Capítulo 3 Modulação Angular

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1 Capíulo 3 Modulação Angular - Página Capíulo 3 Modulação Angular 3.. Inrodução Seja a poradora genéria: A Apliude p( ) = A.os( θ ) θ Ângulo Se A = A( ) Siseas de Modulação e Apliude Se θ = θ ( ) Siseas de Modulação Angular No nosso aso: p( ) = A( ).os φ Modulação e Apliude Ex.: AM: ( ) : p( ) A.os ( ( ). φ ) PM: p( ) A.os ( φ( ) ) = Modulação e Frequênia = Modulação de Fase φ () φ () DSB-SC p() f() φ PM () Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

2 O que aonee se f(), inforação, iver variação onínua? Ex.: Capíulo 3 Modulação Angular - Página f().5 φ () Cada insane de epo do sinal φ ( ) possui ua frequênia diferene! Logo: Preisaos definir Frequênia Insanânea: i Sabeos que ϕ( ) = A.os ( θ( ) ) e que θ ( ) =. θ onde é a frequênia onsane da poradora. Coo obeos a parir do ângulo θ ( )? Podeos definir: ( ) i dθ ( ) d Logo: θ ( ) = ( τ ). dτ θ i Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

3 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 3 Ex.: ) ϕ( ) A.os (. θ ) d [. θ ] ( ) i =, onde e θ são onsanes. = = frequênia insanânea é ua onsane d φ()=os(* π ) ) ϕ( ) = A.os ( π π ) dπ π i ( ) = = π π d i =* π φ()=os( π π ) i = π π Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

4 Capíulo 3 Modulação Angular - Página Modulação de Fase (PM) ϕ ( ) ( ) = A.os K. f ( ) PM p onde: : Frequênia da Poradora K : Consane p f ( ) : Sinal Modulane (inforação) Logo a fase da poradora varia linearene o a inforação f(). Frequênia insanânea: dθ ( ) d K p f ( ) i ( ) = = d d Logo: ( ) = K i p d f ( ) d Logo: A frequênia insanânea varia linearene o a derivada do sinal odulane f(). Sinal PM: ϕpm ( ) = A.os K p f ( ) K p : Consane que onvere variações de vols da f() e variações de fase (e radianos). É definida pelo iruio de odulação. Unidade: K p = rad / V Logo: Para K p > Se f ( ) > Avanço de fase Se f ( ) < Araso de fase Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

5 3.3. Modulação e Frequênia () Capíulo 3 Modulação Angular - Página 5 Se variaros linearene a frequênia insanânea da poradora de aordo o o sinal odulane: ( ) = K f ( ) i F O que oorre o o ângulo θ ( )? [ F ] θ ( ) = K f ( τ ) dτ θ ( ) = K f ( τ ) dτ F Logo a expressão do sinal odulado e será: ϕ ( ) = A.os K F f ( τ ) dτ Logo a fase da poradora varia linearene o a inegral do sinal de inforação f(). K F : Consane que onvere variações de vols do sinal f() e variações de veloidade angular (rad/s) da frequênia insanânea. rad Unidade: [ KF ] = V. s Para K F > Se f ( ) > Auena a frequênia Se f ( ) < Diinui a frequênia Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

6 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 6 Noação Fasorial: j ( ) Enão: ϕ ( ) = Re { A. e θ } Logo: j ( ) ( ) ˆ ϕ( ) = A.os θ( ) ϕ( ) = Ae. θ j K p f ( ) ˆ ϕ ( PM ) = A. e Sinal PM: ϕ ( ) = Re { ˆ ϕ ( ) } j K f ( ) d = Sinal PM: ϕ ( ) = Re { ˆ ϕ ( ) } F τ τ ˆ ϕ ( ) A. e PM PM Definindo: Podeos esrever: = g( ) f ( τ ) dτ [ ( )] F ˆ ϕ ( ) = A. e j K g Obs.: Ebora PM e seja foras diferenes de odulação angular, não são essenialene diferenes, ua vez que qualquer variação na fase de ua poradora resula e ua variação na sua frequênia insanânea e vie-versa. Porano o esudo a ser feio para abé se aplia a PM. f ( ) Modulador PM ϕ ( d Modulador PM ) f ( ) ϕ ( ) PM d f ( ) Modulador ϕ ( Modulador ) f ( ) ϕ ( ) PM Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

7 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 7 Desvio de Fase e Desvio de Frequênia Seja: f ( ) = a.os( ) Sinal Modulador, Inforação : *Frequênia Insanânea: i ( ) = KF f ( ) ( ) = K. a.os( ) i F i () [ 3 rad/s] 5 5 onde: = a K F 3 4 ( ) =.os( ) i é o desvio áxio da frequênia da poradora: i *Ângulo: θ ( ) = ( τ ) dτ [ ] θ ( ) =.os( τ ) dτ i θ ( ) = sin( ) Definindo: Máxio desvio de frequênia β : Frequênia áxia da inforação Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

8 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 8 Definindo: β Máxio desvio de frequênia : Frequênia áxia da inforação β : Índie de Modulação Represena o áxio desloaeno de fase do sinal e relação à poradora. [ ] ϕ ( ) = A.os β sin( ) Unidade: [ β ] = rad O Índie de Modulação β lassifia o sinal odulado e ϕ ( ) e: - de Faixa Esreira - de Faixa Larga Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

9 Capíulo 3 Modulação Angular - Página de Faixa Esreia (NB Narrow Band Frequeny Modulaion) ˆ ϕ ( ) = A. e ˆ ϕ ( ) = A. e. e [ K g ( ) ] j F j jk g ( ) F Lebrando Expansão e Série de Taylor: 3 e x = x x x...! 3! Se K g( ) Tereos de Banda Esreia F Logo: jkf g ( ) e jkf g( ) Assi: j ˆ ϕ ( ) = A. e jk g( ) NB [ ] F Logo: ˆ ϕ ( ) = A. os( ) j sin( ) jk g( ) [ ][ ] [ ] [ ] [ ] NB F ˆ ϕ ( ) = A os( ) j sin( ) jk g( )os( ) K g( )sin( ) NB F F ˆ ϕ ( ) = A os( ) K g( )sin( ) ja sin( ) K g( )os( ) NB F F Coo: Teos: ϕ NB { ˆ ϕ } ( ) = Re ( ) NB ϕ ( ) = Aos( ) AK g( )sin( ) NB F Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

10 Capíulo 3 Modulação Angular - Página Ex.: f ( ) = a.os( ) Cálulo de g(): g( ) = f ( τ ) dτ a g( ) = sin( ) a ϕnb ( ) = A.os( ) AKF sin( )sin( ) Lebrando: sin( A)sin( B) = [ os( A B) os( A B) ] A KFa ϕnb ( ) = A.os( ) os ( ) os ( ) { [ ] [ ]} A ϕnb ( ) = A.os( ) β os ( ) os ( ) { [ ] [ ]} Espero do sinal ϕ ( ) para f ( ) = a.os( ) : NB Φ NB () π A πa 5 π Aβ/ π Aβ/ π Aβ/ -π Aβ/ De odo análogo, podeos ober a expressão do sinal PM de banda esreia: ϕ ( ) = A.os( ) AK f ( ).sin( ) NBPM p Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

11 Capíulo 3 Modulação Angular - Página Coparando-se eses sinais: ϕ ( ) = A.os( ) AK f ( ).sin( ) NBPM p ϕ ( ) = Aos( ) AK g( )sin( ) NB F Co o sinal AM DSB o poradora: ϕ ( ) = Aos( ) Af ( )os( ) DSB Noaos que ano o sinal AM quano os sinais e PM de banda esreia, apresena eros orrespondenes à poradora e às faixas laerais enradas e ±. Conlusão: Sinais e PM de banda esreia oupa a esa largura de banda ( ) que o sinal AM DSB. Condição para ser de banda esreia: K g( ) ou para f ( ) = a.os( ) K a F F Coo a. K F β = Teos que β U riério usual para definir sinais de banda esreia é: β <. Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

12 Se f() for u sinal qualquer. Coo é o espero do ϕ ( )? Cálulo do: = g( ) f ( τ ) dτ Capíulo 3 Modulação Angular - Página NB Lebrando da Propriedade de Inegração no epo da Transforada de Fourier: f ( ) F( ) g( ) F( ) = G( ) j Logo se f() é liiado e frequênia g() abé será. { A AK g } { } { } Φ ( ) =.os( ) ( )sin( ) NB F Φ ( ) = A os( ) AK g( )sin( ) NB F j j Φ NB ( ) = π A[ δ ( ) δ ( ) ] AKF G( ) G( ) Logo: jakf Φ NB ( ) = π A δ ( ) δ ( ) G( ) G( ) [ ] [ ] Gráfio: Seja o Sinal G( ) :.8.6 G ( ) Enão:.3 Re{Φ NB ()}.3 I{Φ NB ()}. πa πa. AK F / AK F / w Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

13 Geração de Sinais PM e de Banda Esreia Capíulo 3 Modulação Angular - Página 3 ϕ ( ) = Aos( ) AK g( )sin( ) NB F g( ) f ( τ ) dτ = Sisea Arsrong p/ geração NB: f ( ) - ( ) X Defasador 9 o A.sin( ) ϕ NB p( ) = A.os( ) ϕ ( ) = A.os( ) AK f ( ).sin( ) NBPM p f ( ) - ( ) X Defasador 9 o A.sin( ) ϕ NBPM p( ) = A.os( ) Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

14 Capíulo 3 Modulação Angular - Página de Faixa Larga () Seja: f ( ) = a.os( ) Teos: ou [ ] ϕ ( ) = A.os β sin( ) Onde: ˆ ϕ ( ) = Ae.. e j jβ sin( ) a K β =. F j sin( ) A exponenial e β é ua função periódia o período e Série de Fourier: T = e pode ser expandida π = jβ sin( ) jn e Fn. e n= onde F n são os oefiienes da Série Exponenial de Fourier, alulados por: T / j sin( ) jn F = n e. e. d T β T / x dx Fazendo: = x = e d = Liies da Inegral: T T π = x = = = π. Logo: T T π = x = = = π. π jβ sin( x) jnx dx Fn = e. e. T π π j( sin( x) nx) F = β n e. dx π Esa inegral pode ser alulada e eros dos parâeros n e β e já exise abulada. J β, Função de Bessel de Prieira Espéie e orde n. É denoada por ( ) n Logo: π = jβ sin( ) n ( β ). jn n= e J e Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

15 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 5 Propriedades das Funções Jn ( β ) : ) Jn ( ) ) Jn ( β ) J n ( β ) 3) J ( β ) J ( β ) n β são núeros reais = para n par = para n ípar n 4) J ( β ) = n= n Funções de Bessel de Prieira Espéie J (β) J (β) J (β) J 3 (β) J 4 (β) J 5 (β) β β[rad] J J J J 3 J 4 J 5 J 6 J 7 J 8 J 9 J J J J 3 J 4 J Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

16 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 6 Enão: ˆ ϕ ( ) = A. e. e j jβ sin( ) ˆ ϕ ( ) = A. e. J. e ( β ) ˆ ϕ ( ) = A. J. e j n ( β ) jn n= n= n j( n ) Logo : ϕ ( ) = A. J n ( β ).os[( n ) ] n= ϕ ( β ) [ ] ( β ) [ ] ( β ) [ ] ( β ) [ ] J ( β ) [ ] J ( β ) [ ] J ( β ) [ ] J.os J.os ( ) J.os ( ) J3.os ( 3 )... ( ) = A..os ( ).os ( ) 3.os ( 3 )... Usando as propriedades: ϕ ( β ) [ ] ( β ) [ ] ( β ) [ ] ( β ) [ ] J ( β ) [ ] J ( β ) [ ] J ( β ) [ ] J.os J.os ( ) J.os ( ) J3.os ( 3 )... ( ) = A..os ( ).os ( ) 3.os ( 3 )... As onsanes J ( ) n β pode ser obidas de abela ou aluladas pela HP48 (neessia prograa). Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

17 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 7 Ex.: Dada a poradora p( ) = A.os( ) e o sinal de inforação f ( ) = a.os( ), o sinal odulado e o índie de odulação β = será: ϕ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ].765os.44 os ( ).49 os ( ).95os ( 3 ). os ( 4 )... ( ) = A..44 os ( ).49 os ( ).95.os ( 3 ). os ( 4 ) Φ () J () J () - J () J () J () J () Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

18 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 8 Observações: - As apliudes das raias esperais deae o o inreeno de n - O espaçaeno enre ada raia é igual à (frequênia do sinal odulane, inforação). - O ero orrespondene à poradora é ponderado por J ( β ). Conlusões: A largura de faixa oupada por u sinal é função do índie de odulação a. K F β = = (para f ( ) = a.os( ) ), o qual depende da apliude e da frequênia do sinal odulane. Para. β <, soene J ( β ) e J ( ) β possue valores signifiaivos, de odo que apenas a poradora e as faixas laerais de a orde são signifiaivas de Faixa Esreia. Enão: W = Φ NB () π A πa 5 π Aβ/ π Aβ/ π Aβ/ -π Aβ/ Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

19 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 9 Modulação de Sinais onendo várias freqüênias Seja : f ( ) = a os( ) a os( ) Teos enão que: ( ) = K f ( ) i F [ ] ( ) = K a os( ) a os( ) i F O áxio desvio de frequênia dese sinal é: = ( a a) KF E o ângulo pode ser alulado oo: i { F [ ]} θ ( ) = ( τ ) dτ = K a os( ) a os( ) dτ a K a K θ ( ) = sin( ) sin( ) F F a K a K Chaando: β = β = Podeos esrever: F F θ ( ) = β sin( ) β sin( ) j ˆ ϕ ( ) = A. e θ Expressão Geral do Sinal : j[ β sin( ) β sin( ) ] ˆ ϕ ( ) = A. e ˆ ϕ ( ) = A. e. e. e j jβ sin( ) jβ sin( ) sin( ) Expandindo as exponeniais e Série de Fourier: n ( β ) Teos: j jn jk = A e J n ( ) e J k ( ) e n= k = ˆ ϕ ( ).. β. β. j = n k n= k = ( ) ( ) ˆ ϕ ( ) A. e. J β J β e ( ) ( ) ˆ ϕ ( ) = A. J β J β e n k n= k = ( ) = jβ jn e J. e ( ) ( ) j n k j n k n= Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

20 Sabendo que : ϕ ( ) = Re { ˆ ϕ ( ) } Conlusões: Capíulo 3 Modulação Angular - Página ( ) ( ) ( ) ϕ ( ) = A. J β J β os n k n k n= k = - Quando o Sinal f() possui duas frequênias, o espero do sinal possuirá, alé das faixas ( ± n ) e ( ± k), orrespondenes às frequênias e, as faixas orrespondenes à ( ± n ± k ). odulação ruzada (inerodulação) Diferene do que aonee na odulação AM. Logo: AM Sisea Linear Sisea Não-Linear Largura de Banda do Sinal De aordo o a definição da largura de banda de u sinal: W é a largura de banda al que onenha 98% da Energia/Poênia do sinal. Logo podeos definir ax n ax n al que: J ( ) n,98 n= n ax Ua possível aproxiação é adoaros a aior orde al que: Jn ax ( β ) >, Dados: B: Largura de Banda e Hz W: Largura de Banda e rad/s f : Maior frequênia do sinal f() e Hz : Maior frequênia do sinal f() e rad/s f = π. : Desvio de frequênia e Hz : Desvio de frequêia e rad/s Podeos alular as larguras de banda oo: β B =. n. f W =. n. ax ax Suponhaos apliude áxia do sinal f(): Lebrando: = a. KF Logo: f B =. nax. W =. nax. β β a = β = = ou enão: f ( ) ax f f W B = = f n ax β Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

21 ϕ Capíulo 3 Modulação Angular - Página Do Exeplo Anerior: Qual a largura de banda quando se odula ua poradora p( ) = A.os( ) o o sinal f ( ) = a.os( ), e o índie de odulação β =. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ].765os.44 os ( ).49 os ( ).95os ( 3 ). os ( 4 )... ( ) = A..44 os ( ).49 os ( ).95.os ( 3 ). os ( 4 )... Largura de banda de u sinal: frequênia para que se enha 98% da Poênia. Da propriedade 4) J ( β ) = n= n Iso signifia que a odulação, não alera a energia oal do sinal da poradora, apenas sua disribuição esperal! Logo a largura de banda pode ser alulada: W =. n. n ax onde n ax é al que: ( ) n.98 No nosso exeplo: n= n ax J β = ax =.9989 logo n ax = e W = Φ () J () J () - J () J () J () J () Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

22 Ex. : para o aso de eros: f ( ) = a os( ) a os( ) Co β =, e β =,. Capíulo 3 Modulação Angular - Página Vios que: ϕ ( ) =. n ( β ) k ( β ) os( ) A J J n k n= k = Coo: J(.) =.99 J(.) =.995 J (.) =.498 J3(.) =.66 Considerareos apenas os eros e devido à J (.) =.498 <. { ( ) ( ) [ ] ( β ) ( β ).os[( ) ] ( β ) ( β ).os[( ) ] ( β ) ( β ).os[( ) ] ( β ) ( β ).os[( ) ] ( β ) ( β ).os[( ) ] ( β ) ( β ).os[( ) ] ( β ) ( β ).os[( ) ] ϕ ( ) = A. J β J β.os ( ) J J J J J J J J J J J J J J ( β ) ( β ).os[( ) ]} J J Usando a Propriedade: J ( β ) J ( β ) = e nese exeplo: β = β = β Podeos siplifiar a expressão: { ( ) [ ] ( ) [ ] J ( β ) J ( β ).os[( ) ] J ( β ) J ( β ).os[( ) ] J ( β ).os[( ) ] J ( β ).os[( ) ] J ( β ) J ( β ).os[( ) ] J ( β ) J ( β ).os[( ) ] ϕ ( ) = A. J β.os ( ) J β.os ( ) J ( β ).os[ ]} Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

23 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 3 { ( ) [ ] ( ) [ ] J ( β ) J ( β ).os[( ) ] J ( β ) J ( β ).os[( ) ] J ( β ).os[( ) ] J ( β ).os[( ) ] J ( β ) J ( β ).os[( ) ] J ( β ) J ( β ).os[( ) ] ϕ ( ) = A. J β.os ( ) J β.os ( ) J ( β ).os[ ]} Onde: J (.) =.98 J (.) J (.) =.985 J (.) =.99. Φ NB () ( - ) ( - ) ( ) Obs.: A Largura de banda do sinal oposo por frequênias (, ) odulada e NB (β=.) é deerinada pela aior frequênia do sinal: = ax{, } Se β for aior, faixa larga, há o apareieno das inerodulações que auena a largura de banda neessária à ransissão. Sendo neessário alular o n ax, para apliar nas equações da largura de banda pelas visas aneriorene. B =. n. f W =. n. ax ax Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

24 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 4 Aproxiações para n ax Carson e 8anigaene esudou a influênia do índie de odulação na largura de banda do sinal e propôs ua forulação epíria para n ax. Regra de Carson: n = ax β Uilizando esa aproxiação e-se: W = n ax W = ( β ) β = W = Logo: W = Ua aproxiação ais preisa, que despreza enos raias esperais é dada por: nax = β O que iplia: W = 4 Conlusão: Coo: O desvio áxio de frequênia é dado por = K f ( ) A Largura de Banda de u sinal depende da Máxia Apliude do sinal, da Consane de Conversão K e da áxia frequênia do sinal. F F ax Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

25 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 5 Exeplos: ) Coerial: Foi definido por nora inernaional (FCC Federal Couniaion Coission )que f = 75kHz Faixa de frequênias aloadas no Brasil: 88MHz a 8MHz Banda de frequênias do sinal de áudio: 5Hz a 5kHz Logo: f 75k β = = = 5 f 5k Esiaiva da largura de banda usando as aproxiações: Carson: B = f f = 75k 5k = 8kHz n = β : B = f 4 f = 75k 4 5k = khz ax A Faixa de 88 a 8MHz é dividida e porções de khz. Idealene, esa faixa periiria: 8 M 88 M = esações de rádio k Poré evia-se que duas eissoras oupe faixas vizinhas. Para prevenir inerferênias de ua esação na oura e para periir a ransissão de sinais de áudio eséreo. khz Transaéria 88MHz 94.MHz 94.5MHz 8MHz ) Sinal de Áudio de TV f = 5kHz f = 5kHz Largura de Banda: Carson: B = f f = 5k 5k = 8kHz n = β : B = f 4 f = 5k 4 5k = khz ax Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

26 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 6 Poênia do Sinal Dado o sinal de inforação: f ( ) = a.os( ) Vios que o sinal odulado orrespondene é dado por: [ ] ϕ ( ) = A.os β sin( ) Lebrando: T / T / π Pf = ft ( ) d ( A.os( ) ) d T = = T T P f A = T / T / A Poênia não depende da frequênia do sinal, apenas de sua apliude. Logo podeos onluir que a poênia do sinal ϕ ( ) será: P = Independene do sinal de inforação. A Sabendo que a poradora é: p( ) = A.os( ) uja poênia é: Conlusões: P = por. A - a Poênia de u sinal de é onsane e igual à poênia da poradora. Independene do índie de odulação β. Iso oorre devido ao fao do sinal possuir apliude onsane. Lebrando que para sinais AM, a poênia oal depende do índie de odulação. - O índie de odulação β, define a disribuição da poênia enre a poradora e as faixas laerais. - Pode-se ornar a poênia da raia esperal orrespondene à poradora ão pequena quano se queira, aravés de ua esolha onveniene do índie de odulação. Nesa siuação a aior pare da poênia esará nas faixas laerais (inforação) e a efiiênia da ransissão pode ser ão próxia de % quano se queira. β =.45 ou β = 5.5 J β = Ex.: Fazendo ( ) Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

27 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 7 Geração de Sinais de ) Indireo Proedieno: Inegra-se o sinal de inforação e odula-se e fase a poradora. Obe-se u sinal de faixa esreia, o qual é onverido e de faixa larga aravés de u ulipliador de frequênia, que auena o índie de odulação. Mulipliador de Frequênia: Disposiivo não linear que uliplia a frequênia do sinal de enrada. os( ) Mulipliador de freq. N φ N Nφ os( ) Ex.: Dado o sinal f ( ) = a.os( ) e seu orrespondene sinal NB [ ] ϕ ( ) = A.os β sin( ) o β pequeno NB ϕ ( ) N ϕ ( ) = A.os [ N Nβ sin( ) ] NB Ex. de Ipleenação : Disposiivo de Lei Quadráia x( ) y=x y ( ) = x ( ) Se: x( ) = ϕ ( ) = A.os [ β sin( ) ] NB A A y( ) = A.os sin( ) = os sin( ) { β } [ β ] Enão: [ ] Filrando-se o nível DC, obe-se u sinal de o a frequênia da poradora e o índie de odulação ulipliados por. Se o disposiivo for de Lei enésia Muliplia-se por N f ( ) Modulador PM p( ) ϕ ( NB ) N Filro PF ϕ ( ) Ex. de Ipleenação : Usando PLL (Phase Loked Loop) viso ais adiane. Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

28 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 8 Exeplo: Transissor de indireo ipo Arsrong Dado o diagraa e bloos abaixo e as araerísias do sinal ϕ ( ), alule a frequênia da poradora, desvio de frequênia e o índie de odulação dos sinais ϕ ( ), ϕ ( ) e ϕ ( ). 3 4 Obs.: Conversor de frequênia: Ciruio que uliplia o sinal de enrada por ua sub-poradora (sinal ossenoidal loal) seguido de u filro passa-baixas de frequênia de ore igual a frequênia desa sub-poradora. Serve para aleraros a frequênia enral se alerar os deais parâeros de odulação. ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) f ( ) X 64 Conversor 48 Defasador 9 o A.sin( ) p ( ) = os( ),9MHz Aplifiador Anena p( ) = A.os( ) khz f = khz ϕ( ) = f = 5Hz β =,5 f =,8MHz ϕ( ) = f =,6kHz β = 3 f =,9 MHz ϕ3( ) = f =,6kHz β = 3 f = 9,MHz ϕ( ) = f = 76,8kHz β = 536 Exeríio: Voê dispõe apenas de u risal que osila a 3,75MHz. Projee u diagraa de bloos de u ransissor para áudio (5 a 5kHz), sabendo que deseja-se oupar a faixa de 97,5MHz da banda oerial, f = 75kHz. O sinal de enrada possui apliude áxia de 5Vols e o iruio odulador PM possui K 3, 5 Hz F = V. Calule a obinação de ulipliadores de frequênia e onversores de frequênia que efeue essa arefa. Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

29 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 9 ) Direo O sinal de inforação f ( ) varia direaene a frequênia da poradora. Exeplo: Osilador elerônio o iruio anque LC. Vo() Frequênia de Osilação: = i LC C L Ciruio Variando-se o valor de L ou C de aordo o f(), a frequênia insanânea do osilador abé varia o f(). Supondo que o valor do apaior varie da seguine fora: a C = C a. f ( ) = C f ( ) C Logo: i = = a LC a LC ( ) f ( ) f C C Expandindo a função e Série de Taylor: ( x) = x x x / Se a f ( ) C Logo: / a f ( ) C a = f ( ) C e a i = f ( ) LC C Definindo: = e LC K F a = C Teos: ( ) = K f ( ) Frequênia insanânea do sinal i F Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

30 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 3 Modulador o Diodo de Reaânia Variável (Variap ou Varaor) Diodo Variap: D DN548 - V r ex.: N539 a N548 A apaiânia do Variap é função da ensão de Polarização Reversa (V r ) apliada nos seus erinais. O variap é u diodo dopado de al fora que, ao ser polarizado reversaene, faz o que a região de depleção da junção PN varie. N N P - V r Maior - V r Menor P Ex.: BB89 - Philips Usado e sinonia de VHF - Televisão Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

31 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 3 Exeplo de iruio: V L P C P L C Cd ϕ ( ) f ( ) P Polarização do Diodo Variap C Bloqueio DC de f() P Sensibilidade (nível f() apliado) L Choque RF, para a poradora não arapalhar a polarização L,C,Cd Osilador Harley = i L C onde C Cd C = Série de C e Cd C Cd Coo Cd<<C C Cd Logo: = i L Cd e = L C Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

32 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 3 Modulação pelo Méodo Digial Prinípio: Filrage da oponene fundaenal de ua onda quadrada. Osiladores baseados na arga e desarga de apaiores Frequênia é função da alienação. Ex.: Osilador Asável o Transisor V R R f ( ) Q P Q Q4 Cb Q5 Cb Q3 Q6 C L ϕ ( ) Q e Q3 : Osilador Asável Q : inverer f() Q4 e Q5 : fones de orrenes dependenes de f() Q6 : Desaoplar a saída L e C : Filro passa-faixas sinonizado na frequênia da poradora ( a harônia) P: Ajusa o valor de polarização das fones de orrene Frequênia da Poradora Obs.: Qualquer osilador uja frequênia depende de ua ensão de onrole é haado de VCO (Volage Conrolled Osillaor) Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

33 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 33 Deodulação de Sinais Objeivo: Reuperar f ( ) a parir de ϕ ( ). ) Disriinador de Frequênias Ciruio que onvere, linearene, variações de frequênia e variações de apliude. Dese odo, u sinal F é onverido para u pseudo sinal AM, que pode ser deodulado por u deeor de envolória. Deeor de ϕ ( ) H() ϕ envolória f ( ), ( AM ) Ex.: Magniude (db) H ( ) Bode Diagra f() Phase (deg) Frequeny (rad/se) 5 5 φ () Disriinador: Quano aior a frequênia aior a apliude do sinal de saída Logo: é u FILTRO!!! φ AM, () Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

34 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 34 Tipos de Disriinadores a) Difereniador X ( ) x( ) H ( ) d d dx( ) Y ( ) H ( ). X ( ) = = = j. X ( ) d Y ( ) dx( ) y( ) = d Logo: Resposa e Frequênia do difereniador: H() = H ( ) = H ( ) = j = π /, > θ ( ) = π / < Logo: deodulador d ϕ, ( AM ) ϕ ( ) d Análise: ϕ ( ) = A.os [ θ ( ) ] onde: θ ( ) = KF f ( τ ). dτ Assi: d [ ϕ ( ) ] d [ Aos θ ( ) ] ϕ AM, ( ) = = d d dθ ( ) d ϕ AM, ( ) = A.sin [ θ ( ) ]. = Asin [ θ ( ) ]. K F f ( τ ). dτ d d ϕ AM, ( ) = A.sin [ θ ( ) ].[ KF f ( ) ] [ ] [ ] ϕ AM, ( ) = A. KF f ( ).sin θ ( ) Deeor de envolória y( ) Envolória AM Sinal odulado e apliude E frequênia Ângulo Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

35 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 35 Saída do deeor de envolória: y( ) = A. [ KF f ( ) ] y( ) = A. AK f ( ) Nível DC filrar F Sinal proporional a f() b) Disriinador RC p X ( ) 5p Y ( ) x( ) C R y( ) Resposa e frequênia: R RC. j H ( ) = = R jrc jc Para baixas frequênias,., o iruio se opora oo u difereniador., RC RC Se: RC H ( ) jrc Resolução: db/déada Ciruio Copleo: C AM, ( ) ϕ ( ) R D Re Ce C K. f ( ) Difereniador Deeor de envolória Bloqueio DC Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

36 ) Disriinador Sinonizado (deeor de inlinação) X ( ) Y ( ) x( ) R k L.633u C p y( ) Capíulo 3 Modulação Angular - Página 36 Z Resposa e frequênia: H ( ) = Z R jl onde Z = jl // jc = ( j) LC Logo: H ( ) = ( j) j RC j RC LC - O iruio opora-se oo u difereniador na região linear. - O iruio sinonizado LC, r =, deve ser projeado de odo que aia na região LC linear. Ipleenação o ransforador de RF: ϕ, ( AM ) ϕ ( ) L C D Re Ce Co K. f ( ) Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

37 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 37 d) Disriinador Balaneado ϕ ( ) C L L C D Rd Cde () - - e () - L C Rd Cd e () - e ( ) = e ( ) e ( ) = LC = L C D = LC H () H ()-H () H () Vanagens: Desvanagens: - Maior região linear - Neessia ajusar 3 iruios ressonanes - Alo Ganho - Não neessia bloqueio DC Ouros Disriinadores: - Deeor de Relação - Deeor Foser-Seeley Ouros Deoduladores de : - Deodulação pelo Méodo Digial: ϕ ( ) - PLL (viso adiane) Liiador Difereniador Monoesável PB Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

38 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 38 Ruído e Siseas f() Modulador ϕ ( ) Difereniador H ( ) = j Deeor de Envolória Filro Passa- Baixas: Transissor n() Reepor Supondo que o ruído inroduzido pelo anal de ouniação seja brano, vaos analisar o que aonee o sua densidade esperal de poênia quando apliado ao Difereniador: S ( ) n = Coo: Assi: S ( ) = S H ( ) n n H ( ) = j H ( ) = S ( ) n = =.5 S n () 8 S n () Logo o difereniador dá ganho aior para frequênias aiores, auenado a poênia do ruído no reepor para esas alas frequênias. Se o sinal de inforação for áudio ou voz, sua densidade esperal possui baixos valores para alas frequênias. Conlusão: A relação Sinal-Ruído é uio baixa nas alas frequênias do sinal de áudio, pois o sinal é ais baixo onde o ruído é ais alo, ausando disorção do sinal deodulado. Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

39 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 39 Pré-Enfase e De-ênfase - Pré-Enfase: Reforça as oponenes de ala frequênia do sinal de inforação f(). - De-ênfase: Resaura as oponenes de ala frequênia do sinal ao seu nível original, alé de reduzir a densidade esperal de ruído nas alas frequênias Objeivo: Melhorar a relação Sinal-Ruído do sinal deodulado. Exeplo de redes: Pré-enfase: C n H ( ) = R R = R = j CR R jc R R jc R = frequênia do Zero RC = ( R // R ) C frequênia do pólo j RC j ( R // R ) C Nora FCC aeriana: f =, khz f > 3kHz R 75k R 4.7k De-ênfase: H jc RC ( ) = = jc R j R C R 75k C n = frequênia do Pólo R C Nora FCC aeriana: f =, khz H ( f ) H( f ) f = π R C f = π ( R // R ) C Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

40 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 4 Reepor Super-Heródino Monofônio Aplifiador e Filro de RF Misurador Aplifiador de FI,7MHz Liiador Deeor De-ênfase Osilador Loal f,7mhz CAF CAG Aplifiador e Filro de RF: Sinoniza aravés de u apaior variável a esação de rádio. Osilador Loal: Gera ua frequênia,7mhz aia da frequênia sinonizada pela eapa de RF Misurador: Efeua a heerodinização (ulipliação), de odo que na saída o sinal eseja sepre a,7mhz. Liiador: Liia a apliude do sinal odulado Deeor : Realiza a deodulação do sinal. De-ênfase: resaura as alas frequênias aos seus níveis norais e reduz o nível de ruído Aplifiador de Áudio: Eapa de aplifiação do sinal de áudio para o alo-falane CAF: Conrole Auoáio de Frequênia, ajusa auoaiaene a frequênia do osilador loal (aravés da polarização do diodo variap) para elhor reepção. CAG: Conrole Auoáio de Ganho, ajusa auoaiaene o ganho da eapa de aplifiação RF. O iruio elerônio pode ser viso no livro: Teleouniações, Juarez Nasieno. Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

41 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 4 Eséreo Possibilia a ransissão e reepção de anais de áudio independenes. Hisório: No iníio as ransissões era feias e onofônio, o a venda de ilhares de radinhos. Co o adveno da ransissão e eséreo surgiu o problea de oo fazer o que os reepores anigos oninuasse a reeber a esação ransiindo e eséreo. Sinais: l() anal esquerdo r() anal direio Transissor: l() Pré-ênfase - X 38kHz 9kHz Modulador r() Pré-ênfase Codifiador Mariial Osilador Análise: - Iniialene os anais esquerdo l() e direio r() são pré-enfaizados e odifiados ariialene, gerando os sinais de soa l( ) r( ) e diferença l( ) r( ) Esperos: onde = π 5k aúdio liiado e 5kHz Sinais de Enrada: L() R() - - Saída do odifiador ariial: L()R() L()-R() - - Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

42 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 4 - Os sinais soa l( ) r( ) e diferença l( ) r( ) oupa o eso lugar no espero. Desloa-se o espero da diferença usando odulação DSB-SC para a frequênia de 38kHz. {[ L( ) R( ) ] os(π 38 k ) } -53k -38k -3k 3k 38k 53k f - O sinal oposo ( Sereo Muliplex ) é a soa do sinal soa l( ) r( ), do sinal diferença ransaladado para 38kHz e ais u o piloo de 9kHz. O o piloo serve para gerar ua sub-poradora loal no reepor, sinronizada o a ransissão, de odo a periir a deodulação sínrona o sinal DSB-SC. Ese sinal oposo odula a poradora e frequênia e é ransiido. Sereo Muliplex -53k -38k -3k -9k -5k 5k 9k 3k 38k 53k f Largura de Banda do sinal de inforação eséreo: B=53kHz - A largura de Banda do sinal Eséreo: dados: f = 53kHz e f = 75kHz Por Carson: B = f f = 75k 53k = 56kHz Mais preisa n = β : B = f 4 f = 75k 4 53k = 36kHz Logo a aiude de deixar ua posição vazia a ada khz no espero de 88 a 8MHz é abé visando a ransissão eséreo. Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

43 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 43 Reepor: Passa-Faixas 38k 3k 53k f X Passa-Baixas 5k f Deodulador Passa-Faixas banda esreia 9k f De-ênfase l() 5k Passa-Baixas f - Deodifiador Mariial De-ênfase r() Análise: - Após a deodulação, o sinal obido (sereo uliplex) é separado por filrage. -53k -38k -3k 3k 38k 53k f Sereo Muliplex o piloo -53k -38k -3k -9k -5k 5k 9k 3k 38k 53k f -9k 9k f L()R() -5k 5k f Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

44 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 44 - O sinal diferença l( ) r( ) é ransladado para sua posição original aravés da deodulação DSB- SC usando deeção sínrona, pelo uso da sub-poradora de38khz gerada a parir do o piloo de 9kHz. -53k -38k -3k 3k 38k 53k f sub-poradora -76k -5k 5k 76k f -38k 38k f Filrage Passa-Baixas L( ) R( ) -5k 5k f - deodifiação ariial: l( ) r( ) l( ) r( ) = l( ) [ ] [ ] [ ] [ ] l( ) r( ) l( ) r( ) = r( ) - Após a deodifiação ariial, os sinais l() e r() são de-enfaizados e aplifiados separadaene, gerando os anais de áudio esquerdo e direio. Observações: - Se a reepção for onofônia, será reproduzido no alo falane o sinal soa l()r(), que é o sinal presene na banda de frequênia de a 5kHz. Logo os rádios onos pode reeber ransissão eséreo. - Se a ransissão for onofônia, abos os alos falanes reproduzirão o eso so, ua vez que o sinal l()-r() é igual a zero. Iso pode ser oniorado por u LED que aenda na presença do o piloo de 9kHz. Logo os rádios eséreos pode reeber ransissão onofônias. Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

45 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 45 PLL (Phase-Loked Loop) - Laço de Fase Aarrada Hisório: Os oneios básios epregados no iruio PLL fora desenvolvidos nos eados de 93. Os iruios era aros e uilizados apenas e reepores de rádio de preisão. Co o avanço da iroelerônia, e 96, surgira os prieiros PLLs oalene inegrados, reduzindo seus usos e popularizando a énia. Diagraa de Bloos: V i f i Coparador de fase V d Filro Passa-Baixas V o V os f os VCO Coponenes: ) Coparador de Fase Ciruio uja saída é proporional à diferença de fase enre os sinais de enrada. V V Coparador de fase V d Tipos: a) Analógio: Ciruio Mulipliador V X V d Análise: V Seja V = os( φ ) e V = os( φ) Saída será: Vd = V V = os( φ ) os( φ ) Vd = [ os( φ φ ) os( φ ( φ )) ] V [ os( ) os( ) d = φ φ φ φ ] Filrando PB Vo = [ os( φ φ ) ] Logo saída do PB proporional à diferença de fase Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

46 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 46 b) Digial: Pora Lógia Ou-Exlusivo (XOR) V V V d 3 FPB V V V d V V V d V o Ouros: Coparador de Fase-Frequênia Ver Xerox ) Filro Passa-Baixas Função: reover a ala frequênia exisene na saída do oparador de fase. Ex.: PB ª Orde PB ª Orde V d R 75k V o V d R 75k R 75k V o C n C n C n Observação: Junaene o o filro pode er u aplifiador para adequar o sinal de saída dese ao nível de sinal neessário ao orreo funionaeno do VCO. Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

47 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 47 3) VCO (Volage Conrolled Osillaor) Osilador Conrolado por Tensão Função: Gerar, a parir de u sinal de ensão na sua enrada, ua sinal osilaório de ua deerinada frequênia. V o VCO V os f os Nada ais é do que u odulador, podendo ser usados os iruios visos aneriorene. Ex.: Modulador Digial o o Osilador Asável. Finalidades Básias do PLL: Para u sinal de enrada V i de frequênia variável Fazer o que o VCO produza u sinal V os uja frequênia siga a frequênia de Vi, iso é, que anenha fi = fos Para u sinal de enrada V i de frequênia fixa Maner a diferença de fase de V i e V os onsane. Funionaeno Básio: Supondo que o iruio eseja e regie peranene, iso é, fi = fos e diferença de fase onsane. Co fi = fos, o sinal V o é al que ané a saída do VCO aarrada o o sinal de enrada. Se a frequênia do sinal de enrada f i udar, o oparador de fase sene a udança e alera V o de odo a aner fi = fos. Logo, no funionaeno básio do PLL, o sinal V o varia de aordo o a variação de frequênia do sinal V i. Assi, se Vi = ϕ ( ) ereos: Vo = f ( ) Realizando nauralene a Deodulação. Observação: A análise dinâia do PLL envolve oneios de Siseas de Conrole, e não será efeuada nese urso. A figura ao lado ilusra a resposa do PLL (frequênia do VCO) à u salo na frequênia de enrada (linha verelha), para diversos faores de aoreieno do filro PB. Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

48 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 48 Devido à liiação de faixa de osilação iposa pelo VCO, há faixas de frequênias iporanes para o PLL. V o Faixa de apura: f C f f f f 3 f 4 f os Faixa de Reenção: f R f : Frequênia de osilação livre do VCO. Frequênia que o VCO osila quando não há sinal apliado. f R : Faixa de Reenção. f R =f 4 -f Faixa enorno da frequênia f, na qual o VCO pode aner-se e sinroniso o o sinal exerno. f R : Faixa de Capura. f R =f 3 -f Faixa enorno da frequênia f, na qual o VCO é apaz de adquirir o sinroniso, quando da apliação de u sinal exerno na enrada do PLL. Exeplos e Apliações: Os PLLs ais populares são os inegrados CD446(CMOS) e LM565(BIPOLAR). Ao lado é apresenado o diagraa inerno do CD446. Ese hip possui inernaene o VCO e ipos diferenes de oparadores de fase. Sendo porano neessária apenas a inlusão do Filro Passa-Baixas e de oponenes R e C para sinonizar o VCO na faixa de frequênias desejada de rabalho. Ver Daashees na página da disiplina. Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

49 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 49 O PLL oo Sineizador de Frequênias: Ipleenar u divisor de frequênia, iso é, a parir de u sinal o ua deerinada frequênia (lok), gera-se u sinal uja frequênia é ua fração da frequênia dese é ua arefa relaivaene fáil uilizando énias digiais (Flip-Flops e Conadores). Coo ipleenar u ulipliador de frequênias? V i f i M V M f M Coparador de fase V d Filro Passa-Baixas V N f N N V os f os VCO Inserindo-se u divisor de frequênias de M no sinal de enrada e u divisor de frequênias por N no sinal de saída do VCO. Já vios do funionaeno do PLL, que o eso ané os sinais de enrada do oparador de fase o a esa frequênia. Iso é: fm = fn fi fos Coo: fm = e fn = M N fi f N os Teos que: = Logo: fos = fi M N M Podeos, a parir de u sinal de referênia (lok) V i, gerar qualquer úliplo raional da frequênia f i. O uso de sineizadores de frequênia o PLL, perie que siseas digiais onrole a sinonia e eorização auoáia de esações de rádio, regeneração da poradora de 38kHz a parir do o piloo de 9kHz. O PLL possui inúeras apliações e Teleouniações e Insruenação, ais oo: - sineizadores de frequênia: Geração de diversas poradoras a parir de u únio risal, sinonia auoáia de rádio e TV. - Modulação pelo éodo indireo. - Deodulação de sinais e FSK ( de sinais digiais) - Aplifiador Lok-in, usado para realizar edidas e abiene ruidoso - Regeneração da poradora loal e siseas de reepção DSB-SC e SSB (reepor sínrono) - Ciruios de sinroniso verial de TV - Ajuse de frequênia da poradora. Ex.: Saélies -... Boa leiura: hp:// Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar

50 Capíulo 3 Modulação Angular - Página 5 Conlusões Vanagens do sobre o AM a) Os siseas são ais iunes ao ruído - Pela faixa de frequênia que opera (88-8MHz) - Por possibiliar o uso de liiadores que eliina variações de apliude inroduzidas pelo ruído. b) Coo rabalha na faixa de VHF e UHF, o alane do fia liiado pela linha de visada direa, possibiliando a uilização de u eso anal por várias eissoras, que se disania pouo ua das ouras. - Couniações Móveis Desvanagens do sobre o AM a) Neessia ua largura de banda aior para a ransissão do sinal odulado. b) Transissores e reepores ais oplexos. ) Menor alane, devido à faixa de frequênia que opera. Universidade Federal do Paraná Dep. de Engenharia Eléria Prof. Marus V. Laar