n Análse Elástc Arqvo e Entr e Dos Cve com Pressão pr o Progrm BINN n form Orgnl Desenho Mlh Orgnl Cve Com Pressão ms sem Deformção Arqvo e Sí e Dos Cve com Pressão pr o Progrm BINN n form Orgnl Desenho Mlh Orgnl Cve com Pressão Deform Problem Vg e Pree resolvo pelo Métoo os Elementos e Contorno Apresentção o Problem Vg Pree Metoolog e Análse o Problem Esqem e Análse Mlh Orgnl Vg Pree Desenho Mlh Orgnl Vg Pree sem Deformção Conserção Smetr Vg n Análse Elástc Desenho Mlh Orgnl Vg sem Deformção com Smetr Arqvo e Entr e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Orgnl sem Smetr Desenho Mlh Orgnl Vg Pree sem Smetr Arqvo e Sí e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Orgnl sem Smetr Arqvo e Entr e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Orgnl com Smetr Desenho Mlh Orgnl Vg Pree com Smetr Arqvo e Sí e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Orgnl com Smetr Desenho Mlh Orgnl Vg Deform Alterção o progrm BINN e cálclo pelo Métoo e Elementos e Contorno pr o Problem Elástco Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr Arqvo e Entr e Dos Plc Pln com fro crclr pr o Progrm BINN n form Mlh Dplc Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr Arqvo e Sí e Dos Plc Pln com fro crclr pr o Progrm BINN n form Dplc Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr Deform Desenho Mlh Dplc Cve com Pressão pr o Progrm BINN Arqvo e Entr e Dos Cve com Pressão pr o Progrm BINN n form Dplc Desenho Mlh Cve com Pressão n form Dplc Arqvo e Sí e Dos Cve com Pressão pr o Progrm BINN n form Dplc Desenho Mlh Cve com Pressão n form Dplc Esqem e Análse Mlh Dplc Vg sem Smetr Arqvo e Entr e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Dplc sem Smetr Esqem e Análse Mlh Dplc Vg com Smetr Arqvo e Entr e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Dplc com Smetr Desenho Mlh Dplc

10 Arqvo e Sí e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Dplc sem Smetr Arqvo e Sí e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Dplc com Smetr Desenho Mlh Dplc e Deform Comprção os Resltos os Deslocmentos os Corpos...4 Cpítlo IX...45 CONSIDERAÇÕES FINAIS Qnto os Resltos os Cálclos Plc Pln Qnto os Resltos os Cálclos Elstce Qnto o crso e Métoo e Elementos e Contorno...46 Referêncs Bblográfcs...47 Apênces...48 A. Cálclo Anlítco s Mtrzes H e G...48 A.. Cálclo s Mtrzes Snglres H e G sno o Mple A.. Cálclo s Mtrzes Não-Snglres H e G sno o Mple A. Lstgem fonte o progrm POCONBE Orgnl...45 A. Lstgem fonte o progrm POCONBE Mofco...4 A. 4 Lstgem fonte o progrm POTENCIAL CONSTANTE...47 A. 4 Informtvo s Vráves o progrm BINN Orgnl...46 I Vráves...46 II Vráves...46 III Vráves...46 IV Incênc os elementos...47 V 47 VI 47 VII 47 VIII 48 A. 5 Formto o Arqvo e Entr e Dos o Progrm BINN...49 A. 6 Lstgem fonte o progrm BINN Orgnl...44 A. 7 Lstgem fonte o progrm BINN Mofco...465

11 LISTA DE FIGURAS Fgr -.. Dgrm e pssos smplfcores e m problem rel... Fgr -.. Dgrm e sbsttção e m Moelo Contíno eto por m Moelo Dscreto Apromo.... Fgr -.. Dgrm e Trnsformção e Eqções Dferencs em Eqções Algébrcs eqvlentes.... Fgr Dgrm e pssos smplfcores e m problem rel... Fgr Problem e flo e conção e clor em m chp pln.... Fgr Fnções potencs... Fgr -.. Estrtr os Métoos Apromos e Solção e Eqções Dferencs...7 Fgr -.. Gráfco solção eqção ferencl: Fgr -.. Conções e contorno o problem Fgr Intervlo e vle fnção p...89 Fgr Intervlo e vle fnção p...9 Fgr Domíno sob conserção pr s efnções báscs eqção e Posson.... Fgr Domíno Ω e o contorno, e m problem e Lplcno e m potencl,....9 Fgr Defnções geométrcs eqção e Lplce....4 Fgr Espço vetorl s solções fnments crclrmente smétrcs...7 Fgr Crclo e ro r centro em ξ no omíno nfnto Ω....9 Fgr Pontos e contorno pr o cso b- e trmensonl, mento por m peqen hemsfer o semcírclo....4 Fgr Dferentes tpos e elementos e contorno...44 Fgr Elementos e Contorno, lner o crvo prbólco o cúbco efno por meo os nós geométrcos Fgr Elementos e Contorno, lner o crvo prbólco o cúbco efno por meo os nós fncons

12 Fgr Dferentes tpos e ntegrção e coro com posção reltv os nós nos elementos e contorno...55 Fgr Erros e promção cometos em ntegrs qse-snglres evo o número e pontos e Gss sobre o própro elemento...56 Fgr Mpemento Globl e m contorno Fgr Integrção entre os elementos e contornos e ferentes Fgr Relção entre elementos retos ferentes Fgr Cálclo s stâncs entre os elementos...6 Fgr Integrção entre os elementos e contornos e ferentes....6 Fgr Cálclo s stâncs entre os elementos pr m elemento reto Fgr Decomposção o vetor norml em termos os cossenos retores...67 Fgr Intervlo e ro ε sobre o elemento reto ξ Fgr Trnsformção entre s coorens globs e s coorens locs e m contorno e geometr qlqer....7 Fgr Mpemento lner locl geometr o elemento reto e fnconle constnte em e q....7 Fgr Sstem e cooren o elemento e contorno...87 Fgr Trnsformção e coorens o mpemento lner o contorno...88 Fgr Integrl e Gss fnção zη ns coorens e generlzs η k...89 Fgr Processo e Integrção e Gss...9 Fgr Integrção e Gss pr m fnção lner...9 Fgr Plc pln bmensonl qr e tmnhos,m,m setos s conções e contorno e potencl constnte e flo constnte q q Fgr Plc pln bmensonl qr e tmnhos,m,m com oto elementos retos e fnconle constnte, setos s conções e contorno e potencl constnte e flo constnte q q...96 Fgr Depenênc stânc com o ro e ntegrção entre os elementos e contorno...97 Fgr Vrção stânc reltvs entre os elementos e m contorno...97 Fgr Smetrs no processo e ntegrção s Mtrzes H e G entre os elementos o contorno e m plc pln.... Fgr Plc pln bmensonl qr e tmnhos,m,m com oto elementos e fnconle constnte, setos s conções e contorno e potencl constnte e flo constnte q q...4 Fgr Depenênc stânc com o ro e ntegrção entre os elementos e contorno...45 Fgr Vrção stânc reltvs entre os elementos e m contorno...46 Fgr Corpo eformável sob crregmento eterno...5 Fgr Tensor s tensões norms e cslhntes em m corpo...54 Fgr Forçs gno sobre m tetrero elementr em m ponto P...56 Fgr Elemento ferencl e sperfíce...58 Fgr Corpo em eqlíbro...6 Fgr Deformção trmensonl em m corpo fleível Fgr Csos e eformção e b rotção o ponto e vst e eslocmento vetorl....7 Fgr Domíno Ω fntos e nfntos com contorno eterno e nterno respectvmente....8 Fgr Corpo em eqlíbro sob ção e crgs e eslocmentos prescrtos....84

13 Fgr Regão complementr em eqlíbro sob ção e crgs e eslocmentos prescrtos...84 Fgr Sstem e coorens os eos prncps, P, P, P, o problem elástco com omíno Ω e contorno e omíno recíproco Ω * e contorno recíproco *...87 Fgr Fgr Ponto e Colocção ξ pertencente o contorno...96 Fgr Regões e omínos fntos...98 Fgr Utlzção os Métoos Nmércos n solção e problems prátcos one os omínos e os contorno são nternos o eternos... Fgr Pontos nos e m contorno reglr no cso bmensonl... Fgr Elemento lner com o ponto fonte o e e colocção ξ concente com o nó geométrco.... Fgr Elemento lner com o ponto e colocção ξ concente com o ponto e colocção.... Fgr Fgr Elemento lner com o ponto e colocção ξ concente com o ponto e colocção....6 Fgr Seprção o Domíno em Sb-Domínos o Sb-Regões e Sb-Contornos....8 Fgr Problem rel e smetr e orem os e qtro... Fgr Smlção Smetr e m problem rel... Fgr Fgr Fgr Fgr Fgr Plc nfnt com m fro no meo....4 Fgr Geometr e crregmento peç em nálse como eemplo e m omíno fnto. proz orgnlmente por Rphel Sccto...6 Fgr Conserção smetr peç n nálse elástc...7 Fgr Dscretzção o contorno conserno smetr o esenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro crclr proz orgnlmente por Rphel Sccto....8 Fgr Desenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro crclr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno... Fgr Desenho Mlh Orgnl Deform gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno Fgr Geometr e Crregmento Cve com Pressão em Análse com m eemplo e omíno nfnto proz orgnlmente por Rphel Sccto....7 Fgr Dscretzção o contorno conserno smetr o esenho Mlh Orgnl Cve com Pressão ms sem Deformção proz orgnlmente por Rphel Sccto...8 Fgr Desenho Mlh Orgnl Cve com Pressão ms sem Deformção gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno... Fgr Deformção Mlh Orgnl. Deform gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno....6

14 Fgr Geometr e crregmento peç em nálse proz orgnlmente por Rphel Sccto...7 Fgr Esqem e Análse Mlh Orgnl Vg Pree proz orgnlmente por Rphel Sccto....8 Fgr - 8. Desenho Mlh Orgnl Vg sem Deformção proz orgnlmente por Rphel Sccto....8 Fgr Conserção Smetr Vg n Análse Elástc proz orgnlmente por Rphel Sccto....9 Fgr Dscretzção o contorno conserno smetr Vg n Análse Elástc proz orgnlmente por Rphel Sccto....9 Fgr Desenho Mlh Orgnl Vg Pree sem Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno....4 Fgr Desenho Mlh Orgnl Vg Pree com Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno....5 Fgr Deformção Mlh Orgnl Vg Deform com Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno...56 Fgr Deformção Mlh Orgnl Vg Deform com Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno...56 Fgr Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr proz por Lcs Mámo Alves Fgr Desenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro crclr plc gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno...6 Fgr - 8. Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr Deform Fgr Desenho Mlh Dplc cve com Pressão proz orgnlmente por Rphel Sccto Fgr Desenho Mlh Dplc cve com Pressão gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno....7 Fgr Desenho Deformção Mlh Dplc Cve com Pressão gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno...78 Fgr Esqem e Análse Mlh Dplc Vg Pree sem Smetr proz por Lcs Mámo Alves...79 Fgr Esqem e Análse Mlh Dplc Vg Pree com Smetr Fgr Desenho Mlh Dplc Vg gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno Fgr Desenho Mlh Dplc Vg Pree Deform sem Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno...4 Fgr Desenho Mlh Dplc Vg Pree Deform com Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno...4 4

15 LISTA DE TABELAS Tbel - II.. Resltos pr o Métoo o Ponto e Colocção...48 Tbel - II.. Resltos pr o Métoo e Glerkn...5 Tbel - II.. Comprção os resltos etos e promos com o eemplo. o lvro...77 Tbel - V.. Coorens os Pontos Fonte os Elementos o Contorno...5 Tbel - V.. Coorens os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...7 Tbel - V.. Cálclo s Coorens e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...9 Tbel - V. 4. Cálclo s Coorens s Norms e e ss Dervs os Pontos Fonte os Elementos o Contorno... Tbel - V. 5. Cálclo s Mtrzes H e G os Pontos Cmpo os Elementos e Contorno... Tbel - V. 6. Cálclo s Mtrzes Inverss e H e G os Pontos Cmpo os Elementos e Contorno...5 Tbel - V. 7. Coorens os Pontos Fonte os Elementos o Contorno...7 Tbel - V. 8. Coorens os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...8 Tbel - V. 9. Cálclo s Coorens e os ros e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...9 Tbel - V.. Cálclo s Coorens s Norms e e ss Dervs os Pontos Fonte os Elementos o Contorno... Tbel - V.. Cálclo s Mtrzes H e G os Pontos Internos os Elementos e Contorno... Tbel - V.. Coorens os Pontos Fonte os Elementos o Contorno... Tbel - V.. Coorens os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...4 Tbel - V. 4. Cálclo s Abcsss e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...6 5

16 Tbel - V. 5. Cálclo s Orens e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...8 Tbel - V. 6. Cálclo os Ros e Gss e s Coorens s Norms os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno... Tbel - V. 7. Cálclo s Dervs s Coorens s Norms os Pontos Fonte os Elementos o Contorno... Tbel - V. 8. Cálclo s Mtrzes H e G os Pontos Cmpos os Elementos e Contorno...4 Tbel - V. 9. Cálclo s Mtrzes Inverss e H e G os Pontos Cmpo os Elementos e Contorno...6 Tbel - V.. Coorens os Pontos Fonte os Elementos o Contorno...8 Tbel - V.. Coorens os Pontos Cmpos os Elementos o Contorno...9 Tbel - V.. Cálclo s Abcsss e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...4 Tbel - V.. Cálclo s Orens e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...4 Tbel - V. 4. Cálclo os Ros e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno...4 Tbel - V. 5. Cálclo s Coorens s Norms e e ss Dervs os Pontos Fonte os Elementos o Contorno...4 Tbel - V. 6. Cálclo s Mtrzes H e G os Pontos Internos os Elementos e Contorno...44 Tbel - VIII..Análse os Resltos pr m Plc com Fro e Ro 5,...4 Tbel - VIII.. Análse os Resltos pr m Cve com Pressão Unforme...4 Tbel - VIII.. Análse os Resltos pr m Vg Pree sem Smetr...44 Tbel - VIII. 4. Análse os Resltos pr m Vg Pree com Smetr

17 7

18 Apresentção Est postl e Métoo e Elementos e Contorno é reslto gtção s ls o crso mnstro pelo professores Dr. Lz Alkmn e Lcer e Dr. José Antono Mrqes Crrer e e estos pessos o estnte e otoro M. Sc. Lcs Mámo Alves, o Progrm e Pós-Grção e Métoos Nmércos pr Engenhr-PPGMNE Unverse Feerl o Prná. 8

19 Cpítlo I INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXIMADOS RESUMO Neste cpítlo será vsto como tlzção e métoos promos poe r resolver problems e eqções ferencs, qno solção nlítc é ncessível. Aborremos o tem s hpóteses smplfcors e tlzção e eqções lgébrcs n sbsttção e eqções ferencs comples.. Obetvos o cpítlo Entener problemátc os Métoos Apromos plcos Engenhr. Dstngr stções one tlzção os Métoos Apromos é vável. Sber estênc e versos Métoos Apromos.. Introção A solção e problems em cênc em engenhr pss por verss etps e smplfcção. Entre els está proposção o moelo mtemátco promo, tlzno-se eqções ferencs. A escolh o métoo e solção ests eqções ferencs e smplfcção nmérc trvés scretzção o problem. O métoo os elementos e contorno é m os métoos promos tlzos em cênc e em engenhr. Ele é plco n solção e eqções ferencs, one ests são trnsforms em eqções ntegrs plcs o contorno o problem. Este por s vez é scretzo em elementos qe poem ser, constntes lneres, qrátcos o cúbcos. 9

20 . Smplfcção e m Problem Rel N tenttv e se escrever qntttvmente m problem fenômeno físco, o se, e se obter m epressão mtemátc qe correspon o fenômeno em qestão, nclmente o problem físco rel é sbsttío por m problem eqvlente, ms smples. Fgr -.. Dgrm e pssos smplfcores e m problem rel Neste novo problem são seleconos os prâmetros conseros fnments e qe poem ser escrtos mtemtcmente trvés e m sstem e eqções ferencs válo em too o omíno o problem. A esse sstem são mposts conções e contorno e/o conções ncs proprs.. 4 Eqções Dferencs Qse toos os problems em cêncs físcs e engenhr poem ser rezos m eqção ferencl. Por est rzão sber reconhecer m eqção ferencl entro e m problem específco é mto mportnte, pr bsc e s solção. D mesm form, sber clssfcr m eqção ferencl é o prmero psso n bsc e s solção, pos pesr e não estr m métoo únco pr se resolver tos s eqções ferencs, clssfcção els escolher o métoo ms eqno e solção.. 5 Dscretzção o Problem Um sstem e eqções ferencs constt m moelo contíno, qe poss nfntos grs e lbere, m vez qe s vráves se strbem contnmente em too o omíno o problem. Com eceção e lgns csos ms smples, em gerl não é possível encontrr solções nlítcs pr o problem. Recorre-se, então, os moelos scretos o nmércos, obtos os moelos contínos trvés e hpóteses smplfcors: As vráves qe consttem nfntos grs e lbere, são epressos em termos e m número fnto e grs e lbere. Esses grs e lbere são ncógnts os moelos scretos os

21 sstems eqvlentes e são etermnos prtr solção e m sstem e eqções lgébrcs. Fgr -.. Dgrm e sbsttção e m Moelo Contíno eto por m Moelo Dscreto Apromo. Resmmente, qno o moelo contíno é sbsttío por m moelo screto, o problem mtemátco solção e m sstem e eqções ferencs é sbsttío pelo problem solção e m sstem e eqções lgébrcs. Fgr -.. Dgrm e Trnsformção e Eqções Dferencs em Eqções Algébrcs eqvlentes. Portnto, só nos rest gor estr s eqções ferencs pr se poer plcr os métoos promos n solção e problems físcos res.. 6 Escolh o Métoo Apromo pr solção o problem Dverss são s técncs e promção pr solção e eqções ferencs e eqções ntegrs. Entre os métoos e eqções ferencs, estcm-se o métoo s ferençs fnts, o métoo os elementos fntos, o métoo os volmes fntos, e por últmo entre os métoos e eqções ntegrs, temos o métoo os elementos e contorno. O métoo os elementos e contorno consste em resolver bscmente eqção e Lplce em termos e ntegrs, o se: φ * q q * Cmpo Esclr. Em tos els o problem físco é rezo m moelo qe por s vez é rezo m moelo mtemátco, conforme mostr o esqem Fgr -. 4.

22 Fgr Dgrm e pssos smplfcores e m problem rel O eemplo ms comm é qele e m chp pln set m flo térmco q, conforme mostr Fgr Fgr Problem e flo e conção e clor em m chp pln. Eqvlentemente o métoo os elementos fntos, tlz scretzção o omíno o nvés o contorno. No métoo os elementos fntos s mtrzes gers são o tpo bn, Y X A enqnto, qe no métoo os elementos o contorno mtrz é che, o se, complet.

23 4 A 4 4 X Y 4 4. O métoo os elementos e contorno se plc os ferentes problems em engenhr, ts como: mecânc frtr, mecânc o contto, brrer cústc, proteção ctóc em csco e nvos e torres e strbção elétrc, e problems e elstce. Em toos eles eqção e Lplce poss lrg plcção. Conto, snglres frcs e fortes srgem nesss formlções mtemátcs, s qs evem ser contorns por técncs e rtfícos nmércos. Entre els temos s snglres o tpo: r r α. 4 one fnções potencs germ s snglres o tpo: ln r e r r e r r r e α α r r r α. 5 cos gráfcos são o tpo mostro n Fgr Fgr Fnções potencs

24 .6. - Vntgens o Métoo os Elementos e Contorno Precsão os Resltos Problems nfntos o sem-nfntos elmn o efeto e bors Envolve somente scretzção o contorno o qe mn o csto comptconl.6. - Desvntgens o Métoo os Elementos e Contorno Flt e progrms comercs brngentes Problems e não-lneres s eqções Implementção Comptconl ms fícl 4 Necesse e cálclo e solções fnments pr c cso. 4

25 Cpítlo II CONCEITOS FUNDAMENTAIS RESUMO Neste cpítlo serão vstos os concetos fnments pr solção s eqções ferencs pelos métoos e omínos e e contorno, nclno formlção frc, formlção nvers, o Métoo Trefftz e o Métoo e Glerkn e o Métoo os Resíos Poneros. Aplcremos s ntegrções por prtes à versão nmensonl eqção e Posson.. - Obetvos o cpítlo Entener concetção básc e strbção e erros e o Métoo os Resíos Poneros. Sber plcr o Métoo os Resíos Poneros solção e eqções ferencs. Resolver problems e eqções ferencs pertnentes o Métoo.. Introção A tlzção e eqções ferencs como eqção e Posson é mto útl n Engenhr. Pr r níco o entenmento os métoos e solções proms ms tlzos, nós remos em prmero lgr borr o ssnto sob o ponto e vst nmensonl pr qe os concetos fnments possm ser bem estbelecos pr em se genelzr pr os cso b e trmensonl. 5

26 . Concetos Fnments.. O problem nmensonl Consere m eqção ferencl mto smples plc m omíno nmensonl, ese té, sto é: λ b em. one é fnção qe govern eqção e nós gerlmente precsmos chá-l sno m técnc nmérc qe fornece m solção prom. λ é m constnte postv conhec e b é m fnção conhec e. A solção eqção. poe ser ch spono-se m vrção pr consstno e m sére e fnções e form conhecs, mltplcs por coefcentes esconhecos. Estes coefcentes poem ser obtos forçno eqção. stsfzer m sére e pontos... O conceto e Fnções e Dstrbção e Erros O conceto e strbção o ponerção e m eqção ferencl não é somente válo pr solções proms, ms este é m conceto mtemátco fnmentl. Pr entener o qe estes concetos sgnfcm ntes e propor qsqer promções conser-se m otr w, rbtrár eceto por ser contín no omíno e cs ervs são contíns cm e m gr reqero o gr e contne vrrá com o problem e será mostro rpmente. Poe-se gor mltplcr to eqção. por est fnção w e ntegrr sobre o omíno como sege: λ b w. Est operção é chm e m proto nterno n mtemátc e embor não mplqe em qsqer novos concetos, permte-nos nvestgr s proprees eqção governnte. 6

27 .. Anlsno o Problem no Contorno ª Integrção por Prtes Isto é feto ntegrno-se por prtes os termos com ervs n epressão cm. Neste cso poe-se somente mnplr est form o prmero termo, sto é, qe reslt: w w w v v v /., o one w w w. 4 e v v. 5 Note qe ntegrção por prtes tem prozo os termos, m no omíno com prmers ervs e e w e otro nos contornos o ql neste cso são smplesmente os os pontos e. Sbsttno. em. obtemos: w λ b w λ b w w ª Integrção por Prtes Além sso, se fnção w poss gr sfcente e contne, poe-se ntegrr por prtes novmente e obter: w w v v w v. 7 One 7

28 w w. 8 e v v. 9 Sbsttno. 7 em. 6 obtemos: w λ b w λ b w w w. A epressão. é clro é eqvlente epressão. 6, ms q não, somente, tem-se psso toos s ervs pr nov fnção w, ms os termos em e nos á m vsão pr entro s conções e contorno necessárs pr resolver o problem. Neste cso o / precs ser conhec em e. Note qe fnção w ql em prncípo er m fnção rbtrár com m certo gr e contne poe ser fet pr stsfzer certs conções e contorno se ssm esermos. Embor eqção. fornece o sáro m vsão pr entro, o tpo e conções e contorno reqers pr resolver o problem, ests conções n não form eplctmente ncorpors entro o problem. De form fzer ssm vmos conserr qe s conções e contorno são s por: q em q em. one s ervs e são gor efns como q e os termos com brrs representm vlores conhecos fnção e e ss ervs. É sl chmr s conções e prmero tpo em. e conções essencs e qels como q envolveno ervs são chms e conções ntrs. Sbsttno-se os vlores e. em. obtemos: 8

29 w w w λ b w wq wq...5 ª Integrção por Prtes Agor é nteressnte retornr epressão orgnl. pel ntegrção por prtes novmente, ms est vez pssno s ervs e w pr. A prmer ntegrção fornece: w w w v v v. one w. 4 e w v v w. 5 Sbsttno. em. obtemos: w wq w A eqção. 6 fc: w λ b w w w wq. 6 w λ b w w w wq wq. 7 9

30 ..6 4ª Integrção por Prtes Além sso, pós m segn ntegrção reslt em: w w w v v v. 8 one. 9 e w v v w. Sbsttno. 8 em. 7 obtemos: λ b w w w q q w Ms m vez m termo esprece, neste cso w q w wq wq. w w λ b w wq wq. Note qe seno q / conforme efn nterormente, nós poemos grpr os termos chegno gor m epressão nteressnte ferente fórml orgnl.. w λ b w q q w. Est epressão mplc qe estmos tentno forçr não somente stsfção eqção ferencl em, ms s s conções e contorno. One s fnções w e w/ poem ser vsts como mltplcores e Lgrnge. Além sso, n fo to sobre promções, s

31 epressões cm são váls pr solções ets tmbém. Em otrs plvrs o procemento escreve m ferrment gerl pr nvestgção s eqções ferencs.

32 . 4 Solções Aproms Vmos gor obter solções proms pr os problems envolveno eqções ferencs.4. Resolção prtr e Solções Aproms Embor ns secções nterores tenhmos ntrozo o conceto e strbções, s formlções plcm-se nepenentemente o tpo e solção qe se ch, sto é, els são váls tnto pr solções ets como pr solções proms. Est secção, conto, nvestgrá o qe contece qno o conceto e m solção prom é ntrozo n formlção. N prátc e engenhr solção et poe somente ser conhec em lgns csos smples e este é, portnto mportnte ver como s solções se comportm qno se ntroz m promção. Vmos conserr gor qe fnção efne m solção prom o nvés e m solção et. Neste cso poe-se escrever, por eemplo: α φ α φ α φ one os s são os coefcentes esconhecos e os φ são m seqüênc e fnções lnermente nepenentes s qs são conhecs. Os α são coefcentes generlzos embor em lgns csos eles poem ser ssocos com vlores nos vrável sob conserção. Em gerl nos problems e engenhr, prefere-se sr vlores nos conforme eles têm m sgnfco físco clro e este é feto em elementos fntos, ferençs fnts o métoos os elementos e contorno. Em ts csos promção pr poe ser escrt como: φ φ φ o N φ. 6 one os φ são m seqüênc e fnções lnermente nepenentes qe são lgms vezes chmos e fnções e nterpolção. são os vlores nos s vráves e cmpo o e ss ervs o ms gerlmente o vlor nol e qlqer vrável com sgnfco físco retmente relcono o ss ervs.

33 .4. Avlno os Erros e Apromção Introzno promção pr entro eqção ferencl governnte ch-se qe est eqção não é ms entcmente stsfet eceto pr o cso no ql. 5 o. 6 poe representr solção et. Isto proz m erro o m fnção resl qe logo será efn. Por eemplo, ntrozno m vlor promo e entro eqção. gerlmente ch-se qe: λ b em. 7 O mesmo gerlmente ocorrerá com s conções e contorno corresponente est eqção, sto é: q q em em. 8 Poe-se gor ntrozr o conceto e m fnção erro o fnção resl qe represent os erros ocorrentes no omíno o no contorno evo não-stsfção s eqções cm. A fnção erro no omíno é chm R e é por: R λ b. 9 E no contorno tem-se: R R q q. Embor o cso eqção. 9 cm é m eqção prtclr e reltvmente smples o mesmo ocorre pr qlqer otro problem. Se se conser eqção e Posson b, por eemplo, fnção erro no omíno é: R b em Ω. E os erros pr s conções e contorno em e q q em são efnos n por:

34 R R q q em em. Os métoos nmércos sos n engenhr tentm rezr estes erros m mínmo pel plcção e ferentes técncs. Est reção é lev cbo forçno os erros serem zero em certos pontos, regões o em m form mé. Est operção poe ser gerlmente nterpret como strbção estes erros. A form n ql est strbção é fet proz ferentes tpos e técncs e strbção e erros qe, em gerl, forç s ntegrs os resíos poneros, por m cert fnção, ser zero. Por cs sto els são chms e Técncs os Resíos Poneros. 4

35 . 5 Técncs e Resíos Poneros A solção o problem e vlor e contorno efn pels eqções. 7 e. 8,. e. o seqüêncs smlres pr otros problems poe ser tent pel escolh e m fnção pr promção e. Poe-se então ter três tpos e métoo. Se spost solção prom stsfz entcmente tos s conções e contorno ms não s eqções governntes em Ω, tem-se m métoo e pro omíno. Se solção prom stsfz o cmpo o s eqções governntes, ms não s conções e contorno têm-se m métoo e contorno. Se spost solção não stsfz nem s eqções e cmpo nem s conções e contorno, tem-se m métoo msto. Vmos prmero spor qe s fnções φ qe são efns pr promr, stsfz tos s conções e contorno. Têm-se então m fnção resl R no omíno conforme s eqções e cmpo são gerlmente não entcmente stsfets. A é é gor fzer R tão peqeno qnto possível estbeleceno se peso resl gl zero pr os vlores s fnções e ponerção, ψ, tl qe, bscmente tem-se: RΩψ Ω em Ω com,,...n Ω. One RΩ é m operor ferencl, e solção prom, por: N ψ. 4 Ests fnções têm e ser lnermente nepenentes. Note qe e m otr form escreveno. em m form qe é ms compct, é fácl operr com el, pel efnção e m nov fnção w, tl qe: w β N ψ β ψ... β Nψ N β ψ. 5 one β são coefcentes rbtráros. Portnto, eqção. poe gor ser escrt em termos, e m form ms compct, como, 5

36 R Ω wω em Ω Ω. 6 Dferentes tpos e fnções e ponerção ψ o w efnrão ferentes métoos promos. A eqção. o. 5 prozrá m sstem e eqções lgébrcs s qs os vlores esconhecos os coefcentes α o sos em eqção. 4 o. 5 poe ser obt. A promção poe sempre ser melhor pelo mento o número e fnções N ss N é o número e termos n solção prom gl o número e fnções peso reqers. Os métoo promos bseos n eqção. 6 são chmos e Métoo os Resíos Poneros e m solção prom, o métoo vr e coro com s fnções e ponerção ss como peso. No qe sege m poco será revsto. Métoo os Pontos e Colocção ψ δ Métoo Colocção por Sb-regões o Sbomínos ψ φ Métoo e Glerkn v Métoo os Momentos ψ. se Ω ψ se Ω 6

37 . 6 Aplcção Prátc os Métoo os Resíos Poneros.6. - Eemplo. Obteno m solção Et Como m lstrção e como sr os métoo os resíos poneros, consere segnte eqção ferencl o eqção e cmpo no omíno nmensonl one vr e té sto é:. 7 com conções e contorno homogênes, sto é: em e. 8 Note qe eqção é m cso prtclr eqção. qno λ e b. A et solção e poe ser ch pel ntegrção e á: et Vmos gor tentr resolver sno Técnc e Resíos Poneros escrt nterormente cm, começno pel efnção e m solção prom qe stsfz s conções e contorno e poe ser escrt como: α φ α φ α φ Poe-se sr polnômos Hermtenos pr φ, ms ese qe somente s els stsfçm s conções e contorno homogênes, somente ests s serão ss, sto é: α. 4 φ α φ one φ φ. 4 A fnção erro o resl neste cso é obt pel sbsttção e. 4 n eqção. 7 qe fornece: 7

38 8 R 6 4 6,, α α φ α φ α α α. 4 Vmos gor rezr. 4 sno s várs técncs e resíos poneros.

39 .6. Métoo o Ponto e Colocção Neste cso N pontos,,..., N são escolhos no omíno e o resío é estbeleco zero nestes pontos. Est operção poe ser nterpret como fnções e ponerção efns em termos s fnções elts e Drc nestes pontos, sto é: ψ δ ;,,..., N. 44 δ no ponto tem m vlor nfnto, ms é tl qe s ntegrl ne, sto é: Ω δ Ω ;,,..., N. 45 A fnção e Drc poe ser nterpret como o lmte e m fnção reglr qno s bse tene zero. Portnto, eqção. poe gor ser escrt como: Ω Rδ Ω ;,,..., N. 46 A ql smplesmente z qe fnção erro é zero n sére e pontos, sto é: R ;,,..., N. 47 O métoo consste e m sére e fnções erros o fnções ress gs zero em qe mtos pontos como estes são coefcentes esconhecos n solção prom. A strbção os pontos e colocção é em prncípo rbtrár, ms n prátc melhores resltos são obtos se eles são nformemente strbíos. Solção o Eemplo. pelo Métoo o Ponto e Colocção: Aq forç-se os resíos serem zero n sére os pontos. Consere neste cso qe R é zero nos os pontos,5 e,75. Est fornece R e R o α 6 4 α 6. 48,5,5,5,5 α 6 4 α 6. 49,75,75,75,75 9

40 4,5 α α R. 5 e,75 α α R. 5 E n α α. 5 Do ql se obtém qe os segntes resltos pr α e α : 6 α α. 5 Sbsttno. 6 em. 4 á o segnte reslto ] [ ] [ Note qe este cso é ems trvl e os mesmos resltos form obtos por toos os otros métoos. Em gerl sto não será vere qno solção et não poe ser reproz pelo vlor proposto e e se chrá ferentes resltos epeneno o métoo so.

41 .6. Métoo Colocção por Sbomíno Pr este métoo o omíno Ω é vo em M sbomínos e ntegrl o erro em c m eles é estbelec ser zero. As fnções pesos são smplesmente escolhs como, pr Ω pr Ω ψ. 55 nc pertencente, e Ω é o esmo sbomíno. A eqção. torn-se Ω R com,,...n. 56 Solção o Eemplo. pelo Métoo os Pontos e Colocção por Sbomínos: Consere o omíno vo em s prtes gs, m e ½ e otr e ½. Neste cso poe-se escrever: e / / R [ 6 4 α 6 ] α. 57 R [ 6 4 α 6 ] / / qe proz o segnte sstem e eqções α. 58 α6 α6 4 4 / / α 6 α 6 / / / /. 59 o,α,5α,5,5α,α,75. 6 e n 4

42 4,75,5,,5,5, α α. 6 o ql se obtém qe: 6 α α. 6 Sbsttno. 6 em. 4 á o segnte reslto ] [ ] [ 6. 6 Note qe solção et. 4 form obts ese qe s fnções e form sposts pr são cpzes e representá-lo.

43 .6.4 Métoo e Glerkn No cso o Métoo e Glerkn s fnções e ponerção são s mesms qe s fnções e promção, sto é: Portnto eqção. torn-se: φ ψ. 64 RΩφ Ω,,...N Ω. 65 Usno-se mesm efnção qe em. 5 est poe ser escrt como R Ω wω,,...n Ω. 66 com w β... φ β φ β NφN. 67 Este métoo é o ponto e prt e mts formlções o Métoo os Elementos Fntos pr os qs smetr e nerentemente smétrcs, levm mtrzes lgébrcs smétrcs. φ ψ copl s eqções e cmpo Solção o Eemplo. pelo Métoo e Glerkn: Neste cso s fnções peso são: ψ φ ψ φ. 68 e s epressões os resíos poneros são: e [ α 6 4 α 6 ]. 69 [ α 6 4 α 6 ]. 7 o ql proz s segntes eqções lgébrcs em α e α. 4

44 α α. 7 e α α. 7 o,5 4 4 α α α α. 7 E n,5 4 4 α α. 74 Do ql tmbém se obtém qe: 6 α α. 75 Sbsttno. 6 em. 4 á o segnte reslto ] [ ] [ Note qe solção et. 4 form obts ese qe s fnções e form sposts pr são cpzes e representá-lo.

45 Eemplo. Obteno m solção prom por m Métoo e Domíno Vmos gor estr m otr eqção sno o ponto e colocção tl qe neste cso nós obteremos m solção prom o nvés solção et. Consere eqção. com λ e -b, sto é:. 77 e s conções e contorno homogênes, em e. A et solção e. 77 poe ser fclmente obt pel ntegrção e á: sen sen. 78 Ao nvés e sr. 78 nós tentremos promr est solção efnno m solção o tpo: φ φ φ one os φ são termos e m polnômo em, sto é: φ ; φ ; φ De form stsfzer s conções e contorno etmente, eqção. 79 tem qe á em e. 8 o qe mplc qe, em em Portnto, e poe ser epress em fnção os otros prâmetros, sto é: Sbsttno e. 8 em. 79 nós poemos escrever: Defnno gor m nov sére e prâmetros esconhecos α, ts qe: 45

46 α, α 4, Poe-se escrever: α α Est fnção stsfz s conções e contorno em e tem o gr e contne reqero pels ervs n eqção. 77, portnto, z-se ser mssível. Nós tmbém veremos qe stânc entre s solções ets e proms mn qno o número e termos em. 86 ment e sto mplc qe formlção prom é complet, sto é, tene representr solção et melhor e melhor qno o número e termos ment. 46

47 .6.6 Métoo o Ponto e Colocção De form plcr técnc e ponto e colocção nós nos restrngremos os termos n epressão. 86, sto é: α α. 87 Sbsttno est fnção n eqção governnte. 77 ch-se o segnte resío, sto é: R 6 α α. 88 A colocção poe gor ser nterpret como estbeleceno R em os pontos, sber ¼ e ½. Isto tmbém poe ser epresso em termos s fnções elt e Drc plcs estes os pontos, sto é, fnção e ponerção é: w δ β δ 4 A ntegrl os Resíos Poneros é represent por: o smplesmente β. 89 R w. 9 em e 4 R. 9 Sbsttno estes vlores e em. 88 obtém-se s eqções em α e α. Eles poem ser escrtos n form e mtrz como sege: α α / 4 / α 6 α 6 / 4 / / 4 /. 9 o 9 5 α α α α e n 47

48 α 7 4 α A solção este sstem fornecerá: 6 α 4 α O vlor promo e n eqção. 87 poe gor ser escrto como: Tbel - II.. Resltos pr o Métoo o Ponto e Colocção X et prom R,,864,978 -,995,,594,558,7,5,69746,748,,7,65585,6586 -,4884,9,9,5 -,8474 Note qe fnção erro poe gor ser tmbém totlmente efn em termos e, pel sbsttção e α e α em. 88. Isto á R Estes resltos poem ser tbelos n Tbel - II., one eles são compros em termos solção et. Note qe os vlores e R são entcmente zero em ¼ e ½, ms o qe sto não sgnfc qe solção pr é et nqeles pontos. 48

49 Eemplo. Obteno m solção prom por m Métoo e Domíno b Vmos plcr técnc e Glerkn n eqção. pr ql λ e. 98 com conções e contorno homogênes em e.. 99 A solção prom será mesm qe no eemplo., sto é: o ql poe ser escrt como: α α. φ α φ α. one φ e φ são fnções e form φ - ; φ -. O resío é o mesmo qe o o eemplo nteror, sto é: logo R. R 6 α α. A fnção e ponerção w em Glerkn é spost ter mesm fnção e form como solção prom., sto é: w β. 4 φ β φ Os coefcente β e β são rbtráros. A Sentenç e Resíos Poneros é: Ω Rw. 5 ql proz s epressões ntegrs como β e β são rbtráros, sto é: 49

50 R β φ β φ. 6 o smplesmente φ R. 7 e Rφ. 8 Sbsttno. e s fnções e φ e φ em. 7 e. 8 temos: e [ α 6 α ][ ]. 9 [ α 6 α ][ ]. Após ntegrção sto fornece o segnte sstem. α α 5. Note mtrz é smétrc porqe eqção é e m orem pr e s fnções e ponerção e s fnções proms são s mesms. Resolveno. temos como reslto: 7 α 69 7 α 4. Sbsttno estes vlores em. proz-se solção prom pr, sto é: 5

51 Poe-se chr tmbém fnção resl R eqção. qe gor é: R Os resltos pr e R são s n Tbel - II. one els são comprs em fnção solção et e. Note qe embor solção et e é sobreto ms precs o qe no cso e sr técnc e colocção, gor precs-se levr cbo lgms ntegrções como mostro n forml. 9 e.. Est operção não é necessár pr o cso o ponto e colocção. Tbel - II.. Resltos pr o Métoo e Glerkn et prom R,,864,885 -,6945,,594,56,485,5,69746,69444,888,7,6558,6555,57,9,9,46 -,465 5

52 . 7 Aplcção Prátc Formlção Frc e Formlção Invers Consere gor eqção. novmente pr lstrr como m formlção frc poe ser s e como Sentenç os Elementos e Contorno e o Domíno são obts. Vmos começr com eqção. qe fo ez prtr eqção. por m processo e ntegrção por prtes, com plcção s conções e contorno, sto é: { w w λ b w} [ q q w] [ ]. 5 qe poe tmbém ser epress em m form ms compct em fnção os resíos, sto é: essencs w R w [ Rw] [ R ]. 6 A fnção será gor ssm stsfzer etmente s conções e contorno em. Neste cso. 5 torn-se { w b w} [ q q w] o em termos e. 6, smplesmente λ. 7 R w. 8 [ Rw].7. Formlção Frc - 5ª Integrção por Prtes Integrno por prtes eqção. 7 poe-se escrever: w { b w} w [ q q w] o cncelno-se os termos semelhntes temos: λ. 9 w { b w} [ qw] [ qw] λ. 5

53 Se fnção peso w é forç stsfzer versão homogêne s conções e contorno essencs em, eqção. torn-se: { b w} [ qw] λ. ql é nálog eqção 4. 5 obt pr eqção e cmpo e Lplce. Note qe eqção. 6 tmbém poe ser obt pel plcção s conções e contorno entro sentenç. e qe est sentenç fo smplesmente obt por ntegrção por prtes epressão os resíos...7. Formlção Invers - 6ª Integrção por Prtes O tpo e sentenç Elementos e Contorno governnte, por eemplo, sob scssão é ch fzeno-se s ntegrção por prtes consectvs. e est á fórml prevmente obt., sto é: w { λ b w} w w {[ qw] [ qw] }. Est epressão poer tmbém ter so obt por m pl ntegrção por prtes eqção os resíos poneros. e plcno epos sso s conções e contorno. É correto notr qe mbos neste eemplo nmensonl e ns eqções e Lplce bmensonl, m sentenç tpo e elementos fntos poe ser obt epos prmer ntegrção por prtes eqção. e 4. 49, e eqção ntegrl tpo Elemento e Contorno pós segn ntegrção eqção. e 4. 4 o

54 .7. Eemplo.4 Formlção Frc sno o Métoo e Glerkn Resolv segnte eqção ferencl:. com s segntes conções e contorno e Usno formlção frc Glerkn one λ e b -, então em. 4 q q em. 5 w λ b w [ qw]. 6 w w [ qw]. 7 Fzeno α α α α. 8 e β β β w β. 9 e stsfzeno s conções e contorno,, logo α tmbém e w, logo, β e e w α α α. β β β. 54

55 55 e sbsttno. e. em. 7 temos: / / ] [ ] [ w w w q β β β β β β α α α β β β α α α. Fzeno β, β, β temos: { } ] [ ] [. q α α α α α α. o { } q 4 α α α α α α. 4 e { } q 4 α α α. 5 Integrno temos: α α α. 6 O q 5 4 α α α. 7 Logo q α α α. 8

56 56 Fzeno β, β e β { } ] [ ] [ q α α α α α α. 9 o { } 5 4 ] [ 6 4 q α α α α α α. 4 e { } q α α α α α α. 4 o { } q α α α. 4 Integrno temos: q α α α. 4 O q α α α. 44 Logo q α α α. 45

57 57 Fzeno β, β e β { } ] [ ] [ q α α α α α α. 46 o { } ] [ 9 6 q α α α α α α. 47 e { } q α α α. 48 Integrno temos: q α α α. 49 O q α α α. 5 Logo q α α α. 5 Montno o sstem e eqções temos: q α α α q α α α q α α α. 5

58 58 Resolveno este sstem por Mtrzes temos: q q q α α α. 5 c mtrz nvers é: q q q α α α. 54 solção fornece os vlores pr: q q q q q q q q q α α α. 55

59 . 8 Solções e Contorno e Domíno Ω N secção nteror vmos s Técncs e Resíos Poneros, ts como: - Métoo e Contorno - Métoo e Domíno - Métoo Msto As forms pr se obter m métoo e contorno são: Seleconr noss fnção e ponerção, w, e tl form qe el stsfç eqção governnte homogêne Métoo e Trefftz Seleconr fnção e ponerção w e tl form qe ntegrl e omíno se elmn Métoo os Elementos e Contorno Vemos gor como fcm s fórmls pr o Métoo os Elementos Fntos MEF, Métoo e Trefftz e o Métoo os Elementos e Contorno pr m eqção nmensonl o tpo pel eqção Aplcção Prátc Consere eqção ferencl por: λ b. 56 No omíno Ω [ ;] com conções e contorno: q q pr pr. 57 Resolver este problem sno Formlção Frc pelo Métoo os Elementos Fntos e Formlção Invers pelo Métoo e Trefftz e pelo Métoo os Elementos e Contorno. 59

60 Solção Spono m solção prom o tpo. 58 os erros e promção est solção no omíno e no contorno são os por: com ε Ω λ b. 59 ε ε q q pr em pr em. 6 A sentenç Gerl e Resíos Poneros é por: Ω ε w Ω Ω ε w ε w. 6 Conserno qe promção stsfz etmente s conções e contorno, portnto teno m métoo plco pens o omíno temos s segnte Solção e Domíno. ε Ω w Ω Ω. 6 o se: Ω λ b wω. 6 6

61 .8. Formlção Frc os Resíos Poneros Integrno-se por prtes m vez obtém-se w λ. 64 bw w λ b w one e w w w. 65 v v. 66 chmno e q / no contorno temos: w λ b w wq λ b w. 67 logo w λ b w wq. 68 Forçno w qno temos: w Impono s conções e contorno λ. 69 b w wq q q em temos: w λ b w wq. 7 6

62 Métoo os Elementos Fntos A eqção. 7 é sentenç básc o Métoo os Elementos Fntos. Dvno-se o omíno Ω [;] em E sbomínos, o se: E e e Ω Ω. 7 Dscretzno e escolheno-se solção prom o tpo o prtr e N m m m φ em Ω,. 7 Pr E N plco em. 7 temos o sstem e eqções o Métoo os Elementos Fntos, o por: φ Ω φ φ Ω q w w m l m m l N m m. 7 Sbvno o omíno Ω em Ω e sbntervlos temos: b e m B b e l e e m e m E e e l N m m q w w b e φ Ω φ φ Ω. 74 Escolheno por Glerkn e l e l e l w w φ. 75 Temos: b e m B b e l e e m e m E e e l N m m q b e φ φ Ω φ φ φ Ω. 76 Observe qe n sentenç básc e resíos poneros precem ervs e orem os, conseqentemente, é necessáro qe s fnções e promção possm ervs e orem m, contíns. Neste cso, precsrímos e elementos fntos qrátcos pr s fnções e nterpolção. Conto, pr contornr ess stção tlzno elementos fntos lneres, poemos resolver eqção ferencl prtr form frc os resíos poneros.

63 . 9 Formlção Invers os Resíos Poneros Integrno-se por prtes m segn vez epressão. 7 temos: w w w λ b w b w λ. 77 one w w. 78 e Sbsttno. 78 e. 79 em. 77 obtemos: v v. 79 w w w bw λ qw. 8 Aplcno s conções e contorno em e q q em obtvemos: w w w λ w bw { [ qw] [ ] } [ ] [ ] qw. 8 6

64 .9. Métoo e Trefftz Escolheno noss fnção e ponerção w e tl form qe el stsfç eqção ferencl n s form homogêne, o se: w λ w. 8 resolveno-se est eqção ferencl pr chr o w obtemos solção eqção homogêne pr w ql é s como fnção e ponerção, n sentenç bo stsfzeno conção homogêne. w w w { } λ w bw [ qw] [ ] [ ] [ ] qw. 8 Retornno-se eqção ntegrl formlção nvers temos: w w w { } λ w bw [ qw] [ qw] [ ] [ ]. 84 Logo { qw] [ qw] } w w bw [ [ ] [ ]. 85 one q e são vlores esconhecos e q e são vlores conhecos..9. Eemplo e tlzção o Métoo e Trefftz Resolveno segnte eqção ferencl com λ e b - temos:. 86 Com s conções e contorno pr e pr. Prtno segnte ntegrl por prtes: w w w { } λ w bw [ qw] [ ] [ ] [ ] qw

65 Solção: Retornno-se eqção ntegrl formlção nvers temos: w w w { } λ w bw [ qw] [ qw] [ ] [ ]. 88 Logo { qw] [ qw] } w w bw [ [ ] [ ]. 89 Resolveno eqção ferencl homogêne pr λ temos: w λ w. 9 Temos: w. 9 one w w. 9 Sbsttno. 9 n eqção. 89 temos: Logo bw b. 9 { [ q ] [ q ] } q q. 94 One e são constntes rbtrárs. Fzeno e temos: 65

66 q. 95 O [ q q Fzeno e temos:. 96 q q. 97 O [ q q q q Usno-se q / temos:. 98 q q Assm o problem está resolvo, pos se conhece o potencl e o flo q no contorno em e. 66

67 .9. - Métoo e Contorno Escolheno noss fnção e ponerção w e tl form qe el stsfç eqção ferencl e Green, o se: w λ w δ ξ. resolveno-se est eqção ferencl pr chr w, encontr-se solção fnmentl e Green, w *, pr w ql é s como fnção e ponerção, n sentenç bo stsfzeno conção fnmentl segnte form: w w w { } λ w bw [ qw] [ ] [ ] [ ] qw. Retornno-se eqção ntegrl formlção nvers temos: w w w { } λ w bw [ qw] [ qw] [ ] [ ] δ ξ. logo ξ bw { [ qw] [ qw] } w w δ [ ] [ ]. Pel propree fnção Delt e Drc á vmos qe: Logo f δ ξ Ω f ξ. 4 δ ξ Ω ξ. 5 Assm tem-se em. qe: 67

68 w w ξ bw { [ qw] [ qw] } [ ] [ ]. 6 Como w * é solção fnmentl o problem e q* w/ */ poemos escrever. 6 como seno: b * {[ q*] [ q*] } {[ q*] [ q*] } ξ. 7 Sbeno qe solção nmensonl * pr o cso nmensonl é o por: Logo Sbsttno ests solções em. 7 temos: ξ pr ξ * ξ pr ξ. 8 ξ pr ξ q * ξ pr ξ. 9 ξ ξ b ξ ξ ξ Fzeno ξ temos: ξ ξ ξ q ξ ξ q ξ. 68

69 69 q q b. o q q b. logo q b. Fzeno ξ temos: q q b. 4 O

70 b q q. 5 logo b q. 6 Portnto b / q pr ξ q b / pr ξ Eemplo e tlzção o Métoo e Contorno Resolveno segnte eqção ferencl com λ e b - temos:. 8 Com s conções e contorno pr e pr. Prtno segnte ntegrl por prtes: w w w { } λ w bw [ qw] [ ] [ ] [ ] qw. 9 Solção: Retornno-se eqção ntegrl formlção nvers temos: w w w { } λ w bw [ qw] [ qw] [ ] [ ] δ ξ. 7

71 logo ξ bw { [ qw] [ qw] } w w δ [ ] [ ]. Pel propree fnção Delt e Drc temos qe: w w ξ bw { [ qw] [ qw] } [ ] [ ]. Resolveno eqção ferencl homogêne pr λ temos: w λ w δ ξ. temos: w δ ξ. 4 One solção fnmentl é por: se ξ w ξ se > ξ. 5 Sbsttno. 5 n eqção. temos: w w ξ bw { [ qw] [ qw] } [ ] [ ]. 6 One w {[ qw] [ qw] } ξ. 7 seno se w ξ se. 8 7

72 temos: ξ ξ ξ qξ q ξ. 9 Logo ξ ξ [ [ ξ qξ. ξ e ξ ξ ξ ξ qξ. Se ξ -/6 ½ -q, portnto: Poe-se obter ξ ξ ξ qξ. 6 q. ξ ξ ξ ξ ξ ξ Como m solção qe tene s conções e contorno. E pr o flo: q ξ ξ. 5 6 Um otr solção fnmentl qe tmbém tene às conções e contorno é por: ξ se ξ w ξ se > ξ. 6 7

73 A ql é fnção e Green. Se ervrmos epressão o potencl em relção ξ temos o flo em qlqer ponto o omíno.. Qro Resmo os Métoos Apromos A metoolog e solção e eqções ferencs por métoos promos é mostr no qro Fgr -.. Fgr -.. Estrtr os Métoos Apromos e Solção e Eqções Dferencs 7

74 . Lst e Eercícos e Problems.. Resolver eqção ferencl. 7 Com conções e contorno sno m fnção tenttv form e ponto e colocção pr /. Fç m gráfco solção e compre est com qel o eemplo. o teto e com solção et pel eqção b qele eemplo. Solção. e logo e A solção prom seno o tpo:. 8 Pr stsfzer etmente s conções e contorno evemos ter: reescreveno solção temos c erv é 74

75 O erro e promção é o por: Logo e. 44 ε Ω. 45 ε.. 46 Ω A sentenç e resíos poneros é por B ε Ω wω. 47 A Sbsttno. 46 em. 47 pr o ponto e colocção / temos. logo [ ] δ. 48 [ ] / e

76 Portnto solção prom é: Co gráfco é: 4 4 Fgr -.. Gráfco solção eqção ferencl:. Comprno com solção o eemplo. o teto e com solção et pel eqção b qele eemplo temos: Est solção é m fnção e gr enqnto solção o problem cm é m fnção e gr. Porqe s solções proms tlzs α α no cálclo são e grs e o problem cm é e grs, respectvmente. 76

77 Tbel - II.. Comprção os resltos etos e promos com o eemplo. o lvro et prom prom,,,864,978,574,,594,558,6,5,69746,748,748,7,6558,6586,6,9,9,5,574, 77

78 .. - Resolver eqção ferencl. 5 No omíno plno ;, conforme mostr Fgr -.. Fgr -.. Conções e contorno o problem. e com s conções e contorno s por:,,,,. 5 sno m fnção tenttv e form, A- e sno como ponto e colocção /, pr. Solção: A eqção ferencl é por:. 54 Seno s conções e contorno form: 78

79 ,,, -. 55, E sno m fnção form,a-. 56 No ntervlo ter: E E n. Pr qe ests conções e contorno sem stsfets, evemos,a ,A ,A Isto sgnfc qe qno tene pr zero pr m qlqer, evemos ter: e lm A. 6, A O qe tmbém sgnfc qe qno tene pr o nfnto pr m qlqer, evemos ter lm A. 6 Portnto fnção A qe stsfz s conções e contorno é o tpo: Seno m A m fnção est form temos qe: Cs ervs são: A α e. 6, e α

80 α α e e. 65 E α α α e α e. 66 O erro e promção é o por: Logo ε Ω. 67 α α ε e α e. 68 Ω A sentenç e resíos poneros é por B ε Ω wω. 69 A Sbsttno. 68 em. 69 pr o ponto e colocção / temos: α α [ e α e ] δ /. 7 O α e [ α ] δ /. 7 Logo e α [ α ] / Dvno to por e α temos: 8

81 8 α α 4 α 8 ± α. 7 Portnto solção prom é: 8 e. 7

82 ..5 - Resolver eqção ferencl. 74 ese té, com conções e contorno e, sno. 75 como fnção tenttv e o métoo colocção por sbomíno com m únco sbomíno e [ ; ]. Solção: Reescreveno eqção cm temos:.. 76 Aplcno s regrs e ervção som e o proto temos,. 77 Após plcrmos s regrs e ervção temos. 78 Reescreveno eqção. 78 o erro e promção é o por: ε Ω. 79 Efetno s ervs em em termos solção prom em. 75 temos:. 8 8

83 8.. 8 e.. 8 plcno s conções e contorno pr temos: Levno os vlores e com em Ω ε temos qe Ω ε. 84 ssm Ω ε fc segnte form Ω ε. 85 reescreveno eqção. 85 temos,. 4 ε Ω. 86 Reorenno os termos eqção. 86 temos, 4 4 Ω ε. 87 Agor, n eqção nteror sbsttno os vlores e e e temos os segnte reslto ε Ω. 88 Reescreveno eqção. 88 temos:

84 ε Ω. 89 Agor plcno Ω ε Ω w. 9 Pelo métoo colocção por sbomíno, temos qe ω. Assm. 9 fc. Ω ε Ω. 9 Sbsttno Ω ε n eqção cm fcmos com: [. 9 Efetno os cálclos ntegrl temos o segnte reslto, ] [. 9 Agor sbsttno os etremos sperores e nferores ntegrl, temos: [] ] [. 94 Agor reoreno eqção. 94 temos: Resolveno est eqção temos o segnte reslto: 4. 96

85 Encontro segnte reslto: 4 levmos este vlor n eqção. 8 pr encontrr, qe tem o Agor levno este vlor n eqção e. 75 temos o segnte reslto:

86 ..6 Resolver eqção ferencl A eqção o eslocmento vertcl e m cbo sspenso entre os pontos é p one p rzão entre crg strbí e forç nos etremos. Use formlção frc e promção homogêne solção e contorno pr clclr nclnção nos etremos pr m cbo qe se estene ese té com conções e contorno e. A fnção p é por., < 4 p, < , < 4 Solção: Se eqção ferencl, p. O erro e promção ε Ω é o por: ε Ω p. A sentenç básc os resíos poneros é por. w ε Ω Ω. Logo, sbsttno. em. obtemos o segnte reslto, p wω. Integrno por prtes m ª vez temos: 86

87 w p w Ω { p. w} [ w ]. 4 v v one v w w v v v. 5 v v Integrno por prtes novmente m ª vez temos o termo em nteror w n eqção w { w } ω p w p w w v. 6 one w w v v v v v. 7 rerrnno os termos temos: o one w w p w w. 8 w w p w [ qw]. 9 87

88 Stsfzeno conção homogêne evemos ter: q. w. Logo w. Logo w. e w. 4 Portnto, Usno. em. 9 temos: w. 5 w p w [ qw]. 6 Sbsttno. e. 5 em. 6 temos: p [ [ ] [ ] ] q. 7 Aplcno s conções e contorno temos: Logo. 7 fc: e. 8 88

89 ] [ ] [ ] q p [. 9 Então p [ [ ] ] q. o p [ ] q q. Seprno fnção p nos ntervlos: / 4 p [ q ] q / 4 / 4 p [ ] / 4 p [ ]. A prmer e tercer ntegrl são nls, pos p nestes ntervlos vle zero, conforme mostr Fgr -. 4: Fgr Intervlo e vle fnção p. Logo 89

90 9 4 / 4 / ] [ q q p. Integrno temos: 4 / 4 / q q. 4 seno q q. 5 O q q. 6 E 4 8 q q. 7 4 q q. 8 rerrnno os termos temos: 4 q q q. 9 Como e são rbtráros por comprção os coefcentes e e temos necessrmente qe: 4 q q e q. logo

91 q. 4 Portnto, Observe qe se p temos: q e q. 4 4 w. Logo nos ntervlos ¼ e /4, O se: w. 4 Fgr Intervlo e vle fnção p. ervno temos: Se w e w então: < / 4 pr. 5 / 4 < 9

92 q q pr pr. 6 Como q q / 4 então -¼. Ms nestes ntervlos evemos ter qe; e Logo / 4 como q - ¼ temos: Logo / 4 / 4 p [ ] q. 7 [ ] q/ 4 q. 8 4 q / 4 q. 9 4 q / q / Por otro lo temos: e p [ ] q / 4. 4 / 4 9

93 / 4 [ ] q q/ Logo como q -¼ temos: Logo q q/ q/ q / Portnto, q q / 4 / Conclsão Embor se possível clclr nclnção os etremos o cbo, nos pontos e, não é possível etermnr os vlores e e porqe fnção p fnção e Hevse é escontn nos pontos /4 e ¾, fcno os vlores e q /4 e q /4 netermnos. 9

94 Cpítlo III INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO RESUMO Neste cpítlo será vsto orgem o Métoo os Elementos e Contorno. Este métoo se present como m lterntv o Métoo os Elementos Fntos.. -Obetvos o cpítlo forms Entener orgem o Métoo os Elementos e Contorno Sber plcr o Métoo os Elementos e Contorno ns ss ms ferentes Resolver problems e eqções ferencs pertnentes o métoo.. - Introção Este métoo fo prncpo chmo e Métoo s Eqções Integrs. Ms pr stng-lo os otros métoos qe envolvm tmbém eqções ntegrs, ele fo fnlmente chmo e Métoo os Elementos e Contorno. O Métoo os Elementos e Contorno MEC tem so estbeleco como m métoo nmérco lterntvo o Métoo os Elementos Fntos MEF. Isto se eve s smplce e reção n mensonle o problem. Por eemplo, m problem bmensonl se rez somente lnh nmensonl e contorno o omíno necessáro ser scretzo entro os elementos e, m problem trmensonl se rez m sperfíce o omíno qe necesst ser scretzo. Isto sgnfc qe, compro à nlse 94

95 e m omíno tpo MEF, m nálse e contorno reslt em m sbstncl reção n preprção os os e, m sstem lgébrco e eqções mto menor ser resolvo nmercmente.. Precrsores o Métoo e Elementos e Contorno O Métoo os Elementos e Contorno teve como precrsores mtemátcos pr o se esenvolvmento os segntes Métoos mostros n Fgr -.. Jnto com esses métoos, o Métoo e Green, é tlzo no esenvolvmento mtemátco o Métoo os Elementos e Contorno, como m formlção básc necessár pr solção eqção ntegrl o problem snglr eqvlente n vrável, w, ql é fnção e ponerção. o se, Fnção e Green o operor ferencl o problem orgnl, é fnção e ponerção, w, conforme veremos no esenvolvmento segr: Fgr -.. Resmo Evolção os Métoos Apromos bseos nos Resíos Poneros 95

96 .. Métoo s Fnções e Green Se eqção ferencl lner não homogêne, vál pr too, n ql não são mposts conções e contorno. one é m operor lner com coefcentes constntes. [ ] f. Qno o termo f é sbsttío por δ ', fnção elt e Drc, n ql é m prâmetro, eqção. é reescrt como: [ G, '] δ '. G A fnção, ', solção eqção., chm-se Fnção e Green pr o operor e represent o efeto, em, evo m fnção elt e Drc qe t em, o ponto é chmo e cmpo e o ponto é chmo e fonte. Pr resolver. com o ílo e. os termos à esqer e à ret em. são nclmente mltplcos por f, em seg efet-se ntegrção no omíno < ' <. Assm: [ G, '] f ' ' δ ' f ' ' f. Trocno, em., orem o operor ferencl e o snl e ntegrção, obtém-se: [ G, '] f ' ' δ ' f ' ' f. 4 Comprno-se s eqções. 4 e., concl-se qe solção eqção. poe ser escrt como: Ponerção. [ G, '] f ' '. 5 No Métoo os Elementos e Contorno s Fnções e Green são s Fnções e 96

97 .. Integrção por Prtes em s mensões Se ntegrl Ω ψ φ Ω ψ φ. 6 Conforme mostr Fgr -., one φ, φ e ψ ψ, ; Fgr -.. Integrl por prtes em s mensões em relção. Integrno por prtes em relção : φ ; ψ v φ ; v ψ. 7 Logo φ [ φψ φψ ] ψ T ψ φ D E. 8 B Pr D, tem-se: 97

98 Conserno m elemento e contorno,, qno D, tem-se: cosβ n n cosβ. 9 one n é o cosseno retor norml n o contorno,, em relção o eo. ~ n n ~ ~ n ~. Assm, o prmero termo à ret em. 8 poe ser nterpreto como m ntegrl, no sento nt-horáro, o longo o contorno,. Portnto, Ω ψ φ Ω Pr E, tem-se: φ φψ n ψω. Ω tem-se: D mesm mner, conserno m elemento e contorno,, qno E, cosβ n cosγ n cosγ. 98

99 99 Fgr -.. Integrl por prtes em s mensões em relção. Anlogmente, o segno termo à ret em. 8 poe ser nterpreto como m ntegrl, no sento horáro, o longo e. Portnto, Ω Ω Ω ψ φ φψ Ω ψ φ n. As ntegrs. e. serão tlzs no esenvolvmento o Métoo os Elementos e Contorno, segr. Unno. com. obtemos prmer ente e Green. Ω Ω Ω ψ φ φ φψ Ω ψ ψ φ n n. 4 o smplesmente: φψ Ω φ ψ ψ φ Ω n. 5 Utlzno esses precrsores mtemátcos poemos prtr e gor elborr o esenvolvmento mtemátco o Métoo os Elementos e Contorno.

100 . 4 Defnção Mtemátc e Desenvolvmento o Métoo Consere Eqção e Posson em s mensões: b em Ω. 6 Com s conções e contorno: Essencs ˆ em. 7 e Ntrs q qˆ em q. 8 n one U q. 9 e n é norml o contorno, rg pr for o contorno. ~ Seno m solção prom o problem, qe não tene s conções e contorno, três tpos e resíos, o erros, são geros: em Ω b em c em q os qs evem ser poneros ε Ω b. ε ˆ. ε q q qˆ. n n A sentenç básc e resíos poneros é escrt como:

101 ˆ ˆ Ω Ω w q q w w b q. one o Lplcno é o por:. 4 As fnções e ponerção w w w e,, poem ser escolhs convenentemente, e mner smplfcr o problem. Integrno por prtes, ntegrl qe contém o Lplcno em., obtém-se: Ω Ω Ω Ω Ω Ω w w w n n w w. 5 one q n n n n. 6 Integrno novmente por prtes, ntegrl e omíno à ret em. 5, tem-se: Ω Ω Ω Ω w w n w n w w w. 7 one q n n w n w n w ˆ. 8 Sbsttno, gor,. 7 em. 5 temos: Ω Ω Ω Ω w n w qw w. 9 Sbsttno gor,. 8 em. 4 temos: Ω Ω Ω Ω q w q q w n w qw bw w ˆ ˆ.

102 Observno gor qe U q, poe-se escrever: qw qw q qw. w w w n n n. Sbsttno. e. em. temos: q Ω q wω Ω w n bwω w qw q w ˆ qw q qw w n q qw ˆ. A epressão. poe ser smplfc fzeno respectvmente s ntegrs em nlno-se s ntegrs em w w e, nlno-se q qe contém os vlores promos q, e w w, n qe contém os vlores promos. A epressão resltnte é enomn Formlção Invers e Resíos Poneros. w w wω bwω ˆ qw n n ˆ Ω Ω q q qw. 4 o, smplfcno s epressões pr s ntegrs e contorno: Ω w w Ω bwω qw n. 5 Ω Ns ntegrs e contorno em. 5, eve-se sbsttr por û em prmer ntegrl e q por qˆ, n segn ntegrl. OBS: Sbeno-se qe w w e qe eqção. 4, poe ser escrt como: n w w, sentenç básc e resíos poneros, n

103 De. 5 e. 5 poe-se escrever form frc sentenç e resíos poneros como: q n w w q q bw w w qw Ω Ω ˆ. 6 Conserno qe: q qw qw qw. 7 A epressão. 6 poe ser escrt como: Ω Ω bw n w qw qw w w q ˆ ˆ. 8 Como lgns termos se nlm temos: Ω Ω bw n w qw w w q ˆ. 9 Nós hvímos vsto qe: Ω Ω Ω Ω qw n w bw w. 4 No Métoo os Elementos e Contorno, fnção e ponerção, w é solção o problem snglr-eqvlente, sto é, el é Fnção e Green o operor ferencl..4. Solção Fnmentl-Fnção e Ponerção Pr eqção e Posson, fnção e Green pr o operor, represent por, * X ξ, é solção o problem, o se,, * X X ξ δ ξ. 4

104 Assm, *, X O ponto X é enomno ponto cmpo, e, o ponto ξ é enomno ponto fonte. ξ, enomn, solção fnmentl, poe ser nterpret como o efeto, no ponto cmpo, e m fonte concentr plc no ponto fonte. Em s mensões, X é o ponto e coorens,, e ξ é o ponto e coorens ξ, ξ ξ, ξ. A epressão pr * é: * ξ, X ln r. 4 π one r é stânc entre ξ e X. Em três mensões, X é o ponto e coorens,, z,, e ξ é o ponto e coorens ξ, ξ, ξz ξ, ξ, ξ. A epressão * é: * ξ, X. 4 4πr Conhec solção fnmentl, s erv em relção à reção norml o contorno é clcl como: o e one, em. 46 * q * ξ, X ξ, X n. 44 * r q * ξ, X ξ, X r n. 45 As epressões e *, X q ξ, em três e em s mensões, são: r q * ξ, X 4πr n D. 46 r q * ξ, X πr n D. 47 4

105 5 z n z r n r n r n r. 48 E em. 47 n r n r n r. 49 Utlzno notção o métoo os elementos e contorno, eqção. 5 poe ser reescrt fzeno, q q. 5 Como:, *, *, *, * X X q X X X X q X X b X X X X ξ ξ Ω ξ Ω ξ Ω Ω. 5 Em. 5, e X q q Como, * X X ξ δ ξ, prmer ntegrl e omíno à esqer e. 5 se rez :, * ξ Ω ξ δ Ω ξ Ω Ω X X X X X X. 5 D sbsttção e. 5 em. 5 reslt eqção ntegrl e contorno: Ω ξ Ω ξ ξ ξ ξ Ω ;, *, *, * X X b X X X X q X X q X. 5 Lembrno qe: q q q U ˆ ˆ. 54 one:

106 q ˆ q qˆ prescrto ; prescrto; q?? ncógnt ncógnt. 55 Vemos o eemplo: Fgr Eemplo e m omíno, Ω, com ro, r, e ponto fonte, ξ, e contorno U q. Embor eqção ntegrl e contorno represente solção o problem pr pontos, ξ, pertencentes o omíno, Ω, el não poe ser tlz enqnto os vlores e qx em e e X em q não forem conhecos. Pr resolver esse problem, torn-se necessáro encontrr m epressão lmte eqção, n ql o ponto ξ. Pr obtenção epressão lmte, qe torn possível solção o problem, o ponto ξ é levo té o contorno e,, ecl-se o omíno m esfer e ro ε e centro em ξ cso D o m círclo o setor crclr e ro ε e centro em ξ cso D. Em seg, clcl-se o lmte qno ε. Fgr Solção geométrc pr o problem o ponto fonte, ξ, o ql é trnsfero o nteror o omíno pr o contorno. 6

107 OBS: Se Ω ε, é o omíno eclío, em Ω - Ω ε, tem-se, *, X ξ pos ξ Ω Ω ε ε As ntegrs e contorno evem ser vls em, one ε represent o contorno qe fo eclío, e em ε, qe represent o contorno esfer o o setor círclr. A eqção, qno, é escrt como: lm * * * * * q q q q bω. 56 ε ε ε ε ε Ω Ωε As ntegrs em poem ser clcls como note qe r ε constnte, εθ. lm ε ε α * q lm ln.. ε q εθ. 57 ε π lm ε ε lm ξ ε q * lm ε α ε q *[ ξ ] ξ α ξ. εθ πε π ε q *. 58 O termo α/π é esgno por Cξ; Assm se ξ Ω é ponto eterno Ω C ξ se ξ é contorno sve. 59 se ξ Ω ponto e omíno ponto nterno ε As ntegrs em evem ser vlos no sento e Vlor Prncpl e Cch. A ntegrl em Ω - Ω ε não reqer nenhm trblho especl. escrt como: A eqção ntegrl básc o métoo os elementos e contorno, ξ é 7

108 C ξ ξ * ξ, X q X X q * ξ, X X X ' Ω * ξ, X b X Ω X. 6 Est é Eqção e Lplce n formlção ntegrl, ql eqção poe ser conser m cso prtclr Vlor Prncpl e Cch Defnção: Integrs e fnções qe se tornm nfnts em m ponto o ntervlo e ntegrção; são ntegrs mpróprs: D ntegrl mprópr: b I f. 6 qe present m ssntot vertcl m escontne nfnt em c, < b < c, então I poe ser clcl como: I lm cε ε f lm b δ c δ f. 6 otro lo: Se os lmtes estem ntegrl converge, o é chm convergente. Se por lm ε lm cε b δ c δ f ± f ±. 6 Então ntegrl verge, o é chm não-convergente vergente. Fzeno-se δ ε ntegrl mprópr não convergente vergente poe estr no sento e Vlor Prncpl e Cch, possno m vlor fnto. VP : b cε b f lm f ε c ε f. 64 Embor 8

109 9 ± ε ε c f lm. 65 e/o ± b c f ε ε lm. 66 Por eemplo, se f / α. 67 Então é m ssmptot vertcl crv é ntegrl: I α. 68 eve ser vl como: ] [ lm lm lm lm lm lm α δ α α ε δ α δ ε α ε δ α δ ε α ε δ α ε α α α I. 69 Se < α, então > α k e ntegrl mprópr converge, pos: lm lm k k e δ ε δ ε. 7 Se ; f α lm lm lm lm δ δ ε ε ε δ ε ε e ntegrl é vergente. 7

110 Clclno o Vlor Prncpl e Cch ] lm[ : α α α ε α ε ε α VP. 7 Qno α ] lm[ ε ε ε. 7 ] lm[ ε ε ε. 74 o ] [ ] lm[ ε ε ε Solção Nmérc Eqção e Lplce Pr solção nmérc eqção ntegrl. 6 ssoc eqção e Lplce, eqção é reescrt pr m número fnto e pontos ξ seleconos. Esss eqções prtclrzs são obts tlzno o Métoo Colocção no ql eqção. 6, com b é poner o longo o contorno ξ. Utlz-se, portnto, como fnção e ponerção o Delt e Drc ξ ξ δ one ξ correspone à posção selecon. Poe-se escrever mtno b : ', * ', * ' ' ' ' ξ ξ ξ δ ξ ξ ξ ξ δ ξ ξ ξ ξ δ ξ ξ X T X q X X T X q X C.. 76

111 Inverteno orem ntegrção: ', * ', * ' ' ' ' ξ ξ ξ δ ξ ξ ξ ξ δ ξ ξ ξ ξ δ ξ ξ X X X q X X q X C.. 77 Aplcno propree fnção Delt e Drc, eqção. 77 é escrt como: ξ ξ ξ ξ, *, * X X X q X X q X C. 78 O omíno Ω eve fcr sempre esqer o sento o percrso o contorno, e tl form qe o vetor norml à sperfíce e contorno se rgo pr for o contorno, conforme mostr Fgr -. 6 Fgr Aplcção propree fnção elt e Drc sobre o ponto fonte ξ, sobre o contorno.

112 . 5 Dscretzção o Contorno Pr obtenção e m sstem e eqções lgébrcs prtr e. 78, c solção forneç os vlores e qx em e e X em q, o contorno é promo o scretzo por elementos e geometr conhec, enomn elementos e contorno. Os tpos ms comns são os lneres e os qrátcos. N promção lner os elementos são segmentos e ret, efnos por os nós geométrcos. N scretzção o promção qrátc os elementos são prbólcos e, são necessáros efnr três nós geométrcos. Fgr Dscretzção lner o contorno e m omíno, Ω. Poe-se tlzr, pr representr vrção e X e e qx, fnções e form o e nterpolção em c elemento, qe poe ser constnte lner o qrátc, epeneno o número e nós fncons. Os nós fncons são os nós one os vlores e X e e qx são conhecos o prescrtos. Assm, no cso e elemento constnte, há somente m nó fnconl, sto no meo o elemento. No cso o elemento constnte o lner, stção ms comm ocorre qno os os nós fncons concem com os nós geométrcos. Qno scretzção for lner, no cso o elemento qrátco, os nós fncons tmbém concem com os nós geométrcos scretzção qrátc. Por eemplo:

113 Fgr Tpos e elementos e contorno, lner o prbólco e tpos e nós, geométrcos e fncons, one os nós fncons poem o não concr com os nós geométrcos. Fgr Esqemtzção e nós pr o problem e m brr engst Elemento Constnte Dscretzção Lner -.. Pr m elemento constnte e m scretzção lner temos o eemplo Fgr

114 4 Fgr -.. F I F I I F I F X. 79 e F I F I I F I F q q X q Elemento Lner Dscretzção Lner Pr m elemento lner e m scretzção lner temos o eemplo Fgr -.. Fgr -..

115 5 Fgr -.. Dscrretzção o contorno,. Se o contorno é scretzo promo em n elementos constntes, versão scretz eqção. 78, pr m ponto fonte, ξ,,,,...n sto no meo e c elemento é escrt como: n n q q C * *. 8 one X X q q q q X C C ξ ξ ξ ξ, * *, * *. 8 Como e q são constntes poe-se escrever: q q * *. 8 E q q * *. 84 Por eemplo, pr 8 elementos temos: : q g q g q g h h h C q g q g q g h h h C. 85 Como o contorno é sve em c elemento, temos:

116 C ξ C ;,,..., n. 86 Fgr -.. Cálclo o coefcente Cξ pr m ânglo α qlqer. one α C ξ p / α π C. 87 π Sbsttno. 8, em. 8 temos: n q * n * q. 88 Fzeno hˆ q * e g *. 89 A eqção. 88 é escrt como: n hˆ n g q. 9 tpo: Agrpno s n eqções. 9 escrt pr ξ,ξ,...ξ n, obtém-se m sstem o H G q ~ ~ ~ ~. 9 No ql os elementos mtrz H são efnos como: ~ 6

117 hˆ se elemento não sn glr h. 9 h ˆ se elemento sn glr De form gerl temos: h h : h h h n n n h : n h h h n h n h n n : nn h h h nn h nn h n n : nn h h h nn h nn h n n : nn h h h nn h nn : ˆ n n n g g : g g g n n n g g g g : n n g n g g g g n n : nn nn g nn g g g g n n : nn nn g nn g g g g n n : nn nn g nn qˆ qˆ : q qˆ qˆ n n n. 9 H G q ~ ~ ~ Um eemplo pr 6 elementos mtrz se rez : h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h ˆ ˆ g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g qˆ qˆ q q4 qˆ 5 qˆ H G q ~ ~ ~ Após mposção s conções e contorno, obtém-se m sstem o tpo: A ~ ~ f ~. 95 é obto, no ql mtrz A é consttí pels colns e ~ ncógnts e e q, gor rmzenos nos vetores contrbções e contorno, trocos, conforme mostr o esqem bo:, e ~ H e ~ G ssocos os vlores ~ f é o vetor qe contém s ~ A, ntercâmbno os vlores conhecos mtrz, com os sns ~ 7

118 h h h h h h h h h h h h g g g g g g g g g g g g h h h h h h h h h h h h g g q g q4 g 5 g 6 g g g g g g g h h h h h h h h h h h h g g g g g g g g g g g g qˆ qˆ ˆ ˆ4 qˆ 5 qˆ A ~ ~ f ~ Os vlores e q conhecos o prescrtos clclos o não prescrtos q q. Os vlores e conhecos o prescrtos clclos o não prescrtos. q qˆ pelos vlores e q ser ˆ pelos vlores e ser 8

119 9. 6 Eemplos e Aplcções w q q w w b λ. 97

120 . 7 Eercícos e Problems

121 Cpítlo IV PROBLEMAS DE POTENCIAL RESUMO Neste cpítlo será vsto solção o problem o potencl, eqção e Posson e Lplce, por meo o Métoo os Elementos e Contorno Obetvos o cpítlo Entener teor mtemátc fnmentl obtenção s eqções ntegrs Sber plcr o Métoo os Elementos e Contorno em problems e potencl ns ss ms ferentes forms Resolver problems e eqções ferencs pertnentes o métoo. 4. Introção O problem o potencl consste em como se obter eqção ntegrl pr o problem?. Estem três forms báscs pr se chegr ess eqção ntegrl, sber: - pelo Métoo os Resíos Poneros - pelo Prncípo os Trblhos Vrts - pelo Teorem Recproce e Bett - pel Tercer Iente e Green A vntgem e sr o Métoo os Resíos Poneros é s generle, qe permte etensão o métoo pr resolver eqções ferencs prcs ms comples. Este métoo tmbém poe ser so pr relconr elementos e contorno otrs técncs nmércs e poe ser fclmente enten pelos engenheros.

122 4. A Eqção e Posson No cpítlo nteror vmos o esenvolvmento versão nmensonl eqção e Posson, gor veremos versão bmensonl est eqção. 4.. O problem bmensonl Um mportnte eqção n engenhr é tão chm eqção e Posson qe pr s mensões poe ser escrt como: b em Ω 4. o one b em Ω 4., é chmo o operor e Lplce e e são s s coorens e b é m fnção conhec e e. Ω é o omíno no ql eqção se plc e é sposto ser contorn pel crv. O vetor norml rgo pr for o contorno é efno como nˆ, conforme mostr Fgr Fgr Domíno sob conserção pr s efnções báscs eqção e Posson. A eqção e Posson o s form homogêne sto é b ql é chm e eqção e Lplce, govern mtos tpos e problems em engenhr, ts como: nálses e seepge e qfer, conção e clor, processo e fsão, torção, movmento e flos e otros. Conseqentemente est é m eqção mto mportnte n nálse e engenhr.

123 4.. A ª Iente e Green Agor nós tmbém poemos ntrozr q é e mltplcr eqção 4. o 4. por m fnção rbtrár w, contín em orem cm erv segn, e coro com sentenç e resíos poneros, forneceno: Ω Ω w b 4. ª Integrção por Prtes Integrno por prtes os termos, em e, temos: Ω Ω Ω Ω w w w w v v v 4. 4 one w e w w e Ω v logo v. Como n e n temos: Ω Ω Ω Ω w w n n w w 4. 5 chmno e: n n n ˆ ˆ ˆ 4. 6 e r ˆ ˆ 4. 7 logo. ˆ n n r n 4. 8 o

124 n. r ˆ.ˆ ˆ. ˆ ˆ 4. 9 Portnto, os vetores nˆ e r Logo são perpenclres nˆ r entre s, pos n ˆ. r n ˆ ˆ ˆ 4. n 4. Portnto, eqção 4. 5 fc: Ω wω Ω w n w w Ω 4. seno n.ˆ n 4. e n ˆ ˆ 4. 4 com w w w ˆ ˆ 4. 5 temos: Ω w Ω w. n ˆ Ω wω 4. 6 Logo sbsttno 4. 6 em 4. temos: Ω b Ω w bw Ω w.ˆ n o w Ω 4. 7 o 4

125 5 Ω Ω Ω Ω n n w bw w w b w 4. 8 Neste cso ntegrção por prtes os os termos proz s ervs e com respeto norml, sto é, n / o ql será chmo posterormente e q, sto é, n q /. ª Integrção por Prtes Integrno por prtes novmente os termos, em e, one w w e Ω w w e v logo v. v v bw w w v Ω Ω 4. 9 obtemos: Ω Ω Ω Ω w w w w w w 4. Como n e n temos: Ω Ω Ω Ω w w n w n w w w 4. Como w w n w 4. logo

126 6 Ω Ω Ω Ω w n w w 4. logo / / Ω Ω n w n w n n w bw w w n w n 4. 4 o Ω Ω n w n w bw w 4. 5 A epressão 4. 5 é gl 4. e portnto poe-se escrever: Ω Ω Ω Ω n w n w w w 4. 6 one o termo em b tem so elmno porqe este prece os os los eqção. A eqção 4. 6 poe tmbém ser epress n form conhec como teorem e Green, sto é: Ω Ω n w w w w ˆ Embor este teorem em mtos csos forneç o ponto e prt pr mts plcções em engenhr, nclno formlção os elementos e contorno, este teorem é mto ms esclreceor no so o conceto e strbção, conforme se lstr os grs e contne reqer s fnções e mportânc o correto trtmento s conções e contorno.

127 Levno o problem pr o contorno Neste momento vmos gor conserr qe o contorno o omíno Ω sob esto é vo em s prtes, e tl qe: em 4. 8 q n q em 4. 9 Portnto, eqção 4. 5 poe gor ser escrt como: Ω Ω n w n w qw qw bw w 4. ª Integrção por Prtes Ms m vez poemos ntegrr por prtes, pr recperr o Lplcno orgnl e form ver como mportânc s conções e contorno fet eqção. Integrno por prtes novmente nós temos: Ω Ω n w n w qw qw n w bw w w 4. Poe-se vr prmer ntegrl em em os termos m em e o otro em, o segno termo o ql poe ser cncelo com últm ntegrl em 4.. Este fornece Ω Ω n w qw qw n w bw w w 4.

128 8 4ª Integrção por Prtes Integrno por prtes novmente segnte epressão é obt: Ω Ω n w qw qw n w w q b w 4. o { }.ˆ.ˆ Ω Ω w n qw qw w n wq bw w 4. 4 A prmer ntegrl em poe novmente ser escrt como m som e s ntegrs, m em e otr em. A prmer em poe ser cncel com ntegrl em e qw n segn eqção. Isto fornece Ω Ω n w qw n w qw b w 4. 5 Est fórml poe ser escrt como: Ω Ω n w w q q b w 4. 6 Ms m vez est epressão mostr qe está se tentno stsfzer eqção ferencl no omíno, Ω, e nto com ms os tpos e conções e contorno, s conções essencs em, ms s conções ntrs q q em. Isto é mto ms o qe tem so mostro n eqção,. com únc eceção e qe o snl o últmo termo é ferente em mbs s epressões. Isto porqe n eqção. s ervs form toms com relção o nvés e ser com relção norml, nˆ, como els são gor.

129 4. 4 A Formlção Frc o Métoo os Resíos Poneros O estbelecmento s ntegrs fnments o Métoo os Elementos e Contorno e o Métoo os Elementos Fntos poe ser nterpret como m combnção e m Sentenç e Resíos Poneros e e m processo e ntegrção por prtes, qe rez o enfrqece orem contne reqer pr fnção Resolveno o problem no contorno Se retornrmos eqção e Posson em 4. com b, por qestões e smplce, sto é: em Ω 4. 7 eqção e Lplce em 4. 6 poe ser escrt como: Ω w Ω q q w w 4. 8 n o em termos s fnções ress, Ω wrω R w w R n q 4. 9 Conforme mostr Fgr Fgr Domíno Ω e o contorno, e m problem e Lplcno e m potencl,. 9

130 Vemos m cso prtclr o especl est eqção em co cso fnção e promção stsfz etmente s conções e contorno essencs em o qe reslt em R. Neste cso eqção 4. 9 torn-se: em R 4. 4 logo Ω Ω w R R w 4. 4 o Ω Ω w q q w ª Integrção por Prtes Formlção Frc Um form ms sl est epressão poe ser obt pel ntegrção por prtes ms m vez ql fornece. Ω Ω w q q w n w n w w 4. 4 one qw w n flo logo Ω Ω n w qw qw w w one s s s v v v Ω Ω qw qw w w 4. 45

131 D eqção se mpsermos qe s fnções w stsfzem versão lgrngen s conções e contorno essencs em, então w em one o potencl é conheco. Logo, q w Portnto, não vemos ms porqe nos preocprmos com o flo em. Isto reslt qe: w w Ω Ω qw Est eqção trz o Métoo os Elementos e Fntos MEF e m form sscnt qe correspone Formlção Vrconl Frc. Deve-se observr qe eqção poer tmbém ser obt pel ntegrção por prtes sobre o omíno Sentenç e Resíos Poneros pr ntrozno s conções e contorno, sto é, ncno com: Ω w Ω e então Poe-se ntegrr por prtes ms m vez pr prozr segnte epressão: Ω w w Ω w n Introzno-se então s corresponentes conções e contorno em reslt n eqção O últmo termo n eqção é gerlmente forço ser entcmente gl zero pelo reqermento e qe s fnções w tem e stsfzer versão lgrngen s conções e contorno essencs, o s conções sobre, sto é, w em. Isto á m relção bem conhec no Métoo os Elementos Fntos, sto é: w w Ω Ω qw 4. 5 A eqção é gerlmente nterpret em termos o trblho vrtl o potênc vrtl, pel ssocção e w com m fnção vrtl. Note qe ntegrl no lo esqero é m me o trblho vrtl nterno e o lo reto o trblho vrtl relzo

132 por forçs eterns q. A eqção é o ponto e prt mor os esqems e elementos fntos pr problems Lplcnos e é gerlmente chm e m formlção vrconl frc Motvos frqez A frqez poe ser nterpret como evo s rzões: A orem contne fnção fo rez e como ss ervs gor são e m orem ms b o nferores sto é, prmer o nvés e segn A stsfção s conções e contorno ntrs q q é fet e m form prom o nvés mner et, qe rez precsão os resltos esses vlores no contorno est vrável. Note qe R é gerlmente ferente e zero. A formlção o Métoo os Elementos e Contorno poe ser nterpret pel ntroção e m psso forml ms no processo e ntegrção por prtes ns ervs e, e conseqentemente enfrqeceno os reqstos e contne pr. Se prtrmos novmente eqção 4. 8 e ntegrrmos por prtes como ntes, epressão ms complet é obt como sege: Ω w w Ω qw qw w n 4. 5

133 4. 5 A Formlção Invers o Métoo os Resíos Poneros Vemos gor formlção nvers o Métoo os Resíos Poneros plco eqção e Lplce. 6ª Integrção por Prtes Integrno-se novmente e form elmnr tos s ervs em no lo esqero ntegrl, ch-se Ω w w w Ω qw qw n n 4. 5 Est é sentenç e prt pr formlção o Métoo os Elementos e Contorno Eqção e Lplce. A mesm eqção poe ser obt prtno-se Integrl os Resíos Poneros sobre o omíno Ω eqção 4. 48, ntegrno-se por prtes s vezes e então ntrozno s conções e contorno. O processo á tem so mostro prtr e m otr eqção e cmpo n fórml e então 4. 8 e 4., únc ferenç gor est seno qe b é zero.

134 4. 6 Eqções Integrs Báscs Pr se resolver problems e potencs, srge segnte pergnt: Como obter eqção ntegrl pr o problem o potencl? Como respost temos três forms báscs ferentes: - Por meo o Métoo os Resíos Poneros - Pelo Tercer Iente e Green - Pelo Teorem Recproce e Bett. - Pelo Prncpo os Trblhos Vrts. Consere qe nós estmos procrno chr solção eqção e Lplce em m omíno Ω b o trmensonl Fgr Fgr Defnções geométrcs eqção e Lplce. Se eqção e Lplce em D o D, por: sob s segntes conções sobre o contorno. Conções Essencs o tpo. Conções Ntrs ts como: em Ω 4. 5 em q / n q em one n é o vetor norml o contorno, e s brrs ncm qe qeles vlores são conhecos conforme mostr Fgr Conções e contorno ms comples ts como combnção s s conções cm, sto é: 4

135 Conções Msts ts como q q: α βq γ em one α e β e γ são prâmetros conhecos, qe poem ser fclmente nclíos ms ele não serão conseros gor por qestão e smplce. Em prncípo o erro ntrozo n eqção cm se os etos vlores e e q esconhecos são sbsttíos por m solção prom qe poe ser mnmz pel ortogonlzção els com relção m fnção e ponerção *, com ervs sobre o contorno e q * / n *. Em otrs plvrs se R são os resíos, poe-se escrever e form gerl qe: R R R q q one e q são vlores promos. O fto qe m o ms os resíos poe ser entcmente zero não mn generle o rgmento. A ponerção poe gor ser relz como mostro no Cpítlo II, sto é, w trvés o Métoo os Resíos Poneros, one w * e / n q *, temos: Ω R * Ω R * Rq * 4. 6 o Ω * Ω q q * q * 4. 6 Integrno por prtes o lo esqero est eqção obtemos: Ω k * Ω k q * q * q * q * 4. 6 one k,, e tão chm notção e somtór e Ensten pr ínces repetos, têm so s. Integrno por prtes novmente o termo o lo esqero obtém-se: 5

136 * Ω Ω q * q * q * q * 4. 6 Est é m mportnte eqção, ssm el é o ponto e prt pr plcção o Métoo os Elementos e Contorno. Note qe eqção 4. 6 é mesm qe o Teorem e Green eqção 4. 7 epos sbsttção eqção 4. 5 e m vez qe s conções e contorno são plcs. Nosso obetvo gor é trnsformr eqção 4. 5 em m eqção ntegrl e contorno. Ms como?. Isto é feto sno-se m tpo especl e fnção e ponerção * chm e solção fnmentl Solção Fnmentl A solção fnmentl * qe stsfz eqção e Lplce,, e represent o cmpo e solção gero por m fonte o prtr e m crg ntár concentr gno em m etermno ponto ï em m omíno nfnto. O efeto est crg é propgo ese té o nfnto sem qlqer conserção e conções e contorno. Porqe est solção poe ser escrto. * δ one δ δx-x represent fnção Delt e Drc ql tene nfnto em qlqer ponto X X e é gl zero em qlqer otro lgr. A ntegrl e δ conto é gl m. O so fnção elt e Drc é m form elegnte e representr crgs concentrs ntárs como forçs qno estmos trtno com eqções ferencs. A solção prtclr * é solção eqção prtclr. * δ ξ, X pr X ξ. o em coorens crtesns * ξ ξ * * δ ξ, X δ, Trnsformno em coorens polres * * * r δ ξ, r r r r θ A solção fnmentl é esfercmente o crclrmente smétrc 6

137 ξ ξ, ξ X, e r X ξ o ξ ξ r 4. 7 conforme mostr Fgr Fgr Espço vetorl s solções fnments crclrmente smétrcs. Logo pr r > δξ,, temos: * r r r r Defno pel smetr crclr, temos: r θ 4. 7 * * constnte θ θ 4. 7 logo 7

138 * r δ ξ, r r r 4. 7 one * r r r r A eqção poe ser resolv com ntegrção nmensonl conserno o omíno sotrópco. r * r r r r o * r r A logo * r r A r r Portnto, solção eqção homogêne é: r B * Aln Observemos qe é snglr em r. Resolveno pr chrmos A e B evemos clclr, ntegrl plcno propree fnção Delt e Drc: Ω * Ω δ, ξ Ω Ω Aplcno o teorem e Green-Gss teorem vergênc trnsformmos ntegrl e omíno em m ntegrl e contorno. logo 8 Ω w wω 4. 8 n

139 Ω * * Ω 4. 8 n Vmos efnr m omíno Ω por m círclo e ro r o reor e ξ centro, conforme mostr Fgr Fgr Crclo e ro r centro em ξ no omíno nfnto Ω. A prtr e temos: * r A r 4. 8 Como r e nˆ possem mesm reção poemos escrever: * * * A * Ω rθ rθ n r r 4. 8 r Ω π π Aθ π Aπ πa Logo Portnto, solção fnmentl será: A π 9

140 * ln π r B cte one B é m constnte rbtrár e ot-se B, logo, pr m meo sotrópco bmensonl solção fnmentl eqção é: * ln π r * é noss fnção e ponerção. E o flo q* é o por: * * r q* n r n πr A eqção present se plc m fonte ntár concentr em ξ. Deve-se lembrr qe * e q* são s resposts m stânc r e m fonte e crg ntár concentr em ξ em m espço nfnto com contorno nfnto. Pr o cso e m omíno sotrópco trmensonl, solção fnmentl é: * πr Qe é snglr em r, one r é stnc ese o ponto X e plcção fnção elt qlqer ponto sob conserção. E o flo q* em três mensões é o por: * * r q* 4. 9 n r n 4πr 4.6. Análse s solções fnments b e trmensonl È fácl checr qe solção e stsfz s eqções e Lplce tr- e bmensonl. Consere por eemplo eqção trmensonl em termos e coorens polres pós se esprezr os termos qe são nlos evo smetr solção, sto é: * * * δ 4. 9 r r r Smplesmente sbsttno solção e nós poemos checr qe eqção é stsfet pr qlqer vlor e r ferente e zero. Pr o cso one r nós precsmos relzr ntegrção o reor e m esfer e ro ε e então fzer ε tener zero. Consere 4

141 qe esfer tem m omíno Ω, e ntegrmos por prtes pr epressr o Lplcno em termos os flos e contorno / n *, sto é: Ω * * * Ω 4. 9 r r Note qe n r sobre sperfíce esfer. tener zero temos: Sbsttno gor solção fnmentl em 4. 9 e fzeno r o ε lm ε * lm r ε 4πε 4πε lm ε 4πε 4. 9 Note qe sperfíce esfer é ε 4πε. Smlrmente pr o cso bmensonl poe-se efnr m peqeno círclo e ro ε e então tomr o lmte qno ε, sto é: lm ε * lm r ε πε lm ε πε πε Aq o perímetro o peqeno círclo é πε Aplcção Solção Fnmentl Eqção Integrl Voltno-se eqção ntegrl 4. 6 observ-se qe no lo esqero hv m termo o tpo: Ω * Ω δ ξ, X Ω ξ Ω A ntegrl fnção elt e Drc mltplc por qlqer otr fnção é gl o vlor últm no ponto X. Portnto, eqção ntegrl 4. 6 poe gor ser escrt como: 4

142 ξ X q * X q * q X * q X * one e q são vlores conhecos. Necesst-se lembrr qe eqção plc-se m crg concentr em e conseqentemente os vlores e * e q* são qeles corresponentes qel posção prtclr crg. Pr c otr posção X chremos m nov eqção ntegrl Eqção Integrl e Contorno Nós temos gor ezo eqção ql é vál pr qlqer ponto entro o omíno Ω. Em elementos e contorno é gerlmente preferível por rzões comptcons plcr eqção no contorno e portnto nós precsmos chr o qe contece qno o ponto X está sobre. Um smples form e fzer sto é conserr qe o ponto está sobre o contorno, ms o omíno ele mesmo é mento por m hemsfer e ro ε em D conforme mostro n Fgr pr D o mesmo se plc ms nós conserremos m semcírclo o nvés e m sem-esfer. Fgr Pontos e contorno pr o cso b- e trmensonl, mento por m peqen hemsfer o semcírclo. O ponto X é consero ser no centro e então o ro ε é tomo zero. O ponto então tornrá m ponto e contorno e epressão resltnte especlzção e pr m ponto sobre 4

143 . No presente nós somente conserremos sperfíces sves como represento n Fgr e sctremos o cso os cntos em otrs secções. É mportnte neste estágo ferencr entre os tpos e ntegrs e contorno em conforme solção fnmentl e s erv comportm-se ferentemente. Consere por qestão e smplce eqção ntes e qsqer conções e contorno terem so plcs, sto é: q * q * one e stsfzeno s conções e contorno será e pr epos. Integrs o tpo mostro no lo reto e são fáces e trtr porqe els presentm m b orem e snglre, sto é, pr os csos trmensons ntegrl o reor e fornece: lm ε q * lm ε πε lmq ε 4πε q 4πε Em otrs plvrs n ocorre no lo reto ntegrl qno o são levs pr o contorno. O lo esqero ntegrl, conto comport-se e m form ferente. Aq nós temos o reor e ε o segnte reslto. lm ε q * lm ε πε lm ε 4πε 4πε Eles prozem o qe é chmo e termo lvre. É fácl checr qe o mesmo ocorrerá pr os problems bmensons em co cso o lo reto ntegrl o reor e ε é tmbém entcmente gl zero e o lo esqero ntegrl torn-se 4

144 lm q * lm ε ε πε lm ε πε πε 4. Dese eqção poe-se escrever segnte epressão pr os problems b- e trmensons q * q * 4. one s ntegrs estão no senso o Vlor Prncpl e Cch. Este é eqção ntegrl e contorno gerlmente s como m ponto e prt pr os elementos e contorno Métoo e Dscretzção o Contorno Vmos gor conserr como epressão 4. poe ser scretz pr chr o sstem e eqções o ql os vlores e contorno poem ser chos. Sponh por qestões e smplce qe o corpo é bmensonl e se contorno é vo em N segmentos o elementos conforme mostro n Fgr Os pontos one os vlores esconhecos são conseros são chmos nós e são tomos ser no meo o elemento pr o tão chmo elemento-constnte Fgr Estes serão elementos conseros nest secção, ms epos nós sremos e tmbém sctremos o cso e elementos lneres, sto é, qeles elementos pr os qs os nós são nós etremos o ponts Fgr b e elementos crvos ts como os qrátcos mostros n Fgr c e pr o ql m nó ms no meo o elemento é necessáro. Fgr Dferentes tpos e elementos e contorno. 44

145 Observe qe geometr os elementos e contorno poe o não ser comptível com geometr o contorno. No cso Fgr têm-se m contorno crvo promo por elementos lneres constntes, o segmentos e ret. Pr fcltr o entenmento vmos vslzr scretzção com elemento constnte e geometr lner o ret. Portnto, pr os elementos constntes conseros q o contorno é sposto ser vo em N elementos,,,,...n, temos: N 4. Os vlores e e q são spostos ser constntes sobre c elemento e gl o vlor no meo o nó. A eqção 4. poe ser scretz pr m o ponto ï ntes e plcr qsqer conções e contorno, logo eqção e contorno poe ser escrt como sege, N N ξ X q * q X * 4. O ponto é m os nós o contorno. Note qe pr este tpo e elemento sto é constnte o contorno é sempre sve conforme o nó está no centro o elemento, portnto o mltplcor e c é ½. é o contorno o elemento. ξ é o ponto em qe será plco c m os nós fncons os elementos. Os vlores e e q poem ser levos pr for s ntegrs porqe eles são constntes sobre c elemento. Eles serão chmos e e q pr o elemento. Portnto, * * N N ξ q potencl no potencl no ponto ponto e colocção ξ em c posção e ξ no teto q flo no elemento 4. 4 one são s fnções e form ots qe poem o não representr perftmente o contorno. Note qe pr montr m eqção qe relcon X s e qx s estem os tpos e ntegrs serem efets sobre os elementos, sto é, qels os segntes tpos q * e *

146 Ests ntegrs relconm o nó one solção fnmentl está tno com o otro nó. Por cs e qe ses vlores resltntes são lgms vezes chmos e coefcentes e nflênc. Nós chmremos eles Ĥ e G, sto é: Hˆ q * G * 4. 6 : posção fonte ntár no contorno. ínce ssoco o nó o elemento qe está seno ntegro. Note qe nós estmos ssmno qe solção fnmentl é plc m nó prtclr, qe tmbém vr e N, embor sto não está eplctmente nco n notção em *, q* pr evtr prolferção e ínces. Portnto, plcno m fonte o crg ntár em, clcl-se H e G. Logo pr m ponto prtclr poe-se escrever: N Hˆ N G q Montgem s mtrzes H e G Se nós spsermos qe posção e poe tmbém vrr e té N, sto é, fonte ntár é plc em c m os nós fncons o contorno m ponto e colocção por vez, nós observmos qe solção fnmentl seno plc c m os nós scessvmente obtém-se m sstem e N eqções resltnte plcção e 4. 7 c m os pontos em volt o contorno. N N N Hˆ N N G q 4. 8 O vlor o ínce percorrerá too o contorno, prtr e m ínce fo. Ms em m etermno momento será gl e neste ponto teremos: N N N h Hˆ N N G q 4. 9 Observe qe pr este ínce percorre too o contorno em N elementos. Portnto, poemos escrever: Chmno e: 46 N N Hˆ G q 4.

147 H Hˆ pr 4. E pr os elementos ferentes o ínce fo, teremos: H ˆ H 4. Portnto eqção 4. 7 poe gor ser escrt como: N N H G q 4. one H H ˆ H ˆ qno qno 4. 4 Est sére e eqções poe ser epress n form mtrcl como: HU GQ 4. 5 one H e G são s mtrzes N N e U e Q são vetores e comprmento N. Note qe N vlores e e N Vlores e q são conhecos em e respectvmente, então estem somente N vlores esconhecos no sstem e eqções Pr ntrozr ests conções e contorno em 4. 5 temos e rerrnr o sstem moveno s colns e H e G e m lo o otro. Um vez qe toos os vlores esconhecos são pssos pr o lo esqero nós poemos escrever: AX F 4. 6 one X é m vetor e vlores nos os potencs e os flos q esconhecos no contorno. F é cho pel mltplcção coln corresponente mtrz resltnte o rerrno s colns e H e G pelo vlores conhecos o prescrtos e s o q s resltnte o rerrno s lnhs e U e Q. É nteressnte pontr qe os vlores esconhecos são gor m mstr o potencl e e ss ervs, o nvés o potencl somente como em elementos fntos. Isto é m conseqênc o Métoo os Elementos e Contorno e ser m formlção mst e á m mportnte vntgem sobre o Métoo os Elementos Fntos. A eqção 4. 6 poe gor ser resolv e toos os vlores e contorno são então conhecos. Um vez qe sto é feto, é possível clclr qlqer vlor nterno e or 47

148 48 e ss ervs. Os vlores e s são clclos em qlqer ponto nterno sno fórml ql poe ser escrt como: H G q q * * 4. 7 Note qe gor solção fnmentl é conser ser tnte sobre m ponto nterno e qe toos os vlores e e q á são conhecos. O processo é então e ntegrção em gerl nmercmente. A mesm scretzção é s pr s ntegrs e contorno, sto é, N N H q G ˆ 4. 8 Os vlores e e q gor são os vlores conhecos no contorno qe form clclos nterormente. Os coefcentes G e H form clclos novmente pr c ferente ponto nterno. Os vlores os flos nternos nos s reções e, / q e / q, são clclos efetno-se s ervs em 4. 7, sto é: q q q q q q * * * * 4. 9 Note qe s ervs são efets somente sobre solções fnments * e q* conforme nós estmos clclno s vrções e flo o reor o ponto. O cálclo s ntegrs pr os pontos nternos em 4. 8 e 4. 9 são gerlmente efets nmercmente. one N U : e q N q q Q : 4. e

149 H H H : H N H H H : N.... :.. H H H N N : NN e G G G : GN G G G : N.... :.. G G G N N : NN 4. gonl Agor vmos clclr os elementos mtrz H e G n gonl e for 4. 8 Elementos e Dscretzção e m Contorno em D A scretzção e m contorno, é fet vno-se este em N elementos geométrcos e promção, enomnos elementos e contorno, qe percorrem too ele, procrno reproz-lo mtemtcmente e form prom. Defne-se elemento e contorno, o ente geométrco ntáro qe poss form e fnconle efn por meo e ses nós geométrcos e fncons. conforme mostr Fgr Fgr Elementos e Contorno, lner o crvo prbólco o cúbco efno por meo os nós geométrcos. 49

150 Os nós geométrcos são formos pelo connto e pontos e loclzção o elemento, qe efne form geométrc o elemento. Estes são representos grfcmente por m, conforme mostr Fgr Os elementos e contorno poem possr bscmente s forms geométrcs, lner e crv. Os elementos crvos poem ser e geometr prbólc, cúbc, etc. Os tpos e elementos qe poem estr qnto s form geométrc são mostros n Fgr Os nós fncons são formos pelo connto e pontos pertencentes o elemento e contorno qe possem vlores efnos os potencs s, o os flos q s, no contorno loclzos nesses nós. Eles são representos geometrcmente por m, conforme mostr Fgr Estes nós poem o não concr com os nós geométrcos. Fgr Elementos e Contorno, lner o crvo prbólco o cúbco efno por meo os nós fncons. C elemento poss certo número e nós geométrcos e fncons qe epenem s fnções e promção escolhs o tlz pr representr geometr e 5

151 fnconle o elemento. O cso soprmétrco é efno qno os nós geométrcos concem com os nós fncons. As fnções e form são fnções e promção pr geometr o contorno. As fnções e nterpolção são fnções qe promm o potencl e o flo q, respectvmente. Observe qe os vlores s ncógnts e potencl e flo estão loclzos nos nós fncons. Qnto à fnconle os elementos e contorno poem ser: 4.8. Elementos e fnção constnte o Elementos Constntes Nos elementos constntes s fnções e q possem vlores constntes. Pr se scretzr m contorno em elementos constntes tlz-se s fnções e nterpolção o tpo: η φ η 4. e η φb η 4. As coorens e os pontos sobre o elemento são s por: e E O φ η φ η 4. 4 b b φ η φ η 4. 5 b b Sbsttno 4. e 4. em 4. 4 e 4. 5 temos: η η b 4. 6 η η b 4. 7 b b η

152 E b b η 4. 9 Chmno e: b ξ 4. e b ξ 4. e e l b 4. e l b 4. temos: l ξ η 4. 4 E l ξ η Elementos e fnção lner o Elementos Lneres Nos elementos constntes s fnções e q possem vlores qe vrm lnermente com posção. Pr se scretzr m contorno em elementos lneres tlz-se s fnções e nterpolção o tpo: η φ η

153 e η φb η 4. 7 As coorens e os pontos sobre o elemento são s por: φ η φ η 4. 8 b b e φ η φ η 4. 9 b b Sbsttno 4. e 4. em 4. 4 e 4. 5 temos: η η b 4. 4 E η η b 4. 4 O b b η 4. 4 E b b η 4. 4 Chmno e: b ξ e b ξ e e l b

154 e l b temos: l ξ η E l ξ η Elementos e fnção prbólc o Elementos Qrátcos Nos elementos constntes s fnções e q possem vlores qe vrm qrtcmente. Pr se scretzr m contorno em elementos qrátcos fnções e nterpolção o tpo: η φ [ η ] 4. 5 η φ b [ η ] 4. 5 [ η ] φc

155 4. 9 Os Métoos e Cálclo s Integrs H e G Pr o cálclo s ntegrs H e G, s técncs e ntegrção tlzs epenem posção o nó colocção fonte em relção o elemento, seno ntegro, em, conforme mostr Fgr Fgr Dferentes tpos e ntegrção e coro com posção reltv os nós nos elementos e contorno. Algms ntegrs e contorno presentm snglres. Ests snglres estão presentes n solção fnmentl, o se, Em D temos: H * ϑ ln r 4. 5 e G q * ϑ r Em D temos: H * ϑ r e G q * ϑ r

156 4.9.- Integrções Não-Snglres Integrs como G e Ĥ ns epressões cm poem ser clcls sno fórmls e ntegrção nmérc ts como regrs e Qrtr e Gss, é o ms tlzo pr o cso e r Integrções Qse-Snglres As ntegrs qse-snglres precem qno o elemento e o ro é ferente e zero r, conforme mostr Fgr Fgr Erros e promção cometos em ntegrs qse-snglres evo o número e pontos e Gss sobre o própro elemento Integrções Snglres As snglres precem qno tem-se, e o ro é gl zero r, por eemplo. Várs técncs são tlzs epeneno snglre. Pr o elemento, conto, presenç snglre sobre qele elemento evo solção fnmentl reqer m ntegrção ms precs. Estem várs técncs qe epenem orem snglre. Pr ests ntegrs é recomeno sr regrs e ntegrção e lt orem o m fórml especl ts como logrítmc e otrs trnsformções s qs será sct posterormente. Conto, pr o cso prtclr e geometr ret como os elementos constntes e lneres, s ntegrs clcls nltcmente. Ĥ e G poem ser 56

157 4. O Mpemento Globl o Contorno pr o Cálclo s Integrs H e G Consere o contorno, sve, e m problem e eqção ferencl bmensonl, e form geométrc qlqer, conforme mostr Fgr Utlzno s coorens globs o contorno, vmos gor efetr cálclos nlítcos pr etermnr o vlor s ntegrs não-snglres e H e G pr. Fgr Mpemento Globl e m contorno Cálclo Anlítco Integrl H pr Consere o esenho Fgr - 4. pr one o vetor r e o vetor trço entre os elementos e contorno ferentes, o se,. nˆ está 57

158 Fgr Integrção entre os elementos e contornos e ferentes. Sbeno qe, neste cso temos qe stânc entre o centro os elementos e é não nl, o se,, temos: H ˆ H Est é m ntegrl não-snglr pr r > por: Hˆ q * * n Ms * * r, logo sno regr ce poemos escrever: * r * n r n Portnto, r Hˆ * q * r 4. 6 n Como * ln r temos qe: π *, logo r π r 58

159 Hˆ π r r n 4. 6 Pr se clclr s ntegrs H e G temos város problems resolver. O prmero eles z respeto vrável e ntegrção pos seno H * r r n π r r n 4. 6 A vrável no ntegrno está em r e o ncremento está em. Logo evemos relconr com r. Ms sso tornrá ntegrl epenente form o contorno. Ms rest n sber qnto vle r / n. Pr etermnr o vlor ess erv evemos lembrr qe s ntegrs H e G epenem posção o nó e referênc em relção o elemento. Pr resolver est qestão tlzremos m mpemento lner qe será feto posterormente. Fgr Relção entre elementos retos ferentes. observr qe pr Conserno m elemento e contorno reto, prtr Fgr , poemos ntegrl contece for o elemento o contorno. Neste cso ntegrl 4. 6 contn vleno, ms pr clclá-l precsmos etermnr nltcmente o geometrcmente qnto vle r / n qno os elementos e são ferentes. 59

160 4.. - Cálclo Anlítco e r/n pr A erv reconl r/n poe ser escrt em termos o grente e r como: r n r n 4. 6.ˆ Seno r r rˆ r poemos escrever: r n r.ˆ n r Ms prtr Fgr nós temos qe r nˆ., logo temos: r n r one é m vlor únco pr c pr e elementos e. Observe prtr Fgr qe r n r.ˆ n r. nˆ cosθ r r Como nˆ é m vetor ntáro temos n ˆ, logo r n r.ˆ n r cosθ r r 6

161 Fgr Cálclo s stâncs entre os elementos. ms r r, logo teremos r n r.ˆ n r cosθ one cosθ r.ˆ n nˆ r n n r n n r r r 4. 7 ˆ Como n temos: r n n r n r r r cosθ 4. 7 Observe qe r / n é gl o cosseno o ânglo θ entre o vetor r e reção n norml nˆ. Este vlor proeção e r n reção e n é únco e fo pr c pr e elementos e, e vle n não epeneno e r pr m elemento e contorno constnte, o se, r n r. n r n r n r r r cosθ 4. 7 One r ˆ.ˆ n n logo teremos: 6

162 r n n r cosθ 4. 7 One n é m vlor únco pr c pr e elementos e e não epene o ro r entre o centro o elemento e qlqer ponto X, sobre etensão o elemento. Logo retornno 4. 6 temos: Portnto, n Hˆ π r r n H π r Est ntegrl poe ser clcl nltcmente o nmercmente tlzno o métoo qrtr e Gss Cálclo Anlítco Integrl G pr Sbeno qe e n, temos: G * Est é m ntegrl não-snglr, one * * r e * r ln r π Logo G * ln π r e G r ln r π

163 Vmos gor tlzr cálclos nlítcos pr clclr o vlor s ntegrs qsesnglres e snglres e H e G pr pr r > e r respectvmente O Cálclo Integrs H H pr pr r Consere o esenho Fgr pr one o vetor r e o vetor sobre o mesmo elemento e contorno, o se, o própro elemento, conforme mostr Fgr nˆ estão. Neste cso ntegrl contece sobre Fgr Integrção entre os elementos e contornos e ferentes. Sbeno qe, neste cso temos qe stânc entre o centro os elementos e é nl, o se,, temos: ˆ H ˆ H H H 4. 8 Est é m ntegrl snglr por: Hˆ * q * n 4. 8 Ms *r*r logo sno regr ce poemos escrever: * * n r r n 4. 8 Portnto, 6

164 Hˆ q * * r r n 4. 8 como * ln r temos qe: π * r π r, logo r Hˆ π r n Portnto, H * r r n π r r n Cálclo Anlítco e r/n pr De form nálog o cso nteror erv reconl r/n poe ser escrt em termos o grente e r como: r n r ˆ. n Seno r r rˆ r poemos escrever: r n r.ˆ n r Ms r nˆ n., logo temos: r n n r o 64

165 r n r.ˆ n r r. nˆ r cosθ 4. 9 Como nˆ é m vetor ntáro temos n ˆ, logo r n r.ˆ n r r r cosθ 4. 9 Ms r r, logo r n r.ˆ n r cosθ 4. 9 Conserno m elemento e contorno reto, prtr Fgr poemos observr qe pr r, os vetores r e nˆ são perpenclres nˆ reconl entre eles é nl, o se: E conseqentemente r. Logo erv n r. nˆ 4. 9 r n r.ˆ n r Fgr Cálclo s stâncs entre os elementos pr m elemento reto. Pr mostr qe r nˆ evemos ter o proto esclr nlo, logo: 65

166 r. nˆ nˆ r cosθ n r n r logo cosθ r.ˆ n nˆ r n n r n n r r r ˆ Como n temos: cosθ n r r n r r One n r cosα ; n r cos6 β ; senα r r sen6 β o r r cos β e r r sen β Logo, sbsttno e em temos: ˆ. r n r cos β cosα r sen β senα 4. A prtr Fgr nós temos qe: o α β 9 e sen cos ; cos β senα 4. Portnto, nˆ. r rsenα cosα cosα senα 4. Logo ˆ. r nˆ r 4. n E portnto r n r.ˆ n r

167 O se, seprção entre os elementos e é nl, pos logcmente eles concem. Portnto, retornno eqção nós temos qe: Fgr Decomposção o vetor norml em termos os cossenos retores. Observe qe r / n n r é gl o cosseno o ânglo θ entre o vetor r e / reção n norml n. Este vlor proeção e r n reção e n é únco pr c pr e elementos e, não epeneno e r entre o centro o elemento e qlqer ponto X, sobre etensão o própro elemento. Pr m elemento e contorno constnte, o se, r n n r n r r r cosθ 4. 5 One r ˆ.ˆ n n logo teremos: r n n r cosθ 4. 6 Os termos ˆ ˆ, por eemplo, são entcmente zero, pos norml n e H H cooren o elemento estão sempre perpenclres m otr, sto é: ˆ H H pr e r

168 4..6 O Cálclo Integrs H H pr pr r Neste cso em qe e r temos qe H H é m ntegrl snglr qe eve ser resolv por m processo lmte, o por m nálse geométrc. Seno E Temos: H ˆ H 4. 8 r r Hˆ * r n π r n 4. 9 H r π r n 4. Seno r n r.ˆ n 4. r Pr r, nós temos m netermnção, ql eve ser resolv por m processo lmte em termos o Vlor Prncpl e Cch, segnte form: H rb r r π r n r r 4. Observe qe pr temos: r r 4. Logo eqção 4. poe ser escrt como: H rb r r π r n r 4. 4 o smplesmente 68

169 H π rb r r n r r 4. 5 ql poe ser ntegr tomno-se m ro ε em torno o ponto ξ e fzer ε segnte form: Hˆ r r n r π r r n r π r r n ε ε rb π r ε ε r 4. 6 Conforme mostr Fgr Fgr Intervlo e ro ε sobre o elemento reto ξ. pr s ntegrs for o ntervlo e ro ε temos qe repete stção nteror fcno pens ntegrl: r r r.ˆ n nˆ e n n r qe ε r Hˆ r r n 4. 7 π ε Tomno o lmte e ε temos: Hˆ r r n ε lm ε π ε r 4. 8 One r ε então: Hˆ ε lm ε π ε ε ε ε n 4. 9 Sbeno qe o ntegrno é própr efnção e ro e crvtr ρ r ρ ε one 69

170 lm ε ε ε n ρ ε 4. O lm r r r n ρ r 4. Portnto pr e r temos: H ˆ 4. E fnlmente H ˆ H O Cálclo Integrl G G pr e r Sbeno qe e n, temos: G * G * 4. 4 Est é m ntegrl não-snglr, one * * r é por: * r * r ln r π 4. 5 Logo G * ln π r 4. 6 Ests ntegrs G reqerem m mnseo especl. Pr m elemento nmensonl, por eemplo, els poem ser clcls nltcmente o nmercmente tlzno o métoo qrtr e Gss. Pr se relzr ntegrção e form qe est não epen form o contorno o problem, precsmos tmbém fzer m mpemento lner one s coorens e r, 7

171 pssem epener e m prâmetro genérco η, pr toos os elementos o contorno. Isto rezrá o número e ntegrs serem clcls. 4. Mpemento Locl o Contorno Consere o contorno, sve e form geométrc qlqer, referente m problem e eqção ferencl bmensonl,, conforme mostr Fgr Fgr Trnsformção entre s coorens globs e s coorens locs e m contorno e geometr qlqer. Vmos gor relzr m trnsformção e coorens generlz sobre o contorno,,. Est trnsformção será efet e tl form qe mrá o mpemento globl o contorno,, o ql é feto por meo s coorens globs X, em m mpemento locl, por meo e m fnção e prmetrzção Xη, e vrável locl, η, sobre c elemento o contorno. Isto trnsformrá e form genérc este mpemento globl em m mpemento locl conforme mostr Fgr Logo s ntegrs H e G fcm: n H η 4. 7 π η r η e G r ln r η 4. 8 η π η A trnsformção e coorens prmetrzção o elemento o mpemento lner o elemento e contorno é fet por meo efnção s fnções e nterpolção 7

172 locs, φ η e η φ b, qe vrm em m ntervlo e - η em corresponênc o elemento, com cooren X, qe vr ese b e b. prâmetro η, one: Seno η e η e r r, fnção r r, pss epener o φ η, φ η φ η, φ η η e η 4. 9 Portnto, b b r, r η, η r η 4. A prtr Fgr - 4. temos e form genérc qe: r, r r 4. X ξ one rξ ξ, ξ e X,, temos qe e m elemento pr m ponto qlqer sobre o elemento temos: r r. ξ ξ 4. Est epressão represent o ro qe sepr o centro os elementos e. 4.. Mpemento Lner o Contorno De form gerl s coorens globs o ponto X,, com ro r X, globl e ro r, coorens locs prtr o ponto e colocção ξ ξ, ξ, são s por: φ φ b b 4. e φ φ b b 4. 4 one e η φ

173 η φb 4. 6 qe correspone o mpemento locl o elemento o contorno, conforme mostr Fgr O mpemento locl tmbém é vlo qno e este mpemento se á sobre o própro elemento e referênc. Neste cso tos s epressões com ínce pssrão ter ínce. Fgr Mpemento lner locl geometr o elemento reto e fnconle constnte em e q. Portnto, sbsttno 4. 5 e 4. 6 em 4. e 4. 4 poemos escrever s coorens X, o ponto e ro r, como seno: η e η 4. 7 o η η η b 4. 8 η η η b 4. 9 Rerrnno os termos e reescreveno temos: b b η η

174 74 η η b b 4. 4 Seno s coorens o ponto ξ o elemento são s por: b ξ 4. 4 e b ξ 4. 4 Logo η e η pr m elemento o será o por: η ξ η b e η ξ η b Observe Fgr - 4. qe: r ξ ξ ξ e r r r X ξ, one. r ξ ξ Portnto, sbsttno e em temos:. b b r ξ η ξ ξ η ξ Observe qe seno

175 75 b b r ξ η ξ 4. 5 e b b r ξ η ξ 4. 5 o b r ξ η ξ ξ 4. 5 e b r ξ η ξ ξ 4. 5 Sbeno qe ξ ξ e poem ser epressos em termos e 4. 4e 4. 4 como: b ξ e b ξ e n b l temos b l Logo s componentes r e r poem ser escrts como: η ξ ξ l r e

176 76 η ξ ξ l r Sbsttno e em temos: [ ] [ ]. η ξ ξ η ξ ξ l l r 4. 6 e esenvolveno os qros entro rz temos: [ ] [ ] η η ξ ξ ξ ξ η ξ ξ η η ξ ξ ξ ξ η ξ ξ l l l l l l 4. 6 Somno os qros temos:. η Bη C A r 4. 6 One: l l C l l B A ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ 4. 6 Observe qe se, então o ro fcrá:. η η b b r o. η b b r Observe qe o termo n rz é gl l, qe é o comprmento o elemento,logo η l r e

177 77 l r η Clclo erv r/n Trnsformção e coorens o Mpemento Lner o Contorno A erv r/n pr r rη poe ser clcl prtr eqção 4. 5 por: cosθ r r r n r n n r c erv e r em relção η poe ser clcl sbsttno r η e r η n epressão e obteno: η ξ ξ η ξ ξ η ξ ξ η ξ ξ b b b b n n r n r Usno e temos: η ξ ξ η ξ ξ η ξ ξ η ξ ξ l l l n l n r n r 4. 7 Pr temos: b b b b n n r n r η η η 4. 7 O

178 78 b b b b n n r n r 4. 7 qe não epene o prâmetro η. Usno e em 4. 7 temos: l l l n l n r n r 4. 7 Seno: l n l n Seno / l temos: l l n l l n Sbsttno em 4. 7 temos: l l l l l l l l r n r o

179 r n r l l l [ ] l [ l ] l l l como [ ] l [ l ] l Fcmos com: r n r l l l l l l l co reslto é nlo, o se: r n r Jcobno Trnsformção o Mpemento Lner o Contorno Pr resolver ntegrl 4. 7 e 4. 8 precsmos eplctr o Jcobno J / η e trnsformção e r, rη qe é o por: logo o se J 4. 8 η η η η 4. 8 η η 4. 8 η η Agor poemos ervr η e η prtr e e em relção η e obter: 79

180 8 b η E b η Sbsttno e em 4. 8 obtemos: η η η η η b b Ms, e, b b são s coorens s etremes o elemento e contorno. Portnto, o Jcobno e m elemento constnte correspone mete o comprmento esse elemento. η η η l Aplcção o Mpemento Locl s Integrs H e G Vmos gor plcr o reslto o mpemento locl com elemento constnte no cálclo s ntegrs H e G. 4.. O Cálclo Integrl H pr Retornno-se ntegrl H nós poemos gor escrever form o mpemento globl o ncremento e m form gerl em termos o mpemento locl segnte form: η η n r r n r r n H * * * Seno / / l J η o Jcobno trnsformção e coorens temos:

181 H l * r r n η o se H l r l * η q r n * r η r n η 4. 9 Seno * r / π ln r e q * r * r r e r, rη ssm como * r * η e * r * η q. Logo q / H l r l q r η η H * n π r η 4 r n η 4. 9 Observe qe o problem o ferencl / η η qe fornecem s ntegrs e 4. 4 á fo resolvo. Sbsttno 4. 7 em 4. 9 temos: H l q * r η H r l π 4 η r η 4. 9 Seno r b η ξ ξ ξ η 4. 9 e r b η ξ ξ ξ η E r r r o 8

182 8 η ξ ξ η ξ ξ b b r temos qe: η ξ ξ η ξ ξ η ξ ξ η ξ ξ b b b b n n r n r Logo eqção 4. 9 fc: η η ξ ξ η ξ ξ π l H b b Desenvolveno os qros temos: 4 η η ξ ξ ξ ξ η ξ ξ b b b e 4 η η ξ ξ ξ ξ η ξ ξ b b b 4. Somno estes qros temos: ] [ ] [ ] [ η η ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ b b b b 4. Chmno e: ] [ A ξ ξ ξ ξ 4. e

183 8 ] [ b b B ξ ξ ξ ξ 4. e ] [ b b C 4. 4 temos qe ntegrl em poe ser escrt como: η η η π C B A l H Co reslto é: η η η π C B A l H Est ntegrl poe ser clcl nltcmente o nmercmente pelo métoo qrtr e Gss. 4.. O Cálclo Integrl H H pr Neste cso temos ξ ξ e ξ ξ logo η η b b r 4. 7 O b b r η 4. 8 temos qe: b b b b n n r n r η η η 4. 9 O

184 84 b b b b n n r n r 4. Logo eqção 4. 6 fc: η η π n n l H b b b b 4 4. Usno em 4., neste cso temos qe ess ntegrl poe ser escrt como: η η π η η π l l l l l l H l l l l l l l l H Co reslto é: H O Cálclo Integrl G pr Retornno-se ntegrl G nós poemos gor escrever form o mpemento globl o ncremento e m form gerl em termos o mpemento locl segnte form: η η G * * 4. 4 Seno / / l J η o Jcobno trnsformção e coorens temos:

185 85 η l G * * 4. 5 o se η r l G * 4. 6 Seno r r ln / * π e r r r q / * * e r, rη ssm como * * η r e * * η q r q. Logo [ ] η η π η r l G r l G ln 4 * 4. 7 Observe qe o problem o ferencl η η / qe fornecem s ntegrs e 4. 4 á fo resolvo. Sbsttno 4. 7 em 4. 7 temos: [ ] η η π η r l G r l G ln 4 * 4. 8 sno o fto e qe: η ξ ξ η ξ ξ b b r 4. 9 temos: η η ξ ξ η ξ ξ π l G b b ln 4 4. Desenvolveno os qros temos: 4 η η ξ ξ ξ ξ η ξ ξ b b b 4.

186 86 e 4 η η ξ ξ ξ ξ η ξ ξ b b b 4. Somno estes qros temos: ] [ ] [ ] [ η η ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ b b b b 4. Chmno e: ] [ A ξ ξ ξ ξ 4. 4 e ] [ b b B ξ ξ ξ ξ 4. 5 e ] [ b b C 4. 6 temos qe ntegrl em 4. poe ser escrt como: [ ] η η η π C B A l G ln O [ ] η η η π C B A l G ln Co reslto é: [ ] η η η π C B A l G ln Est ntegrl poe ser clcl nltcmente o nmercmente pelo métoo qrtr e Gss.

187 O Cálclo Integrl G G pr De form ntegrr fclmente epressão cm nós poemos mr s coorens pr m cooren homogêne η sobre o elemento Fgr - 4., tl qe: l r η 4. one l é o comprmento o elemento. Fgr Sstem e cooren o elemento e contorno Portnto, levno em cont smetr 4. 4 poe ser escrt como: η η π η η π π π ln l ln l l ln l r r n l r n l G Ponto Ponto Ponto Ponto / / 4. A últm ntegrl é gl, logo: / ln l l G π 4. Pr csos ms compleos são ss fórmls poners. As otrs ntegrs sto é pr poem ser clcls sno smples regrs e qrtr e Gss Nós os progrms fontes escrtos neste cpítlo m regr e e 4 pontos tem so s ve Apênce A.

188 4. Integrção Nmérc pelo Métoo Qrtr e Gss O métoo qrtr e Gss é m métoo tlzo pr se clclr ntegrs nmercmente. A vntgem esse métoo é qe ele é fácl e progrmr e poss bo precsão. Consere m elemento e contorno, conforme mostr Fgr - 4. Fgr Trnsformção e coorens o mpemento lner o contorno. no ql ese-se clclr segnte ntegrl: I f b * r f * r 4. fzeno-se m trnsformção e coorens trvés o mpemento lner one stânc é trnsform em r rη. Logo teremos: r X ξ 4. 4 r X ξ r η X η ξ 4. 5 est form ntegrl 4. poe ser epress como: I b f * r I f * r η η η 4. 6 one η é o Jcobno Trnsformção s Coorens Globs pr s Coorens Locs. Qeremos encontrr m solção nmérc prom pr ntegrl e tl form qe: 88

189 I f N g * r η η I f r ηk w k 4. 7 η η k η k one η k são s coorens e pesos qrtr. Consere segnte ntegrl I N g z η η I z η 4. 8 k k w k one z η f * r η e η z η k f * r ηk η O nosso obetvo, portnto, é vlr ess epressão ntegrl trvés e m somtóro e mostrs poners e zη em pontos η, η, η,...η k, segnte form: η k I N g z η η z ηk wk Erro 4. 9 k one os w k são os pesos e Gss e os η k são s coorens generlzs e Gss, conforme está represento n Fgr Fgr Integrl e Gss fnção zη ns coorens e generlzs η k. Poemos efnr os pesos e s coorens e Gss e tl form qe s ntegrs e polnômos sem efets com etão, por meo segnte regr gerl: Com N pontos e Gss ntegr-se com etão polnômos e gr N-. Por eemplo: I Pr os pontos e Gss polnômo o º gr. 89

190 Neste cso teremos 4 ncógnts w,η e w,η. Logo o polnômo e gr poss qtro 4 coefcentes rbtráros, o se: 4. 4 Vmos gor clclr os pesos e s coorens e Gss pr pontos e Gss. z η η w z η wz η 4. 4 como η η 4. 4 z η η Temos: z η η η ηη η η η η 4. 4, e, Como são rbtráros, c m s ntegrs cm eve ser ntegr com etão. Fzeno., e z logo z η η η η w. w , e z η logo w w η z η η ηη wη wη 4. 46, e z η w η w η

191 9 η η η η η η η w w z logo η η w w v, e z η η η η η η η η w w z 4. 5 Logo η η w w 4. 5 Portnto, prtr o reslto estes cálclos poemos montr m sstem e eqções pr clclr os vlores e w k nos pontos η k segnte form: / η η η η η η w w w w w w w w 4. 5 o / w w η η η η η η 4. 5 Resolveno esse sstem não-lner e eqção ; η η w w Logo, sbsttno esses vlores em 4. 4 temos:

192 z η η w z η wz η. z z o Grfcmente correspone : z η η z.5775 z Fgr Processo e Integrção e Gss. pr qlqer polnômo e gr. Est solção será et se zη for m polnômo e º gr no mámo pr N g e será promo pr fnções zη qsqer. A obtenção os pesos e coorens pr m número mor e pontos e Gs sege o mesmo rcocíno. Pr fnções zη proms por polnômos. Qnto melhor for prome fnção zη com o polnômo e gr N tlzo ms prómo será o reslto o vlor eto, o se, menor será o erro e promção. Observe qe se zη for m fnção lner o tpo: Conforme mostr Fgr temos: η z η b

193 Fgr Integrção e Gss pr m fnção lner. Sbemos qe o vlor áre este trnglo vle: e pel promção qrtr e Gss temos:. A b h I

194 Cpítlo V APLICAÇÕES PRÁTICAS RESUMO Neste cpítlo será resolvo o problem e m potencl esclr,, plco m plc pln e mensões conhecs, qe stsfz eqção e Lplce. O problem será resolvo nlítco e nmercmente. 5. Obetvos o cpítlo Resolver m prolem prátco e Métoo e Elementos e Contorno plco o problem e potencl em m plc pln. Utlzr m progrm fonte pr vlr os resltos obtos nmercmente prtr e cálclos promos relzos mão e comprr com os resltos nlítcos. A prener tlzr m ferrment comptconl e cálclo nmérco ts como o FORTRAN, o otr qlqer. v Avlr os resltos obtos pel entr e sís e os. 5. Introção Pr eerctr tlzção o Métoo os Elementos e Contorno, vmos resolver o problem o potencl esclr,. Consere qe esse potencl,, stsfz eqção e Lplce, e poe ser plco m plc pln qe trnsmte e ssp clor trvés e s mss, ql está set s conções e contorno e potencl e flo estconáro plcos, o se, lgns vlores no contorno são prescrtos e otros serão clclos. Pr est stção vmos conserr s conções s segr. 94

195 5. Problem e o Potencl Esclr sobre m Plc Pln I Consere m plc pln bmensonl e qr e tmnhos,m,m set s conções e contorno e potencl e flo q q, conforme mostr Fgr Fgr Plc pln bmensonl qr e tmnhos,m,m setos s conções e contorno e potencl constnte e flo constnte q q. Dscretzr est plc no contorno em oto elementos retos e fnconle constnte, conforme mostr Fgr Resolver o problem eqção ferencl e Lplce,, pelo Métoo os Elementos e Contorno mostrno tos s pssgens e os cálclos com ses resltos nmércos. Utlzr os pontos n qrtr e Gss pr o cálclo s ntegrs não-snglres e H e G. v Montr o sstem e eqções e H Gq e representr toos os vlores e contorno mtrclmente e resolver o sstem e eqções montno o sstem Ab, presentno solção. v Clclr os vlores o potencl nos pontos A, B, C e D nterores plc, tlzno ntegrl q * *. 95

196 Fgr Plc pln bmensonl qr e tmnhos,m,m com oto elementos retos e fnconle constnte, setos s conções e contorno e potencl constnte q q. e flo constnte II Alterr o progrm POCONBE e cálclo pelo Métoo e Elementos e Contorno, qe tlz elemento constnte, o Lvro: C. A. Brebb n J. Domngez, Bonr Elements, An Introctor Corse, n Eton, Compttonl Mechncs Pblctons, McGrw-Hll Book Compn., e tl form qe s ntegrções não-snglres sem efets com m número e pontos e Gss N g respetno s segntes regrs: Se l então N 4 > g. 48 Se < então N g 6 l. 49 Se l então N 8 g. 5 one é stânc entre o centro os elementos e e l é o comprmento eles, conforme mostr Fgr

197 Fgr Depenênc stânc com o ro e ntegrção entre os elementos e contorno. Verfqe o efeto ess mofcção o ror o progrm POCONBE, segnte form: v Roe o progrm n form orgnl form como está pr N g 4 e epos fç mofcção e roe-o novmente pr os N g vráves conforme s regrs cm e, no fnl compre precsão os resltos e e e q nos pontos solctos. Dc: As regrs e poerão contecer ns stções mostrs n Fgr Fgr Vrção stânc reltvs entre os elementos e m contorno. Utlze comnos f then else 97

198 progrm. f then else... pr fzer s mofcções no 98

199 5. 4 Solção o Problem e o Potencl Esclr sobre m Plc Pln 5.4. Mpemento Lner o Contorno o Problem Sege o qe fo esenvolvo no cpítlo nteror. 99

200 5.4. Elementos Constntes Sege o qe fo esenvolvo no cpítlo nteror: φ [ η]. 5 φb [ η]. 5

201 5.4. Elementos Lneres e Qrátcos plcção Sege o qe fo esenvolvo no cpítlo nteror, ms não será tlzo nest η φ [ η ]. 5 η φ b [ η ]. 54 [ η ] φc. 55

202 5.4.4 Análse Smetr o Problem n reção o número e ntegrs No cálclo plc pln com oto elementos constntes, pr se montr s mtrzes H e G é necessáro prncpo resolver m número e ntegrs. Conto, este número poe ser rezo tlzno-se proprees e smetrs plc qr, conforme mostr o esqem Fgr - 5., rezno-se pr m número e ntegrs pos s qtro prmers s ezesses mostrs n Fgr são nls.,,55,77,,44,66,88,4,56,78,4,65,87,45,67,8,54,76,8 8,4,64,86,5,57,7

203 4,46,68,8,5,75,7 5,47,6,8 6,8,5,74 4,6,58,7 7,4,6,85 6,48,6,84 5,7,5,7 Fgr Smetrs no processo e ntegrção s Mtrzes H e G entre os elementos o contorno e m plc pln.

204 5.4.5 Mpemento Nmérco os Elementos e e ss Coorens As coorens. os nós fncons e geométrcos são mostrs n Fgr - Fgr Plc pln bmensonl qr e tmnhos,m,m com oto elementos e fnconle constnte, setos s conções e contorno e potencl constnte q q. e flo constnte 4

205 5.4.6 Tbels e H e G pr os pontos e Gss Tbel - V.. Após relzção o cálclo s ntegrs H e G poemos montr segnte Tbel - V.. Coorens os Pontos Fonte os Elementos o Contorno! ""!! "! ""!! "! ""!! "! ""!! "! ""!! " 5

206 ! ""!! "!!!!!! ""!!!!! " " " " "! " "" "! "! " " 6

207 Tbel - V.. Coorens os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno # $ % &% % $ $! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' ' 7

208 ! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' ' 8

209 Tbel - V.. Cálclo s Coorens e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno * * * 9 *,-,- * * * * * *!"" " "" " "" "!"" "! "" "!"" " ".!!"" ".".!"" "!.!!"" "!!!"" " "!!"" "." "!"" " "" "!!"" " "" " "" "!"" " "."!"" " "!!"" "!!!"" "!!.!"" ".."!"" ".! "!"" " "!!"" "." "!"" " "" " "" "!"" "! "" "!"" " ".!!"" ".".!"" "!.!!"" "!!!"" ".."!"" ".! "!"" " "" "!!"" " "" " "" "!"" " "."!"" " "!!"" "!!!"" "!!.!"" "!.!!"" "!!!"" " "!!"" "." "!"" " "" " "" "!"" "! "" "!"" " ".!!"" ".".!"" "!!!"" "!!.!"" ".."!"" ".! "!"" " "" "!!"" " "" " "" "!"" " "."!"" " "!

210 !"" " ".!!"" ".".!"" "!.!!"" "!!!"" " "!!"" "." "!"" " "" " "" "!"" "! "" "!"" " "."!"" " "!!"" "!!!"" "!!.!"" ".."!"" ".! "!"" " "" "!!"" " "" " "" "

211 Tbel - V. 4. Cálclo s Coorens s Norms e e ss Dervs os Pontos Fonte os Elementos o Contorno /$ $ $ $ * * '.. ""!!"! ".".".!.".! '. " '. '. "..".!.".!." " '!!!" ' "".. '. " '. '.. ""!!"! ' "." '.".!.".! '!!!" ' "".. '. ". '.".!.".! '." " ' "." '.".!.".!. ". '.. "" '!!"! '.".!.".! '." "!!!" "".. '.

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213 Tbel - V. 5. Cálclo s Mtrzes H e G os Pontos Cmpo os Elementos e Contorno $ 9 -, $ :-; $ # $ 5 -.!.! -.. '." '! ;!." ' '.! ;.! ' - '""! ' '""! '!!. - '. '!!. '. '! '!!" ;!!!"! '"! ;" '! " !.! '"! ; '! " '! '!!" ;!!"! '!!. - '. '!!. '. ' - '""! ' '""! ' '.! ;!.! '." '! ;"!." '! - '!!" '! '!!" '" -! '"!.! ; '.! '. ; '. '." - '! '." '! ' - '.! ' '.! ' '""! ;! ""! '!!. '. ;".!!. ' - '.! ' '.! '." - '! '." '!. ; '..! ; '.! ' '" -! '"! '! - '!!" '! '!!" '!!. '. ;!.!!. ' '""! ;" ""! ' - '""! ' '""! '!!. - '. '!!. '. '! '!!" ;!!"! '"! ; '! " -.!.! -.. '." '! ;!!." ' '.! ;".! '!!. - '. '!!. '. ' - '""! ' '""! ' '.! ;.! '." '! ;!." !.! '"! ;! '! " '! '!!" ;"!!"!

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215 5.4.7 Tbels e Cálclo e Inversão s Mtrzes H e G pr os pontos e Gss Tbel - V. 6. Cálclo s Mtrzes Inverss e H e G os Pontos Cmpo os Elementos e Contorno 48<* 8$! " '! ' ' '!!. '." '" '" '." '!!. ' ' '! '." '" '! ' ' '!!. ' '! '" '." '!!. ' ' '!!. '." '" '! ' '!!. ' ' '! '" '."! '! ' ' '!!. '." '" " '" '." '!!. ' ' '! 48 8 $! " '." ' ' '!!. '! '" '" '! '!!. ' ' '." '! '" '." ' ' '!!. ' '." '" '! '!!. ' ' '!!. '! '" '." ' '!!. ' ' '." '" '!! '." ' ' '!!. '! '" " '" '! '!!. ' ' '." 4<* $! " '! ' ' '!!. '." '" '" '." '!!. ' ' '!! '! '.! '.!!".! ""!..!!!" '. '.! '!!. ""! ' '!!. '." '" '! ' '!!. ' ' '! '" '."!!!".! ""!.! '! '.! '. " '!!. ""!.!!!" '. '.! 4 $! "!.! ' '!!.!!" '! '!!!" '!!. '.!! '! '" '.! '. '." ' ""!. ' '." '. '.! '" '!. ""! ' '!!.!!" '!!.! '!!. '.!! '!!!"! '." ' ""!. '! '" '.! '. " '" '!. ""! ' '." '. '.! $ <'*! "! ' ". ".!. ' '!. "!" ' ".!. "!"! ' '!. ". '! ' '".!!. '. '.!!!.". '.!! '.!!. '". ' '!.".! ' '!. "!"! ' ". ".!. ' '!. ". ' ".!. "!"! 5

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217 5.4.8 Tbels e H e G pr os pontos nternos com os pontos e Gss Tbel - V. 7. Coorens os Pontos Fonte os Elementos o Contorno $ >! ""!! " # # # #! # "" #! #! # "! ""!! "! ""!! " 7

218 Tbel - V. 8. Coorens os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno # $ % % % $ $! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' ' 8

219 Tbel - V. 9. Cálclo s Coorens e os ros e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno Comprmento Cooren get Cooren get Cooren get Cooren get RoGss RoGss l gn gn gn gn rgn rgn,,,78868,,,48,48,,,78868,,,79,66,,,,,78868,6947,548,,,,,78868,548,6947,,78868,,,,66,79,,78868,,,,48,48,,,,78868,,98,548,,,,78868,,548,98,,,78868,,,66,79,,,78868,,,48,48,,,,,78868,98,548,,,,,78868,548,98,,78868,,,,48,48,,78868,,,,79,66,,,,78868,,6947,548,,,,78868,,548,6947,,,78868,,,6947,548,,,78868,,,548,6947,,,,,78868,66,79,,,,,78868,48,48,,78868,,,,98,548,,78868,,,,548,98,,,,78868,,48,48,,,,78868,,79,66,,,78868,,,98,548,,,78868,,,548,98,,,,,78868,48,48,,,,,78868,79,66,,78868,,,,6947,548,,78868,,,,548,6947,,,,78868,,66,79,,,,78868,,48,48 9

220 Tbel - V.. Cálclo s Coorens s Norms e e ss Dervs os Pontos Fonte os Elementos o Contorno /$ $ $ $ * * '.!!.!! ' ""! "".... "" ""!.!!.!! '. '. ' ""! '.!!.!!...!!.!! ""! ' "".. '.. "" ' "".. '.. "" ""!.!!.!!.. '.!!.!! ' ""! '. '..!!.!! ""! "".... "" ' ""! '.!!.!!

221 Tbel - V.. Cálclo s Mtrzes H e G os Pontos Internos os Elementos e Contorno $ 9 -, $ :-; 8 $?-, $?; '.. " '! '! '"!! ' '.! '." '! '."! '."! '." '! '."! '."! '"!! ' '.! '.. " '! '! '"!." '."!! '"!." '."!! '!".! ' '!.!" '"!. " ' '!. '.! '! '! '"! '."! '" ' '"! '."! '" ' '.! '! '! '"!. " ' '!. '." '!." '"! '"! '." '!." '"! '"! '!" ".". ' '!" " '!. '.". " '! '! '."! '! '" " '"! ' '."! '"!. ". '. '! '."! '.! '"!! ' '". "! '. '. '!." '! " '! '"! '." '"" ' '!".". ' '..!"! '. '". "! '. '"!! ' '. '! '."! '.! '"! ' '."! '"!. ". '."! '! '" " '.". " '! '! '"! '." '"" ' '. '!." '! " '! '!".". ' '..!"! '.

222 5.4.9 Tbels e H e G pr qtro pontos e Gss Tbel - V.. Coorens os Pontos Fonte os Elementos o Contorno $! ""!! "! ""!! "! ""!! "! ""!! "! ""!! "! ""

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224 Tbel - V.. Coorens os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno # $ % % % $ $! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' ' 4

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226 Tbel - V. 4. Cálclo s Abcsss e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o * * 6 * * A * * * *.....!.....!.!.....! !.....!.!.....! !.....!.!.....! !.....!.!.....! !.....!.!.....! !.....!.!.....!....

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228 Tbel - V. 5. Cálclo s Orens e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno * * * * * * * *.....!.....!.!.....! !.....!.!.....! !.....!.!.....! !.....!.!.....! !.....!.!.....! !.....!.!.....!.... 8

229 .....!.....!.!.....! !.....!.!.....!.... 9

230 Tbel - V. 6. Cálclo os Ros e Gss e s Coorens s Norms os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno,-,-,-,- /$ * * * * $ $ $!......! '. "...! ' "! "! "!! " ".!!".!." "!! "..!! ". " '. "..... " '!... ". '!......! ' "... "... " ".!..! "!! "!.".!" ".! "!! " '! " "! '..!! ". " '. "..... " '!......!. "...! "! "! "!! " ".!!".!." ' "!! " ' "!! " '! " "! '!... ".!......! "... "... " ".!..! "!! " '!.".!" ".! ' ".!!".!." ' "!! " '..!! ". ". "..... "!......!. "...! "! "! ' "!! " ' "!! " '!.".!" ".! ' "!! "! " "!!... ".!......! "... "... '

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232 Tbel - V. 7. Cálclo s Dervs s Coorens s Norms os Pontos Fonte os Elementos o Contorno * * * *.."..!. ".! "!" " " "..!".!!.....!!! " " ".!.". ".... ".".! ". " "!.!!.....!!.!". " " "!" " ".!..!..".! " " ".!.". "...."..!. ".! "!" " " "..!".!!.....!! "!" " ".!..!.."... ".".! ". " "!.!!.....!!.!". " " " "..!".!!.....!!! " " ".!.". "...."..!. ".! "!" ".!!.....!!.!". " " "!" " ".!..!.."... ".".!

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234 Tbel - V. 8. Cálclo s Mtrzes H e G os Pontos Cmpos os Elementos e Contorno 47 BC $ 9 -, $ :-; $ # $ 5 -.! -.! -! -! '." '! ;! ;." ' '.! ;.! ; ' - '""" ' - '""" '!!." - '. '!!." - '. '" '!!! ;!!!! ;! " '!. ;" '. ;"! -! -! -.! -.! '!. ; '. ;! '" '!!! ;!!! ; " '!!." - '. '!!." - '. ' - '""" ' - '""" ' '.! ;!.! ;! '." '! ;"! ;"." '" - '!!! '" - '!!! '! -. '! -..! ; '.! ; '! ; '! ; '." - '! '." - '! ' - '.! ' - '.! ' '""" ;! """ ;! '!!." '. ;". ;"!!." ' - '.! ' - '.! '." - '! '." - '!! ; '! ;.! ; '.! ; ' '! -. '! -. '" - '!!! '" - '!!! '!!." '. ;!. ;!!!." ' '""" ;" """ ;" ' - '""" ' - '""" '!!." - '. '!!." - '. '" '!!! ;!!! ; " '!. ; '. ;! -.! -.! -! -! '." '! ;!! ;!." ' '.! ;".! ;" '!!." - '. '!!." - '. ' - '""" ' - '""" ' '.! ;.! ; '." '! ;! ;." -! -! -.! -.! '!. ;! '. ;!! '" '!!! ;"!!! ;" " 4

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236 5.4. Tbels e Cálclo e Inversão s Mtrzes H e G pr qtro pontos e Gss Tbel - V. 9. Cálclo s Mtrzes Inverss e H e G os Pontos Cmpo os Elementos e Contorno 48<* 8$! " '" ' ' '!!." '." '! '! '." '!!." ' ' '" '." '! '" ' ' '!!." ' '" '! '." '!!." ' ' '!!." '." '! '" ' '!!." ' ' '" '! '."! '" ' ' '!!." '." '! " '! '." '!!." ' ' '" 48 8 $! " '." ' ' '!!." '" '! '! '" '!!." ' ' '." '" '! '." ' ' '!!." ' '." '! '" '!!." ' ' '!!." '" '! '." ' '!!." ' ' '." '! '"! '." ' ' '!!." '" '! " '! '" '!!." ' ' '." 4<* $! " '" ' ' '!!." '." '! '! '." '!!." ' ' '"! '. '.! '!!!!.! """..!!!! '! '.! '.!. """ ' '!!." '." '! '" ' '!!." ' ' '" '! '."!!!!.! """.! '. '.! '! " '.!. """.!!!! '! '.! 4 $! "!.! ' '!!."!!! '. '.!!! '!!." '.!! '" '! '.! '! '." ' """. ' '." '! '.! '! '". """ ' '!!."!!! '.!.! '!!." '.!! '.!!!! '." ' """. '" '! '.! '! " '! '". """ ' '." '! '.! $ <'*! ". ' "!! "! '.. '.!!." ' "!!.."!! '. '..! " '!! ' '"!.! ' ' "!!.. ' " '!.! '" ' '!!..!! '.. '.!!.". ' "!! "! 6

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238 5.4. Tbels e H e G pr os pontos nternos com qtro pontos e Gss Tbel - V.. Coorens os Pontos Fonte os Elementos o Contorno $! ""!! " # # # #! # "" #! #! # "! ""!! "! ""!! "! ""!! " 8

239 Tbel - V.. Coorens os Pontos Cmpos os Elementos o Contorno # $ % % % $ $! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' '! ""! ' ' ' ' 9

240 Tbel - V.. Cálclo s Abcsss e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o * * * * * * * *!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ".!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ".!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ".!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ".!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ". 4

241 Tbel - V.. Cálclo s Orens e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno * * * * * * * *!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ".!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ".!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ".!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ".!"" "....!!"" "....!!"" ".!"" ". 4

242 Tbel - V. 4. Cálclo os Ros e Gss os Pontos Cmpo os Elementos o Contorno,-,-,-,- * * * * " " ""!!..!.! " "! ".! "!!..."! " " ""!." "... " "." "...!..."! " " ""!." "... " "." "... " " ""!!..!.! " "! ".! "!.! " "! ".! "!!..."! " " ""!." "... " "." "... " " ""!!..!." "... " "." "... " " ""!!..!.! " "! ".! "!!..."! " " ""!!"..!"!!"..!"!!"..!"!!"..!"! 4

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244 Tbel - V. 6. Cálclo s Mtrzes H e G os Pontos Internos os Elementos e Contorno 47 BC 9-4?56 8 $ 9 -, $ :-; 8 $?-$, $?; '.!! '! '."! '"! " ' '! '." '! ' '."!." '." '! ' '."!." '"! " ' '! '.!! '! '."! '"!! '."!! '"!! '."!!.!! '!!..! '"!!! ' '"" '. " '! '!. '"! ' '" '! '"! ' '" '! '. " '! '!. '"!!! ' '"" '." '!! '"! '!.! '." '!! '"! '!.! '!! '!! '."!! '! '.! '." " '! '"" '"! ' ' '"!. ".. '. '! ' '.!! '" "! ' "! '"!!! '" '. '!! '! " '!. '"! '! '"" '""! " '." "! '"!!! '" '" "! ' "! '. '! ' '.!! '"! ' ' '"!. ".. '." " '! '"" '."!! '! '.! '"! '! '"" '""! '. '!! '! " '!. " '." "! '!! '." '." ' " '." '"!"! ' '." ' '!. ' '." ' '!. ' " '." '"!"! '!! '." '." ' '."! '!! '" ' '."! '!! '" ' " 44

245 5. 5 Alterção o progrm POCONBE e cálclo pelo Métoo e Elementos e Contorno pr o Problem o Potencl Esclr O progrm POCONBE tlz elemento constnte, o Lvro: C. A. Brebb n J. Domngez, Bonr Elements, An Introctor Corse, n Eton, Compttonl Mechncs Pblctons, McGrw-Hll Book Compn., fo mofco e tl form qe s ntegrções não-snglres são efets com m número e pontos e Gss N g respetno s segntes regrs: Se l então N 4 > g. 56 Se < então N g 6 l. 57 Se l então N 8 g. 58 one é stânc entre o centro os elementos e e l é o comprmento eles, conforme mostr Fgr Fgr Depenênc stânc com o ro e ntegrção entre os elementos e contorno. segnte form: O efeto ess mofcção fo verfco o ror o progrm POCONBE, 45

246 v Roo-se o progrm n form orgnl form como está pr N g 4 e epos fzemos mofcção e roo-se novmente pr os N g vráves conforme s regrs cm e no fnl comprmos precsão os resltos e e e q nos pontos solctos. Dc: As regrs e contecerm ns stções mostrs n Fgr Fgr Vrção stânc reltvs entre os elementos e m contorno. Utlzo-se os comnos f then else f then else... fez-se s mofcções no progrm conforme mostr o Apênce A.. 46

247 Entr e Dos o Progrm POCONBE n form Orgnl Eemplo e plc com 8 nós 8 elementos constntes

248 Sí e Dos o Progrm POCONBE n form Orgnl *************************************************************************** EXEMPLO DE FLUXO DE CALOR 8 ELEMENTOS CONSTANTES Dos Nmero e Elementos e Contorno 8 Nmero e pontos nternos one fnção é clcl Coorens os pontos etremos os elementos e contorno Ponto X Y.E.E.E.E.E.E 4.E.E 5.E.E 6.E.E 7.E.E 8.E.E Concões e Contorno nó Cógo Vlor Prescrto.E.E.E 4.E 5.E 6.E 7.E 8.E *************************************************************************** Resltos Nós o Contorno X Y Potencl Derv o Potencl.5E.E.576E.E.5E.E.484E.E.E.5E.E -.6E.E.5E.E -.6E.5E.E.484E.E.5E.E.576E.E.E.5E.E.57E.E.5E.E.57E 48

249 Pontos Internos X Y Potencl.E.E.4E.5E.E.496E.E.5E.E *************************************************************************** 49

250 Sí e Dos o Progrm POCONBE n form Mofc *************************************************************************** EXEMPLO DE FLUXO DE CALOR 8 ELEMENTOS CONSTANTES Dos Nmero e Elementos e Contorno 8 Nmero e pontos nternos one fnção é clcl Coorens os pontos etremos os elementos e contorno Ponto X Y.E.E.E.E.E.E 4.E.E 5.E.E 6.E.E 7.E.E 8.E.E Concoes e Contorno nó Cógo Vlor Prescrto.E.E.E 4.E 5.E 6.E 7.E 8.E *************************************************************************** Resltos Nós o Contorno X Y Potencl Derv o Potencl.5E.E.57E.E.5E.E.488E.E.E.5E.E -.586E.E.5E.E -.586E.5E.E.488E.E.5E.E.57E.E.E.5E.E.586E.E.5E.E.586E 5

251 Pontos Internos X Y Potencl.E.E.E.5E.E.4959E.E.5E.E *************************************************************************** 5

252 Cpítlo VI INTRODUÇÃO A TEORIA DA ELASTICIDADE Apresentmos neste trblho o esenvolvmento mtemátco Teor Elstce Lner, por meo o métoo s Eqções Integrs e Contorno. Pr sso tlzmos ente e Somgln e eqção ntegrl e Bett pr eqconr Teor Elástc Lner em termos o Métoo os Elementos e Contorno. O Métoo os Elemento e Contorno pr Teor Elstce Lner fo esenvolvo mtemtcmente ese s form nlítc básc té s formlção fnl em termos s mtrzes H e G, pr mplementção comptconl nmérc. Os problems Teor Elástc Lner são mto nteressntes pr Engenhr e m form gerl. Nest scpln estmos nteressos em plcr o Métoo os Elementos e Contorno problems cêmcos e Elstce. Os eemplos e plcção qe serão q estos são, o e m plc pln com m fro crclr, qe represent m eemplo e omíno fnto; o e m cve crclr, qe represent m omíno nfnto e m eemplo e vg pree qe represent m problem mto comm em Engenhr. Em toos esses problems o recrso e smetr poe ser o não, tlzos pr smplfcr o cálclo e o csto comptconl o problem ser resolvo. Toos esses eemplos são clásscos e precem em versos problems e Engenhr 6. - Elementos e mecânc os sólos Um borgem solção e problems em mecânc os sólos é estbelecer relções prmero entre crgs plcs e tensões nterns e, sbseqüentemente, conserr s eformções. Um otr borgem é emnr s eformções nclmente, e então proceer às tensões e s crgs plcs. Desprezno-se eventl solção o cmnho 5

253 selecono, é necessáro ervr s relções os componentes nvlmente. Neste cpítlo, prmer sére e eqções s qs escrevem o eqlíbro entre forçs eterns e tensões nterns são ervs Análse o esto s tensões 6.. Trção e vetores e coplmento s tensões Um corpo eformável seto m crregmento eterno é mostro n Fgr Poem estr crgs plcs sobre o eteror, proprmente chm e forçs sperfcs, e crgs strbís entro o nteror o corpo, conhecs como forçs nterns. Um eemplo últm é o efeto grve, ql proz o peso-específco o corpo. Focno tenção sobre m elemento com áre N sobre o entro o corpo e orent conforme especfc por m vetor norml n, nós cmlmos forç resltnte F n e o momento M n. Ambs são grnezs vetors e não são, em gerl, prlels n. Logo bscmos ntense s resltntes sobre áre N n form. Fgr Corpo eformável sob crregmento eterno. f lm F n /V n ; vetor, 6. One T n é conheco como vetor s tensões o trção, e C n é chmo e vetor o coplmento s tensões. A teor elstce elementr procee sperposção e qe C n, enqnto trção T n represent ntense s tensões em m ponto pr m orentção 5

254 prtclr e elemento e áre especfc por n. Um escrção complet no ponto reqer qe o esto s tensões se conheco por toos s reções, tl qe T n ele mesmo é necessáro, ms não sfcente, pr est propost. 6.. Componente s tensões Nós gor estmos m prlelepípeo retnglr nfntesml no ponto em qestão e constrímos m sére e coorens crtesns prlels o lo, conforme mostro n Fgr. corresponente c eo cooreno é m vetor ntáro ê. Mostro n fgr são s trções T qe tm sobre c fce, com o sbscrto escolho corresponente fce norml ê. Novmente enftz-se qe, em gerl, T não é prlelo ê, o ql é perpenclr fce o prlelepípeo. Fgr Tensor s tensões norms e cslhntes em m corpo. o C trção poe ser escrt em termos s componentes crtesns n form: f f ê f ê f ê f ê, 6. f ê 6. ê f f f ê f ê Ms 54

255 T σ ê 6. 4 ql epnno eplctm,ente em três eqções fornece: σê σê σê ê 6. 5 T σ σ ê σ ê σ ê ê 6. 6 T σ o n σ ê σ ê σ ê ê 6. 7 T σ σ σ σ T [ T ] σ σ σ ê T σ ê σ σ σ ê ê T 6. 8 Os coefcentes σ, σ,..., σ, são conhecos como componentes s tensões o smplesmente como tensões, enqnto qe to mtrz form o tensor s tensões qno regr e trnsformção propr é verfc. O sbscrto e convenção os sns pr s componentes s tensões σ são como sege: O prmero sbscrto refere-se à norml ê, ql enot fce sobre ql T t. O segno sbscrto correspone à reção ê n ql tensão t. As tão chms componentes norms σ Σ são postvs se els prozem tensões, e negtvs se els prozem compressões. As componentes e cslhmento σ são postvs se recons n reção postv enqnto tm sobre fce com ne norml ê, o se recons n reção negtv enqnto tm sobre fce com ne norml ê. Enqnto é lgms vezes vtl stngr entre tensão e compressão ferenç entre cslhmento postvo e negtvo é glmente rbtráro. 55

256 6.. Tensão em m ponto Nós gor estmos em posção e proceer o prncpl obeto est secção, e então estbelecer conções sfcentes pr escrever completmente o esto tensões em m ponto. Nós mostrremos qe sto poe ser relzo por especfcção s trções T sobre c m os três plnos ê s qs pel eqção, é eqvlente especfcr s nove componentes s tensões σ. Então, se trção T n t sobre qlqer elemento rbtráro sperfíce, efn por m n propro, poe ser vlo, proposção é prov e o tensor s tensões σ, refero qlqer sstem crtesno convenente, completmente especfc o esto s tensões no ponto. Fgr Forçs gno sobre m tetrero elementr em m ponto P. O tetrero ferencl n Fgr - 6. mostr trção T n tno sobre o plno entfco por n, o longo com trções sobre s fces ncs por ê e forç ntern f por ne e volme. A forç sobre fce ncln é T n A n enqnto forç sobre c m s otrs fces é T A,,,, ese qe els têm norms ntárs ns reções negtvs ê. As áres os plnos estão relcons por 6. 8, one A A cos nˆ, eˆ A nˆ ê 6. 9 n n tl qe 56

257 A n ne ˆ A A 6. ˆ n one n nˆ.ˆ e cos nˆ, ê 6. é componente e n n reção ê e tmbém reção cosseno. A forç e eqlíbro pr o tetrero : T nan T A TA T A f han 6. One h é ltr o tetrero. Usno s eqções , eqção 6. torn-se: h T nan T A f An 6. Logo, resolveno T n em componentes crtesns T ê e tomno o lmte qno h conção e eqlíbro é stsfet se: T ê T n 6. 4 O prómo psso é escrever T em termos s componentes s tensões sno eqção Conto, é convenente prmero mr o ínce mo sobre o r.h.s eqção 6. 4 e pr, então: T n T n σ n ê 6. 5 O ql permte qe os coefcentes e ê ns eqções 6. 4 e 6. 5 sem eqcons forneceno: T σ n 6. 6 Recprocmente, se s componentes T são conhecs, mgnte e Tn poe ser vl como: / T T T T 6. 7 n n ese qe T n represent m componente trção qe t sobre m plno rbtráro como efno por n, o conhecmento s componentes tensão refers s coorens 57

258 crtesns é relmente sfcente pr especfcr completmente o esto s tensões no ponto. N eqção 6. 6, T e n são mbs componentes e m tensor [σ] e orem. Portnto, se s componentes s tensões são conhecs em m sstem e coorens, to o sstem, els poem ser vls por m otro sstem e coorens, to o sstem, pel le e trnsformção pr os tensores e segn orem. σ ' α α σ 6. 8 k l kl One c reção cosseno é: α cos ', 6. 9 conforme ntrozo nterormente 6. 9 represent o cosseno o ânglo entre os eos, e. ese qe regr e trnsformção eect m ppel mportnte n teor elstce, vle pen refrmr qe α α, sto é reção os cossenos não são smétrcos Tensão sobre o plno norml É lgms vezes útl resolver T n em componentes qe são norms e tngencs o elemento ferencl e sperfíce A n, conforme mostro n Fgr Fgr Elemento ferencl e sperfíce A componente norml é clcl por: σ N T. nˆ 6. nn n 58

259 T. ê. nˆ 6. T. n 6. o eqção 6. 7 componente tngencl é: σ σ n n 6. nn σ s T sˆ 6. 4 ns n T. ê. sˆ 6. 5 T. s 6. 6 σ σ n s 6. 7 ns one s ê. sˆ 6. 8 Isto freqüentemente convenente clclr σ ns sno o teorem e Ptágors como σ ns T / T σ nn 6. 9 conzno resolção m psso ms, s componentes crtesns e N e S poem ser vls: σ N nˆ. ê 6. nn k. êk σ nn k σ nn n k 6. 59

260 one k,,. prtr eqção 6. 8 pr σ ns, smples ção á σ n n n 6. k σ T σ k,,. 6. nn k n nn k one T k são s componentes crtesns e T conforme o pel eqção Representção ác s tensões Concetlmente, poe ser útl ver o tensor s tensões como m grnez tpo vetorl teno m mgnte e reções ssocos, especfcs por vetores ntáros. O áco, trbo o mtemátco J. Wllr Gbbs é m tl representção. Nós escrevemos o tensor s tensões o áco s tensões como: [ ] σ.ê. ê σ 6. 4 σ. ê. ê σ. ê σ. ê. ê. ê σ. ê. ê σ. ê σ. ê. ê. ê σ. ê. ê σ. ê σ. ê. ê. ê 6. 5 One os plos vetores stpostos são chmos ácos. As trções corresponentes são vls por m operção nálog o proto esclr o operção e proto n rtmétc vetorl: [ σ ]. ê σ ê T A operção ponto. e ê sobre [σ] selecon componentes com o segno vetor o gl ê ese qe ê.ê δ. A eqção 6. 6 é êntc eqção Smlrmente, s componentes norms e tngencs trção T n sobre m plno efno pel norml n são: nn [ σ ].ˆ. n nˆ σ 6. 7 T n. nˆ

261 σ.n. n 6. 9 e ns [ σ ].ˆ. n sˆ σ 6. 4 T n. sˆ 6. 4 σ.n. s 6. 4 como prevmente cho ns eqções 6. e 6. 4, respectvmente Eqções e Eqlíbro A prtr e gor vmos estr s eqções e eqlíbro r os sólos s qs são ecorrentes Mecânc Newtonn. 6.. Prncípos Físcos e Mtemátcos O esto s tensões em m ponto em qlqer reção tem so mostro ser completmente etermno pels componentes o tensor crtesno s tensões σ. Ntrlmente, s tensões vrm entro o corpo. As eqções qe governm strbção s tensões são conhecs como s eqções e eqlíbro e são ervs prtr plcção os prncípos fnments físc o momento nglr e o momento lner à regão mostr como n Fgr com áre sperfcl A e o volme V. 6

262 Fgr Corpo em eqlíbro. O prncípo o momento lner é: f V TA V A V ρ. V 6. 4 no ql ρ é ense e mss; é o vetor eslocmento, e o símbolo.. sgnfc erv em relção o tempo s vezes. reconheceno-se qe: e logo As eqções preceentes poem ser escrts n form e componentes prtr eqção Conserno o vetor posção r. 6.. Momento lner f f. ê T T ê σ.n. ê Pr problems estátcos, o r.h.s. s eqções 6. 4 são zero. Sbsttno-se s eqções, e em nós temos qe s eqções estátcs o momento lner são: 6

263 . V [ T ].ˆ na V f A o eqvlentemente. ê V σ n ê A V f A e V f. V σ n Aê A o. V σ n A V f A 6. 5 Spono qe s componentes σ s tensões são fnções contíns e clsse C e possem ervs contíns, poe-se sr o teorem vergênc pr trnsformr ntegrl e sperfíce em m ntegrl e volme. Portnto,.[ T ] V V A [ T ]. na ˆ 6. 5 Logo sbsttno em tem-se: V.[ T ] V V f V 6. 5 o V f.[ T ] V 6. 5 o V σ f V Como too elemento e V em eqlíbro, regão e ntegrção é rbtrár, vleno pr qlqer volme V, eqção é stsfet se o ntegro esprece. Portnto, 6

264 f σ Est é conção e eqlíbro pr o momento lner, ql represent s três eqções e eqlíbro em termos s nove componentes esconhecs tensão σ. 6.. Momento nglr O prncípo o momento nglr é: r f V r T A r ρ V V A V No ql r é o vetor posção como mostro n Fgr O eqlíbro os momentos emn qe: V r f V r [ T ] nˆ A A one r ê ê ê form esclr e é: one V ε k f k V A ε k σ n A lk l se qsqer os,, k são gs ε k se,, k é m permtção cíclc e,, 6. 6 se,, k é m permtção e,, Usno o teorem vergênc temos: V l ε k σ lk V ε k σ lknla 6. 6 A 64

265 V σ lk ε k σ lk V ε k fkv 6. 6 l l V logo sno 6. 6 em 6. 6 one: temos: V V σ lk ε k[ fk σ lk ] V 6. 6 l se l ε kσ lk V ε kσ lkδ lv ; δ l l se l sno epressão temos: V V l σ lk ε k[ f k σ lkδ l ] V l V ε k σ lk δ V l V ε k σ k V Como relção é vál pr qlqer volme temos: ε kσ k eqção poe ser vl pr,,, one e e Logo ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ 6. 7 σ σ

266 σ σ 6. 7 e σ σ 6. 7 o n e form gerl σ σ ql é m conção smetr o tensor s tensões e qe, lém sso, mplc qe σ tem ses componentes nepenentes, em vez e nove componentes. A eqção é mto mportnte em too o cmpo mecânc os sólos. Nós poemos reescrever eqção 6. 6 como: T σ n e eqção 6. 5 como: f σ A ql é gor m sére e três eqções e ses ncógnts. Dese qe els são ss repetmente, est é útl escrever s últms eqções n form eplíct: f σ σ σ e f σ σ σ e f σ σ σ ql represent m sstem qe é n esttcmente netermno. 66

267 Tensões Prncps Em too ponto em m corpo este m plno, chmo e plno prncpl, tl qe o vetor tensão se estene o longo norml n este plno. Isto é, T σ n σδ n 6. 8 one σ é tensão norml qe t sobre este plno. A mplcção é qe não este cslhmento gno sobre o plno prncpl. A reção e n é refer à reção prncpl. A ntroção eqção 6. 8 n eqção 6. 6 fornece: σ σδ n 6. 8 A ql é m sére e três eqções homogênes pr reção os cossenos n qe efnem reção prncpl. Dese qe n n, então pr evtr solção trvl,, evemos ter: ql em m form mtrcl é: et σ σδ n 6. 8 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 6. 8 Est é m eqção cúbc em σ qe poe ser escrt como: σ I σ I σ I One I, I, I são grnezs esclres qe são nepenentes o sstem e coorens n ql s componentes s tensões são epressos. Els são chms e tensões nvrntes como: e e I I σ σ σ σ σ

268 I ε kε pqrσ pσ qσ kr Em m form eten temos: e e I σ σ σ I σ σ σ σσ σ σ σ σ σ σ σ I σ σ σ 6. 9 σ σ σ Devo à smetr o tensor s tensões estem três rzes res σ, σ, σ, referente s tensões prncps eqção Assoco c tensão prncpl este m reção prncpl stsfzeno eqção 6. 8 e n n. As três reções prncps e os plnos ssocos são mtmente ortogons. Poe ser mostro qe s tensões prncps corresponem o vlor mámo, ntermeáro e mínmo s tensões norms em m ponto crclo e Mohr. Conto, mám tensão e cslhmento neste ponto é gl mete ferenç entre s tensões prncps mám e mínm qe t sobre o plno, fzeno m ânglo e 45 o grs com reção s tensões. Um conhecmento s tensões prncps é mportnte porqe els formm bse teor s flhs os mters Análse s eformções Consere m corpo fleível como m geltn, sofreno peqens eformções, conforme mostr Fgr e r r,, e r ' r ' ', ', ' 6. 9 r r ' ê 6. 9 ' ê ' ê ' 68

269 69 Fgr Deformção trmensonl em m corpo fleível. one o e trção norms eformções l l l l l l ; ; 6. 9 o e cslhmento tngencs efor l l l l l l l l l l l l. ; ; ; ; Chmno e: l l ε, poemos escrever: ε Pr m eformção qlqer temos:

270 ε, Pr o cso e temos s stções: Fgr Csos e eformção e b rotção o ponto e vst e eslocmento vetorl. Pr o cso e formção pr temos: l l l l ε ε, logo ε ε ε, e pr o cso e rotção pr temos: l l l l ε ε, 6. logo 7

271 ε ε ε, 6. Pr qe m rotção pr não se nclí no cálclo s eformções, conforme é mostro no eemplo Fgr cm, evemos constrr m tensor e eformções smétrco one ε ε, logo e m form gerl evos ter: ε, 6. Observe qe est constrção tmbém ncl s eformções norms, seno portnto m efnção bsoltmente gerl Tensor s eformções Somno-se s contrbções e c eformção pr encontrr eformção resltnte em m reção temos: e e ε ε ε, 6. ε ε ε, 6. 4 ε ε ε, 6. 5 Escreveno sob form e mtrz nós temos qe o tensor s eformções é o por: ε ε ε ε ε ε ε ε, 6. 6 ε Escolheno orgem one o vetor,, é nlo, o tensor ε á relçào entre os vetores; o vetor cooren r,, e o vetor eslocmento,, Dense e energ e eformção A ense e energ e eformção, W Wε kl, é m fnção potencl s eformções efn como: 7

272 C convee e conção e estble é por: Usno 6. 7 temos: one W ε σ ε, 6. 7 ε kl W W ε '' W ε ε'' kl ε kl, 6. 8 ε kl ε W ε σ ε, 6. 9 σ W, 6. ε Logo W ε '' W ε σ ε '' kl ε kl, Eqções e comptble A prtr regr e Schwrtz temos qe: W ε ε kl W ε ε kl, 6. Portnto σ ε kl σ ε kl, 6. Dest form o Jcobno fc: W ε ε kl ε W ε ε kl W W ε ε ε W kl kl,

273 Logo ε W ε W kl W ε ε kl W ε ε kl, Mters Elástcos Lneres Conserno o cso e mters elástcos lneres ense e energ e eformção poe ser epn em sére e Tlor segnte form: W ε W ε kl W ε... ε kl, 6. 6 ε ε Conserno qe o prmero termo epnsão cm se nl por ser m posção e eqlíbro, nível zero ense e energ potencl, temos: kl W ε kl C kl ε ε kl, 6. 7 Est é Le e Hooke n s form generlz, one: W ε kl σ ε C kl ε kl, 6. 8 Est eqção mtrcl á orgem m mtrz C kl e 9 lnh e 9 colns em m totl e 8 elementos n mtrz. Porém por smetr temos qe: C C ; C C ; C C, 6. 9 kl kl kl lk Logo rezmos os elementos pr o número e, os qs escrtos e form eplct temos; kl kl σ σ σ τ τ τ zz z z C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C ε ε ε zz, 6. ε z ε z ε Defnno o mólo e cslhmento, G, como seno o por: 7

274 τ z Gε z, 6. e τ z Gε z, 6. e τ z Gε z, 6. logo e o mólo e Posson pr,como τ Gε kl, 6. 4 v ε, 6. 5 ε como: As eqções e tensões poem ser escrts em termos o mólo elástco, E, σ Eε veε veε, 6. 6 zz e σ veε Eε veε, 6. 7 zz e σ veε veε Eε, 6. 8 zz zz A mtz nteror poe ser escrt como: σ σ σ τ τ τ zz z z E ve ve ve E ve ve ve E G G ε ε ε zz, 6. 9 ε z ε z G ε Logo s eqções e eformção fcm: 74

275 ε [ σ v σ σ zz ], 6. E e ε [ σ v σ σ zz ], 6. E e ε zz [ σ zz v σ σ zz ], 6. E Sbeno qe: E v G, 6. De m form gerl, sto é, pr m mterl sotrópco s eqções e tensão poem escrts como: σ v µ ε δ ε kk, 6. 4 v One µ G : é o mólo e cslhmento Combnno s eqções 6. 7 e 6. 8 temos: W σ ε, 6. 5 Sbsttno eqção 6. 4 em 6. 5 temos: W v ε µ ε ε ε ε, 6. 6 v Complementre ense energ e eformção A estênc e m únc nvers relção constttv 6. ε σ kl ε kl σ, 6. 7 Assegr estênc complementre ense e energ e eformção, W* W*σ, efn por trnsform e Legenre como: 75

276 W * σ ε W, 6. 8 A prtr regr ce ervno eqção 6. 8 temos: W σ * ε W ε ε σ, 6. 9 ε Sbsttno eqção 6. 8, pr σ temos: W σ * ε σ ε σ, 6. 4 Portnto, * W ε σ, 6. 4 É ret mostr qe convee e W* sege convee e W. fornece: Pr m mterl frágl elástco lner combnção e 6. 5 com 6. 8 W W * σ ε, 6. 4 Poe-se escrever pr este cso qe: W * * σ kl C klσ σ kl, 6. 4 One o tensor C* kl é o nverso o tensor C kl e mesm form: C * kl * * * * * C kl ; C kl C lk ; C kl C kl, Sege e 6. 4 e 6. 4 qe: ε * W σ kl * C klσ kl, σ Pr m mterl sotrópco eqção se rez 76

277 ε v v σ δ σ kk, E E e W* torn-se: W * v v σ kl σ klσ kl σ kkσ ll, E E Se m le e potênc entre tensão e eformção este, pel eqção 6. 8, e tl form qe eformção é m fnção homogêne e gr n tensão eqção 6. 45, então eqção 6. 4 mplc qe W* eve ser m fnção homogêne s componentes tensão e gr n. Isto sege o teorem e Eler pr fnções homogênes, portnto: W * * W σ σ ε, n σ n Combno 6. 8 com temos: W * n σ ε n, Qno tensão é proporconl eformção n então s eqções 6. 4, e tornm-se êntcs eqção

278 Cpítlo VII PROBLEMAS DE ELASTOSTÁTICA RESUMO Neste cpítlo será vsto formlção ntegrl básc Teor Elstce, Le e Hooke, pr obtenção Solção Fnmentl o Métoo os Elementos e Contorno e o estbelecmento s Implementção Nmérc, tnto pr regões fnts como nfnts. 7. Obetvos o cpítlo Entener formlção Integrl Básc Teor Elstce Sber plcr o Métoo os Elementos e Contorno em problems e potencl ns ss ms ferentes forms envolveno Teor Elstce. Resolver problems e eqções ferencs pertnentes o métoo. 7. Introção A Teor Elstce nsce prtr le e Hooke pr eformção elástc e m mol. Com é o contíno e, pelo fto os corpos sob tensão se comportrem e form nálog m mol sten, teor elástc lner qr m ropgem mtemátc útl pr s plcção em corpos sólos. Dest form el é bse pr otrs áres cêncs ts como: Mecânc os Sólos, Mecânc Estrtrl, Mecânc Frtr, etc. seno m teor fnmentl qe poss lrg plcção n Engenhr. 78

279 7. Notção Crtesn Incl Os ínces,,, são sos pr sbsttr,, z e os símbolos e somtóro são esnecessáros sempre qe m mesmo ínce prece s vezes em m termo qlqer. Eemplo: No cso D e 7. kk b b b b b 7. O símbolo o Delt e Kroeneker δ é efno como: δ se E : δ 7. se Como por eemplo: δ δ δ δ 7. 4 Pr problems tr-mensons D, os ínces vrm e, pr problems b-mensons, e Teor Elstce Lner o e A eqção e eqlíbro estátco no nteror Ω e m corpo é por: σ, b 7. 5 σ σ σ σ, σ, σ, b b

280 σ σ σ σ σ σ σ σ σ b b b 7. 7 one: σ : represent s componentes o tensor e tensão b : represent s componentes s forçs e volme. As ervs espcs são ncs por m vírgl σ, σ, σ, σ, σ σ σ, σ σ 7. 8 A conção e eqlíbro no contorno o corpo é o por: p σ n 7. 9 one p represent s componentes o vetor e forç e sperfíce e n represent os cossenos retores norml rg pr for o corpo, conforme mostr Fgr Fgr Domíno Ω fntos e nfntos com contorno eterno e nterno respectvmente. le e Hooke fornece: Pr m mterl elástco sotrópco one não estem vrções e tempertr 8

281 σ Gv Gε ε kkδ 7. v one: G: mólo e elstce trnsversl v: coefcente e Posson ε : tensor e eformção específc e Cch Seno os componentes o vetor e eslocmentos. ε,, 7. Alterntvmente, eqção 7. poe ser escrt como: σ 7. Cklε kl one C kl é o tensor sotrópco e qrt orem e constntes elástcs. C kl Gv δ δ kl G δ kδ l δ δ k 7. v A sbsttção eqção 7. n eqção 7. permte representr s tensões em termos e ervs e eslocmentos. Est eqção resltnte poe, então ser sbsttí em 7. 5 e 7. 9 pr fornecer s eqções e eqlíbro tmbém em termos e ervs e eslocmentos. Como reslto esss operções, são obts s eqções e eqlíbro e Nver., G G kk k, k b v em Ω 7. 4 Trblho o crso - : Fzer sbsttção eqção 7. n eqção 7. e obter eqção 7. 4, sno 7. 5 e Solção: Fzeno sbsttção eqção 7. n eqção 7. temos: 8

282 σ Gv G,, k k k k δ v,, 7. 5 o Gv σ G,, k, k k, k δ 7. 6 v Logo Gv σ G,, k, k δ 7. 7 v Sbsttno 7. 7 em 7. 5 temos: Logo Gv G,, k, k δ, b 7. 8 v Gv G,, k, k δ b 7. 9 v sno propree fnção Delt e Drc temos: Gv G,, k, k b 7. v pel gle e Schwrtz one,, poemos escrever epressão 7. como: Gv G,, k, k b 7. v o Gv G, k, k b 7. v vno to epressão por os temos:, Gv G k, k b v 7. 8

283 Como o ínce é mo ele poe ser troco pelo ínce k, fcno:, Gv G kk k, k b v Por otro lo, mltplcno eqção 7. 7 por n, temos: Gv σ n G,, n k, k δ n 7. 5 v sno propree fnção Delt e Drc temos: Gv σ n G,, n k, k n 7. 6 v e sbsttno 7. 9 em 7. 6 temos: Gv p G,, n k, k n 7. 7 v - - Então, s forçs e sperfíce no contorno evem stsfzer segnte eqção: Gv v k, k n G,, n p em 7. 8 As eqções são váls pr problems trmensons. Pr problems b-mensons, lém os ínces vrrem e, e lém sso tem-se: - Pr problems e esto plno e tensão, ν eve ser sbsttío por v v / v em tos s eqções e G permnece o mesmo. - Pr problems e esto plno e eformção o vlor e ν não se lter. 8

284 7. 5 Métoo os Elementos e Contorno Se o corpo efno por Ω qe está em eqlíbro sob ção e crgs e eslocmentos prescrtos. Esse esto é represento pelo grpo σ, ε,, p e b, conforme mostr Fgr Fgr Corpo em eqlíbro sob ção e crgs e eslocmentos prescrtos. Amte-se então estênc e m omíno Ω* com contorno * qe contém o corpo Ω. Como nterormente, ess nov regão tmbém está em esto e eqlíbro, represento por, σ *, ε *, *, p * e b *, conforme mostr Fgr Fgr Regão complementr em eqlíbro sob ção e crgs e eslocmentos prescrtos. e D eqção 7. temos: σ 7. 9 Cklε kl 84

285 σ * Cklε kl * 7. Então mltplcno-se prmer eqção 7. 9 por ε * temos: σ ε * Cklε kl ε * ε kl Cklε * 7. como C kl C kl 7. tem-se: σ ε * ε klcklε * ε kl Cklε * ε klσ kl * 7. Assm: σ ε * σ * ε 7. 4 poe-se ntegrr no omíno Ω e obter: Ω σ ε * Ω σ * ε Ω Ω 7. 5 Integrno por prtes os os los e 7. 5 e sno s eqções 7. 5 e 7., encontrse: b * Ω p * b * Ω p * Ω Ω 7. 6 Qe correspone o º teorem e Bett Recproce. Trblho o crso - : Solção: Obter eqção 7. 6 prtr eqção A prtr e 7. poemos escrever 7. 4 como: σ ε * σ, * σ, * 7. 7 Como o tensor s tensões é smétrco poemos escrever: 85

286 σ ε * σ, * σ, * 7. 8 o qe reslt em Sbsttno 7. 9 em 7. 5 temos: σ ε σ, * 7. 9 * Ω σ ε * Ω σ, * Ω Ω 7. 4 Ms σ *, σ, * σ, * 7. 4 Logo sbsttno 7. 4 em 7. 4 temos: Ω σ ε * Ω [ σ *, σ, *] Ω Ω 7. 4 o Ω σ ε * Ω σ *, Ω σ, * Ω Ω Ω 7. 4 Pelo teorem vergênc temos qe: σ *, σ n * p * Ω Logo poemos escrever 7. 4 como: Ω σ ε * Ω p * Ω σ, * Ω Ω Ω Usno 7. 5 em temos: Ω σ ε * Ω p * Ω b * Ω Ω Logo tmbém vle: 86

287 Ω σ * ε Ω p * Ω b * Ω Ω Portnto prtr e 7. 5 temos: Ω p * Ω b * Ω p * Ω b * Ω Ω o fnlmente p * b * Ω p * b * Ω Ω Ω b * Ω p * b * Ω p * Ω Ω 7. 5 Amtno qe s componentes s forçs e volme b * corresponem s forçs concentrs ntárs plcs no ponto ξ e Ω* em c m s três reções ortogons efns pelo vetor e componente p, tem-se: b * δ ξ, X 7. 5 P One P, sto é: P P P conforme mostr Fgr e δ ξ, X é fnção elt e Drc e ξ, X δ se ξ. Fgr Sstem e coorens os eos prncps, P, P, P, o problem elástco com omíno Ω e contorno e omíno recíproco Ω * e contorno recíproco *. 87

288 Teno em vst qe: Ω* g X δ ξ, X Ω X g ξ 7. 5 A prmer ntegrl em 7. 5 poe ser sbsttí por: b * Ω ξ P ξ ξ ξ Ω 7. 5 Se c crg ntár concentr tr nepenentemente os eslocmentos e forçs e sperfíce * poem ser escrts n form: * p * p * ξ, X P * ξ, X P one *, X ξ e p * ξ, X representm os eslocmentos e s forçs e sperfíce n reção no ponto X evo m forç ntár plc n reção e tno no ponto ξ. ξ : ponto fonte X : ponto cmpo Alterntvmente, eqção 7. 5 poe ser reescrt pr representr c componente e eslocmento em sepro. Com ess fnle ot-se: procemento proz três eqções form: P δ, P δ e P δ, este ξ Ω * ξ, X b * ξ, X p X X Ω X p * ξ, X ξ, X X Trblho o crso -: Obter ente Somgln prtr 7. 5, 7. 5 e A eqção é conhec como ente e Somgln pr os eslocmentos. Est eqção fo obt trvés recproce com solção snglr eqção e Nver stsfzeno : 88

289 G *, kk G v k *, k δ ξ, X P b* As solções eqção são enomns solções fnments. OBSERVAÇÃO: Notr lbere e escolh s conções e contorno e form regão Ω* *. Solção: Sbsttno 7. 5 e em 7. 5 temos: Ω δ ξ, X P Ω p * ξ, X p P * ξ, X P Ω * ξ, X b P Ω Aplcno propree fnção Delt e Drc temos: ξ P Usno o fto e qe: p * ξ, X p P * ξ, X P Ω * ξ, X b P Ω Temos ente Somgln: P δ, P δ e P δ 7. 6 ξ p * ξ, X p * ξ, X P X X Ω * ξ, X b Ω X 7. 6 o ξ Ω * ξ, X p * ξ, X b X Ω X p * ξ, X P X

290 Solções Fnments Estem ferentes solções eqção qe poem ser glmente empregs. Ests solções vrm tnto em relção à regão Ω* * como tmbém em relção às conções e contorno. Qno o omíno Ω* represent o espço elástco nfnto, solção fnmentl é enomn solção e Kelvn Note qe * está nesse cso nfntmente stnte e Ω. Cos eslocmentos pr o esto plno e eformção, são os por: e [ 4v r, r ] * ξ, X δ, pr D π v Gr [ 4vln r r, r ] * ξ, X δ, pr D π v G Pr o esto plno e tensão, eve-se tlzr v v / v.além sso: p [ v δ βr, r, ] r ξ, X v r, n r, n α 4απ v r n * one α, ; β, pr problems D e D EPD respectvmente. r rξ,x é stânc entre ξ e X ; s ervs e r são em relção às coorens e X, o se: r r. r / r r X ξ r r r X ξ ; r X ξ e r r r r, X r ξ Como mencono, s epressões o esto plno e tensão EPT são s mesms o esto plno e eformção com v sbsttío por: v v v 9

291 Deção forml Iente Somgln A eqção 7. 5 poe ser escrt n form: σ * ξ, X. ε X Ω X σ X ε * ξ, X Ω X Ω ε Ω ε One Ω ε é o omíno qe rest e Ω qno se retr m esfer e ro ε e o contorno ε, centr em ξ, o omíno orgnl Ω, conforme mostr Fgr Fgr em Ω ε os tensores * não são snglres ξ Ω ε Portnto, mtno-se qe ε X e σ X sem mbos contíns e lmts em qlqer ponto X Ω, ntegrção por prtes como fo feto nterormente, fornece. ε Ω p ε * ξ, X X X * ξ, X b X Ω X ε * ξ, X p X X 7. 7 Em relção s ntegrs efns em ε, tem-se: Pos Jstfctv: Cso D: lm * ξ, X p X X ε 7. 7 ε 9

292 9 ; ~, * ε ε ξ X X 7. 7 Cso D: ε ε ξ ; ~ ln, * X X 7. 7 Qno.ln lm ε ε ε e ε ε ε ξ ξ ξ ξ ξ, * ] [, *, * X X p X X X p X X X p one, pel hpótese e contne e, ε, ξ, temos: ] [, * lm X X X p ξ ξ ε ε Jstfctv: Cso D: ; ~, * ε ε ξ X X p Cso D: ε ε ξ ; ~, * X X p A últm ntegrl em é clcl lembrno qe solção fnmentl correspone crgs ntárs concentrs plcs em ξ. Assm P P X X p P X X p δ ξ ξ ε ε, *, * qe fornece:

293 ξ p * ξ, X X ξ P ε A epressão é nepenente e ε e poe ser verfc efetno-se ntegrção nlítc. Conseqentemente, trno-se o lmte qno ε e otno-se c crg ntár tno seprmente, eqção chm e nente Somgln é obt. eslocmento tensão eformção Tensões nos Pontos Internos A eqção é m representção contín e eslocmentos em pontos o nteror o corpo. Conseqentemente, s componentes e tensão nesses pontos nternos ξ Ω poem ser etermns ervno eqção em relção às coorens o ponto fonte ξ pr obter s eformções específcs e, em seg, sbsttno epressão resltnte n le e Hooke eqção 7.. A epressão fnl é por: σ ξ Ω k k * ξ, X b * ξ, X p k k X X Ω X p k * ξ, X k ξ, X X 7. 8 Observe qe s ervs form plcs retmente entro s ntegrs. Esse procemento, válo nesse cso, não é sempre plcável no cso e ntegrs relzs nteror o omíno. As componentes os novos tensores são: e k [ v r, δ r, δ r, δ r, r, r, ] * ξ, X k k k β α 4πα v r pr D k 7. 8 p k G * ξ, X απ v r βv n r, r, k n r, r, k β r { β n v βn [ v δ r, v δ r, δ r, γr, r, r, ] k r, r, k n δ k k n δ k k 4v n δ } k k 7. 8 one 9

294 e e e γ β α 7. 8 Pr D e D respectvmente Notr qe sbsttção, X r r r ξ á fo fet Métoo os Resíos Poneros O Problem Elástco o Métoo os Resíos Poneros consste em resolver eqção e Nver bo e mner prom:,, k k kk b v G G em Ω com s conções e contorno em p p em Os erros e promção poem ser strbíos e coro com sentenç os resíos poneros, segnte form: * * *, Ω Ω σ p p p b k k k k k k k k k One k * e p k * esempenhm ppes s fnções e ponerção e representm s solções fnments n regão Ω* * qe contém o corpo Ω. Integrno por prtes o prmero termo eqção temos: * * * * * ε Ω Ω Ω Ω ε σ p p p b k k k k k k k k k k k 7. 88

295 Sbsttno eqção 7. σ em e conserno smetr o Cklεkl Tensor C kl, o prmero termo e poe ser novmente ntegro por prtes. A epressão resltnte é: Ω σ * p k k, * k k Ω Ω b p k k k * * Ω k k * p k k * p k Lembrno qe solção fnmentl o fnção e ponerção stsfz σ, * δ ξ, X P 7. 9 k A eqção é obt, ql é ente Somgln pr solção prom one mte-se tmbém qe c crg ntár t em sepro. É mportnte notr qe o empregr o Métoo os Resíos poneros, não fo necessáro mtr qe solção prom stsfzesse etmente eqção e eqlíbro 7. 4 em Ω. No entnto, poe-se ervr eqção 7. 8 e verfcr qe, mesmo pr solções proms, eqção 7. 4 é verfc etmente, o qe vl s formlções nterores Eqção Integrl e Contorno A ente e Somgln não poe ser empreg pr obter os eslocmentos o tensões enqnto os vlores e eslocmentos e e forçs e sperfíces não forem conhecos em too o contorno s forçs e volme são consers sempre conhecs. Portnto, pr solção o problem, o se obtenção epressão lmte eqção ntegrl e contorno, eve-se clclr m epressão pr o lmte qno o ponto ξ pertence o contorno ξ conforme mostr Fgr k, nesse cso, mte-se qe o corpo poe ser represento 95

296 96 Fgr Ponto e Colocção ξ pertencente o contorno Pr o corpo cm, eqção poe então ser escrt como: ε ε ε ε ε Ω Ω ξ ξ ξ *, *, * X X b X X p X X X X p 7. 9 one hpótese e qe c crg ntár t seprmente á fo fet. Poe-se estr seprmente o lmte qno ε e c ntegrl e 7. 9 ε ε ε ε ε ε ε ξ ξ ξ ξ, * lm, * lm, * lm X X p X X X p X X X p 7. 9 A prmer ntegrl à ret em 7. 9 poe ser escrt como: ε ε ε ε ε ε ξ ξ ξ ξ ξ, * lm ] [, * lm, * lm contne e X evo X X p X X X p X X X p 7. 9 one prmer ntegrl à ret é nl, pel contne e X efne-se:

297 C ξ lm ε ε p * ξ, X X o vlor e C epene geometr o contorno no ponto ξ Voltno-se à eqção 7. 9, verfc-se qe segn ntegrl à ret eve ser nterpret no sento e vlor prncpl e Cch, c estênc poe ser emonstr se X stsfz à conção e Holer: α X ξ Br one B e α são constntes postvs As ntegrs restntes em 7. 9 tem snglres ms frcs e não presentm problems. Portnto, tomno-se o lmte qno ε, eqção 7. 9 resltnte fornece C Ω ξ ξ * ξ b p * ξ, X X Ω X X X * ξ, X p X X one prmer ntegrl à ret é clcl no sento o vlor prncpl e Cch. Poe-se emonstrr qe C ξ δ / pr m contorno sve em ξ. A eqção fornece m relção qe eve ser stsfet pels forçs e sperfíce e pelos eslocmentos no contorno nclno s forçs e volme qe são conhecs. Portnto, qno s conções e contorno são plcs, ess eqção poe ser s pr clclr s ncógnts no restnte o contorno Regões e Domínos Infntos A etensão eqção pr o cso e regões nfnts eve ser stsfet levntno-se em conserção lgms hpóteses cons reltv às fnções envolvs. Ests hpóteses estão ssocs o comportmento s fnções em m sperfíce nfntmente stnte e ξ e efnem chm conção e reglre no nfnto. Se ρ o ro e m esfer e sperfíce ρ, centr em ξ, qe envolve s cves o problem eterno represento conforme mostr Fgr

298 Fgr Regões e omínos fntos. smplfcr como: A eqção poe ser escrt pr regão entre e ρ como b pr C ξ ξ p * ξ, X X X * ξ, X p X X ρ ρ Tomno o lmte qno ρ, eqção poe ser escrt em termos e ntegrs sobre pens se conção e reglre for stsfet. lm ρ ρ ξ [ p * ξ, X X * ξ, X p X ] X Pr problems D X ρ : tem-se: X J φθ e J * ξ, X ϑ ρ p ξ, X ϑ ρ ϑ ρ Portnto, se n por s hpóteses, X ϑ ρ nfnto, s conções e reglre são stsfets. e X ϑ ρ p no 98

299 Deve-se observr qe se crg totl plc sobre sperfíce não for toeqlbr, o qe gerr m ecmento ms rápo n, o prncípo e Snt-Vennt mostr qe X e p X terão o mesmo comportmento qe solção fnmentl corresponente m crg concentr n reção resltnte. Portnto, X ϑ ρ e X ϑ ρ seprmente. Pr problems D. p são obts e c termo e se nl X J φ e J ϑ ρ * * p ξ, X ϑln ρ ; ξ, X ϑ ; ξ, X ϑ ρ 7. Portnto, pr grntr qe c termo e se nl seprmente, é necessáro qe X ϑ ρ e p X ϑ ρ como no cso D vsto nterormente. Esse cso, no entnto, não correspone o comportmento solção fnmentl no nfnto. Com bse no qe fo feto pr o cso D, poe-se sbsttr X e X pelos tensores corresponentes à solção fnmentl D e verfcr qe eqção tmbém é stsfet. A últm ferenç é qe, gor os termos não se nlm seprmente, ms se cncelm qno ρ. p Conclsão se X e X Poe-se frmr, portnto, qe s conções e reglre são sempre stsfets p se comportm n por s hpóteses, como solção fnmentl no nfnto. Nesse cso problems e cve em meos nfntos tmbém poem ser representos pel eqção C ξ ξ p * ξ, X X X * ξ, X p X X 7. note qe norml nˆ pont pr entro cve 99

300 Fgr Utlzção os Métoos Nmércos n solção e problems prátcos one os omínos e os contorno são nternos o eternos Implementção Nmérc Se eqção 7. por: C ξ ξ p * ξ, X X X * ξ, X p X X 7. Temos como obetvo resolver est eqção 7. o eqção com s segntes conções e contorno: p p em em 7. segnte mner: Empreg-se o procemento nmérco promo qe poe ser resmo O contorno é scretzo promo em m sére e elementos sobre os qs os vlores e e p são nterpolos em fnção os ses vlores nos.

301 A eqção é reescrt n form scretz pr c ponto nol ξ o contorno e s ntegrs são clcls slmente e form nmérc, prom sobre c elemento e contorno. Um sstem e N eqções lgébrcs qe envolvem N vlores nos e eslocmentos e N vlores nos e forçs e sperfíce é obto. As conções e contorno 7. são mposts, conseqentemente N vlores nos são prescrtos forç e sperfíce o eslocmentos em c reção por nó. O sstem e eqções poe, então ser, resolvo mner sl pr se obter os N vlores nos ncógntos restntes. Os vlores os eslocmentos e tensões em qlqer ponto nterno ξ ξ Ω selecono poem ser obts posterormente empregno ente Somgln mostr n eqção 7. 56, pr eslocmentos, e eqção 7. 8 pr tensões. Observr qe s forçs e volme, por serem conhecs, contrbem pens pr o termo nepenentemente o sstem e eqções. Fgr Pontos nos e m contorno reglr no cso bmensonl. Elemento Lner: As coorens crtesns ~ os pontos o contorno loclzos o longo o elemento são epressos em termos e fnções e nterpolção M e s coorens ~ m nos nós geométrcos o elemento n form: ~

302 ~ ~ ~ m M 7. 4 coorens nos os nós geométrcos. Fgr Elemento lner com o ponto fonte o e e colocção ξ concente com o nó geométrco. Fgr Elemento lner com o ponto e colocção ξ concente com o ponto e colocção. De mner nálog, eslocmentos e forçs e sperfíce são proms sobre c elemento, trvés o so e fnções e nterpolção ~ N nterpolção fnconl ~ ~ ~ ~ ~ ~ m m p N p N 7. 5 one ~ ~ e m m p contém os vlores nos e eslocmentos e e forçs e sperfíces. Observe qe o número e nós geométrcos efnção e ~ m e fncons efnção ~ ~ o m m p poem ser ferentes. Amtno qe o contorno é scretzo em L elemento eqção poe ser escrt como: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ * * m L m L p N N p C ξ ξ 7. 6

303 pr m ponto ξ. Teno em vst qe s fnções e nterpolção M e ~ N são normlmente ~ epressos em termos e m cooren mensonl η, eve-se escrever em relção esse sstem e coorens: one o cobno est trnsformção é o por: J η 7. 7 J 7. 8 ~ η η Em csos ms smples, s ntegrs ncs em 7. 6 poem ser clcls nltcmente. Em gerl, processos nmércos ntegrção tpo Gss conzem procementos ms efcentes e poem ser ss com fnções e nterpolção e orem ms elev. O cso especl ξ reqer cos especs evo à snglre em r. Nos csos norms em qe ξ, s ntegrs são clcls como: p* N p* N J η ~ ~ ~ ~ K k ~ J w p* N k ~ ~ k 7. 9 e K * N * N J η J ~ ~ ~ ~ k ~ w * N k ~ ~ k 7. one k é o número totl e pontos e ntegrção e w k é o peso ssoco o k esmo ponto. D plcção e 7. 6 toos os NN pontos nos fncons, m sstem e NN eqções é encontro. ~ ^ C H G p 7. ~ ~ ~ ~

304 one os vetores e ~ p contém os vlores e eslocmento e e forç e sperfíce em tos os ~ pontos nos fncons e mtrz qse gonl form mtrz H : ~ C poe ser ncorpor à mtrz H ^ pr ~ ~ Assm o sstem e eqções poe ser escrto como: ~ ~ ^ H C H 7. ~ H G p ~ ~ ~ ~ 7. As sbmtrzes gonl e H qe corresponem os coefcentes C ξ ms os vlores ~ prncps e Cch poem ser clclos trvés mposção conção e qe trnslções e corpo rígo corresponem s forçs e sperfíces nls. C C C h h h C44 h 4 h h h h Portnto, otno-se s trnslções nepenentes δ e δ, segnte relção, vál pr corpo fntos, é obt: NN q H ~ pq ~ q ~ p,,..., NN 7. 5 One H represent s sbmtrzes e H e I q,,... NN. ~ pq ~ ~ q ~ n form: Seno I mtrz ente e orem. ~ A eqção 7. 5 permte o cálclo nreto s sbmtrzes gonl e H ~ NN H H α,,..., NN 7. 6 ~ αα αq q ~ q α A epressão 7. 6 é vál pr corpos fntos. 4

305 Pr corpos o regões nfnts, no entnto, eve-se observr qe como ~ q ϑ é constnte, s conções e reglre são vols. Conseqentemente, evese conserr, nesse cso: C ξ ξ p * ξ, X X lm p ρ ρ * ξ, X X 7. 7 one correspone m trnslção qlqer e corpo rígo e ξ. Fgr Como p *ξ,x correspone s crgs ntárs postvs plcs n reção, conção e eqlíbro n regão Ω* * conz : lm p * ξ, X X δ ρ 7. 8 ρ A sbsttção e 7. 8 em 7. 7 pr s trnslções ots nterormente proz o segnte reslto pós scretzção: H ~ αα NN H I H α,,..., NN 7. 9 ~ αα ~ αq q ~ q α As epressões 7. 6 e 7. 9 fornecem m mner nret e clclr, sem necesse o cálclo nlítco os coefcentes C ξ e os vlores prncps e Cch. Após plcção s NN conções e contorno, o sstem e eqções 7. represento pel eqção 7. 6 poe ser reoreno n form: 5

306 A ~ ~ f ~ 7. One A é m mtrz che e não smétrc e orem NN, o vetor ~ é formo pelos ~ vlores nos ncógntos e eslocmento e forç e sperfíce e contrbção os vlores prescrtos está nclí no vetor f ~ H G q ~ ~ ~ ~ 7. E A ~ ~ f ~ 7. O Progrm BEASY Elementos e Contorno pos Fnlmente, cbe observr qe, no cso e corpos fntos, mtrz H é snglr ~ H 7. ~ ~ mte solções não trvs qe corresponem movmentos e corpo rígo. ~ No cso e corpos nfntos, por eemplo: cves, nos qs se mte qe s conções e reglre são stsfets, os movmentos e corpo rígo não são ms lvres e, conseqentemente, Elemento Constnte D H não é ms snglr. ~ Fgr Elemento lner com o ponto e colocção ξ concente com o ponto e colocção. 6

307 7 ~ ~ I C ξ mtrz ente 7. 4 Neste cso tem-se: [ ] m N I N I M ~ ~ ~ ~ ~ 7. 5 ~ ~ ~ ~ I N m 7. 6 ~ ~ ~ ~ p p I p N p p p m 7. 7 l J 7. 8 Qno ξ, tem-se: * * * * ~ ~ ~ ~ ~ ~ k K k k p w l p l I p l N p η η η 7. 9 * * * * ~ ~ ~ ~ ~ ~ k K k k w l l I l N q η η 7. Qno ξ, tem-se: p η * ~ ~ sento o vlor prncpl e Cch 7.

308 q ~ * snglre logrítmc ~ 7. OBERVAÇÃO: No cso e elementos constntes, momentos e corpo rígo provocm, errmente, esforço. Isto se á evo o fto geometr o elemento ser nterpol com fnções e orem speror à s ncógnts Sb-Regões No cso em qe o corpo não é homogêneo ms present regões homogênes o o corpo é esbelto e necesst sbvsão em regões pr evtr m conconmento o sstem e eqções. Fgr Seprção o Domíno em Sb-Domínos o Sb-Regões e Sb-Contornos. e são respectvmente, os contornos eternos s regões e. I é nterfces entre els. Poe-se formlr o métoo os elementos e contorno pr c regão em sepro. Regão : p ~ ~ H H G G ~ ~ 7. ~ ~ I I p ~ I ~ I ~, p : Deslocmentos e forçs e sperfíce no contorno. ~ 8

309 9 ~ I, ~ I p : Deslocmentos e forçs e sperfíce no contorno I, mtno qe I é prte o contorno e Ω. De form nálog temos: Regão : ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ I I I I p p G G H H 7. 4 ~, ~ p : Deslocmentos e forçs e sperfíce no contorno. ~ I, ~ I p : Deslocmentos e forçs e sperfíce no contorno I, mtno qe I é prte o contorno e Ω. Poe-se mtr qe s s regões estão ns plcno-se s: Conções e comptble I I I ~ ~ ~ 7. 5 b Conções e eqlíbro I I I p p p ~ ~ ~ 7. 6 Conseqentemente eqção 7. poe ser escrt como: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ p G p G H H I I I I 7. 7 E eqção 7. 4 como: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ p G p G H H I I I I 7. 8 As eqções 7. 7 e 7. 8 poem ser escrts nts n form:

310 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ p p G G p G H G H H I I I I I 7. 9 O sstem e eqções 7. 9 poe, gor, ser reoreno e coro com s conções e contorno conhecs e e, seno reescrto como: ~ ~ ~ f A 7. 4 OBS: Notr qe I ~ e I p ~ são sempre ncógnts o problem e qe mtrz ~ A é em bn. O cálclo e eslocmento e tensão em pontos nternos é possível ntegrno pens o contorno regão à ql o ponto pertence. O so e nterpolção sobre s nterfces poe porr os resltos Proprees e Smetr No cso e corpos smétrcos setos crregmentos tmbém smétrcos, poese scretzr pens m qrto o corpo plcr s conções e smetr no contorno ntero por meo os eos e smetr. Fgr Problem rel e smetr e orem os e qtro

311 Fgr Smlção Smetr e m problem rel Alterntvmente, poe-se scretzr o contorno e too o corpo. Fgr O segnte sstem e eqções poe ser escrto como: H ~ H ~ H ~ H ~ 4 H ~ H ~ H ~ H ~ 4 H ~ H ~ H ~ H ~ 4 H ~ 4 H ~ 4 H ~ 4 H ~ 44 4 G G ~ G ~ G ~ ~ 4 G ~ G ~ G ~ G ~ 4 G ~ G ~ G ~ G ~ 4 G ~ 4 G ~ 4 G ~ 4 G ~ 44 p p ~ p p ~ ~ ~ One: H ~ o G ~ são sbmtrzes qe mltplcm os vlores nos o contorno regão qno crg ntár o o ponto fonte está em pontos nos regão.

312 o ~ o corpo. H ~ p são sbvetores qe contém os vlores nos o longo o contorno regão ~ As mtrzes poem ser conenss segnte form: G os termos qe mltplcm p ~ têm os sns trocos e H ~ G ~ é som com H ~ G ~ H G ~ ~ : os sns são trocos e s sbmtrzes soms com H G ~ ~ H ~ 4 G os termos qe mltplcm p ~ 4 têm sns trocos e g g H ~ 4 G ~ 4 é som com H G. ~ ~ obtém-se então: H ' G' ~ ~ ~ p ~ 7. 4 one H ' ~ e G' ~ escrts nterormente. e são s mtrzes qe corresponem H e G pós s operções ~ ~ Notr qe s mensões corresponem o contorno regão pens. Fgr Portnto, poe-se sempre ntegrr tomtcmente sobre elementos refetos e montr retmente s mtrzes rezs.

313 OBS: Notr qe mtrz H ' não é ms snglr, pos mposção s conções e smetr ~ está ten mplctmente. Ao comprr s s opções, tem-se; b Fgr An qe o cso reslte em m mtrz menor, nem sempre é o ms econômco, pos eve-se ntegrr sobre elementos refletos. Os resltos e são ferentes os e b, evo s promções ntrozs o longo os eos e smetr em b A smlção smetr trvés mposção e conções e contorno eqs nos eos e smetr ntroz promções o longo os eos. Conseqentemente, resltos nmércos são observos em nálses relzs com smlção e com técnc e conensção s mtrzes. Em termos e progrmção, gerlmente é ms efcente refletr o nó snglr e trocr o snl s mtrzes os elementos one for necessáro o nvés e refletr os elementos. Nesse cso não é necessár troc conectve os elementos n refleão.

314 Fgr Problem plc com m fro Este problem será resolvo como eercíco. Fgr Plc nfnt com m fro no meo. 4

315 Cpítlo VIII APLICAÇÕES PRÁTICAS EM ELASTICIDADE RESUMO Neste cpítlo será vsto formlção ntegrl básc Teor Elstce, Le e Hooke, pr solção e problems prátcos e m Plc Pln com fro crclr, e m Cve Crclr em m meo nfnto e e m Vg Pree pelo Métoo os Elementos e Contorno e o estbelecmento s Implementção Nmérc, tnto pr regões fnts como nfnts. 8. Obetvos o cpítlo Resolver m problem prátco e Métoo e Elementos e Contorno plco o problem e m cve crclr, e m plc e e m vg pree. Utlzr m progrm fonte pr vlr os resltos obtos nmercmente e plcr mlh e comprr os resltos. Aprener tlzr m ferrment comptconl e cálclo nmérco ts como o FORTRAN, o otr qlqer. v Avlr os resltos obtos pel entr e sís e os. 8. Introção Pr eerctr tlzção o Métoo os Elementos e Contorno, vmos resolver lgns problems prátcos e nível cêmco. Consere m Plc Pln com Fro, m Cve Crclr em m meo nfnto e m Vg Pree, one c m eles poss 5

316 conções e contorno ts qe lgns vlores no contorno são prescrtos e otros serão clclos. Pr est stção vmos conserr s conções s segr. 8. Problem Plc Pln com fro crclr e ro r 5, resolvo pelo Métoo os Elementos e Contorno 8.. Apresentção o Problem Plc Pln com fro O problem proposto consste em relzr m nálse elástc, trvés o Métoo e Elementos e Contorno, pr m plc retnglr conteno m fro crclr, set m crregmento strbío como lstro n Fgr - 8. segr. Fgr Geometr e crregmento peç em nálse como eemplo e m omíno fnto. proz orgnlmente por Rphel Sccto O obetvo nálse é etermnr nflênc scretzção ot pr s mlhs e Elementos e Contorno sobre os vlores e eslocmentos e tensões obtos. Pr tl, nálse será relz tlzno-se s mlhs com números e elementos ferentes com vsts obter-se m comprção qntttv e qlttv ess nflênc. Por trtr-se e m nálse e cnho átco, tos s grnezs envolvs no problem form trts e mner mensonl. A segr são presentos os os necessáros à resolção o problem: 6

317 Dmensões Cve Crclr: Lrgr chp:,; Altr chp: 6,; Espessr:, Dâmetros o fro: 5,; Crregmento strbío: 5,; Mólo e elstce longtnl: 7,; Mólo e Posson:,; Metoolog e Análse o Problem A nálse será relz conserno-se esto plno e tensões, e será tlzo m progrm cêmco e Métoo e Elementos e Contorno, enomno BINN em lnggem FORTRAN 77, estno estos e problems elstoplástcos bmensons. 8.. Conserção Smetr Peç n Análse Elástc Como peç present pl smetr horzontl e vertcl, se frá so este specto pr smplfcr entr e os o progrm, conforme mostr Fgr Fgr Conserção smetr peç n nálse elástc 7

318 Os prómos tens presentm etlhmente s entrs e os e c mlh tlz n nálse em qestão Desenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro O contorno o corpo fo scretzo em elementos retos e fnconle constnte, pr relzção o cálclo, conforme mostr Fgr Fgr Dscretzção o contorno conserno smetr o esenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro crclr proz orgnlmente por Rphel Sccto. Um rqvo e entr e os fo gero conforme retrzes o progrm BINN e e coro com Fgr

319 8..5 Arqvo e Entr e Dos Plc Pln com fro pr o Progrm BINN n form mlh Orgnl O rqvo e entr e os sege o formto s tbels bo:???9a9a/6:d6da'e??? " "!!...! "!. ".! " ".! " " " "!!. "!.! " " "."..! "..! ". ""!".!.!.!.!.! "!. "!.. ""!!! "!". "...!! "!!!. 9

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321 Desenho Mlh Orgn Plc Pln com fro crclr Após entr e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr Fgr Desenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro crclr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno

322 Arqvo e Sí e Dos Plc Pln com fro crclr pr o Progrm BINN n form Orgnl O rqvo e sí e os sege o formto s tbels bo:???6667a/676/6/6??????9a6696#a??????a769a76#'/76/a??????9a9a/6:d6da'e??? /D6A/67E" /D6ADA7E /D6/6766/6/6E /D696/67//67E" 796E F 769A/6/76 /A7A A E! E 7& E 96776/ E 676 E 98 E 66/767/6766/6/6 /6 &!...! "!. ".! " ".! " " " " "!!. "!.

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326 8..8 Desenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro Crclr Deform Após sí e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr Fgr Desenho Mlh Orgnl Deform gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 6

327 8. 4 Problem Cve com Pressão Unforme Elementos resolvo pelo Métoo os Elementos e Contorno 8.4. Apresentção o Problem Cve com Pressão O problem proposto consste em relzr m nálse elástc, trvés o Métoo e Elementos e Contorno, pr m cve crclr set m pressão ntern como lstro n Fgr segr. Fgr Geometr e Crregmento Cve com Pressão em Análse com m eemplo e omíno nfnto proz orgnlmente por Rphel Sccto. O obetvo nálse é etermnr nflênc scretzção ot pr s mlhs e Elementos e Contorno sobre os vlores e eslocmentos e tensões obtos. Pr tl, nálse será relz tlzno-se s mlhs com números e elementos ferentes com vsts obter-se m comprção qntttv e qlttv ess nflênc. Por trtr-se e m nálse e cnho átco, tos s grnezs envolvs no problem form trts e mner mensonl. A segr são presentos os os necessáros à resolção o problem: Dmensões Cve Com Pressão: Dâmetro cve: 5,; Espessr:, Pressão ntern: 5,; Mólo e elstce longtnl: 7,; Mólo e Posson:,; 7

328 Metoolog e Análse o Problem A nálse será relz conserno-se esto plno e eformções, e será tlzo m progrm cêmco e Métoo e Elementos e Contorno, enomno BINN em Lnggem FOTRAN 77, estno estos e problems elstoplástcos bmensons Conserção Smetr Cve com Pressão n Análse Elástc Como peç present pl smetr, se frá so este specto pr smplfcr entr e os o progrm, conforme mostr Fgr Fgr Dscretzção o contorno conserno smetr o esenho Mlh Orgnl Cve com Pressão ms sem Deformção proz orgnlmente por Rphel Sccto. Os prómos tens presentm etlhmente s entrs e os e c mlh tlz n nálse em qestão. 8

329 Arqvo e Entr e Dos Cve com Pressão pr o Progrm BINN n form Orgnl O rqvo e entr e os sege o formto s tbels bo:???56977j6d/:6'a/67???! ' ' '! " '. ' ' ' ' ' ' ' '! '" '.! ' " '!... '! "! '!!!! '".. '.. "" ' '..!..! '.. '! '!!!! " '.!.. '"!! '!!!! '. ". '""..! ".!!!! " " ". 9

330 .. ' ' '! " '. ' ' ' ' ' '

331 8.4.5 Desenho Mlh Orgnl Cve Com Pressão ms sem Deformção Após entr e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr Fgr Desenho Mlh Orgnl Cve com Pressão ms sem Deformção gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno.

332 Arqvo e Sí e Dos Cve com Pressão pr o Progrm BINN n form Orgnl O rqvo e sí e os sege o formto s tbels bo:???6667a/676/6/6??????9a6696#a??????a769a76#'/76/a??????56977j6d/:6'a/67??? /D6A/67E /D6ADA7E /D6/6766/6/6E /D696/67//67E 796E F 769A/6/76 /A7A A E! E 7& E 96776/ E 676 E 98 E 66/767/6766/6/6 /6 & ' ' '! " '. ' ' ' ' ' ' 66/76796/67//67 96/ & ' '! '" '.! '

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335 5. '" I I I!"" '!! I I I " '" I I I!! '!! I I I

336 8.4.7 Desenho Mlh Orgnl Cve com Pressão Deform Após sí e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr Fgr Deformção Mlh Orgnl. Deform gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 6

337 8. 5 Problem Vg e Pree resolvo pelo Métoo os Elementos e Contorno 8.5. Apresentção o Problem Vg Pree O problem proposto consste em relzr m nálse elástc, trvés o Métoo e Elementos e Contorno, pr m vg pree com geometr e crregmento lstros n fgr segr. Fgr Geometr e crregmento peç em nálse proz orgnlmente por Rphel Sccto. O obetvo nálse é etermnr nflênc scretzção ot pr s mlhs e Elementos e Contorno sobre os vlores e eslocmentos e tensões obtos. Pr tl, nálse será relz tlzno-se s mlhs com números e elementos ferentes com vsts obter-se m comprção qntttv e qlttv ess nflênc. Temos tmbém como obetvo e nálse etermnr o eslocmento nos pontos e contorno vg e comprá-lo com os vlores teórcos etermno pel teor e vg smples e Eler- Bernoll e pel teor vg pree e Tmoshenko. Por trtr-se e m nálse e cnho átco, tos s grnezs envolvs no problem form trts e mner mensonl. A segr são presentos os os necessáros à resolção o problem: Dmensões Vg Pree: L Comprmento vg:,; h Altr vg:,5; b Espessr vg:,; q Crregmento strbío: 5,; E Mólo e elstce longtnl: 7,; ν Mólo e Posson:,; 7

338 Metoolog e Análse o Problem A nálse será relz conserno-se esto plno e tensões, e será tlzo m progrm cêmco e Métoo e Elementos e Contorno, enomno BINN em Lnggem FORTRAN 77, estno estos e problems elstoplástcos bmensons Esqem e Análse Mlh Orgnl Vg Pree Fgr Esqem e Análse Mlh Orgnl Vg Pree proz orgnlmente por Rphel Sccto Desenho Mlh Orgnl Vg Pree sem Deformção Fgr - 8. Desenho Mlh Orgnl Vg sem Deformção proz orgnlmente por Rphel Sccto. 8

339 8.5.5 Conserção Smetr Vg n Análse Elástc Como peç present pl smetr, se frá so este specto pr smplfcr entr e os o progrm. Fgr Conserção Smetr Vg n Análse Elástc proz orgnlmente por Rphel Sccto Desenho Mlh Orgnl Vg sem Deformção com Smetr Fgr Dscretzção o contorno conserno smetr Vg n Análse Elástc proz orgnlmente por Rphel Sccto. Os prómos tens presentm etlhmente s entrs e os e c mlh tlz n nálse em qestão. 9

340 Arqvo e Entr e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Orgnl sem Smetr O rqvo e entr e os sege o formto s tbels bo:???5,977??? "! "!!! "!.. "!!!! ". "! "!! ". "!!!! " "!.!! "! "! "! "! "! 4

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342 Desenho Mlh Orgnl Vg Pree sem Smetr Após entr e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr Fgr Desenho Mlh Orgnl Vg Pree sem Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 4

343 Arqvo e Sí e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Orgnl sem Smetr O rqvo e sí e os sege o formto s tbels bo:???6667a/676/6/6??????9a6696#a??????a769a76#'/76/a??????5,977??? /D6A/67E /D6ADA7E /D6/6766/6/6E" /D696/67//67E 796E F 769A/6/76 /A7A A E! E 7& E 96776/ E 676 E 98 E 66/767/6766/6/6 /6 & "!!! "!. "!!!! ". "! 4

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348 Arqvo e Entr e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Orgnl com Smetr O rqvo e entr e os sege o formto s tbels bo:???5,967???! "!!! "!.. "!!!! ". "!! " "!.!! "!! ".!! "! "! "! "! "! "! "!!! "! 48

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350 Desenho Mlh Orgnl Vg Pree com Smetr Após entr e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr Fgr Desenho Mlh Orgnl Vg Pree com Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 5

351 Arqvo e Sí e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Orgnl com Smetr O rqvo e sí e os sege o formto s tbels bo:???6667a/676/6/6??????9a6696#a??????a769a76#'/76/a??????5,967??? /D6A/67E /D6ADA7E /D6/6766/6/6E /D696/67//67E 796E F 769A/6/76 /A7A A E! E 7& E 96776/ E 676 E 98 E 66/767/6766/6/6 /6 & "!!! "!. "!!!! ". "! 5

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356 Desenho Mlh Orgnl Vg Deform Após sí e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostrm s Fgr e Fgr Fgr Deformção Mlh Orgnl Vg Deform com Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. Fgr Deformção Mlh Orgnl Vg Deform com Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 56

357 8. 6 Alterção o progrm BINN e cálclo pelo Métoo e Elementos e Contorno pr o Problem Elástco 8.6. Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr A mlh orgnl fo plc conforme mostr Fgr Fgr Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr proz por Lcs Mámo Alves. 57

358 8.6. Arqvo e Entr e Dos Plc Pln com fro crclr pr o Progrm BINN n form Mlh Dplc O rqvo e entr e os sege o formto s tbels bo:???9a9a/6:d6da'e???. "! "!!!. ".!..!!!! ".".".! ".!." "!. "...." " "! "! "! " " ".! " " " " "!!! "!..!"!!!! ".! " " ".".. "..! 58

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361 Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr Após entr e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr Fgr Desenho Mlh Orgnl Plc Pln com fro crclr plc gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 6

362 Arqvo e Sí e Dos Plc Pln com fro crclr pr o Progrm BINN n form Dplc O rqvo e sí e os sege o formto s tbels bo:???6667a/676/6/6??????9a6696#a??????a769a76#'/76/a??????9a9a/6:d6da'e??? /D6A/67E /D6ADA7E /D6/6766/6/6E. /D696/67//67E" 796E F 769A/6/76 /A7A A E! E 7& E 96776/ E 676 E 98 E 66/767/6766/6/6 /6 & D 5 ID &I5 " " "!!!"!!!!.!.. ".!!!.."...!!!!!!!.! "" "."." "!.! "! " ".!... "!"! "!. ". "!.!..." ".!! "." "." "! " '..! "!" ".!! " '.!. ".! " '. ". " " ' "!..! ""!.! " ' "!! "" " '!"."! "!" "! "! 6

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368 8.6.5 Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr Deform Após s e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr - 8. Fgr - 8. Desenho Mlh Dplc Plc Pln com fro crclr Deform. 68

369 Desenho Mlh Dplc Cve com Pressão pr o Progrm BINN A mlh orgnl fo plc conforme mostr Fgr Fgr Desenho Mlh Dplc cve com Pressão proz orgnlmente por Rphel Sccto. 69

370 8.6.7 Arqvo e Entr e Dos Cve com Pressão pr o Progrm BINN n form Dplc O rqvo e entr e os sege o formto s tbels bo:???56977j6d/:6'a/67?????????! ' '".. ' ' ' '. ".! ". ".. ".. ". '. ' '! ' ". '".. ' '. '". ' ' ' ' ' ' '". '. ' '!! '" " '.. ' '!.. '! "! '!!!! '".. '.. "" ' '..!..!! '.. " '. '!!!! '.!. '"!! '!!!! '. ". '"".. 7

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372 8.6.8 Desenho Mlh Cve com Pressão n form Dplc Após entr e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr Fgr Desenho Mlh Dplc cve com Pressão gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 7

373 Arqvo e Sí e Dos Cve com Pressão pr o Progrm BINN n form Dplc O rqvo e sí e os sege o formto s tbels bo:???6667a/676/6/6??????9a6696#a??????a769a76#'/76/a??????56977j6d/:6'a/67??? /D6A/67E /D6ADA7E /D6/6766/6/6E /D696/67//67E 796E F 769A/6/76 /A7A A E! E 7& E 96776/ E 676 E 98 E 66/767/6766/6/6 /6 & D 5 ID &I5 ' 'G 'G 'G". G. 'G" G! 'G"! G" 'G G 'G. G! 'G. G! 'G G 'G G 'G! G! 'G G 'G! G. 'G! G. 'G. G". 'G! G" 'G" G"!! G G " G. G". G! G" G" G"!. G G G! G. G! G. G G G G G! G! G G G. G! G. G! G". G. G" G! G"! G" G G G". 'G. G" 'G! G"! 'G" G 'G G. 'G! G. 'G! G 'G G 'G G! 'G!! G 'G G! 'G. G! 'G. " G. 'G". G! 'G" G" 'G"!. ' 'G 'G 'G. 'G". 'G! 'G" 'G" 'G"! 'G 'G 'G! 'G. 'G! 'G. 7

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378 8.6. Desenho Mlh Cve com Pressão n form Dplc Após sí e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr Fgr Desenho Deformção Mlh Dplc Cve com Pressão gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 78

379 Esqem e Análse Mlh Dplc Vg sem Smetr A mlh vg pree fo plc e coro com Fgr Fgr Esqem e Análse Mlh Dplc Vg Pree sem Smetr proz por Lcs Mámo Alves. 79

380 Arqvo e Entr e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Dplc sem Smetr O rqvo e entr e os sege o formto s tbels bo:???5,977??? "!G G G G G G G G G G G G G.! G G G G G! "G! G " G"! G. G G "G G G G G! G!G G G G G! G G"! G! G G "!. G G G G G G.! G G G G G "G! G G"! G G! " G"! G. G! G G G!G G G! G G G "G G G G G"! G! "G! G " G G. G G G.! G G G G G G G G G"! 8

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384 Esqem e Análse Mlh Dplc Vg com Smetr A mlh vg pree fo plc e coro com Fgr Fgr Esqem e Análse Mlh Dplc Vg Pree com Smetr. 84

385 Arqvo e Entr e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Dplc com Smetr O rqvo e entr e os sege o formto s tbels bo:???5,967???! G G G G.! G G! G"! " G"!. G G" G G! G! G G! G"!! "!. G G G.! G G G"! G"! G! " G"! G. G! G G G G! G G! G G G G" G G G G"! G! G"! G " G G. G G G.! G G G G G G G G G 85

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388 Desenho Mlh Dplc Após entr e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr Fgr Fgr Desenho Mlh Dplc Vg gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 88

389 Arqvo e Sí e Dos Vg pr o Progrm BINN n form Dplc sem Smetr O rqvo e entr e os sege o formto s tbels bo:???6667a/676/6/6??????9a6696#a??????a769a76#'/76/a??????5,977??? /D6A/67E" /D6ADA7E /D6/6766/6/6E /D696/67//67E 796E F 769A/6/76 /A7A A E! E 7& E 96776/ E 676 E 98 E 66/767/6766/6/6 /6 & D 5 ID &I5 G G G 'G". 'G". G G G" 'G" G 'G" G G G 'G!. G 'G!. G.! G G" 'G!! G.! 'G!! G G" 'G!. G 'G!. G G 'G! G 'G!! "! G G" 'G! "!G 'G! " "! G G" 'G "!G 'G. G G 'G!" G 'G!" " G G 'G "G 'G G G 'G! G 'G!! G G 'G".!G 'G".! G G. 'G!G 'G G G" 'G G 'G! G G"" 'G!G 'G "! G G. 'G" "!G 'G"! G G. G G " G G. G G. G G G G G G G G G G 89

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402 Desenho Mlh Dplc e Deform Após sí e os o rqvo teto conteno s tbels e os fo tlzo pr gerr o corpo eformo por meo e m progrm gero em DELPHI 6., conforme mostr s Fgr e Fgr Fgr Desenho Mlh Dplc Vg Pree Deform sem Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno.. Fgr Desenho Mlh Dplc Vg Pree Deform com Smetr gero pelo softwre FRACMATERIAL especlmente esenvolvo pelo tor pr resolver problems e Métoo os Elementos e Contorno. 4