Vibração simples de partículas

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1 Capítulo Vibração imple de partícula Agora, aplicaremo o conceito do capítulo anterior para reolver o problema de um itema maa-mola imple ob vibração livre e forçada. Além de realizamo a imulaçõe numérica, erão apreentado o pao báico para a criação de uma animação imple para o problema. Em muita ituaçõe, o reultado numérico não ão capaze de elucidar, por completo, o comportamento fíico de um determinado problema, endo neceária a utilização de ferramenta que conigam repaar alguma informação viual obre o fenômeno. Conidere um corpo de maa m obre uma uperfície em atrito e preo na extremidade de uma mola com contante elática k. A outra extremidade da mola etá prea em uma parede rígida, conforme motra a figura.. Pela egunda lei de Newton, a equação do movimento erá: m d x = F (t) kx (.) dt em que F (t) é uma força externa reponável pela vibração do itema. O termo kx repreenta a força elática para pequena deformaçõe []. Será coniderado que o corpo etá inicialmente em repouo e na origem (poição de relaxamento da mola). A equação. repreenta uma EDO de egunda ordem. Para obter a olução, vamo repreentá-la em um diagrama de bloco, conforme motra a figura.. Para imular o movimento, erão coniderado o valore arbitrário: m =, kg e k = 5 N/m. O itema erá analiado de dua forma: (i) em vibração livre e (ii) em vibração forçada. A vibração livre é repreentada pela aplicação de uma força que atuará obre o corpo apena no início do movimento (impulo). A vibração forçada erá repreentada por uma força que acompanhará o corpo em todo movimento. Como a equação. é uma EDO de egunda ordem, vamo reolver o diagrama com o método de Runge-

2 motra a figura 3. Pela egunda lei de Newton, a equação do movimento erá: m d x dt = F(t) kx () m d x dt = F(t) kx () em que F(t) é uma força externa reponável pela vibração do itema. O termo kx repreenta em que F(t) a força é uma elática. força externa Será coniderado reponável que pela o corpo vibração etá do inicialmente itema. O em termo repouo kx e repreenta na origem a (poição força elática. de relaxamento Será coniderado da mola). que A o equação corpo etá () repreenta inicialmente uma em EDO repouo de egunda e na origem ordem. (poição Para obter de relaxamento a olução, vamo da mola). CAPÍTULO repreentá-la A equação. em VIBRAÇÃO () um repreenta diagrama SIMPLES uma de EDO bloco, de conforme egunda ordem. motra Para a figura obter 4. a olução, vamo repreentá-la em um diagrama de bloco, conforme motra a figura 4. Parede Parede fixa fixa F(t) k F(t) k m m FIGURA 3. SISTEMA MASSA-MOLA. FiguraFIGURA.: 3. Sitema SISTEMA MASSA-MOLA. maa-mola. F(t) F(t) Σ m - Σ m F() F() x() F() F() x() x(t) x(t) x() x() k - k - FIGURA 4. DIAGRAMA DE BLOCOS NA FORMA DIRETA PARA O SISTEMA MASSA-MOLA. FIGURA 4. DIAGRAMA DE BLOCOS NA FORMA DIRETA PARA O SISTEMA MASSA-MOLA. Figura Para.: imular Diagrama o movimento, de blocoerão na forma coniderado direta o para valore o itema arbitrário: maa-mola. m =, kg e k = Para 5 N.m. imular O itema o movimento, erá analiado erão coniderado dua forma: o valore (i) em vibração arbitrário: livre m e = (ii), em kg vibração e k = 5 forçada. N.m. O itema A vibração erá livre analiado é repreentada de dua forma: pela aplicação (i) em vibração de uma força livre e que (ii) atuará em Kutta vibração obre deo forçada. quarta corpo ordem apena A vibração (ode4) no início livre comdo é repreentada pao movimento fixo depela (impulo).,. aplicação A vibração de uma forçada que erá atuará repreentada obre o corpo por uma apena força no que início acompanhará do movimento o corpo (impulo). em todo A movimento. vibração forçada Como a erá equação repreentada () é uma por uma EDO força de egunda que acompanhará ordem, vamo o corpo reolver em todo o movimento. diagrama com Como o método a equação.de Runge-Kutta () Vibração é uma EDO de 4 livre a ordem egunda (ode4) ordem, com pao vamo fixo reolver de,. o diagrama com o método de Runge-Kutta de 4 a ordem (ode4) com pao fixo de,. A figura.3 motra o diagrama de bloco no Simulink. Para repreentar o impulo de uma força, uamo o bloco Step que etá na pata Source da biblioteca de bloco. Conforme motra a figura.4(a), ete bloco aplica uma função de Heaviide no inal (função degrau). Para acear a configuraçõe da função, bata clicar dua veze no bloco. Para aplicar o impulo obre o corpo, vamo utilizar doi bloco da função degrau e um bloco omador. Configure o doi primeiro bloco para iniciarem o degrau em t e t+ t, repectivamente. Em eguida, conecte-o no bloco omador e configure para negativo a entrada do degrau que inicia em t + t (figura.3). Deta forma, o bloco omador irá ubtrair o primeiro degrau (figura.4(a)) do egundo (figura.4(b)) e o inal reultante erá um pulo retangular com largura t (figura.4(c)). Para aumentar a intenidade do

3 .. VIBRAÇÃO LIVRE 3 Step F To Workpace Gain Integrator Integrator3 Gain Scope Step Integrator x To Workpace Integrator Gain 5 Figura.3: Diagrama de bloco na forma direta para o itema maa-mola com impulo unitário (verão Simulink).,,5 S in a l (a ) In te n id a d e d o in a l,,,5,,,5 S in a l S in a l - S in a l (b ) (c ), T e m p o ( ) Figura.4: Geração de um pulo unitário com dua funçõe de Heaviide. inal reultante, coloque um bloco amplificador apó o bloco omador. No exemplo da figura.3, a amplificação é N e t =, com t =,. Faça também a conexão de um bloco To Workpace no inal de entrada e outro no inal de aída. Uaremo ete dado para programar a animação do i-

4 4 CAPÍTULO. VIBRAÇÃO SIMPLES tema maa-mola. A olução é apreentada na figura.5. Oberve que, apó a aplicação do impulo, o itema ocila indefinidamente com uma amplitude de, m.,,, -, -, 8 6 I = F x t = re a = x, = N 4,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, T e m p o ( ) (a ) (b ) Figura.5: (a) Amplitude do itema de maa-mola devido a aplicação de um (b) impulo unitário. Durante a aplicação da força, o itema adquire energia cinética e energia potencial elática. No entanto, apó a força er retirada do itema, a energia mecânica é conervada: e a amplitude de ocilação erá: mv máx = kx máx x máx = ± ω v máx (.) k em que ω = = 5 rad/ é a frequência natural de ocilação e a velocidade m v máx pode er calculada pela definição de impulo: F t = mv máx em que t =, e F = N. Logo, v máx =, m/. Subtituindo ete reultado na equação., obtemo x máx = ±, m. Com a frequência natural

5 .. VIBRAÇÃO LIVRE 5 de ocilação podemo calcular também a frequência (f,8 Hz) e o período (T,6 ) de ocilação. Podemo etudar também o comportamento da energia com o bloco Derivative (diponível na pata Continou ) e To Workpace. Com ete bloco poicionado no formato da figura.6, obtemo o comportamento da velocidade do corpo. Para calcular a energia potencial elática, cinética e mecânica, bata digitar o comando da figura.7 em um arquivo.m. Step F To Workpace Gain Integrator Integrator3 Gain Scope Step Integrator x To Workpace Integrator du/dt v Gain Derivative To Workpace 5 Figura.6: Diagrama de bloco na forma direta para o itema maa-mola com a implementação do cálculo da velocidade (verão Simulink). Figura.7: Código para calcular a energia cinética e potencial elática do itema maa-mola. O dado ão alvo em um arquivo de texto dado.txt. O comportamento da energia cinética, potencial elática e mecânica etá repreentado na figura.8. Devido ao impulo, o itema adquire, inicialmente, energia cinética e energia potencial elática. Apó a força externa er retirada, a energia mecânica é conervada (U + K = contante). Note que a função que decreve a força na figura.8(b) poderia ter o mai variado formato. Coniderando que a área abaixo da curva eja unitária em qualquer ituação, o impulo erá empre o memo, podendo, incluive, er repreentado por uma função delta de Dirac.

6 6 CAPÍTULO. VIBRAÇÃO SIMPLES,6,4,, 8 6 4,,5,,5,,5 3, Figura.8: (a) Energia do itema devido a aplicação de um (b) impulo mecânico de N.. Vibração forçada Para etudar a vibração forçada, aplicamo o memo procedimento. A única diferença etá no inal de entrada. Para forçar a vibração, podemo uar o bloco da pata Source. Na eção anterior uamo o bloco Sine Wave ; deta vez uaremo o bloco Repeating Sequence que define o inal no formato de uma onda dente de erra. O diagrama para a vibração forçada etá na figura.9. Com criatividade, você pode montar o eu próprio inal de entrada aim como fizemo para montar um pulo com doi degrau. O período de cada dente da erra foi definido como,. O comportamento da energia do itema, amplitude de ocilação e a força externa etão repreentado na figura.. Como o itema não é conervativo, a energia mecânica é função do tempo. Repare que a frequência natural de vibração não etá em fae com a frequência de excitação..3 Animação Neta eção, etudaremo a animação de um itema maa-mola com o dado obtido no Simulink. A animação erá criada com um loop de vário gráfico. Cada figura poui apena um ponto que repreenta a poição

7 .3. ANIMAÇÃO 7 F To Workpace Repeating Sequence Gain Integrator Integrator3 Gain Integrator Scope x To Workpace Integrator Gain du/dt Derivative v To Workpace 5 Figura.9: Diagrama de bloco na forma direta para a vibração forçada de uma partícula (verão Simulink). 6, 4,, (a ) K E m e c = K + U U, (b ),5, -,5, 5,, (c ) T e m p o ( ) Figura.: (a) Energia e (b) poição da partícula em um itema maamola excitado por uma (c) força externa periódica no formato de dente de erra. intantânea da partícula. Aim, e a imulação é realizada em um intervalo de tempo de com pao de,, haverá um loop com gráfico. Note que para criar a animação, não é recomendado uar um pao de integração

8 8 CAPÍTULO. VIBRAÇÃO SIMPLES pequeno, exceto e a configuração do computador for adequada. Apó realizar a imulação no Simulink e exportar o dado para a janela de comando no MatLab, abra um arquivo.m e alve-o. Nele, digite o código da figura.. Figura.: Código para animar o movimento de uma partícula ob atuação de uma força elática. O comando length(tout) mede o comprimento da matriz tout. Aim, e ete vetor poui linha ( intante de tempo), o comando for realizará um loop com ciclo e, portanto, gráfico. O comando plot etá repreentando a coordenada x(i) da partícula no eixo horizontal e a coordenada y(i)= no eixo vertical. A demai funçõe dete comando repreentam a forma geométrica do ponto ('o') com diâmetro de 4 unidade relativa ('MarkerSize',4) e face na cor vermelha ('MarkerFaceColor','r'). O comando axi([x,x,y,y]) trava o eixo horizontal e vertical no valore declarado. Oberve que no eixo horizontal, foram utilizado o comando min(x) e max(x). Ete comando encontram o menor e o maior valor da variável x. O comando xlabel e ylabel permitem nomear o eixo do gráfico. O código reponável por capturar a figura e tranformá-la em uma animação é o getframe. Dentro dete comando, a função gcf ignifica get current figure e ela é a reponável por gravar a informaçõe da figura atual. O detalhe de cada figura é armazenada na variável mov(i) que erá utilizada para produzir a animação. Para gerar o vídeo, utilizamo o comando movieavi. Ete comando converterá o conjunto de gráfico em um vídeo com extenão avi. No primeiro campo dete comando, deve er informado o vetor que armazena o gráfico do loop (mov). Em eguida, deve er informado o nome do arquivo ('myfirtmovie.avi') e o método de compreão do vídeo ('compreion','none'). Se você não poui uma boa placa de vídeo e a animação poui muita informação, é ugerido comprimir o arquivo (viite a página oficial do MatLab para maiore informaçõe). No meu computador, o vídeo gerado poui 7 Mb (um notebook velhinho). Em verõe mai atuai do MatLab, o comando movieavi foi ubtituído por VideoWriter que permite a converão para, também, MP4. A figura

9 .3. ANIMAÇÃO 9. motram doi quadro da animação. Não foi neceário utilizar compreor, poi a animação poui apena um ponto. Para deixá-la mai real, preciamo colocar a mola Figura.: Partícula ob atuação de uma força elática. A figura motram / quadro gerado na animação. FIGURA. POSIÇÕES DE UMA PARTÍCULA EM UM SISTEMA MASSA-MOLA. AS FIGURAS MOSTRAM / QUADROS GERADOS NA ANIMAÇÃO. Cada epira da mola erá repreentada por trê egmento de reta (egmento Cada, epira 3 e 4 da ) conforme mola erá motra repreentada a figura por.3 trê com egmento a mola de na reta poição (egmento de relaxamento (x i = ). Se a mola poui uma única epira, erão utilizado, 3 e 4 ) conforme motra a figura 3 com a mola na poição de relaxamento (x i = ). mai Se doi a mola egmento poui horizontai uma única para epira, fixação erão (egmento utilizado mai e 5 doi ). Aegmento coordenada xpara 5 e xfixação 4 ão fixa, (egmento poi a coordenada e 5 ). A xcoordenada 5 etá preaxem 5 e xuma 4 ão uperfície fixa, poi a horizontai coordenada imóvel. Ax 5 partícula etá prea etá em na uma poição uperfície x i e imóvel. conectada A partícula ao egmento etá na. poição A co-ordenada no do egmento egmento. A coordenada até 4 ão móvei, do egmento poi deverão até acompanhar 4 ão móvei, opoi deverão movimento acompanhar da partícula o movimento duranteda apartícula animação. durante O comprimento a animação. O decomprimento todo o i e conectada de egmento todo egmento ão contante. ão contante. y (-x 3, y 3 ) Parede 4 fixa 5 3 (-x, ) (-x 5, ) (-x 4, ) (-x, -y ) (x i, ) x FIGURA 3. ESPIRA DE UMA MOLA PROJETADA EM DUAS DIMENSÕES. Figura.3: Epira de uma mola projetada em dua dimenõe. A coordenada x e y do ponto da figura 3 erão obtida com o auxílio da figura A 4. coordenada Coniderando x euma y do deformação ponto daxfigura i na.3 mola, erão o eu obtida comprimento o auxílio total erá D da + xfigura i = d w. Aim, Coniderando a cateto horizontal uma deformação w do egmento x i, o, eu 3 e comprimento 4 é dado por: total erá D + x i = d + 4w. Aim, a cateto horizontal w do egmento, w = (D d + x 4 i) () e o cateto vertical erá: h = H w () em que H é a comprimento do egmento. Para calcular h devemo definir um valor mínimo para H que erá obtido quando a partícula atingir ua poição x i(máx). Quando

10 3 e 4 é dado por: CAPÍTULO. VIBRAÇÃO SIMPLES w = 4 (D d + x i) (.3) e o cateto vertical erá: h = H w (.4) em que H é a comprimento do egmento. Para calcular h devemo definir um valor mínimo para H que erá obtido quando a partícula atingir ua poição x i(máx). Quando a mola etiver completamente tracionada (que erá coniderado, por ora, quando todo o egmento etiverem na horizontal), H min erá dado pela equação D + x i(máx) = d + 4H min ou: H min = 4 (D d + x i(máx)) (.5) que é obtida a partir da equação.3, poi quando todo o egmento etão H min = na horizontal, (D d w + 4 = x Hi(máx)) (3) min. D y x i Parede fixa x h h d w w w d FIGURA 4. DIMENSÕES DA ESPIRA DE UMA MOLA PROJETADA EM DUAS DIMENSÕES. Figura.4: Dimenõe da epira de uma mola projetada em dua dimenõe. A equação (3) não imula a condição de uma mola real, poi a mola, nete cao, Aterá equação a aparência.5 nãode imula uma deformação a condição plática de uma quando mola real, todo poi o aegmento mola, etiverem nete cao, na horizontal. terá a aparência Para corrigir de uma o problema, deformação a equação plática (3) deve quando er: todo o egmento etiverem na horizontal. Para corrigir o problema, a equação.5 H deve = C er: (D d + x 4 i(máx)) (4) em que C é um fator de correção H min = que C trataremo mai adiante. Logo, com a equaçõe (), () e (4) e a declaração inicial da 4 (D d + x i(máx)) (.6) variávei D, d e o fator de correção C, podemo calcular em quea Ccoordenada é um fatordo de correção egmento que até trataremo 5 função maida adiante. poição Logo, x i da partícula com (veja a equaçõe a tabela.3, ). Com.4 e ete.6 e dado a declaração é poível inicial inerir da a variávei mola com D, duma e oepira fator na animação: de correção C, podemo calcular a coordenada do egmento até 5 em função da poição x i da partícula (veja a tabela.). Com ete dado clc é poível inerir a mola com uma epira na animação. O código e algun figure quadro da animação etão repreentado na figura.5 e.6. for i=:length(tout) % Parâmetro de contrução da mola D=.5; % Comprimento total (m) d=.5; % Comprimento do conectore (m) C=.; % Fator de correção w=.5*(d-*d+x(i)); % Cateto horizontal de um egmento da epira H=C*.5*(D-*d+max(x));% Comprimento de um egmento da epira h=qrt(h^-w^); % Cateto vertical de um cateto da epira % Coordenada do egmento da mola x=x(i)-d; y=; x=x-w; y=-h; x3=x-*w; y3=h; x4=-d+d; y4=;

11 .3. ANIMAÇÃO Figura.5: Código para animar o movimento de uma partícula ob atuação de uma força elática. Oberve que temo ei comando plot no código. O primeiro cinco ão reponávei por repreentar a mola e o último é reponável por repreentar a partícula. Em um loop com apena um comando plot, o MatLab faz o gráfico olicitado pelo comando atual e apaga a repreentação gráfica do comando anterior. Foi aim que fizemo a animação da figura.. Porém, quando há mai de um comando plot durante um ciclo do loop, o MatLab enxerga apena o último comando plot e ignora o demai. Para evitar ete problema, uamo o comando hold on (ou hold all) logo apó o primeiro plot (veja o código). Com ito, todo o plot erão obrepoto em um memo gráfico. Apó o último plot do ciclo é obrigatório inerir a função hold off. Cao contrário, o gráfico de todo o ciclo erão obrepoto em uma única imagem (Dica do autor: e você não tem uma boa placa de vídeo, não tente fazer io. Ele e arrependeu.). Na organização da linha do código, é importante que a repreentação gráfica da partícula eteja apó a repreentação gráfica da mola. Com io, parte do egmento de reta erá obrepoto pela partícula e criará a iluão

12 CAPÍTULO. VIBRAÇÃO SIMPLES Tabela.: Coordenada do ponto da figura.4 e.3. Coordenada x Coordenada y x = x i d y = x = x w y = h x 3 = x w y 3 = h x 4 = D + d y 4 = x 5 = D y 5 = de conexão entre ete doi objeto. Além dio, o eixo do gráfico devem pouir aproximadamente a mema largura para evitar que a epira mudem o tamanho aparente. Ete efeito etá evidente na figura.6 (oberve a mudança aparente no comprimento do egmento, e 3 ) Figura.6: Partícula ob atuação de uma força elática. / quadro ão apreentado. A mola poui uma única epira. Para imular uma mola com dua epira, adicionamo uma epira no ponto x 4 da figura.3 e criamo mai doi ponto (veja a tabela.). Coniderando que o comprimento da mola é o memo e o número de cateto horizontai foi duplicado, o comprimento da mola erá D + x i = d + 8w. Aim, w é repreentado por: w = 8 (D d + x i) (.7) O parâmetro h e H permanecem o memo. Inerindo a equação.7 e o ponto da tabela. no modelo, obtemo a animação ilutrada na figura.7. Para criar uma mola com n epira, a equação.3 deve er generalizada

13 .3. ANIMAÇÃO 3 Tabela.: Coordenada do egmento de uma mola com dua epira. Coordenada x Coordenada y x = x i d y = x = x w y = h x 3 = x w y 3 = h x 4 = x 3 w y 4 = h x 5 = x 4 w y 5 = h x 6 = D + d y 6 = x 7 = D y 7 = Figura.7: Poiçõe de uma partícula em um itema maa-mola. / quadro ão apreentado. A mola poui dua epira. para uma mola com nw cateto, aim: w = 4n (D d + x i) (.8) e a mola erá repreentada pelo código apreentado na figura.8. O código Figura.8: Código para contrução de uma mola com n epira. completo etá na figura.9 e animação é ilutrada na figura..

14 4 CAPÍTULO. VIBRAÇÃO SIMPLES Figura.9: Código para animação de um itema maa-mola imple. O fator de correção na equação.6 depende do número de epira da mola. Para obter uma relação direta entre ete doi parâmetro, igualamo.6 com.8 quando w = H. Aim: C min = n (.9) Oberve que no código anteriore, uamo C =,, para a mola com uma epira (n = ), e C =,3 para a mola com dez epira (n = ). Neta dua ituaçõe, C min = e,, repectivamente. Quando ete valore ão uado, a mola adquire a aparência de deformação plática. Logo, para imular condiçõe mai realítica: C > n (.) Com o itema maa-mola inerido, podemo adicionar mai iten e tornar a animação mai informativa. Além da repreentação gráfica do movimento, podemo inerir o comportamento do gráfico de força, poição

15 .3. ANIMAÇÃO Figura.: / quadro da animação de um itema maa-mola. A mola poui dez epira. ou energia e o vetore de força. O código da figura., ilutrado na figura figura., apreenta o itema maa-mola, o vetore de força, a evolução temporal da força externa, reponável pela vibração forçada, e a força elática. O leitor poderá complementar o código conforme deejar. Tudo dependerá da imaginação! Para inerir o gráfico, uamo o comando ubplot(m,n,p) em que m é o número de linha, n o número de coluna e p a poição de um gráfico na matriz m n. O vetore de força foram programado para mudar o tamanho de acordo com a ua intenidade no gráfico força veru tempo. O comprimento do vetore foram normalizado em relação à força externa. Com eta animação, podemo etudar ituaçõe particulare como a reonância e o batimento, conforme apreentam o exemplo a eguir. Outro exemplo de vibração livre e forçada podem er aceada na ref. [] e [3]. (Exemplo ) Reonância: A reonância é o aumento gradativo e decontrolado da amplitude de vibração. Para que io ocorra, o itema não deve ter nenhum mecanimo de amortecimento e er excitado por uma força externa periódica cuja frequência deve er igual à frequência natural de vibração. Em um itema maa-mola com vibração forçada, a amplitude de vibração A no regime etacionário, é dada por [4]: A = [ k F ( ) ], (.) ω ω em que ω é a frequência da excitação externa, repreentada por F = F in(ωt), e ω é a frequência natural de vibração. Oberve que A aumenta ubitamente

16 6 CAPÍTULO. VIBRAÇÃO SIMPLES Figura.: Código para animação de um itema maa-mola imple. quando ω ω, podendo deformar a mola platicamente. Para imular a reonância no Simulink, uaremo o bloco Sine Wave como excitação ex-

17 .3. ANIMAÇÃO 7 5 Externa - F ext Elática - F e 5 Externa - F ext Elática - F e Força (N) -5 - Força (N) Tempo () Tempo () - F e F ext - F e F ext Figura.: / quadro da animação de um itema maa-mola em reonância. A curva em azul repreentam a força externa a curva em preto repreentam a força elática. terna no diagrama da figura.9. A frequência angular é igual à frequencia natural de vibração (ω = 5 rad/). O reultado é apreentado na figura.3 e motra que a força elática aumenta continuamente e em controle, enquanto a excitação externa atua de forma periódica no corpo. A animação completa é apreentada na ref. [5]. O aumento linear da amplitude de vibração, durante a reonância, obedece a relação [6]: A = F t mω, em que t é um intante de tempo qualquer. (Exemplo ) Batimento: Quando a frequência da excitação externa é diferente, ma próxima da frequência natural de vibração, ocorre um fenômeno chamado batimento [6]. Devido a diferença de frequência angular, haverá intante em que a onda etarão em fae e momento em que etarão π radiano fora de fae. Quando etiverem π radiano fora de fae, haverá a interferência detrutiva e a onda reultante terá amplitude nula. Quanto etiverem em fae, ocorrerá a interferência contrutiva e a amplitude e omam. Nete momento, a onda reultante atinge ua maior amplitude. Ete ponto é chamado de batimento e é um efeito comum em aparelho muicai. A frequência de batimento, i.e., a frequência de amplitude máxima da onda reultante é dada por [7]: ω batimento = ω ω, em que ω e ω ão a frequência natural e de excitação, repectivamente. O itema maa-mola operando em regime de batimento foi imulado com

18 8 CAPÍTULO. VIBRAÇÃO SIMPLES Força (N) Força (N) Tempo () Tempo () - F e F ext - F e F ext Figura.3: / quadro da animação de um itema maa-mola em reonância. A curva em azul repreentam a força externa a curva em preto repreentam a força elática. ω = 6,, ω = 5, rad/ e t 5. A força periódica externa é dada por F = F in(ωt). O diagrama de bloco é o memo utilizado na imulação da reonância. Aim, a frequência de batimento permaneceu em, rad/. Ito ignifica que a amplitude máxima de vibração (batimento) é obtida em intervalo de π egundo, conforme motra a figura Força (N) Força (N) Tempo () Tempo () - F ext F e - F e F ext Figura.4: / quadro da animação de um itema maa-mola em regime de batimento. A curva em azul repreentam a força externa a curva em preto repreentam a força elática.

19 Referência Bibliográfica [] S. T. Thornton, J. B. Marion, Dinâmica Cláica de Partícula e Sitema (Cengage Learning, São Paulo, ). [] Diego Duarte, Vibração livre de uma partícula, Canal no YouTube, [3] Diego Duarte, Vibração forçada de uma partícula (Simulink/MATLAB), Canal no YouTube, [4] J. L. Meriam L. G. Kraige, Mecânica para Engenharia - Dinâmica (LTC, Rio de Janeiro, 3). [5] Diego Duarte, Reonância durante a vibração de uma partícula, Canal no YouTube, [6] J. B. Neto, Mecânica: Newtoniana, Lagrangiana e Hamiltoniana (Editora Livraria da Fíica, São Paulo, 3). [7] P. A. Tipler, G. Moca, Fíica para Cientíta e Engenheiro (LTC, Rio de Janeiro, 4). 9