Intersecção de duas rectas

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1 3.6. Intersecções Geometria Descritiva 2006/2007 Intersecção de duas rectas É condição necessária e suficiente para que duas rectas sejam concorrentes que as suas projecções homónimas se intersectem sobre a mesma ordenada 1

2 Intersecção de uma recta com um Se a recta e o são projectantes Intersecção de uma recta t de topo com um vertical O ponto de intersecção do traço horizontal do com a projecção horizontal da recta define a projecção horizontal do ponto de intersecção da recta com o (ponto I) A projecção frontal do referido ponto estará situada sobre a projecção frontal da recta t. Intersecção de uma recta com um Se a recta e o são projectantes Intersecção de uma recta v vertical com um de topo O ponto de intersecção do traço frontal do com a projecção frontal da recta define a projecção frontal do ponto de intersecção da recta com o (ponto I) A projecção horizontal do referido ponto estará situada sobre a projecção horizontal da recta r. 2

3 Intersecção de uma recta com um Se a recta é oblíqua e o é projectante Intersecção de uma recta r com um de topo O ponto de intersecção do traço frontal do com a projecção frontal da recta define a projecção frontal do ponto de intersecção da recta com o (ponto I) A projecção horizontal do referido ponto estará situada sobre a projecção horizontal da recta r. r 1 r 2 I 2 I 1 Intersecção de uma recta com um Se a recta é oblíqua e o é projectante Intersecção de uma recta r com um vertical O ponto de intersecção do traço horizontal do com a projecção horizontal da recta define a projecção horizontal do ponto de intersecção da recta com o (ponto I) A projecção frontal do referido ponto estará situada sobre a projecção frontal da recta r. r 1 r 2 I 1 I 2 3

4 Intersecção de uma recta com um Se o não é projectante É necessário considerar um auxiliar que contém a recta e determinar a sua intersecção com o dado A estudar depois de estudar a intersecção de dois s Intersecção de dois s A intersecção de dois s é: Uma recta Um (se os s forem coincidentes) Um conjunto vazio (se os s forem paralelos) 4

5 Intersecção de dois s Determina-se a recta resultante da intersecção de dois s identificando dois pontos dessa recta. Como a recta pertence aos dois s os seus traços estão sobre os traços homónimos dos s O traço frontal da recta tem de pertencer simultaneamente aos traços frontais dos dois s O traço horizontal da recta tem de pertencer aos traços horizontais dos dois s F Intersecção de dois s Projectantes horizontais (s verticais) A recta i de intersecção dos dois s α e β éuma recta vertical i 2 ( ) 5

6 Intersecção de dois s Projectantes frontais (s de topo) A recta i de intersecção dos dois s α e β éuma recta de topo (i 2 ) Intersecção de dois s Um projectante horizontal ( vertical) e um projectante frontal ( de topo) A recta i de intersecção dos dois s α e β tem a projecção frontal coincidente com o traço frontal do de topo (projectante frontal) e a projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do vertical (projectante horizontal). F 2i i 2 H 1i 6

7 Intersecção de dois s Um projectante horizontal com um não projectante A projecção frontal da recta i de intersecção dos s α e β é obtida unindo as projecções frontais dos traços da recta A projecção horizontal da recta i de intersecção dos s α e β é obtida unindo as projecções horizontais dos traços da recta F 1i F 2i i 2 H 2i H 1i Intersecção de dois s Um projectante frontal com um não projectante A projecção frontal da recta i de intersecção dos s α e β é obtida unindo as projecções frontais dos traços da recta A projecção horizontal da recta i de intersecção dos s α e β é obtida unindo as projecções horizontais dos traços da recta H 2i H 1i F 2i F 1i i 2 7

8 Intersecção de dois s Um de nível com um oblíquo A projecção frontal da recta i de intersecção dos s α e β é coincidente com o traço frontal do de nível A projecção horizontal da recta i de intersecção dos s α e β passa pela projecção horizontal do traço frontal da recta e é paralela ao traço horizontal do oblíquo F 1i F 2i ( ) i 2 Intersecção de dois s Um projectante frontal (α) com um não projectante definido por duas rectas concorrentes (r e s) Os pontos A e B pertencem aos dois s, logo pertencem à recta i de intersecção dos s: A projecção frontal da recta i é coincidente com o traço frontal do projectante A projecção horizontal da recta i passa pelas projecções horizontais dos pontos A e B A 2 A 1 i 2 B 2 B 1 r 2 r 1 s 1 s 2 8

9 Intersecção de dois s Dois s oblíquos A projecção frontal da recta i de intersecção dos s α e β é obtida unindo as projecções frontais dos traços da recta A projecção horizontal da recta i de intersecção dos s α e β é obtida unindo as projecções horizontais dos traços da recta f i 2 β F 2i F 1i H 2i H 1i Intersecção de dois s Método auxiliar Utilização de s projectantes auxiliares Consiste em utilizar um ou dois s projectantes auxiliares γ e δ que intersectam os dois s dados α e β A intersecção do auxiliar γ com os dois s são duas rectas, a e b, complanares e concorrentes num ponto I que pertence à recta i de intersecção dos dois s dados. Repetindo o processo com um segundo auxiliar obtém-se um segundo ponto da recta de intersecção dos dois s (ponto J) Os dois pontos obtidos definem a recta i que se procura γ δ I J 9

10 Intersecção de dois s Método auxiliar Utilização de s projectantes auxiliares Este método pode ser utilizado para : determinar a intersecção de dois s oblíquos cujos traços não se intersectem nos limites do desenho determinar a intersecção de s definidos por duas rectas concorrentes determinar a intersecção de s de rampa Intersecção de dois s Cujos traços não se intersectem nos limites do desenho Plano α Traços e Plano β Traços e Intersecção de α e β Recta i Traço frontal da recta i Para determinar a posição de outro ponto da recta (ponto J) considera-se um auxiliar δ Plano frontal Intersecção de α e δ Intersecção de β e δ Intersecção de f e g Plano δ F i Recta f Recta g Ponto J F 2i F 1i J 1 J 2 i 2 f 2 g 2 (h δ ) f 1 g 1 i h 1 β 10

11 Intersecção de dois s Definidos por duas rectas concorrentes Rectas a e b Plano α Rectas r e s Plano β Plano de nível Plano γ Intersecção de α e γ Recta n Intersecção de β e γ Recta m Intersecção de n e m Ponto J Plano frontal Plano δ Intersecção de α e δ Recta f Intersecção de β e δ Recta g Intersecção de f e g Ponto I Intersecção de α e β Recta i a 2 b s 2 2 (f γ ) J 2 J n 1 1 a m i 1 1 r 1 1 s 1 b 1 i 2 n 2 m 2 r 2 f 2 g 2 (h δ ) f 1 g 1 I 1 I 2 Intersecção de uma recta com um Se o não é projectante Intersecção de uma recta r com um qualquer α Considera-se um auxiliar π que contenha a recta r (normalmente um projectante) A intersecção dos dois s é uma recta i, comum ao dado e ao auxiliar π O ponto de intersecção I da recta i com a recta r é o ponto de intersecção da recta r com o dado (α) 11

12 Intersecção de uma recta com um Se o não é projectante Intersecção de uma recta r com um qualquer α definido pelos seus traços Considera-se um auxiliar π que contenha a recta r (normalmente um projectante de topo) A intersecção dos dois s éuma recta i, comum ao dado e ao auxiliar π O ponto de intersecção I da recta i com a recta r é o ponto de intersecção da recta r com o dado (α) r 1 F i2 F i1 I 1 I 2 r 2 f π i 2 H i2 h π H i1 Intersecção de uma recta com um Se o não é projectante Intersecção de uma recta r com um qualquer α definido por duas rectas concorrentes (a e b) Considera-se um auxiliar π que contenha a recta r (normalmente um projectante de topo) A intersecção dos dois s éuma recta i, comum ao dado e ao auxiliar π O ponto de intersecção I da recta i com a recta r é o ponto de intersecção da recta r com o dado (α) a 2 a 1 b 1 r 1 r 2 b 2 I 2 I 1 i 2 f π h π 12