GEOMETRIA DESCRITIVA. Professor: Luiz Gonzaga Martins, M.Eng. Acadêmica: Suelen Cristina da Silva

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2 GEOMETRIA DESCRITIVA Professor: Luiz Gonzaga Martins, M.Eng. Acadêmica:

3 SUMÁRIO DICAS PARA OS ALUNOS BREVE HISTÓRIA PROJEÇÃO MÉTODO BIPROJETIVO A ÉPURA COMO REPRESENTAR UM PONTO NA ÉPURA PLANOS BISSETORES SIMETRIA RETAS TRAÇOS DE RETAS PERTINÊNCIA DE PONTO À RETA POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS DE PERFIL PLANOS PERTINÊNCIA DE RETA AO PLANO PERTINÊNCIA DE PONTO AO PLANO PLANOS NÃO DEFINIDOS PELOS SEUS TRAÇOS RETAS DE MÁXIMO DECLIVE (RMD) E RETAS DE MÁXIMA INCLINAÇÃO (RMI) PARALELISMO INTERSEÇÃO DE PLANOS TRAÇO DE RETA SOBRE PLANO PERPENDICULARISMO MUDANÇA DE PLANO DE PROJEÇÃO ROTAÇÃO REBATIMENTO ALÇAMENTO PROBLEMAS MÉTRICOS APLICAÇÃO DA GEOMETRIA DESCRITIVA EM TELHADOS EXERCÍCIOS...171

4 DICAS PARA OS ALUNOS Recomenda-se que o estudante dedique igual número de horas de estudo domiciliar quantas forem as horas/aulas semanais. Entretanto o estudo deverá ser dividido em vários períodos de tempo máximo de 15 minutos, onde o aluno deverá gastar bastante tempo procurando visualizar os objetos no espaço. O aluno deve evitar fazer de exercícios com pouca compreensão do que está sendo representado. Deve-se ter uma abordagem lógica, procurando brincar com os objetos no diedro (veja abaixo), tentando visualizar suas projeções nos planos vertical e horizontal para, num momento posterior, montar o objeto no espaço a partir do conhecimento de suas projeções. Faça um diedro para poder visualizar os planos e as retas. 1- Corte dois retângulos iguais de papelão ou outro material 2- Faça um corte na lateral de cada retângulo conforme a figura abaixo 3- Encaixe as duas partes e se preferir cole papel quadriculado. 2

5 4- Agora temos o diedro pronto Use canetas para visualizar as retas e o esquadro para visualizar os planos. 3

6 planos e retas. O esquadro juntamente com o diedro são usados para facilitar a visualização de Embora algumas figuras da apostila possam ter problemas de imprecisão como ângulos, arcos e medidas, procure usar sempre os instrumentos de desenho e escala adequados para garantir a maior precisão possível. 4

7 1. BREVE HISTÓRIA A Geometria Descritiva surgiu no século XVIII, criada pelo matemático francês Gaspard Monge ( ). Convidado a trabalhar na Escola Militar de Mèzières, na tentativa de resolver um complicado problema de construído de fortificações, Monge inventou um novo método, muito mais simples que os até então conhecidos que viria a ser o alicerce da Geometria Descritiva. Monge conquistou, de imediato, um cargo docente, encarregando-se de instruir os futuros engenheiros militares no novo método considerado, por 15 anos, segredo militar, que ninguém estava autorizado a divulgar. A Geometria Descritiva se propõe a resolver, no plano, problemas de geometria espacial mediante a projeção dos objetos em dois planos. 5

8 2. PROJEÇÃO A projeção usada será a ortogonal cilíndrica, onde os raios de luz estão no infinito e chegam ao plano de projeção formando um ângulo reto. No plano vertical No plano horizontal Fig.1 Fig.2 6

9 3. MÉTODO BIPROJETIVO Os dois planos fundamentais têm entre si um ângulo reto formando quatro diedros Fig. 3 Denotamos o plano de projeção vertical (π`) e o plano de projeção horizontal (π). Vendo de outro ângulo (diedro de perfil): II DIEDRO I DIEDRO III DIEDRO IV DIEDRO Fig.4 Os planos perpendiculares formam quatro semi-planos: Vertical Superior (π`s); Vertical inferior (π`i); Horizontal anterior (π A); Horizontal posterior (π P). A interseção dos planos é chamada Linha de terra (L.T.) (fig.5) 7

10 Fig. 5 As coordenadas e projeções: Fig. 6 Seja um ponto (P) qualquer, a sua projeção horizontal será P e a sua projeção vertical será P`. 8

11 Chamamos de afastamento a distância da linha de terra até a projeção horizontal do ponto. Chamamos de cota a distância da linha de terra até a projeção vertical do ponto. Podemos ver também no diedro de perfil. Fig. 7 9

12 4. A ÉPURA Para chegar à épura a partir do diedro faz-se o seguinte: Giramos o plano (π) em torno da linha de terra. (fig.8) Fig. 8 - Vendo o diedro já rotacionado: O plano (π`) e o plano (π) agora coincidem. Fig. 9 10

13 - A linha de terra é representada com uma reta e dois traços sob ela, um em cada extremidade, veja: Fig Na hora de representar a épura, os contornos que antes limitavam os planos agora não são mais representados. (fig.11) Épura: Fig.11 11

14 5. COMO REPRESENTAR UM PONTO NA ÉPURA Se o ponto estiver no I diedro: Fig.12 Fig.13 A linha de chamada une as duas projeções passando pela linha de terra e formando 12

15 90 com a mesma. Verifique por você mesmo quais são os sinais da cota e afastamento quando o ponto está em cada um dos outros três diedros, e mostre exemplos nas épuras abaixo. Faça as épuras: Se o ponto estiver no II diedro: Se o ponto estiver no III diedro Se o ponto estiver no IV diedro: 13

16 6. PLANOS BISSETORES Vendo o diedro de perfil Fig.14 O βi é o bissetor ímpar, pois divide os diedros I e III em partes iguais. O βp é o bissetor par, pois os diedros II e IV em partes iguais. Fig

17 Ponto no βi : Épura de um ponto no βi: Fig.16 Fig.17 Faça o mesmo para um ponto no βp: Épura de um ponto no βp: Analisando as figuras acima, que propriedade você pode identificar nos pontos pertencentes aos bissetores? 15

18 7. SIMETRIA Simetria quer dizer mesma medida, portanto, veja: Simetria e relação ao plano horizontal Como o ponto (P) é simétrico a (Q) em relação ao plano horizontal, então eles distam a mesma distância d do plano. Fig.18 Fig.19 - Para visualizar facilmente a simetria, olhe para o diedro de perfil: Fig.20 Simetria e relação ao plano vertical 16

19 A distância de (P) ao plano (π`) é a mesma distância de (Q) a (π`), portanto, (P) e (Q) são simétricos em relação ao plano vertical. Fig.21 Fig.22 Simetria e relação à linha de terra (π π`) A distância de (P) até a linha de terra é igual à distância de (Q) a até a linha de terra, portanto, (P) e (Q) são simétricos em relação à (π π`). Fig.23 Fig.24 Percebemos que (P) e (Q) têm cotas e afastamentos de módulos iguais e sinais 17

20 contrários, ou seja: cota(p) = - cota(q) afast.(p) = - afast.(q) Simetria em relação aos planos bissetores Simétrico em relação ao βi Vemos que (P) e (Q) são simétricos em relação ao βi Fig.25 Fig.26 Simétrico em relação ao βp 18

21 Vemos que (P) e (R) são simétricos ao βp. Fig.27 Fig.28 19

22 8. RETAS Uma reta pode ser definida por dois pontos. Para todos os efeitos, as retas são infinitas, embora a representemos por uma porção finita. Quando nos referimos à reta (A)(B) estamos nos referindo à reta que passa pelos pontos (A) e (B) e não apenas ao segmento (A)(B). - Posições das retas Horizontal: paralela a (π) e oblíqua a (π`); Frontal: paralela a (π`) e oblíqua a (π); Fonto-horizontal: paralela a (π) e a (π`), logo é paralela a linha de terra; Vertical: perpendicular a (π) e paralela a (π`); De topo: perpendicular a (π`) e paralela a (π); De perfil: ortogonal a (π π`), oblíqua a (π) e a (π`), também podemos dizer que é paralela a um plano de perfil; Qualquer: todas as outras oblíquas a (π) e a (π`). O estudante deve cuidar para não se prender exclusivamente na representação em épura, procurando sempre imaginar (visualizar mentalmente) a posição espacial dos objetos. - Representando as retas no diedro e em épura: 20

23 horizontal Fig. 29 Fig frontal Fig. 30 Fig fronto-horizontal 21

24 Fig. 31 Fig vertical Fig. 32 Fig de topo 22

25 Fig. 33 Fig qualquer Fig. 34 Fig de perfil 23

26 Fig. 35 Fig

27 9. TRAÇOS DE RETAS É o nome que se dá para o ponto onde a reta fura os planos de projeção. Existe o traço vertical (V) onde a reta fura o plano (π`) e o traço horizontal (H) onde a reta fura o plano (π). Por apresentar particularidades, a reta de perfil será estudada mais à frente. - Para achar os traços: 1. Traço vertical: deve-se prolongar a reta até achar o ponto onde o afastamento é nulo. 2. Traço horizontal: deve-se prolongar a reta até achar o ponto onde a cota é nula. Observe que a projeção V e a projeção H estão sobre a linha de terra, ou seja, afastamento e cota nulos respectivamente. (figs. 36 e 36.1) Fig. 36 Fig Na épura, prolonga-se a projeção horizontal para achar o traço vertical e prolonga-se a projeção vertical para achar o traço horizontal. 25

28 Veja os passos nas figuras seguintes: Fig. 37 Fig Fig Na fig. 37 temos a reta r qualquer; - Na fig. 37.1, prolongando as projeções achamos H (cota nula) e V(afastamento nulo); - Na fig achamos H e V através da linha de chamada, já que sabemos que H está sobre a projeção r e V está sobre a projeção r. - Usa-se a mesma técnica para achar os traços em todas as retas (exceto a de perfil que veremos mais a frente). Podemos observar nas figs. 38 e 39 que a reta horizontal não tem traço horizontal e a reta frontal não tem traço vertical. Fig. 38 Fig. 39 Podemos utilizar os traços para verificar os diedros por onde a reta passa: 26

29 Ex: Uma reta pode partir do terceiro diedro e chegar ao primeiro diedro de três formas. 1- Passando pelo segundo e chegando ao primeiro diedro Fig.40 Fig.40.1 Fig Passando pelo quarto diedro e chegando ao primeiro diedro. Fig. 41 Fig Fig

30 3- Passando pela linha de terra e chegando ao primeiro diedro. - em épura Fig.42 Fig.42.1 Fig.42.2 Devemos observar os traços e ver se eles têm cota e afastamento positivos ou negativos. Assim, podemos concluir se a reta passa pelo I, II, III, ou IV diedro. 28

31 10. PERTINÊNCIA DE PONTO A RETA Um ponto pertence a uma reta quando tem suas projeções sobre as projeções de mesmo nome da reta. - Vemos na fig. 43 que o ponto (A) pertence à reta r e o ponto (B) não pertence à reta r. Fig Devemos cuidar para não nos confundir na hora de dizer se um ponto pertence ou não a uma reta na épura, pois como vemos, tanto as projeções de (A) quanto as projeções de (B) estão sobre as projeções de (r), porém, se olharmos com mais atenção, veremos que B está sobre r e B está sobre r. Por isso, (B) não pertence a (r). 29

32 Fig. 44 Veja na fig.44.1 que o ponto (P) pertence à reta (h), pois tem suas projeções sobre as projeções de mesmo nome da reta e os pontos (Q) e (R) não pertencem. Fig

33 11. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS Duas retas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas. Paralelas: Duas retas são paralelas quando suas projeções de mesmo nome são paralelas. É possível passar um plano pelas retas (coplanares). Fig. 45 Concorrentes: As retas (r) e (s) são concorrentes, pois se cruzam na projeção vertical em I e na projeção horizontal sobre I. I e I estão sobre a mesma linha de chamada. Fig

34 Reversas: Duas retas são reversas se não tiverem nenhum ponto em comum e se não for possível passa um plano pelas duas. Portanto se duas retas não são paralelas nem concorrentes elas serão reversas. As retas (r) e (s) são reversas. A reta (s) passa por cima e pela frente (mais afastada de (π`)) da reta (r). Fig Para saber se uma reta está passando por cima ou pela frente de outra, basta fazer o seguinte: Pegamos um ponto onde as projeções horizontais das retas coincidem (no caso J K) e prolongamos a linha de chamada, vemos que J está mais abaixo de K, ou seja, tem cota menor. Assim, como J pertence r, a reta (r) está mais abaixo que a reta (s). Pegamos um ponto onde as projeções verticais das retas coincidem (no caso I L ) e prolongamos a linha de chamada, vemos que L tem afastamento menor que I. Assim, como L pertence a r, a reta (r) está atrás de (s). 32

35 12. RETAS DE PERFIL Existe certa dificuldade em enxergar a inclinação de uma reta de perfil, por isso, é feita uma análise extra sobre essa reta. Para visualizar a inclinação de uma reta de perfil é preciso no mínimo de dois pontos. Toda reta de perfil pertence a um plano de perfil (o plano de perfil é perpendicular a (π) e a (π`)). Fig.48 Rebatimento Rebater a reta de perfil é girar o plano no qual ela está contida até ele coincidir com o plano vertical. Como podemos ver na fig.49, (A)1(B)1 é a reta rebatida. Deve-se girar a projeção horizontal no sentido anti-horário sem mudar o afastamento, após isso, fazemos o prolongamento da cota e unimos com a linha de chamada da projeção horizontal rebatida. Ligamos os pontos e obtemos a reta de perfil rebatida. 33

36 Fig.49 Quando olhamos a reta de perfil rebatida é como se olhássemos o diedro de perfil. Fig.50 Nesse caso, na fig. 50, é como se a linha terra se tornasse o plano horizontal e as 34

37 projeções não rebatidas da reta se tornassem o plano vertical Fig.51 A partir do momento que rebatemos a reta, podemos saber a inclinação e também achar os seus traços. Traços de retas de perfil Para achar os traços, deve-se prolongar a reta de perfil já rebatida, quando ela encontrar a linha de chamada, será o traço vertical (V)1 que coincide com V. Quando ela encontrar a linha de terra. Será o traço horizontal (H)1. Lembre-se que as projeções H e V sempre estão sobre a linha de terra. Para achar a projeção horizontal H, deve-se fazer o alçamento, que é o inverso do rebatimento. Rebatimento: sentido anti-horário Alçamento: sentido horário 35

38 Fig.52 Exemplo no III diedro Fig.53 Pertinência de um ponto a reta de perfil 36

39 Para um ponto pertencer a uma reta de perfil, não basta apenas ele ter suas projeções sobre as projeções da reta, além disso, quando rebatemos esse ponto ele deve estar sobre a reta rebatida. Na fig.54, (C) pertence à reta (A)(B) pois suas projeções estão sobre as projeções de mesmo nome da reta e quando rebatemos o ponto, ele está sobre a reta rebatida. Fig.54 Na fig.55, (C) não pertence à reta (A)(B) pois apesar de ter suas projeções sobre as projeções de mesmo nome da reta, ele não está sobre a reta rebatida. Fig.55 Posições relativas de retas de perfil Concorrência com uma reta qualquer: 37

40 Devemos analisar o aparente ponto de concorrência, que no caso é (C). (fig.56) Vemos que (C) pertence a (r), mas quando rebatemos o ponto e obtemos (C)1, vemos que ele não está sobre (A)1(B)1, que é a reta de perfil rebatida, portanto, concluímos que as retas (r) e (A)(B) não são concorrentes. Fig.56 Na fig. 57, quando rebatemos o aparente ponto de concorrência (C) e obtemos (C)1, vemos que ele pertence à reta de perfil rebatida (A)1(B)1. Como ele também pertence a (r), concluímos então que as retas são concorrentes. Fig.57 Concorrência de duas retas de perfil: A posição relativa de duas retas de perfil só pode ser definida com o rebatimento de ambas. Duas retas de perfil só podem ser concorrentes se estiverem num mesmo plano 38

41 de perfil. Como vemos na fig.58, (A)(B) e (C)(D) estão num mesmo plano, vamos verificar se são concorrentes ou paralelas. Devemos rebater ambas as retas, feito isso, vemos que elas tem um ponto em comum (I)1, portanto, as retas são concorrentes. Apesar do ponto (I) estar sobre as retas rebatidas, ele deve estar também sobre suas projeções na épura. Fig.58 Paralelismo de retas de perfil: Quando duas retas de perfil têm suas projeções paralelas ou coincidentes em épura, e suas projeções rebatidas paralelas, então dizemos que essas retas são paralelas. Como vemos na fig.59, as retas (A)(B) e (C)(D) satisfazem essas condições, portanto são paralelas. 39

42 Fig.59 Retas de perfil reversas: Se duas retas de perfil estão sobre uma mesma abscissa, então elas podem ser paralelas ou concorrentes, mas nunca reversas, pois por duas retas reversas não podemos passar um plano. Vejamos: Podemos ver na fig.60 que as retas (A)(B) e (C)(D) estão em planos diferentes, portanto não podem ser concorrentes. Olhando as projeções, parecem paralelas. Entretanto, quando rebatemos ambas as retas, percebemos que elas não são paralelas, assim, concluímos que as retas só podem ser reversas. Fig.60 40

43 13. PLANOS Os planos são representados por letras gregas (α,β,λ,θ,...) e podem ser definidos por: Duas retas paralelas; Duas retas concorrentes; Três pontos não colineares; Uma reta e um ponto fora dela. Representamos os planos tanto em épura quanto no diedro por porções finitas, porém, como no caso das retas, todos os planos são infinitos assim como seus traços. Posições: Horizontal: paralelo a (π) Todos os pontos situados num plano horizontal têm mesma cota. Frontal: paralelo a (π`) Todos os pontos situados num plano frontal têm mesmo afastamento. De topo: perpendicular a (π`) e oblíquo em relação à (π). Todos os elementos de um plano de topo têm projeções verticais sobre seu traço vertical. Vertical: perpendicular a (π) E oblíquo em relação à (π`). Todos os elementos de um plano vertical têm projeções horizontais sobre seu traço horizontal. De perfil: perpendicular a (π) e a (π`). As projeções dos elementos que pertencem a um plano de perfil sempre estarão sobre os traços de mesmo nome do plano. 41

44 Paralelo a linha de terra: é paralelo a (ππ`) e oblíquo em relação à (π) e à (π`), porém não passa pela linha de terra. Passa pela linha de terra: é oblíquo em relação à (π) e à (π`) e passa por (ππ`). Qualquer: não é paralelo ou perpendicular a (π) nem a (π`) nem a (ππ`). O estudante deve cuidar para não se prender exclusivamente na representação em épura, procurando sempre imaginar (visualizar mentalmente) a posição espacial dos objetos. Os planos são geralmente representados pelos seus traços, pois isso simplifica a sua visualização no espaço. Traços de planos Os traços são as interseções com os planos de projeção. Convenciona-se representar o plano na épura mostrando-se o traço horizontal abaixo da linha de terra e o traço vertical acima da linha de terra. - O traço vertical pode ser uma frontal, fronto-horizontal ou vertical, dependendo do plano, todas de afastamento nulo (fig 61.1). - O traço horizontal pode ser uma horizontal, fronto-horizontal ou de topo, dependendo do plano, todas de cota nula (fig 61.1). - Sempre que o plano possuir dois traços não paralelos eles se cruzarão sobre a linha de terra. - Por uma questão de conveniência e clareza, não representamos a projeção dos traços que está sobre (ππ`). 42

45 Fig.61 Fig.61.1 Plano qualquer: απ é a interseção com (π) e απ` é a interseção com (π`). Fig.62 43

46 O traço vertical é a reta do plano contida em (π`) e o traço horizontal é a reta do plano contida em (π). (fig.63) Fig.63 - Desenhe a épura do plano dado: Fig.64 44

47 Plano horizontal: Vemos nas figs. 65 e 65.1 que o plano horizontal possui somente traço vertical, pois é paralelo a (π). Fig.65 Fig Desenhe a épura do plano dado: Fig.66 Plano frontal: 45

48 Vemos nas figs. 67 e 67.1que o plano frontal possui somente traço horizontal, pois é paralelo a (π ). Fig.67 Fig Desenhe a épura do plano dado: Fig.68 Plano de topo: Vemos nas figs. 69 e 69.1 que o plano de topo apresenta os dois traços 46

49 Fig.69 Fig Desenhe a épura do plano dado: Plano vertical: Fig.70 Vemos nas figs. 71 e 71.1 que o plano vertical apresenta os dois traços 47

50 Fig.71 Fig Desenhe a épura do plano dado: Fig.72 Plano de perfil: Vemos nas figs. 73 e 73.1 que o plano de perfil também apresenta os dois traços, porém os mesmos coincidem. 48

51 Fig.73 Fig Desenhe a épura do plano dado: Fig.74 Plano paralelo à linha de terra: O plano paralelo à linha de terra apresenta os dois traços paralelos a (ππ`). (figs. 75 e 75.1) 49

52 Fig.75 Fig Desenhe a épura do plano dado: Fig.76 Plano que passa pela linha de terra: Note nas figs. 77 e 77.1que os traços desse plano estão sobre a linha de terra, portanto, para identificar a sua inclinação, é preciso também um ponto. 50

53 Fig.77 Fig Desenhe a épura do plano dado: Fig.78 Obs.: Lembre-se de que quando o plano tiver dois traços, eles sempre se encontraram sobre a linha de terra. Retas pertencentes aos planos 51

54 O conhecimento das retas que cabem em cada tipo de plano é importante para evitar que, na seqüência dos estudos, o aluno se perca tentando colocar uma reta em um plano que não a pode conter. Coloque o esquadro na posição de um plano encaixado no diedro e veja as retas que pertencem a ele através das linhas dentro do esquadro. Pratique com o diedro e o esquadro para visualizar as retas pertencentes aos planos, após esse treinamento você conseguirá visualizar sem a ajuda do diedro e sem o esquadro. Pelas cores das retas você poderá observar que dependendo da posição do plano elas assumirão nomes diferentes. Frontal no plano frontal cabem as retas: - frontal (f), fronto-horizontal (r), vertical (v). Fig.79 Horizontal no plano horizontal cabem as retas: - horizontal (h), fronto-horizontal (r), de topo (t). 52

55 Fig.80 De topo no plano de topo cabem as retas: - de topo (t),qualquer (q), frontal (f). Fig.81 Vertical no plano vertical cabem as retas: - vertical (v), horizontal (h), qualquer (q). 53

56 Fig.82 De perfil no plano de perfil cabem as retas: - de perfil (p), vertical (v), de topo (t). Fig.83 Paralelo a linha de terra no plano paralelo a (ππ`) cabem as retas: - fronto-horizontal (r), de perfil (p), qualquer (q). 54

57 Fig.84 Obs.: O plano paralelo à linha de terra foi prolongado para que fosse possível visualizar o traço horizontal. Passando pela linha de terra no plano que passa por (ππ`) cabem as retas: - fronto-horizontal (r), de perfil (p), qualquer (q). Fig.85 Qualquer no plano qualquer cabem as retas: - qualquer (q), frontal (f), horizontal (h), de perfil (p). 55

58 Fig.86 Obs: Note que o plano qualquer é o único que permite quatro tipos de retas. Observe que diferentemente da reta qualquer, a reta de perfil une os pontos (V) e (H) de mesma abscissa. 56

59 14. PERTINÊNCIA DE RETA AO PLANO Na épura, sabemos que uma reta pertence a um plano quando ela tem seus traços sobre os traços de mesmo nome do plano. Exceções: 1. Quando a reta passa pelo ponto onde os traços do plano se cruzam sobre a linha de terra, não necessariamente a reta pertence ao plano. (ver fig.89) 2. Quando uma reta passa pela linha de terra, não necessariamente ela está contida em um plano que passa pela linha de terra. (ver fig. 90) Nesses casos, é preciso verificar se um outro ponto da reta pertence ao plano (veremos isso mais a frente, pois precisamos do conceito de pertinência de ponto ao plano). Exemplos: Regra geral A reta (r) pertence ao plano (α), pois seus traços estão sobre os traços de mesmo nome do plano. Fig.87 57

60 Desenhe na épura abaixo as seguintes retas pertencentes ao plano (α): reta (s), no segundo diedro; reta (t), no terceiro diedro; reta (v) no quarto diedro. Observe que na fig. 88 a reta (s) pertence ao plano (β). Fig.88 Exceção 1 58

61 Fig.89 Exceção 2 Fig.90 Veremos mais a frente como verificar se a reta pertence ao plano. 59

62 15. PERTINÊNCIA DE PONTO AO PLANO Um ponto pertence ao plano quando pertence a uma reta do plano (essa regra não tem exceções). Planos projetantes Dizemos que um plano é projetante quando for perpendicular a um dos planos de projeção. Um plano projetante projeta todos os seus elementos (retas e pontos) sobre o traço no plano que lhe é perpendicular, o que permite a regra de pertinência simplificada abaixo. - Os planos projetantes são: Vertical (projeta as projeções horizontais sobre o traço horizontal) (fig. 91); De topo (projeta as projeções verticais sobre o traço vertical) (fig. 92); De perfil (projeta as projeções horizontais sobre o traço horizontal e as projeções verticais sobre o traço vertical) (fig. 93); Horizontal (projeta as projeções verticais sobre o traço vertical) (fig. 94); Frontal (projeta as projeções horizontais sobre o traço horizontal) (fig. 95); Regra de pertinência simplificada: Se o plano (α) for projetante e perpendicular a (π`), então todos os seus elementos terão sua projeção vertical sobre α π`. Se o plano (α) for projetante e perpendicular a (π), então todos os seus elementos terão sua projeção horizontal sobre α π. 60

63 Exemplos: As retas abaixo pertencem ao plano dado Plano vertical Fig.91 Plano de topo Fig.92 Plano de perfil 61

64 Fig.93 Plano horizontal Fig.94 Plano frontal 62

65 Fig.95 Voltando às exceções de pertinência de reta ao plano No caso das duas exceções, além de atender a regra geral de pertinência, devemos verificar se outro ponto da reta pertence ao plano. 1. Para saber se a reta pertence ao plano, devemos traçar uma reta auxiliar desse plano e ver se ela é concorrente ou paralela com a reta em questão, se as retas forem concorrentes ou paralelas, então a reta estudada pertence ao plano, caso contrário, não pertence. Como podemos observar na fig.96, (h) pertence a (α) e não é paralela nem concorrente com (r), portanto, a reta (r) não pertence ao plano. 63

66 Fig Devemos fazer um procedimento parecido com a exceção 1. Traçamos uma frontohorizontal que pertence ao plano pelo ponto que o define e verificamos se a reta auxiliar é concorrente ou paralela com a reta estudada. Se for, a reta em questão pertence ao plano, se não for nem paralela nem concorrente, então a reta não pertença ao plano. Como vemos na figura, (f) é uma fronto-horizontal que passa por (C) e pertence ao plano. As retas (r) e (f) não são paralelas nem concorrentes, então, (r) não pertence ao plano (α). Fig.97 64

67 16. PLANOS NÃO DEFINIDOS PELOS SEUS TRAÇOS Suponha um plano dado pelos pontos: (A), (B) e (C) não colineares. Podemos ligar esse pontos, obtendo um triângulo que define o plano pelas retas (A)(B), (A)(C) e (B)(C). Dentro desse triângulo, podemos achar todas as retas do plano e não usar os traços do mesmo. Fig.98 Veja: Escolhemos um ponto arbitrário (B) e ligamos a um outro ponto que esteja sobre uma das retas, por exemplo, o ponto (D) da reta (A)(C). Quando ligamos esses pontos, vemos que (B)(D) é uma reta de perfil, pois os pontos escolhidos possuem mesma abscissa. Fig.99 Se quisermos achar uma horizontal fazemos o mesmo processo pegando dois 65

68 pontos com a mesma cota. Traçamos então a reta (B)(D) que é a horizontal do plano. Fig.100 Para achar uma frontal pegamos dois pontos de mesmo afastamento. Então temos a reta (C)(D) que é uma frontal do plano. Fig.101 OBS: Se tivermos um plano paralelo à (ππ ), as frontais e horizontais se tornam frontohorizontais. 66

69 17. RETAS DE MÁXIMO DECLIVE (RMD) E RETAS DE MÁXIMA INCLINAÇÃO (RMI). RMD Declive é o ângulo que um plano ou uma reta forma com (π). A RMD é uma reta que pertence ao plano e tem o mesmo declive do plano Plano (α) de topo com declive θ. (f) é a RMD. Fig

70 Vista da RMD do plano (α) em épura. Fig.103 Vemos que a RMD forma um ângulo de 90 com o traço horizontal do plano. Plano (α) qualquer Fig.104 (r) é a RMD de (α). 68

71 Fig.105 Obs: Cuidar que nem sempre o ângulo reto aparecerá na épura pois uma das retas poderá estar projetada em um único ponto. Determine na épura abaixo a RMD de um plano vertical Teorema projetivo do ângulo reto Sejam duas retas perpendiculares ou ortogonais no espaço. O ângulo reto somente se projeta com 90º num plano de projeção quando pelo menos uma das retas for paralela a esse plano de projeção. 69

72 Ex: Se (r) for paralela a (π) e formar 90 com (s), então, a projeção horizontal dessas duas retas será perpendicular.(fig.106) Observe que as duas retas são paralelas a um dos planos de projeção, pois temos uma reta frontal e uma de topo. No entanto, bastaria que apenas uma das retas fosse paralela a um dos planos de projeção e outra qualquer que o teorema continuaria valendo. Fig

73 Fig.107 Como sabemos que o traço horizontal de um plano é sempre paralelo a (π) e que a RMD sempre forma um ângulo reto com o traço horizontal, então sabemos, pelo teorema projetivo do ângulo reto que na épura, a projeção horizontal da reta será perpendicular ao traço do plano. OBS1: Observe na fig108 que mantendo a reta (r) (de topo) paralela a (π), a reta (s) poderá ter qualquer declive que a sua projeção não se altera, mantendo o ângulo de 90 na projeção horizontal. OBS2: Observe que o teorema é válido para retas (r) e (s) concorrentes e reversas. Observe que as duas retas são paralelas a um dos planos de projeção, pois temos uma reta frontal e uma de topo. No entanto, bastaria que apenas uma das retas fosse paralela a um dos planos de projeção e outra qualquer que o teorema continuaria valendo. 71

74 Fig.108 Fig

75 Se o plano tem certo declive, então não deveria ter o mesmo declive toda reta pertencente a esse plano? Mostre e explique com exemplos que embora o declive de um plano seja sempre constante, as retas que pertencem a esse plano têm declives variados, mas sempre menores ou iguais ao do plano. Como achar a RMD de um plano sem usar seus traços É importante sabermos achar a RMD de um plano sem utilizar seus traços, pois quando o usamos, corremos o risco de aumentarmos a imprecisão. Como sabemos achar a horizontal do plano (α) definido por (A), (B) e (C) e também conhecemos o fato de que ela segue paralela a (απ), devemos determinar (h) e a partir disso, traçamos uma perpendicular a projeção horizontal de (h), essa será a RMD, pois se ela forma um ângulo reto com a projeção horizontal de (h), ela também terá 90 com (απ). (B)(E) é a RMD do plano definido por (A), (B) e (C).(fig.110) 73

76 Fig.110 OBS: Podemos achar infinitas RMD s de um plano, lembrando sempre que todas serão paralelas. RMI Inclinação é o ângulo que um plano ou uma reta forma com (π ). A RMI é uma reta que pertence ao plano e tem a mesma inclinação do plano. Plano (α) de vertical com inclinação θ. (h) é a RMI. (fig.111) 74

77 Fig.111 Vista da RMI de (α) em épura Fig.112 Vemos que a RMI forma um ângulo de 90 com o traço vertical do plano 75

78 Plano (α) qualquer Fig.113 (r) é a RMI de (α) Fig.114 Pelo teorema projetivo do ângulo reto sabemos que na épura, a projeção vertical da RMI será perpendicular ao traço vertical do plano. 76

79 Faça a RMI de um plano de topo. Como achar a RMI de um plano sem usar seus traços Sabemos que uma frontal do plano segue paralela ao mesmo em seu traço vertical, por isso, traçamos (A)(D) que é uma frontal. Como sabemos também, a RMI de um plano forma 90 com o traço vertical do mesmo, portanto também é perpendicular a uma frontal desse plano. Assim, basta traçarmos uma reta perpendicular a frontal (A)(D) que teremos a RMI. Fig.115 Podemos traçar infinitas RMI s de um plano, sempre lembrando que serão todas paralelas. 77

80 18. PARALELISMO De reta com plano Uma reta é paralela a um plano quando for paralela a uma reta do plano. Ex: Na fig.116 devemos passar por (C) uma reta paralela a (α). Traçamos uma reta que pertença ao plano, nesse caso (H)(V), depois disso traçamos por (C) uma reta paralela a (H)(V). Obtemos (r) que é a reta paralela ao plano (α). Fig. 116 De plano com reta reta dada (r). Ex: Um plano (α) é paralelo a uma reta (r) quando ele contiver uma reta (s) paralela à 78

81 Na fig.117 devemos traçar por (C) um plano (α) paralelo à reta (r). Traçamos por (C) uma reta paralela a (r), depois disso, achamos um plano (α) que contenha essa reta. Esse será o plano paralelo à reta (r). Fig.117 De plano com plano 79

82 Um plano (α) será paralelo a outro plano (β) quando ele for paralelo a duas retas concorrentes de (β). Ex: Na fig.118 devemos passar por (C) um pano paralelo a (α). Traçamos uma horizontal (h) por C que tenha a direção de απ, achamos os traços de (h) e por V passamos o traço vertical de (β) paralelo a απ. Para o traço horizontal fazemos βπ paralelo a απ e h a partir de (T). Fig. 118 Podemos observar que os traços de dois planos paralelos também são paralelos. απ // βπ απ // βπ 80

83 Fig.119 Fig Existe exceção de paralelismo de plano com plano: Quando temos planos paralelos à linha de terra ou que passam por (ππ ), sabemos que seus traços são paralelos. Porém, não necessariamente esses planos são paralelos 81

84 entre si. Para verificar o paralelismo desses tipos de planos, devemos traçar a RMD ou RMI de cada plano, que no caso serão paralelas se os planos forem paralelos. Como a RMD e RMI são de perfil, devemos rebatê-las e verificar se são paralelas. Exemplo: Na fig.120 vemos que (α) e (β) são paralelos a linha de terra. Queremos verificar se eles são realmente paralelos, logo, achamos a RMD de cada plano, rebatemos e observamos que não são paralelas, logo, o plano (α) não é paralelo ao plano (β). Fig

85 19. INTERSEÇÃO DE PLANOS - O resultado da interseção de dois planos sempre será uma reta. - A reta será definida por dois pontos pertencentes aos planos dados. Veja: Vemos na figura 121 que o plano frontal (α) e o plano qualquer (β) são concorrentes. Observamos que a interseção dos planos é a reta (r). Fig

86 Observe a interseção na épura: Fig.122 Como achar a interseção na épura? Quando os traços se cruzam: Quando temos os traços do plano e os mesmos se cruzam, então temos dois pontos de concorrência (H) e (V). Assim, quando ligamos esses pontos, obtemos a reta (H)(V) que é a interseção dos planos (α) e (β). 84

87 Fig.123 Quando os traços não se cruzam: Quando queremos achar a interseção de dois planos cujos traços não se cruzam no limite da épura, devemos fixar um parâmetro (cota ou afastamento) e traçar retas auxiliares. Dessa forma, garantimos que as retas traçadas terão um ponto de concorrência. Exemplo: 85

88 Na fig.124 temos um plano (α) qualquer e um plano (β) de topo. Para achar a interseção devemos fixar um parâmetro, nesse caso o afastamento, e então achamos (I) e (J) que são os pontos que definem a reta interseção. Fig.124 Quando temos um plano definido pelos seu traços e o outro definido por três pontos: Para achar a interseção fazemos o mesmo procedimento, definimos um parâmetro (cota), traçamos a reta (h) e achamos o primeiro ponto da interseção (I). Depois fixamos o afastamento, traçamos a frontal e achamos o segundo ponto da interseção (J). Ao ligarmos os pontos vemos que a reta interseção é (I)(J). 86

89 Fig.125 Ponto comum a três planos Vamos supor que o ponto (I) é o ponto de interseção dos planos (α), (β) e (ψ). - Podemos achar (I) de duas formas: 1- Achamos a reta (r), que é a interseção de (α) com (β); Achamos a reta (s), que é a interseção de (α) com (ψ); Achamos o ponto (I) procurado, através interseção de (r) com (s). 2- Achamos (r), que é a interseção de (α) com (β); 87

90 Achamos o ponto (I) onde (r) fura o plano (ψ) (veja no capítulo 20), que será o ponto (I) procurado. Ex: Vamos achar o ponto que é comum aos planos (α), (β) e (ψ). Usaremos a primeira forma: Fig.126 Observe que o ponto comum aos três planos é o ponto (M) 88

91 20. TRAÇO DE RETA SOBRE PLANO O traço da reta sobre o plano é o ponto onde ela fura o plano. Se quisermos achar o ponto onde uma reta (r) fura um plano (α) devemos proceder da seguinte forma: 1- Devemos fazer com que (r) pertença a um plano (β); Fig Depois disso, vemos que o ponto (I), que é a interseção de (r) com (α), pertence à reta 89

92 (s) que é a interseção de (α) com (β). Ainda podemos ver que (I) é o ponto de concorrência de (r) com (s). Fig.128 Em épura, usamos planos projetantes para facilitar o processo. Ex: Na fig.129, queremos achar o ponto onde (r) fura (α). 90

93 - Traçamos um plano projetante de topo (β) fazendo com que (r) є (β). - Achamos a interseção de (α) com (β) que é (M)(J). - Depois achamos o ponto (I) onde (r) concorre com (M)(J), esse é o ponto onde (r) fura o plano (α). Fig

94 21. PERPENDICULARISMO Reta perpendicular a plano Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela é ortogonal a todas as retas desse plano. Pelo teorema projetivo do ângulo reto, sabemos que sempre que duas retas forem perpendiculares ou ortogonais, e uma delas for paralela a um dos planos de projeção, então a projeção que for paralela a (π) ou (π ), também terá 90. Assim, como os traços de um plano são retas paralelas aos planos de projeção, podemos concluir que se uma reta é perpendicular a um plano, então, suas projeções em épura formaram 90 com os traços do plano. Ex1: Na fig.130, a reta (r) é perpendicular ao plano (α). Fig.130 Ex2: 92

95 Na fig.131, temos que passar por (A) uma reta (s) que seja perpendicular ao plano (α). Observe que o ponto (A) está no terceiro diedro. Então para traçar uma reta (s) que seja perpendicular a (α), basta passarmos uma reta por (A) que seja perpendicular aos traços de (α). Devemos tomar cuidado, pois a projeção horizontal deve passar por A e ser perpendicular a απ, já a projeção s deve passar por A e ser perpendicular a απ Fig.131 Ex3: Na fig.132, devemos passar por (D) uma reta perpendicular ao plano definido pelos pontos 93

96 (A), (B) e (C). Observe que agora não temos mais os traços. Sabemos que uma horizontal do plano segue paralela ao traço horizontal e também que uma frontal segue paralela ao traço vertical. Então, por conseqüência, se a reta for perpendicular ao plano, ela vai ser perpendicular aos traços do plano e perpendicular as frontais e horizontais em épura. Fig.132 Vemos então, na fig.132, que (r) é a reta perpendicular ao plano definido pelos pontos (A), (B) e (C). Obs.: Se tivermos um plano paralelo ou que passa por (ππ ), a reta perpendicular a ambos será de perfil, então, para verificar se uma reta de perfil (r) é perpendicular a um plano de perfil (α) paralelo a linha de terra, devemos rebater a reta de perfil (r) e ver se ela é perpendicular a uma reta de perfil (s) que pertence ao plano (α). Ex: Vemos que a reta (A)(B) é perpendicular ao plano (α). 94

97 Fig.133 Plano perpendicular à reta: Esse caso é a recíproca do anterior. Então, para que um plano seja perpendicular a uma reta, ele deve ter seus traços perpendiculares às projeções de mesmo nome da reta. Quando temos que passar um plano (α) por um ponto (C) e que seja perpendicular a uma reta (r), temos que tomar o seguinte cuidado: Não podemos simplesmente traçar o plano sobre as projeções de (C), pois se fizermos isso, fugimos da regra de pertinência de ponto ao plano. Então, devemos passar por (C), uma reta frontal ou horizontal que seja perpendicular a (r) e depois, por essa reta traçar o plano (α) perpendicular à reta (r). Ex: Na fig.134, devemos passar por (C) um plano (α) perpendicular a (r). Traçando por (C) uma frontal perpendicular a (r), sabemos a direção do traço vertical 95

98 do plano. Achamos o traço (H) da frontal e sabemos que (f) pertence a (α), então απ passa por H. como (α) tem que ser perpendicular a (r), sabemos que no traço horizontal ele também formará 90 com (r). Assim, passando απ por H e perpendicular a r, achamos o ponto (T), então, agora é só traçar απ paralelo a f. Vemos então que o plano (α) é perpendicular à reta (r). Fig.134 Plano perpendicular a plano: Um plano é perpendicular a outro plano quando contiver ao menos uma reta perpendicular ao outro plano. Ex: Na fig.135, devemos passar por (A) um plano perpendicular a (α). Traçamos por (A) uma reta (s) que seja perpendicular a (α). A partir disso, sabemos que qualquer plano que contiver essa reta (s) será perpendicular a (α). Assim, temos infinitas 96

99 soluções, entre elas um plano paralelo à linha de terra (δ) um plano de topo (θ), um plano vertical (γ) e infinitos planos quaisquer, sendo um deles (β). Fig.135 Retas perpendiculares: Quando queremos duas retas perpendiculares sendo que uma delas é paralela a um dos planos de projeção, podemos concluir, pelo teorema projetivo do ângulo reto, que em épura, as retas terão 90 na projeção horizontal ou vertical. Ex: Na fig.136, temos uma reta horizontal (r) e queremos achar uma outra reta (s) que passe por (A) e que seja perpendicular a (r). Nesse caso, como temos uma horizontal, sabemos que ela é paralela a (π), logo, (r) e (s) 97

100 terão 90 na projeção horizontal. Assim, para resolver o problema, basta traçar por (A) a projeção s perpendicular a r, achamos o ponto I de concorrência, prolongamos a linha de chamada e achamos I sobre r, depois basta ligar I com A e teremos s. Então temos (s) perpendicular a (r). Fig.136 Se tivermos uma reta (r) que não seja paralela a nenhum dos planos de projeção e quisermos achar uma reta (s) perpendicular a (r) devemos fazer uma mudança de plano ou usar o método tradicional. O objetivo em fazer uma mudança de plano nesse caso, é deixar a reta (r) paralela a um dos planos de projeção, podendo então aplicar o teorema projetivo do ângulo reto. Porém, veremos esse método mais a frente. Método tradicional para retas perpendiculares: Para traçar por (A) uma reta perpendicular a (r), basta passar por (A) um plano (α) que seja perpendicular a (r). Achamos o ponto (I), onde (r) fura o plano e ligamos (A) com (I), temos então a reta (A)(I) perpendicular a (r), pois sabemos que se (r) é perpendicular a 98

101 (α), então é ortogonal a todas as retas pertencentes a (α) e perpendicular a todas as retas que passam pelo ponto onde (r) fura o plano, nesse caso o ponto (I). Fig.137 Podemos olhar o plano (α) de lado, na fig. 138 e observar o perpendicularismo que existe entre (r) e (α) e entre (r) e (A)(I). Fig.138 Ex: Na fig.139, queremos traçar por (A), uma reta perpendicular a (B)(C) Passamos por (A) um plano (α) perpendicular a (B)(C). Achamos então o ponto (M) onde (B)(C) fura o plano (α) (ver traço de reta sobre plano). Assim, a reta perpendicular a (B)(C) e que passa por (A) é (A)(M). 99

102 Fig.139 Com retas de perfil: Na fig.140, queremos traçar por (A), uma reta perpendicular a (B)(C), então rebatemos a reta (B)(C) e o ponto (A). Por (A), passamos um plano (α) perpendicular a 100

103 (B)(C). Tomamos a RMD de (α) na abscissa de (B)(C) e achamos o ponto (I) onde (B)(C) fura o plano, então, fazemos o alçamento do ponto(i) e achamos a reta perpendicular a (B)(C) que passa por (A), que é (I)(A). Note que quando se tratam de retas de perfil, fica mais fácil achar o ponto onde a reta fura o plano, evitando o método usado no exercício anterior, onde precisamos usar um plano auxiliar. Fig

104 MÉTODOS DESCRITIVOS São métodos que permitem a resolução de problemas descritivos. 22. MUDANÇA DE PLANO DE PROJEÇÃO Temos que saber: Muda-se um plano de projeção de cada vez; Mantêm-se o diedro ortogonal (temos que manter o ângulo de 90 entre o plano vertical e horizontal); O objeto não muda de posição. Obs: Representamos a nova linha de terra, que é a interseção do plano vertical com o horizontal, com dois traços em cada extremidade, simbolizando que é a segunda linha de terra. Como sabemos que só podemos mudar um plano de projeção de cada vez e que o objeto não muda de lugar, podemos concluir que em uma mudança de plano, uma das projeções não muda, ou seja, fica no mesmo lugar. Essa projeção é aquela cujo plano de projeção não foi mudado. Depois de acharmos a nova linha de terra, traçamos a linha de chamada (perpendicular à nova linha de terra) e achamos a projeção sobre o plano que foi mudado, lembrando que essa projeção terá a mesma distância em relação a linha de terra nova que tinha da anterior. Temos que prestar atenção no sinal da cota ou afastamento, pois devemos transferir para a nova linha de terra com o mesmo sinal. 102

105 Mudança de plano Vertical: Fig.141 Fig.142 Como estamos fazendo uma mudança de plano vertical, então a projeção horizontal 103

106 fica no mesmo lugar e é por ela que passamos a nova linha de chamada perpendicular à nova linha de terra. Sabendo que o plano horizontal não foi mudado, podemos concluir que a cota continua a mesma, ou seja, a distância da projeção vertical do ponto até a linha de terra não mudou. Assim, transferimos a cota para a nova linha de terra. Chamamos de P1 a nova projeção vertical. Com retas: Note que fazendo a mudança de plano vertical, o que muda é a projeção vertical, pois não mexemos nas projeções horizontais. Note também que apesar de termos mudado o plano (π ), as cotas continuam com o mesmo tamanho e sinal, a diferença é que agora elas estão projetadas sobre (π )1. Veja que como a nova linha de terra foi traçada paralela à projeção horizontal, a reta fica sendo frontal no segundo sistema. Fig.143 Aplicação: 104

107 Transformar uma reta qualquer em frontal Transformando a reta (A)(B) em frontal, teremos a V.G.(Verdadeira Grandeza) da reta. Como sabemos de que forma as projeções de uma frontal estão dispostas em épura, então sabemos onde queremos chegar (fig.144). Fig.144 Fig.145 M.P.V.: 105

108 Referência: Proj. horizontal A transportar: Proj. vertical Traçamos então uma nova linha de terra que seja paralela à projeção horizontal, essa não será mudada, ficará no mesmo lugar, pois queremos uma reta frontal. Assim, podemos concluir que faremos uma mudança de plano vertical, já que não alteramos a projeção horizontal (fig.145). Mudança de plano Horizontal: É análogo à mudança de plano vertical, só que agora, quem fica no mesmo lugar é o plano vertical e o parâmetro que permanece constante é o afastamento. Fig

109 Fig.147 Com retas: Note que quando fazemos uma mudança de plano horizontal, a projeção horizontal muda de lugar e a projeção vertical fica no mesmo lugar. Veja que o afastamento dos pontos não muda. A diferença é que agora eles estão projetados sobre (π)1. Observe na fig.148 que fazendo a L.T. paralela ao traço vertical, achamos uma reta horizontal no segundo sistema. Fig.148 Aplicação: 107

110 Transformar uma reta qualquer em horizontal: Devemos transformar uma reta qualquer em horizontal. Como sabemos a forma com que as projeções de uma horizontal estão dispostas na épura, sabemos onde queremos chegar (fig.149). Fig.149 Fig.150 M.P.H.: Referência: Proj. vertical. A transportar: Proj. horizontal. Passamos a nova linha de terra paralela à projeção vertical. Essa ficará no mesmo lugar, pois queremos uma horizontal. Concluímos que devemos fazer uma mudança de 108

111 plano horizontal, já que não mudamos a projeção vertical. Agora, basta fazer os procedimento de mudança de plano e achar A1 e B1, que será a V.G da reta (fig.150). Agora que já sabemos fazer mudança de plano, podemos voltar a falar de retas perpendiculares entre si. Lembrando do que foi visto em retas perpendiculares: Se tivermos uma das retas paralela a um dos planos de projeção, podemos concluir, pelo teorema projetivo do ângulo reto, que em épura, as retas terão 90 na projeção horizontal ou vertical. (fig.151) Se tivermos uma reta que não seja paralela a um dos planos de projeção, então devemos fazer uma mudança de plano para torná-la. Assim poderemos usar o teorema projetivo do ângulo reto para achar retas perpendiculares. Fig.151 Ex: Trace uma reta perpendicular a reta qualquer (r) e que passe pelo ponto (C). 109

112 Faremos uma mudança de plano horizontal para que a reta (r) se torne horizontal. Transferimos as projeções horizontais dos pontos (A), (B) e (C) (os pontos (A) e (B) pertencem a (r)) para a nova épura e obtemos A1, B1 e C1. Assim, temos que passar por C1 a projeção horizontal da reta perpendicular a A1B1. Feito isso, achamos o ponto I1 de concorrência e na mesma linha de chamada, no segundo sistema, achamos I. Levamos I1 para o primeiro sistema e obtemos I. Agora. Sabemos que a reta perpendicular a (r) e que passa por (C) é a reta (I)(C). (fig.152) Fig.152 Outras aplicações de mudança de plano 1. Transformar um plano qualquer em vertical 110

113 Sabemos onde queremos chegar (fig.153): Fig.153 A nossa referência em relação ao plano vertical é que sua projeção vertical é perpendicular a linha de terra. Então, já sabemos que se a referência é o traço vertical, quem será transportado será o traço horizontal. Portanto devemos fazer uma M.P.H.. M.P.H.: Referência: Proj. vertical. A transportar: Proj. horizontal. Podemos partir do seguinte princípio: Tomamos uma frontal do plano e transformamos em vertical. Vamos tomar dois ponto (A) e (B) que pertençam à frontal. Quando os transferimos para a nova linha de terra, vemos que as suas projeções horizontais coincidem porque a reta se tornará vertical. Assim, como sabemos que o plano vertical é projetante (as projeções horizontais de todos os seus elementos caem sobre o seu traço horizontal) e conhecemos o ponto (T) onde o plano passa pela L.T., basta traçar o traço horizontal do plano por (T), (A)1 e (B)1. (fig.154) 111

114 Fig Achar a V.G. do triângulo (A)(B)(C) transformando-o em frontal Obs: A V.G. de uma figura não pode ser menor do que qualquer uma de suas projeções. Teremos que fazer duas mudanças de plano, primeiro vamos transformar uma frontal (A)(D) do plano em vertical, assim teremos um plano vertical. Depois, vamos transformar esse plano em frontal, obtendo a V.G. do triângulo (A)(B)(C). A primeira mudança será M.P.H., pois queremos transformar o triângulo em vertical, e a propriedade do plano vertical é ter o traço vertical perpendicular à linha de terra. A segunda mudança será M.P.V., pois queremos que o triângulo vire frontal, e a propriedade do triângulo frontal é ter a projeção horizontal paralela à linha de terra. Sendo assim, para fazer a segunda mudança basta traçar a terceira linha de terra paralela a projeção horizontal do triângulo. (fig.155) 112

115 Fig Transformar um plano qualquer em paralelo a linha de terra Pode ser feito com M.P.V. ou M.P.H.. A resolução do problema consiste em transferir um ponto do plano para o segundo sistema de coordenada e então traçar por ele uma reta do plano. Achamos então os traços da reta e traçamos o plano sobre os traços, já que a reta pertence ao plano. Vamos usar M.P.H. traçando a segunda L.T. paralela ao traço vertical do plano. Assim, sabemos que o traço horizontal será paralelo a nova linha de terra. Pegamos um ponto (H) que pertença ao plano no primeiro sistema e transferimos para o segundo sistema, obtemos H1. Agora, como conhecemos o traço vertical do plano no segundo sistema, pegamos um ponto (V) que pertença a ele. Já que também sabemos que o ponto (H) continua pertencendo ao plano, traçamos uma reta que tem proj. vertical H V e proj. horizontal VH1, achamos (H2) que é o traço horizontal da reta. O traço horizontal do plano deve passar por (H2), já que esse é o traço horizontal da reta e a reta pertence ao plano.( fig.156) Para facilitar a resolução podemos escolher H sobre o cruzamento das duas L.T. Assim, não precisamos encontrar (H2), pois o traço da reta será o próprio (H) 113

116 Fig.156 Outra forma para resolver Podemos pegar uma frontal do plano e transformar em uma fronto-horizontal Traçamos uma frontal do plano e escolhemos um ponto (A) que pertença a ela. Transferimos a reta e o ponto para o segundo sistema e achamos uma fronto-horizontal. Como sabemos que essa fronto-horizontal pertence ao plano, basta traçar o plano. (fig.157) Devemos tomar cuidado, pois o traço vertical já está definido, é o traço απ. 114