Estas notas de aulas são destinadas a todos aqueles que desejam ter. estudo mais profundo.

Transcrição

1 Geometria Descritiva Prof. Sérgio Viana Estas notas de aulas são destinadas a todos aqueles que desejam ter um conhecimento básico de Geometria Descritiva, para um posterior estudo mais profundo.

2 GEOMETRIA DESCRITIVA Ciência que estuda os métodos de representação gráfica das figuras espaciais sobre um plano, resolvendo os problemas em que são consideradas até as três dimensões, capazes de ser utilizadas nas indústrias i e nas artes. Projeção : Figura geométrica obtida pela incidência sobre um plano de perpendiculares tiradas dos extremos da linha ou objeto que se quer representar. Classificação das Projeções Projeção Ortogonal cilíndrica fig 2 A e 3 A; Projeção Obliqua cilíndrica fig. 2B e 3 B ou cônica fig. 1.

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4 Projeção Cilíndrica Fig A figura, sendo paralela ao plano, se projeta em sua real grandeza, ou seja, projeção igual a figura. Fig Quando a figura é oblíqua ao plano, haverá uma acentuada modificação em sua imagem projetada. Fig A figura é perpendicular p ao plano. Sua projeção se reduz a um segmento.

5 Projeção Cônica A projeção cônica transforma um par de pontos em outro par, dando origem a triângulos semelhantes que tem um vértice comum ( P ). Projeção Cônica Direta Dependendo da origem dos elementos, pólo, figura e plano, a projeção será semelhante à figura objetiva ( ampliada ou reduzida ), ou mesmo reduzida a um ponto, portanto nula. Fig Pólo, figura, plano - projeção ampliada. Fig Pólo, plano, figura - projeção reduzida. Fig Figura, pólo ( coincidentes com o plano ) - projeção inversa

6 Projeção Cônica - Inversa Fig Pólo eqüidistantes da figura e plano - projeção igual à figura. Fig Pólo mais próximo da figura - projeção ampliada. Fig Pólo mais próximo do plano - projeção reduzida.

7 Projetividade Na figura abaixo temos a perspectiva de um objeto no espaço e suas projeções ortogonais sobre dois planos de projeção (π ) e (π). O símbolo que representa o plano vertical de projeção é (π ) e o símbolo que representa o plano horizontal de projeção é (π). Na interseção dos dois planos temos a linha de terra, que é representada por LT. Todo ponto a ser projetado é representado por uma letra maiúscula entre parênteses. Exemplo (A)

8 A projeção de um ponto (A) no plano (π ) é representada por A e a sua projeção no plano (π) será A. Diedros Os planos de projeção (π ) e (π) dividem o espaço em quatro diedros e a linha de terra divide cada plano de projeção em dois semiplanos. SpHA Semiplano horizontal anterior; SpHP Semiplano horizontal posterior; SpVS Semiplano vertical superior; SpVI Semiplano vertical inferior. A região do espaço limitada pelos SpHA e SpVS denomina-se primeiro diedro, a limitada pelas SpVS e SpHP segundo diedro, a limitada pelos SpHP e SpVI terceiro diedro e a limitada pelas SpVI e SpHA quarto diedro.

9 Épura O francês Gaspard Monge foi o criador da Geometria Descritiva e idealizou um modo de mostrar as projeções denominada Épura. figura 1 figura 2

10 Não se pode medir com régua e compasso as distâncias A (A) e A(A) porque são desenhos que representam figuras no espaço e só podemos medir distâncias i sobre o plano. Ao girarmos um plano sobre o outro, em torno da linha de terra, temos o semiplano horizontal posterior (SpHP) coincidindo com o semiplano vertical superior (SpVS). Teremos também a coincidência do semiplano horizontal anterior (SpHA) coincidindo com o semiplano vertical inferior (SpVI) conforme figura 3 abaixo. figura 3

11 As projeções verticais e horizontais de um ponto qualquer determinam uma linha perpendicular à linha de terra que chamamos de linha de chamada conforme a figura abaixo.

12 Estudo do ponto Na figura abaixo temos as três coordenadas de um ponto (A).

13 Posição do ponto Afastamento Cota 1º Diedro positivo positiva 2º Diedro negativo positiva 3º Diedro negativo negativa 4º Diedro positivo negativa SpHA positivo nula SpVS nulo positiva SpHP negativo nula SpVI nulo negativa L T nulo nulo As coordenadas de um ponto são sempre dados na ordem (x;y;z), onde x é a abscissa; y o afastamento e z acota cota.

14 Exemplo: 1. O ponto (A) no espaço onde (A) = (1;3;2) ou (A) = (x;y;z)

15 Rebatimento

16 1. Em épura, a abscissa x de um ponto é marcado sobre a linha de terra, a partir da origem pré fixada. A épura do ponto (A) é representada na épura da seguinte forma, conforme a figura abaixo.

17 Plano Bissetor O plano que divide um diedro em duas partes iguais chama-se plano bissetor. O símbolo (β i) ou (β 13 ) significa plano bissetor ímpar e (β p )ou(β 24 ) significa plano bissetor par.

18 Estudo da Reta Dois pontos distintos determinam uma reta. A reta é representada por uma letra minúscula entre parênteses (r). E r representa a projeção de uma reta (r) no plano (π ) e r representa a projeção de uma reta (r) no plano (π).

19 Tipos de Retas Reta Horizontal é toda reta paralela ao plano horizontal. Quando a reta é paralela ao plano horizontal sua projeção vertical é paralela à linha de terra.

20 Reta Frontal é toda reta paralela ao plano vertical. Quando a reta é paralela ao plano vertical sua projeção horizontal é paralela á linha de terra.

21 Reta Paralela à linha de terra é toda reta paralela à linha de terra e paralela ao plano vertical e ao plano horizontal. Quando a reta é paralela ao plano vertical e ao plano horizontal suas projeções são paralelas à linha de terra.

22 Reta Vertical é toda reta perpendicular ao plano horizontal. A sua projeção horizontal é um ponto e sua projeção vertical é uma reta vertical r.

23 Reta de Topo é toda reta perpendicular ao plano vertical. A sua projeção horizontal é uma reta vertical e sua projeção vertical é um ponto. O rebatimento de uma Reta de perfil será estudado mais adiante.

24 Traços de uma Reta Traços de uma reta são os pontos onde a reta fura os planos de projeção. (v) Traço Vertical

25 Para encontrar o traço vertical de uma reta, se prolonga sua projeção r até a linha de terra. Nainterseçãodalinhadeterracomaprojeçãor de terra a r levanta-se uma linha de chamada até encontrar a projeção r. Na interseção da linha de chamada com a projeção r temos o traço (v).

26 (H) Traço Horizontal Para encontrar o traço Horizontal de uma reta, se prolonga sua projeção r até a linha de terra. Na interseção da linha de terra com a projeção r levanta-se uma linha de chamada até encontrar a projeção r. Na interseção da linha de chamada com a proje ç ão r tem os o traço (H ).

27 Rebatimento de uma Reta de Perfil

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29 Retas Coplanares e Retas Não Coplanares D uas retas no espaço são coplanares ou não coplanares. Se duas retas estão contidas no mesmo plano dizemos que são coplanares. Retas Coplanares podem ser concorrentes, paralelas ou coincidentes. As retas não coplanares são também chamadas retas reversas. As retas coplanares podem ser: Concorrentes

30 Paralelas - distintas - coincidentes

31 Reversas

32 Planos A interseção do plano (α) com o plano (π) determina a reta απ que se denomina traço vertical do plano. A interseção do plano (α) com o plano (π) determina uma outra reta, απ, que se determina traço horizontal. Na épura qualquer plano pode ser representado por seus traços. Os planos devem ser representados por uma letra grega minúscula.

33 LTDA, 1974 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS MACHADO, Adervan. Geometria Descritiva. Editora McGraw-Hill do Brasil PRÍNCIPE JR. Geometria Descritiva. V.1 e 2. STAMATO, José. Cadernos do MEC, Introdução ao Desenho Técnico, ( acessado em 7/01/2008)