A projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das projeções de todos os seus pontos sobre este plano. (D) (C)

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2 ESTUDO DA RETA A projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das projeções de todos os seus pontos sobre este plano. (A) (C) (D) (B) (a) B (p) A C D Baixando de todos os pontos da reta perpendiculares ao plano, os pés das perpendiculares dão lugar à projeção ortogonal da reta. Estas perpendiculares formam um plano perpendicular ao plano p que é o plano projetante da reta. Os pés das perpendiculares estão na interseção dos dois planos e a projeção da reta (AB) é portanto esta interseção.

3 ESTUDO DA RETA (A) (B) A projeção de uma reta sobre um plano só deixa de ser uma reta quando esta lhe for perpendicular. Neste caso a projeção da reta se reduz a um ponto porque as projetantes de todos os seus pontos se confundem com a própria reta (p) A=B

4 ESTUDO DA RETA Quando uma reta for paralela ao plano, a sua projeção sobre este plano é igual e paralela à própria reta. No exemplo dado, seja a reta (A)(B) paralela ao plano p cuja projeção neste plano é a reta AB. As duas retas (A)(B) e AB formam com as projetantes (A)A e (B)B um paralelograma no qual (A)(B) = AB. Diz-se então que a reta se projeta em VERDADEIRA GRANDEZA (V.G.). (A) (B) (p) A B

5 ESTUDO DA RETA Quando uma reta for oblíqua a um plano, a sua projeção é menor que a reta do espaço. Isto pois a reta forma, com a sua projeção e as projetantes, um trapézio retângulo cuja base é menor que a reta do espaço. (A) (B) (p) A B

6 ESTUDO DA RETA O comprimento da projeção de uma reta sobre um plano varia com a inclinação desta em relação ao plano. (B) (B 1 ) (B 2 ) Uma reta pode passar por todos os valores, de zero (reta ortogonal ao plano) até o limite máximo igual ao comprimento verdadeiro da reta (reta paralela ao plano). (A) (B 3 ) (B 4 ) (p) A=B B 1 B 2 B 3 B 4

7 ESTUDO DA RETA Seja a reta (A)(B) perpendicular ao plano p. Suponha que a reta girando em torno de (A) ocupe as posições (A)(B 1 ),...(A)(B 3 ), etc, cujas projeções no plano (p) são respectivamente AB, AB 1, AB 2, etc. e assim por diante. (B) (B 1 ) (B 2 ) (B 3 ) Verifica-se que a projeção inicial é o ponto A=B e que esta projeção torna-se AB 1 quando o ponto B atinge a posição (B 1 ) e vai crescendo gradativamente. Conclui-se que a projeção de uma reta sobre um plano é tanto maior quanto menor for sua inclinação sobre ele. (A) (B 4 ) (p) A=B B 1 B 2 B 3 B 4

8 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS REVERSAS OU NÃO COPLANARES Sejam as retas (r) e (s), o plano (a) e o ponto (M), comum à reta (s) e ao plano (a). Enquanto a reta (r) está situada no plano (a), a reta (s) tem neste plano apenas um ponto (M). Conclui-se que o ponto (M) e a reta (r) definem o plano (a) e a reta (s) a ele não pertence. (r) e (s) são retas reversas ou não coplanares, o que significa que não pertencem ou não estão posicionadas no mesmo plano. (r) (M) (s) (a)

9 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS COPLANARES Sejam as retas (r) e (s), o plano (a) e o ponto (M), comum às retas (r) e (s) e ao plano (a). As retas (r) e (s) pertencem ao mesmo plano. (r) e (s) são ditas coplanares, pois definem um plano. (r) (M) (s) (a)

10 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS COPLANARES Concorrentes: as retas (r) e (s) apresentam um ponto em comum (M). Paralelas: as retas (r 1 ) e (s 1 ) são paralelas, não admitindo ponto comum. (s 1 ) (r 1 ) (r) (M) (s) (a)

11 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS COPLANARES CONCORRENTES Duas retas são concorrentes quando o ponto de interseção das projeções verticais e o das projeções horizontais (M) estiver numa mesma linha de chamada (r) (M) (s) r M s r M s (a) M r s

12 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS COPLANARES CONCORRENTES Duas retas são concorrentes quando duas projeções de mesmo nome se confundem e as outras duas se cortam. r (r) (s) (O) O S (a) O O r=s Neste caso as 2 retas concorrentes admitem um mesmo plano de projetante e por isso suas 2 projeções de mesmo nome coincidem.

13 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS COPLANARES CONCORRENTES Duas retas são concorrentes quando uma das projeções de uma reta se reduz a um ponto sobre a projeção de mesmo nome da outra reta. (u) u (r) (M) r M (a) r M=u r M=u

14 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS COPLANARES PARALELAS Duas retas são paralelas quando >> (I) as suas projeções de mesmo nome são paralelas. (r) (s) r s (a) r s r s

15 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS COPLANARES PARALELAS Duas retas são paralelas quando >> (II) duas projeções de mesmo nome se confundem e as outras duas são paralelas (é o caso de duas retas //s admitirem um mesmo plano projetante). (r) (s) r s (a) r=s r=s

16 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS COPLANARES PARALELAS Duas retas são paralelas quando >> (III) as suas projeções sobre um mesmo plano se reduzem, cada uma, a um ponto. (r) (s) r s (a) r s É o caso de duas retas verticais ou de topo que obrigatoriamente são paralelas entre si.

17 ALGUMAS POSIÇÕES DA RETA RETA HORIZONTAL: reta paralela ao plano horizontal. RETA FRONTAL: reta paralela ao plano vertical. RETA FRONTO-HORIZONTAL: reta paralela aos dois planos. RETA VERTICAL: reta perpendicular ao plano horizontal. RETA DE TOPO: reta perpendicular ao plano vertical Não mencionamos retas perpendiculares aos dois planos? Por que?

18 POSIÇÕES DA RETA Pois não há retas nesta posição!!! Toda a reta perpendicular a um plano será obrigatoriamente paralela ao outro, JÁ QUE OS PLANOS DE PROJEÇÃO SÃO PERPENDICULARES ENTRE SI.

19 DETERMINAÇÃO DE UMA RETA De modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são conhecidas as projeções desta reta sobre os dois planos ortogonais de Monge. (p ) B (B) A B A (A) B (p) A B A Sejam os planos (p) e (p ) perpendiculares e AB e A B respectivamente as projeções da reta (A)(B), cuja posição queremos determinar. Por AB faz-se passar um plano perpencicular ao plano (p); o mesmo se aplica com A B em relação a (p ). Cada um dos planos, que são os planos projetantes da reta nos respectivos planos de projeção, deve conter a reta do espaço, que será então a interseção destes 2 planos projetantes.

20 PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA Sabe-se que três pontos em linha reta projetam-se segundo três pontos também em linha, EXCETO quando os pontos estão na mesma reta perpendicular ao plano. (C) (B) Verifica-se então que se o o ponto (C) da figura ao lado pertence à reta (A)(B), a projeção C pertence à projeção AB. (A) B A C (a) REGRA GERAL...

21 PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA REGRA GERAL: um ponto pertence a uma reta quando as projeções deste ponto estão sobre as projeções de mesmo nome da reta, ou seja, a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta e a projeção vertical do ponto também sobre a projeção vertical da reta. EXEMPLOS r A t B r A t B E C F E F C

22 POSIÇÕES DA RETA Em relação aos planos de projeção, a reta pode ocupar várias posições, posições estas que determinam nomes e propriedades particulares. Veremos aqui a maior parte delas...

23 No espaço RETA QUALQUER (AG) Na épura PV A2 D H C G2 G A E G1 B F L A2 G2 G1 T A1 PH A1 Características da reta Qualquer: O segmento AG é oblíquo em relação ao PV e ao PH. Tanto as cotas como os afastamentos são diferentes ao longo do segmento. Nenhuma de suas projeções está em V.G. As projecções horizontais e as verticais são oblíquas em relação à LT.

24 RETA FRONTO-HORIZONTAL (AB) No espaço Na épura PV A2 D H B2 A E C G B F L A2 B2 T B1 A1 PH Características da reta Fronto-horizontal: O segmento AB tem a mesma cota distância do ponto ao PH - em todos os seus pontos, portanto é paralela ao PH. Tem também, o mesmo afastamento distância do ponto ao PV - em todos os seus pontos e portanto é paralela ao PV. Sendo paralela ao PV e ao PH também o será à LT. Por ser paralela ao PH, a sua projeção horizontal está em V.G. Verdadeira Grandeza Por ser paralela ao PV, a sua projeção vertical também estará em V.G. A1 B1

25 RETA HORIZONTAL (AC) No espaço Na épura PV A2 A2 C2 C2 C B G D A F H L E C1 C1 T A1 PH A1 Características da reta Horizontal: O segmento AC tem mesma cota em todos os seus pontos, portanto é paralela ao P H. Porém tem afastamentos diferentes nos pontos, é oblíquo ao PV. Por ser paralela ao PH porém oblíquo ao PV, a sua projeção horizontal está em V.G. e é oblíqua à LT. Sendo oblíquo ao PV e paralelo ao PH, a sua projeção vertical é paralela à LT.

26 No espaço RETA DE TOPO (AD) Na épura PV A2=D2 D H A E C G B F L A2=D2 D1 T D1 A1 PH Características da reta de Topo: O segmento AD tem mesma cota em todos os seus pontos, portanto é paralela ao PH. Porém tem afastamentos diferentes nos seus pontos e, é perpendicular ao PV. Por ser paralela ao PH, a sua projeção horizontal está em V.G. e é perpendicular à LT. Sendo perpendicular ao PV, a sua projeção vertical transforma-se num ponto. A1

27 RETA DE VERTICAL (AE) No espaço Na épura A2 PV A2 E2 D H A E C G B F L E2 T A1=E1 PH A1=E1 Características da reta Vertical: O segmento AE tem o mesmo afastamento em todos os seus pontos, portanto é paralelo ao PV. Porém tem cotas diferentes nos seus pontos e, é perpendicular ao PH. Sendo paralelo ao PV, a sua projeção vertical estará em V.G. e é perpendicular à LT. Por ser perpendicular ao PH, a sua projeção horizontal estará reduzida a um ponto.

28 No espaço RETA FRONTAL (AF) Na épura A2 PV A2 D H F2 A C G E B F L F2 T F1 A1 F1 A1 PH Características da reta Frontal: O segmento AF tem o mesmo afastamento em todos os seus pontos, portanto é paralelo ao PV. Porém tem cotas diferentes nos seus pontos e, é oblíquo ao PH. Sendo paralelo ao PV, a sua projeção vertical estará em V.G. e é oblíqua à LT. Por ser oblíqua ao PH mas paralela ao PV, a sua projeção horizontal será paralela à LT.

29 RETA DE PERFIL (AH) No espaço Na épura A2 PV A2 H2 D H C G A E B F L H2 H1 T H1 A1 A1 PH Características da reta de Perfil O segmento AH é oblíquo tanto ao PV, quanto ao PH; As cota e os afastamentos são diferentes ao longo do segmento As suas projeções horizontal e vertical não estão em V.G As projeções horizontal e vertical são perpendiculares à LT. No espaço, ela pode ser concorrente à LT.

30 POSIÇÕES DA RETA RETA DE PERFIL (p P ) (p S ) (V) Uma reta de perfil só pode ocupar 2 posições em relação aos planos de projeção: (H)=(V) (r) (s) (H) (p A ) (i) ou possui os 2 traços distintos (H) e (V) e neste caso passa por 3 diedros ou, (p I ) (ii) possui os seus traços coincidentes sobre a LT e só atravessará os 2 diedros opostos.

31 TRAÇOS DE RETA DE PERFIL EM ÉPURA: POSIÇÕES DA RETA - seja (A) (B) dada por suas projeções A2 e B2 e A1 e B1. V (=(V)) é o traço da reta sobre o plano vertical (p ). Suponha que o traço H da reta sobre o plano horizontal (p) e o traço V da reta sobre o plano vertical (p ) sejam desconhecidos. VAMOS DETERMINÁ-LOS!!. - Opera-se fazendo-se centro em H =V e descrevendo os raios de círculo até situar estes pontos em A3 e B3 na linha de terra. OBS: na realidade não é necessário obrigatoriamente traçar os arcos de círculo. O transporte dos afastamentos dos pontos (A) e (B) para H A3 e H B3 levam ao mesmo resultado. A2 B2 H =V A1 B1

32 TRAÇOS DE RETA DE PERFIL POSIÇÕES DA RETA A2 PASSO 1 B2 H =V A3 B3 A1 B1

33 TRAÇOS DE RETA DE PERFIL POSIÇÕES DA RETA EM ÉPURA: V =(V) - teremos em (A 1 )(B 1 ) a verdadeira grandeza da reta (A)(B) - através do prolongamento superior da reta (A 1 )(B 1 ) podemos derivar o traço vertical (V)=V da reta (A)(B) A2 B2 H =V A1 (A 1 ) A 1 B 1 (B 1 ) PASSO 2 B1

34 TRAÇOS DE RETA DE PERFIL POSIÇÕES DA RETA V =(V) A (A 1 ) B (B 1 ) H =V A 1 B 1 A B

35 TRAÇOS DE RETA DE PERFIL POSIÇÕES DA RETA EM ÉPURA: V =(V) - com o mesmo centro em H =V e raio H H 1, descreve-se, em sentido contrário ao efetuado para o rebatimento (sentido dos ponteiros), o arco H 1 H, sendo (H) o traço horizontal. A2 B2 (A 1 ) (B 1 ) H =V PASSO 4 Pronto! H e V estão determinados. A1 B1 (H) A 1 B 1 H 1

36 POSIÇÕES DA RETA Assim como analisado para o ponto, esta reta pode estar contida toda dentro de qualquer dos semiplanos ou em coincidência com a LT. No primeiro caso, a reta possuirá sempre uma das projeções sobre a LT. No segundo caso, ambas as projeções coincidem com aquela com a LT. Reta situada no (p S ) (A)=A (p S ) (B)=B (B)=B (A)=A A B (p P ) A (p I ) B (p A ) A reta coincide com a sua própria projeção vertical. Na épura, a projeção vertical aparece acima da LT e a projeção horizontal sobre a LT.

37 Reta situada no (p I ) POSIÇÕES DA RETA (p S ) A B (p P ) A B (p A ) (B) = B (A) = A (B) = B (A) = A (p I ) A reta coincide com a sua própria projeção vertical. Na épura, a projeção vertical aparece abaixo da LT e a projeção horizontal sobre a LT.

38 Reta situada no (p A ) POSIÇÕES DA RETA (p S ) A B B (B) = B (p P ) A (A) = A (p A ) (A) = A (B) = B (p I ) A reta coincide com a sua própria projeção horizontal. Na épura, a projeção vertical da reta aparece sobre a LT, enquanto a sua a projeção horizontal posiciona-se abaixo da LT.

39 Reta situada no (p P ) POSIÇÕES DA RETA (p S ) (A) = A (B) = B (A) = A (B) = B (p P ) A B (p A ) A B (p I ) A reta coincide com a sua própria projeção horizontal. Na épura, a projeção vertical da reta aparece sobre a LT, enquanto a sua a projeção horizontal posiciona-se acima da LT.

40 POSIÇÕES DA RETA Reta situada sobre a LINHA DE TERRA pp (p S ) (B)=B=B (p P ) (A)=A=A (p A ) (A)=A=A (B)=B=B (p I )

41 Outros exemplos: POSIÇÕES DA RETA Reta (r) de topo no (p A ) (p S ) r (r) (p P ) (p A ) (p I )

42 Outros exemplos: POSIÇÕES DA RETA (p S ) Reta (u) vertical no (p S ) (u) (p P ) (p A ) u (p I )

43 Outros exemplos: POSIÇÕES DA RETA Reta (m) frontohorizontal no (p P ) (p S ) B (p A ) (p P ) A (p I )

44 Exercícios

45 Exercícios 4. Dada a reta AB, onde (A) [0; -2; -1] e (B) [4; 2; 2,5], determine: a) sua épura; b) seus traços; c) os diedros que ela atravessa; d) a sua posição no espaço; 5. Um ponto (A) está situado no 1 o b P, trace uma reta BC, que contenha o ponto (A), sendo (A) [3; 1,5;?], (B) [-0,5; 3; 2] e (C) [5;?;?]. 6. Traçar a épura de uma reta qualquer AB, com o ponto (A) em p A e (B) em p s, passando por um ponto (C) [2; 1; 1].

46 Exercícios 7. Traçar as épuras das seguintes retas: a) de uma vertical distante 2 cm do plano p e com um ponto em p A ; b) de uma fronto - horizontal, mais próxima do plano p do que do plano p. 8. Utilizando a mesma linha de terra, represente em épura as seguintes retas no primeiro diedro: a) de perfil, toda no b I e possuindo um ponto na linha de terra; b) de topo, com ponto no p s e outro no b I ;

47 Exercícios c) qualquer, com um ponto no p s, distante 1,5 cm de p e outro no p A, distante 2 cm de p s ; d) de uma horizontal de cota nula. 9. Traçar a épura de uma reta situada no primeiro diedro, que atravesse os segundo e quarto diedros. 10. Por um ponto (A) [2; 2; 2], traçar uma reta AB, paralela a uma reta dada CD, sendo (B) [0;?;?], (C) [-1; -1; 3] e (D) [3; 0; -1].

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