Tiago Carlos de Oliveira. Identificação Fuzzy Takagi-Sugeno e Projeto de Controle Adaptativo da Articulação do Joelho

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1 ago Calos de Olvea Idenfcação Fuzzy aag-sugeno e Pojeo de Conole Adapavo da Aculação do Joelho Londna 3

2 ago Calos de Olvea Idenfcação Fuzzy aag-sugeno e Pojeo de Conole Adapavo da Aculação do Joelho Dsseação apesenada ao Pogama de Pósgaduação em Engenhaa Eléca da Unvesdade Esadual de Londna paa obenção do íulo de Mese em Engenhaa Eléca. Áea de concenação: Auomação Especaldade: Engenhaa Bomédca Oenado: Pof. D. Rubele Gano Co-oenado: Pof. D. Máco Robeo Covacc Londna 3

3 Caalogação elaboada pela Dvsão de Pocessos écncos da Bbloeca Cenal da Unvesdade Esadual de Londna Dados Inenaconas de Caalogação-na-Publcação CIP Bbloecáa esponsável: Malova Sanuo Davd - CRB 9/7 O48 Olvea, ago Calos de. Idenfcação Fuzzy aag-sugeno e pojeo de conole adapavo da aculação do joelho / ago Calos de Olvea. Londna, f. : l. Oenado: Rubele Gano. Cooenado: Máco Robeo Covacc. Dsseação Mesado em Engenhaa Eléca Unvesdade Esadual de Londna, Ceno de ecnologa e Ubansmo, Pogama de Pós-Gaduação em Engenhaa Eléca, 3. Inclu bblogafa.. Esmulação eléca nevosa anscuânea eses.. Ssemas de conole lnea eses. 3. Ssemas dfusos eses. 4. SIMULINK Sofwae eses. 5. MALAB Sofwae eses. 6. Engenhaa bomédca eses. I. Gano, Rubele. II. Covacc, Máco Robeo. III. Unvesdade Esadual de Londna. Ceno de ecnologa e Ubansmo. Pogama de Pós-gaduação em Engenhaa Eléca. IV. íulo. CDU 6.3:66-7

4 ago Calos de Olvea Idenfcação Fuzzy aag-sugeno e Pojeo de Conole Adapavo da Aculação do Joelho Dsseação apesenada ao Pogama de Pósgaduação em Engenhaa Eléca da Unvesdade Esadual de Londna paa obenção do íulo de Mese em Engenhaa Eléca. Áea de concenação: Auomação Especaldade: Engenhaa Bomédca Banca Eamnadoa Pof. D. Rubele Gano Dpo. Engenhaa Eléca Unvesdade Esadual de Londna Oenado Pof. D. Máco Robeo Covacc Dpo. Engenhaa Eléca Unvesdade Esadual de Londna Co-Oenado Pof. D. Apaecdo Auguso de Cavalho Dpo. Engenhaa Eléca Faculdade de Engenhaa de Ilha Solea Londna, 3 de agoso de 3

5 AGRADECIMENOS A ealzação desa dsseação sgnfcou uma mpoane eapa da mnha vda. Gosaa de agadece a odos aqueles que conbuíam de foma decsva paa a sua concezação. Pmeamene a Deus po me ampaa nos momenos dfíces e me da foça paa supea as dfculdades. Ao pofesso e oenado Rubele po odo apoo, pacênca e sabedoa ao me conduz ao longo dese abalho. ambém ao pofesso e co-oenado Máco e ao colega Andeson pelo auílo. À mnha esposa Gssa, mnha flha Luísa e mnha mãe Clace, as quas amo muo, pelo canho, pacênca e ncenvo.

6 OLIVEIRA, ago Calos de. Idenfcação Fuzzy aag-sugeno e Pojeo de Conole Adapavo da Aculação do Joelho fls. Dsseação de Mesado em Engenhaa Eléca Unvesdade Esadual de Londna, Londna, 3. RESUMO Nese abalho ulzou-se ês méodos de pojeo paa o conole da posção da aculação do joelho de pacenes paaplégcos, po meo de eleoesmulação. Incalmene, fo aplcada a écnca de conole LQR em malha fechada. Como essa écnca é aplcada a ssemas lneaes, fo necessáo lneaza o modelo maemáco da aculação do joelho, que é não-lnea, no pono de neesse. Poseomene fo ulzado a écnca fuzzy aag-sugeno paa obe o conole da posção da pena. Paa o cálculo da maz dos ganhos de ealmenação do ssema, fo ulzado o méodo de alocação de polos. Ulzando LMI, analsou-se a esabldade paa a alocação de polos na obenção dos ganhos de ealmenação da plana. O pojeo do egulado fuzzy fo consuído aavés da Compensação Dsbuída Paalela. Ese méodo faz a combnação fuzzy das mazes de ganho de eoação, obdas po meo da fómula de Acemann, paa enão chega a um egulado fuzzy que esablza o ssema globalmene. Fnalmene, ealzou-se a denfcação do modelo do movmeno do pacene paaplégco, ulzando o méodo dos mínmos quadados ecusvo, e assm obendo o conolado a pa dos paâmeos dos emos consequenes, paâmeos esses que epesenam o ssema fuzzy aag-sugeno. odos os méodos de conole foam desenvolvdos em ambene de smulação compuaconal com os sofwaes Malab/Smuln. Palavas-chave: Modelos fuzzy aag-sugeno. Eleoesmulação. Conole nãolnea. Engenhaa de eablação. Idenfcação de ssemas.

7 OLIVEIRA, ago Calos de. aag-sugeno Fuzzy Idenfcaon and Adapve Conol Desgn fo Knee Jon fls. Dsseaon Mase s Degee n Eleccal Engneeng Unvesdade Esadual de Londna, Londna, 3 ABSRAC In hs eseach, hee desgn mehods ae employed fo he conol of he nee jon poson of paaplegc paens, by elecosmulaon. Fs of all, he LQR closed-loop conol echnque s appled. Snce hs echnque s appled o lnea sysems, he mahemacal model of he nee jon, whch s nonlnea, needed o be lneazed a he nees pon. Afe ha, he aag-sugeno fuzzy echnque s appled o oban he leg poson conol. o compue he feedbac gan ma of he sysem, he pole allocaon mehod s used. Usng LMI, sably was analyzed fo pole allocaon, fo he obanng of he feedbac gans of he plan. he fuzzy egulao desgn was done by Paallel Dsbued Compensaon. hs mehod ealzes he fuzzy combnaon of he feedbac gan maces ha globally sablze he sysem. Fnally, denfcaon of he movemen of he paaplegc paen model s ealzed usng he ecusve squae mnmum mehod, geng, hen, he conolle fom he consequen ems paamees, whch epesen he aag-sugeno fuzzy sysem. he sablzaon me leg poson, usng models fuzzy aag-sgeno was lowe compaed o LQR conol echnque. All conol mehods wee developed n compuaonal smulaon envonmen, by sofwae Malab/Smuln. Key wods: Fuzzy aag-sugeno models. Elecosmulaon. Nonlnea conol. Rehablaon engneeng. Sysem denfcaon.

8 LISA DE FIGURAS Fgua : Esquema de epesenação da pena ~ eaa e apomação po sée de aylo de Fgua : Cuvas da função f séma odem, em ono do pono de opeaçõ π / Fgua 3: Ilusação da apomação obda po modelos fuzzy -S Fgua 4 - Inepeação geoméca de esabldade: a esável; b assnocamene esável; c nsável Fgua 5 - Resposa do ssema conolado paa condções ncas θ, & v θ v, Ma,,, consdeando somene a esabldade ~ Fgua 6 - Cuvas da função f eaa e apomação po sée de aylo de quna odem Fgua 7 - Pojeo do Regulado LQR Fgua 8 - Repesenação da vaável θ v endo a efeênca gual a,5 ad Fgua 9 - Repesenação da vaável θ v, endo como efeênca o degau gual a,5 ad Fgua - Repesenação da vaável M endo como efeênca o degau gual a a,5 ad Fgua - Ilusação de um ssema de denfcação Fgua - Equações dnâmcas do modelo da aculação do joelho do pacene paaplégco epesenadas no sofwae Smuln Fgua 3 - Eemplo de um função de penênca do po gaussana Fgua 4 - Idenfcação Fuzzy ulzando RLS Fgua 5 - Paâmeos dos emos consequenes do modelo Fgua 6 - Pefomance do conolado com a efeênca gual a,5sn,π Fgua 7 - Eo do conolado paa a efeênca,5 sn,π Fgua 8 - Pefomance do conolado com a efeênca gual a,5 ad Fgua 9 - Eo do conolado quando a efeênca fo gual a,5 ad Fgua - Idenfcação fuzzy aag-sugeno com 3 egas... 6 Fgua - Conolado paalelo dsbuído com aseameno Fgua - Eo do conole paalelo dsbuído com aseameno

9 LISA DE ABREVIAURAS CBEB Congesso Basleo de Engenhaa Bomédca CDP Compensação Dsbuída Paalela FES Funconal Eleccal Smulaon - Esmulação Eléca Funconal LMI Lnea Ma Inequales - Desgualdades Macas Lneaes LQR Lnea-Quadac Regulao - Regulado Lnea Quadáco PID Popoconal Inegal e Devavo RLS Recusve Leas Squae - Mínmos Quadados Recusvos SNC Ssema Nevoso Cenal -S aag-sugeno WRLS Weghed Recusve Leas Squae - Mínmos Quadados Recusvos Pondeados

10 SUMÁRIO INRODUÇÃO.... DESCRIÇÃO DO CONEÚDO... 3 ÉCNICAS DE CONROLE LINEAR E NÃO-LINEAR APLICADA AO MOVIMENO DE PACIENES PARAPLÉGICOS COM O USO DE ESIMULAÇÃO ELÉRICA MODELO NÃO-LINEAR MAEMÁICO DO MOVIMENO DA ARICULAÇÃO DO JOELHO DO PACIENE PARAPLÉGICO REGULADOR FUZZY AKAGI-SUGENO COM ALOCAÇÃO DE POLOS..... ALOCAÇÃO DE POLOS..... REPRESENAÇÃO DE SISEMAS FUZZY AKAGI-SUGENO REGULADORES COM MODELOS FUZZY AKAGI-SUGENO CONDIÇÕES PARA A ESABILIDADE DE REGULADORES FUZZY RESULADOS MODELOS LOCAIS GANHOS DE REALIMENAÇÃO COM ALOCAÇÃO DE POLOS PARA O CASO DO PARAPLÉGICO ANÁLISE DA ESABILIDADE MODELO LINEARIZADO DO MOVIMENO DA ARICULAÇÃO DO JOELHO DO PACIENE PARAPLÉGICO APLICAÇÃO COM CONROLADOR LQR EORIA DO REGULADOR LINEAR QUADRÁICO CONCLUSÃO PARCIAL DO CAPÍULO IDENIFICAÇÃO FUZZY E RASREAMENO DO SINAL MÍNIMOS QUADRADOS RECURSIVOS MODELO FUZZY MAMDANI SISEMAS FUZZY AKAGI-SUGENO CONROLE PARALELO DISRIBUÍDO COM RASREAMENO IDENIFICAÇÃO E PROJEO DO CONROLADOR COLEA DOS DADOS IDENIFICAÇÃO DOS PARÂMEROS PROJEO DO CONROLADOR PARALELO DISRIBUÍDO COM RASREAMENO IDENIFICAÇÃO OBIDA EM EXPERIMENOS REALIZADOS EM PESSOAS HÍGIDAS E PARAPLÉGICOS DO SEXO MASCULINO CONCLUSÃO PARCIAL DO CAPÍULO CONCLUSÕES SUGESÕES PARA PESQUISAS FUURAS... 65

11 REFERÊNCIAS APÊNDICES ~ - Caso Não - APÊNDICE A - Sée de aylo de Séma Odem paa f Lnea... 7 ~ - Caso APÊNDICE B - Sée de aylo de Quna Odem paa f Lneazado... 7 APÊNDICE C - Fomas de Funções de Penênca... 7 APÊNDICE D - Paâmeos dos Consequenes do Modelo da Aculação do Pacene Paaplégco... 73

12 INRODUÇÃO O esudo do conole do movmeno de pacenes paaplégcos com o uso de esmulação eléca neuomuscula é um assuno elevane na engenhaa de eablação GAINO, 9; GAINO e al., 8,, ; FERRARIN; PEDOI,. A eablação em malha fechada ulzando esmulação eléca funconal FES - Funconal Eleccal Smulaon é uma foma de aameno que ulza a coene eléca paa povoca a conação de músculos CRAGO; MORIMER; PECHAM, 98. A FES, pelo pncípo de funconameno e pelos esulados obdos, poduz conação muscula semelhane à conação geada po um esímulo envado pelo Ssema Nevoso Cenal SNC. Sua aplcação em aamenos fsoeápcos de pacenes paaplégcos em efcáca compovada FERRARIN; PEDOI,. A movação paa a ealzação dese abalho concena-se na pouca nfomação esene no Basl sobe gupos de pesqusas com aplcação de FES em pacenes paaplégcos com ealmenação em malha fechada GAINO, 9. No Congesso Basleo de Engenhaa Bomédca CBEB, ealzado em Salvado-BA em 8, os úncos abalhos publcados sobe eablação de pacenes paaplégcos com FES em malha fechada foam ealzados po Gano e al. 8 e Pado e al. 8, com foco na solução dos poblemas vvencados po pacenes paaplégcos e hemplégcos com o objevo de melhoa a qualdade de suas vdas. Poseomene, ouos abalhos foam publcados. Em Gano e al. fo ulzado sofwae compuaconal paa pojeo e mplemenação de conoladoes dgas em malha fechada, ulzando eleo-esmulado neuomuscula com o objevo de aula a esauação de movmenos em paaplégcos. Foam ulzados conceos de eoa de conole, nsumenação eleônca e modelos fsológcos, undos em uma únca plaafoma, so é, odos eses elemenos foam negados no sofwae ISIS Poeus. Em Gano e al., fo apesenado um méodo de pojeo de conole vsando vaa o ângulo da aculação do joelho em pacenes paaplégcos po meo de FES. O ssema de conole não-lnea da dnâmca do pacene paaplégco fo desco po modelos fuzzy aag-sugeno -S e o snal de ealmenação obdo po meo de aceleômeos. Em Olvea e al. foam ulzados modelos fuzzy -S paa

13 obe o conole da posção da pena de um pacene paaplégco. Calculou-se a maz de ganho de ealmenação do ssema com o méodo de alocação de polos. O pojeo do egulado fuzzy fo consuído aavés da Compensação Dsbuída Paalela CDP. Ese abalho em como objevo aplca o méodo de denfcação dos mínmos quadados ecusvos RLS - Recusve Leas Squae paa a denfcação do modelo maemáco poposo po Fean e Pedo, que elacona de manea empíca, a lagua do pulso aplcado com o oque geado em ono da aculação do joelho do pacene paaplégco, e assm, a pa dos das nfomações obdas dessa denfcação, pojea o conolado do po paalelo dsbuído com modelos fuzzy -S, paa segu um snal de efeênca. A denfcação de ssemas é uma áea do conhecmeno que esuda écncas alenavas de modelagem maemáca. Uma das caaceíscas dessas écncas é que pouco ou nenhum conhecmeno pévo do ssema é necessáo e, consequenemene, as méodos são ambém efedos como modelagem ou denfcação caa pea ou modelagem empíca. Essas écncas de denfcação de ssemas sugem do fao de que, fequenemene, não se conhecem as equações envolvdas no funconameno de um deemnado ssema ou elas são conhecdas, mas sea mpacável, po lmações de empo e ecusos, levana as equações e esma seus especvos paâmeos AGUIRRE, 7. Nos úlmos anos, houve um cescene neesse em pesqusas de eoa e aplcações de ssemas nebulosos, mas conhecdos como ssemas fuzzy. Ese neesse se deve à smladade deses ssemas com o compoameno humano na solução de poblemas compleos. Assm, os ssemas fuzzy pemem que o pojesa ulze o seu conhecmeno epemenal paa elaboa o pojeo de conole do seu ssema MACHADO, 3. Duas azões pncpas movam o esudo da eoa fuzzy. A pmea é que esses ssemas conjugam a capacdade de pocessa nfomação de naueza ncea ou qualava com a capacdade de apomação unvesal. A pecsão com que os ssemas fuzzy podem apoma ssemas eas pode se, em geal, espulada pelo pojesa. A segunda azão esá elaconada com a esênca de váos pos de modelos esenes, adequados a dfeenes pos de aplcação, ndo dos modelos lnguíscos na modelagem de um deemnado ssema, aos modelos -S MACHADO, 3, com esuuas adequadas paa aplcações em conole. As

14 3 conbuções desa dsseação concenam-se nos modelos fuzzy -S e esão elaconadas a apomação e conole de ssemas não-lneaes. Seão apesenadas nesa dsseação duas écncas de pojeo aplcadas ao modelo maemáco que epesena a dnâmca do movmeno da aculação da pena do pacene paaplégco. O pmeo modelo de pojeo consse em um egulado lnea quadáco LQR - Lnea Quadac Regulao em malha fechada. Como o LQR é lnea, fo necessáo lneaza o modelo do ssema em um deemnado pono de neesse possblando, assm, aplca al écnca de conole e ealza smulações que demonsaam a efcênca do conolado. Já no segundo, o pncpal objevo fo ulza modelos fuzzy -S paa obe o conole da posção da pena e calcula a maz dos ganhos de ealmenação do ssema po meo do méodo de alocação de polos. Ulzou-se a eoa de Lyapunov paa análse da esabldade da plana com os ganhos de ealmenação. O pojeo do egulado fuzzy fo consuído aavés da Compensação Dsbuída Paalela - CDP ANAKA; IKEDA; WANG, 998. Ese méodo faz a combnação fuzzy das mazes de ganho de eoação, obdas po meo da fómula de Acemann, paa enão chega a um egulado fuzzy que esablza o ssema globalmene EIXEIRA; ŻAK, 999. O pojeo do egulado fo ealzado paa o pono de opeação de 3, so é, a ajeóa da pena sa do esado de epouso e esablza-se em 3. Paa odas as smulações, fo ulzado o ambene de smulação compuaconal com os sofwaes Malab/Smuln.. DESCRIÇÃO DO CONEÚDO Ese abalho coném, além desa nodução, mas ês capíulos que podem se assm esumdos: Capíulo Ese capíulo apesena o modelo lnea e não-lnea elaconado ao modelo maemáco do movmeno da aculação do joelho do pacene paaplégco, onde seão aplcadas as écncas de conole, como a écnca de LQR, o egulado fuzzy aag-sugeno com alocação de polos e o conole paalelo dsbuído com aseameno. Capíulo 3 Seá eplcada a eoa dos elemenos necessáos paa se pojea um conole paalelo dsbuído com aseameno, paa um ssema não-lnea.

15 4 Seá abodada a eoa dos mínmos quadados ecusvos, paa denfcação dos ssemas fuzzy, e ambém os esulados alcançados. Capíulo 4 As pncpas conclusões do abalho são dscudas nese capíulo.

16 5 ÉCNICAS DE CONROLE LINEAR E NÃO-LINEAR APLICADA AO MOVIMENO DE PACIENES PARAPLÉGICOS COM O USO DE ESIMULAÇÃO ELÉRICA Nese capíulo, são apesenados os modelos maemácos paa aplcação das écncas de conole paa ssemas lnea e não-lnea, que seão descas nos pómos capíulos: a écnca de conole LQR, o egulado fuzzy aag-sugeno com alocação de polos e o conole paalelo dsbuído com aseameno.. MODELO NÃO-LINEAR MAEMÁICO DO MOVIMENO DA ARICULAÇÃO DO JOELHO DO PACIENE PARAPLÉGICO O modelo maemáco em esudo fo adapado de Fean e Pedo e epesenado em vaáves de esado. Esse modelo elacona a lagua do pulso aplcado ao músculo com o oque geado na aculação do joelho. A pena deve vola à posção de epouso com a eada da esmulação no músculo menconado GAINO, 9. Resulados com base nese modelo foam publcados em dvesos congessos e peódcos COVACIC e al., ; GAINO, 9; GAINO e al., ; EIXEIRA e al., 6a, 6b;. Na modelagem o membo nfeo fo consdeado como uma cadea cnemáca abea composa de dos segmenos ígdos: a coa e o compleo canelapé FERRARIN; PEDOI,, confome mosa a Fgua. Em Gano 9 e eea e al. 6a, 6b, é demonsado odo o equaconameno paa se obe a equação de esados não-lnea.9. Aqu seão descas apenas as nfomações paa o desenvolvmeno dese abalho.

17 6 Fgua : Esquema de epesenação da pena. Fone: Adapado de Fean e Pedo. pela segune equação: O equlíbo dnâmco em ono da junção do joelho é epesenado M M M M M,. g s d a sendo: M a componene necal; M g a componene gavaconal; M s o oque elaconado à gdez da junção do joelho; M d a componene de amoecmeno; M a o oque avo do joelho esulado da esmulação eléca aplcada ao quadíceps. de segunda-odem Isso pode se epesso pela segune equação dfeencal não-lnea J & θ mgl sen θ M B & θ M,. v v s a sendo: J o momeno necal do compleo de canela-pé;

18 7 θ o ângulo comum do joelho ângulo ene a canela e a coa no plano sagal; θ & a velocdade angula comum do joelho; θ v ângulo ene a canela e o sendo vecal, no plano sagal; m a massa do compleo canela-pé; g a aceleação gavaconal; l a dsânca ene o joelho e o ceno da massa do compleo canela-pé; B o coefcene de ao vscoso. epessão fo consdeada: Com espeo à componene elaconada à gdez, a segune Eθ M λe θ ϖ,.3 s sendo: λ e E os coefcenes do emo eponencal; ϖ o ângulo elásco de epouso do joelho. Em Gano 9, Fean e Pedo são apesenadas as meddas anopomécas, obdas de manea epemenal, de um pacene paaplégco confome a abela. abela : Gandezas Anopomécas do Pacene. J,36 [Kgm²] m 4,37 [Kg] l B λ 3,8 [cm],7 [Nms/ad] 4,8[Nm/d] E,4 [/ad] ϖ,98 [ad] τ,95 [s] G 45 [Nm/s] Fone: Fean e Pedo. Subsundo.3 em., e consdeando θ θ v π /, obém-se, π E & E v π θ θ v [ mglsen θv λe e θv ϖ B & θv M a. J.4

19 8 Os valoes de a M e P foam calculados no pono de opeação de neesse, ou seja, 3 v θ. Paa a obenção de a M, ulzou-se.4, deemnada no pono de opeação. Sabendo-se que, no pono de opeação, as devadas v θ & e v θ & & são nulas, e solando-se a M de.4, obém-se: ]. 4,668 [ Nm π θ e λe mglsenθ M v π E Eθ v a v ϖ.5 Em Gano 9 é demonsado que no pono de opeação, a lagua dos pulsos P é gual a: ] [,839 4 s G M P a. De acodo com a eoa de esabldade segundo Lyapunov, quando o pono de equlíbo de neesse do ssema não é a ogem, é necessáo efeua uma oca de vaáves paa anslada o novo pono de equlíbo paa a ogem GAINO, 9. Assm,.4 seá: a v v v E E v v v M B e e mglsen J θ θ θ ϖ π λ θ θ θ π & & &.6 Defnndo-se as vaáves de esado na foma:.,, 3 a a a v v v M M M & θ θ θ.7 E subsundo-se.7 em.6, encona-se, 3 B M e mglsen J a v E v v ϖ π θ λ θ π θ &.8 Em Gano 9 e eea e al. 6a, 6b, é demonsado odo o equaconameno paa se obe a equação de esados não-lnea.9, que epesena a dnâmca do movmeno da aculação do joelho ao esímulo eléco aplcado no quadíceps. Assm, o ssema é epesenado na foma macal, po:

20 9. ~ 3 3 P N G J J B f τ τ & & &.9 A função f ~ é uma não-lneadade do ssema epesenada po: ~ a v E v M e mglsen J f v ϖ π θ λ θ π θ,. sendo:. ϖ π π θ λe θ mglsen M v θ E v a v. Pode-se vefca, em., que ese um poblema de ndeemnação de f ~ na smulação, quando fo abuído o valo zeo paa, pos nesse caso, o numeado e o denomnado onam-se nulo. Assm, epandu-se. po meo do sofwae Malab, em sée de aylo de séma odem, na epessão apesenada no Apêndce A, o que pemu cancela o emo no denomnado de f ~, esolvendo o poblema. Paa melhoa a pecsão da cuva, pode-se aumena a odem da sée de aylo. Na Fgua mosou-se que a odem ulzada paa a sée de aylo epesena sasfaoamene a cuva ognal no pono de neesse.

21 ~ f eaa e apomação po sée de aylo de séma odem, em ono do pono de opeaçõ π / 6. Fgua : Cuvas da função - - Cuva eaa Cuva Apomada Função não-lnea Vaação do ângulo da aculação do joelho [ad] Função não-lnea Cuva eaa Cuva Apomada Imagem Amplada Vaação do ângulo da aculação do joelho [ad] Fone: o pópo auo Na póma seção seá apesenada uma écnca de conole com modelos fuzzy -S aplcado ao modelo maemáco não-lnea da posção da pena de um pacene paaplégco, ulzando o méodo de alocação de polos paa se obe a maz de ganho de ealmenação de esado.. REGULADOR FUZZY AKAGI-SUGENO COM ALOCAÇÃO DE POLOS

22 Nesa seção, é apesenada uma écnca de conole aplcada ao modelo maemáco não-lnea da pena de um pacene paaplégco paa vaa o ângulo do joelho. O ssema não-lnea é desco po modelos fuzzy aag-sugeno e seus ganhos são obdos com a écnca de alocação de polos. São apesenadas as condções necessáas e sufcenes paa uma alocação abáa de polos de malha fechada nas posções desejadas. ambém é apesenado o méodo de epesenação de ssemas e eguladoes fuzzy -S. O pojeo do egulado fuzzy fo consuído aavés da Compensação Dsbuída Paalela CDP. Ese méodo faz a combnação fuzzy das mazes de ganho de eoação, obdas po meo da fómula de Acemann, paa enão chega a um egulado fuzzy que esablza o ssema globalmene. O pojeo do egulado fo ealzado paa o pono de opeação de 3, so é, a ajeóa da pena sa do esado de epouso e esablza-se em 3. Paa análse da esabldade, ulza-se a eoa de Lyapunov, que é caacezada po desgualdades macas lneaes LMI - Lnea Ma Inequales... Alocação de Polos Consdeou-se que odas vaáves de esado são mensuáves e que esão dsponíves paa ealmenação. Se o ssema, & A Bu,. y C Du,.3 sendo A, B e C mazes consanes de dmensões especvamene, D uma consane escala, dmensonal do modelo, n n, n e n R o veo de esado n - u R o snal de conole e y R o snal de saída do ssema OGAA,, fo compleamene conolável, enão os polos do ssema em malha fechada podeão se alocados em quasque posções desejadas po meo de uma ealmenação de esados empegando uma maz de ganho apopada OGAA,. Essa écnca de pojeo nca-se com a deemnação dos polos de malha fechada nos locas desejados. Escolhendo uma maz de ganho apopada de ealmenação de esados, é possível foça o ssema a e polos de malha fechada nas posções desejadas, desde que o ssema ognal seja compleamene

23 conolável. O ssema é dado pelas equações de esados. e.3. A le de conole de ealmenação é defnda como, u K,.4 sendo K a maz de ealmenação de esados. Subsundo.4 em., é possível obe o ssema em malha fechada & ABK..5 Paa que seja possível a alocação abáa de polos, o esado do ssema dado po. deve se compleamene conolável. A maz de conolabldade é defnda como: n Co [ B AB... A B].6 sendo n o númeo de lnhas e colunas da maz A. Se o ssema. e.3 fo conolável, o poso da maz de conolabldade seá gual a n. Consdeando que o ssema seja de compleamene conolável, pode-se enão obe a maz de ganho K pela fómula de Acemann. Esa fómula eona os ganhos necessáos paa que os auovaloes em malha fechada se posconem onde especfcado. n K [... ][ B AB... A B] φ A.7 sendo n n φ A A αn A... αi.8 e α os coefcenes do polnômo caaceísco do ssema epesenado como n si A BK s α s... α s α.9 n n n.. Repesenação de Ssemas Fuzzy aag-sugeno A dea básca dos modelos Fuzzy aag-sugeno -S consse na descção eaa ou apomada de um ssema não-lnea como a combnação de um ceo númeo de modelos locas lneaes e nvaanes no empo AKAGI; SUGENO,

24 3 985; ANAKA; IKEDA; WANG, 998; ANIGUCHI e al., ;, podendo consdea o compoameno desse ssema em dfeenes ponos do seu espaço de esado EIXEIRA; ŻAK, 999. O ssema fuzzy S é desco pelas egas fuzzy SE-ENÃO, que epesenam localmene elações lneaes ene a enada e a saída de um ssema MACHADO, 3 A descção local da plana dnâmca, paa cada modelo lnea, a se conolada esá dsponível em emos dos modelos lneaes locas, sendo epesenada po GAINO, 9: & A B u,. y C,. sendo,,...,, é o númeo de modelos lneaes, n R o veo de esado, u R m o veo de enada, q y R o veo de saída, A R, B nn R nm e C R qn. A nfomação acma é enão combnada com as egas SE-ENÃO dsponíves, onde a -ésma ega em a foma: Rega : SE é M E...E é M p p ENÃO & A Bu,. y C Consdeando o modelo fuzzy., em-se que, po defnção, M j, j,,..., p é o conjuno fuzzy j da ega e,..., são as vaáves pemssas. p Seja µ e a função de penênca do conjuno fuzzy M j j p ϖ µ j j, [ ]... p j Como µ em-se, paa,,...,, j j j.3 ϖ e ϖ.4

25 4 Dessa foma, dado um pa, u, o ssema fuzzy esulane é do como a méda pondeada dos modelos locas, e é dado po:,,,, u B A u B A B u A B u A α α α α α ϖ ϖ &.5 sendo. ϖ ϖ α O ssema não foçado Gano, 9, U é defndo como,.,, A A A α α ϖ ϖ &.6 A saída paa os casos, foçado e não foçado, é dada po,.,, y C C C α α ϖ ϖ.7 Paa,...,,,

26 5 α e α..8 apomação de uma função A Fgua 3 apesena uma lusação do modelo -S. Uma f : R R é fea com dos modelos locas lneaes defndas pelas consanes a e a combnados com as funções de penênca α e α. A função não-lnea f desca na Fgua 3. Noe que esa função pode se apomada, paa, po f a, que é a ea angene desa cuva em. Uma apomação lnea paa esa função, paa, é f a, obseve que esa segunda apomação lnea não é ão boa quano a pmea apomação lnea, pos f e f. Adoando-se f e f como modelos locas, e as funções α e α defndas na Fgua 3 obseve que α α, um modelo fuzzy -S paa f sea α f α f, como lusado na Fgua 3. f f Fgua 3: Ilusação da apomação obda po modelos fuzzy -S. Fone: Machado 3.

27 Pode-se obseva que, paa, enão α, α e f f f e, paa, enão α, α e f f f. Fnalmene, vefque que f f popocona uma apomação da função f muo melho do que as funções f lneazação em ono de um pono de opeação ou f, paa. Se fo consdeado o númeo mao de modelos locas, a apomação ona-se mas eaa. Esse eemplo smples mosa o poencal dos modelos fuzzy -S, no aameno de funções e/ou de ssemas não-lneaes MACHADO, Reguladoes com Modelos Fuzzy aag-sugeno No pojeo de eguladoes fuzzy, paa esablza ssemas nãolneaes descos po modelos fuzzy -S, consdea-se o conceo de Compensação Dsbuída Paalela CDP, ANAKA; IKEDA; WANG, 998. A nenção é pojea um compensado paa cada ega do modelo fuzzy. Paa cada ega, é ulzada uma le de conole baseada em conole lnea. O egulado fuzzy pojeado compalha os mesmos conjunos de egas com o modelo fuzzy nas paes pemssas. Paa o modelo fuzzy.,,,...,, os eguladoes fuzzy va CDP possuem a segune esuua GAINO, 9: Rega : SE é M E... E é p M p ENÃO u K,.9 sendo,,... egulado fuzzy é dado po: Poano, de foma análoga à efeuada na obenção de.5, o u ϖ F ϖ,.3 α F. O objevo do pojeo do egulado fuzzy é deemna os ganhos de ealmenação locas F, nas paes consequenes. Subsundo a equação.3 na equação.5, em-se:

28 7 & & α A α A α B α j j α F α B F j j j j.,.3 O modelo global do ssema é obdo aavés da combnação fuzzy desses modelos lneaes locas. A dea é que paa cada modelo lnea local seja pojeado um conole de ealmenação lnea. Enão, de.3 e.8 em-se que; & & j α A A B F j j j α α α j j α. α j B F, j.3 ou seja, j A B & α α F..33 j j..4 Condções paa a Esabldade de Reguladoes Fuzzy Bascamene, um ssema é esável quando seu compoameno esse a peubações. Em ouas palavas, quando ese esabldade, a ajeóa de um ssema pemanece póma a um pono de equlíbo, caso ela comece pómo desse pono MOZELLI, 8. I. Esabldade: O pono de equlíbo e é esável se >, ε > al que e ε e,..34 Do conáo o pono de equlíbo é nsável. Segundo essa noção, esabldade mplca que, se as condções ncas se enconam em uma bola de ao ε, cenada em e, enão as ajeóas esulanes fcaão confnadas ndefndamene a uma esfea de ao, cenada ambém em e. Noa-se que esabldade como defnda aqu é um conceo local.

29 8 II. Aavdade: O pono de equlíbo e é aavo se d > al que e d lm..35 e Um pono é aavo quando ese uma esfea de ao d, cenada em e, al que ajeóas cujas condções ncas paem dessa egão convegem paa o pono de equlíbo. Noe que aavdade não mplca em esabldade e vce-vesa. O fao de uma ajeóa conveg assnocamene paa o equlíbo não gaane que a mesma pemaneceu sempe póma ao equlíbo. Po ouo lado, um pono de equlíbo é consdeado esável mesmo que a ajeóa não convja paa ele. odava, um pono de equlíbo pode se aavo e esável. III. Esabldade Assnóca: O pono de equlíbo e é assnocamene esável se é esável e aavo. Esabldade assnóca mplca que ajeóas que começam na vznhança de um pono de equlíbo ão ende ao mesmo, poém manendo-se pómas, à medda que o empo ende ao nfno. A Fgua 4 lusa odos esses conceos paa o caso em que R. Fgua 4 - Inepeação geoméca de esabldade: a esável; b assnocamene esável; c nsável. Fone: MOZELLI 8 IV. Esabldade Global: Se a esabldade assnóca vale paa quasque esados ncas, enão dz-se que o pono de equlíbo é globalmene assnocamene esável.

30 9 Um ssema é globalmene assnocamene esável quando sua baca de aação é odo o domíno de f. Gaan esabldade assnóca global é um equso mpoane ao se pojea um ssema de conole, pncpalmene quando ele pode pa de condções ncas quasque. Paa modelos fuzzy -S, defne-se a equação caaceísca do egulado de esado, e faz-se o esudo da esabldade segundo Lyapunov. De.33, defnndo G j A B F,.36 j em-se que α α j & G,.37 j j Gj G j & α G α α j,.38 < j sendo < j α α. j j j Como eemplo, paa 3: 3 < j a j a a3 a Lema O pono de equlíbo do ssema fuzzy conínuo desco po.6 paa u é assnocamene esável, globalmene, se ese uma maz sméca defnda posva comum P al que, paa A P PA <,.4,,...,, so é, paa odos os subssemas. Pova: Seja a função de Lyapunov do po V P. Dessa foma, sua devada em elação ao empo que deve se negava defnda é dada po,

31 3 V& & P P & <..4 Subsundo-se.6 em.4, em-se: V & A P P A α α <..4 V & A P α α PA <,.43 A P PA <, paa. V& α.44 Assm, A P PA <,,,...,.45 é uma condção sufcene paa.4, pos α paa,,..., e α L α. Isso conclu a pova. Aplcando-se o Lema no ssema ealmenado.38, paa que seja pojeado um egulado que esablze o ssema, é necessáo subsu.38 em.4 paa obe: V& α P G < j α G G G j α α j < G j G α α j j j P..46 Oganzando os emos da equação, em-se: V& < j α G P PG Gj G α α j j Gj G P j..47 Assm vefcando a equação.47, como α, paa,,..., e α L α, as condções a segu gaanem a esabldade assnóca

32 global do pono de equlíbo do ssema.5, ealmenado com a le de conole.3:. P >, P P ; 3. G P PG <, paa odo,,..., ; G G G G 3. j j j j P P paa < j RESULADOS Nesa seção, são apesenazas as aplcações do méodo das seção aneo paa se obe os ganhos do conolado em malha fechada, análse da esabldade segundo Lyapunov e as smulações do conolado. Nesa aplcação, o conolado deve poscona a pena do pacene em um ângulo de 3 gaus pando do epouso..3. Modelos Locas Segundo anguch e al., o númeo de modelos locas necessáos paa epesena ssemas não-lneaes com modelos fuzzy -S é gual a s, sendo s o númeo de paâmeos não-lneaes esenes no ssema. Desa foma, no modelo maemáco da aculação do joelho do pacene paaplégco, como ese uma não-lneadade em.9, deemnam-se dos modelos locas, ou seja, os véces do polopo. Deemnam-se assm os valoes mínmo e mámo da função f, consdeando que vaa no nevalo < < π / 6: com dos modelos locas: { f } a mn.49 { f } -.94 a ma.5 Defnndo as funções de penênca usadas paa solução do ssema

33 ~ f σ a σ,.5 a sendo, po defnção de combnação convea, σ σ,.5 3 σ,.53 σ..54 Enão, de.5,.5,.53 e.54 em-se que: f a σ e.55 a a f a σ..56 aa Os modelos locas deemnados, aavés dos valoes mínmo e ~ mámo da função f, são a e a. Assm os modelos locas obdos são: A,94,75,76,.57,5 A 8,76,75,76,.58,5 B 4 B..59 4,46 Compondo o modelo não-lnea em modelos locas, paa modelagem eaa, confome anguch e al., encona-se, & σ A Bu..6

34 33.3. Ganhos de Realmenação com Alocação de Polos Paa o Caso do Paaplégco Defndos os modelos locas, o pómo passo é calcula os ganhos de ealmenação ˆK e ˆK, dos eguladoes de cada modelo local no pono de opeação de 3. Pmeo, é necessáo analsa se cada modelo local é de esado compleamene conolável. Assm, subsundo-se os dos modelos locas de.57,.58 e.59 em.6, obêm-se as mazes de conolabldade Co e Co :,34 C o 5 Co,34,8.6,446,469,494 Como o poso de Co e Co é gual à dmensão de A e A em.57 e.58, o ssema é conolável OGAA,. Assm, deseja-se poscona os polos de malha fechada em ± j e. Po meo do sofwae Malab, obém-se as mazes de ganho ˆK e ˆK pela fómula de Acemann em.7. ˆ 3 K [,84,395,497],.6 ˆ 3 K [ 4,,339,497] Análse da Esabldade Paa vefca a esabldade do ssema, segundo Lyapunov, é necessáo obe a maz caaceísca do ssema ealmenado, confome obdo em.5, paa A, A, B, B, Kˆ e Kˆ de modo que sasfaçam as condções de.48, condções essas que gaanem a esabldade assnóca global do ssema. Assm, fo composo o conjuno de LMIs.64 confome a segunda condção de.48:

35 34 A B Kˆ ˆ A B K P P A B Kˆ <, A A P P A B Kˆ <, ˆ B K P P A B Kˆ <, ˆ B K P P A B Kˆ <,.64 Po meo do sofwae MALAB, com o oolbo LMI Conol, fo obda a solução do conjuno de LMIs.64. Assm, a maz comum P que sasfaz as condções confome.48 e solucona o poblema é: 3,9 4,45,96 P 4,45 7,66,97..65,96,97,58 Enão, o ssema conolado é assnocamene esável. A Fgua 5 apesena os esulados da smulação, ealzada em ambene Malab, do ssema dado em.6, baseado na modelagem aag- Sugeno, com o egulado segundo o modelo de.3. Os ganhos de ealmenação apesenados.6 e.63 foam obdos pelo méodo de alocação de polos, endo com condções ncas θ, & θ e Ma 4, 6 Nm. v v Como pode se obsevado, o ângulo θ v esablzou-se em 3,5 ad, em apomadamene,5 segundos. Vefca-se ambém que a velocdade angula do joelho θ &, aumena aé um deemnado pono e eona ao valo zeo, empo de esablzação de θ v. Po fm obseva-se o oque avo do joelho Ma poduzdo pela esmulação eléca, chegando a apomadamene 4,6 Nm.

36 35 Fgua 5 - Resposa do ssema conolado paa condções ncas θ, &, Ma,,, consdeando somene a esabldade. v θ v Posção da Pena.8 - ad.6.4. X: 4.85 Y: Velocdade Angula da Pena - ad/s 3 - N.m oque Fone: o pópo auo ].4 MODELO LINEARIZADO DO MOVIMENO DA ARICULAÇÃO DO JOELHO DO PACIENE PARAPLÉGICO Paa aplca o conolado LQR no modelo maemáco do movmeno da aculação do joelho do pacene paaplégco, que é não-lnea, fo necessáo pmeamene lneazá-lo em ono do pono de neesse, 3. As vaáves de neesse são θ, & θ e M a, o que dfee das consdeadas paa o modelo não-lnea. Defnndo as vaáves de esado, na foma: θv, & θ & v M a, e subsundo.66 em.4, encona-se 3.66

37 36 π E E J π & mglsen λe e ϖ B lnea é defnda como ~ A função f é uma não lneadade do ssema e paa o caso ~ f J mglsen λe π E E π e ϖ..68 Como no caso do modelo não lnea da seção aneo, ambém ~ pode-se vefca, em.68, que ese um poblema de ndeemnação de f na smulação, quando fo abuído o valo zeo paa, pos nesse caso, o numeado e o denomnado onam-se nulos. Assm, epandu-se.68 GAINO, 9; EIXEIRA e al., 6a, 6b, po meo do sofwae Malab, em sée de aylo de quna odem, como apesenado no Apêndce B, o que pemu cancela o ~ emo no denomnado de, esolvendo o poblema. f A Fgua 6 mosa que a odem ulzada paa a sée de aylo epesena sasfaoamene a cuva ognal no pono de neesse. O modelo lneazado é obdo, subsundo-se.69 em.9. Agoa é possível aplca a écnca do egulado lnea quadáco LQR em malha fechada, paa obe o conole do movmeno da aculação do joelho do pacene paaplégco.

38 37 ~ Fgua 6 - Cuvas da função f eaa e apomação po sée de aylo de quna odem. função não lnea Cuva Eaa Cuva Apomada Vaação do ângulo da Canela ad Fone: o pópo auo. ~ Poano, o valo de f obdo paa o pono de 3,5 ad é ~ f 4,3..69 f f epandda 5a odem.5 APLICAÇÃO COM CONROLADOR LQR Nesa seção, é poposo o uso do egulado lnea quadáco LQR OGAA,, em malha fechada, paa vaação angula da aculação do joelho de pacenes paaplégcos, po meo de esímulos elécos no músculo quadíceps. O egulado abalha com uma efeênca desejada paa ealza movmenos na aculação do joelho, pando do epouso e esablzando-se no pono desejado. Como o modelo maemáco consu uma dnâmca não-lnea GAINO, 9; EIXEIRA e al., 6, ona-se necessáo lneaza o mesmo paa que seja possível pojea o conolado lnea LQR paa um deemnado pono de opeação, nese caso eoa do Regulado Lnea Quadáco

39 A écnca de conole LQR epesena uma solução de conole nemedáa, ene as écncas de conole mas smples Popoconal Inegal e Devavo - PID e as mas compleas Pedvas, sob o pono de vsa de pojeo e equaconameno DELAORE,. O poblema do egulado ómo é encona o veo u que ealze a ansfeênca de um esado paa uma egão desejada no espaço de esados. O desempenho desejado pode se fomulado deamene em emos de índces de desempenho no domíno do empo. Os ssemas que são ajusados de modo a omza um índce de desempenho mínmo são fequenemene chamados de ssemas de conole ómo ROSA FILHO, O ssema de conole consdeado é defndo em. e.3. A le de conole de ealmenação é defnda como em.4. desempenho dado po: Paa se obe a omaldade do conole LQR mnmza-se o índce de [ Q u ] d, Iˆ Ru.7 sendo Q uma maz hemana defnda posva ou semdefnda posva ou eal sméca e R é uma maz hemana defnda posva ou eal sméca. As mazes Q e R deemnam a mpoânca elava do eo e do consumo de enega. A maz Q epesena a pondeação dos esados e R é a maz de pondeação das enadas. Se os elemenos da maz K foem deemnados de modo a mnmza o índce de desempenho, enão u K é ómo paa qualque esado ncal OGAA,. Consdeando-se uma maz K que ona o ssema.5 assnocamene esável, e subsundo-se.4 em.7, o índce de desempenho é dado po, Q K d, Iˆ RK.7 38 ˆ I Q K RK d,.7

40 no qual a ndcação de dependênca em de fo supmda po smplcdade da eposção que se segue. Consdee a esênca de uma equação dfeencal eaa al que: d Q K RK P.73 d sendo P uma maz hemana defnda posva. Consdeando.5, o lado deo de.73 é dado po: 39 d d P & P P& [ A BK P P A BK].74 Subsundo.74 em.73, em-se: Q K RK [ A BK P P A BK].75 Assm, de.74 e.75 obém-se: Q K RK [ A BK P P A BK].76 Se o ssema.5 fo assnocamene esável, enão esá uma maz P defnda posva que sasfaz.76. Poano, o índce de desempenho seá dado po: ˆ I Q K RK d P P P.77 Como o ssema.5 é assnocamene esável, e, poano, ˆ I P.78 Suponha agoa que R seja uma maz hemana defnda posva ou eal sméca, defnda como: R.79 sendo uma maz não-sngula. Subsundo-se.79 em.76, em-se:

41 4 A K B P P A BK Q K K.8 que pode se eesca como: A P PA [ K B P] [ K B P] PBR B P Q.8 Paa mnmza Î em elação a K, deve-se mnmza a epessão: [ K B P] [ K B P].8 em elação a K. A solução ocoe quando a epessão acma é gual a zeo, so é, ou seja: K K B P.83 Poano, a maz óma K é epessa po, B P R B P.84 K R B P,.85 sendo P uma maz sméca defnda posva, ou seja, P P >. Assm, a le de conole ómo do poblema de conole quadáco ómo, quando o índce de desempenho dado po.7 é lnea, é dada po: u K R B P..86 A maz P deve sasfaze a equação macal eduzda de Rcca: A P PA PBR B P Q.87 Seá apesenado gafcamene o esulado obdo a pa de dvesas smulações ulzando o Smuln. Consdeando a plana desca em. e.3, a epesenação em dagama de blocos do ssema em malha fechada, ulzando o egulado LQR, é lusada na Fgua 7, na qual a enada u é o degau e as vaáves de esado são epesenadas po θ, θ &, Ma.

42 4 Fgua 7 - Pojeo do Regulado LQR. Fone: o pópo auo. A ssemáca empegada paa a seleção da maz de ganho consuu, ncalmene, de váas smulações em busca dos melhoes valoes de Q. Paa se obe uma esposa ápda, q deve se sufcenemene gande, compaado a q, q 33 e R, sendo q, q, q33 elemenos da dagonal pncpal de Q OGAA,. A confguação da maz R fo a mesma em odas smulações. A Fgua 7 epesena a aqueua de conole LQR, sendo: A 4,3,746,76,.88,5 Adoou-se: B,.89 4,469 [ ] C..9 Q,5,.9 6 R 6..9

43 A maz óma K K K ] fo obda com o auílo do sofwae [ K3 Malab, que fonece a solução da equação de Rcca.87 paa ssemas conínuos no empo. A maz de ganho K, obda a pa de Q e R é: K ][ 996,9 77,,439 ]. [ 3 As Fgua 8 a. mosam os esulados das smulações, ealzadas em ambene Malab, do pojeo do egulado, confome a Fgua 7, endo como efeênca,5 ad ou 3. A Fgua 8 epesena o compoameno angula comum do joelho θ v, a Fgua 9 epesena a velocdade angula comum do joelho & θ e a Fgua mosa o oque avo do joelho poduzdo pela esmulação eléca M a. Como pode se obsevado na Fgua 8, o ângulo θ v esablzou-se em 3,5 ad, angndo a efeênca de enada do degau. 4 Fgua 8 - Repesenação da vaável θ v endo a efeênca gual a,5 ad..7 Posção angula da aculação ad.3.. Fone: o pópo auo. Na Fgua 9, vefca-se que a velocdade angula do joelho θ ncase pómo de,7 ad/s e eduz-se ndefndamene, apomando-se de zeo em 4 segundos, apomadamene empo s

44 43 Fgua 9 - Repesenação da vaável θ v, endo como efeênca o degau gual a,5 ad. Velocdade Angula da Aculação ad/s empo s Fone: o pópo auo. A Fgua apesena o oque avo do joelho esmulação eléca, chegando a apomadamene 4,6 Nm. M a poduzdo pela Fgua - Repesenação da vaável M a endo como efeênca o degau gual a,5 ad oque Nm empo s Fone: o pópo auo..6 CONCLUSÃO PARCIAL DO CAPÍULO As smulações com Malab mosaam a efcênca da écnca de conole com modelos fuzzy aag-sugeno em malha fechada, com alocação de polos nos modelos locas paa deemnação dos ganhos da maz de

45 44 ealmenação. Esse méodo possu vanagens sobe a écnca de conole LQR, apesenada na seção.5, pos como o modelo maemáco da aculação do joelho é não lnea, os modelos fuzzy -S pemem pojea um compensado paa cada ega do modelo fuzzy. Paa cada ega, são ulzadas les de conole baseadas em conole lnea. O egulado fuzzy global esulane, que é em geal não-lnea, é uma combnação fuzzy de cada egulado lnea ndvdual GAINO, 9. ambém, fo apesenada a eoa do egulado quadáco lnea, de empo conínuo com o objevo de calcula a maz de ganho K óma de ealmenação, de modo que a le de conole de ealmenação.4 mnmze o índce de desempenho.7 sujeo à equação de esado.. Assm, essa écnca de conole fo aplcada ao modelo maemáco lneazado, do movmeno da aculação do joelho do pacene paaplégco paa vaação angula da aculação. As smulações em malha-fechada mosaam que os ganhos pojeados conseguam esablza o ssema. Nese caso o compleo canelaonozelo pae do epouso e esablza-se no pono de opeação desejado, ou seja, 3, mosando que o LQR é uma possível alenava de conole da posção do compleo canela-onozelo de pacenes paaplégcos ulzando eleoesmulação aplcada ao músculo quadíceps. No pómo capíulo, seá apesenada a eoa dos elemenos necessáos paa se pojea um conole paalelo dsbuído com aseameno do snal, paa um ssema não-lnea. ambém, seá abodada a eoa dos mínmos quadados ecusvos, paa denfcação do ssema e dos modelos fuzzy -S.

46 45 3 IDENIFICAÇÃO FUZZY E RASREAMENO DO SINAL Ese capíulo apesena a eoa dos elemenos necessáos paa se pojea um conole paalelo dsbuído com aseameno do snal, paa um ssema não-lnea. Seá abodada a eoa dos mínmos quadados ecusvos, paa denfcação do ssema e dos modelos fuzzy -S. A movação paa o esudo de écncas de denfcação de ssemas suge do fao de que, fequenemene, não se conhecem as equações envolvdas no funconameno de um deemnado ssema ou elas são conhecdas, mas sea mpacável, devdo a lmações de empo e ecusos, levana as equações e esma seus especvos paâmeos AGUIRRE, MÍNIMOS QUADRADOS RECURSIVOS Ulzam-se écncas ecusvas paa esma paâmeos de um deemnado modelo à medda que os dados do pocesso são dsponblzados po um ssema de colea após cada peíodo de amosagem. Essa écnca ambém é úl na esolução de poblemas numécos cuja solução em baelada sea dfícl AGUIRRE, 7. A Fgua lusa de foma smplfcada como as amosas de u e y, sendo u a enada e y a saída do ssema, são coleados pelo esmado paa se obe o veo de paâmeos θˆ. Paa pequenas amosas com os dados de enada-saída do ssema, sea possível epe váas vezes o cálculo po baelada, no enano, à medda que esses dados aumenam ambém se eleva o esfoço compuaconal paa o cálculo da nvesa das mazes Φ Φ, o que não é necessáo com o méodo ecusvo paa esma o veo de paâmeos θˆ PASSINO; SEPHEN, 998.

47 46 Fgua - Ilusação de um ssema de denfcação. Fone: o pópo auo. Consdee um neo que epesena o empo dsceo e um númeo neo,, seja uma maz N N Φ Φ P, 3. sendo Φ [,,..., ]. Consdeando que θ denoa o esmado de mínmos quadados baseado sobe o os dados de enada e saída do ssema no nsane P é a maz de covaânca. Assume-se que Φ Φ é não-sngula paa odo. Se paa chega a P Φ Φ enão se pode obe o úlmo emo da soma 3. P e poano P. 3.3 P De θ Φ Φ Φ Y, 3.4

48 47 sendo, Y o veo de saída das amosas coleadas do ssema, e de 3.4, que epesena a equação paa se calcula os valoes esmados θ pelo méodo dos mínmos quadados po baelada, é possível obe. y y P y P y θ 3.5 Poano, y P θ 3.6 e assm y P θ. 3.7 Agoa, subsuído 3.3 em 3.7 obêm-se y P θ. 3.8 Com o esulado da equação 3.5, obém-se. y P y P P y P P P θ θ θ θ θ θ 3.9 Obém-se assm, um méodo paa se calcula o paâmeo esmado θ, paa cada nsane do paâmeo esmado θ, a pa do úlmo pa de dados obdo, y. Noa-se em 3.9 que y θ é o eo na pedção de y um passo a fene na esmava de θ.

49 48 Paa aualza θ em 3.9, é necessáo conhece P, enão podese usa P P. 3. Nesse momeno, sea necessáo calcula a nvesa da maz a cada eapa, ou seja, a cada nova amosa de dados. No enano, sso não é desejado paa mplemenação em empo eal PASSINO; SEPHEN, 998. O lema da nvesão de maz dz que se A, C, e C DA B são mazes quadadas não-sngulaes, enão, A BCD é nveível e, A BCD A A B C DA B DA. 3. Esse fao seá ulzado paa que não haja a necessdade de se calcula a nvesa de P que ogna de 3. e pode se usado em 3.9 paa aualza θ. Noa-se que P Φ Φ Φ Φ P. Ulzando o lema da nvesão de mazes com A P, 3. B, C I, e, obe-se-á D que, em conjuno com: I P P P P P 3.3 θ, θ θ P y 3.4 devado de 3.9, é chamado de algomo de mínmos quadados ecusvo. É necessáo nca o algomo RLS. E uma opção sea usa θ e P P, sendo P αi com α >.

50 49 Devado do méodo RLS, ambém há o algomo dos mínmos quadados ecusvos pondeados, WRLS - weghed ecusve leas squaes PASSINO; SEPHEN, 998, no qual a dedução paa se obe P é smla ao méodo RLS. Supondo que os paâmeos θ do ssema vaem lenamene, a melho escolha sea,, y V θ λ θ 3.5 com <λ, sendo chamado de fao de esquecmeno. Sua função é da um peso mao aos dados mas ecenes. Assm as equações paa WRLS são : P P I P I P λ λ. y P θ θ θ MODELO FUZZY MAMDANI Um ssema fuzzy pode se epesenado como R R b f y µ µ θ 3.7 sendo n ],...,, [ e µ a função penênca PASSINO; SEPHEN, 998. Os valoes, b R...,,, epesenam os cenos das funções de penênca de saída. Noa-se que,... R R R R R b b b f µ µ µ µ µ µ θ 3.8 e defnndo, R µ µ ξ 3.9 chega-se a

51 5 f Sendo ξ e ξ.como R θ b ξ b ξ... brξ R. 3. ξ [ ξ, ξ,... ξ R ] 3. e θ [ b, b,... b R ], 3. conclu-se que y f θ θ ξ. 3.3 O méodo dos mínmos quadados ecusvos pode se ulzado paa ena ssemas fuzzy, aleando-se po ξ em SISEMAS FUZZY AKAGI-SUGENO Um ssema Fuzzy aag-sugeno PASSINO; SEPHEN, 998 pode se epesenado como sendo: y R g R g a, a,... a, n µ, 3.4 µ 3.5 n Assm, usando a mesma abodagem paa ssemas fuzzy Mamdan, é possível vefca que y R R R a, µ a,µ a,... R R R µ µ n nµ. µ 3.6 A pa da defnção de ξ em 3.9 e eescevendo ξ e θ, obe-se-á

52 5 ξ [ ξ, ξ,... ξ, ξ, ξ,..., ξ,..., ξ, ξ,..., ξ ] n n R n R R 3.7 e θ [ a,, a,,..., ar,, a,, a,,..., ar,,..., a, n, a, n,..., ar, n ] 3.8 poano, f θ θ ξ 3.9 epesena um ssema Fuzzy -S. Assm como em um ssema fuzzy Mamdan, é possível ulza o méodo dos mínmos quadados ecusvos paa ena f θ. 3.4 CONROLE PARALELO DISRIBUÍDO COM RASREAMENO O poblema do conole po aseameno consse em deemna a enada da plana de modo que a saída desa asee um snal de efeênca desejado. O conolado do po paalelo dsbuído pode se pojeado paa foça a saída de um ssema não-lnea modelado como um ssema -S segu um snal de efeênca LILLY,. Paa um ssema não-lnea, a esaéga de conole paalela dsbuída com aseameno consse em aplca esse pocedmeno de pojeo a cada consequene do ssema fuzzy -S LILLY,. Paa o aseameno, os consequenes da plana em um ssema fuzzy são assumdos na foma: y α q y β q u, 3.3 que epesena equação de dfeenças segundo as enadas e saídas, sendo α q a a n q... a n q 3.3 e q b b q b m m q β Em 3.3, é um neo que epesena o empo dsceo, u a enada do ssema no empo e y a saída do ssema no empo. Os emos

53 5 a com,,..., n e b j com j,..., m são consanes, e q o opeado de aaso defndo como q y y Como eemplo, consdee o ssema dsceo lnea e nvaane no empo, com uma enada e uma saída, y,5 y,4 y u,6u É necessáo obe o conole u que foneça a saída no empo paa o snal de efeênca,sen,π esco como em 3.3. Assm, a le de conole. Esse ssema pode se β q u α q y 3.35 fonece o conolado po aseameno um-passo-à-fene u,6u,5 y,4 y,sen.π Um ssema fuzzy com R egas em, paa cada ega, a foma R : Se y é P e y é L P e e n y é y α q y q u β, P, enão 3.37 onde n α q a, a,q... a, nq, 3.38 m ' β q b b q... b q b β q. 3.39,,, m O conolado paalelo dsbuído com aseameno do po umpasso-à-fene paa esse ssema é um ouo ssema fuzzy com R egas na foma:, R : Se y é u P e b y é L P e e n y é ' [ q u α q y ], β, P, enão 3.4 esulando na le de conole

54 53 onde R u u ξ, 3.4 ξ,,... R são as funções base com egas fuzzy defndas em 3.9,, sendo µ a função de penênca fuzzy. 3.5 IDENIFICAÇÃO E PROJEO DO CONROLADOR Nesa seção, seá apesenada a meodologa necessáa paa se obe a denfcação do ssema e o pojeo do conolado. Paa se chega aos esulados, foam ealzadas as segunes eapas, com base na eoa apesenada nos capíulos e seções aneoes: I. Colea dos dados de enada e saída do modelo que epesenam as equações dnâmcas do paaplégco; II. Idenfcação dos paâmeos dos emos consequenes do modelo, pelo méodo dos mínmos quadados ecusvos com mapeameno fuzzy aag-sugeno; III. Pojeo do Conolado Paalelo Dsbuído com Raseameno Colea dos Dados Incalmene, fo aplcado um snal do po degau, com amplude 4 gual a P,839 [ s], paa eca o ssema, que epesena as equações dnâmcas do modelo da aculação do joelho do pacene paaplégco, confome apesenado na Fgua. Assm, fo possível obe um veo com a esposa ao snal de enada. Os valoes foam coleados com amosas a cada mlssegundos em um nevalo de 3 segundos, obendo-se assm 3 amosas Idenfcação dos Paâmeos Fo consdeado o algomo WRLS desco em 3.6 paa denfcação dos paâmeos dos emos consequenes do modelo, com base nos dados mapeados segundo o ssema fuzzy -S, como apesenado em 3.4, e endo como enada os dados coleados.

55 54 Fgua - Equações dnâmcas do modelo da aculação do joelho do pacene paaplégco epesenadas no sofwae Smuln. Fone: Gano 9. Subsundo-se po ξ em 3.6 e-se-á, P P I P I P ξ ξ ξ λ ξ λ. y P θ ξ ξ θ θ 3.4 As funções de penênca podem assum váas fomas, como a angula, apezodal, gaussana ou qualque ouo fomao, como pode se vso no Apêndce C. Paa esse pojeo, fo ulzada a do po gaussana epesenada po: ep j j j c u u σ µ Assm,

56 55 u j c j ep σ j ξ, R u j c j ep σ j 3.44 sendo R o númeo de egas,,,..., R, n o númeo de enadas, j,,..., n, σ a lagua da função e c o ceno da função de penênca. A Fgua 3 mosa um eemplo de um conjuno de funções de penênca do po gaussana. Fgua 3 - Eemplo de um função de penênca do po gaussana.. µ µ µ 3 Função penênca Fone: o pópo auo. Paa calcula o veo de paâmeos do ssema fuzzy, foam consdeados: fao de esquecmeno λ, númeo de egas R 8, α paa nca P αi, númeo de eações N 3, lagua da função de penênca σ. 4, θ. Como λ, 3.6 esume-se a 3.3 e 3.4, assm, o méodo WRLS ona-se o méodo RLS. Paa o enameno dos paes de dados coleados, y, o númeo de eações de 3.6 fo gual a N 3. Após essas eapas foam obdos os paâmeos dos emos consequenes θ, apesenados no Apêndce D. RLS RLS