Notas de Aula de Geometria Descritiva - GGM - IME - UFF

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1 Aula 01: O Ponto O objetivo da Geometria Descritiva é representar no plano as figuras do espaço, possibilitando o estudo de suas propriedades e a resolução de problemas espaciais através da Geometria Plana. Breve histórico: Euclides a.c.: regras de perspectiva. Vitrúvio - a.c.: cortes horizontais e verticais de edifícios. Leonardo da Vinci - século XV: estudos para a representação plana de objetos do espaço. Gaspard Monge - século XVIII: Geometria Descritiva. 1) Projeções Notação: Utilizaremos letras maiúsculas para denotar pontos em Geometria Descritiva, por exemplo: ou. As letras minúsculas serão utilizadas para denotar retas, por exemplo: ou. Analogamente as letras gregas denotarão planos, por exemplo: ou. As letras entre parênteses indicam que os objetos estão no espaço tridimensional e letras sem parênteses indicam projeções dos objetos. Definição (Projeção): Dados um ponto, uma reta contendo e um plano que não contém, dizemos que a projeção de sobre, denotada por, é a interseção de e. A reta é chamada de projetante. A figura abaixo ilustra a projeção. 1.1) Tipos de projeção As principais formas de projetar uma figura espacial sobre um plano são apresentadas a seguir. Projeção Cônica (lâmpada): neste caso, todas as projetantes partem de um ponto fixo chamado de centro ou foco de projeção.

2 Projeção Cilíndrica (sol): O centro de projeção é deslocado para o infinito, fazendo que com todas as projetantes sejam paralelas à uma direção fixada, chamada direção de projeção. Um caso particular e muito utilizado é a Projeção Cilíndrica Ortogonal, onde a direção de projeção é perpendicular ao plano. 2) Sistema Mongeano de Projeções O sistema de projeção desenvolvido por Gaspard Monge e utilizado em Geometria Descritiva é a dupla projeção cilíndrica ortogonal. Este método utiliza dois planos de projeção perpendiculares entre si, que são o plano vertical, denotado por, e o plano horizontal, denotado por. Definição (Linha de Terra): A linha de interseção entre os planos de projeção vertical e horizontal é chamada de Linha de Terra e denotada por, L.T., ou. Os planos e dividem o espaço em quatro diedros (1º, 2º, 3º e 4º diedro). Os planos e são divididos pela linha de terra em quatro semiplanos, denotados por: S.P.H.A. (Semiplano horizontal anterior); S.P.H.P. (Semiplano horizontal posterior) ;

3 S.P.V.S. (Semiplano vertical superior); S.P.V.I. (Semiplano vertical inferior). Para facilitar a compreensão deste sistema, vamos introduzir um observador sobre o plano de projeção horizontal como nas figuras abaixo. Na primeira figura dizemos que o observador possui uma vista perspectiva, e na segunda, uma vista de perfil. 2.1) Representação do ponto Um ponto do espaço é representado neste sistema por suas duas projeções e sobre os planos e, respectivamente. Ou seja: é a projeção do ponto sobre o plano vertical ; é a projeção do ponto sobre o plano vertical. Além disso, cada ponto no sistema mongeano é determinado por três coordenadas, como segue: sendo: x é a Abcissa ou Abscissa: é positiva a direita do observador; y é o Afastamento: quanto maior o afastamento mais distante o ponto está do plano vertical; z é a Cota: quanto maior a cota mais alto o ponto se encontra.

4 OBS.: Note que os pontos, e definem um plano no espaço que é perpendicular aos planos de projeção e. 2.2) A Épura Uma representação em épura tem como objetivo representar objetos tridimensionais utilizando um único plano. Na épura mongeana (que chamaremos, por simplicidade, somente de épura) representamos os planos e em um único plano fazendo com que o plano vertical permaneça fixo, enquanto o plano horizontal é rotacionado em torno da linha de terra, até que o S.P.H.A. coincida com o S.P.V.I., e consequentemente o S.P.H.P. coincida com o S.P.V.S., como vemos na figura abaixo. Definição (Linha de Chamada): A linha que une as projeções e de em épura é conhecida como linha de chamada do ponto Essa linha é sempre perpendicular a L.T. e será representada por uma linha pontilhada.

5 Representação do ponto em Épura: acesse o link abaixo para ver o vídeo do assunto. 3) As Posições do Ponto O ponto pode ocupar nove diferentes posições no espaço: quatro posições gerais (1º, 2º, 3º ou 4º diedro) e cinco posições sobre os planos e (SPVA, SPVP, SPHS, SPHI e sobre a L.T.). As figuras abaixo mostram a representação em épura de pontos localizados nas quatro posições gerais: 1) Ponto situado no primeiro diedro. 2) Ponto situado no segundo diedro.

6 3) Ponto situado no terceiro diedro. 4) Ponto situado no quarto diedro. Vejamos agora a representação em épura de pontos localizados nas cinco posições sobre os planos e.

7 O quadro a seguir resume o que foi exposto acima: posição 1d 2d 3d 4d LT SPHA SPHP SPVI SPVS cota afastamento ) Quem foi GASPARD MONGE? Gaspard Monge (1746 a 1818) foi um sábio desenhista francês, figura política do final do século XVIII e início do século XIX, um dos fundadores da Escola Politécnica Francesa, criador da Geometria Descritiva e grande teórico da Geometria Analítica, ele pode ser considerado o pai da Geometria Diferencial de curvas e superfícies do espaço. Monge foi professor da Escola Militar de Meziéres e da Escola Politécnica de Paris, onde teve como discípulos e seguidores de sua obra Jean Pierre Hachette, Barnabé Busson, Jean Victor Poncelet, Charles Dupin, Michel Chasles, Theodore Oliver, C.F. Leroy, Jules de La Gourmiere e Victor Amadeé Macleim, tendo este último exercido o magistério no último quartel do século XIX. Ele ainda aprimorou uma técnica de representação gráfica já iniciada pelos egípcios que representavam apenas: a planta, a elevação e o perfil. Esse interesse em estudar essa técnica resultou de impulsos patrióticos que visavam tirar a França da dependência da indústria estrangeira. Fonte: Wikipedia.

8 Exercícios: Exercício 01: Localize e represente em épura os seguintes pontos: (A)[-3;-1;0], (B)[-1;2;-4], (C)[3;-2;-3], (D)[1;0;-2], (E)[2;0;1], (F)[0;3;1], (G)[-2;1;0], (I)[-1;-1;2], (J)[3;0;0], (K)[2;- 1;1], (L)[-1;-3;-3], (M)[1;2;-2], (N)[3;4;4]. Exercício 02: Identifique as coordenadas e posições dos seguintes pontos: Exercício 03: (a) Identifique em épura pontos cujo afastamento é igual à sua cota. Seja o plano formado por todos os pontos do espaço com essa propriedade (afastamento = cota). Qual o ângulo que esse plano faz com o plano horizontal de projeção? Por quais diedros esse plano passa? (b) Ídem para os pontos cujo afastamento é igual ao negativo da cota (ie: afastamento = - cota).

9 Aula 02 - A Reta 1) Projeção de reta sobre o plano: No Sistema Mongeano estudamos a reta através de suas projeções nos planos de projeção e. Notação: Utilizaremos letras minúsculas para denotar retas, por exemplo ou. E ainda, retas determinadas por dois pontos e serão denotadas por. Definição (Projeção de reta): A projeção de uma reta sobre um plano é o conjunto das projeções de todos os pontos que pertencem a reta. A projeção de uma reta sobre um plano é uma reta ou um ponto (se a reta for perpendicular ao plano). Notação: A projeção horizontal de uma reta será denotada por e a vertical por. Para determinar a projeção de uma reta, basta projetar dois de seus pontos, e uni-los. 2) Determinação de uma reta De modo geral, a posição de uma reta fica bem determinada quando são conhecidas suas projeções sobre os planos e.

10 Observação (Exceção da regra): Essa regra possui exceção quando se trata de um reta de perfil. Esse tipo de reta será estudada mais adiante. Definição (Verdadeira Grandeza): Quando a projeção de uma reta comprimento, dizemos que a reta 3) Pertinência de ponto em reta está projetada em Verdadeira Grandeza (V.G.). e a própria reta têm o mesmo Regra geral: Um ponto pertence a uma reta quando as projeções do ponto estão sobre as projeções de mesma natureza da reta, isto é, a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta e a projeção vertical do ponto sobre a projeção vertical da reta. Exemplos: 1) Na épura abaixo, o ponto (A) pertence a reta em todos os casos, já que A' pertence à e A pertence à. 2) Nos casos mostrados a seguir, o ponto (A) não pertence à reta. Por quê? Observação (Exceção da regra): Essa regra possui exceção quando se trata de um reta de perfil. Esse tipo de reta será estudada mais adiante.

11 4) Posições da Reta. Classificamos as retas segundo a posição que elas ocupam em relação aos planos de projeção e 4.1) Reta Qualquer É toda reta oblíqua aos planos de projeção e. Propriedades: As projeções são obliquas em relação à L.T.; Todo segmento de reta não possui projeções em verdadeira grandeza (V.G.). 4.2) Reta Horizontal É toda reta paralela ao plano de projeção horizontal e oblíqua ao plano de projeção vertical Propriedades: Projeção vertical paralela à L.T., ou seja, todos os pontos da reta possuem a mesma cota; Projeção horizontal oblíqua em relação à L.T.; Qualquer segmento de reta horizontal tem projeção horizontal em V.G.. 4.3) Reta Frontal É toda reta paralela ao plano de projeção vertical e oblíqua ao plano de projeção horizontal

12 Propriedades: Projeção horizontal paralela à L.T., ou seja, todos os pontos possuem o mesmo afastamento; Projeção vertical oblíqua em relação à L.T.; Qualquer segmento de reta frontal tem projeção vertical em V.G. 4.4) Reta Frontohorizontal ou paralela à L.T. É toda reta paralela aos planos de projeção e, consequentemente, à L.T.. Propriedades: Ambas as projeções são paralelas à L.T.; Qualquer segmento de reta frontohorizontal possui ambas as projeções em V.G.. 4.5) Reta Vertical É toda reta perpendicular ao plano de projeção horizontal Propriedades: Projeção horizontal é um ponto; Projeção vertical é uma reta perpendicular a L.T.; Qualquer segmento de reta vertical possui projeção vertical em V.G..

13 4.6) Reta de Topo É toda reta perpendicular ao plano de projeção vertical Propriedades: Projeção vertical é um ponto; Projeção horizontal é uma reta perpendicular a L.T.; Qualquer segmento de reta de topo possui projeção horizontal em V.G.. 4.7) Reta de Perfil É toda reta perpendicular a L.T., mas não é horizontal nem frontal. Propriedades: Ambas as projeções são perpendiculares a L.T.; Qualquer segmento de reta de perfil não possui projeções em V.G.. 4.8) Reta contida no plano Como o próprio nome diz, são as retas contidas no plano de projeção horizontal

14 Propriedades: Projeção vertical coincide com a L.T.;, ou seja, a projeção horizontal em V.G.. 4.9) Reta contida no plano Mais uma vez, como o próprio nome diz, são as retas contidas no plano de projeção vertical. Propriedades: Projeção horizontal coincide com a L.T.;, ou seja, projeção vertical está em V.G ) Reta coincidente com a L.T. Propriedades: Ambas as projeções coincidem com a L.T.; Ambas as projeções estão em V.G.. 5) Posições Relativas de Duas Retas Duas retas podem ocupar as seguintes posições relativas entre si: Paralelas: são coplanares e não se interceptam; Concorrentes: são coplanares e possuem um ponto em comum; Reversas: são não-coplanares (logo não possuem ponto em comum). 5.1) Retas Paralelas Suas projeções de mesmo nome são paralelas ou uma delas é paralelas e a outra coincidente.

15 Observação (Paralelismo de Retas Verticais, de Topo e Frontohorizontais) Todas as retas verticais são paralelas entre si. Todas as retas de topo são paralelas entre si. Todas as retas frontohorizontais são paralelas entre si. 5.2) Retas Concorrentes As interseções das projeções das retas têm a mesma abcissa, isso é, as retas possuem ponto em comum. Uma das projeções pode coincidir ou não.

16 5.3) Retas Reversas 6) Traços da Reta Definição (Traços): Os traços de uma reta são os pontos onde a reta intercepta os planos de projeção e O ponto de interseção da reta com o plano é o traço vertical, denotado por se existir. E o ponto de interseção da reta com o plano é o traço horizontal, denotado por se existir. OBS.: Se a reta for paralela a um dos planos de projeção, ela não possui traço nesse plano, como no exemplo dado abaixo.

17 6.1) Determinação do Traço Horizontal Para determinar o traço horizontal (H)=H de uma reta dada por suas projeções: 1. Determine, a interseção de com a L.T.. 2. O ponto é a interseção da linha de chamada em com. 6.2) Determinação do Traço Vertical Para determinar o traço vertical (V)=V de uma reta 1. Determine, a interseção de com a L.T.. dada por suas projeções: 2. O ponto é a interseção da linha de chamada em com.

18 7) Trajetória de uma Reta Uma reta muda de diedro quando ela cruza um plano de projeção. Na épura, o estudo da trajetória de uma reta é feito determinando a posição de pontos imediatamente à esquerda e à direita dos traços horizontal e vertical. Vejamos os exemplos a seguir:

19 8) Exercícios Exercício 01: Sejam os pontos (A)[-3;-1;0], (B)[-1;-2;-4], (C)[3,0;3], (D)[1,0,-2], (E)[2,0,1], (F)[0,3,1], (G) [-2,1,1], (I)[-1,1,2]. Desenhe a épura das retas definidas por (A)(B), (C)(D), (E)(F), (G)(I) e as classifique de acordo com sua posição. Exercício 02: Desenhe a épura das retas definidas por (A)(B), (C)(D), (E)(F), (G)(I), (J)(K), (L)(M) e responda: quais pares de retas são paralelos? Quais pares de retas são concorrentes? Quais pares de retas são reversos? (A)[-3;-1;0], (B)[-1;2;-4], (C)[1,-1;0], (D)[3,2,-4], (E)[0,1,2], (F)[3,1,1], (G)[-2,1,3], (I)[0,-1,3], (J)[3,0,0], (K)[2,- 1,1], (L)[2,-1,1], (M)[1,2,-2], (N)[-1;2;-4] Exercício 03: Traçar a épura da reta (r) com um ponto (A) no (SPVI) e outro ponto (B) no segundo diedro. Por quais diedros essa reta passa? Exercício 04: Traçar a épura da reta (r) com um ponto (A) no (SPHP) e outro ponto (B) no quarto diedro. Por quais diedros essa reta passa? Exercício 05: Dado as retas (A)(B) e (C)(D) pede-se: a) Suas épuras. b) Seus traços. c) Os diedros que elas atravessam. d) Seus tipos. (A)[0;-2;-1], (B)[4;2;2.5], (C)[0;1;-1], (D)[0;1;2] Exercício 06: Dadas as seguintes retas: (r) passa por (A)[2;2.9;0.8], (B)[6;1.3;2.2]. (s) passa por (C)[-2,1,1], (D)[2;1;3]. (t) passa por (E)[0,1,3], (F)[2;2;3]. (u) passa por (G)[-2,1,1], (I)[-2;1;3]. (v) passa por (K)[-4,1,1], (L)[-4;3;1]. Pede-se: a) Suas projeções em épura. b) Seus traços. c) Os diedros que elas atravessam. d) Os semiplanos elas atravessam. e) Seu tipo. Exercício 07: Qual o tipo de cada uma das seguintes retas? Quais das retas a seguir possuem projeção vertical em verdadeira grandeza? E quais possuem projeção horizontal em verdadeira grandeza? Em quais diedros elas passam? Encontre os traços verticais e horizontais das retas.

20 Exercício 08: Represente em épura as retas dadas pelas coordenadas de dois de seus pontos, em seguida determine seus traços, classifique as retas e descreva por quais diedros elas passam. a) (A)[1;3;3] e (B) [3;-3;5] b) (D)[2;2;-1] e (E) [5;5;?] sabendo que tem cota constante. c) (G)[2;?;3] e (J) [4;3;5] sabendo que tem afastamento constante. Exercício 09: Na reta pontos abaixo solicitados: (M) [4;?;?] (N) [-1;?;?] (S) [?;6;?] dada pelas coordenadas de seus pontos (A) [2;4;5] e (B)[5;3;4] determine os Exercício 10: Verificar se o ponto (M) [6;3;1] pertence a reta (B)[5;4;2]. Determine também seus traços e classifique a reta. dada pelas coordenadas de (A)[5;2;4] e Exercício 11: Represente as projeções da reta horizontal sabendo que e que p traço de é o ponto (V)[1;?;2]. Exercício 12: Conhecida a reta vertical de abcissa 3 e afastamento 4, represente as projeções da reta horizontal que tem traço vertical (V)[6;0;2]. Sabe-se que a reta é concorrente com no ponto (A). Escreva também as coordenadas do ponto (A).

21 Aula 03 - O Plano Em Geometria Euclidiana Plana aprendemos que um plano fica determinado por: três pontos não colineares; duas retas paralelas; duas retas concorrentes; uma reta e um ponto não pertencente à ela. Agora veremos como representar um plano em épura. 1) Representação do Plano em Épura Definição (Traços do Plano): O Traço Horizontal de um plano é a reta de interseção entre os planos e, se existir. Analogamente, o Traço Vertical de um plano é a reta de interseção entre os planos e, se existir. Os planos são representados em épura através de seus traços. Exemplos: 1) 2) 2) Pertinência da Reta a um Plano Regra Geral: Uma reta pertence a um plano quando seus traços estão sobre os traços correspondentes do plano.

22 3) Classificação dos Planos Classificamos os planos de acordo com sua posição em relação a e. Apresentamos a seguir tal classificação, dividindo-a em dois grupos: projetantes e não projetantes. 3.1) Planos Projetantes São chamados projetantes os planos perpendiculares a um dos planos de projeção ) Plano Horizontal É todo plano paralelo ao plano de projeção horizontal. Exemplo: Propriedades: O traço vertical é paralelo a L.T.. Não possui traço horizontal Toda figura contida neste plano é projetada horizontalmente em V.G.. Pertinência de ponto: Basta verificar se a projeção vertical do ponto está sobre. Retas do plano horizontal: horizontal, frontohorizontal e de topo. Exemplo:

23 3.1.2) Plano Frontal É todo plano paralelo ao plano de projeção vertical. Exemplo: Propriedades: O traço horizontal é paralelo a L.T.. Não possui traço vertical Toda figura contida neste plano é projetada verticalmente em V.G.. Pertinência de ponto: Basta verificar se a projeção horizontal do ponto está sobre. Retas do plano frontal: frontal, vertical e frontohorizontal. Exemplo:

24 3.1.3) Plano de Topo É todo plano perpendicular ao plano de projeção vertical horizontal. Exemplo: e inclinado em relação ao plano de projeção Propriedades: O traço horizontal é perpendicular à L.T.. O traço vertical é inclinado em relação à L.T.. Projeções de figuras contidas neste plano não estão em V.G.. Pertinência de ponto: Basta verificar se a projeção vertical do ponto está sobre. Retas do plano de topo: frontal, vertical e frontohorizontal. Exemplo: 3.1.4) Plano Vertical É todo plano perpendicular ao plano de projeção horizontal vertical. Exemplo: e inclinado em relação ao plano de projeção

25 Propriedades: O traço vertical é perpendicular à L.T.; O traço horizontal é inclinado em relação à L.T.; Projeções de figuras contidas neste plano não estão em V.G.. Pertinência de ponto: Basta verificar se a projeção horizontal do ponto está sobre. Retas do plano vertical: qualquer, horizontal e vertical. Exemplo: 3.1.5) Plano de Perfil É todo plano perpendicular à L.T. e consequentemente perpendicular a e a. Exemplo:

26 Propriedades: O traço vertical e o horizontal são perpendiculares à L.T.; Projeções de figuras contidas neste plano não estão em V.G.. Pertinência de ponto: Basta verificar se a abcissa do ponto é a mesma do plano. Retas do plano de perfil: de topo, vertical e de perfil. Exemplos: 3.2) Planos não-projetantes São chamados não-projetantes os planos não perpendiculares a nenhum dos planos de projeção ) Plano qualquer É todo plano inclinado em relação aos dois planos de projeção e. Exemplo:

27 Propriedades: Ambos os traços são oblíquos em relação à L.T.; Projeções de figuras contidas neste plano não estão em V.G.. Pertinência de ponto: Para verificar se um dado ponto pertence ou não ao plano devemos verificar se ele pertence a alguma reta do plano. Retas do plano qualquer: qualquer, horizontal, frontal e de perfil. Exemplo 1: Exemplo 2: Vejamos como determinar se o ponto (A) pertence ao plano. Na figura abaixo à esquerda utilizamos uma reta horizontal e seguimos os seguintes passos: Traçamos uma reta horizontal que pertence ao plano utilizando a projeção vertical do ponto; Verificamos se o ponto pertence à reta horizontal (note que a projeção horizontal da reta horizontal é paralela à ) Na figura abaixo à direita utilizamos uma reta frontal e seguimos os seguintes passos: Traçamos uma reta frontal que pertence ao plano utilizando a projeção horizontal do ponto; Verificamos se o ponto pertence à reta frontal (note que a projeção vertical da reta frontal é paralela à )

28 3.2.2) Plano paralelo a L.T. Como o próprio nome diz, é todo plano paralelo à L.T.. Propriedades: Ambos os traços são paralelos à L.T.; Projeções de figuras contidas neste plano não estão em V.G.. Pertinência de ponto: Para verificar se um dado ponto pertence ou não ao plano devemos verificar se ele pertence a alguma reta do plano. Retas do plano paralelo à L.T.: qualquer, frontohorizontal e de perfil. Exemplos: 3.2.3) Plano que passa pela L.T. e por um ponto Mais uma vez seu nome o define: é todo plano que passa pela L.T. e por um dado ponto

29 Propriedades: Ambos os traços coincidem com a L.T.; Projeções de figuras contidas neste plano não estão em V.G.. Pertinência de ponto: Para verificar se um dado ponto pertence ou não ao plano devemos verificar se ele pertence a alguma reta do plano. Retas do plano que passa pela L.T.: qualquer, frontohorizontal, coincidente com a L.T. e de perfil. 4) Obtenção dos Traços do Plano 4.1) Encontrar os traços do plano conhecendo duas de suas retas. Podemos encontrar os traços de um plano se conhecemos duas de suas retas pois os traços das retas pertencem aos respectivos traços do plano. Exemplo: Vejamos o passo-a-passo para encontrar os traços do plano que contém as retas ( e (. 1) Encontrar os traços de ( e (. 2) Unindo os traços verticais das duas retas encontramos o traço vertical de. 3) Unindo os traços horizontais das duas retas, encontramos o traço horizontal de.

30 4.2) Encontrar traços do plano conhecendo um de seus pontos e uma de suas retas. Podemos encontrar os traços de um plano se conhecermos um de seus pontos e uma de suas retas, já que os traços das retas devem estar sobre os traços de mesmo nome do plano assim como as projeções do ponto. Exemplo: Vejamos o passo-a-passo para encontrar os traços do plano que contém a reta ( e o ponto (A). 1) Escolhemos um ponto auxiliar sobre a reta (. 2) Desenhamos uma reta auxiliar ( que passa por. A reta ( também pertence ao plano. Agora temos duas retas do plano ( e (, com isso encontramos os traços do plano através dos traços dessas retas, da mesma forma que foi feito no problema anterior. 3) Encontramos os traços de ( e (. 4) Unindo os traços horizontais das duas retas, encontramos o traço horizontal de. 5) Unindo os traços verticais das duas retas, encontramos o traço vertical de.

31 4.3) Encontrar traços do plano que passa por 3 pontos. Podemos encontrar os traços de um plano se conhecermos três de seus pontos não colineares utilizando a idéia dos itens anteriores. Exemplo: Vejamos o passo-a-passo para encontrar os traços do plano colineares, e. determinado pelos pontos não 1) Desenhamos duas retas auxiliares: que passa por que passa por

32 2) Agora temos duas retas do plano ( e ( que estão contidas no plano e devemos encontrar seus traços. 3) Unindo os traços verticais das duas retas, encontramos o traço vertical de. Unindo os traços horizontais das duas retas, encontramos o traço horizontal de.

33 5) Exercícios Exercício 01 Classifique os seguintes planos dados por seus traços: Exercício 02 Desenhe uma reta de cada um dos seguintes planos: Exercício 03 Encontre os traços do plano que passa pelos pontos (A),(B),(C). (A)[2;2.9;0.8], (B)[6;1.3;2.2],(C)[2;0.7;3.4]. Exercício 04 Encontre os traços do plano que passa pelos pontos (A),(B),(C). (A)[2;2.9;0.8], (B)[2;1.3;2.2], (C)(1,1,1). Exercício 05 Trace duas retas distintas do plano que passem pelo ponto (A).

34 Exercício 06 Trace dois pontos, (A) e (B) que pertençam ao plano. e dois pontos (C) e (D) que não pertençam ao plano Exercício 07 Quais dos planos a seguir são projetantes? Quais são perpendiculares a. Quais são paralelos a? Quais são paralelos a?? E quais são perpendiculares a

35 Exercício 08 Determinar os traços dos planos definidos pelas seguintes retas: a) reta : (A)[2;5;1] e (B)[4;3;4] ; reta :(B) e (C)[5;2;2]. b) reta : (A)[2;-2;-2] e (B)[4;2;0] ; reta :(B) e (C)[4;2;4]. c) reta : (A)[2;-1;4] e (B)[5;-4;-2] ; reta :(C)[2;0;4] e (D)[5;-2;?]. d) reta : (A)[2;-1;2] e (B)[6;-1;2] ; reta :(C)[5;2;2] e (D)[5;-1;?]. e) reta : (A)[2;2;0] e (B)[2;2;5] ; reta :(C)[4;1;-2]] e (D)[4;1;5]. e) reta : (A)[4;2;3] e (B)[4;4;0] ; reta :(A) e (C)[4;4;1]. Exercício 09 No plano de topo construir, pelo ponto a reta horizontal e a reta frontal do plano, sabendo-se que faz 30º graus a direita com a LT. Exercício 10 Provar que uma reta frontal pode pertencer à um plano qualquer. Exercício 11 Determine os traços do plano de topo, sabendo que e que possui abcissa +3.

36 Exercício 12 Determinar os traços do plano [5;2;1] e (D)[4;0;4]. que passa pelo segmento (A)(B) e pelo ponto (D). Sabe-se: (A)[2;1;5], (B) Exercício 13 Determinar os traços do plano que passa pelas concorrentes: (A)(B) e (C)(D). Sabe-se: (A)[3;4;1], (B)[6;1;3] e (C)[4;1;4] e (D)[5;?;1]. Exercício 14 Determinar os traços do plano (B)[?;4;3] e (C)[4;2;1]. que passa pela reta de perfil (A)(B) e pelo ponto (C). Sabe-se: (A)[8;-2;5], Exercício 15 Verificar se o ponto (P) pertence ao triângulo (A)(B)(C). Sabe-se: (A)[1;1;2], (B)[3;4;5], (C)[5;0;3] e (P)[3;2;3]. Exercício 16 Determinar os traços do plano [5;?;?], (B)[2;4;2] e (C)[1;-1;6]. que passa pela reta frontal (A)(B) e pelo horizontal (A)(C). Sabe-se: (A)

37 Aula 04 - Interseções e Perpendicularidade 1) Interseção de Planos Quando dois planos não são paralelos, são chamados secantes. Nesse caso, a interseção entre eles é uma reta. Estamos interessados em representar em épura a reta de interseção entre dois planos secantes. É preciso lembrar que para representar uma reta em épura, é necessário conhecer as projeções de dois de seus pontos, que neste caso serão seus traços vertical e horizontal. Vejamos os seguintes casos: 1.1) Planos dados por seus Traços: Neste primeiro caso, para representar a reta (s) de interseção entre dois planos secantes e ( Exemplo:, encontraremos as projeções de seus traços. Veja o exemplo a seguir. 1. Marque, que é a interseção entre e. Em seguida marque sobre a linha de terra. 2. Marque, que é a interseção entre e. Em seguida marque sobre a linha de terra. 3. Marque ligando e. 4. Marque ligando e. 1.2) Planos com Traços Paralelos: Neste caso, existe o cruzamento de um tipo de traço (horizontal ou vertical) e paralelismo do outro, o que implica que a reta é paralela à eles.

38 Exemplos: 1) Repare que neste exemplo temos os traços horizontais dos planos paralelos entre si. Devemos seguir os seguintes passos para determinar as projeções da reta (s) de interseção entre os planos secantes. 1. Marque, que é a interseção entre e. Em seguida marque sobre a linha de terra. 2. Marque paralela à L.T. e passando por. 3. Marque paralela à (e ) e passando por. 2) Este exemplo é análogo ao anterior, mas agora (s) é perpendicular a. 1.3) Planos com apenas um Traço: Neste caso, considere um dos planos secantes paralelo à um dos planos de projeção, o que implica que este terá apenas um traço. Vejamos os exemplos a seguir. Exemplos: 1) O plano é um plano horizontal e portanto possui apenas o traço vertical. O plano é um plano de topo e possui traço horizontal perpendicular à L.T.. A reta (s) de interseção entre e é uma reta de topo. Vejamos como encontrar suas projeções:

39 1. Marque que é a interseção entre e. Em seguida marque sobre a linha de terra. 2. Marque. 3. Marque paralela à (e perpendicular à L.T.) e passando por. 2) Este exemplo é análogo ao anterior, mas agora é um plano qualquer. Vejamos como prosseguir neste caso. 1. Marque que é a interseção entre e. Em seguida marque sobre a linha de terra. 2. Marque a partir de paralela à. 3. Marque a partir de paralela à. 2) Reta Perpendicular a um Plano Dizemos que uma reta e um plano são perpendiculares quando o ângulo formada por eles é de 90º. Se uma reta é perpendicular à um plano, então suas projeções são perpendiculares aos

40 traços do plano de mesmo nome, isto é, uma reta é perpendicular a um plano se e. Exemplos: 1) A reta é perpendicular ao plano. 2) A reta não é perpendicular ao plano. 3) Interseção de Reta com Plano Um reta pode ocupar três posições em relação à um plano: ela pode pertencer ao plano, pode ser paralela à ele ou pode interceptá-lo. Estudaremos agora como determinar a interseção de uma reta com um plano projetante ou um plano qualquer. 3.1) Plano Projetante No caso do plano ser projetante, basta encontrar o ponto de interseção da projeção da reta com o traço de mesmo nome do plano. Vejamos alguns exemplos: 1) Plano Horizontal e Plano Frontal:

41 2) Plano de Topo ou Plano Vertical: 3) Plano de Perfil: 3.2) Plano Qualquer Para determinar a interseção de uma reta com um plano qualquer executamos os seguintes passos: 1. Determine um plano auxiliar que contenha a reta 2. Determine a reta de interseção entre os planos e. 3. Marque o ponto de interseção da reta com a reta. O ponto é a interseção da reta com o plano. Exemplo:

42 1) A reta e o plano são dados na figura 1 abaixo. 2) Traçamos um plano auxiliar que contenha a reta Nesse caso optamos por um plano de topo, poderia ser também um plano vertical. 3) Determinamos a reta de interseção entre os planos e. 4) Encontramos o ponto de interseção da reta com a reta. OBS.: Este método só pode ser utilizado no caso de a reta e o plano não serem paralelos.

43 6) Exercícios Exercício 01 Desenhe uma reta perpendicular a cada um dos seguintes planos: Exercício 02 Encontre os traços do plano que passa pelos pontos (A)(B)(C). Em seguida trace a perpendicular ao plano que passa pelo ponto D. (A)[2;2.9;0.8], (B)[6;1.3;2.2],(C)[2;0.7;3.4], (D)(1,1,1). Exercício 03 Encontre os traços do plano que passa pelos pontos (A)(B)(C). Em seguida trace a perpendicular ao plano que passa pelo ponto D. (A)[2;2.9;0.8], (B)[2;1.3;2.2],(C)[2;0.7;3.4], (D)(2,1,1). Exercício 04 Encontre a reta de interseção dos seguintes planos.

44 Exercício 05 Trace a reta perpendicular ao plano e que passa pelo ponto (A). Exercício 06 Encontre o ponto (I) de interseção da reta (r) com o plano, se possível.

45 Exercício 07 Encontre o ponto (I) de interseção da reta (r) com o plano perpendicular ao plano., em seguida trace por (I) a Exercício 08 Desenhe a reta frontal (r) que está num plano frontal a 2cm da L.T. de modo que (r) faça com o plano um ângulo de 45 graus. Exercício 09 Trace a perpendicular ao plano passando por (A).

46 Exercício 10 a) Encontre o ponto (I) de interseção da reta (r) com o plano, b) Por (I) desenhe um plano frontal. c) Por (I) desenhe um plano vertical.

47 Aula 05 - Reta de Perfil Como vimos anteriormente, uma reta de perfil é perpendicular à L.T., mas não é horizontal nem frontal. Agora estudaremos detalhadamente este tipo especial de reta. 1) Representação da Reta de Perfil Problema: Todas as retas de perfil com mesma abcissa possuem as mesmas projeções, como vemos na figura abaixo. Para que uma reta de perfil fique bem definida em épura representamos não só suas projeções, mas também dois pontos da reta de perfil. 2) Vista de Perfil Para trabalhar com retas de perfil utilizamos a chamada vista de perfil ou V.G. da reta. A idéia da vista de perfil é rotacionar o plano de perfil onde a reta está contida até que ele coincida com o plano Observe o esquema abaixo. Como podemos representar a vista de perfil em épura? Isto será mostrado na figura abaixo:

48 1) Uma reta de perfil dada pelos pontos e 2) Encontramos os pontos e. 3) Encontramos os pontos e usando as cotas de e e os pontos e. 3) Pertinência de Ponto em Reta de Perfil Para verificar se um ponto pertence à reta de perfil encontramos sua posição na vista de perfil. Exemplos: 1) Na figura abaixo, pois.

49 2) Na figura abaixo, pois. 4) Traços da Reta de Perfil Para determinar os traços da reta de perfil seguimos os seguintes passos: 1) Colocamos a reta na vista de perfil. 2) Estendemos a reta determinada por e até interceptar as projeções da reta. 3) O traço vertical é a interseção da projeção da reta de perfil com a reta 4) é a interseção com a L.T.. 5) Alçamos para determinar. 6) Agora basta marcar na interseção da projeção da reta com a L.T..

50 5) Posições Relativas de Retas de Perfil Para verificar a posição relativa de duas retas de perfil basta colocá-las em vista de perfil. Neste caso, como as retas estão em V.G., podemos verificar se as mesmas são concorrentes ou paralelas. Exemplos: 1) Na épura dada abaixo, verificamos que as retas são paralelas, já que as suas V.G. s são paralelas.

51 2) Já neste caso, é claro que as retas são concorrentes, já que suas V.G. s são concorrentes. 6) Traçar a Paralela de uma Reta de Perfil passando por um Ponto Dada uma reta de perfil e um ponto qualquer, queremos encontrar a reta de perfil que passa por e é paralela a. Para isto executamos os seguintes passos: 1) Transladamos segundo o vetor e obtemos 2) Transladamos segundo o vetor e obtemos A reta é paralela a e é claro que passa por.

52 OBS.: Repare que os triângulos abaixo são congruentes, o que justifica o fato de e serem paralelas.

53 7) Exercícios Exercício 01 Determine se as retas (r) definida por (A)(B) e (s), definida por (C)(D) são paralelas, concorrentes ou reversas. Exercício 02 Determine se o ponto (A) pertence a reta (r).

54 Exercício 03 Encontre os traços das retas: Exercício 04 Encontre a interseção (I) entre as retas (r) e (s). Traçe por (I) uma paralela à reta (B)(C). Exercício 05 Sabendo ser uma reta de perfil e que, obtenha três pontos que pertençam à e obtenha três pontos que não pertençam à. dados: (A)[3;6;4] (B)[?;3;6].

55 Aula 06 - Rotação Métodos descritivos: 1. Rotação 2. Mudança de Plano 3. Rebatimento 1) Rotação Consiste em girar um objeto em torno de um eixo por um determinado ângulo, mantendo-se constante sua distância ao eixo. Exemplo: Notação: As projeções de um ponto rotacionado será denotado por ou. As projeções de uma reta rotacionada será denotada por ou. Observação: A rotação será sempre executada no sentido anti-horário (positivo), salvo menção contrária. 1.1) Rotação de um Ponto em torno de um Eixo Vertical O primeiro caso de rotação que estudaremos é de um ponto em torno de um eixo vertical. Neste caso, o ponto rotacionado permanece com a mesma cota, mas seu afastamento é modificado. Observe o exemplo a seguir. Exemplo: Rotacionar um ponto em torno de um eixo vertical, segundo um ângulo.

56 Figura 1) São dados: eixo, ponto e ângulo. Figura 2) Desenhamos a projeção horizontal da trajetória de rotação do ponto pelo ângulo em torno do eixo, ou seja, determinamos. Figura 3) Por traçamos uma linha paralela à L.T. e uma linha de chamada por, sendo o ponto de encontro entre tais linhas. 1.2) Rotação de um Ponto em torno de um Eixo de Topo Agora, a rotação de um ponto será em torno de um eixo de topo. Ao contrário do caso anterior, agora o ponto rotacionado permanece com o mesmo afastamento, mas sua cota é alterada. Vejamos o exemplo. Exemplo: Rotacionar um ponto em torno de um eixo de topo, segundo um ângulo. O método é análogo ao anterior. 2) Rotação de Retas Para rotacionar um segmento de reta basta rotacionar dois de seus pontos.

57 2.1) Rotação de um Segmento em torno de um Eixo Vertical Exemplo: Rotacionar um segmento em torno de um eixo vertical por um ângulo Fig 1) São dados: segmento, eixo vertical e ângulo. Fig 2 e 3) Rotacionamos os pontos e e encontramos e. Fig 4) Ligamos os pontos e, e os pontos e para encontrar as projeções do segmento rotacionado. OBS.: Os pontos de interseção entre o segmento a ser rotacionado e o eixo, se existirem, permanecerão fixos durante a rotação. Nesse caso, basta aplicar a rotação a um único ponto não pertencente ao eixo para obter a rotação de todo o segmento. Veja figura abaixo.

58 2.2) Rotação de um Segmento em torno de um Eixo de Topo É um caso análogo ao anterior. 3) Aplicações da Rotação Estudaremos agora algumas aplicações do método de rotação. 3.1) Rotacionar a Reta até que ela se torne Frontal. Exemplos: 1) Eixo intercepta a reta: Fig 1) Seja uma reta qualquer. Fig 2) Queremos transformar, que posicionamos interceptando a reta. (Por quê??) em uma reta frontal utilizando uma rotação em torno de um eixo vertical Fig 3) Como e então. Rotacionamos o ponto, escolhido sobre a reta, de maneira que o segmento seja paralelo à L.T., ou seja, e possuem o mesmo afastamento, e com isso obtemos. Agora basta unir as projeções dos pontos e para encontrar as projeções de. A reta é frontal.

59 2) Eixo não intercepta a reta: Fig 1) Seja uma reta qualquer e o eixo vertical posicionado arbitrariamente. Fig 2) Marque o ponto auxiliar, de forma que. Fig 3) Rotacione até que ele tenha a mesma abcissa do eixo para encontrar. Fig 4) passa por e é perpendicular a. Marque um ponto auxiliar arbitrariamente sobre a reta. Fig 5) Marque rotacionando até que ele toque a reta. Fig 6) Ligue a para determinar. A reta é frontal. 3.2) Rotacionar a Reta até que ela se torne Horizontal. Exemplos: 1) Eixo intercepta a reta: Fig 1) Seja uma reta qualquer. Fig 2) Queremos transformar topo, que posicionamos interceptando a reta. (Por quê??) em uma reta horizontal utilizando uma rotação em torno de um eixo de Fig 3) Seja a interseção de e. Como e então. Rotacionamos o ponto, ponto qualquer escolhido sobre a reta, de maneira que o segmento seja paralelo à L.T.,

60 ou seja, e possuem a mesma cota, e com isso obtemos. Agora basta unir as projeções dos pontos e para encontrar as projeções de. A reta é horizontal. 2) Eixo não intercepta a reta: O procedimento é análogo ao exemplo 2 da seção (3.1), sendo que o eixo deve ser de topo. Veja o esquema da figura abaixo: 3.3) Rotacionar a Reta até que ela se torne de Perfil. Devemos escolher um eixo vertical ou de topo que seja concorrente com a reta.

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62 4) Exercícios Exercício 01 Rotacione os pontos (A)(B)(C) em torno do eixo (e) segundo o ângulo dado. Exercício 02 Rotacione a reta (r), definida por (A)(B) até que ela se torne uma reta de perfil, em seguida coloque a reta em vista de perfil, e finalmente determine a distância entre (A) e (B). Exercício 03 Rotacione a reta (r), definida por (A)(B) até que ela se torne uma reta horizontal. Chame a nova reta de (s) e encontre os traços de (s).

63 Exercício 04 Rotacione a reta (r), definida por (A)(B) até que (A) possua afastamento 0. Chame a nova reta de (s) e encontre os traços de (s). Exercício 05 Rotacione a reta (r), definida por (A)(B) até que (A) possua a menor cota possível.

64 Exercício 06 Rotacione a reta (r), definida por (A)(B) até que (A) e (B) possuam a mesma cota. Exercício 07 Rotacione a reta (r), definida por (A)(B) até que ela intercepte a reta (s). Em seguida transfira o ângulo utilizado durante a rotação para o segmento CD.

65 Aula 07 - Mudança de Plano Métodos Descritivos: 1. Rotação 2. Mudança de Plano 3. Rebatimento 1) Mudança de Plano Este método consiste em modificar a posição de um dos planos de projeção, permanecendo fixo o outro. Quando mudamos os dois planos, um após o outro, dizemos que houve dupla mudança de planos. No primeiro método descritivo estudado anteriormente, para atingir determinado objetivo, o objeto era modificado através de uma rotação dele mesmo. Agora, neste caso, o objeto permanece inalterado e um novo sistema de projeção é criado. Notação: ou será a projeção do ponto no segundo sistema. ou será a projeção do ponto no terceiro sistema e etc. Para denotar retas em um novo sistema, utilizaremos índices de maneira análoga à notação do ponto. 1.1) Mudança de Plano Vertical Neste caso, queremos construir um novo sistema mongeano onde o plano horizontal será comum aos dois sistemas. Para isto, devemos inserir um novo plano vertical, que deve ser perpendicular ao plano horizontal. Exemplo: Na Fig 1 inserimos um novo plano perpendicular à. A projeção do ponto neste novo plano é o ponto. Na Fig 2 representamos esta mudança de plano vertical em épura. Para isto devemos observar o seguinte: Uma nova L.T. deve ser desenhada (cuidado com a orientação!); Sempre que possível tentaremos manter o diedro do primeiro sistema ao longo do processo de mudanças de plano. Como houve uma mudança de plano vertical, teremos uma nova projeção vertical do ponto, enquanto a projeção horizontal permanece inalterada; Para a nova projeção vertical devemos notar que a cota é a mesma do sistema original; A linha de chamada deve ser perpendicular às L.T. s dos dois sistemas.

66 1.2) Mudança de Plano Horizontal Agora pretendemos construir um novo sistema mongeano criando um novo plano horizontal de projeção (perpendicular ao plano vertical de projeção). Sendo assim, o plano vertical será comum aos dois sistemas. Exemplo: Na Fig 1 inserimos um novo plano perpendicular à. A projeção do ponto neste novo plano é o ponto. Na Fig 2 representamos esta mudança de plano horizontal em épura. Análogo ao que foi ressaltado anteriormente: uma nova L.T. deve ser desenhada (cuidado com a orientação! ); como houve uma mudança de plano horizontal, teremos uma nova projeção horizontal do ponto, enquanto a projeção vertical permanece inalterada; para a nova projeção horizontal devemos notar que o afastamento é o mesmo do sistema original; linha de chamada deve ser perpendicular às L.T. s dos dois sistemas.

67 2) Mudança de Plano para Retas Estudaremos agora como representar uma reta em épura depois de haver uma mudança de planos de projeção. Para isto, devemos projetar dois de seus pontos no novo sistema. Vejamos alguns exemplos: Exemplos: 1) Neste exemplo faremos uma mudança de plano vertical. Para isto um novo plano perpendicular a deverá ser criado. Na Fig 1 dada abaixo, temos as projeções de uma reta Além disso, inserimos uma nova L.T. para o novo sistema. no primeiro sistema mongeano de projeção. Na Fig 2 encontramos as novas projeções verticais e dos pontos e escolhidos aleatoriamente sobre a reta, utilizando o método citado anteriormente. Agora, basta ligar e para encontrar.

68 2) Agora representaremos uma reta em um novo sistema mongeano, onde houve uma mudança de plano horizontal. Para isto um novo plano perpendicular a Na Fig 1 dada abaixo, temos as projeções de uma reta Além disso, inserimos uma nova L.T. para o novo sistema. deve ser criado. no primeiro sistema mongeano de projeção. Na Fig 2 encontramos as novas projeções horizontais e dos pontos e escolhidos aleatoriamente sobre a reta, utilizando o método citado anteriormente. Agora, basta ligar e para encontrar.

69 2.1) Aplicações 2.1.1) Transformar uma Reta Qualquer em Reta Horizontal Podemos transformar uma reta qualquer em uma reta horizontal através de uma mudança de plano horizontal, para assim obter sua V.G.. Para isso, é necessário que a nova L.T. seja paralela à. Exemplo:

70 2.1.2) Transformar uma Reta Qualquer em Reta Frontal Podemos transformar uma reta qualquer em uma reta frontal através de uma mudança de plano vertical, para assim obter sua V.G.. Para isso, é necessário que a nova L.T. seja paralela à. Exemplo: 2.1.3) Transformar uma Reta Horizontal em Reta Frontohorizontal Podemos transformar uma reta horizontal em uma reta frontohorizontal através de uma mudança de plano vertical. Para isso, basta posicionar a nova L.T. paralela à projeção oblíqua da reta. Exemplo:

71 2.1.4) Transformar uma Reta Frontal em uma Reta Frontohorizontal Podemos também transformar uma reta frontal em uma reta frontohorizontal através de uma mudança de plano horizontal. Para isso, basta posicionar a nova L.T. paralela à projeção oblíqua da reta. Exemplo: 2.1.5) Transformar uma Reta Frontohorizontal em uma Reta de Topo Agora nosso objetivo é transformar uma reta frontohorizontal em uma reta de topo. Para isso faremos uma mudança de plano vertical posicionando a nova L.T. perpendicular à projeção horizontal da reta. Exemplo:

72 2.1.6) Transformar uma Reta Frontohorizontal em Reta Vertical Vamos agora transformar uma reta frontohorizontal em uma reta vertical. Para isso faremos uma mudança de plano horizontal posicionando a nova L.T. perpendicular à projeção vertical da reta. Exemplo: 2.1.7) Transformar uma Reta Qualquer em uma Reta de Topo ou Vertical Para transformar uma reta qualquer em um reta de topo ou vertical basta fazer sucessivas transformações. Vejamos as transformações que devem ser feitas: Qualquer Horizontal Frontohorizontal Topo; Qualquer Frontal Frontohorizontal Vertical. 3) Mudança de Plano para Planos Nesta seção veremos como representar em épura um plano ao criar um novo sistema de projeção. No caso de uma mudança de plano vertical, por exemplo, um plano vertical, denominado fica representado pelo novo traço, enquanto que o traço horizontal permanece o mesmo. Já para uma mudança de plano horizontal, um plano é determinado pelo novo traço horizontal, chamado, e o traço vertical permanece inalterado. Vejamos agora como utilizar estas mudanças de planos: 3.1) Transformar um Plano Qualquer em um Plano de Topo

73 Vejamos através da figura a seguir como utilizar uma mudança de plano vertical para transformar um plano qualquer em um plano de topo. Exemplo: Fig 1) Seja um plano qualquer. Fig 2) Para obter um plano de topo no segundo sistema de projeção, L.T., como vemos na figura. deve ser perpendicular à nova Fig 3) Para determinar o novo traço, marcamos um ponto auxiliar sobre o traço. Em seguida, fazemos a mudança do ponto para o novo sistema determinando. Fig 4) Note que passa por, que deve se encontrar com o traço na nova L.T.. 3.2) Transformar um Plano Qualquer em um Plano Vertical Este caso é análogo ao anterior: fazemos uma mudança de plano horizontal, de forma que no segundo sistema é perpendicular à nova L.T.. 3.3) Transformar um Plano Paralelo à L.T. em um Plano de Topo Agora transformaremos um plano paralelo à L.T. em um plano de topo utilizando uma mudança de plano vertical. Exemplo: Seja forma que um plano qualquer. Para obter um plano de topo criamos um segundo sistema de projeção de seja perpendicular à nova L.T., como vemos na figura. Em seguida utilizamos um ponto auxiliar, escolhido sobre o traço, e fazemos sua mudança de plano, criando o ponto. Agora basta traçar

74 por, que deve encontrar o traço sobre a nova L.T.. 4) Exercícios Exercício 1: Resolva os seguintes ítens utilizando o método de mudança de plano: (a) Transforme uma reta qualquer em uma reta horizontal. (b) Transforme uma reta qualquer em uma reta frontohorizontal. (c) Transforme uma reta qualquer em uma reta vertical. (d) Transforme um plano qualquer em um plano vertical.

75 Aula 08 - Rebatimento Métodos descritivos: 1. Rotação 2. Mudança de Plano 3. Rebatimento 1) Rebatimento Sejam e dois plano secantes. Rebater sobre é girar em torno de sua interseção com, até que ele coincida com. O eixo dado pela interseção de e recebe o nome de charneira ou eixo de rebatimento. Só é possível rebater planos, mas usaremos expressões como rebater um ponto ou rebater uma reta quando desejarmos obter a posição do ponto após o rebatimento do plano que o contém. Notação: Um ponto rebatido será denotado por, assim como uma reta será denotada por e um plano por. Vejamos no esquema a seguir como rebater um ponto sobre um plano 1.1) Rebatimento sobre Vejamos como rebater um ponto sobre o plano de projeção horizontal através da figura abaixo:

76 Figura 1) Sejam um ponto a ser rebatido e o eixo de rebatimento. Esse eixo deve pertencer a já que estamos rebatendo sobre Figura 2) Traçamos a perpendicular a que passa por (pé do rebatimento). E marcamos a paralela a que passa por (suporte para o triângulo de rebatimento). Figura 3) Determinamos o comprimento do cateto do triângulo de rebatimento utilizando a cota do ponto. Figura 4) Determinamos a hipotenusa do triângulo de rebatimento. Figura 5) Com o compasso marcamos a trajetória do ponto. O ponto com o pé do rebatimento. está na interseção da trajetória 1.2) Rebatimento sobre Análogo ao que foi feito anteriormente, podemos rebater o ponto sobre o plano de projeção vertical. Veja a figura abaixo onde determinamos.

77 1.3) Rebatimento quando o Eixo passa sobre a Projeção do Ponto Suponhamos agora que o eixo de rebatimento contém uma das projeções do ponto. Neste caso não é necessário desenhar o triângulo de rebatimento, marque apenas o pé de rebatimento e transfira o afastamento se rebater sobre (ou a cota se sobre ). Na figura abaixo ilustramos esse procedimento, que é explicado em maiores detalhes na próxima seção, sobre rebatimento de retas. 2) Rebatimento de Retas Rebater uma reta sobre um plano consiste em girá-la em torno de um eixo contido em um plano até que ela coincida com o plano. Para isto, basta rebater dois de seus pontos e uni-los. A reta rebatida representa a V.G. da reta original. Veja o esquema da figura abaixo:

78 OBS.: Note que o eixo de rebatimento deve coincidir com a projeção da reta sobre o plano, pois do contrário a reta não aterriza no plano. 2.1) Rebatimento de uma Reta sobre Para rebater uma reta sobre é necessário que o eixo de rebatimento satisfaça as seguintes propriedades: ; coincidente com a L.T.. Além disso, dois pontos de devem ser escolhidos e rebatidos, para ao serem ligados gerarem. Vamos estudar este caso na figura a seguir: 2.2) Rebatimento de uma Reta sobre Agora, como o rebatimento de será sobre, o eixo de rebatimento deve satisfazer as seguintes propriedades: ;

79 coincidente com a L.T.. Mais uma vez, rebatemos dois pontos de para determinar, como na figura a seguir. 3) Rebatimento de Planos Rebatemos um plano sobre um plano de projeção rebatendo o traço de que não pertence ao plano de projeção sobre ele, mantendo o ângulo entre os traços constante. Os planos horizontais e frontais não necessitam de um rebatimento pois apresentam projeção em V.G. de figuras neles contidas. No estudo de rebatimento de plano é importante discutir dois ítens: o encontro dos traços do plano após o rebatimento e onde um ponto qualquer do plano foi rebatido. 3.1) Rebatimento de um Plano de Topo sobre Note que os traços de um plano de topo fazem um ângulo de entre si (no espaço). Rebatendo sobre, o novo traço vertical também deve fazer um ângulo de com, que não é alterado. Logo deverá coincidir com a L.T.. Veja a figura abaixo: 3.2) Rebatimento de um Plano de Topo sobre Como anteriomente, o ângulo entre os traços do plano de topo deve permanecer ao ser rebatido. Neste caso, basta representar o traço horizontal rebatido fazendo com o traço vertical, que não é

80 alterado. Veja a figura abaixo: 3.3) Rebatimento de um Plano Vertical sobre Agora vamos rebater um plano vertical sobre. Mais uma vez temos um plano cujos traços formam um ângulo de, o que implica que ao ser rebatido este ângulo não poderá ser alterado. Como o rebatimento será feito sobre, o traço vertical permance inalterado, enquanto o traço horizontal deverá ser rebatido para encontrar Veja a figura abaixo:, que deverá coincidir com a L.T.. 3.4) Rebatimento de um Plano Vertical sobre

81 Agora vamos rebater um plano vertical sobre. Para isto, o novo traço horizontal e o traço vertical, que permanece inalterado, deverão formar um ângulo de. Veja a figura abaixo: 3.5) Rebatimento de um Plano Qualquer sobre O rebatimento de um plano qualquer sobre é feito tomando um ponto sobre seu traço vertical e rebatendo-o sobre. Neste caso, será a projeção horizontal do eixo de rebatimento, enquanto sua projeção vertical coincidirá com a L.T.. Vejamos a figura abaixo: Fig 1) Seja um plano qualquer. Tomamos um ponto pertencente ao plano situado sobre seu traço vertical. Fig 2) Agora rebatemos o ponto sobre o plano para encontrar. Fig 3) Encontramos ligando o ponto de interseção do traço vertical com a L.T. e. 3.6) Rebatimento de um Plano Qualquer sobre O rebatimento de um plano qualquer sobre é feito tomando um ponto sobre seu traço horizontal e rebatendo-o sobre. Neste caso, será a projeção vertical do eixo de rebatimento, enquanto sua

82 projeção horizontal coincidirá com a L.T.. Vejamos a figura abaixo: Fig 1) Seja um plano qualquer. Tomamos um ponto pertencente ao plano situado sobre seu traço horizontal. Fig 2) Agora rebatemos o ponto sobre o plano para encontrar. Fig 3) Para encontrar basta ligar o ponto de interseção do traço horizontal com a L.T. e. 4) Exercícios Exercício 1. Desenhe um plano de topo e marque três pontos (A),(B),(C) não colineares sobre ele. Faça um rebatimento no plano horizontal para obter a VG do triângulo (A)(B)(C). Exercício 2. Desenhe em épura duas retas quaisquer concorrentes e que possuam traço horizontal. Obtenha o ângulo entre essas retas. Exercício 3. Desenhe uma reta qualquer em épura mongeana. Marque dois pontos quaisquer (A) e (B) sobre essa reta. Obtenha a distância entre (A) e (B) pelo método da rotação, por mudança de plano e também com um rebatimento.