RETA DE MÁXIMA DECLIVIDADE

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1 TRI 1 Aula 7 Profª Mariana Gusmão Dept. Expressão Gráfica RETA DE MÁXIMA DECLIVIDADE A reta de máximo declive é a reta de um plano que forma o maior ângulo possível com π 1. Para isso ela tem que ser perpendicular ao traço do seu plano com π 1. Para entender melhor o porque dessa última condição analisemos a figura abaixo. Tomemosoplano π 1 (planob na figura) eoplano(a) quefaz um ângulode 45 com relação a π 1. O plano (A) contém infinitas retas que podem ocupar diferentes posições no plano (algumas dessas posições estão desenhadas na figura abaixo). Essas diferentes retas podem fazer diferentes ângulos com relação a π 1 que variam de 0 a 45. Mas somente as retas que são perpendiculares ao traço fazem o ângulo máximo que é 45 na situação da figura abaixo. Portanto a reta(s)éaretademaiordeclivedoplano(a). 1

2 RETA DE MÁXIMA INCLINAÇÃO Se a mesma análise for estendida aos planos que possuem traço em π 2 podemos afirmar que toda reta do plano que formar um ângulo reto com o traço vertical do plano formará o maior ângulo possível com π 2 e essas retas são as retas de máxima inclinação. Lembrando que: 1.Paraqueumaretasejaparalelaaumplanoésuficientequesejaparalelaaumareta desse plano. 2.Sobre um plano qualquer de projeção os traços de dois planos paralelos são paralelos porque as interseções de dois planos paralelos por um terceiro são paralelas. Teorema: Para que dois planos de traços concorrentes sejam paralelos é suficiente que os traços de mesmo nome sejam paralelos. 2

3 EXEMPLOS: 1) Por um ponto dado passar uma reta paralela a um plano dado. Estratégia: Para que uma reta seja paralela a um plano é preciso que ela seja paralela a pelo menos uma reta desse plano. Portanto deve-se tomar uma reta qualquer do plano no caso a reta AB e passar pelo ponto dado uma paralela a ela. Para traçar uma reta qualquer de um plano temos que usar uma das cinco condições de pertinência de reta a plano (aula 5). Nesse caso usamos a primeira condição que diz que quando uma reta possui dois pontos distintos sobre um plano pertence a ele. 2) Por um ponto dado fazer passar um plano paralelo a uma reta dada. Estratégia: Para que um plano seja paralelo a uma reta basta que ele contenha uma reta paralela a essa reta. Portanto deve-se tirar pelo ponto dado uma paralela a reta dada e todo plano que contiver essa reta paralela resolve a questão. 3

4 3) Por um ponto dado fazer passar um plano paralelo a um plano dado. Estratégia: Para serem paralelos entre si os planos devem ter traços de mesmo nome paralelos. Basta portanto obter um ponto de um dos traços do plano procurado pelo ponto dado para isso pode-se usar uma reta paralela a π 1 e oblíqua a π 2 e a π 3 do plano pedido. Por P 1 traçar uma paralela a α 1 até tocar a linha de terra acha T 1. Por T 1 sobe linha de chamada. Por P 2 traça paralela a π 1 até encontrar a linha de chamada de T 1 acha T 2 temos o traço vertical do plano procurado. Traçar uma paralela a α 2 por T 2 acha β 0 e por esse ponto traçar uma paralela a α 1 achando o plano procurado. 4) Por uma reta dada passar um plano paralelo a outra reta dada. Estratégia: Por um ponto qualquer de AB (ponto E) traçar uma paralela a CD que será FG. O plano que conterá as retas concorrentes AB e FG será paralelo à reta CD (ver segunda condição de pertinência de reta a plano aula 5). Ou seja basta que o plano procurado tenha uma reta paralela à reta CD para que ele seja paralelo a ela. Tomar um ponto qualquer de AB o pontoeeporeletraçarumaparalelaàcd reta FG. Em seguida achar um plano que contenha FG ou seja os pontos F e G tem que estar contidos nos traços do plano. 4

5 Teorema: Quando uma reta é perpendicular a um plano a sua projeção sobre um plano qualquer é perpendicular ao traço do plano dado sobre o plano de projeção. O plano AFB é perpendicular a π 1 e à α podemos dizer isso porque AFB contém retas perpendiculares a esses dois planos que são AF e AB respectivamente. Logo AB é perpendicular à interseção dos dois planos. EXEMPLOS: 1) De um ponto dado baixar uma perpendicular a um plano dado. Para que uma reta seja perpendicular a um plano cujos traços são concorrentes basta que suas projeções sejam perpendiculares aos traços de mesmo nome do plano. Portanto para resolver esse problema é necessário apenas baixar perpendiculares do ponto dado sobre os traços correspondentes do plano. 5

6 2) Por um ponto dado tirar um plano perpendicular a uma reta dada. Estratégia: Pode-se tirar uma reta paralela a π 1 e oblíqua a π 2 e a π 3 pelo ponto dado. Em seguida basta que a projeção da reta em π 1 seja perpendicular à projeção em π 1 da reta dada ou seja A 1 B 1. O plano α é perpendicular a AB porque seus traços são perpendiculares às projeções de mesmo nome da reta. 1.Traçar por C 2 uma paralela a linha de terra; 2.Traçar por C 1 uma perpendicular a A 1 B 1 encontrando D 1 levanta linha de chamada; 3.Onde essa linha encontrar a paralela à linha de chamada temos D 2 ; 4.Traçar B 2 D 2 que é perpendicular à A 2 B 2 até encontrar a linha de terra achando o traço vertical do plano procurado α 2 e também α 0 ; 5.Por α 0 traçar uma paralela a C 1 D 1 também perpendicular a A 1 B 1. 3) Por um ponto dado tirar um plano perpendicular a um plano dado. Estratégia: Para que os dois planos sejam perpendiculares entre si é suficiente que um deles contenha uma reta perpendicular ao outro plano. Portanto do ponto dado é necessário baixar uma perpendicular sobre o plano dado e todo plano que passar por essa reta será perpendicular ao outro plano. 1.Por A 1 traçar uma perpendicular ao traço α 1 achando V 1 na linha de terra; 2.Por A 2 traçar uma perpendicular ao traço α 2 achando V 2 na linha de chamada que sai de V 1 ; 3.Ligar V 2 a A 2 e prolonga até a linha de terra achando H 2 baixar uma linha de chamada; 4.Ligar V 1 a A 1 achando H 1 na linha de chamada; 5.Estabelecer β 0 em um ponto qualquer da linha de terra; 6.Ligar esse ponto ao traço H 1 e depois ao traço V 2. 6