ESTIMAÇÃO EM MODELOS DE TEMPO DE FALHA ACELERADO PARA DADOS DE SOBREVIVÊNCIACORRELACIONADOS: UMA APLICAÇÃO PARA POÇOS DE PETRÓLEO

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1 ESTIMAÇÃO EM MODELOS DE TEMPO DE FALHA ACELERADO PARA DADOS DE SOBREVIVÊNCIACORRELACIONADOS: UMA APLICAÇÃO PARA POÇOS DE PETRÓLEO Patríca Borchardt Santos Unversdade Federal do Ro Grande do Norte Campus Unverstáro - Lagoa Nova CEP: Natal, RN - Brasl pborchardt@gmal.com Done Mara Valença Unversdade Federal do Ro Grande do Norte Campus Unverstáro - Lagoa Nova CEP: Natal, RN - Brasl done@ccet.ufrn.br RESUMO Apresentamos neste trabalho dos métodos de estmação para modelos de tempo de falha acelerado com efeto aleatóro para tratar de dados de sobrevvênca correlaconados. O prmero método, que está mplementado no software SAS, utlza a quadratura Gauss-Hermte adaptada para obter a verossmlhança margnalzada. O segundo método, mplementado no software lvre R, está baseado no método da verossmlhança penalzada para estmar os parâmetros do modelo. Faremos uma aplcação dos modelos usando dados reas sobre o tempo de funconamento de poços petrolíferos da Baca Potguar (RN/CE). PALAVRAS CHAVE. Modelos de tempo de falha acelerado. Dados correlaconados. Petróleo. Aplcações à Indústra. ABSTRACT We presented n ths work two methods of estmaton for accelerated falure tme models wth random effects to process grouped survval data. The frst method, whch s mplemented n software SAS uses an adapted Gauss-Hermte quadrature to determne margnalzed lkelhood. The second method, mplemented n the free software R, s based on the method of penalzed lkelhood to estmate the parameters of the model. We wll mplement the models usng actual data on the tme of operaton of ol wells from the Potguar Basn (RN / CE). KEYWORDS. Accelerated falure tme models. Grouped data. Ol. Applcatons to ndustry. 1. Introdução Em estudos de análse de sobrevvênca, estamos nteressados no tempo até que determnado evento ocorra, geralmente chamado de tempo até a falha, tempo de sobrevvênca ou mesmo tempo de vda. Como exemplos, podemos ter o tempo até a cura de uma doença ou o tempo até a morte de um pacente. Para trabalharmos com dados de sobrevvênca, consderamos em geral a suposção de que os tempos de vda são todos ndependentes. Entretanto, exstem stuações em que tal condção não pode ser assumda. A dependênca dos tempos pode ser XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2331

2 causada quando observamos tempos de sobrevvênca em grupos, podendo ser, por exemplo, ndvíduos de uma mesma famíla. Outra stuação que sugere dependênca entre os tempos é quando observamos mas de um tempo para um únco ndvíduo. Consderamos como motvação um estudo retrospectvo sobre o tempo de funconamento de poços de petróleo, no qual fo coletada uma amostra composta por 616 poçoscoluna. No período de janero de 2000 à dezembro de 2006 fo observado o tempo de funconamento de cada um dos poços-coluna dentro da sua normaldade até apresentarem falha relaconada a equpamentos de sub-superfíce, que cause parada total do funconamento do poçocoluna. Após detectada a falha, os equpamentos eram consertados e o tempo até uma nova falha era observado. Este procedmento fo feto para toda a amostra durante o período observado. Sendo assm, o evento de nteresse pôde ser meddo mas de uma vez em cada poço-coluna, caracterzando eventos recorrentes. Quando as observações pertencentes a um mesmo grupo apresentam-se correlaconadas, os modelos tradconas para análse de sobrevvênca como o modelo de rscos proporconas de Cox (Cox, 1972) ou o modelo de tempo de falha acelerado (Kalbflesch, D. e Prentce, 2002) não podem ser dretamente aplcados. Neste enfoque, Klen (1992) propôs um modelo de rscos proporconas de Cox com fragldade Gama, em que as estmatvas dos parâmetros foram obtdas usando um algortmo EM. Clayton (1985) estenderam o modelo de rscos proporconas pela adção de um termo de fragldade multplcatvo, com dstrbução Gama. Therneau (2000) fornecem uma ampla dscussão sobre modelos de Cox aplcados a dados de sobrevvênca correlaconados em que utlzam o método da verossmlhança penalzada para estmar os parâmetros do modelo. No contexto paramétrco, Valença (2003) apresenta um modelo de tempo de falha acelerado (MTFA) para tratar de dados correlaconados e consderando um dstrbução normal para o efeto aleatóro, propõe um procedmento para obtenção de estmadores de máxma verossmlhança dos parâmetros da verossmlhança margnalzada. Consdera uma aproxmação da ntegral por uma quadratura adaptada, e a maxmzação da verossmlhança através de um método teratvo. O procedmento NLMIXED do SAS e o algortmo quase-newton foram usados para obter as estmatvas. Lambert et al. (2004) em um trabalho com o mesmo enfoque, utlza também um MTFA com um efeto aleatóro. Os autores avalam dferentes combnações da dstrbução assumda para o efeto aleatóro e para a função rsco base, para ajustar dados de sobrevvênca de pacentes com transplante renal agrupados em dferentes centros de transplante. Para o efeto aleatóro os autores consderam as dstrbuções Gama, Normal Inversa e Log- Normal e usam também o proc NLMIXED do SAS. Neste trabalho usamos MTFA com efeto aleatóro para tratar a dependênca entre tempos de sobrevvênca e descrevemos os prncpas aspectos teórcos da abordagem usada por Valença (2003) e Lambert et al. (2004), mplementado através do procedmento NLMIXED do SAS. Apresentamos brevemente a abordagem de estmação mplementada no R, que se basea na verossmlhança penalzada e realzamos um estudo de smulação para nvestgar a performance do método proposto. Este trabalho está organzado da segunte forma: Na Seção 2 ntroduzmos um MTFA com efeto aleatóro para dados de sobrevvênca correlaconados. Na Seção 3 apresentamos a abordagem para a estmação do modelo utlzando o software SAS. Uma déa da estmação mplementada no R e um estudo de smulação são dados na Seção 4. Na Seção 5 realzamos uma aplcação dos modelos usando dados reas sobre poços de petróleo. Fnalzamos este trabalho com algumas conclusões na Seção Modelo de Tempo de Falha Acelerado com Efeto Aleatóro Seja T j o tempo de vda do ndvíduo j no grupo, com j=1,...,n e =1,...,k. Seja x j um vetor de covaráves. Denotemos os tempos de censura por C j, e consdere as respostas dadas por Y j = mn(log T j,log C j ). O ndcador de falhas δ j é defndo como δj = I( Tj Cj ), sendo I(.) a XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2332

3 função ndcadora. Os dados são então representados pelos pares de varáves aleatóras (, ) Y j δ j e as covaráves x j. Consderamos aqu que os tempos de sobrevvênca estão sujetos a censuras à dreta, assummos que o mecansmo de censura é aleatóro e que a censura é não nformatva, ou seja, a sua dstrbução não depende de parâmetros desconhecdos. Podemos estender o modelo de tempo de falha acelerado pela adção de um efeto aleatóro assocado ao grupo. Consderamos, então, a segunte representação para o modelo loglnear com efeto aleatóro sendo j T log T = U + x + ε (1) j ε j ' s erros aleatóros ndependentes e dentcamente dstrbuídos, com méda e varânca = 1 2 p e são parâmetros desconhecdos, e para cada grupo temos um efeto aleatóro U, representado por varáves aleatóras ndependentes e dentcamente dstrbuídas com densdade g, méda e varânca. Assummos que Cov (U,εj ) = 0, e que, condconado ao efeto aleatóro U, as respostas dentro do grupo são ndependentes. Assummos também que os efetos aleatóros U são ndependentes dos tempos de censura. Este modelo se reduz ao modelo de tempo de falha acelerado usual quando = 0. Assm, dado U, e conforme a dstrbução assumda para o erro ε j, temos um partcular modelo log-lnear. Com uma formulação semelhante Klen, et al. (1999) estudam um modelo para o caso em que εj e U possuem dstrbução Normal. Outros autores, usando modelos equvalentes, dscutem o ajuste do modelo de tempo de falha acelerado Webull, em geral assumndo dstrbução gama para o efeto aleatóro (ver por exemplo Kedng et al., 1997 e Morrs e Chrstansen, 1995). conhecdas. O vetor (,,.., ) T j 3. Abordagem mplementada no software SAS Nos modelos com efeto aleatóro, os métodos de máxma verossmlhança baseam-se, em geral, na verossmlhança margnal. Descrevemos a segur esta verossmlhança e uma proposta para o ajuste do modelo. 3.1 Verossmlhança Margnal T Consdere o modelo descrto em (1) e seja λ = (,,, ) o vetor de parâmetros desconhecdos que desejamos estmar. A verossmlhança condconal ao efeto do grupo, para o ndvíduo j no grupo é dada por f ( y δj 1 δj j u, xj ) S( yj u, xj ) com f e S denotando, respectvamente, as funções de densdade e sobrevvênca condconas de log T j dado o efeto do -ésmo grupo U. Denotamos o vetor de tempos observados no grupo como T Y (Y1,Y 2,...,Yn ) = e consderamos δ j e x defndos analogamente. Pela suposção de ndependênca condconal ao efeto do grupo, temos que a verossmlhança condconal para os ndvíduos do grupo é da forma L (, u ) = n j = 1 f ( y j u, x j ) δj S( y j u, x j 1 δj ), XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2333

4 para =1,..., k. Assm, a verossmlhança relatva à dstrbução margnal de ( Y, δ ), denotada por L (λ ), é representada por L ( λ ) = L (, u )g( u ;, ) du Observe que, apesar da possível correlação exstente dentro dos grupos, assummos aqu a ndependênca entre os vetores ( Y1, δ 1),...,( Y k, δ k ). Desta forma, o logartmo da verossmlhança margnal que desejamos obter para toda a amostra, é dado por. l( λ ) = k = 1 log L (, u )g( u ;, ) du. (2) A solução da ntegral em (2) e a maxmzação de l(λ ) com respeto a λ, dependem das dstrbuções postuladas para o efeto aleatóro e para os tempos de vda. Este problema pode ser vsto como um problema geral que ocorre em modelos mstos. Em algumas stuações, as dstrbuções são convenentemente estabelecdas de forma conjugada, como na mstura Webull e gama, para possbltar uma solução analítca da ntegral. Contudo, em stuações mas geras não é possível obter uma forma fechada para a verossmlhança. Se supomos a dstrbução Normal, por exemplo, para o efeto aleatóro, não obtemos uma ntegral analtcamente tratável. Nossa proposta consdera a dstrbução Normal para o efeto aleatóro e utlza o procedmento NLMIXED para a obtenção da verossmlhança margnal, cuja abordagem básca adotada é a aproxmação da ntegral por uma quadratura Gauss-Hermte adaptada (Lu e Perce, 1994). A maxmzação de l (λ ) é encontrada através do algortmo quase-newton. 4. Abordagem mplementada no software R O segundo procedmento de estmação está mplementado no R e utlza o comando survreg com fragldade baseado no método da verossmlhança penalzada (Therneau et. al, 2003). Como opção para o efeto aleatóro temos as dstrbuções Gama, Gaussana e t. Zhang (2007) comparou esse método com dos outros através de estudos de smulação, onde assumu para a fragldade as dstrbuções Gama e Log-Normal. Embora o procedmento da verossmlhança penalzada seja bem explorado para o modelo de regressão de Cox (Therneau, 2000), não encontramos na lteratura documentação abrangente para o MTFA. Neste trabalho, como uma alternatva de compensar essa lacuna, faremos um estudo de smulação para averguar a performance desse método. 4.1 Smulação Apresentamos um estudo de smulação consderando um MTFA para avalar o desempenho do método dscutdo acma, consderando a dstrbução Normal para o efeto aleatóro, e comparamos com um método que supõe que os tempos de vda são todos ndependentes, ambos mplementados no software R (versão 2.7.1). Para este estudo assummos grupos com três tamanhos dstntos: 10, 100 e 500, com 5 ndvíduos em cada grupo. Consderamos que temos uma únca covarável x j assocada a cada ndvíduo j no grupo, com dstrbução Normal padrão. Os tempos de censura foram gerados a partr de uma dstrbução unforme (0, q), onde q é escolhdo de forma a fornecer 0% e 30% de XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2334

5 censura na amostra. Os erros aleatóros ε j foram gerados a partr de varáves aleatóras ndependentes e dentcamente dstrbuídas com dstrbução valor extremo padrão. Realzamos 1000 réplcas para cada amostra e os verdaderos valores para os coefcentes do modelo foram = 5, = 0, 5 e = 1. Além dsso, consderamos quatro valores para a varânca do efeto aleatóro: =0 (sem dependênca entre os tempos), =0,25, =0,5 e =1. As estmatvas da méda, erro padrão (EP) e raz do erro quadrátco médco (REQM) para os dados smulados estão nas Tabelas 1 e 2. Tabela 1: Estmatvas da méda, erro padrão e raz do erro quadrátco médo dos parâmetros com = 5, = 0,5, = 1, 1000 réplcas, amostras dvddas em 10, 100 e 500 grupos, sem censura e varando o valor de. Par Método k =10 k =100 k =500 Méda EP REQM Méda EP REQM Méda EP REQM Pen 0,0640 0,0941 0,1138 0,0189 0,0254 0,0317 0,0079 0,0099 0,0126 Ind 4,9897 0,1543 0,1547 4,9992 0,0496 0,0496 4,9997 0,0213 0,0213 Pen 4,9717 0,1560 0,1586 4,9887 0,0489 0,0502 4,9952 0,0209 0, Ind 0,5056 0,1527 0,1528 0,4991 0,0446 0,0446 0,5008 0,0198 0,0199 Pen 0,4960 0,1493 0,1493 0,4986 0,0446 0,0446 0,4996 0,0200 0,0200 Ind 0,9728 0,1084 0,1118 0,9955 0,0339 0,0342 0,9999 0,0161 0,0161 Pen 0,9251 0,1233 0,1443 0,9779 0,0422 0,0476 0,9904 0,0186 0,0210 Pen 0,2944 0,2204 0,2248 0,2956 0,0747 0,0875 0,2933 0,0327 0,0542 Ind 5,0335 0,2107 0,2134 5,0562 0,0695 0,0894 5,0556 0,0322 0,0643 Pen 4,9579 0,2166 0,2206 4,9610 0,0725 0,0823 4,9611 0,0304 0,0493 0,25 Ind 0,5081 0,1809 0,1810 0,5043 0,0538 0,0540 0,4995 0,0242 0,0242 Pen 0,5039 0,1724 0,1724 0,5027 0,0507 0,0508 0,4991 0,0223 0,0223 Ind 1,0875 0,1317 0,1581 1,1350 0,0436 0,1418 1,1379 0,0198 0,1393 Pen 0,8954 0,1303 0,1671 0,9081 0,0415 0,1008 0,9102 0,0182 0,0917 Pen 0,5560 0,3716 0,3757 0,5496 0,1013 0,1125 0,5546 0,0477 0,0724 Ind 5,1017 0,2801 0,2980 5,1050 0,0873 0,1366 5,1077 0,0384 0,1143 Pen 4,9392 0,2770 0,2836 4,9519 0,0816 0,0946 4,9569 0,0388 0,0580 0,5 Ind 0,4910 0,1963 0,1966 0,4998 0,0621 0,0621 0,5002 0,0284 0,0284 Pen 0,5065 0,1771 0,1772 0,5036 0,0499 0,0499 0,4999 0,0232 0,0232 Ind 1,1848 0,1597 0,2441 1,2473 0,0594 0,2543 1,2565 0,0251 0,2578 Pen 0,8877 0,1243 0,1675 0,8883 0,0419 0,1192 0,8902 0,0175 0,1112 Pen 1,1361 0,6010 0,6107 1,0688 0,1727 0,1859 1,0653 0,0787 0,1022 Ind 5,1511 0,3612 0,3915 5,1924 0,1184 0,2259 5,2004 0,0515 0,2069 Pen 4,8595 0,2826 0,3133 4,9538 0,1077 0,1172 4,9524 0,0511 0, Ind 0,5064 0,2329 0,2330 0,4979 0,0727 0,0727 0,4994 0,0337 0,0337 Pen 0,5052 0,1760 0,1744 0,4946 0,0499 0,0502 0,4992 0,0238 0,0238 Ind 1,3450 0,2036 0,4006 1,4434 0,0750 0,4497 1,4571 0,0355 0,4585 Pen 0,8756 0,1221 0,1735 0,8766 0,0372 0,1289 0,8783 0,0169 0,1229 XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2335

6 Tabela 2: Estmatvas da méda, erro padrão e raz do erro quadrátco médo dos parâmetros com = 5, = 0,5, = 1, 1000 réplcas, amostras dvddas em 10, 100 e 500 grupos, com 30% de censura e varando o valor de. Par Método k =10 k =100 k =500 Méda EP REQM Méda EP REQM Méda EP REQM Pen 0,0878 0,1310 0,1577 0,0240 0,0355 0,0429 0,0109 0,0146 0,0183 Ind 5,0029 0,1728 0,1729 4,9989 0,0533 0,0533 4,9996 0,0252 0,0252 Pen 4,9572 0,1783 0,1833 4,9865 0,0557 0,0573 4,9938 0,0254 0, Ind 0,5246 0,1879 0,1895 0,5041 0,0567 0,0569 0,5012 0,0252 0,0252 Pen 0,5164 0,1913 0,1920 0,5007 0,0581 0,0581 0,5000 0,0260 0,0260 Ind 0,9745 0,1360 0,1384 0,9980 0,0432 0,0432 0,9988 0,0185 0,0185 Pen 0,9222 0,1544 0,1729 0,9759 0,0505 0,0559 0,9877 0,0240 0,0267 Pen 0,3004 0,2699 0,2745 0,2711 0,0832 0,0858 0,2715 0,0362 0,0421 Ind 5,0282 0,2429 0,2446 5,0283 0,0787 0,0836 5,0298 0,0342 0,0453 Pen 4,9266 0,2334 0,2447 4,9266 0,0731 0,1036 4,9228 0,0334 0,0841 0,25 Ind 0,5070 0,2096 0,2097 0,4886 0,0620 0,0630 0,4878 0,0283 0,0308 Pen 0,4967 0,2019 0,2019 0,4826 0,0607 0,0631 0,4861 0,0263 0,0298 Ind 1,0617 0,1436 0,1563 1,0823 0,0486 0,0956 1,0865 0,0209 0,0890 Pen 0,8863 0,1501 0,1833 0,8994 0,0535 0,1139 0,8986 0,0233 0,1041 Pen 0,5451 0,3867 0,3893 0,5024 0,1095 0,1096 0,4977 0,0476 0,0477 Ind 5,0482 0,2927 0,2967 5,0539 0,0903 0,1051 5,0561 0,0400 0,0689 Pen 4,8932 0,2824 0,3019 4,8996 0,0860 0,1322 4,9016 0,0388 0,1058 0,5 Ind 0,5020 0,2320 0,2320 0,4816 0,0696 0,0720 0,4781 0,0313 0,0381 Pen 0,5014 0,2031 0,2031 0,4843 0,0600 0,0620 0,4811 0,0266 0,0326 Ind 1,1348 0,1616 0,2105 1,1603 0,0516 0,1684 1,1603 0,0230 0,1620 Pen 0,8601 0,1490 0,2044 0,8732 0,0456 0,1347 0,8722 0,0201 0,1294 Pen 0,9729 0,5759 0,5765 0,9346 0,1701 0,1823 0,9280 0,0779 0,1061 Ind 5,0945 0,3623 0,3744 5,1126 0,1148 0,1608 5,1118 0,0488 0,1220 Pen 4,8879 0,3476 0,3652 4,8720 0,1111 0,1695 4,8735 0,0485 0, Ind 0,4939 0,2601 0,2602 0,4697 0,0773 0,0830 0,4690 0,0338 0,0459 Pen 0,4837 0,2174 0,2181 0,4763 0,0612 0,0656 0,4809 0,0278 0,0338 Ind 1,2505 0,1975 0,3192 1,2966 0,0597 0,3025 1,3006 0,0270 0,3018 Pen 0,8398 0,1350 0,2095 0,8515 0,0429 0,1546 0,8503 0,0194 0, Resultados As Tabelas 1 e 2 mostram que, em geral, as estmatvas fornecdas pelo método que supõe ndependênca são maores que as dadas pelo método que trata a dependênca entre os tempos. A maor dferença entre os dos métodos fo observada quanto às estmatvas de. Com o aumento da varânca do efeto aleatóro, as estmatvas obtdas pelo modelo sob ndependênca tendem a crescer, tornando-se mas dstantes do verdadero valor. O contráro acontece com o método que utlza a penalzação da verossmlhança, cujas estmatvas de dmnuem com o aumento de, mas também afastam-se do valor desejado. Essa regulardade fo notada para ambos os percentuas de censura. Quanto ao crescmento dos grupos e, consequentemete, com o aumento da amostra, evdencamos que os valores de crescem e se afastam do valor almejado se gnorarmos a XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2336

7 dependênca entre os tempos (exceto quando temos =0). As estmatvas fornecdas supondo dependênca também crescem com o aumento dos grupos, mas, ao contráro das obtdas sob ndependênca, tornam-se cada vez mas próxmas de 1. Essa tendênca é melhor evdencada na ausênca de censura. Aumentando a proporção de censura, as estmatvas dadas pelos dos métodos tendem a dmnur. Para o modelo com efeto aleatóro elas tornam-se mas dstantes do verdadero valor. O contráro ocorre para o método usual, uma vez que esse método superestma as estmatvas de. De forma que podemos acredtar que, com exceção do caso em que =0, o aumento da censura aperfeçoa a estmava do para tal método. É mportante ressaltar, porém, que embora as estmatvas sob este método estejam se aproxmando dos valores desejados, o método que trata a dependênca anda fornece estmatvas menos vesadas para. Nas Fguras 1, 2 e 3 apresentamos alguns gráfcos para lustrar as nterpretações obtdas. Estmatva Independênca Penalzada Estmatva Independênca Penalzada k=10, sem censura k=10, 30% de censura Fgura 1: Estmatvas de para o método que assume ndependênca e para o método baseado na verossmlhança penalzada para 0% e 30% de censura, com 10 grupos. Estmatva Independênca Penalzada Estmatva Independênca Penalzada k=100, sem censura k=100, 30% de censura Fgura 2: Estmatvas de para o método que assume ndependênca e para o método baseado na verossmlhança penalzada para 0% e 30% de censura, com 100 grupos. XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2337

8 Estmatva Independênca Penalzada Estmatva Independênca Penalzada k=500, sem censura k=500, 30% de censura Fgura 3: Estmatvas de para o método que assume ndependênca e para o método baseado na verossmlhança penalzada para 0% e 30% de censura, com 500 grupos. 5. Aplcação Para lustrar o método, faremos uma aplcação usando o conjunto de dados que menconamos na ntrodução sobre o tempo de funconamento de poços de petróleo. Como vmos, após detectada a falha os equpamentos eram consertados e o tempo até uma nova falha era observado, de modo que dos 616 poços-coluna obtvemos 2374 observações, sendo 563 censuradas (23,7%). O objetvo do estudo era verfcar quas covaráves nfluencam no tempo de funconamento dos poços de petróleo. As covaráves seleconadas foram: 3 Produção base do poço, medda em m /da; Método de elevação: método artfcal utlzado para elevar o fludo, contdo no fundo do poço, até a superfíce. Neste estudo, os dos métodos consderados foram BM - bombeo mecânco e BCP - bombeo por cavdade progressva, (com varável ndcadora BM assumndo o valor 1 se o método é Bombeo Mecânco e 0 caso contráro); Idade do poço medda no momento da falha, em anos; Undade admnstratva: undade que admnstra os poços de acordo com a sua localzação geográfca. São quatro undades: OP-ARG (Undade Operaconal Alto do Rodrgues) OP-CAM (Undade Operaconal Canto do Amaro), OP-ET (Undade Operaconal Campo de Estreto) e OP-RFQ (Undade Operaconal Fazenda Racho da Forqulha). Profunddade da bomba: profunddade onde se encontra nstalada a bomba de produção do poço, em metros. Para explorar um pouco mas os dados, estmamos a função de sobrevvênca usando o estmador não paramétrco de Kaplan-Meer para os tempos de falha dos poços por undade admnstratva e por método de elevação (Fgura 4), observamos que o Bombeo Mecânco (BM) como método de elevação parece proporconar maor tempo de funconamento dos poços do que o Bombeo por Cavdade Progressva (BCP). Quanto às undades admnstratvas, a regão do Canto do Amaro (CAM) apresenta maor sobrevvênca do que as regões Alto do Rodrgues (ARG), Estreto (ET) e Fazenda Racho da Forqulha (RFQ). XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2338

9 Sobrevvênca BCP BM Sobrevvênca OP-ARG OP-CAM OP-ET OP-RFQ Tempo Entre Falhas Tempo Entre falhas Fgura 4: Estmador de Kaplan-Meer para os tempos de falha dos poços por Undade Admnstratva e por Método de Elevação Seja yj o logartmo do tempo decorrdo até o poço parar de funconar ou ser censurado, na j-ésma recorrênca. Consderando que observações de um mesmo poço-coluna podem estar relaconadas, assummos um modelo Webull com efeto aleatóro para os dados. Após uma análse préva optamos pelo segunte modelo: log Tj = U + prod PRODj + BM BM + d IDADEj + camcam + et ET + rfq RFQ + PROFB PROD * CAM + PROD * ET + PROD * RFQ + profb cam* profb + prod*cam j prod*et j prod*rfq j CAM * PROFB + ET * PROFB + RFQ * PROFB + et* profb rfq* profb com U ~ N(, ), representando o efeto aleatóro do poço e com ε j representando o erro aleatóro do modelo, com dstrbução valor extremo padrão. Os resultados para o ajuste sob homogenedade e para os dos ajustes do modelo com efeto aleatóro estão na Tabela 3. ε j XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2339

10 Tabela 3: Estmação de máxma verossmlhança dos parâmetros para dados sobre poços de petróleo utlzando a dstrbução Webull. Sob ndependênca Com efeto aleatóro (SAS) Com efeto aleatóro (R) Parâmetros Estm. EP P-valor Estm. EP P-valor Estm. EP P-valor 7,4688 0,2012 <0,0001 7,4689 0,2588 <0,0001 7,2224 0,2465 <0,0001 prod -0,0502 0,0084 <0,0001-0,0500 0,0091 <0,0001-0,0457 0,0084 <0,0001 BM 0,5197 0,1002 <0,0001 0,5291 0,1291 <0,0001 0,6710 0,1218 <0,0001 0,0587 0,0059 <0,0001 0,0793 0,0078 <0,0001 0,0852 0,0069 <0,0001 d 1,3421 0,2472 <0,0001 1,3430 0,3090 <0,0001 1,4302 0,2954 <0,0001 cam 0,9612 0,1685 <0,0001 0,9575 0,2275 <0,0001 0,8075 0,2189 <0,0001 et 1,8245 0,2572 <0,0001 1,8259 0,3304 <0,0001 1,7816 0,3172 <0,0001 rfq profb 0,0022 0,0003 <0,0001 0,0021 0,0004 <0,0001 0,0021 0,0004 <0,0001 prod*cam 0,0320 0,0143 0,0252 0,0392 0,0157 0,0128 0,0347 0,0145 0,0162 prod*et 0,0186 0,0119 0,1190 0,0176 0,0138 0,2035 0,0158 0,0128 0,2160 prod*rfq -0,0777 0,0160 <0,0001-0,0458 0,0187 0,0144-0,0380 0,0171 0,0263 cam* profb -0,0021 0,0004 <0,0001-0,0020 0,0005 0,0002-0,0021 0,0005 0,0001 et* profb -0,0027 0,0004 <0,0001-0,0028 0,0006 <0,0001-0,0026 0,0005 <0,0001 rfq* profb -0,0027 0,0005 <0,0001-0,0027 0,0006 <0,0001-0,0028 0,0006 <0,0001 1,34 <0,0001 1,1951 0,0243 <0,0001 1, ,4529 0,0597 <0,0001 0,4740?? XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2340

11 A estmatva da varânca do efeto aleatóro é sgnfcatva ( ˆ = 0,4529 para a proposta mplementada no SAS e ˆ = 0,4740 para a proposta va R). Com respeto aos objetvos do estudo, notamos que os poços-coluna nos quas o método de elevação utlzado fo o Bombeo Mecânco apresentaram maor tempo de funconamento do que aqueles cujo método de elevação utlzado fo o Bombeo por Cavdade Progressva ˆ BM = 0,5291 e ˆ BM = 0,6710, proposta SAS e R, respectvamente, ambas com p-valor menor que 0,0001. Também observamos que o tempo de funconamento dos poços-coluna localzados nas undades operatvas ET, CAM e RFQ apresentaram maor tempo de funconamento do que na undade ARG. Verfcamos também que à medda que a produção aumenta, o funconamento do poçocoluna dmnu, pos a estmatva da produção fo negatva e sgnfcatva. De acordo com o aumento da dade o poço-coluna tende a funconar por mas tempo. O mesmo acontece com a profunddade da bomba, ou seja, quanto mas profunda estver nstalada a bomba, maor é o tempo lvre de falha dos poços-coluna. Além dsso, consderamos relevante a nteração entre a produção do poço e a undade que o admnstra. É possível conclur que os poços com produção elevada têm menor tempo de funconamento se estverem localzados nas undades CAM, RFQ e ARG. No entanto, não é possível perceber que a produção afeta sgnfcatvamente o tempo de funconamento dos poços localzados na undade ET. Por fm, observamos a relação entre a profunddade da bomba e a undade admnstratva. Constatamos que poços mas profundos tendem a ter maor tempo de sobrevvênca se estverem nas undades CAM e ARG. Nas undades ET e RFQ o contráro acontece, de modo que o aumento da profunddade da bomba dmnu o tempo de vda dos poços. 6. Conclusões Fnas Neste trabalho estudamos dos procedmentos para ajustar um MTFA com efeto aleatóro a dados de sobrevvênca correlaconados, um mplementado através do procedmento NLMIXED do SAS, e o outro mplementada no R. No prmero caso descrevemos os aspectos teórcos do procedmento, e no segundo caso R realzamos um estudo de smulação para nvestgar a performance do método. Aplcamos ambos os métodos a um conjunto de dados relatvos a tempos entre falhas de equpamento de sub-superfce de poços de petróleo e observamos que apesar de não haver descrção detalhada na lteratura a mplementação usada no software lvre R apresenta resultados próxmos daqueles obtdos pelo SAS. Notamos também que embora nessa aplcação as estmatvas dos parâmetros sejam próxmas tanto para o modelo que assume ndependênca quanto para os modelos com efeto aleatóro, lembramos que através da smulação fo observado que o modelo usual pode trazer grandes dstorções prncpalmente na estmatva de e, consequentemente, prejuízo na nterpretação. Agradecmentos As autoras agradecem à PETROBRAS por ter fnancado parcalmente este trabalho através do projeto SAFES Sstema de Análses de Falha de Equpamentos de sub-superfíces. Referêncas Clayton, D. e J. Cuzck, (1985), Multvarate generalzatons of the proportonal hazards model. Journal of the Royal Statstcal Socety, Seres A 148, Cox, D. R. (1972). Regresson models and lfe tables (wth dscusson). Journal of the Royal Statstcal Socety, Seres B, 34, XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2341

12 Dantas, M. A. (2008), Modelos de Dados de Falhas de Equpamentos de Sub-superfíce em Poços de Petróleo da Baca Potguar, Dssertação de mestrado, PEP UFRN. Kedng, N., Andersen, P. K. e Klen, J. P. (1997). The role of fralty models and accelerated falure tme models n descrbng heterogenety due to omtted covarates. Statstcs n Medcne, 16, Klen, J. (1992), Semparametrc estmaton of random effects usng the Cox model based on the EM algorthm. Bometrcs, Klen, J. P., Pelz, C. e Zhang, M. (1999). Modellng random effects for censored data by a multvarate normal regresson model. Bometrcs, 55, Lambert, P., D. Collett, A. Kmber, e R. Johnson (2004), Parametrc accelerated falure tme models wth random effects and an applcaton to kdney transplant survval. Statstcs n Medcne. 23 (20). Lu, Q. e Perce, D.A. (1994), A note on Gauss-Hermte quadrature. Bometrka, volume 81, número 3, Morrs, C. e Chrstansen, C. (1995). FttngWebull duraton models wth random effects. Lfetme Data Analyss, 1, Therneau, T., P. Grambsch, Modelng survval data: extendng the Cox model. Sprnger, New York, Therneau, T. M. e Grambsch, P. M., Pankratz, V. S., (2003), Penalzed survval models and fralty. J. Comput. Graph. Statst. 12 (1), Valença, D. M. (2003), Teste de Homogenedade e Estmação para Dados de Sobrevvênca Agrupados e com Erros de Medda, Tese de doutorado, IME USP. Zhang, J. e Peng, Y. (2007), An alternatve estmaton method for the accelerated falure tme fralty model. Computatonal Statstcs and Data Analyss, Elsever, vol. 51, nº 9, XLI SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2342