Aprendizagem de Máquina
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- Orlando Covalski Regueira
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1 Plano de Aula Aprendzagem de Máquna Aula 4 Alessandro L. Koerch Aprendzagem Bayesana Introdução Teorema de Bayes e Aprendzagem Concetual Classfcador Ótmo de Bayes Algortmo de Gbbs Classfcador Naïe Bayes Exemplos Resumo Mestrado em Informátca Aplcada Pontfíca Unersdade Católca do Paraná (PUCPR Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 2 Referêncas Introdução Duda R., Hart P., Stork D. Pattern Classfcaton 2ed. Wlley Interscence, Capítulos 2 & 3 Mtchell T. Machne Learnng. WCB McGraw Hll, Capítulo 6. O pensamento Bayesano fornece uma abordagem probablístca para aprendzagem Está baseado na suposção de que as quantdades de nteresse são reguladas por dstrbuções de probabldade. Theodords S., Koutroumbas K. Pattern Recognton. Academc Press, Capítulo 2 Dstrbuções de probabldade: Ver documento em anexo. Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 3 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 4
2 Introdução Introdução Decsões ótmas podem ser tomadas com base nestas probabldades conuntamente com os dados obserados. Fornece uma solução quanttata ponderando a edênca suportando hpóteses alternatas. Fornece a base para algortmos de aprendzagem que manpulam probabldades bem como outros algortmos que não manpulam probabldades explctamente. Os métodos Bayesanos são releantes por dos motos: 1. Fornecem algortmos de aprendzagem prátcos: Aprendzagem Naïe Bayes Aprendzagem de Redes Bayesanas Combnam conhecmento a pror com os dados obserados Requerem probabldades a pror Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 5 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 6 Introdução 2. Fornecem uma estrutura concetual útl: Fornece norma de ouro para aalar outros algortmos de aprendzagem Percepção adconal dentro do Occam s razor Norma de Ouro: menor erro possíel Característcas da Aprendzagem Bayesana 1. Cada exemplo de trenamento pode decrementar ou ncrementar ncrementalmente a probabldade de uma hpótese ser correta. 2. Conhecmento a pror pode ser combnado com os dados obserados para determnar a probabldade de uma hpótese. 3. Métodos Bayesanos podem acomodar hpóteses que fazem predções probablístcas (Ex: Este pacente tem uma chance de 93% de se recuperar Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 7 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 8
3 Característcas da Aprendzagem Bayesana 4. Noas nstâncas podem ser classfcadas combnando a probabldade de múltplas hpóteses ponderadas pelas suas probabldades. Dfculdades Prátcas Métodos Bayesanos requerem o conhecmento ncal de áras probabldades. Quando não conhecdas, podem ser estmadas a partr de conhecmento préo, dados preamente dsponíes e suposções a respeto da forma da dstrbução. Custo computaconal sgnfcato para determnar a hpótese ótma de Bayes É geralmente lnear com o número de hpóteses Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 9 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 10 Teorema de Bayes Teorema de Bayes h D: probabldade de h dado D D h: probabldade de D dado h. h: probabldade a pror da hpótese h h D é chamada de probabldade a posteror de h porque ela reflete nossa confança que h se mantenha após termos obserado o dado de trenamento D. P ( h D = P ( D h P ( h P ( D h D reflete a nfluênca do dado de trenamento D. D: probabldade a pror dos dados de trenamento D Em contraste, a probabldade a pror h é ndependente de D. Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 11 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 12
4 Teorema de Bayes Teorema de Bayes Geralmente queremos encontrar a hpótese mas proáel h H, sendo fornecdos os dados de trenamento D. Ou sea, a hpótese com o máxmo a posteror (MAP h MAP arg max h D h H D h h = arg max h H D = arg max D h h h H Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 13 Desprezamos o termo D porque ele é uma constante ndependente de h. Se assumrmos que cada hpótese em H é gualmente proáel a pror,.e. h = h h e h em H Então, podemos smplfcar mas e escolher a hpótese de máxma probabldade condconal (maxmum lkelhood = ML. Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 14 Teorema de Bayes Teorema de Bayes: Exemplo O termo D h é chamado de probabldade condconal (ou lkelhood de D Sendo fornecdo h, qualquer hpótese que maxmza D h é chamada de uma hpótese ML. h ML arg max D h h H Consdere um problema de dagnóstco médco onde exstem duas hpóteses alternatas: 1. O pacente tem câncer 2. O pacente não tem câncer Os dados dsponíes são de um exame de laboratóro com dos resultados possíes: : posto : negato Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 15 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 16
5 Teorema de Bayes: Exemplo Teorema de Bayes: Exemplo Temos o conhecmento préo que na população ntera somente tem esta doença. O teste retorna um resultado posto correto somente em 98% dos casos nos quas a doença está atualmente presente. câncer = câncer = câncer = câncer = câncer = câncer = O teste retorna um resultado negato correto somente em 97% dos casos nos quas a doença não estea presente. Nos outros casos, o teste retorna o resultado oposto. Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 17 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 18 Teorema de Bayes: Exemplo Aplcando o Teorema de Bayes Supondo que um pacente fez um teste de laboratóro e o resultado deu posto. Calculando a hpótese com maor probabldade a posteror: O pacente tem câncer ou não? câncer câncer = = câncer câncer = = Assm, h MAP = câncer Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 19 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 20
6 Formulação Básca de Probabldades Aprendzagem Concetual Força Bruta Qual a relação entre o teorema de Bayes e a aprendzagem de conceto? Consdere: um espaço fnto de hpóteses H defndo sobre um espaço de nstâncas X a tarefa é aprender algum conceto alo c: X {0,1 Assumndo que é fornecda uma seqüênca de exemplos de trenamento <x 1...x m > e alores alos correspondentes <d 1...d m > Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 21 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 22 Aprendzagem Concetual Força Bruta Aprendzagem Concetual Força Bruta Podemos proetar um algortmo de aprendzagem de conceto que fornece na saída a hpótese de máxma probabldade a posteror: 1. Para cada hpótese h em H calcular a probabldade a posteror: D h h P ( h D = D 2. Escolher a hpótese h MAP com probabldade a posteror mas alta: h MAP = arg max h D h H Escolher h como sendo uma dstrbução unforme Escolher D h h = 1 D h = 0 1 H h H se h for consstent e com D caso contráro Agora podemos usar o teorema de Bayes para estmar h D para cada hpótese h dado os dados de trenamento D. Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 23 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 24
7 Aprendzagem Concetual Força Bruta Aprendzagem Concetual Força Bruta Se h for nconsstente com os dados de trenamento D, temos: 0. h h D = = 0 D Em resumo, o teorema Bayes mplca que a probabldade a posteror h D para h e D h assumdos sea: Se h for consstente com D: H H h D = = = D VS H, D H 1 VS H, D 1 P h D = VS H 0 (, D se h for consstent e com D caso contráro. onde VS H,D é o subconunto de hpóteses de H que são consstentes com D (.e Espaço Versão. Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 25 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 26 Aprendzagem Concetual Força Bruta Aprendzagem Concetual Eolução das probabldades a posteror com o aumento dos dados de trenamento. Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 27 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 28
8 Classfcador Ótmo de Bayes Classfcador Ótmo de Bayes Até agora consderamos a questão Qual a hpótese mas proáel (.e. h MAP dado os exemplos de trenamento (D? De fato, a questão mas sgnfcata é na erdade Qual é a classfcação mas proáel de uma noa nstânca dado os dados de trenamento? A hpótese MAP (h MAP é ou não a classfcação mas proáel? Consdere três hpóteses possíes h 1, h 2 e h 3 e suponha as seguntes probabldades a posteror destas hpóteses dado o conunto de trenamento D: h 1 D = 0.4 h 2 D = 0.3 h 3 D = 0.3 Qual é a hpótese MAP? h 1 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 29 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 30 Classfcador Ótmo de Bayes Classfcador Ótmo de Bayes Exemplo: Dada uma noa nstâncas x que é classfcada da segunte forma: h 1 (x = + h 2 (x = h 3 (x = Qual será a classfcação mas proáel de x? A classfcação mas proáel da noa nstânca x é obtda atraés da combnação das predções de todas as hpóteses ponderadas pelas suas probabldades a posteror. Assm, a D que a correta classfcação para a nstanca sea é: P ( D = h h D h H V P ( D = arg max h h D h H Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 31 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 32
9 Classfcador Ótmo de Bayes Classfcador Ótmo de Bayes A classfcação ótma para a noa nstânca é o alor para o qual D é máxma,.e.: arg V max h H P ( h h D Qualquer sstema que classfque noas nstâncas de acordo com a equação acma é chamada de um classfcador ótmo de Bayes. Importante: Nenhum outro classfcador que utlze o mesmo espaço de hpóteses H e mesmo conhecmento a pror pode superar este método Exemplo: portanto e h 1 D = 0.4, h 1 = 0, + h 1 = 1 h 2 D = 0.3, h 2 = 1, + h 2 = 0 h 3 D = 0.3, h 3 = 1, + h 3 = 0 h H h H arg max { +, } + h h h h h H D = 0.4 D = 0.6 P ( h h D = Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 33 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 34 Algortmo de Gbbs Algortmo de Gbbs O classfcador ótmo de Bayes fornece melhores resultados mas pode ser dspendoso se exstrem mutas hpóteses. Algortmo de Gbbs: 1. Escolha uma hpótese aleatoramente de acordo com h D 2. Use a para classfcar uma noa nstânca Fato surpreendente: Assumndo que os concetos alo são trados aleatoramente de H segundo a pror em H, então: E[erro Gbbs ] 2E[erro BayesÓtmo ] E[erro Gbbs ] 2E[erro BayesÓtmo ] Supondo que temos uma dstrbução unforme de probabldades a pror sobre H, então: Pegue qualquer hpótese de VS, com probabldade unforme. Seu erro esperado não será por do que o dobro do erro de uma classfcador Bayes ótmo. Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 35 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 36
10 Classfcador Naïe Bayes Classfcador Naïe Bayes Junto com árores de decsão, redes neuras e k NN, Naïe Bayes é um dos métodos de aprendzagem mas prátcos. Quando usar? houer dsponbldade de um conunto de trenamento grande ou moderado. os atrbutos que descreem as nstâncas forem condconalmente ndependentes dada a classfcação. Aplcações bem suceddas: Dagnóstcos Classfcação de documentos de textuas Se aplca a tarefas de aprendzagem onde cada nstânca x é descrta por um conunção de alores de atrbutos e onde a função alo, f(x pode assumr qualquer alor de um conunto V. Um conunto de exemplos de trenamento da função alo é fornecdo a uma noa nstânca é apresentada, descrta pela tupla de alores de atrbutos <a 1, a 2,..., a n >. A tarefa é predzer o alor alo (ou classfcação para esta noa nstânca. Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 37 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 38 Classfcador Naïe Bayes Classfcador Naïe Bayes A solução Bayesana para classfcar a noa nstânca consste em atrbur o alor alo mas proáel ( MAP dados os alores dos atrbutos <a 1, a 2,..., a n > que descreem a nstânca. MAP = arg max a, a2,..., a V 1 n Mas podemos usar o teorema de Bayes para reescreer a expressão... MAP MAP = arg max V a1, a2,..., an = arg max V a, a,..., a = arg max a, a V a, a,..., a,..., a Deemos agora estmar os dos termos da equação acma baseando-se nos dados de trenamento. é fácl de estmar... Porém, a 1,a 2,...,a n n n n Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 39 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 40
11 Classfcador Naïe Bayes Classfcador Naïe Bayes O classfcador Naïe Bayes é baseado na suposção smplfcadora de que os alores dos atrbutos são condconalmente ndependentes dado o alor alo. Ou sea, a probabldade de obserar a conunção a 1, a 2,..., a n é somente o produto das probabldades para os atrbutos ndduas: Temos assm o classfcador Naïe Bayes: NB = arg max V onde NB ndca o alor alo fornecdo pelo Naïe Bayes. a P a, a,..., a = a ( 1 2 n Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 41 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 42 Classfcador Naïe Bayes Classfcador Naïe Bayes Em resumo, o algortmo Naïe Bayes enole Algortmo Naïe Bayes Aprendzagem no qual os termos e a são estmados baseado nas suas freqüêncas no conunto de trenamento. O conunto destas estmatas corresponde as hpóteses aprenddas As hpóteses são então utlzadas para classfcar cada noa nstânca aplcando a equação sta anterormente ( NB Naïe_Bayes_Learn (examplos Para cada alor alo P ( estmar P ( Para cada alor de atrbuto a de cada atrbuto a P (a estmar P (a Classfy_New_Instances (x V = arg max P' ( P' ( a NB a x Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 43 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 44
12 Classfcador Naïe Bayes Classfcador Naïe Bayes Exemplo: Consdere os 14 exemplos de trenamento de PlayTenns e uma noa nstânca que o Naïe Bayes dee classfcar: Atrbuto alo: PlayTenns (yes, no <Outlook=sunny, Temperature=cool, Humdty=hgh, Wnd=strong> Nossa tarefa é predzer o alor alo (yes ou no do conceto PlayTenns para esta noa nstânca. Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 45 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 46 Classfcador Naïe Bayes Classfcador Naïe Bayes O alor alo V NB será dado por: NB = arg max { yes, no} = arg max { yes, no} a Outlook Humdty = hgh Temperatur Wnd Note que a fo nstancado utlzando os alores partculares de atrbuto da noa nstânca. = sunny e = cool = strong Probabldades a pror: PlayTenns = yes = 9/14 = 0.64 PlayTenns = no = 5/14 = 0.36 Probabldades condconas: Wnd=strong PlayTenns = yes = 3/9 = 0.33 Wnd=strong PlayTenns = no = 3/5 = Para calcular V NB são necessáras 1o probabldades que podem ser estmadas a partr dos exemplos de trenamento. Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 47 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 48
13 Classfcador Naïe Bayes Classfcador Naïe Bayes Usando estas estmatas de probabldade e estmatas smlares para os alores restantes dos atrbutos, calculamos NB de acordo com a equação anteror (omtndo nome dos atrbutos : yes sunny yes cool yes hgh yes strong yes = no sunny no cool no hgh no strong no = Então o classfcador atrbu o alor alo PlayTenns = no para esta noa nstânca. Sutlezas: 1. Suposção de ndependênca condconal é mutas ezes olada P a, a,..., = a ( mas, de qualquer manera, ele funcona bem. Note que não é necessáro estmar probabldades a posteror P ( x para ser correta. Necessta somente que arg max P' ( P' ( a = arg max a1,..., an V Probabldades Naïe Bayes a posteror próxmas de 0 e 1 são geralmente não realístcas V Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 49 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 50 Classfcador Naïe Bayes Classfcador Naïe Bayes Sutlezas: 2. E se nenhuma das nstâncas de trenamento com alor alo ter uma atrbuto de alor a? Então, e... A solução típca é uma estmata Bayesana para P (a. P' ( a P' ( a = 0 P' ( P' ( a = 0 nc n + + mp m onde: P' ( a mp m n é o número de exemplos de trenamento para os quas =, n c é o número de exemplos para os quas = e a = a p é a estmata a pror para P (a m é o peso dado as pror (.e. número de exemplos rtuas. nc n + + Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 51 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 52
14 Exemplo: Classfcando Texto Exemplo: Classfcando Texto Por que? Aprender quas notícas são nteressantes Aprender a classfcar págnas WEB por assunto Naïe Bayes é um dos algortmos mas efcentes Contexto Consdere um espaço de nstâncas X consstndo de todos os documentos de texto possíes. Dados exemplos de trenamento, de alguma função alo f(x que pode assumr alores de um conunto fnto V. Quas atrbutos deemos usar para representar documentos de texto? Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 53 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 54 Exemplo: Classfcando Texto Exemplo: Classfcando Texto A tarefa de aprendzagem é aprender, a partr dos exemplos de trenamento, a predzer o alor alo para os documento de texto subseqüentes. Consdere a função alo como sendo documentos nteressantes e não nteressantes. Proeto do Naïe Bayes: Como representar um documento de texto arbtráro em termos de alores de atrbutos Decdr como estmar as probabldades necessáras para o Naïe Bayes. Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 55 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 56
15 Exemplo: Classfcando Texto Exemplo: Classfcando Texto Representação de texto arbtráro Dado um documento de texto, este parágrafo, por exemplo, defnmos um atrbuto para cada posção de palara no documento e defnmos o alor do atrbuto como sendo a palara em português encontrada nesta posção. O parágrafo anteror pode ser descrto por 34 alores de atrbutos correspondendo as 34 posções de palaras. Dada a representação de documento de texto, podemos aplcar o Naïe Bayes. Assummos um conunto de 700 documentos classfcados por uma pessoa como não nteressantes outros 300 classfcados como nteressantes O alor do prmero atrbuto é a palara Dado e do segundo é a palara um e assm por dante. Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 57 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 58 Exemplo: Classfcando Texto Exemplo: Classfcando Texto Conceto alo nteressante: documento {+, } 1. Representar cada documento por um etor de palaras Um atrbuto por posção da palara no documento 2. Aprendendo usar exemplos de trenamento para estmar P (+ P ( P (doc + P (doc Suposção da ndependênca condconal Naïe Bayes doc = onde a = w k é a probabldade que a palara na posção é w k, dado. Mas uma suposção length ( doc = 1 a = w k a = w k = am = w k, m Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 59 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 60
16 Exemplo: Classfcando Texto Exemplo: Classfcando Texto Learn_Naïe_Bayes_Text (Examples, V 1. Coleconar todas palaras, pontuação e outros tokens que ocorrem em Examples Vocabulary todas as palaras dstntas e outros tokens que ocorrem em Examples 2. Calcular as probabldade necessáras P ( e P (w k... Para cada alor alo em V faça docs subconunto de documento de Examples para o qual o alor alo é = Text um documento únco crado pela concatenação de todos os membros de docs n número total de posções dstntas de palaras em Text Para cada palara w k em Vocabulary n k número de ezes que a palara w k ocorre em Text w k docs Examples n k + 1 n + Vocabulary Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 61 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 62 Exemplo: Classfcando Texto Exemplo: Classfcando Texto Classfy_Naïe_Bayes_Text (Doc postons todas as posções das palaras em Doc que contém tokens encontrados em Vocabulary retornar NB onde NB = arg max V postons a Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 63 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 64
17 Exemplo: Classfcando Texto Exemplo: Classfcando Texto Dados 1000 documentos de trenamento de cada grupo, aprenda a classfcar noos documentos de acordo com o newsgroup de orgem. Artgo de rec.sport.hockey Naïe Bayes: precsão de classfcação: 89% Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 65 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 66 Cura de Aprendzagem Resumo Métodos Bayesanos: acomodam conhecmento préo e e dados obseráes; atrbuem probabldade a posteror para cada hpótese canddata, baseando se na pror e dados. Métodos Bayesanos: podem determnar a hpótese mas proáel (MAP, tendo os dados. Bayes Ótmo: combna predções de todas hpóteses alternatas, ponderadas pela probabldade a posteror, para calcular a classfcação mas proáel de cada noa nstânca. Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 67 Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 68
18 Resumo Naïe Bayes: é chamado de naïe (smples, não sofstcado, porque assume que os alores dos atrbutos são condconalmente ndependentes. Naïe Bayes: se a condção é encontrada, ele fornece a classfcação MAP, caso contráro, pode fornecer também bons resultados. Mestrado em Informátca Aplcada Aprendzagem de Máquna 69
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