Anna Carolina Lustosa Lima

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1 Anna Carolna Lustosa Lma Modelagem Conjunta de Dados Longtudnas e de Sobrevvênca Belo Horzonte MG Outubro, 7

2 Anna Carolna Lustosa Lma Modelagem Conjunta de Dados Longtudnas e de Sobrevvênca Dssertação apresentada ao Departamento de Estatístca do Insttuto de Cêncas Exatas da Unversdade Federal de Mnas Geras como requsto parcal à obtenção do título de Mestre em Estatístca. Orentador: Prof. Enrco Antôno Colosmo MESTRADO EM ESTATÍSTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Belo Horzonte MG Outubro, 7.

3 Sumáro 1. Introdução Análse de Dados Longtudnas Modelo Margnal Modelo de Efetos Aleatóros Inferênca para os Modelos Margnal e de Efetos Aleatóros Modelo Lnear Generalzado com Efetos Aleatóros Inferênca para o Modelo Generalzado Análse de Sobrevvênca Modelo de Rscos Proporconas de Cox Modelo de Cox com Covaráves Dependentes do Tempo Modelagem Conjunta O Modelo Conjunto por Wulfsohn e Tsats (1997) O Modelo Conjunto por Henderson, Dggle e Dobson () O Modelo Conjunto por Dggle, Souza e Chetwynd (7) O Modelo em dos estágos Aplcação Descrção do expermento Análse de dados Análse de Dados Longtudnas Análse de Sobrevvênca Modelo de Cox com covarável dependente do tempo Modelo em dos estágos Conclusões Referêncas Bblográfcas ANEXOS Anexo A Anexo B... 3

4 Papa do Céu, Obrgada! Por tantas e tão rcas bênçãos! Pa Generoso que junto a cada desafo me ofereceu a força, a luz e a coragem para a conqusta. Por cada uma das pessoas maravlhosas que encontre em meu camnho e fazem parte de quem sou e de mas esta conqusta. Muto sou grata pelo aperfeçoamento de mnha mente e de mnha alma dos quas elas foram veículo e peças fundamentas. Peço, Meu Pa, que derrame suas bênçãos e espalhe sorrsos e sorte pela vda de cada uma delas: Enrco, querdo mestre e amgo, tantos ensnamentos, tantas parceras, tantas conversas... antes eu não pensava que chegara tão longe, hoje quero saber qual o próxmo passo. Seu exemplo, sua conduta, sua ntelgênca e capacdade mutas vezes foram meus combustíves para essa camnhada. Meu sncero e eterno agradecmento! Maríla Sá (FIOCRUZ) e Marcel (UFJF) que acetaram o convte de partcpar da banca de qualfcação e demonstrando um enorme nteresse pelo assunto planejaram e organzaram, juntamente com o Enrco, o WorkShop em Análse de dados Longtudnas realzado na UFJF. Uma oportundade únca que possbltou o aprmoramento deste trabalho e meu crescmento pessoal e profssonal! Rosemere (UFBA) que colaborou tão fortemente com este trabalho, debatendo-o no WorkShop de Juz de Fora, sugerndo novas propostas e formas de modelagem e generosamente ntermedou o meu contato com Inês Souza, uma das autoras das prncpas referêncas ctadas. Valeska (FIOCRUZ) que acetou o convte de debater este trabalho no WorkShop e fez sugestões relevantes que contrbuíram mutíssmo para a modelagem dos dados. Dr. Roberto que enquanto dretor do Centro de Pesqusas René Rachou (CPqRR) possbltou a conclação deste mestrado com as atvdades profssonas tão essencas para a formação da profssonal que sou hoje. Dr. Álvaro Romanha, atual dretor do CPqRR que manteve as condções ceddas pela dreção anteror, ncentvando o meu crescmento e possbltando a conclusão deste trabalho.

5 Amgos do CPqRR, conqustas precosas de quatro anos de trabalho e dedcação. Em especal, meus colegas de sala: Andréa, Beth Fleury e Aílson. Obrgada, meus querdos, pelo agradável, dvertdo e harmonoso convívo dáro! Martn, Ana Karne, Ana Carolna, Céla, Anne, Cínta, Paula, Fernando, Crstano, Vrgína, Ivanete, Solange, obrgada pela amzade, fruto de tantas horas em comum de parcera no trabalho da pesqusa e aprendzagem da estatístca! Segemar, sempre solícto, conseguu os artgos mas mpossíves sempre que precse, muto obrgada! Bráulo, Pedro, Felpe, Renato, Henrque, Gustavo, João, Rodrgo, Amgos do ICEx que foram a dose dára de refresco para a mente. Um pouco de amendade no meo da correra... Jora, uma jóa rara, amga envada de São Luz para colorr o da e me fazer companha neste mundo da estatístca. Lucano, Renata, Mchele, Paula colegas de mestrado que fzeram muta dferença. Elas que tanto me ajudou na programação de dversos dos modelos apresentados neste trabalho com sua ncrível habldade com o R. Qualquer amor já é um pouqunho de saúde, um descanso na loucura. Mamãe, presente todo o tempo em mnha alma, você que me deu coragem a me canddatar para o mestrado, você que acredtou em mm o tempo todo e desembaraçou cada nó que eu não consegu. Você, mnha mãe, é meu exemplo maor de vda, tanto a admro... Eternos são mnha gratdão, amzade, respeto e Amor por você! To Vrglo e Vovó Manha, pessoas de ouro colocadas em mnha vda para ensnar e lumnar! Suas preces acalmaram meu coração e me devolveram a razão nas horas de dfculdade. Sou grata por exstrem. Amo vocês! N, lnda ermã, seus olhos lêem mnha alma e me alcalmam... Um da dsseram que nosso amor era grande demas, dferente de tudo, ndescrtível. Eles têm razão! Impossível colocar em palavras... A sntona, o carnho, a confança, o respeto... é Amor demas!!!

6 V, meu rmão. Sempre fo para mm como um pa, nas palavras, nos gestos, nos cudados... Referênca de proteção e conforto! Obrgada por esse cantnho seguro que me reservaste em seu coração! Te amo! Lucas, mnha Luz! Meu amor transborda ao escrever essas lnhas...! Você que acompanhou cada passo tão de perto, que escutou cada novo parágrafo escrto, que me trou de tantas baxas ao longo do camnho e que sorru comgo a cada nova conqusta! A você, Mnha Vda, dedco mnha gratdão, meu carnho, mnha admração, meu respeto, meu eterno e verdadero Amor!!! Lu, chegou de mansnho, conqustou um lugar todo dela! Obrgada pelo doce Pequena, pelo carnho, pela preocupação, pela amzade e pelos Êhhhh!!! Você é muto especal!!! Ale, essa pupu é pau pra toda obra! Obrgada por abraçar essa famíla dessa forma!!! Thays, amga de verdade, pra vda toda! Obrgada pela lealdade que sempre pude contar, por me escutar e por me dexar te escutar! Te amo! Hetor, pa zeloso, que tantas notes estudou comgo e me orentou quando meus passos anda eram pequenos no mundo da matemátca. Obrgada! Lléa, mãe que adote em meu coração, é um amar que não se explca! Obrgada pelo ncentvo, pelas portas abertas, pela confança e carnho. Mnha Estrela da Sorte, sou mensamente grata por tantos presentes... por colorr mnha vda deste verde dourado... e por estar Sempre presente!!!! Mãe Pomba, mãe maor, gua e conselhera, obrgada por me fazer a cada da uma pessoa melhor! Aos sete amgos, do grupo dos 7, da Tenda da Mãe Pomba, agradeço a proteção, o carnho, os conselhos, a força! Salve! Salve a força da Cabocla Jurema! Salve a força que dá Vda! Salve, salve mnha mãe! Pelas belezas encontradas em cada sol, em cada flor, em cada sorrso... Obrgada, Meu Pa, por tornar tão suave e prazerosa a camnhada. Amém.

7 Modelagem Conjunta de Dados Longtudnas e de Sobrevvênca 1. Introdução Em estudos envolvendo análse de dados longtudnas a varável resposta é medda repetdamente, ao longo de um ntervalo de tempo, para cada ndvíduo. Nos estudos de análse de sobrevvênca a varável resposta é o tempo até a ocorrênca de um evento. Mutos estudos clíncos geram conjuntamente dados longtudnas e de sobrevvênca. Por exemplo, nos estudos prospectvos de análse de sobrevvênca em que, grupos de pacentes são acompanhados ao longo do tempo até a ocorrênca de óbto, é comum haver vstas de acompanhamento quando são meddas varáves relaconadas à progressão da doença. Entretanto, tratar estas meddas como covaráves dependentes do tempo no processo de sobrevvênca nem sempre é satsfatóro uma vez que há ocasões cujo nteresse do pesqusador é avalar o efeto de tratamentos tanto sobre os tempos de sobrevvênca quanto sobre o marcador longtudnal. Este estudo mostra também que a nclusão do marcador longtudnal como covarável no processo de sobrevvênca pode ocasonar a perda de mportânca de covaráves meddas na baselne e possvelmente assocadas ao tratamento. Exstem modelos bem estabelecdos na lteratura para analsar estes dados separadamente, mas esta forma de abordagem pode ser nadequada se a varável longtudnal for correlaconada com o tempo de sobrevvênca. Por exemplo, Henderson, Dggle e Dobson () mostraram que, em detrmento do modelo conjunto, utlzar os modelos separados para o processo longtudnal e de sobrevvênca acarreta um víco severo na estmação de alguns componentes de varânca e no coefcente de têndenca temporal. Guo e Carln (4) desenvolveram uma aproxmação Bayesana para o modelo conjunto e mostraram haver sgnfcatva melhora nas estmatvas dos tempos de sobrevvênca e de outros parâmetros. O presente estudo pretende comparar as abordagens, separada e conjunta, aplcada ao banco de dados de um expermento bológco envolvendo camundongos, realzado com o objetvo de avalar o efeto da co-nfecção de malára e esqustossomose e da munzação nduzda para malára, sobre os tempos de sobrevvênca e nível de parastema (malára) dos camundongos. Neste expermento, 64 camundongos foram dstrbuídos aleatoramente em quatro grupos expermentas. Os camundongos alocados no prmero e segundo grupos foram ambos prevamente nduzdos à munzação para malára e nfectados com malára e malára assocada à esqustossomose, respectvamente. Os camundongos alocados nos grupos 3 e 4 não foram munzados e foram nfectados por malára e malára assocada à esqustossomose, respectvamente. O pesqusador vstou os camundongos daramente e regstrou o percentual médo de parastema no sangue e a ocorrênca ou não de morte. Esta avalação fo realzada num período de 25 das (do 5º ao 3º da após a nfecção). Observou-se que os camundongos dos 1

8 grupos 1 e 2 (ambos munzados) tveram melhor prognóstco e níves de parastema baxos, enquanto que nos grupos 3 e 4 foram observados menores tempos de sobrevvênca e níves de parastema crescentes. Em específco pretende-se comparar em termos metodológcos e de nterpretação os seguntes modelos: M1: Modelos para dados longtudnas; M2: Modelo de Cox para a resposta de sobrevvênca; M3: Modelo de Cox com covarável dependente do tempo (varável longtudnal); M4: Modelo Conjunto para dados longtudnas e de sobrevvênca. A análse conjunta de dados longtudnas de sobrevvênca tem sdo explorada recentemente por alguns autores. Wulfshon e Tsats (1997) desenvolveram uma aproxmação para o modelo conjunto que utlza o modelo de Cox para o processo de sobrevvênca e a resposta longtudnal é tratada como covarável contínua cujo valor real é dado por um modelo lnear de efetos aleatóros. A estmação dos parâmetros do modelo proposto é realzada por um algortmo EM que também fo utlzado por Henderson, Dggle e Dobson (). Estes autores formularam um modelo generalzado para a análse conjunta em que um sub-modelo lnear de efetos aleatóros é assumdo para os dados longtudnas, um sub-modelo sem-paramétrco de rscos proporconas para os dados de sobrevvênca, e assume que estes dos sub-modelos podem ser lgados por um processo latente normal bvarado. Uma característca nteressante do modelo proposto por estes autores é que na ausênca de assocação entre o marcador longtudnal e os tempos de sobrevvênca, os resultados da análse conjunta deverão ser os mesmos que obteríamos a partr da análse separada de cada um dos componentes através de métodos tradconas. Outros autores também utlzaram esta forma generalzada para o modelo conjunto. Por exemplo, Wang e Taylor (1) desenvolveram uma aproxmação que consdera o processo latente de lgação como um processo estocástco ntegrado Orsnten-Uhlenbeck. Esta escolha fo motvada pela necessdade de obter um modelo mas flexível para o processo longtudnal. Brown, Ibrahm e DeGrutolla (5) também sugerram uma alteração no modelo para a resposta longtudnal, eles sugerem o uso do modelo B-Splnes Cúbco em lugar de um modelo lnear de efetos aleatóros. Song, Davdan e Tsats (2) avalaram o modelo conjunto assumndo apenas que os coefcentes aleatóros pertencem a uma famíla de densdades suavzadas e não estrtamente a dstrbução normal. Guo e Carln (4) desenvolveram uma aproxmação Bayesana para o modelo conjunto proposto por Henderson, Dggle e Dobson (). Tseng, Hseh e Wang (5) abordaram o caso em que a suposção de rscos proporconas no modelo de Cox não é verfcada e consdera o modelo de tempo de tempos de falha acelerado como alternatva para a modelagem dos dados de eventos. 2

9 Dggle, Souza e Chetwynd (7) desenvolveram uma aproxmação completamente paramétrca que consdera uma transformação logarítmca para o tempo de sobrevvênca, e que a dstrbução conjunta destes tempos de sobrevvênca transformados e as meddas longtudnas é normal multvarada. Ratclffe et. al. (4) propuseram um modelo conjunto para dados em conglomerados em que os dos sub-modelos são lgados através das fragldades no nível do grupo. Zheng e Heagerty (5) e Xu e Zeger (1) desenvolveram aproxmações de modelagem conjunta mas, com o foco na estmação dos parâmetros do processo de sobrevvênca. Este trabalho fo estruturado da segunte forma. A Seção 2 aborda a metodologa de análse de dados longtudnas e apresenta os modelos margnal, de efetos aleatóros e o modelo lnear generalzado com efetos aleatóros. A Seção 3 apresenta de forma resumda os concetos de análse de sobrevvênca e o modelo de Cox (1972) com e sem covaráves dependentes do tempo. Alguns modelos conjuntos e algumas das suas possíves formas de estmação são apresentados na Seção 4. A descrção detalhada do expermento, a modelagem dos dados utlzando os métodos tradconas de análse separada, e a análse através do modelo em dos estágos estão apresentadas na Seção 5. A Seção 6 dscorre sobre as prncpas conclusões deste trabalho. 3

10 2. Análse de Dados Longtudnas Esta seção ntroduz os concetos assocados à análse de dados longtudnas, a notação utlzada na lteratura e apresenta os modelos margnal, de efetos aleatóros e o modelo lnear generalzado com efetos aleatóros. Também conhecdo como meddas repetdas, este tpo de estudo envolve bancos de dados em que a varável resposta, Y, é medda repetdamente em cada ndvíduo da amostra, ao longo do tempo. Suponha um conjunto de m ndvíduos avalados n vezes ao longo do tempo, por smplcdade de notação assumremos que o número de observações da medda longtudnal é constante para todos os ndvíduos, embora os métodos sejam gualmente aplcáves a dados desbalanceados que ocorrem com freqüênca na prátca. Y T = ( Y 1, K, Y n ) é o vetor de respostas do -ésmo ndvíduo, então Yj representa a resposta do -ésmo ndvíduo no j-ésmo tempo. Em análse de dados longtudnas assummos que, entre ndvíduos, as respostas são ndependentes, mas para o mesmo ndvíduo elas são correlaconadas. Dggle, Lang e Zeger (1996) mostraram que, ao modelar dados longtudnas pelo modelo lnear normal as estmatvas dos coefcentes de regressão, ˆβ ' s, permanecem consstentes porém, estas são nefcentes uma vez que a varânca dos coefcentes de regressão estmados, ˆ) Var(β, fca vcada. Uma forma de corrgr este problema é através da estmação dos componentes de varânca ou seja, modelar a estrutura de covarânca dos dados. O modelo margnal e o modelo de efetos aleatóros apresentam duas formas de estmação destes componentes e serão apresentados a segur. 2.1 Modelo Margnal No modelo margnal a méda e a varânca de Y são modeladas separadamente. Assummos que X são as covaráves ncluídas na análse e β s seus respectvos coefcentes de regressão, a resposta, Y, é resultado de um processo Gaussano n-varado com méda ( X T β ) e matrz de covarânca V. A varânca de V ncorpora a estrutura de correlação das meddas do mesmo ndvíduo. Portanto, é necessáro atrbur forma específca à V. As formas mas comuns de V são: Correlação Unforme neste caso, assummos que a correlação entre as meddas do mesmo ndvíduo é constante; Correlação Seral, esta forma assume que a correlação dmnu quando as meddas se afastam no tempo; e, Não-estruturada neste caso, é especfcada uma covarânca dferente para cada par de observações do ndvíduo. A matrz de correlação dos resíduos padronzados, obtdos pelo ajuste do modelo lnear normal para a resposta 4

11 longtudnal versus o tempo, desconsderando as demas varáves, é útl para determnar a estrutura de correlação das meddas do mesmo ndvíduo (Dggle, Lang e Zeger, 1996). O modelo margnal pode ser escrto como: Y = β + ε, = 1,2, K, m T X em que, T Y N ( X β, V ), e ε N(, V ). ~ n ~ 2.2 Modelo de Efetos Aleatóros Neste modelo a resposta é assumda ser uma função lnear das varáves explcatvas com coefcentes de regressão que varam entre ndvíduos, sto é, este modelo permte que os coefcentes sejam fxos ou aleatóros. Os coefcentes aleatóros explcam a dependênca entre as respostas do mesmo ndvíduo, esta varabldade reflete a heterogenedade devdo a fatores não mensurados ou não mensuráves. A premssa básca do modelo de efetos aleatóros é que a heterogenedade natural entre ndvíduos é modelada em um subconjunto de coefcentes de regressão. O modelo de efetos aleatóros assume a segunte forma: Y = X β + Z b + ε, = 1,2, K, m (1) T em que, T X β : representa o componente fxo; X são as covaráves ncluídas na análse e β s seus respectvos coefcentes de regressão, Z b : representa o componente aleatóro; b s são os coefcentes aleatóros que varam para cada ndvíduo; e, Z é, em geral, um subconjunto de X de 2 covaráves dependentes do tempo. ε ~ N(, σ ). I n No modelo de efetos aleatóros assummos que as respostas do -ésmo ndvíduo têm T dstrbução Normal n-varada com méda ( X β ) e matrz de covarânca Σ = ( Z V Z + σ 2 I) em T que V é a matrz de covarâncas das meddas do mesmo ndvíduo. Os coefcentes aleatóros, b, são ndependentes e têm dstrbução Normal com méda zero e matrz de covarânca V. 2.3 Inferênca para os Modelos Margnal e de Efetos Aleatóros Os coefcentes de regressão do modelo margnal e do modelo de efetos aleatóros podem ser estmados através do método da máxma verossmlhança. Entretanto, este método produz um estmador vcado para os componentes de varânca (Dggle, Lang e Zeger, 1996). 5

12 O método da máxma verossmlhança restrta corrge este problema e é dada por: L R ( θ ) = X T H 1 X 1 2 L ( θ ) v em que, θ representa o conjunto de todos os parâmetros a serem estmados no modelo, X é a matrz das covaráves ncluídas na análse, H = σ 2 I e L v (θ) é a função de verossmlhança usual: L V m n 1 n T 1 ( θ ) = (2π ) V ( σ ).exp ( Y X β ) V ( Y X β ) 2 = 1 2σ O estmador de máxma verossmlhança restrta possu as mesmas propredades que o estmador de máxma verossmlhança. Maores detalhes sobre a este método podem ser encontrados em Dggle, Lang e Zeger, Modelo Lnear Generalzado com Efetos Aleatóros Um modelo lnear generalzado com efetos aleatóros é defndo a segur. Seja o vetor de n observações da varável resposta que pode ser escrto como: Y T [ Y, Y ] Y =, 1 K = μ + ε, = 1,2, K, m (2) Seja g(.) uma função monótona, um lnk, tal que g(μ) possa ser escrta como um modelo lnear: ( ) = η = X β Zb g μ + (3) Se, condconal a μ, os componentes de Y são ndependentemente dstrbuídos, e se sua dstrbução pertence à famíla exponencal, então (2) e (3) defnem um modelo lnear generalzado com efetos aleatóros. Assummos que os coefcentes aleatóros b são não correlaconados, com esperança zero ( ) q 2 e cov b = σ I, em que q é o número de coefcentes aleatóros do -ésmo ndvíduo. Estes coefcentes são ndependentes do vetor de erros, ε. No caso partcular quando Y segue uma dstrbução normal e g(.) é uma função lnk dentdade, o modelo lnear generalzado se reduz ao modelo lnear de efetos aleatóros (1) apresentado na Seção 2.2. A análse de um modelo lnear generalzado com efetos aleatóros pode ser aplcada em modelos logístcos para respostas longtudnas dcotômcas. Neste caso, assummos que os efetos aleatóros seguem uma dstrbução normal com méda zero e a dstrbução condconal de Y é bnomal. Schall (1991) apresenta este modelo aplcado a um banco de dados com resposta bnára e apresenta detalhadamente o algortmo de estmação. n 6

13 2.5 Inferênca para o Modelo Generalzado A estmação dos parâmetros, β, e dos parâmetros especfcando a dstrbução dos efetos aleatóros, b, podem ser realzadas através do método da máxma verossmlhança restrta (Schall, 1991) baseada na dstrbução margnal das observações, Y. Schall (1991), descreve dos algortmos para a estmação destes modelos. O prmero é aplcado ao caso partcular em que a resposta Y tem dstrbução Normal e o segundo para o caso generalzado. 7

14 3. Análse de Sobrevvênca Nesta seção ntroduzremos os concetos báscos de análse de sobrevvênca e a notação utlzada na lteratura. Os modelos de Cox, com e sem covarável dependente do tempo, e suas formas de estmação são também apresentados nesta seção. Suponha um conjunto de m ndvíduos dstrbuídos aleatoramente em grupos de tratamento, X é a varável ndcadora de grupo. Seja T o tempo máxmo de acompanhamento do -ésmo ndvíduo. Este tempo pode ser classfcado de duas formas: T é um tempo de falha se ndca o tempo em que o evento de nteresse fo observado; ou, T é um tempo de censura se ao fnal do acompanhamento o evento não ocorreu. De forma geral, o vetor (T, δ, X ) representa os dados de sobrevvênca do -ésmo ndvíduo em que T é o tempo máxmo de acompanhamento, δ uma função ndcadora de falha e X representa as covaráves assocadas a este ndvíduo. A taxa de falha no ntervalo [t, t+δt) é defnda como a probabldade de que a falha ocorra neste ntervalo, dado que não ocorreu antes de t, dvdda pelo comprmento do ntervalo. Desta forma, se Δt, λ(t) representa a taxa de falha nstantânea no tempo t, condconal à sobrevvênca até o tempo t, e é expressa por: P( t T < t + Δt T t) λ( t) = lm Δt Δt. Modelos tanto paramétrcos quanto sem-paramétrcos estão dsponíves para modelar dados de sobrevvênca (Colosmo e Golo, 6). Os modelos paramétrcos Exponencal e Webull são comumente usados por sua smplcdade e pela fácl nterpretação de seus parâmetros. Na prátca, entretanto, os modelos sem-paramétrcos de rscos proporconas (Cox, 1972) são amplamente usados pos, eles não mpõe uma forma partcular para a curva de sobrevvênca. 3.1 Modelo de Rscos Proporconas de Cox No modelo sem-paramétrco de rscos proporconas de Cox a função de rsco assume a forma: T λ ( t) = λ ( t) exp{ β} (4) X em que, λ (t), a função de taxa de falha básca e o vetor X =(X 1, X 2,..., X p ) T e β representam as p covaráves meddas no -ésmo ndvíduo e seus correspondentes coefcentes de regressão. O modelo de Cox, sem covarável dependente do tempo (4), assume que a razão das taxas de falha de dos ndvíduos dstntos na amostra é constante para todo o tempo de acompanhamento. 8

15 A estmação dos parâmetros deste modelo é baseada no método da máxma verossmlhança parcal (Collet, 3; Cox, 1975): δ m T exp{ X β} L( β ) =, (5) = T 1 exp{ X j R ( t j β} ) em que, R(t ) é o conjunto dos índces das observações sob rsco no tempo t. A função de verossmlhança parcal (5) assume que os tempos de sobrevvênca são contínuos e, conseqüentemente, não pressupõe a possbldade de empates nos tempos observados. Na prátca, empates podem ocorrer nos tempos de falha ou de censura devdo à escala de medda. Breslow (1972) e Peto (1972) propuseram uma modfcação na função de verossmlhança parcal para acomodar as observações empatadas quando estas ocorrem. Consdere s o vetor formado pela soma das covaráves para os ndvíduos que falharam no mesmo tempo t ( = 1,..., k) e d o número de falhas neste tempo. A função de verossmlhança parcal proposta por estes autores tem a segunte forma: k T exp{ s β} L( β ) =. (6) = 1 T ( exp{ X j β} ) j R ( t ) Esta aproxmação é adequada quando o número de empates em qualquer tempo não é grande. Quando não há empates a expressão (6) se reduz à (5). d 3.2 Modelo de Cox com Covaráves Dependentes do Tempo Consdere a possbldade que entre as p covaráves meddas em cada ndvíduo, X 1,..., X p exstam algumas que foram meddas n vezes, ao longo do tempo. Assm temos ( T, δ, X (t j )) o vetor que representa os dados de sobrevvênca do -ésmo ndvíduo no j-ésmo tempo; X (t j ) o vetor de covaráves do -ésmo ndvíduo avalado no tempo j (j = 1,..., n ). Neste modelo a função de rsco assume a forma: T λ ( t ) λ( t ) exp{ X ( t ) β}. (7) = Então, o modelo de Cox com varável dependente do tempo não supõe rscos proporconas pos a razão das funções de rsco de dos ndvíduos passa a depender do tempo. Assm, a função de verosmlhança parcal para o modelo de Cox com covarável dependente do tempo pode ser escrta como: m T exp{ X ( t ) β} L( β ) =. (8) = T 1 exp{ X j R t j ( t ( ) β} ) Andersen e Gll (1982) mostraram que, sob certas condções de regulardade, os estmadores produzdos pela função de verossmlhança parcal (6 e 8) são consstentes e assntotcamente normas. δ 9

16 4. Modelagem Conjunta Nas Seções 2 e 3 apresentamos formas de modelagem separada de dados longtudnas e de sobrevvênca, respectvamente. Nesta seção remos apresentar, de forma sucnta, algumas das propostas de modelagem conjunta encontradas na lteratura. 4.1 O Modelo Conjunto por Wulfsohn e Tsats (1997) A modelagem conjunta de dados longtudnas e de sobrevvênca tem sdo explorada recentemente por mutos autores. O modelo conjunto proposto por Wulfsohn e Tsats (1997) tem sdo referênca para mutos deles. Estes autores utlzaram um modelo de Cox para o processo de sobrevvênca e a resposta longtudnal é tratada como covarável contínua cujo valor real é dado por um modelo lnear de efetos aleatóros. Consdere m ndvíduos, seja Y uma varável dependente do tempo, e cada ndvíduo tem n meddas da covarável longtudnal nos tempos ( t : t T ; = 1, K, m; j = 1, K n) j j,. T é o tempo máxmo de acompanhamento do pacente e δ uma função ndcadora de falha. Assummos que Y pode ser ajustada por um modelo lnear de efetos aleatóros, dado pela equação (1): Y = X β + Z b + ε, = 1,2, K, m T T T em que, Y ~ ( β ; ), = ( Z V Z + σ 2 I), V é a matrz de covarâncas das meddas do X 2 mesmo ndvíduo. ε ~ N(, σ I n ), o vetor de erros ndependentes. Os coefcentes aleatóros, b, são ndependentes e têm dstrbução Normal com méda zero e matrz de covarânca V. ε b. O rsco de falha é então ajustado pelo modelo sem-paramétrco de Cox e o valor ajustado pelo modelo lnear de efetos aleatóros utlzado como valor real do marcador longtudnal, em lugar da medda observada Y j. λ ( t β, b, Y, X, Z ) = T = λ ( t ) exp{ γ ( X β + Z b )} em que, λ (t) é a função de rsco baselne (não-paramétrca) que é avalada a cada tempo de falha, γ é o parâmetro que mede a assocação entre o tempo de sobrevvênca e a varável longtudnal. Neste modelo, assummos que o tempo de censura é não nformatvo, sendo realzado ndependentemente do tempo de sobrevvênca e da medda do marcador longtudnal. 1

17 Estes autores propuseram um algortmo EM para estmar os parâmetros de nteresse maxmzando a função de verossmlhança dos dados observados. Isto é feto através da teração entre o passo E, em que se calcula a esperança da log-verossmlhança dos dados completos, condconal aos dados observados e as estmatvas atuas dos parâmetros; e o passo M, em que novas estmatvas para os parâmetros são calculadas maxmzando sua log-verossmlhança esperada. 4.2 O Modelo Conjunto por Henderson, Dggle e Dobson () Henderson, Dggle e Dobson () propuseram um modelo generalzado para a análse conjunta que pode ser dvddo em dos sub-modelos e um processo de lgação latente. Para as meddas longtudnas é assumdo um sub-modelo lnear com efetos aleatóros, e para o processo de sobrevvênca um sub-modelo sem-paramétrco de rscos proporconas. O modelo conjunto assume que dado o processo latente normal bvarado, W(t)= {W 1 (t), W 2 (t)}, e as covaráves avaladas, os processos longtudnal e de sobrevvênca são condconalmente ndependentes. Os sub-modelos podem ser escrtos na segunte forma: (1) Sub-modelo para as meddas longtudnas: Y j = μ (t j ) + W 1 (t j ) + ε j em que, μ (t j ) é a resposta méda e, ε j ~N(,σ 2 ε) é uma seqüênca de erros mutuamente ndependentes. Assummos que a resposta méda pode ser descrta por um modelo lnear: μ (t) = X 1 (t) β 1 em que, os vetores X 1 (t) e β 1 representam varáves explcatvas, que podem ser dependentes do tempo, e seus correspondentes coefcentes de regressão. (2) Sub-modelo para o processo de sobrevvênca no tempo t é dado pelo modelo semparamétrco multplcatvo: λ (t) = λ (t) exp{x 2 (t) T β 2 + W 2 (t) em que, o componente não-paramétrco λ (t) têm forma não especfcada. Os vetores X 2 (t) e β 2 podem, ou não, ter elementos em comum com X 1 (t) e β 1. 11

18 Para o processo de lgação latente assummos que, W 1 (t) = U 1 + U 2 t em que, (U 1, U 2 ) têm dstrbução normal bvarada com médas zero, com respectvas varâncas σ 2 1 e σ 2 2 e coefcente de correlação ρ. E, W 2 (t) tem a forma: W 2 (t) = γ 1 U 1 + γ 2 U 2 + γ 3 (U 1 + U 2 t) + U 3 em que, U3~N(, σ 2 3) é ndependente de (U 1, U 2 ). Neste modelo, os parâmetros γ 1, γ 2 e γ 3 medem a assocação nduzda pelo ntercepto, nclnação e valor de W 1 (t), respectvamente. U3 modela a fragldade ortogonal do processo de meddas. Estes autores descrevem uma extensão do algortmo EM proposto por Wulfsohn e Tsats (1997) para a estmação dos parâmetros do modelo através do método da máxma verossmlhança. 4.3 O Modelo Conjunto por Dggle, Souza e Chetwynd (7) Assm como nos modelos descrtos acma, consdere m ndvíduos ndependentes, seja Y uma covarável dependente do tempo, e cada ndvíduo tem n meddas da covarável longtudnal nos tempos (t j : t j T ). T é o tempo máxmo de acompanhamento do pacente e δ uma função ndcadora de falha. Estes autores desenvolveram uma versão completamente paramétrca para o modelo conjunto. O modelo proposto consdera uma transformação logarítmca para o tempo de sobrevvênca, T, e então consdera a dstrbução conjunta de S log( T ) como: em que, μ (, ) = μ y μ s, e V = g [, S] ~ NMV ( μ, ) Y, ( θ ) g( φ) '( φ) η 2. = e as meddas longtudnas, Y, Este modelo consdera que os dados de ndvíduos dferentes são ndependentes. O tempo de evento, T, pode ser observado de forma exata, censurado à drecta, ou com censura ntervalar. Além dsso, T pode, ou não, determnar o fm da sequenca de meddas longtudnas. A nferênca neste modelo é baseada no método da máxma verossmlhança, calculando a contrbução de cada ndvíduo para a verossmlhança através da fatoração da dstrbução conjunta em [Y,S] = [Y]*[S Y]. 12

19 4.4 O modelo em dos estágos As aproxmações apresentadas acma são bastante nteressantes em dversos aspectos, no entanto, a estmação dos parâmetros destes modelos é computaconalmente complexa e envolve estmação a partr de algortmos EM. Infelzmente, anda não há programas dsponíves para o ajuste destes modelos. Consderamos o modelo em dos estágos como uma aproxmação para o modelo conjunto. O prmero estágo deste modelo consste no ajuste do modelo de efetos aleatóros (1) apresentado na Seção 2.2 para os dados longtudnas e, no segundo estágo utlzamos os valores ajustados por este modelo como covarável dependente do tempo no modelo de Cox (7). A déa se assemelha àquela proposta por Wulfsohn e Tsats (1997), no entanto a stmação proposta por estes autores basea-se na função de verossmlhança da dstrbução conjunta de Y e T através da fatoração L ( Y, T ) = L ( Y ) L ( T Y ). θ θ θ 13

20 5. Aplcação 5.1 Descrção do expermento Modelos expermentas, utlzando o S. manson (esqustossomose) em assocação com espéces de Plasmodum (malára) de roedores, Lewn et. al. (1981) mostraram que as parastoses mstas levaram a um aumento de parastema devda ao protozoáro. Com o objetvo de aprofundar os conhecmentos sobre o efeto da assocação da nfecção do protozoáro da malára P.bergue com o helmnto causador da esqustossomose S.manson, sobre a parastema por P.bergue e sobre a sobrevvênca dos camundongos, fo conduzdo, no Insttuto de Cêncas Bológcas (ICB-UFMG) em parcera com o Centro de Pesqusas René Rachou (CPqRR- FIOCRUZ), um expermento em que 8 camundongos foram alocados aleatoramente em 4 grupos de tratamentos. Estes camundongos foram acompanhados durante 25 das. O tempo zero ndca o tempo em que os camundongos foram nfectados com P. bergue. A partr do 5º da após a nfecção o percentual de parastas no sangue do camundongo torna-se grande o sufcente para ser detectado pelo teste de esfregaço sanguíneo (teste para determnar a parastema), este da então fo usado como padrão para o níco da contagem que fo realzada daramente até o 3º da, quando todos os camundongos que havam sobrevvdo foram sacrfcados. Valores altos de parastema ndcam alto grau de nfecção do camundongo, enquanto que valores observados guas a zero ndcam a ocorrênca de cura do camundongo. Os camundongos que morreram ao longo do período de acompanhamento (5º ao 3º da após a nfecção), tveram o da do óbto regstrado. Os 8 camundongos foram dstrbuídos aleatoramente entre 4 grupos de camundongos cada, no entanto, ocorreram mortes de camundongos antes do níco da medda da parastema devdo a fatores dstntos do objetvo do estudo sendo, portanto, estes elmnados do banco de dados. O banco fnal dspõe de 64 camundongos assm dstrbuídos: Grupo 1: Grupo 2: Grupo 3: Grupo 4: camundongos nfectados por P. bergue que foram prevamente munzados à malára por nfecções sucessvas segudas de tratamento. 16 camundongos nfectados croncamente por S. manson e posterormente nfectados por P. bergue que foram prevamente munzados à malára por nfecções sucessvas segudas de tratamento. 15 camundongos nfectados por P. bergue. 13 camundongos nfectados croncamente por S. manson e posterormente nfectados por P. bergue. 14

21 Indução à mundade à P. bergue : Os camundongos dos grupos 1 e 2 foram munzados contra a malára por P. bergue através de sucessvas nfecções expermentas segudas de cura utlzando tratamento com cloroquna (1mg/kg, va oral). O processo de ndução de mundade à malára ncou-se 18 semanas após a nfecção por S. manson. Para comprovar o sucesso da munzação, um grupo de 1 camundongos fo posterormente nfectado com 1x1 6 hemácas parastadas por P. bergue e acomanhado para a constatação da ausênca de parastema. 5.2 Análse de dados Com base no banco de dados deste expermento defnmos O ( X1, X 2, Y, T, δ ) j = os valores observados das meddas do -ésmo camundongo no j-ésmo tempo. X1 e X2, representam as meddas das covaráves ndcadoras: confecção e munzação, respectvamente; Y j, representa o percentual médo de parastema do -ésmo camundongo no j-ésmo da após a nfecção; T, representa o tempo máxmo de acompanhamento do -ésmo camundongo, T 3; e, δ é o ndcador de falha. j 7 (a) 7 (b) 6 6 Y (% Parastema) Y (% Parastema) Tempo (das) Tempo (das) (c) 7 (d) 6 6 Y (% Parastema) Y (% Parastema) Tempo (das) Tempo (das) 25 3 Fgura 1 - Gráfco de Perfs do % médo de parastema para os camundongos por grupo expermental (a) grupo 1, (b) grupo 2, (c) grupo 3 e (d) grupo 4. 15

22 A Fgura 1, contém os gráfcos de perfs dos dados assocados a cada camundongo por grupo expermental. O grupo 1 (Fgura 1 (a)) é composto por camundongos que foram munzados e nfectados apenas por malára, correspondendo ao grupo de melhor prognóstco uma vez que apresenta os mas baxos valores de parastema e, a partr do 25º da após a nfecção até o tempo fnal do estudo todos os camundongos apresentaram parastemna zero (ndcatvo de cura) sendo portanto, todos censurados no 3º da após a nfecção. No grupo 2 (Fgura 1 (b)) estão alocados os camundongos que foram munzados e confectados. Neste grupo temos a presença de 6 camundongos que mantveram o percentual de parastema baxo até o fnal do expermento e foram censurados no 3º da após a nfecção, 8 que morreram com níves de parastema dversos e 2 casos que tveram óbto no 12º da mas que apresentavam ndcador de cura no da anteror à morte. Os camundongos alocados nos grupos 3 e 4 (Fgura 1 (c) e (d)) não foram munzados e todos eles morreram antes do fm do estudo, sendo que podemos observar valores altos de parastema precedendo a morte. Observa-se que no grupo 4, em que os camundongos foram confectados, o tempo de sobrevvênca de apenas 2 anmas fo superor a 11 das, enquanto que no grupo 3 (anmas com nfecção smples) o tempo de sobrevvênca parece ter sdo maor. Nos grupos expermentas 3 e 4 as meddas de parastema do 5º da após a nfecção foram perddas Análse de Dados Longtudnas Prmeramente, remos focar a análse deste banco de dados sob o aspecto da estrutura de meddas repetdas. Então, a varável resposta a ser consderada, Y j, é o percentual médo de parastema do -ésmo camundongo no j-ésmo da após a nfecção, com = 1,..., 64 e j= 5,..., n ; 5 n 3. A Fgura 2 apresenta a curva suavzada (método Lowess Cleveland, 1985) do percentual de parastema médo para cada um dos grupos expermentas. Observa-se que o nível de parastema dos camundongos que foram munzados (grupos 1 e 2) é aparentemente nferor ao nível dos camundongos não munzados (grupos 3 e 4). Além dsso, observa-se que os camundongos dos grupos 3 e 4 apresentam valores de parastema crescentes ao longo do acompanhamento, enquanto que os camundongos alocados nos grupos 1 e 2, apresentaram valores mas baxos de parastema em todo o período de acompanhamento. Os gráfcos de perfs do percentual médo de parastema para cada um dos grupos expermentas foram traçados e apresentados na Fgura 1. 16

23 Y (% Parastema) Grupo Tempo (das) 25 3 Fgura 2 Gráfco da curva de alsamento (Lowess) do % médo de parastema para os grupos expermentas. Um modelo de regressão lnear smples fo ajustado para a varável resposta: percentual de parastema (Y) versus o tempo após a nfecção, desconsderando-se o grupo expermental e o camundongo. Os resíduos padronzados foram calculados com o objetvo de avalar a varabldade da resposta no tempo (Dggle, Lang e Zeger, 1996). A partr destes resíduos, fo traçado um gráfco de perfs para cada grupo expermental. Estes gráfcos estão apresentados na Fgura 3, Anexo A e pode-se observar que, exceto no grupo 3 em que, a ampltude de varação dos resíduos parece constante, a varânca dos resíduos parece aumentar com o tempo. A matrz de correlação dos resíduos padronzados entre os tempos dstntos estão apresentados no Anexo A, estas meddas foram calculadas no ntuto de avalar a estrutura de correlação das meddas no tempo, ou seja, se a correlação entre os tempos decresce quando as meddas se afastam sugerndo uma correlação seral ou se possuem outra forma como a correlação unforme ou não-estruturada. Com base nos resultados encontrados observamos que a correlação tende a decrescer quando as meddas se afastam no tempo, logo a forma de correlação seral parece ser adequada para ajuste dos dados. O modelo margnal e o modelo de efetos aleatóros são as prncpas formas de modelagem de dados longtudnas e foram apresentadas na Seção 2. Uma sére de modelos, utlzando estas técncas, foram ajustados ao banco de dados e seguem descrtos a segur: ML1 Modelo Margnal com Correlação Unforme: este modelo consdera que a correlação entre as meddas do mesmo ndvíduo é constante no tempo. ML2 Modelo Margnal com Correlação Seral: este modelo consdera que a correlação entre as meddas do mesmo ndvíduo decresce quando estas se afastam no tempo. ML3 Modelo de Efetos Aleatóros (efeto aleatóro no ntercepto): este modelo consdera um ntercepto dstnto para cada camundongo, β. ML4 Modelo de Efetos Aleatóros (efeto aleatóro no ntercepto e no Tempo): este modelo permte que tanto o ntercepto, quanto a nclnação com o tempo varem entre camundongos. 17

24 O Modelo Margnal com Correlação Não-estruturada, ao ser ajustado não convergu por ser tratar de um modelo complexo devdo ao seu grande número de parâmetros a ser estmado. A Tabela 1 apresenta um resumo destes ajustes em que são apresentados os coefcentes de regressão estmados ( βˆ s) e os valores p assocados ao teste de Wald. Nesta tabela são apresentadas duas meddas de qualdade do ajuste. São elas: AIC: Akake Informaton Crteron AIC = 2[ l( ˆ) θ dm( θ )] N log(dm( θ )) BIC: Bayesan Informaton Crteron BIC = 2 l( ˆ) θ 2 em que, θ representa o conjunto de parâmetros estmados em cada modelo. Estas meddas são usadas para comparar modelos a partr da nformação do quanto a função de verossmlhança fo capaz de absorver dos dados, penalzada pelo grau de complexdade do modelo. Valores menores destas meddas ndcam melhores ajustes. A partr dos resultados apresentados na Tabela 1, podemos confrmar que o modelo margnal com correlação seral (ML2) é o que melhor se ajustou aos dados uma vez que, apresentou os menores valores de AIC e BIC. Neste modelo todas as covaráves foram sgnfcatvas. A confecção tem efeto de aumentar o grau de parastema em cerca de 3%, enquanto que a munzação reduz em méda 22% o nível de parastema do camundongo. O efeto do tempo é de crescmento na parastema (em méda,18% ao da). Tabela 1 Ajuste de modelos para Dados Longtudnas Modelo Covaráves no modelo Estmatvas se(β) p-valor AIC BIC Intercepto β = 23,16 1,8, ML1 X1: confecção β1 = 3,47 1,12,21 X2: munzação β2 = -22,39 1,15, 6592,2 6621,14 T: tempo β3 =,56,4,1181 Intercepto β = 21,69 1,5, ML2 X1: confecção β1 = 2,99 1,29,9 X2: munzação β2 = -23,45 1,42, 61, ,24 T: tempo β3 =,183,7,143 Intercepto β = 23,16 1,8, ML3 X1: confecção β1 = 3,47 1,12,3 X2: munzação β2 = -22,39 1,15, 6592,2 6621,14 T: tempo β3 =,56,4,118 Intercepto β = -,72 2,51,7733 ML4 X1: confecção β1 =,71 1,,5573 X2: munzação β2 = -7,91 1,26, 6222, ,69 T: tempo β3 = 2,18,4, 18

25 Os perfs médos ajustados a partr destes modelos estão apresentados na Fgura 4, Anexo B. A exploração destes perfs revelou, entretanto, que a aproxmação é anda muto grossera quando comparada aos perfs médos observados (Fgura 2). Modelos que consderem perfs ndvduas (efetos aleatóros) e a nteração do efeto das covaráves com o tempo são especalmente nteressantes de se avalar neste tpo de stuação clínca. Os modelos ML5, ML6 e ML7 são modelos lneares com efetos aleatóros no ntercepto e no tempo, e foram ajustados com o objetvo de avalar a presença deste possível efeto de nteração da confecção com o tempo, da munzação com o tempo, e de ambos efetos de nteração, respectvamente. O resumo dos resultados destes ajustes estão apresentados na Tabela 2, observamos que ambos os efetos de nteração são sgnfcatvos. O modelo ML7 mostrou-se então o mas efcente segundo os crtéros de AIC e BIC, apresentando os menores valores para estas meddas. Além dsso, ao observar os perfs ajustados para estes modelos apresentados na Fgura 5, Anexo B, verfcamos que este modelo é aquele que mas se aproxma da méda observada (Fgura 2). O ajuste do modelo com nteração entre as covarávers: confecção e munzação, fo consderado mas, seus resultados foram omtdos por não ter apresentado efeto sgnfcatvo. Tabela 2 Ajuste de Modelos de Efetos Aleatóros com Interações Modelo Covaráves no modelo Estmatvas se(β) p-valor AIC BIC Intercepto β = 3,52 2,81,2112 X1: confecção β1 = -11,41 4,4,119 ML5 X2: munzação β2 = -7,42 1,24, T: tempo β3 = 1,34,48, , ,38 X1*T: nteração do efeto de confecção com o tempo β4 = 2,22,79,48 Intercepto β = -1,44 2,32, X1: confecção β1 =,38 1,21,756 ML6 X2: munzação β2 = 12,42 2,66, T: tempo β3 = 4,15,37, 6174, ,37 X2*T: nteração do efeto de munzação com o tempo β4 = -3,92,45, Intercepto β = -6,66 2,5,12 X1: confecção β1 = -7,23 2,12,12 X2: munzação β2 = 11,35 2,29, T: tempo β3 = 3,39,32, ML7 6158,72 67,22 X1*T: nteração do efeto de β4 = 1,58,36, confecção com o tempo X2*T: nteração do efeto de munzação com o tempo β5 = -3,76,37, Observamos, porém, que o ajuste de um modelo lnear talvez não seja a melhor alternatva para o ajuste destas meddas longtudnas, uma vez que aqueles camundongos, que sobrevveram os trnta das de acompanhamento do expermento, tveram o nível de parastema altamente osclatóro no 19

26 níco do expermento e reduz para zero até o fnal do expermento, ndcando cura da malára. Isto ocorreu com todos os camundongos alocados no grupo de tratamento 1 (Fgura 1a) e em 6 dos 16 alocados no grupo 2, ambos os grupos munzados contra a malára (Fgura 1b). Propomos, como alternatva a estes modelos apresentados nas Tabelas 1 e 2, o ajuste de um modelo lnear generalzado com efetos aleatóros com a função de lgação bnomal, para a resposta transformada Y, em que Y j = 1(Y j = ), ou seja, Y j = 1 ndca que o percentual de parastema do - ésmo camundongo ( = 1,..., 64) no j-ésmo da de avalação (j = 5,..., n ; 5 n 3) é gual a zero. Assm, Y pode ser nterpretado como um ndcador de cura do camundongo. Os resultados do ajuste destes modelos estão apresentados na Tabela 3. Tabela 3 Ajuste de Modelos Lneares Generalzados com Efetos Aleatóros para Y Modelo Covaráves no modelo Estmatvas se(β) p-valor AIC BIC Intercepto β = 33, ,69,9995 ML8 X1: confecção β1 =,97,74,197 X2: munzação β2 = -28, ,69,9996 * * T: tempo β3 = -,34,2, Intercepto β = 3, ,8 1, ML9 X1: confecção β1 =,6 43,1,989 X2: munzação β2 = -26, ,8 1, * * T: tempo β3 = -,34 3,,9117 Intercepto β = 28, ,33,9996 X1: confecção β1 = -3,92,79, X2: munzação β2 = -21, ,33,9997 T: tempo β3 = -,5 4556,75 1, ML1 * * X1*T: nteração do efeto de β4 =,36,3, confecção com o tempo X2*T: nteração do efeto de munzação com o tempo β5 = -, ,75,9999 Intercepto β = 36, ,38,9991 X1: confecção β1 = -17,7 3,89, X2: munzação β2 = -13, ,38,9997 T: tempo β3 = -,5 2655,31,9998 ML11 * * X1*T: nteração do efeto de β4 = 1,52,36, confecção com o tempo X2*T: nteração do efeto de munzação com o tempo β5 = 1,3 2655,31,9996 Intercepto β = 7,82 1,5, X1: confecção β1 = -4,21 1,33,24 ML12 T: tempo β3 = -,48,6, 7186, 7215,2 X1*T: nteração do efeto de confecção com o tempo β4 =,33,7, Intercepto β =,47 2,77, X1: confecção β1 = -13,75 3,89,8 ML13 T: tempo β3 = -1,42,24, 11574, ,3 X1*T: nteração do efeto de confecção com o tempo β4 = 1,11,38,31

27 O ajuste dos modelos ML8, ML1 e ML12 nclu um efeto aleatóro no ntercepto e os modelos ML9, ML11 e ML13 ncluem efeto aleatóro no ntercepto e no Tempo. Os modelos ML12 e ML13 destacados apresentam como sgnfcatvos os efetos da Confecção, do Tempo e da nteração: Confecção com o Tempo. A nterpretação dos coefcentes destes efetos é bastante ntutva. Podemos observar que a Confecção dmnu sgnfcatvamente a chance de cura do camundongo e quanto maor o Tempo no estudo maor a chance de cura. Estes resultados são concordantes com o esperado, uma vez que permanecem no estudo por mas tempo justamente os camundongos que obtveram cura. Estes modelos apontam os mesmos resultados como sgnfcatvos, mas apresentam grande dscrepânca nos valores dos coefcentes estmados. Observando que os valores de AIC de BIC do modelo ML12 foram consderavelmente menores que o modelo ML13, consderados o ML12 como um melhor ajuste Análse de Sobrevvênca Agora, remos focar a estrutura deste banco de dados sob o aspecto de análse de sobrevvênca. Então, a varável resposta, T, é o tempo transcorrdo entre a nfecção e a morte camundongo, sendo que houve censura no tempo T = 3 das, quando todos os camundongos que sobrevveram foram sacrfcados. Com o objetvo de se obter uma déa do efeto das covaráves sobre o comportamento dos dados foram calculadas, ncalmente, as estmatvas para a função de sobrevvênca pelo método de Kaplan-Meer para as covaráves X1 e X2. A Fgura 6a apresenta as curvas de sobrevvênca estmadas para a covarável X1 (confecção). Comparando estas curvas pelo teste de Wlcoxon, observa-se que os camundongos nfectados apenas com malára (nfecção smples) possuem maor probabldade de sobrevvênca em relação aos que foram confectados (p<,1). As curvas de sobrevvênca estmadas pelo método de Kaplan-Meer para a covarável X2 (munzação) estão apresentadas na Fgura 6b. Observa-se que os camundongos que foram munzados possuem maor probabldade de sobrevvênca em relação aos que não foram munzados. O teste de Wlcoxon confrmou que há dferença sgnfcatva (p<,1) entre as curvas de sobrevvênca dos camundongos segundo a munzação. 21

28 1 (a) 1 (b) Probabldade de Sobrevvênca (%) X1: Confecção - Não Probabldade de Sobrevvênca (%) X2: Imunzação - Não 1 - Sm Tempo Sm Tempo 25 3 Fgura 6 Curvas de sobrevvênca estmadas pelo método de Kaplan-Meer para a covarável X1: Co-Infecção (a) e X2: Imunzação (b). O modelo de rscos proporconas de Cox (1972), apresentado na Seção 3, fo ajustado aos dados. A Tabela 4 apresenta um resumo dos resultados obtdos para o ajuste de modelos de Cox para as covaráves X1 e X2. Tabela 4 Ajuste do Modelo de Cox Covaráves no IC 95% (exp{β}) Modelo modelo Estmatvas (βˆ ) se(β) p-valor exp{β} LI LS MS1 X1: confecção 1,14,338 <,1 3,13 1,61 6,7 MS2 X2: munzação -1,99,391 <,1,137,637,295 MS3 X1: confecção 1,39,355 <,1 3,997 1,9915 8,22 X2: munzação -2,,41 <,1,111,498,249 A partr dos resultados apresentados na Tabela 4, observa-se que ambas as covaráves Confecção (X1) e Imunzação (X2) são sgnfcatvas para explcar os tempos de sobrevvênca dos camundongos. Os camundongos munzados têm menor chance de morte e a presença de confecção aumenta a chance de mortaldade em cerca de 4 vezes. A nteração entre as covaráves X1 e X2 fo também consderada, mas com a presença desta nteração o modelo não convergu. 5.3 Modelo de Cox com covarável depentente do tempo O modelo de Cox com covarável dependente do tempo é um método bastante conhecdo e utlzado na lteratura. Portanto, consderamos este ajuste como a prmera aproxmação para a modelagem conjunta de dados longtudnas e de sobrevvênca. A Tabela 5 apresenta um resumo dos resultados obtdos através do ajuste de deste modelo para as covaráves X1, X2 e parastema, Y, que é dependente do tempo. 22

29 Modelo Tabela 5 Ajuste do Modelo de Cox com covarável dependente do tempo Covaráves no modelo Estmatvas (βˆ ) se(β) p-valor exp{β} IC 95% (exp{β}) LI LS MS4 Y: parastema,72,9 <,1 1,7 1,6 1,9 X1: confecção,977,373,9 2,66 1,28 5,52 MS5 Y: parastema,69,9 <,1 1,7 1,5 1,9 X2: munzação -,146,515,78,86,32 2,37 MS6 Y: parastema,7,13 <,1 1,7 1,5 1,1 MS7 MS8 MS9 MS1 X1: confecção 1,52,383,6 2,86 1,35 6,7 X2: munzação -,481,523,38,62,21 1,79 Y: parastema,6,13 <,1 1,6 1,4 1,9 X1: confecção 2,723,796,1 15,22 3, 72,42 X2: munzação -1,237,742,95,29,7 1,24 Y: parastema,85, <,1 1,9 1,5 1,13 X1*Y -,62,24,9,94,9,99 X2*Y,42,3,16 1,4,98 1,11 X1: confecção 2,579,758,1 13,19 2,99 58,21 X2: munzação -,543,553,33,58, 1,72 Y: parastema,92,19 <,1 1,1 1,6 1,14 X1*Y -,56,22,11,95,91,99 X1: confecção 2,417,717,1 11,21 2,75 45,72 Y: parastema,11,17 <,1 1,11 1,7 1,14 X1*Y -,54,21,11,95,91,99 Observa-se que a presença da covarável longtudnal no modelo acarreta a perda de sgnfcânca da munzação (X2). Ou seja, ao nclur a parastema (Y) como covarável no modelo, esta absorve a nformação do efeto de X2, tornando esta últma não sgnfcatva. Como o objetvo prncpal do expermento é avalar o efeto de tratamento sob a sobrevvênca e sobre a parastema do camundongo, o modelo de Cox com covarável dependente do tempo torna-se aparentemente nefcaz. O modelo MS1 destacado aponta a confecção (X1), a parastema (Y) e a nteração entre estas duas como sgnfcatvas para estmar o tempo de sobrevvênca dos camundongos. O ajuste do modelo de Cox com a varável longtudnal dcotomzada, Y, como covarável dependente do tempo também fo consderado, mas essa medda não se mostrou sgnfcatva, portanto os resultados deste ajuste foram omtdos. 23