Intersecção de Rectas e Planos - Definição de Rectas e Planos no Espaço

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3 Modulo nº 1 Intersecção de Rectas e Planos - Definição de Rectas e Planos no Espaço Esta Publicação é propriedade do GICEA, Gabinete de Gestão de iniciativas comunitárias. Este produto é protegido pelas leis em vigor e copyright, estando reservados todos os seus direitos. Não pode ser reproduzido nem transcrito por qualquer processo seja ele qual for sem autorização dos titulares do direito. Os infractores são passíveis de procedimento judicial. i

4 FICHA DE PLANIFICAÇÃO MODULAR Sub-Projecto : 11 - Desenho Técnico CD ROM nº.: 2 Designação : Sombras Curso : Horas prevista : 50 CONTEÚDOS 1. Descrever o Método da dupla projecção ortogonal 2. Representar um ponto qualquer do espaço por meio das suas projecções ortogonais e identificar as suas coordenadas. 3. Representar uma recta através das suas projecções ortogonais e averiguar se um determinado ponto lhe pertence 4. Determinar os traços de uma recta nos planos de projecção e nos planos bissectores 5. Indicar a designação de uma dada recta e as suas características principais, consoante a sua posição relativamente aos planos de projecção 6. Descrever as condições de intersecção e paralelismo entre rectas e dar exemplos 7. Representar um plano através das projecções de três dos seus pontos não colineares; de duas rectas concorrentes; de uma recta e um ponto exterior 8. Determinar os traços de um plano 9. Indicar a designação de um dado plano e as suas características principais, consoante a sua posição relativamente aos planos de projecção 10. Explicar o conceito de plano projectante e dar exemplos 11. Representar rectas e pontos de um plano 12. Representar um plano que passe por uma dada recta ou que contenha um dado ponto 13. Definir um plano através dos seus traços, conhecidas duas das suas rectas 14. Construir as projecções de rectas de nível e de frente de um plano 15. Representar o ponto de coordenadas (x,y) que pertence a um dado plano 16. Identificar e descrever as posições relativas de planos 17. Definir a recta de intersecção entre dois planos, recorrendo se necessário a planos auxiliares 18. Identificar e descrever a posição de uma recta relativamente a um plano 19. Determinar a intersecção entre uma recta e um plano, recorrendo se necessário a planos auxiliares CONTEÚDOS 1. Método da dupla projecção ortogonal 2. Representação de um ponto qualquer do espaço por meio das suas projecções ortogonais e identificar as suas coordenadas 3. Representação de uma recta através das suas projecções ortogonais e averiguar se um determinado ponto lhe pertence 4. Determinação dos traços de uma recta nos planos de projecção e nos planos bissectores 5. Indicação da designação de uma dada recta e as suas características principais, consoante a sua posição relativamente aos planos de projecção 6. Descrição das condições de intersecção e paralelismo entre rectas e dar exemplos 7. Representação de um plano através das projecções de três dos seus pontos não colineares; de duas rectas concorrentes; de uma recta e um ponto exterior 8. Determinação dos traços de um plano ii

5 9. Indicação da designação de um dado plano e as suas características principais, consoante a sua posição relativamente aos planos de projecção 10. Explicação do conceito de plano projectante e dar exemplos 11. Representação de rectas e pontos de um plano 12. Representação de um plano que passe por uma dada recta ou que contenha um dado ponto 13. Definição de um plano através dos seus traços, conhecidas duas das suas rectas 14. Construção de projecções de rectas de nível e de frente de um plano 15. Representação do ponto de coordenadas (x,y) que pertence a um dado plano 16. Identificação e descrição das posições relativas de planos 17. Definição da recta de intersecção entre dois planos, recorrendo se necessário a planos auxiliares 18. identificação e descrição da posição de uma recta relativamente a um plano 19. Determinação da intersecção entre uma recta e um plano, recorrendo se necessário a planos auxiliares 1. Realização de vários exercícios 2. Trabalhos de grupo. Actividades 1. Análise dos trabalhos realizados. 2. Participação e interesse demonstrado. AVALIAÇÃO MATERIAIS / RECURSOS 1. Sala de munida com equipamento que permita a projecção de imagens. 2. Papel A4, uma regua, 1 esuadro, lapis porta minas de 0,5 mm e 0,3 mm. PUBLICO ALVO 1. Formadores da área da Geometria Descritiva BIBLIOGRAFIA 1. António Carreira, Compêndio de Desenho, Livraria Sá da Costa 2. Stella Santana e Berta Gomes, Desenho e Geometria Descritiva - 10º ano, Porto Editora 3. Oscar Soares e Luis Filipe Carvalho, Desenho e Geometria Descritiva - 12º, Texto Editora Data O Formador iii

6 Índice Introdução... 3 Método da Dupla Projecção Ortogonal... 4 Planos de Projecção... 4 Quadrantes... 5 Planos Bissectores... 6 Representação do Ponto... 7 Projecções do ponto... 7 Coordenadas do ponto... 8 Afastamento e cota... 8 Abcissa Projecções no Plano do Desenho Alfabeto do ponto Representação da Recta Projecções da recta Ponto Pertencente a uma Recta Traços da recta Traço Vertical -V Traço Horizontal -H Traço em? 13 -Q Traço em? 24 -I Alfabeto da recta Recta Horizontal ou de Nível Recta de Frente Recta Horizontal de Frente (ou Fronto Horizontal ou Paralela a LT) Recta de Topo (ou projectante vertical) Recta Vertical (ou projectante horizontal) Recta Oblíqua Recta de Perfil Recta que Passa por LT Quadro-resumo Rectas Concorrentes Rectas concorrentes, com duas projecções de mesmo nome coincidentes Rectas concorrentes, sendo uma delas projectante (Recta de Topo ou Recta Vertical) Rectas Paralelas Rectas paralelas, com duas projecções de mesmo nome coincidentes Rectas paralelas e projectantes (Rectas de Topo ou Verticais) Representação do plano Traços dum plano Alfabeto do plano Plano Horizontal ou de Nível Plano de Frente Plano de Rampa

7 Plano de Topo (ou Plano Projectante Vertical) Plano Vertical (ou Plano Projectante Horizontal) Plano Oblíquo Plano de Perfil Plano Passando por LT (Plano Passante) Quadro-resumo Rectas e pontos de um plano Construção das projecções de uma recta de um plano Plano determinado por duas rectas paralelas Plano determinado pelos seus traços Construção das projecções de um ponto de um plano Representação de um plano que passa por uma recta dada Representação de um plano que contém um ponto dado Representação pelos traços, de um plano definido por duas rectas Plano determinado por duas rectas concorrentes Plano determinado por duas rectas paralelas Representação por duas rectas, de um plano dado pelos seus traços Representação por duas rectas concorrentes Representação por duas rectas paralelas Rectas de nível e de frente de um plano Rectas de Nível de um plano Plano determinado pelos seus traços Rectas de Frente de um plano Construção das projecções do ponto A (x,y) de um plano Plano não projectante Intersecção de Rectas e Planos Posições relativas de planos Intersecção de dois planos Intersecção de dois planos cujos traços se intersectam nos limites do desenho Intersecção de dois planos, sendo um deles projectante Intersecção de dois planos, recorrendo a planos auxiliares Planos cujos traços não se intersectam nos limites do desenho Planos de rampa Planos definidos por duas rectas Intersecção de uma recta com um plano Intersecção de uma recta com um plano projectante Intersecção de uma recta com um plano, recorrendo a um plano auxiliar Plano representado pelos seus traços Plano definido por duas rectas Intersecção de três planos

8 Introdução A Geometria Descritiva permite representar, sobre um plano, figuras do espaço. Conseguem-se, através deste sistema, resolver no plano problemas de geometria em que se consideram três dimensões. Foi Gaspard Monge ( ), oficial e professor francês do tempo da Revolução Francesa, quem sistematizou esta ciência no seu tratado Géometrie Descritive. Leçons donnés aux Écoles normales, l an 3 de la Republique ( ), Paris, l an VII ( ). É curioso referir que a publicação do tratado de Monge foi alvo de grande sigilo durante certo tempo, pois o sistema por ele inventado era considerado segredo militar de grande valor nos projectos de fortificações. Na base do sistema de Monge encontra-se o método da dupla projecção ortogonal, que utiliza dois planos de projecção perpendiculares entre si. -3-

9 Método da Dupla Projecção Ortogonal Planos de Projecção Neste método, consideram-se dois planos perpendiculares entre si,? 0 e? 0, que se tomam para Planos de Projecção. Chama-se a estes planos: Plano Horizontal de Projecção (? 0 ) e Plano Vertical de Projecção (? 0 ). A intersecção destes dois planos é uma recta a que se dá o nome de Linha de Terra (LT). II Q L I Q T III Q IV Q Fig 01-4-

10 Quadrantes A Linha de Terra divide o Plano Horizontal de Projecção (? 0 ) nos semiplanos: Semiplano Horizontal Anterior (SHA); Semiplano Horizontal Posterior (SHP); e o Plano Vertical de Projecção (? 0 ) nos seguintes: Semiplano Vertical Superior (SVS); Semiplano Vertical Inferior (SVI). Fig 02 O espaço é dividido pelos Planos de Projecção em quatro diedros rectos ou quadrantes: Primeiro Quadrante (I Q) - limitado pelos semiplanos SHA e SVS; Segundo Quadrante (II Q) - limitado pelos semiplanos SHP e SVS; Terceiro Quadrante (III Q) - limitado pelos semiplanos SHP e SVI; Quarto Quadrante (IV Q) - limitado pelos semiplanos SHA e SVI. -5-

11 Planos Bissectores Além dos Planos de Projecção, consideram-se também os Planos Bissectores dos quatro quadrantes: o Plano Bissector dos quadrantes ímpares (I e III Q), designado por? 13 e o Plano Bissector dos quadrantes pares (II e IV Q), que se designa por? 24. Estes planos bissectam os quatro quadrantes, isto é, dividem cada um deles em dois diedros iguais. Assim, considerando para além dos Planos de Projecção? 0 e? 0, também estes dois planos? 13 e? 24, obtemos uma divisão do espaço em oito partes, os octantes. 4º O 24 3º O 2º 0 5º O L 1º O 13 T 6º O 8º O 7º O Fig 03-6-

12 Representação do Ponto Projecções do ponto A projecção ortogonal de um ponto do espaço sobre um Plano de Projecção é o ponto de intersecção da recta perpendicular ao plano (projectante) que contém esse ponto com o Plano de Projecção. No método da dupla projecção ortogonal, fixa-se a posição dum ponto P qualquer do espaço por meio das suas projecções ortogonais sobre os Planos de Projecção. Chama-se projecção horizontal de P à projecção ortogonal P' sobre? 0. De modo semelhante, chama-se projecção vertical de P à sua projecção ortogonal P'' sobre? 0. Fig 04-7-

13 Coordenadas do ponto As coordenadas de um ponto contêm informação sobre a distância desse ponto relativamente a cada um dos Planos de Projecção. Afastamento e cota Chama-se afastamento dum ponto qualquer do espaço à distância do ponto ao Plano Vertical de Projecção, que é positivo se o ponto dado for do semiespaço anterior a? 0 e negativo se o ponto pertencer ao semiespaço posterior. Portanto, um ponto de afastamento positivo pertencerá aos I ou IV quadrantes e um ponto de afastamento negativo aos II ou III quadrantes. Chama-se cota dum ponto qualquer do espaço à distância do ponto ao Plano Horizontal de Projecção, que é positivo se o ponto dado for do semiespaço superior a? 0 e negativo se o ponto pertencer ao outro semiespaço. Logo, um ponto apresentará cota positiva se pertencer aos I ou II quadrantes, e negativa se pertencer aos III ou IV quadrantes. Fig 05-8-

14 Como facilmente se depreende das afirmações acima, os pontos situados em? 0 têm afastamento nulo e os situados em? 0 têm cota nula. O quadro seguinte resume os sinais das cotas e dos afastamentos nos diferentes quadrantes: I Quadrante II Quadrante III Quadrante IV Quadrante Cotas Afastamentos

15 Abcissa Um ponto só fica completamente definido no espaço, se para além das coordenadas já referidas - afastamento e cota - conhecermos também a sua abcissa. Torna-se necessário definir um plano auxiliar ortogonal aos Planos de Projecção? 0 e? 0, designado por? 0. A abcissa de um ponto é a distância desse ponto ao plano? 0. Esta distância, se for positiva, diz-nos que o ponto se encontra para o lado direito deste plano? 0. Caso contrário, o ponto encontra-se para o lado esquerdo de? 0. Cada ponto no espaço fica definido pelas suas três coordenadas: a abcissa, o afastamento e a cota - sempre por esta ordem. A ( X ; Y ; Z ) em que: X é a abcissa; Y é o afastamento; Z é a cota. Fig 07 No entanto, em geometria descritiva, não existe explicitamente a necessidade de mais de dois Planos de Projecção. Assim, na maior parte dos casos, indicar-se-ão apenas o afastamento e a cota do ponto, escrevendo-se P ( Y ; Z ). -10-

16 Projecções no Plano do Desenho Pretende-se representar o ponto num único plano de representação: o plano do desenho. Obtém-se a representação das duas projecções do ponto num plano único, se se rebater o plano vertical sobre o plano horizontal de projecção, de modo que o semiplano vertical superior se sobreponha ao semiplano horizontal posterior. Por outro lado, o semiplano vertical inferior vai coincidir com o semiplano horizontal anterior. As duas projecções do ponto ficam desta forma num mesmo plano, dividido pela linha de terra em dois espaços: o de cima contém os Semiplanos Horizontal Posterior e Vertical Superior, e o de baixo os Semiplanos Horizontal Anterior e Vertical Inferior. -11-

17 No plano do desenho, as duas projecções P - projecção do ponto P no plano horizontal? 0, e P - projecção de P no plano vertical? 0, estão sobre uma mesma perpendicular à Linha de Terra - linha de referência. Alfabeto do ponto Um ponto no espaço pode pertencer a qualquer um dos quadrantes e a qualquer um dos octantes. Pode igualmente pertencer a um dos Planos de Projecção, a um dos Planos Bissectores ou à própria Linha de Terra. As proposições seguintes dizem respeito a algumas das posições possíveis do ponto: A projecção vertical de um ponto pertencente a? 0 é um ponto de LT; A projecção horizontal de um ponto de? 0 é um ponto de LT; As projecções de um ponto pertencente à LT coincidem com o próprio ponto; As projecções de um ponto pertencente a? 13 são simétricas em relação a LT. As projecções de um ponto pertencente a? 24 são coincidentes. Os pontos com maior cota que afastamento, ou seja, os que estão mais próximos de? 0 do que de? 0, pertencem aos 2º, 3º, 6º ou 7º octantes. Os pontos com maior afastamento que cota, ou seja, os que estão mais próximos de? 0 do que de? 0, pertencem aos 1º, 4º, 5º ou 8º octantes. São várias as posições-notáveis que um ponto pode ocupar no espaço, resultantes da sua situação em relação aos Planos de Projecção e Planos Bissectores. Podemos sistematizá-las no chamado Alfabeto do ponto. -12-

18 F E D C B G A H Q I P J O L M N Fig

19 Representação da Recta Uma recta r fica representada se conhecermos as projecções de dois pontos distintos, A e B, dessa recta. É, no entanto, mais usual representar uma recta pelas suas projecções i. Projecções da recta A projecção vertical de uma recta é o lugar geométrico das projecções verticais de todos os seus pontos. Analogamente, a projecção horizontal de uma recta é o lugar geométrico das projecções horizontais dos pontos que dela fazem parte. Na figura seguinte, representam-se as projecções vertical r'' e horizontal r' de uma recta r do espaço. Esta recta contém os pontos A e B. Fig

20 Ponto Pertencente a uma Recta É condição necessária e suficiente para que um ponto pertença a uma recta, que as projecções do ponto estejam sobre as respectivas projecções da recta. Por outras palavras, se P for um ponto de r, então P é um ponto de r e P é um ponto de r, e vice-versa. Fig

21 Traços da recta. Traço de uma recta num plano é o ponto de intersecção da recta com esse plano. Em relação aos dois Planos de Projecção? 0 e? 0, uma recta r pode ter dois traços: o Traço Vertical Vr - intersecção da recta com? 0 ; o Traço Horizontal Hr - intersecção da recta com? 0. No estudo das rectas há, por vezes, interesse em determinar os seus traços nos Planos Bissectores? 13 e? 24. Traço Vertical -V O traço vertical da recta r - o ponto V r - é o ponto dessa recta de afastamento nulo. Por outras palavras, é um ponto que pertence simultaneamente a? 0 e à recta. Como V r pertence a? 0, V r obtém-se, no plano do desenho, prolongando r até encontrar a LT. Por outro lado, e dado que V r é um ponto da recta dada, a linha de referência que passa por V r intersectará r em V r. V'' r'' L V' T r' Fig

22 Traço Horizontal -H O traço horizontal de uma recta é o ponto da recta de cota nula, designado por H r. Prolongando r'' até à LT, encontra-se a projecção Vertical H'' r do traço horizontal. A linha de referência que passa por H'' r determina em r' a projecção horizontal do traço, H' r. V'' V''=V' r'' r'' r L H'' r' V' T L H'' r' V' T H' Fig 13 H=H' -17-

23 Traço em? 13 -Q Este traço é o ponto em que a recta intersecta? 13, que se designa por Q. Como todos os pontos de? 13 têm projecções simétricas em relação a LT, Q será o ponto da recta que verifica tal propriedade. No plano do desenho, obtêm-se as projecções deste traço recorrendo a uma recta auxiliar simétrica a uma das projecções da recta. Assim, traça-se r 1 simétrica de r em relação a LT e determina-se a intersecção Q de r 1 com r. A linha de referência que passa por Q determina em r a projecção horizontal Q de Q. Utilizando, em alternativa, a recta simétrica de r em relação a LT, obter-se-ia o mesmo resultado. Fig

24 Traço em? 24 -I O traço da recta r no Plano Bissector dos quadrantes pares é o ponto em que a recta o intersecta, que se designa por I. Os pontos de? 24 apresentam a particularidade de terem as suas projecções coincidentes no plano do desenho. Logo, as projecções deste ponto, I e I, encontrar-se-ão no ponto de intersecção das projecções r e r da recta dada, uma vez que é este o único ponto da recta que verifica a propriedade referida. Fig

25 Alfabeto da recta São várias as designações que uma recta pode ter, quanto à sua posição relativamente aos Planos de Projecção. Recta Horizontal ou de Nível Dá-se o nome de Recta Horizontal ou Recta de Nível a uma recta paralela a? 0. Os pontos de uma Recta de Nível n estão todos a igual cota. A projecção vertical n representa-se, no plano do desenho, por uma recta paralela a LT, a uma distância desta igual à cota comum dos pontos da recta. Uma Recta de Nível n não tem traço horizontal. Fig 16 Fig. 17 Fig

26 Recta de Frente Uma Recta de Frente é uma recta paralela a? 0. Todos os pontos de uma Recta de Frente f têm igual afastamento. A projecção horizontal f é uma recta paralela a LT, situada a uma distância desta igual ao afastamento comum dos pontos da recta. Uma Recta de Frente f não tem traço vertical. Fig 19 Fig. 22 Fig. 20 Recta de Frente Pertencente a? 0 Fig. 21 Recta de Frente do II e III Q -21-

27 Recta Horizontal de Frente (ou Fronto Horizontal ou Paralela a LT) Uma Recta Horizontal de Frente é simultaneamente de nível e de frente. Por outras palavras, é paralela a ambos os planos de Projecção e a LT. As suas projecções vertical e horizontal são, portanto, paralelas a LT. Dadas as suas características, uma Recta Fronto Horizontal não tem traços nos Planos de Projecção. a) do II Q Fig.24 Recta Fronto-Horizontal do I Q b) do III Q c) do IV Q Fig 23 Rectas Fronto-Horizontais -22-

28 Recta de Topo (ou projectante vertical) Uma Recta de Topo t é uma recta perpendicular a? 0. É um caso particular das Rectas de Nível, uma vez que é paralela a? 0. A sua projecção vertical reduz-se a um ponto (t ) - traço vertical da recta - e a sua projecção horizontal t é perpendicular a LT. Esta recta denomina-se projectante vertical: as projecções verticais dos pontos que a constituem coincidem no seu traço em? 0. Fig 25- Rectas de Topo:a) do I e II Q b) do III e IV Q -23-

29 Recta Vertical (ou projectante horizontal) Uma Recta Vertical é uma recta perpendicular a? 0. Dado que é necessariamente paralela a? 0, trata-se de um caso particular das Rectas de Frente. A projecção horizontal da Recta Vertical v reduz-se a um ponto (v ), que é também o seu traço vertical, e a sua projecção vertical v é perpendicular a LT. As Rectas Verticais são projectantes horizontais, dado o seu traço em? 0 coincidir com a projecção horizontal dos seus pontos. Fig 26 - Rectas Verticais: a) do I e IV Q b) do II e III Q -24-

30 Recta Oblíqua É toda a recta oblíqua relativamente a ambos os Planos de Projecção e a LT, cujas projecções são igualmente oblíquas em relação a LT. É considerada a posição mais genérica de uma recta em relação aos Planos de Projecção. Fig

31 Recta de Perfil A Recta de Perfil p é uma recta perpendicular a LT. As suas projecções p e p, coincidentes, são perpendiculares à linha de terra. Qualquer recta contida num plano perpendicular a ambos os Planos de Projecção (Plano de Perfil, como se verá) apresenta as suas projecções coincidentes sobre a mesma perpendicular a LT. Por este motivo, a posição de uma recta de perfil não fica suficientemente definida pelas suas projecções, necessitando igualmente da indicação de dois dos seus pontos. Fig

32 Recta que Passa por LT Como o nome indica, trata-se de uma recta concorrente com a LT. Uma recta nestas condições atravessa dois quadrantes opostos: I e III ou II e IV e apresenta as suas projecções concorrentes num ponto de LT (ponto de coordenadas nulas). As rectas de? 0 e? 0 que intersectam a LT são também rectas passantes. Fig 22 - Rectas que passam por LT: a) do I e III Q b) do II e IV Q -27-

33 Quadro-resumo A tabela seguinte resume a informação relativa ao alfabeto da recta: Posição em relação a? 0 e a? 0 Designação Projecções no Plano do Desenho e? a? 0 Recta de Nível n n'' // à LT n'? à LT // a? 0 e? a? 0 Recta de Topo ou Projectante Vertical t (t'') reduzida a um ponto t'? à LT e? a? 0 Recta de Frente f f''? à LT f' // à LT // a? 0 e? a? 0 Recta Vertical ou Projectante Horizontal v // a? 0 e // a? 0 Recta Horizontal de Frente r v''? à LT (v') reduzida a um ponto r'' e r' // à LT Recta Oblíqua o o'' e o'? à LT? a? 0 e? a? 0 Recta de Perfil p p'' e p' coincidentes e? à LT -28-

34 Rectas Concorrentes Duas rectas r e s dizem-se concorrentes quando têm um só ponto - que designaremos por ponto P - comum. O ponto P pertence a ambas as rectas, projectando-se verticalmente em r'' e s'', e horizontalmente em r' e s'. P'' é a intersecção de r'' com s'', e P' a intersecção de r' com s'. Fig 30 Se duas rectas são concorrentes, então as projecções de mesmo nome intersectam-se em pontos de uma mesma linha de referência. A recíproca é verdadeira, excepto no caso de rectas de perfil. -29-

35 Rectas concorrentes, com duas projecções de mesmo nome coincidentes Considerem-se duas rectas, em que duas das suas projecções de mesmo nome são coincidentes, e as outras duas concorrentes. Estas rectas definem um plano projectante em relação a um dos Planos de Projecção. Como as suas projecções, sobre o outro Plano de Projecção, são concorrentes, as rectas no espaço também o serão. É o caso das rectas a e b da figura, que definem um plano projectante vertical e intersectam-se no ponto P. Fig 31 Portanto, duas rectas são concorrentes quando, sendo coincidentes duas projecções de mesmo nome, as outras duas são concorrentes. -30-

36 Rectas concorrentes, sendo uma delas projectante (Recta de Topo ou Recta Vertical) Na figura abaixo, a recta v é projectante horizontal e intersecta a recta a no ponto P. De facto, o ponto P pertence quer à recta a, quer à recta v. Fig 32 Portanto, duas rectas são concorrentes quando uma das projecções de uma delas se reduz a um ponto sobre a projecção de mesmo nome da outra. -31-

37 Rectas Paralelas Duas rectas dizem-se paralelas quando as suas projecções de mesmo nome são paralelas. Fig

38 Rectas paralelas, com duas projecções de mesmo nome coincidentes As rectas a e b da figura apresentam as suas projecções verticais coincidentes, sendo paralelas as suas projecções horizontais. Estas rectas pertencem a um mesmo plano projectante vertical e são paralelas, pois resultam da intersecção deste plano por dois planos paralelos - os planos projectantes horizontais das rectas dadas. Fig. 34 Portanto, duas rectas são paralelas quando sendo coincidentes duas projecções de mesmo nome, as outras duas são paralelas. -33-

39 Rectas paralelas e projectantes (Rectas de Topo ou Verticais) As rectas s e m da figura são projectantes horizontais, ou seja, são perpendiculares a? 0. Por serem perpendiculares a um mesmo plano, m e s são paralelas entre si. O mesmo se verificaria para o caso de rectas de topo. Fig 35 Duas rectas são paralelas quando duas projecções de mesmo nome se reduzem cada uma a um ponto. -34-

40 Representação do plano Um plano fica representado desde que se conheçam as projecções de: três dos seus pontos não colineares, isto é, que não pertençam à mesma recta (A, B e C, na figura); duas rectas concorrentes (r e s, na figura) ou paralelas (r e p na figura) desse plano; uma recta e um ponto exterior desse plano (recta r e ponto C na figura). Repare-se que as duas últimas situações resultam da primeira. a) c) b) d) Fig 36 - Planos definidos por: a) 3 pontos; b) 2 rectas concorrentes; c) 2 rectas paralelas; d) 1 recta e 1 ponto exterior -35-

41 Traços dum plano Chama-se traços de um plano? às suas intersecções com os Planos de Projecção, ou por outras palavras, aos conjuntos de pontos desse plano que pertencem aos Planos de Projecção? 0 e? 0. O traço horizontal h? é a recta de intersecção do plano? com? 0, lugar geométrico dos pontos de cota nula do plano. O traço vertical v? é a recta de intersecção do plano? com? 0, lugar geométrico dos pontos de afastamento nulo do plano. Fig.37 O traço h? tem a sua projecção horizontal h?' coincidente com a própria recta h? e a sua projecção vertical h?'' coincidente com a LT. O traço v? tem a sua projecção horizontal v?' coincidente com a LT e a sua projecção vertical v?'' coincidente com a própria recta. É usual representar apenas as rectas h? e v? no plano do desenho, coincidentes com h?' e v?'', respectivamente. Excepto nos casos em que o plano não intersecta a linha de terra, os traços h? e v? são concorrentes num ponto de LT. -36-

42 Fig 38 Muitas vezes, opta-se por definir um plano através dos seus traços. Atendendo a que os traços de um plano são as rectas de intersecção deste com os Planos de Projecção, a representação de um plano pelos seus traços reduz-se ao caso da sua representação por duas rectas concorrentes. -37-

43 Alfabeto do plano Um plano pode assumir diferentes designações, consoante a sua posição relativamente aos Planos de Projecção. Plano Horizontal ou de Nível É um plano paralelo a? 0, constituindo o lugar geométrico dos pontos com uma mesma cota. Dado ser paralelo a? 0, só intersecta? 0, ou seja, só tem traço vertical, o qual é paralelo a LT. A designação do traço vertical de um Plano de Nível deve ser colocada entre parêntesis - notação convencionada para os planos projectantes. Fig 39 Plano de Nível com cota positiva Fig 40 - Plano de Nível com cota negativa -38-

44 Qualquer figura existente num Plano de Nível projecta-se em verdadeira grandeza no plano horizontal de projecção. A projecção vertical de uma figura nestas condições está sobre o traço vertical desse plano. Fig

45 Plano de Frente Um Plano diz-se de Frente quando é paralelo a? 0, constituindo o lugar geométrico dos pontos com afastamento comum. Por ser paralelo a? 0, um Plano de Frente só tem um traço: o seu traço horizontal (h? 1 ), paralelo a LT. A designação do traço vertical de um Plano de Frente deve ser colocada entre parêntesis, adoptando a notação já referida. Fig 42 - Plano de Frente com afastamento positivo Fig 43 - Plano de Frente com afastamento negativo Qualquer figura existente num Plano de Frente projecta-se em verdadeira grandeza em? 0 e, em? 0, no traço horizontal do plano. -40-

46 Fig 44 Plano de Rampa Chama-se Plano de Rampa a todo o plano oblíquo em relação aos dois Planos de Projecção e paralelo a LT. Um Plano de Rampa atravessa sempre três quadrantes do espaço. Os seus traços são paralelos à LT. Fig 45 - Plano de Rampa que atravessa os II, I e IV Q -41-

47 a) b) c) Fig Planos de rampa que atravessam os: a) I, II e III Q; b) II, III e IV Q; c) I, IV e III Q -42-

48 Plano de Topo (ou Plano Projectante Vertical) É um plano perpendicular a? 0 e oblíquo em relação a? 0. O traço horizontal de um plano? nestas condições é perpendicular à LT e o traço vertical é-lhe oblíquo. O Plano de Topo é também chamado de projectante vertical porque qualquer figura que lhe pertença se projecta sobre o seu traço vertical. Fig

49 Plano Vertical (ou Plano Projectante Horizontal) Trata-se de um plano perpendicular a? 0 e oblíquo em relação a? 0. O traço vertical de um plano projectante horizontal é perpendicular à LT e o traço horizontal é-lhe oblíquo. O Plano Vertical é um plano projectante horizontal: qualquer figura que lhe pertença projecta-se sobre o seu traço vertical. Fig

50 Plano Oblíquo É um plano oblíquo em relação aos dois Planos de Projecção. Os traços de um Plano Oblíquo são oblíquos em relação à LT e concorrentes num ponto desta linha. Fig

51 Plano de Perfil É um plano perpendicular em relação aos dois Planos de Projecção e, consequentemente, perpendicular à LT. Como este plano é duplamente projectante, os seus traços horizontal e vertical coincidem no plano do desenho, numa mesma perpendicular a LT, e contêm as projecções de mesmo nome de todas as figuras que se situem nesse plano. Tal como no caso da recta de perfil, uma figura situada num Plano de Perfil não fica completamente definida pelas suas projecções. Fig

52 Plano Passando por LT (Plano Passante) Um Plano Passante é um plano que passa pela LT e que é oblíquo em relação aos planos de projecção. Por exemplo, os Planos Bissectores? 13 e? 24 são Planos Passantes. Os traços de um plano nestas condições coincidem com LT, não bastando para o determinar. A Linha de Terra e qualquer ponto P exterior à mesma e pertencente ao Plano Passante são suficientes para o determinar. Fig

53 Quadro-resumo A tabela abaixo sistematiza as principais características das posições do plano: Posição em relação a? 0 e a? 0 Designação Traços? a? 0 e // a? 0 Plano de Nível h? não existe v? // à LT (Planos Projectantes Verticais) e? a? 0 Plano de Topo ou Projectante Vertical h?? à LT v?? à LT? a? 0 e // a? 0 Plano de Frente h? // à LT v? não existe (Planos Projectantes Horizontais) e? a? 0 Plano Vertical ou Projectante Horizontal h?? à LT v?? à LT? a? 0 e? a? 0 (Plano Duplamente Projectante) Plano de Perfil h?? à LT v?? à LT? a? 0 Plano de Rampa (// a LT) h? // à LT v? // à LT e Plano Passante (passando por LT) h? coinc. LT v? coinc. LT? a? 0 Plano Oblíquo (Concorrente com LT) h?? à LT v?? à LT -48-

54 Rectas e pontos de um plano Uma recta pertence a um plano quando contém dois pontos desse plano. Se uma recta pertence a um plano, então os seus traços pertencem aos traços de mesmo nome do plano. Por seu lado, um ponto, para que pertença a um plano, deverá estar contido numa recta desse plano. Construção das projecções de uma recta de um plano Plano determinado por duas rectas concorrentes Considere-se um plano determinado por duas rectas concorrentes a e b. Considere-se também uma recta r, da qual se conhece uma das suas projecções, por exemplo a projecção vertical r''. Como determinar a outra projecção da recta r, de tal forma que pertença ao plano dado? As rectas a e r intersectam-se no ponto A. A projecção vertical A'' é a intersecção de a'' com r'', e a projecção horizontal A' é um ponto de a' na linha de referência tirada por A''. O ponto B, intersecção das rectas r e b, determina-se da mesma forma. A projecção horizontal r' procurada é a recta A'B'. Fig

55 Plano determinado por duas rectas paralelas Considere-se agora um plano determinado por duas rectas paralelas. Se se conhecer uma das projecções de uma recta pertencente a esse plano, a outra projecção é obtida como no caso anterior. Plano determinado pelos seus traços Neste caso, o plano é representado pelos seus traços. Considera-se conhecida a projecção horizontal da recta r, pertencente ao plano?. As projecções horizontais dos traços da recta, H r ' e V r ', são as intersecções de r', respectivamente, com h? e LT. As projecções H r '' sobre LT e V r '' sobre h? definem a projecção vertical da recta r que se procurava. Fig

56 Construção das projecções de um ponto de um plano Dado um plano e uma das projecções de um ponto, faz-se passar pela projecção dada a projecção de mesmo nome duma recta do plano. Determina-se então a outra projecção da recta (como foi exposto anteriormente), sobre a qual se encontra facilmente a outra projecção do ponto. Representação de um plano que passa por uma recta dada Por uma recta é possível fazer passar uma infinidade de planos, pelo que este problema tem infinitas soluções. Se se pretender um plano definido pelos seus traços, há que construir as projecções dos traços da recta dada - recta m. Seguidamente, basta fazer passar os traços do plano pelos traços da recta. Portanto, traçam-se h? e v?, concorrentes num ponto qualquer de LT e passando respectivamente por Vm'' e Hm''; o plano? é um plano que satisfaz a condição pedida. Fig

57 Representação de um plano que contém um ponto dado Considere-se um ponto A, representado pelas suas projecções A' e A''. Como é sabido, para que um ponto pertença a determinado plano, terá de estar contido numa recta desse plano. Represente-se, então, uma recta r que contenha o ponto A: resta construir os traços de um plano que contenha a recta r, à semelhança do que já foi feito anteriormente. Fig 55 Caso se considerem planos projectantes, uma das projecções do ponto (ou as duas no caso do Plano de Perfil) está contida no traço do Plano de Projecção em que o plano é projectante. Fig

58 Representação pelos traços, de um plano definido por duas rectas Plano determinado por duas rectas concorrentes Considerem-se duas rectas a e m, concorrentes no ponto O, que determinam o plano?. Construídas as projecções dos traços das rectas dadas, o problema está resolvido: Va'' e Vm'' definem v?; Ha' e Hm' definem h?. Fig. 57 Nota: Os traços do plano intersectam-se necessariamente em LT. -53-

59 Plano determinado por duas rectas paralelas Sejam dadas duas rectas paralelas, a e b, que definem o plano?. O raciocínio a seguir para solucionar o problema é o mesmo: Va'' e Vb'' definem v?; Ha' e Hb' definem h?. Fig. 58 Nota: Os traços do plano intersectam-se necessariamente na LT. -54-

60 Representação por duas rectas, de um plano dado pelos seus traços Representação por duas rectas concorrentes Qualquer par de rectas concorrentes do plano dado é solução deste problema. Traçam-se as projecções de mesmo nome, r' e s', por exemplo, de duas rectas concorrentes r e s. Determinam-se, de seguida, as outras projecções, r'' e s'', condicionando as rectas a pertencerem a?. Fig. 59 Nota: As projecções de mesmo nome das rectas r e s encontram-se em pontos, P' e P'', da mesma linha de referência. -55-

61 Representação por duas rectas paralelas À semelhança do anterior, também para este problema existem infinitas soluções. Traçam-se as projecções de mesmo nome, r' e s', por exemplo, de duas rectas paralelas r e s. Determinam-se, de seguida, as outras projecções, r'' e s'', condicionando as rectas a pertencerem a?. Fig. 60 Nota: As projecções de mesmo nome das rectas r e s encontradas serão paralelas. -56-

62 Rectas de nível e de frente de um plano Considere-se um dado plano?, que não seja horizontal. Intersectando? com n Planos de Nível, obtêm-se n rectas, denominadas Rectas de Nível do plano?. Fig. 61 Similarmente, as intersecções desse mesmo plano? com n Planos de Frente são n rectas, denominadas Rectas de Frente do plano?. Fig

63 Rectas de Nível de um plano Uma Recta de Nível de um plano é o lugar geométrico dos pontos de determinada cota desse plano. Por exemplo, o traço horizontal de um plano é a sua Recta de Nível de cota zero. Como as Rectas de Nível de um plano são paralelas entre si, têm projecções igualmente paralelas. Logo, as projecções horizontais das Rectas de Nível de um plano são paralelas ao traço horizontal do plano. Fig. 63 Descreve-se, de seguida, o processo de construção das projecções de uma Recta de Nível de um plano. -58-

64 Plano determinado pelos seus traços Definida a cota pretendida, traça-se uma paralela n'' a LT, que é a projecção vertical da recta pretendida. O ponto de intersecção de n'' com o traço vertical do plano v? é, como se sabe, a projecção vertical V''n do traço da recta n em? 0. A partir da projecção horizontal V'n deste traço, obtém-se a projecção horizontal n' da Recta de Nível, paralela a h?. Fig

65 Plano determinado por duas rectas No caso de planos definidos por duas rectas concorrentes ou paralelas, começa-se do mesmo modo por traçar, paralelamente a LT, a projecção vertical n'' da recta pedida, atendendo à cota dada. Determina-se de seguida a projecção horizontal n' procurada, que contém A' e B', projecções horizontais dos pontos de intersecção de n'' com as projecções verticais das duas rectas que definem o plano. Fig

66 Rectas de Frente de um plano Uma Recta de Frente de um plano, com um dado afastamento, é o lugar geométrico dos pontos do plano com esse afastamento. Por exemplo, o traço vertical de um plano é a sua Recta de Frente de afastamento zero. Todas as Rectas de Frente de um plano são paralelas entre si; as suas projecções verticais são, portanto, paralelas ao traço vertical do plano dado. Fig. 66 Se, dado um plano, se pretender determinar a sua Recta de Frente com um dado afastamento, o problema resolve-se através do processo indicado para as Rectas de Nível, com as devidas adaptações. Fig

67 Fig. 68 Construção das projecções do ponto A (x,y) de um plano Como já foi referido, a condição para que um ponto pertença a um plano é que pertença a uma recta desse plano. Para determinar o ponto A de coordenadas (x,y) de um certo plano, determina-se a intersecção da Recta de Frente de afastamento x desse plano com a Recta de Nível de cota y do mesmo plano. De facto, estas duas rectas, por serem os lugares geométricos dos pontos de afastamento x e dos pontos de cota y do plano dado, intersectam-se segundo um ponto com afastamento x e cota y: o ponto A que se procurava. Plano não projectante É dado um plano? representado pelos seus traços. Começa-se por construir as projecções da Recta de Frente f, atendendo ao seu afastamento (x) e ao facto de pertencer a?. Traça-se, então, a projecção vertical n'' da Recta de Nível n, de cota y. Esta projecção intersecta f'' no ponto A'', projecção vertical de A. A linha de referência que passa por A'' determina em n' a projecção horizontal A' do ponto pretendido. -62-

68 Fig. 69 Nota: A projecção horizontal de n, tirada de V'n paralelamente a h?, passa por A'. O raciocínio descrito aplica-se igualmente a casos em que o plano é definido por duas rectas paralelas ou concorrentes. Fig

69 Plano projectante O problema resolve-se ainda mais facilmente nos casos em que o plano? é projectante. De facto, os pontos de determinada cota de um Plano de Topo projectam-se verticalmente num mesmo ponto do traço vertical deste plano. Por outro lado, qualquer ponto do traço horizontal dum Plano Vertical é projecção horizontal dos pontos com dado afastamento pertencentes ao plano. Assim, basta marcar, sobre o traço de? no Plano de Projecção em relação ao qual é projectante, a respectiva coordenada do ponto. Marcase, de seguida, a outra coordenada na respectiva linha de referência. Fig

70 Intersecção de Rectas e Planos Posições relativas de planos Dois planos dizem-se paralelos quando não têm qualquer ponto em comum ii. No sistema de dupla projecção, planos paralelos apresentam os traços de mesmo nome igualmente paralelos. Dois planos são coincidentes quando todos os pontos do primeiro pertencem igualmente ao segundo. Os traços homónimos de planos coincidentes são obviamente rectas coincidentes. Por último, resta a posição relativa de dois planos que se intersectam. Neste caso, a intersecção dos planos é constituída por uma recta, lugar geométrico dos pontos que lhes são comuns. Fig Planos paralelos -65-

71 Fig.73 - Planos concorrentes -66-

72 Intersecção de dois planos Dois planos intersectam-se segundo uma recta. Para a definirmos, é suficiente conhecer as projecções de dois dos seus pontos. Intersecção de dois planos cujos traços se intersectam nos limites do desenho Considerem-se dois planos? e? que se intersectam segundo a recta i. A recta i pertence simultaneamente aos dois planos, sendo definida por dois pontos comuns a? e?. Estes pontos serão os traços da recta i - Vi e Hi, pontos resultantes das intersecções dos traços de mesmo nome dos planos dados. No plano do desenho, o traço vertical da recta i é Vi'', ponto de encontro dos traços verticais dos planos, v? e v?. Vi' está na LT. A intersecção dos traços horizontais h? e h? é Hi', projecção horizontal do traço da recta i em? 0. Hi'' está na LT. Unindo Vi' e Hi' obtém-se i', projecção vertical da recta de intersecção dos dois planos. A outra projecção desta recta obter-se-á unindo V''i e H''i. Fig

73 Fig. 75 Intersecção de dois planos, sendo um deles projectante Considerem-se dois planos? e?. O segundo é um Plano de Topo (projectante vertical). Qualquer figura situada num Plano de Topo projecta-se verticalmente no seu traço vertical. Conhece-se, desta forma, a projecção vertical da intersecção i dos dois planos: é v?, traço vertical do plano projectante. Resta, então, construir a projecção horizontal da recta, sabendo que esta pertence também ao outro plano - plano?. Proceder-se-ia de forma semelhante, caso o plano? fosse projectante horizontal. a) b) -68-

74 c) d) a) - Intersecção de um Plano de Topo com um Plano Oblíquo b)- Intersecção de um Plano de Topo com um Plano Vertical c)- Intersecção de um Plano de Nível com um Plano Oblíquo d)- Intersecção de um Plano de Nível com um Plano de Topo Intersecção de dois planos, recorrendo a planos auxiliares Existem situações de intersecções de planos em que é necessário utilizar planos auxiliares. É o caso de planos cujos traços não se intersectam nos limites do desenho ou planos de rampa. Observe-se a situação da figura abaixo, ilustrativa da utilização deste método: Fig

75 Se intersectarmos os planos? e? da figura por um plano? (plano auxiliar), obtemos as rectas i 1 e i 2, rectas de intersecção do plano auxiliar com os planos dados. Por sua vez, as rectas i 1 e i 2 intersectam-se num ponto I, que por pertencer a? e a?, é um ponto da intersecção destes planos. Utilizando um segundo plano auxiliar, obter-se-ia outro ponto I 1. Os pontos I e I 1 definem a recta de intersecção procurada - recta i. Os planos auxiliares devem ser escolhidos em posições tais que as suas intersecções com os planos sejam fáceis de determinar. Por este motivo, escolhem-se geralmente planos auxiliares projectantes. -70-

76 Planos cujos traços não se intersectam nos limites do desenho Considerem-se dois planos oblíquos? e?, cujos traços de mesmo nome não se intersectam nos limites do desenho. Utiliza-se, neste caso, o método descrito, considerando-se dois planos auxiliares? e?, ambos de nível. O plano auxiliar? intersecta os planos? e?, respectivamente, segundo as rectas de nível i 1 e i 2. Por sua vez, estas rectas intersectam-se no ponto I 1, ponto este que pertence à recta de intersecção procurada. Intersectando? e? com o outro plano auxiliar?, obtêm-se duas outras rectas de nível, i 3 em? e i 4 em?. Estas rectas cruzam-se no ponto I 2, também ele pertencente à recta de intersecção de? e?. A recta i, que se pretendia determinar, fica desta forma definida pelos pontos I 1 e I 2. Fig

77 Planos de rampa Considerem-se dois Planos de Rampa? e?, definidos pelos seus traços. A intersecção de dois Planos de Rampa - ambos paralelos a LT - é uma recta paralela a LT. Como a direcção da recta é conhecida, vai ser suficiente obter um dos seus pontos. Neste caso, utilizou-se como plano auxiliar um Plano de Topo. Note-se que a utilização de Planos de Frente ou de Nível não permitiria solucionar o problema, uma vez que estes planos são também paralelos a LT. O Plano de Topo? intersecta? segundo a recta i 1 e? segundo i 2. Estas rectas cruzam-se no ponto I pertencente à intersecção i dos planos dados. Como a recta pretendida é horizontal de frente, resta fazer passar a mesma pelo ponto I Fig. 79

78 Planos definidos por duas rectas Emprega-se também neste caso o método descrito, utilizando, por exemplo, dois planos auxiliares de nível,? 1 e? 2. Sejam? e? os planos dados. O plano? encontra-se representado pelas rectas concorrentes a e b e? pelas rectas paralelas r e s. O plano auxiliar? 1 intersecta? segundo a recta i 1, definida pelos pontos A e B. O mesmo plano intersecta? segundo a recta i 2, definida pelos pontos R e S. As rectas i 1 e i 2 cruzam-se no ponto I, pertencente à intersecção que se pretende determinar. Similarmente, a utilização do plano auxiliar? 1 vai permitir a obtenção das rectas i 3 e i 4, concorrentes em I 1. Os pontos I e I 1 definem a recta i de intersecção dos planos dados. Fig

79 Intersecção de uma recta com um plano Uma recta e um plano podem ocupar as seguintes posições relativas: a recta intersecta o plano, pertence ao plano ou é paralela ao plano, intersectando-o no infinito. Determinar a intersecção entre uma recta e um plano consiste em determinar o ponto comum à recta e ao plano. Fig 81 A condição para que uma recta pertença a um plano é que contenha dois pontos do mesmo. A condição para que uma recta seja paralela a um plano é que não tenha com ele nenhum ponto comum. Se uma recta é paralela a uma recta de um plano, é necessariamente paralela a esse plano, -74-

80 Intersecção de uma recta com um plano projectante Nos casos em que o plano dado é projectante, a determinação do ponto de intersecção é imediata. De facto, se o plano for projectante vertical (de Topo ou de Nível), então a projecção vertical I'' do ponto de intersecção está contida no traço vertical v? do plano. O mesmo se aplica relativamente à projecção I' e traço h?, se se tratar de um plano projectante horizontal (Vertical ou de Frente). Considere-se o plano? da figura, projectante vertical (de topo), e a recta r, oblíqua. A projecção vertical I'' do ponto de intersecção procurado pertence simultaneamente à projecção vertical r'' da recta e ao traço vertical v? do plano. Trata-se portanto, do ponto de intersecção destas rectas. A projecção horizontal I' encontra-se sobre r', na linha de referência tirada de I''. Fig

81 Intersecção de uma recta com um plano, recorrendo a um plano auxiliar O método geral para determinar a intersecção entre uma recta r e um plano? consiste em traçar um plano auxiliar? que contenha r e determinar de seguida a recta i, intersecção dos dois planos. O ponto em que a recta i se cruza com r é o ponto I procurado. De facto, I pertence a r e, por ser de i, pertence a?. Fig 82 Note-se que o plano auxiliar escolhido deve ser um plano projectante. -76-

82 Plano representado pelos seus traços Sejam dados o plano?, oblíquo e a recta r, também oblíqua. Tome-se para plano auxiliar, o plano? projectante horizontal da recta r. O traço horizontal h? coincide, portanto, com r'. Os planos? e? intersectam-se segundo a recta i, definida por Hi e Vi. Esta recta, por sua vez, cruza a recta dada no ponto I, comum a? e a r. Fig

83 Plano definido por duas rectas Considere-se o plano definido pelas rectas a e b, concorrentes em O e uma recta r, oblíqua. Á semelhança do que foi feito no exemplo anterior, utilizar-se-á como plano auxiliar um dos planos projectantes da recta; desta vez, o plano? projectante vertical de r. O traço vertical v? deste plano intersecta as projecções verticais das rectas a e b nos pontos A'' e B'', respectivamente. Depois de marcadas as projecções verticais A' e B' correspondentes, obtém-se facilmente a recta i, intersecção dos dois planos. O ponto P, intersecção de i e r, é o ponto procurado. Intersecção de três planos Três planos não paralelos e não coincidentes intersectam-se num ponto. Para o determinar, é necessário resolver sequencialmente os últimos problemas expostos: intersecção de dois planos, seguido de intersecção de uma recta com um plano. De facto, para determinar a intersecção dos planos?,? e? da figura, não coincidentes e não paralelos, determina-se em primeiro lugar a recta i intersecção entre dois deles -? e?. -78-

84 Posteriormente, encontra-se o ponto de intersecção I entre a recta i e o terceiro plano?, considerando-se para tal o plano auxiliar?, projectante vertical de i, que intersecta? segundo a recta i 1. O ponto em que i 1 cruza i é o ponto procurado - intersecção dos três planos. A B C Fig. 86 Fases da determinação da intersecção entre 3 planos:?,? e? 1º) Determinar a recta i,intersecção dos planos? e?; 2º) Determinar a intersecção da recta i com o plano?, utilizando como auxiliar o Plano de Topo? -79-

85 Participaram neste trabalho os formadores abaixo referidos que cederam os respectivos direitos de propriedade e autoria: João Gonçalves Baptista Cabarrão Jorge Monteiro Sofia Silva Vítor Monteiro António Mota Vítor Capote David Cabarrão -80-

86 Modulo Nº 2 SOMBRAS - Projecção de sombras de sólidos em planos ortogonais Esta Publicação é propriedade do GICEA, Gabinete de Gestão de iniciativas comunitárias. Este produto é protegido pelas leis em vigor e copyright, estando reservados todos os seus direitos. Não pode ser reproduzido nem transcrito por qualquer processo seja ele qual for sem autorização dos titulares do direito. Os infractores são passíveis de procedimento judicial.

87 FICHA DE PLANIFICAÇÃO MODULAR Sub-Projecto : 11 - Desenho Técnico CD ROM nº.: 2 Designação : Sombras Curso : Horas previstas: 50 OBJECTIVOS 1. Indicar a direcção convencional dos raios luminosos 2. Distinguir sombra real de sombra virtual 3. Determinar a sombra de um ponto 4. Dar exemplos de pontos com sombra real sobre, sobre e sobre a LT 5. Determinar a sombra de um segmento de recta, incluindo nos casos particulares de segmentos paralelos e perpendiculares a um dos planos de projecção 6. Definir o conceito de ponto de quebra 7. Construir a sombra de figuras planas poligoniais 8. Construir a sombra do círculo 9. Definir os conceitos de sombra própria e sombra projectada e de linha separatriz 10. Determinar as sombras própria e projectada de prismas, pirâmides, cones e cilindros CONTEÚDOS 1. Indicação da direcção convencional dos raios luminosos 2. Distinção de sombra real de sombra virtual 3. Determinação da sombra de um ponto 4. Exemplos de pontos com sombra real sobre, sobre e sobre a LT 5. Determinação da sombra de um segmento de recta, incluindo nos casos particulares de segmentos paralelos e perpendiculares a um dos planos de projecção 6. Definição do conceito de ponto de quebra 7. Construção da sombra de figuras planas poligonais 8. Construção da sombra do círculo 9. Definição dos conceitos de sombra própria e sombra projectada e de linha separatriz 10. Determinação das sombras própria e projectada de prismas, pirâmides, cones e cilindros 1. Realização de vários exercicios 2. Trabalhos de grupo. ACTIVIDADES AVALIAÇÃO 1. Análise dos trabalhos realizados. 2. Participação e interesse demonstrado. MATERIAIS / RECURSOS 1. Sala de munida com equipamento que permita a projecção de imagens. 2. Papel A4, uma régua, 1 esquadro, lápis porta minas de 0,5 mm e 0,3 mm. PUBLICO ALVO 1. Formadores da área da Geometria Descritiva ii

88 BIBLIOGRAFIA 1. Moreira de Sousa, Geometria Descritiva - 11º ano, Plátano Editora 2. Stella Santana e Berta Gomes, Desenho e Geometria Descritiva - 10º ano, Porto Editora 3. António Carreira, Compêndio de Desenho, Livraria Sá da Costa Data O Formador iii

89 Índice Introdução...2 Noções preliminares sobre a teoria de sombras...2 Direcção convencional dos raios luminosos...2 Sombra real e sombra virtual...3 Sombra de um ponto...4 Sombra de um segmento de recta...5 Sombra de um segmento paralelo a um dos planos de projecção...7 Sombra de um segmento perpendicular a um dos planos de projecção...8 Sombra de figuras planas poligonais...9 Sombra do círculo Sombra própria e sombra projectada de sólidos Sombras própria e projectada do prisma Sombras própria e projectada da pirâmide Sombras própria e projectada do cone Sombras própria e projectada do cilindro

90 Introdução De forma a facilitar a compreensão da configuração de um corpo, representado pelas suas projecções, opta-se muitas vezes por representar igualmente a sombra do mesmo. Noções preliminares sobre a teoria de sombras Direcção convencional dos raios luminosos A luz propaga-se em linha recta. Por convenção, considera-se a fonte luminosa a distância infinita. Convencionou-se igualmente a direcção dos raios luminosos: a direcção paralela à diagonal de um cubo com duas faces que pertencem ou são paralelas aos planos de projecção? 0 e? 0. Na figura abaixo é possível observar a direcção referida: a direcção da diagonal CD, orientada da esquerda para a direita, de cima para baixo e de trás para a frente (relativamente a um observador no 1º quadrante, voltado para? 0 ). Fig 01 As projecções da direcção luminosa convencional (C''D'' e C'D', na figura) fazem ângulos de 45º com LT. Note-se, no entanto, que a verdadeira grandeza do ângulo entre o raio luminoso e a LT é inferior a 45º. -2-

91 Sombra real e sombra virtual Se um ponto A produz sombra sobre um determinado plano?, essa sombra é chamada de sombra real do ponto A (A s ). Se, prolongando o raio luminoso que incidiu sobre A (denominado raio de sombra, a partir desse ponto) para além do plano?, este intersecta um outro plano?, a este ponto de intersecção chama-se sombra virtual do ponto A (A v ). A sombra virtual ponto A (A v ) representa a sombra que este provocaria no plano?, se não existisse o plano?. Fig 02-3-

92 Sombra de um ponto Um raio luminoso, ao incidir num ponto A, origina a partir deste um raio de sombra, que intersecta os planos de projecção. Determinar a sombra de um ponto não é mais do que determinar os traços dessa recta - o raio de sombra originado pelo ponto. O primeiro traço encontrado é a sombra real do ponto - A s. Prolongando o raio de sombra para além da sua sombra real, encontramos o traço A v - a sombra virtual de A. Na figura, a sombra real de A corresponde ao traço do raio luminoso sobre? 0 e a sombra virtual ao traço em? 0. No caso do ponto B, a situação inverte-se. Fig 03 Um ponto pode, portanto, ter sombra (real) sobre? 0 ou sobre? 0, consoante tiver maior afastamento ou maior cota. Poderá ainda ter sombra na LT, se tiver cota e afastamento iguais. -4-

93 Sombra de um segmento de recta As sombras produzidas sobre os planos de projecção de um segmento de recta ficam determinadas construindo as sombras produzidas sobre esses planos pelos extremos do segmento. Por exemplo, o segmento OP da figura projecta a sua sombra em? 0 : as sombras de ambos os seus extremos situam-se sobre este plano de projecção. Fig 04 A determinação da sombra de um segmento de recta é menos simples quando este produz sombra em ambos os planos de projecção. Neste caso, a sombra real do segmento OP será constituída pela parte real da sombra que o segmento produz sobre? 0 e pela parte real da sombra produzida em?

94 É suficiente determinar a sombra virtual de um dos extremos do segmento. A sombra virtual de P, por exemplo, pode ser unida à sombra real de O, uma vez que se tratam de projecções no mesmo plano de projecção -? 0. Desta forma, encontra-se determinado o ponto onde a sombra do segmento encontra a LT. A este ponto chama-se "ponto de quebra" (ver figura). Unindo o "ponto de quebra" às sombras reais P's e O''s, enconta-se a sombra real do segmento. Fig 05-6-

95 Sombra de um segmento paralelo a um dos planos de projecção Se um segmento é paralelo a um dos planos de projecção, a sua sombra nesse plano é paralela à projecção do segmento no mesmo. Na figura abaixo, a sombra do segmento OP, de nível, é paralela à sua projecção horizontal. Fig 06 Assim, em problemas que envolvam segmentos paralelos a? 0 ou? 0 produzindo sombra em ambos os planos de projecção, a situação simplifica-se porque deixa de ser necessária a determinação de uma sombra virtual. Por exemplo, para definir a sombra do segmento de frente QR da figura, não foi necessário a determinar de qualquer sombra virtual, uma vez que é conhecida a direcção da sua sombra em? 0. Fig 07-7-

96 Sombra de um segmento perpendicular a um dos planos de projecção Se um segmento é perpendicular a um dos planos de projecção, a sua sombra nesse plano é paralela à projecção da direcção luminosa nesse mesmo plano. Logo, o traçado de sombras virtuais dos extremos de um segmento nestas condições é desnecessário, mesmo que este projecte sombra em ambos os planos de projecção. Na figura seguinte representam-se um segmento de recta vertical ST e respectiva sombra em? 0 e? 0. Fig 08-8-

97 Sombra de figuras planas poligonais A construção das sombras produzidas sobre os planos de projecção por um polígono resume-se na determinação das sombras produzidas sobre esses planos pelos lados do polígono, isto é, por segmentos de recta. Se o plano do polígono for paralelo a um dos planos de projecção, o polígono dado e a sombra por ele produzida sobre esse plano de projecção são figuras iguais. É este o caso do quadrado? MNOP? da figura seguinte. Para determinar a sombra que este quadrado, de frente, produz no plano a que é paralelo, é suficiente determinar a sombra de um dos seus vértices. A partir desta, constrói-se paralelamente à projecção vertical do quadrado uma figura igual. Fig 09 Considere-se agora um outro quadrado? MNOP?, igualmente de frente, mas que não tem sombra em? 0. Como este quadrado tem dois lados paralelos ao plano horizontal, foi suficiente determinar a sombra dos pontos M e P para construir a sombra dos lados MN e OP, paralelamente aos mesmos e com igual dimensão. Fig 10-9-

98 A figura seguinte representa o triângulo de nível? RST?. Como a sombra que este produz no plano horizontal de projecção lhe é igual e paralela, é possível encontrar os 'pontos de quebra' dos lados RS e ST, sem recorrer a sombras virtuais. Para construir a sombra deste triângulo, foi suficiente determinar a sombra de dois dos seus vértices, um em? 0 e outro em? 0. Fig 11 Considere-se, por último, o pentágono? JLMNO?, existente num plano de topo. Neste caso foi necessário determinar as sombras reais dos cinco vértices e duas sombras virtuais para determinar os 'pontos de quebra' dos lados JL e MN. Fig

99 Sombra do círculo Considere-se um círculo paralelo a um dos planos de projecção. Se este produzir sombra sobre o plano a que é paralelo, é suficiente determinar a sombra do seu centro. A partir deste, e com o mesmo raio, traça-se a circunferência que define o contorno da sombra pretendida. É o caso descrito na figura seguinte, onde se representa um círculo de frente. Fig 13 Se, pelo contrário, o círculo considerado produzir sombra sobre o plano a que não é paralelo, a sua sombra será uma elipse. Consideremos o círculo da figura seguinte. Este círculo, de frente, apresenta todos os pontos que o constituem com afastamento superior à cota, pelo que a sua sombra será uma elipse sobre? 0. Para construir a elipse de sombra pretendida, pode determinar-se a sombra do quadrado envolvente da circunferência e dos oito pontos de intersecção da circunferência com os lados e com as diagonais desse quadrado. -11-

100 Fig 14 Considere-se agora um círculo, desta vez de nível, cuja sombra se projecta nos dois planos de projecção. A sua sombra projecta-se em? 0 segundo um trecho de círculo e em? 0 segundo um trecho de elipse. Fig 15 Considere-se, por fim, o círculo da figura seguinte, existente num plano vertical. O problema é semelhante mas de complexidade acrescida, uma vez que a sua sombra se projecta segundo trechos de elipse, tanto em? 0 como em?

101 Fig 16 Utilizou-se um rebatimento de? sobre? 0, a fim de determinar as projecções dos oito pontos dos lados e diagonais (quatro de cada, respectivamente) do quadrado envolvente. Fica claro, no círculo rebatido, que os pontos de quebra M e N são pontos do? 13. Ou seja, são pontos com cota e afastamento iguais que, por esta razão, produzem sombra na LT. -13-

102 Sombra própria e sombra projectada de sólidos Pode-se identificar, em qualquer sólido atingido pela luz, uma parte da sua superfície iluminada, encontrando-se a restante em sombra. À região não iluminada da superfície de um sólido chamase sombra própria. À linha que na superfície de um corpo separa a parte iluminada da parte em sombra, chama-se linha separatriz de sombra/luz. A sombra desta linha, habitualmente designada simplesmente por separatriz, determina o contorno da sombra projectada do sólido. No caso da figura, em que se representa uma pirâmide hexagonal regular recta, assente no plano? 0, a separatriz é a linha quebrada fechada? VCDEFV?. A sombra desta linha? VsCsDsEsFsVs? é o contorno da sombra projectada da pirâmide. Fig 17 É possível identificar, por mera observação, quais as arestas que pertencem à separatriz. Quando necessário, pode fazer-se passar pelo vértice da pirâmide dois planos (? e?), paralelos à direcção luminosa e rasantes ao sólido, que tocam os vértices C e F, mais à esquerda e mais à direita da base. São estes os pontos que, juntamente com o vértice da pirâmide, definem as arestas laterais pertencentes à separatriz. Note-se que, em virtude da propagação da luz, a base desta pirâmide não é iluminada, razão pela qual é parte integrante da sua sombra. -14-

103 Sombras própria e projectada do prisma Considere-se um prisma hexagonal regular, com as bases de nível. A determinação da separatriz é imediata desde que o prisma seja recto e tenha as bases paralelas a um dos planos de projecção, como no caso presente. De facto, a simples leitura das projecções do prisma dá-nos a conhecer as arestas laterais UU1 e RR1 por onde passam raios luminosos rasantes. A separatriz de sombra/luz é, portanto constituída por estas duas arestas laterais e pelas arestas UV, VX e XR da base inferior e pelas arestas UT, TS e SR da base superior. Ou seja, é a linha? RXVUU1T1S1R1 R?. Fig 18 Encontram-se, portanto, em sombra, neste prisma, as faces? RR1S1 S?,? SS T T? TT1 U1U e a sua base inferior. 1 1 e?? O contorno da sombra produzida pelo prisma sobre? 0 foi determinado através da construção das sombras projectadas sobre este plano pelas arestas que formam a separatriz. As arestas das bases deste prisma são paralelas ao plano horizontal de projecção e as laterais são perpendiculares ao mesmo. Logo, a sua sombra é de simples determinação. -15-

104 Sombras própria e projectada da pirâmide Considere-se a pirâmide pentagonal regular com base de nível da figura, cuja sombra se projecta em? 0 e em? 0. Fig 19 Para determinar as arestas laterais que pertencem à separatriz, define-se a sombra do vértice no plano da base (V1') e por ela traçam-se rectas rasantes ao pentágono da base. Encontram-se desta forma os vértices D e B. As arestas de separação de sombra/luz são, portanto, VD e VB e, como a base está na sombra, a separatriz é a linha?? VDEABV. Logo, a sombra própria da pirâmide, apenas visível em projecção horizontal, será constituída pela base e pelas faces? VDC? e? VCB?. A sombra projectada pela separatriz determina o contorno da sombra projectada pela pirâmide. Para a sua determinação, bastou determinar uma sombra virtual (a do vértice B), dado que as arestas da base são paralelas a?

105 Sombras própria e projectada do cone Observe-se a figura seguinte, onde se representam a sombra própria de um cone, de base assente no Plano Horizontal de Projecção, e a sombra por ele projectada em? 0. Fig.20 O raio luminoso que passa pelo vértice V do cone intersecta o plano da base no ponto Vs. De V's traçam-se tangentes à projecção horizontal da base do cone, determinando-se os pontos de tangência M e N. As geratrizes VM e VN e o arco NM (do lado da luz) da circunferência da base constituem a separatriz de sombra. Na superfície do sólido só está iluminada a parte da superfície cónica compreendida entre as geratrizes VM e VN e o arco NM do lado da luz da circunferência da base. A sombra projectada pelo cone em? 0 é a sombra produzida sobre este plano pela separatriz. Portanto, V'sM' e V'sN' são limites da sombra produzida, juntamente com M'sV' e N'sV'. -17-

106 Consideremos agora a próxima figura, em que um cone com base assente num plano de nível produz sombra em ambos os planos de projecção. A cota do vértice do cone é superior à cota da sua base. Fig.21 Faça-se passar pelo vértice do cone um raio luminoso e determine-se o seu traço V1 no plano da base. Os pontos de contacto M e N das tangentes à circunferência da base conduzidas por V'1 permitem identificar as geratrizes VM e VN da separatriz de sombra. A separatriz é, portanto, a linha?? VMNV, sendo MN do lado da luz. A parte da superfície cónica do sólido compreendida entre estas geratrizes e o arco MN do lado da sombra constitui, com a base, a sombra própria do cone. A separatriz projecta o contorno da sombra projectada do cone. A sombra do arco MN em? 0 determina-se facilmente, por ser paralelo a esse plano. A parte restante da sombra deste arco foi determinada através das sombras dos pontos D, E e F que auxiliaram na determinação da sua forma elíptica. A sombra virtual de V permitiu encontrar o ponto de quebra da sombra da geratriz VN. -18-

107 Analisemos agora uma situação diferente, em que o plano da base do cone é de frente e o afastamento do vértice é menor do que o da base: Fig. 22 A sombra do vértice no plano da base é virtual: na sua determinação considerou-se o sentido inverso do da luz. Logo, esta 'sombra' situa-se do lado da luz do cone. Os pontos de tangência M e N, tirados de V''1, definem as geratrizes VM e VN pertencentes à separatriz. A base encontra-se iluminada. Logo, a separatriz é a linha? VMNV?, em que o arco MN é o do lado contrário ao da luz. Pode-se observar parte da sombra própria deste cone em projecção horizontal. O contorno da sombra produzida sobre os planos de projecção pelo cone é a sombra produzida sobre esses planos pela sua separatriz de sombra. A geratriz VN projecta sombra sobre? 0. O arco MN projecta sombra em? 0 até ao ponto de quebra na LT, e a partir dali segundo um arco de elipse. Para a sombra da geratriz VM foi necessária a determinação da sombra virtual de M, a fim de se encontrar o ponto de quebra. -19-

108 Sombras própria e projectada do cilindro A figura seguinte representa um cilindro com bases de frente e a sombra por ele produzida em? 0 e em? 0. Fig. 23 As geratrizes do cilindro considerado são projectantes verticais. Consequentemente, os planos tangentes à superfície cónica também são de topo. Destes planos, os paralelos à direcção dos raios luminosos são tangentes ao longo das geratrizes DE e JI. O arco DQJ da base de menor afastamento e o arco EFI da base de maior afastamento constituem, em conjunto com as geratrizes identificadas, a separatriz sombra/luz do sólido. A sombra própria é formada pelo círculo da base de menor afastamento e a metade da superfície cilíndrica do sólido à qual pertence o arco EFI. O contorno da sombra produzida sobre os planos de projecção obtém-se construindo as sombras projectadas sobre esses planos pela linha separatriz. A geratriz DE é paralela a? 0, projectando sombra igual e paralela sobre esse mesmo plano. A semicircunferência [EFGHI] projecta uma sombra elíptica, construída através da sombra desses -20-

109 pontos. A sombra da geratriz IJ é paralela em? 0 e a 45 º em?0. A semicircunferência DQI da base de menor afastamento projecta sombra igual em?0. A partir da LT, a sua sombra projecta-se segundo uma elipse até D's. -21-

110 Participaram neste trabalho os formadores abaixo referidos que cederam os respectivos direitos de propriedade e autoria: João Gonçalves Baptista Cabarrão Jorge Monteiro Sofia Silva Vítor Monteiro António Mota Vítor Capote David Cabarrão -22-

111 Manual nº3 Normalização - Normas aplicadas ao Desenho Técnico Esta Publicação é propriedade do GICEA, Gabinete de Gestão de iniciativas comunitárias. Este produto é protegido pelas leis em vigor e copyright, estando reservados todos os seus direitos. Não pode ser reproduzido nem transcrito por qualquer processo seja ele qual for sem autorização dos titulares do direito. Os infractores são passíveis de procedimento judicial.

112 FICHA DE PLANIFICAÇÃO MODULAR Sub-Projecto : Módulo nº. : 3 Designação : 11 - Desenho Técnico Normalização Curso : Horas prevista : 30 OBJECTIVOS 1. As Normas mais importantes que regulamentam o Desenho Técnico. 2. A Normalização; Conceito. 3. Organismo Nacional IPQ.Normas Portuguesas. 4. Directivas Comunitárias. 5. Normas de Empresa. Catálogos Técnicos. Documentação. 6. Técnica. Tabelas Técnicas. 7. Dossier Técnico da disciplina: Organização e Utilização. CONTEÚDOS 1. A Normalização: Conceito; Organismos Nacionais e Internacionais da Normalização. Directivas; Normas Europeias; Normas Portuguesas.Recomendações. Fases de uma Norma. Normas de Empresa. 2. Normas de desenho: Formatos do Papel; Dobragens; Esquadrias e Legendas; Linhas e traços; Letras e Algarismos; Escalas.Exercicios de aplicação. ACTIVIDADES Apresentar exemplares de Normas Portuguesas e Europeias. Enumerar as Normas aplicáveis ao Desenho Técnico e à Mecânica, conduzindo os alunos à aquisição de hábitos de consulta permanente, durante a realização dos seus trabalhos. Análise dos trabalhos realizados. Nível de aplicação das Normas. Dados referentes à participação. AVALIAÇÃO MATERIAIS / RECURSOS Sala de desenho com equipamento tradicional a definir no módulo 4. Apoio de computador com leitor de CD-Rom e Video Projector. PUBLICO ALVO Formadores da área Do Desenho Técnico BIBLIOGRAFIA I.P.Q. Normas Portuguesas de Desenho Técnico ISO Standards Handbook Tecnical Drawing Vol. I e II Data O Formador ii

113 Índice Introdução... 2 Normalização... 3 A Normalização em Portugal... 4 Participação Europeia e Internacional... 5 A Normalização Internacional... 6 Normas no Desenho Técnico

114 Introdução Em qualquer ramo da técnica a normalização é um instrumento da maior importância e por isso se justifica a inclusão deste manual sobre este assunto. Efectivamente entende-se que um curso de Desenho Técnico não deve ter função meramente informativa, fornecendo apenas um instrumento de trabalho, embora valioso. Para além desse objectivo o ensino do Desenho Técnico deve procurar cumprir uma missão formativa, contribuindo para criar uma consciência técnica em todos os profissionais de uma empresa/ escola. Só com o progresso alcançado pela revolução industrial do Sec. XIX se começou a justificar a necessidade da normalização ao nível empresarial, sectorial e nacional. As dificuldades de cooperação técnica e militar entre os países aliados no decurso da 2ª Grande Guerra puseram em evidência a urgente necessidade da normalização a nível internacional. Mas nem só ao nível internacional, nem só no domínio do Desenho Técnico, a normalização se torna necessária. Com efeito, mesmo em âmbitos mais restritos e nos mais variados domínios da actividade humana, a normalização começou já há largos anos a dar os seus frutos e muito há ainda a esperar da sua aplicação. A busca de unificação ou de normalização tem em vista facilitar o intercâmbio técnico que o progresso tecnológico e industrial dos nossos dias justifica e quase impõe. A normalização não pode contudo, para ser eficiente, cingir-se ao campo individual, devendo estender-se a âmbitos sucessivamente maiores à medida que o processo ou técnica a que diz respeito tem aplicação mais generalizada. -2-

115 Normalização Normalizar consiste pois em definir, simplificar e unificar não só os produtos finais, como todos os elementos que são utilizados na sua produção, com base em documentos de orientação de projecto, denominados NORMAS. Pretende-se deste modo reduzir as variedades supérfluas de todos os materiais, e operações utilizadas nos processos de produção dos produtos finais. Deste modo a normalização permite melhorar a produtividade na produção, reduzir os stocks, facilitando consideravelmente as operações de assistência técnica após venda, pois procura-se estabelecer uma intermutabilidade entre os componentes normalizados. Devem ser considerados diversos tipos de Normas conforme o nível da sua aplicação. Assim se uma Norma for estabelecida ao nível de uma empresa, designa-se por Norma de empresa. No entanto se o seu nível de aplicação se alargar a um sector industrial, designa-se por Norma sectorial. A designação de Norma Nacional é aplicada quando a Norma for estabelecida pelo Organismo Nacional de Normalização, que em Portugal é IPQ (Instituto Português da Qualidade). Finalmente se a Norma tiver uma aplicação internacional, sendo estabelecida por um Organismo Internacional reconhecido, trata-se de uma Norma Internacional. Entre as vantagens que a normalização para o produtor destaca-se:?? economia de tempo de projecto?? redução de stocks, matérias primas, materiais e componentes?? economia de tempo de produção?? melhoria de qualidade dos produtos finais Para o consumidor, a aquisição de um produto concebido e produzido nestas condições, permite-lhe ter assegurado o fornecimento de peças de reserva e substituição com qualidade garantida pelas normas aplicáveis. -3-

116 A Normalização em Portugal Em Portugal, o Organismo Nacional de Normalização (ONN) é o Instituto Português da Qualidade (IPQ), que é por este facto membro das Organizações Europeias e Internacionais de Normalização. Deste modo, a nível nacional o IPQ é a entidade responsável pela gestão do Subsistema da Normalização no âmbito do SPQ (Sistema Português da Qualidade). O IPQ reconhece e apoia os Organismos de Normalização Sectorial (ONS) que por sua vez assumem perante o IPQ e sob a sua coordenação geral, a responsabilidade de dinamizar as actividades normativas, em domínios específicos. Deste modo, é garantido o apoio necessário ao regular funcionamento das Comissões Técnicas Portuguesas de Normalização (CT s) que são a base de toda a actividade normativa. Nas Comissões Técnicas é assegurada a possibilidade de participação de representantes de todas as partes interessadas, nomeadamente, as Associações Empresariais dos Sectores de actividade. Sendo a Normalização um objectivo de interesse colectivo, o êxito do trabalho desenvolvido pelas CT s depende da participação empenhada de todos os agentes económicos nacionais, interessados em manterem-se competitivos nos mercados em que trabalham. As Normas representam o resultado conjugado da ciência, da técnica e da experiência, constituindo poderosos instrumentos de harmonização técnica e de constante actualização. As Normas podem abranger produtos, processos e serviços, em qualquer sector de actividade, cobrindo aspectos diversos, tais como:?? características dos produtos,?? métodos de ensaio,?? colheitas de amostras,?? terminologia,?? marcação e embalagem, e enquadram-se na persecução de objectivos tão importantes como, a saúde, a segurança e a protecção do meio ambiente. Quanto mais forte é a concorrência, atendendo à rápida evolução tecnológica e maior exigência dos requisitos do mercado, assim assume maior importância a informação tecnológica e a fiscalização sobre os conteúdos Normativos, que vão evoluindo a nível Europeu e Internacional. Compete ao IPQ, na sua qualidade de ONN, manter a base de informação recolhida junto às entidades nacionais e internacionais, necessária às empresas, bem como homologar as Normas Portuguesas (NP) elaboradas pelas diversas CT s. Igualmente, o IPQ deverá proporcionar o apoio necessário ao regular funcionamento das CT s e promover a sua participação nos Comités Técnicos Europeus e Internacionais e efectuar acções de divulgação das Normas. -4-

117 Participação Europeia e Internacional O IPQ, como ONN, é o representante de Portugal nas seguintes estruturas europeias e internacionais de normalização:?? ISO (Organização Internacional de Normalização);?? IEC (Comissão Electrotécnica Internacional);?? CEN (Comité Europeu de Normalização);?? CENELEC (Comité Europeu de Normalização Electrotécnica);?? ETSI (Instituto Europeu de Normalização para as Telecomunicações). O IPQ assegura deste modo, as ligações com estas estruturas, assumindo a responsabilidade nacional no desenvolvimento dos processos normativos em causa, nomeadamente:?? Divulgação de documentos normativos,?? Emissão de pareceres e votações de Portugal,?? Credenciação de peritos Portugueses para as reuniões de normalização?? Implementação nacional das Normas Europeias (EN) -5-

118 A Normalização Internacional Nos países industrializados, e também nos países em desenvolvimento, têm sido realizado um trabalho comparável a este que vemos realizar-se em Portugal. Em termos históricos e reportando-nos a 1946, depois do fim da Segunda Guerra Mundial, foi criada a Organização Internacional de Normalização, abreviadamente designada por ISO (International Standards Organization), que substituiu a ISA (International Standards Association), que tinha sido fundada em As Normas DIN (Deutsche Industrie Normen) e as Normas ASA (American Standards Association) assim como as Normas BS (British Standards) e as Normas NF (Normes Françaises) entre muitas outras, figuram entre as Normas mais usadas. Actualmente as Normas Europeias (EN) procuram uma melhor harmonização entre os países da União Europeia (UE). A ISO agrupa a nível Internacional os principais Institutos de Normalização de cada país, dispondo de vários órgãos que dirigem e exercem as àreas actividades e assuntos susceptíveis de serem normalizados. A formação de CT s qualificadas, visa elaborar de acordo com a maioria dos seus membros, Projectos de Recomendação ISO designados pelas letras DR (Draft Recommendation) seguidas pelo número de ordem. A nível europeu a CEN (Comissão Europeia de Normalização), com sede em Bruxelas, estabelece as Normas Europeias (EN) que uma vez publicadas são posteriormente adoptadas como Normas Nacionais pelos Estados Membros. Uma Norma Nacional ou Internacional representa sempre um documento técnico com cumprimento voluntário, e só a força do mercado obrigará ao seu reconhecimento pelas empresas produtoras ou prestadoras de serviços. -6-

119 Normas no Desenho Técnico Seria muito difícil imaginar qualquer actividade industrial sem envolver a utilização de desenhos técnicos. A sua utilização estende-se ao design, produção, instalação, construção, operação, manutenção e reparação de qualquer produto. Uma das exigências requeridas ao desenho técnico é a sua leitura e interpretação por todos os utilizadores, o qual implica a utilização e cumprimento das Normas aplicáveis ao Desenho Técnico. Até à pouco tempo a maioria das Normas estava associada aos produtos. Nos dias de hoje é crescente o número de Normas relacionadas com o desempenho de um produto ou inclusive associadas a um processo ou à gestão (gestão ambiental, gestão da qualidade,..). O desenvolvimento de Normas é neste momento um factor importante para muitos sectores de actividade, razão pela qual as empresas e os técnicos devem estar atentos, avaliando o interesse e a disponibilidade de participarem nos trabalhos de preparação das Normas. Esta participação nos trabalhos da Normalização Europeia assume portanto importância crescente, no âmbito das estratégias empresariais. É essencial que um desenho preparado ou vindo de qualquer país, seja correctamente interpretado em qualquer outro país. É esta a essência das Normas Internacionais para o Desenho Técnico. A ISO respondendo a esta necessidade publicou ISO Standards Handbook Vol. I e II, onde inclui algumas das 154 Normas Internacionais (ISO) aplicáveis ao desenho técnico. A Normalização deve ser considerada no entanto um processo dinâmico e em contínua actualização, pelo que os diferentes utilizadores das Normas, devem estar atentos e informados das actualizações, revisões e publicação das mesmas. Como foi referido, compete ao IPQ em Portugal, como Organismo de Normalização Nacional, manter devidamente actualizado a informação disponível e ao dispor das empresas e diferentes actividades. Neste sentido existem um conjunto de serviços de apoio (Bibliotecas, serviço particular, arquivo directo de normas nacionais e internacionais) que podem ser consultadas directamente no IPQ na Rua C à Avenida dos Três Vales 2825 Monte da Caparica PORTUGAL, através do telefone Serviço Pergunta- Resposta , Fax , Internet em spr@mail.ipq.pt. -7-

120 A título de exemplo, identificamos em anexo, a lista das normas ISO aplicáveis ao desenho técnico incluídas nos ISO Standards Handbook Vol. I e II, sendo de destacar as seguintes: NORMA ANO ASSUNTO NORMAS PORTUGUESAS ISO 128: 1982 Princípios gerais de representação ISO Cotagem 297 ISO Inscrição de toler. dimensionais 406 ISO ISO ISO ISO ISO ISO ISO ISO ISO ISO ISO ISO ISO ISO ISO ISO ISO ISO ISO ISO ISO ISO ISO ISO Inscrição de toler. geométricas Inscrição de estados de superfície Cotagem de perfis Representação de molas Representação de engrenagens Cotagem de elementos cónicos Escrita- caracteres correntes Símbolos na regulação de proc. indust. Símbolos na técnica do vazio Símbolos para esquemas cinemáticos Símbolos para procedimentos de soldadura Desenho de construções metálicas Escalas Formatos e elementos gráficos das folhas Tolerâncias geométricas- referências Representação de roscas Representação de furos de centros Desenho de vidraria Micrografia Referência dos elementos Dobragem das folhas Dimensões dos símbolos para tol. geom. Legendas Nomenclatura Lista de peças Em termos de Normas Portuguesas identificadas na tabela acima, temos: * NP 48 (1968) Desenho Técnico Formatos * NP 49 (1968) Desenho Técnico Modo de dobrar folhas de desenho * NP 62 (1961) Desenho Técnico Linhas e sua utilização * NP 89 (1963) Desenho Técnico Letras e algarismos * NP 167 (1966) Desenho Técnico Figuração de materiais em corte * NP 204 (1968) Desenho Técnico Legendas * NP 205 (1970) Desenho Técnico Lista de peças * NP 297 (1963) Desenho Técnico Cotagem * NP 327 (1964) Desenho Técnico Representação de vistas * NP 328 (1964) Desenho Técnico Cortes e secções * NP 406 (1966) Desenho Técnico Inscrição de tolerâncias lineares e angulares * NP 671 (1973) Desenho Técnico Representação convencional Convenções de utilização geral * NP 716 (1968) Desenho Técnico Cotagem e especificação de tolerâncias de elementos cónicos * NP 717 (1968) Desenho Técnico Escalas * NP 718 (1968) Desenho Técnico Esquadrias -8-

121 Como exemplo documental de Norma Portuguesa temos: -9-

122 A edição actual das normas Portuguesas, têm a seguinte apresentação: -10-

123 A edição actual das normas ISO, têm a seguinte apresentação: -11-

124 A edição actual das normas harmonizadas (Portuguesas NP, Europeias EN e Internacionais ISO), têm a seguinte apresentação: -12-

125 Participaram neste trabalho os formadores abaixo referidos que cederam os respectivos direitos de propriedade e autoria: João Gonçalves Baptista Cabarrão Jorge Monteiro Sofia Silva Vítor Monteiro António Mota Vítor Capote David Cabarrão -13-

126 Manual nº4 Material de Desenho e Modo de Utilizar Esta Publicação é propriedade do GICEA, Gabinete de Gestão de iniciativas comunitárias. Este produto é protegido pelas leis em vigor e copyright, estando reservados todos os seus direitos. Não pode ser reproduzido nem transcrito por qualquer processo seja ele qual for sem autorização dos titulares do direito. Os infractores são passíveis de procedimento judicial.

127 FICHA DE PLANIFICAÇÃO MODULAR Sub-Projecto : Módulo nº. : 4 Designação : 11 - Desenho Técnico Materal de Desenho e Modo de Utilizar Curso : Horas prevista : 30 OBJECTIVOS 1. Indicar o equipamento indispensável no desenho técnico. CONTEÚDOS Descrição do matrial utilizado correntemente nas contruções de Desenho Técnico ACTIVIDADES Perante determinado apetrecho de Deseho Técnico, fazer a sua identificação, utilidade, descrição e exemplificação de como se utiliza. Análise dos trabalhos realizados. Dados referentes à participação. AVALIAÇÃO MATERIAIS / RECURSOS Sala de desenho com equipamento tradicional a definir no módulo 4. Rectro-projector. PUBLICO ALVO Formadores da área Do Desenho Técnico Desenho Técnico - Veiga da Cunha BIBLIOGRAFIA Data O Formador ii-

128 Índice Introdução... 2 Pranchetas e Estiradores... 3 Papéis, Telas e Plásticos para Desenhar... 4 Fixação da Folha de Desenho... 6 Réguas T, Esquadros, Réguas Graduadas, Escalas e Transferidores... 7 Estiradores com Máquinas de Desenhar e Réguas de Deslocação Paralela Cérceas e Escantilhões. Instrumentos para Desenhar Letras e Algarismos Lápis e Lapiseiras de Desenho. Instrumentos de Afiar Tira-Linhas, Canetas de Desenho, Compassos e Cintéis Material para Apagar os Desenhos Pantógrafos e Compassos de Redução Regras do Desenho à Mão Livre Regras do Desenho com Instrumentos a Lápis Regras do Desenho com Instrumentos a Tinta Limpeza, Corte, Arquivo e Dobragem de Desenhos Reprodução de Desenhos... 23

129 Introdução O rendimento e a qualidade profissional de um desenhador estão intimamente relacionados com o seu método de trabalho, só sendo possível desenhar eficientemente, com bom conhecimento do material de desenho e sobretudo da forma correcta de o utilizar. A execução de um desenho técnico é, antes de mais, uma actividade intelectual que requer certas condições para ser exercida com eficiência, entre as quais se referem, como principais, as seguintes: Posição de trabalho cómoda O estirador deve ser inclinável e a altura deste e do banco de estirador devem ser adequadas, por forma a que o desenhador trabalhe numa posição que não seja fatigante. Boa iluminação Para trabalhar de dia a melhor iluminação é a que é dirigida da esquerda e um pouco da frente do desenhador. A luz deve ser tanto quanto possível difusa, não se devendo nunca trabalhar com luz directa do Sol, pois fatiga muito a vista. Quando a iluminação é com luz artificial esta deve ser orientada por forma a não haver sombras nas zonas do papel em que se está a desenhar. Existem candeeiros especiais de braço articulado, fixável ao estirador que permitem orientar a luz na direcção mais conveniente. Material de desenho bem arrumado Todo o material necessário para a execução de um determinado desenho deve encontrar-se disposto ordenadamente sobre o estirador, ou sobre uma mesa ou prateleiras próximas, mas fora da zona em que se desenha. Pretende-se assim que o material possa ser rapidamente localizado quando necessário e não cause embaraço à progressão do desenho, quando não estiver a ser utilizado. Ambiente de trabalho sossegado Apenas com um ambiente calmo e silencioso é possível obter a concentração necessária à realização de qualquer actividade intelectual e, por isso, o desenhador que se encontra numa sala de desenho deve contribuir para criar um ambiente sossegado, facilitando o seu trabalho e o dos outros. De referir ainda uma recente ciência A ERGONOMIA que estuda as características, o comportamento do homem e as suas relações com o equipamento com o objectivo de melhorar a adequação entre o Homem, a máquina e o ambiente físico de trabalho, considerando em primeiro lugar o Homem e depois o sistema produtivo tornando-o sempre que possível mais competitivo e funcional. -2-

130 Pranchetas e Estiradores O papel em que se executa o desenho deve fixar-se sobre uma prancheta ou sobre um tampo de um estirador, os quais devem ser de madeira relativamente dura com a superfície bem plana e lisa, construídos de modo a não empenarem facilmente e terem pelo menos o bordo lateral esquerdo que se chama bordo de trabalho, bem rectificado, por forma a permitir um deslizamento da régua T. Os estiradores têm hoje utilização muito generalizada em todas as salas de desenho. Existem no comercio diversos tipos de estiradores, uns mais simples, outros mais completos, mas que permitem todos subir ou descer o tampo e fixá-lo com várias inclinações, por forma a conseguir-se a posição mais conveniente, para executar o desenho. Existem estiradores de vários tamanhos, pois as dimensões requeridas são condicionadas pelo formato máximo do papel que se pretende utilizar.(figura 01) Dois acessórios indispensáveis do estirador são o banco que deve garantir a comodidade ao desenhador e o candeeiro de iluminação quando se pretende trabalhar com luz artificial. Os tampos do estiradores devem ser forrados, não só para evitar que se sujem ou risquem, com também para amortecer a influência de eventuais irregularidades da superfície que podem prejudicar o desenho. Para forrar os tampos, usa-se normalmente papel cenográfico ou plásticos especiais. Fig 01-3-

131 Papéis, Telas e Plásticos para Desenhar A maior parte dos desenhos são executados em papel opaco ou translúcido. Tanto um com outro podem ser de várias qualidades que habitualmente se definem, dentro de cada tipo de papel, pelo peso por unidade de superfície. De um modo geral os papéis mais pesados são mais resistentes e suportam melhor a borracha. De distinguir o papel opaco contínuo e o papel opaco de cenário. O papel opaco usa-se quase exclusivamente na execução de esboços e estudos preliminares, ou então de desenhos a lápis que não se destinem a ser reproduzidos. Para desenhos definitivos a tinta usa-se o papel translúcido ou vegetal que tem as vantagens de permitir copiar facilmente desenhos por sobreposição e sobretudo de permitir a reprodução fácil de desenhos. Um inconveniente comum dos papéis opacos e vegetais é a alteração considerável que as suas dimensões sofrem quando os papéis são submetidos a variações de humidade e de temperatura, as quais não podem deixar de influir na qualidade e no rigor do desenho. Por isso, em desenhos de maior responsabilidade ou importância prefere-se utilizar tela ou plásticos em vez de papel. A norma NP-48 (1968) fixa os formatos das folhas que devem ser utilizadas em Desenho Técnico. Estes pertencem à chamada série A, que tem como base o formato A0 cuja área é 1 m2. (Figura 02 e Figura 03) Em cada formato há ainda que considerar uma margem entre o bordo da folha e a esquadria, cuja largura está normalizada pela norma NP-718 (1968). A dobragem da folha faz-se segundo os traços que unem o bordo da folha à esquadria. O traço que parte do bordo sem atingir a esquadria indica o eixo de furação da margem. As folhas de desenho podem ser usadas com o lado maior vertical, isto é, ao alto, ou com o lado maior horizontal, isto é, ao baixo. A norma NP-17 (1970) indica as dimensões dos vários formatos de série A, B e C. Apenas os formatos da série A se devem usar em Desenho Técnico. -4-

132 Fig 02 Fig 03-5-

133 Fixação da Folha de Desenho A fixação da folha de desenho ao tampo do estirador é indispensável no desenho rigoroso. Quando se desenha à mão livre, a fixação do papel não é geralmente conveniente, pois é mais fácil executar o desenho com a folha solta. O papel deve fixar-se de modo que fique próximo do bordo esquerdo do estirador, por forma a reduzir ao mínimo o erro resultante da pequena flecha que as réguas T têm tendência a apresentar próximo da extremidade livre. Quando se pretende fixar a folha, começa-se por acertar o lado superior do papel com a régua T. Em seguida, desloca-se ligeiramente a régua, segurando o papel com a mão direita e fixam-se os cantos superiores. Finalmente desloca-se a régua T até próximo do lado inferior do papel e fixam-se os cantos inferiores. -6-

134 Réguas T, Esquadros, Réguas Graduadas, Escalas e Transferidores As réguas T são constituídas por duas partes, a cabeça e a régua propriamente dita, em geral ligadas rigidamente entre si, de modo a manterem-se perpendiculares. A régua T deve trabalhar sobre o bordo esquerdo do tampo do estirador, porque se pretende que seja deslocada com a mão esquerda, ficando a direita livre para desenhar. As réguas T devem ser submetidas a duas verificações: verificação do bordo de trabalho da cabeça e verificação do bordo de trabalho da régua. Sobre o bordo de trabalho da régua T deslizam os esquadros, permitindo o conjunto traçar facilmente linhas horizontais e verticais. Os esquadros que se utilizam mais correntemente são ambos de forma triangular: um com ângulos de 90º, 60º e 30º que se designa por esquadro de 30º ou esquadro de 60º e outro com um ângulo de 90º e dois de 45º que se designa por esquadro de 45º.Devem preferir-se os esquadros de plástico e tal como a régua T devem ser verificados, para ver se os ângulos estão correctamente marcados. (Figura 04) Fig 04 A régua T, além de se utilizar com tal, deslizando sobre o bordo de trabalho do tampo do estirador, pode também empregar-se como régua simples. Para o desenho das perspectivas rápidas axonométricas, utilizamse esquadros especiais que facilitam consideravelmente as construções. Saliente-se a necessidade de ser indispensável manter a régua T e os esquadros nas melhores condições, pois só assim é possível conseguir rigor nos desenhos, devendo, por isso, haver todo o cuidado com estes instrumentos, com aliás com todo o material de desenho, não os utilizando para fins diferentes dos que lhes competem. -7-

135 As réguas graduadas são instrumentos que servem para medir e marcar comprimentos. Por isso a perfeição com que são construídas e o modo como são utilizam condicionam grandemente o rigor dos desenhos. As réguas graduadas que se usam em Desenho Técnico estão, normalmente, graduadas em milímetros ou meios milímetros e podem Ter vários comprimentos, geralmente compreendidos entre 10 cm e 1m. As mais correntes são os duplos decímetros com 20 cm e os triplos decímetros com 30 cm em madeira ou em plástico. (figura 05) Fig 05 Em Desenho Técnico há muitas vezes conveniência em fazer representações com tamanhos diferentes do natural, utilizando escalas de ampliação e sobretudo de redução. Para medir ou marcar comprimentos, quando se trabalha em escala diferente de 1:1, podem-se utilizar réguas com graduação especial que se designam por escalas, as quais permitem marcar directamente os comprimentos já reduzidos à escala. Para medir e marcar ângulos usam-se transferidores, que podem estar graduados em várias unidades: graus, grados e radianos. (Figura 06) Fig 06 Podem ser de vários tipos, sendo os mais correntes uma circunferência completa ou a meia circunferência em plástico. Existem também modelos de transferidores com uma régua acoplada rodando em torno do seu centro, a qual permite traçar directamente linhas que façam um determinado ângulo com uma direcção dada. O modo com se utiliza a escala ou o transferidor para marcar comprimentos ou ângulos deve obedecer a certas regras e tem influência apreciável no rigor dos desenhos. -8-

136 Os comprimentos devem marcar-se directamente. Sempre que haja que marcar vários comprimentos sucessivamente sobre a mesma linha, devem-se marcar a partir de uma origem comum e portanto sem deslocar a régua. Deste modo evita-se a acumulação de erros que resulta de deslocar sucessivamente a régua, fazendo coincidir o zero da escala com o último ponto marcado. -9-

137 Estiradores com Máquinas de Desenhar e Réguas de Deslocação Paralela A régua T, os esquadros, as réguas graduadas ou escalas e os transferidores, que constituem parte do equipamento básico para desenho rigoroso, podem ser substituídos, no seu conjunto, por um dispositivo que se chama máquina de desenhar.(figura 07) Fig 07 São constituídas por duas réguas solidariamente ligadas em ângulo recto que se podem deslocar em qualquer direcção sobre o estirador, mantendo-se paralelas a si mesmas. A posição das duas réguas em conjunto é fixada por meio de uma cabeça, sendo possível orientar as réguas segundo uma direcção qualquer. Alguns modelos de máquina de desenhar dispõem de engates que permitem fixar facilmente a cabeça nas posições correspondentes aos ângulos que usam mais correntemente. A máquina dispensa também o uso do transferidor e dos esquadros. As máquinas de desenhar aumentam consideravelmente o rendimento de trabalho dos desenhadores e o seu uso é, por essa razão, muito frequente nas salas de desenho modernas. -10-

138 Cérceas e Escantilhões. Instrumentos para Desenhar Letras e Algarismos Para o traçado de curvas podem-se usar cérceas ou escantilhões de curvas.(figura 08) Fig 08 As cérceas são correntemente de plástico, têm formas variadas, sendo constituídas muitas vezes por arcos de curvas como elipses, hipérboles, parábolas, etc. Normalmente um conjunto formado por um pequeno número de cérceas bem escolhidas permite resolver a maioria dos problemas. Existem também cérceas ou escantilhões que permitem o traçado de diversos polígonos. Além destes, utilizam-se em Desenho Técnico e no desenho em geral muitos outros tipos de escantilhões. No desenho de letras e algarismos, por exemplo, é muito corrente a utilização de escantilhões. Além destes existem também diversos escantilhões para fins especiais, destinados a facilitar certos tipos de desenhos que se usam com frequência nalguns ramos de técnica. Os escantilhões de mobiliário e instalações sanitárias existem nas escalas que são mais correntes em desenho arquitectónico. Em electricidade tem interesse a utilização de escantilhões para desenhar esquemas de instalações de telecomunicações e alta tensão. Os escantilhões de perfis metálicos usam-se também em desenho arquitectónico e de construção civil. -11-

139 Lápis e Lapiseiras de Desenho. Instrumentos de Afiar Os lápis de desenho devem ser sempre de primeira qualidade, não se devendo desenhar com lápis de escrever vulgar. Com efeito, é necessário que a mina seja de boa para garantir a nitidez e a regularidade dos traços e a madeira deve ser também de boa qualidade, para que o lápis seja resistente e fácil de afiar. Melhores que os lápis são as lapiseiras de desenho que a longo prazo são mais económicas. Tanto os lápis como as lapiseiras devem ser facetados, por exemplo de secção hexagonal, para se poderem segurar mais facilmente. Existem lapiseiras que trabalham com minas finas apenas com 0.5 mm de diâmetro e que podem ser usadas para desenhar traços finos e bastante precisos sem que seja necessário afiar a mina. As minas dos lápis ou as que se usam nas lapiseiras são constituídas por uma mistura de grafite e certas substâncias aglutinantes, sendo normalmente a mina tanto mais branda e negra quanto maior for a percentagem de grafite. A escala de dureza das minas costuma indicar-se por letras e números que correspondem a diferentes graus de dureza. Os graus de dureza mais correntes são, por ordem crescente de dureza, os seguintes:?? minas brandas: 7B, 6B, 5B, 4B, 3B, 2B E B;?? minas médias: HB e F;?? minas duras: H, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H, 8H e 9H. Os lápis correntes para escrita usam uma graduação diferente dos lápis e minas especiais para desenho. São normalmente graduados com os números 1, 2, 3, 4 e 5, os quais correspondem de modo aproximado respectivamente às graduações 3B, B, F, 2H e 4H. A escolha da mina a utilizar em cada caso está condicionada pelo tipo de desenho a executar, a textura do papel e a humidade ambiente. Para conseguir executar desenhos com rigor, é muito importante que os lápis ou as minas das lapiseiras estejam sempre correctamente afiados. As minas podem-se afiar com lixa, aparaminas ou máquina de afiar. -12-

140 B (Black) Macio H (Hard) Duro F (Fine) Fino 6B a 3B Muito macios 2B E B Macios HB e F Médios H a 3H Duros 6B = 00 B = 2 ¼ 3H = 4 ½ 7H = 7 5B = 0 HB = 2 ½ 4H = 5 8H = 8 4B = 1 F = 3 5H = 5 ½ 9H = 9 3B = 1 ½ H = 3 ¼ 6H = 6 2B = 2 2H = 4-13-

141 Tira-Linhas, Canetas de Desenho, Compassos e Cintéis Para desenhar a tinta utilizam-se os tira-linhas e as canetas de desenho. Entre os tira-linhas podem distinguir-se os tira-linhas correntes para desenhos normais e os tira-linhas especiais para outros fins. Os tira-linhas são instrumentos muito importantes para a execução do desenho rigoroso e, por isso, devem ser tratados com cuidado. Assim deve-se evitar submetê-los a esforços e pancadas guardando-os e transportando-os em estojos apropriados. Na limpeza utilizar-se-á um pano macio que não largue pêlo. Quando se enche o tira-linhas, este deve estar com as pontas para baixo e a tinta deve-se colocar mesmo junto das suas extremidades. Há que ter cuidado em não colocar tinta em demasia no tira-linhas, pois isso provoca aumento de espessura do traço e pode dar origem a borrões. Para trabalhar com o tira-linhas, a melhor a posição é aproximadamente a que se indicou para o lápis, com a única diferença de o tira-linhas se dever manter num plano vertical. Actualmente a maioria dos desenhadores prefere usar canetas de desenho em vez de tira-linhas. Estas canetas são em geral constituídas por um corpo com reservatório de tinta-da-china e uma série de aparos que permitem obter traços de diferentes tipos e espessuras. Apresentam vantagens sobre os tira-linhas. Permitem maior rapidez de desenho, pois trabalham muito tempo sem necessidade de voltarem a ser ceias; são mais seguras que os tira-linhas, pois não permitem borrões, visto a alimentação de tinta ser controlada; e permitem maior exactidão na espessura das linhas, pois cada aparo corresponde a uma espessura bem definida. As canetas de desenho tem aparos de vários diâmetros que permitem obter traços com diversas espessuras. Para desenhar com escantilhões, usam-se aparos especiais intermutáveis. Para que os aparos se mantenham em boas condições, é indispensável que sejam limpos cada vez que se usam, não se devendo permitir a acumulação de tinta seca sobre eles. Os aparos novos estão geralmente protegidos por uma película de óleo que impede a aderência da tinta e deve ser removida com o auxílio de um pano, antes de o aparo ser utilizado. -14-

142 Os compassos e os cintéis usam-se para traçar circunferências a lápis ou a tinta. Os compassos usam-se também, por vezes, para transportar comprimentos de um desenho para o outro. Existem diversos tipos de compassos. Os compassos de pontas secas utilizados para transferir ou marcar comprimentos; os compassos vulgares utilizados para traçar circunferências médias; os compassos de mola para desenhar circunferências de pequenos raios, ou para transportar pequenas distâncias se forem de pontas secas e os compassos de bomba para traçar circunferências de pequeno raio, sendo particularmente vantajosos, quando houver necessidade de traçar muitas circunferências com o mesmo raio. Tanto os compassos de mola como os de bomba podem ter portalápis, tira-linhas ou ponta seca, fixos ou amovíveis e intermutáveis. Os diversos tipos de compassos fabricam-se em vários tamanhos, sendo correntes nos compassos vulgares comprimentos entre 10 e 18 cm. Se se pretender traçar circunferências de raio superior, é necessário recorrer aos cintéis. As canetas de desenho também se podem usar para traçar circunferências, existindo uma peça especial que permite utilizá-las com um compasso vulgar. Quando se desenha com o compasso, deve-se procurar que a intensidade dos traços seja a mesma da dos traços do mesmo tipo feitos a régua e esquadro. A forma de pegar no compasso e as posições em que este deve trabalhar têm importância, tanto no rendimento como no rigor conseguido pelo desenhador. -15-

143 Material para Apagar os Desenhos Os traços feitos a lápis apagam-se com borrachas de lápis de dureza variável, dependente da dureza da mina e da intensidade do traço, devendo procurar-se sempre utilizar a borracha mais branda compatível com o trabalho a executar, para evitar desgastar inutilmente a superfície do papel. O s traços feitos a tinta podem-se apagar com borracha de tinta, raspadeira, lâmina de barbear ou máquina de apagar. A operação de apagar e sobretudo de apagar tinta-da-china tem a sua técnica própria que é indispensável conhecer, pois na maior dos desenhos há sempre que apagar algumas linhas. Qualquer que seja o material utilizado deve-se sempre apagar na direcção do traço e não perpendicularmente. Para apagar traços a tinta, deve-se colocar uma superfície dura e lisa (por exemplo um esquadro) por baixo do papel, para facilitar a saída da tinta da zona mais profunda do papel em que se pretende apagar. -16-

144 Pantógrafos e Compassos de Redução Para facilitar a redução ou ampliação de desenhos, existem aparelhos especiais que são os pantógrafos constituídos por um conjunto de réguas articuladas e os compassos de redução. Os pantógrafos são especialmente úteis quando se pretende reduzir ou ampliar desenhos cujas linhas são irregulares, com acontece frequentemente em desenho topográfico. Os compassos de redução também servem para reduzir ou ampliar distâncias. As suas hastes estão normalmente graduadas, por forma a poder-se marcar directamente uma determinada escala de ampliação ou de redução.(figura 10) Fig

145 Regras do Desenho à Mão Livre O desenho à mão livre assume papel muito importante na concepção de um projecto. Ao projectar tem de se recorrer muito frequentemente ao desenho à mão livre, executando esboços de várias soluções, as quais depois de comparadas têm de ser pormenorizadas, trabalhadas e mais tarde desenhadas rigorosamente. Evitando que as várias soluções sejam desenhadas com instrumentos antes de convenientemente comparadas e analisadas, aumenta-se consideravelmente o rendimento do trabalho. Os desenhos à mão livre são, na maioria das vezes executados sem preocupação de escala, sendo no entanto fundamental que se respeitem as proporções. Quando se pretende traçar uma linha contínua, deve-se apoiar a mão sobre o papel e deslocá-la conjuntamente com o antebraço à medida que progride no traçado. O traçado de linhas a traço interrompido ou a traço e ponto é mais simples que o traçado de linhas contínuas, pois a interrupção obrigatória dos traços facilita a sua execução mais alinhada. As linhas horizontais devem-se desenhar da esquerda para a direita e as verticais de cima para baixo. -18-

146 Regras do Desenho com Instrumentos a Lápis A maneira de desenhar a lápis difere, conforme o desenho é para passar posteriormente a tinta, ou é para ficar a lápis. Para apresentar o desenho a lápis deve-se procurar seguir as seguintes regras: as linhas definitivas devem ser feitas com traço bem nítido e vivo, qualquer que seja a espessura das linhas desenhadas; as linhas de construção devem ser feitas com um traço fino; as espessuras dos vários tipos de linhas devem ser estabelecidas de modo a obter-se uma diferenciação sensível as extremidades das linhas devem ser bem marcadas, sem que o traço se esbata; os traços rectos e curvos, em particular os arcos de circunferência, devem Ter a mesma intensidade se forem do mesmo tipo; os comprimentos dos troços das linhas a traço interrompido e a traço ponto devem ser uniformes. No desenho a lápis há que respeitar uma certa ordenação no traçado executando-se os traços de acordo com a ordem a seguir indicada:?? esquadria e traços da legenda;?? linhas de eixo de simetria do conjunto;?? linhas de contorno visíveis e ocultas que definem as configurações principais;?? linhas de eixo e linhas de contorno das configurações secundárias;?? linhas de chamada e de cota;?? setas e cotas;?? tracejado dos cortes;?? notas, títulos e preenchimento da legenda. -19-

147 Regras do Desenho com Instrumentos a Tinta Os desenhos a tinta podem ser executados em papel opaco, sendo, contudo, mais corrente a utilização de papel vegetal, pois permite a obtenção de cópias heliográficas. A espessura do traço depende dos seguintes factores:?? quantidade de tinta no tira-linhas;?? velocidade de deslocação do tira-linhas;?? grau de afiamento das pontas do tira-linhas;?? existência de tinta seca no tira-linhas;?? inclinação do tira-linhas durante o traçado;?? rugosidade da superfície do papel. No traçado a tinta deve-se respeitar a seguinte ordem:?? 1.circunferências e arcos de circunferência visíveis;?? 2.circunferências e arcos de circunferência ocultos;?? 3.outras curvas visíveis e ocultas;?? 4.linhas rectas visíveis;?? 5.linhas rectas ocultas;?? 6.linhas de eixo;?? 7.linhas de chamada, de cota e de referência;?? 8.setas e cotas;?? 9.tracejados dos cortes;?? 10.notas, títulos e legenda;?? 11.esquadria. -20-

148 Limpeza, Corte, Arquivo e Dobragem de Desenhos Para limpar os desenhos e em especial os desenhos executados a tinta, usa-se uma borracha que se costuma designar por borrachapão que é uma borracha grande muito macia e que se esfarela facilmente. Para proteger o desenho enquanto se interrompe o trabalho, evitando que se suje ou seja danificado, pode-se utilizar uma cortina que estando normalmente enrolada num dispositivo especial a um lado do estirador, se pode correr sobre o desenho. Uma vez executados, os desenhos devem ser arquivados, de modo a poderem ser utilizados de novo, sempre que seja necessário Os desenhos a tinta são normalmente executados em papel vegetal, tela ou plástico, obtendo-se, a partir do original, cópias com as quais se trabalha. Os originais não devem ser dobrados, guardando-se em rolos ou de preferência não enrolados em armários de arquivo. Cada desenho é referenciado por um número, de acordo com um sistema de classificação que se adopte, de modo que em qualquer altura se pode localizar facilmente, no arquivo, um determinado desenho. A dobragem dos diversos formatos faz-se de acordo com as normas.(figura 11) -21-

149 Fig

150 Reprodução de Desenhos Os principais métodos que não são exclusivos da reprodução de desenhos, mas se utilizam para reproduzir textos e documentos são a zincografia, litografia, fotografia, microfilme, heliografia, fotocópia, termocópia, stêncil, hectografia, electrofotografia e offset. A escolha do método a utilizar em cada caso depende do tipo de desenho a reproduzir, da perfeição e da rapidez desejadas para a cópia e do custo de cada reprodução, o qual por sua vez está relacionado com o número de cópias tiradas. -23-

151 Participaram neste trabalho os formadores abaixo referidos que cederam os respectivos direitos de propriedade e autoria: João Gonçalves Baptista Cabarrão Jorge Monteiro Sofia Silva Vítor Monteiro António Mota Vítor Capote David Cabarrão -24-

152 Modulo n.º 5 Escrita Normalizada e Legendas Esta Publicação é propriedade do GICEA, Gabinete de Gestão de iniciativas comunitárias. Este produto é protegido pelas leis em vigor e copyright, estando reservados todos os seus direitos. Não pode ser reproduzido nem transcrito por qualquer processo seja ele qual for sem autorização dos titulares do direito. Os infractores são passíveis de procedimento judicial. -i-

153 FICHA DE PLANIFICAÇÃO MODULAR Sub-Projecto : Módulo nº. : 5 Designação : 11 - Desenho Técnico Elementos de Desenho Curso : Horas prevista : 30 OBJECTIVOS 1. Indicar os tipos de linhas utilizadas em desenho técnico de acordo com as Normas Portuguesas e Internacionais. 2. Indicar as diversas partes constituintes da legenda de um desenho técnico. CONTEÚDOS 1. Indicação dos tipos de linhas utilizadas em desenho técnico de acordo com as Normas Portuguesas e Internacionais. 2. Indicação das diversas partes constituintes da legenda de um desenho técnico. ACTIVIDADES Desenhar os vários tipos de linhas e letras. Desenhar os vários ipos de legendas Análise dos trabalhos realizados. Dados referentes à participação. AVALIAÇÃO MATERIAIS / RECURSOS Sala de desenho com equipamento tradicional a definir no módulo 4. Rectro-projector. Formadores da área do Desenho Técnico PUBLICO ALVO Desenho Técnico - Veiga da Cunha BIBLIOGRAFIA Data O Formador -ii-

154 Índice Escrita Normalizada e Legendas... 2 Introdução... 2 Tipos de Escrita Normalizada... 4 Pautas para Escrita Normalizada... 6 Intervalos Entre Letras, Palavras e Linhas... 8 Execução da Escrita Normalizada... 9 Legendas do Desenho Lista de Peças Tipos de Linhas e Grupos de Traços Utilizados em desenho Técnico Espessura das Linhas e Natureza dos Traços Aplicação dos Vários Tipos de Linhas

155 Escrita Normalizada e Legendas Introdução Os processos gráficos de representação utilizados pelo Desenho Técnico, constituem uma poderosa forma de expressão. Contudo, geralmente não são suficientes, por si próprios, à definição completa do desenho, sendo quase sempre necessário considerar também algumas indicações inscritas. Assim, podem definir dimensões do objecto representado no desenho chamando-se cotas, ou podem indicar formas de certos elementos, acabamentos das superfícies, anotações especiais, etc. A indicação dos vários elementos que interessam à identificação do desenho faz-se também por meio de inscrições convenientemente agrupadas na legendado desenho. As letras e algarismos que se utilizam nas inscrições dos desenhos técnicos devem satisfazer às seguintes condições:?? rapidez de execução;?? facilidade de leitura;?? aspecto agradável;?? normalização. A rapidez de execução e a facilidade de leitura são condicionamentos ditados por razões de economia, tanto de quem desenha como de quem utiliza o desenho. O aspecto agradável das letras também importante, pois é susceptível de valorizar um desenho. A normalização da escrita procura estabelecer critérios de uniformidade nas dimensões, proporções, inclinação e disposição das letras e algarismos, tendo em vista melhorar o aspecto do desenho, simplificar a sua execução e permitir, por sua vez, a correspondente normalização dos escantilhões e outros instrumentos utilizados para escrever nos desenhos técnicos. A escrita que está normalizada em Portugal, para ser utilizada em Desenho Técnico, é um tipo de escrita de traço uniforme ou de traço simples, assim chamada por utilizar no desenho das letras e -2-

156 algarismos um traço de espessura uniforme, proporcional ao tamanho da escrita. As letras e algarismos que se utilizam em Desenho Técnico podem ser executados à mão livre ou com instrumentos. Se os desenhos forem executados pelo computador, as letras serão também executadas pelo mesmo processo. Qualquer que seja o tipo de escrita utilizado no desenho e a forma de o executar, interessa salientar a importância que as inscrições têm no aspecto geral de um desenho. De facto, inscrições mal executadas podem comprometer seriamente o aspecto, a clareza e a própria utilidade de um desenho, ainda que esteja primorosamente executado e, ao contrário, um conjunto de inscrições bem feitas pode valorizar apreciavelmente um desenho de execução menos cuidada. -3-

157 Tipos de Escrita Normalizada A norma NP-89 (1963) prevê a possibilidade de utilização em Desenho Técnico de dois tipos de escrita: escrita inclinada ou cursiva e escrita vertical ou redonda. As proporções das letras e algarismos de tipo normal podem-se estabelecer facilmente, se se dispuser de uma quadrícula do tipo da representada na figura. Fig. 01 O lado das quadrículas vale nos dois casos 1/7 h, sendo h a altura das letras maiúsculas. A altura das letras maiúsculas chama-se altura nominal e é a partir dela que se estabelecem as dimensões e as proporções da escrita normalizada. A NP-89 (1963) prevê a utilização de doze alturas nominais diferentes que têm os seguintes valores em milímetros:?? Tomando por base a altura nominal h, a NP-89 (1963) fixa, para a altura dos vários caracteres, os seguintes valores:?? altura das maiúsculas, algarismos e minúsculas com haste: 7/7 h = h;?? altura do corpo das minúsculas: 5/7 h. Estes valores são sempre os mesmos, independentemente da letra ou algarismo representado, havendo apenas a notar que a haste das minúsculas pode ficar colocada para baixo ou para cima do seu corpo, conforme a letra de que se tratar. A largura já não é independente do caracter considerado, podendo utilizar-se as várias larguras que se indicam no quadro seguinte: -4-

158 Quadro das larguras Fig 02 A largura correspondente ao caso mais geral que é 5/7 h para as maiúsculas e 4/7 h para as minúsculas e para os algarismos, designa-se por largura geral. As larguras diferentes da geral designam-se por larguras excepcionais. A espessura do traço com que se desenham os caracteres é 1/7 h, ou seja igual ao lado da quadrícula tomada para base do traçado. O tipo de escrita normal tem proporções médias bem equilibradas que o aconselham na maioria das aplicações. No entanto, em certos casos, pode ser conveniente recorrer aos tipos derivados, estreito ou largo. Isto acontece quando há problemas de falta de espaço para executar inscrições no desenho, ou quando se pretendam diferenciar certas inscrições no mesmo desenho e para tanto não seja suficiente a adopção de alturas nominais diferentes. -5-

159 Pautas para Escrita Normalizada Sempre que se executa escrita à mão livre é indispensável desenhar previamente pautas que possam servir de guia ao traçado. Estas pautas são constituídas por um conjunto de linhas horizontais cuja distância depende da altura nominal da escrita que se pretende executar e por um conjunto de linhas verticais (na escrita vertical) ou fazendo um ângulo de 75º com a horizontal ( na escrita cursiva). A pauta prevê duas linhas a e b, afastadas de uma distância igual á altura nominal, entre as quais se inscrevem as maiúsculas e as minúsculas com haste prolongada para cima do corpo. Consideram-se ainda outras duas linhas c e d a uma distância igual a 2/7 h respectivamente das linhas a e b. A linha c serve para limitar a altura do corpo das minúsculas e a linha d para limitar a altura das hastes das minúsculas prolongadas para baixo do corpo. Se a pauta se destinar a escrever só com maiúsculas e algarismos, as linhas c e d não são necessárias. As linhas verticais ou inclinadas a 75º são traçadas com intervalos aproximadamente regulares, antes de se iniciar a execução das letras, não havendo haver preocupação de as fazer coincidir com o princípio ou o fim das letras. Quando se pretendem executar várias linhas de letras, os traços verticais ou inclinados devem ser contínuos a toda a altura da pauta. Todas as linhas de pauta para letras a executar a lápis devem ser desenhadas com lápis ou mina relativamente duros e com um traço muito leve, de modo a quase não se ficarem a ver depois de executada a escrita, pois nessa altura não é possível apagá-las. As linhas inclinadas a 75º marcam-se facilmente com o auxílio de um esquadro a 45º e a outro a 30º apoiados sobre a régua T. Para marcar as distâncias iguais entre as linhas horizontais das pautas usa-se geralmente uma régua graduada ou um compasso pequeno. Para o traçado de pautas existem também escantilhões e instrumentos especiais. Estes escantilhões permitem traçar pautas para o desenho de maiúsculas, minúsculas e algarismos correspondentes a diversas alturas nominais. -6-

160 Quando a escrita é executada com escantilhão, não é necessário o traçado das pautas, pois a horizontalidade das linhas e o paralelismo dos caracteres ficam automaticamente garantidos. A execução prévia das pautas é contudo absolutamente essencial quando os caracteres são executados à mão livre, pois sem ela não é possível conseguir uniformidade na altura e na inclinação das letras. -7-

161 Intervalos Entre Letras, Palavras e Linhas A norma NP-89 (1963) estabelece que o intervalo entre letras consecutivas de uma mesma palavra pode variar entre 1/7 a 2/7 da altura nominal h. A fixação do intervalo a adoptar concretamente em cada caso depende das letras adjacentes. De um modo geral procura-se que as áreas entre as letras se equilibrem aproximadamente. O intervalo mais conveniente entre letras de uma palavra passará com a prática a ser estabelecido automaticamente. Em relação ao intervalo entre algarismos de um número, segue-se o mesmo critério que foi indicado para as letras. Há que Ter em atenção as regras estabelecidas pela norma NP-9 (1960) que regulamenta a escrita de números e a diferenciação de grupos de algarismos dentro dos números. Em Desenho Técnico é muito frequente haver necessidade de escrever títulos e notas, constituídos por conjuntos de palavras. Torna-se por isso necessário definir um intervalo entre palavras consecutivas. Uma maneira simples de estabelecer o intervalo entre palavras ou algarismos consiste em supor a letra O (maiúscula ou minúscula) ou o algarismo 0 (zero) hipoteticamente intercalados entre as palavras ou números consecutivos. A norma NP-89 (1963) fixa para o intervalo entre linhas consecutivas um valor médio de 11/7 h sendo h a altura nominal da escrita. Este intervalo deve ser fixado por forma a que o título ou nota resulte bem legível e agradável à vista. Dependerá do tamanho das letras, da extensão do título ou nota, do local do desenho em que se inscreve, etc. È frequente adoptarem-se intervalos entre linhas iguais à altura nominal. -8-

162 Execução da Escrita Normalizada A escrita normalizada que se utiliza em Desenho Técnico pode ser desenhada à mão livre ou com instrumentos e em qualquer destes casos a lápis ou a tinta sendo necessário o traçado prévio de pautas. A execução a tinta de escrita à mão livre pode ser precedida de uma execução a lápis, ou dispensá-la, conforme a eficiência e a perfeição do desenhador. Como boa regra, o principiante que executa escrita normalizada a tinta deve começar por desenhar a lápis e só depois passar a tinta. A utilização dos escantilhões é bastante frequente pois permite um traçado muito perfeito e não exageradamente demorado. Entre as várias possibilidades de desenho de escrita normalizada, deve preferir-se o traçado à mão livre sobre pautas desenhadas com instrumentos, pois é o processo mais rápido e assegura um bom aspecto ao desenho, se for cuidadosamente executado. Quando se pretenda grande rigor no traçado, ou interesse em garantir uniformidade no trabalho executado simultaneamente por vários desenhadores, deve-se recorrer aos escantilhões ou ao normógrafo. As pautas para execução de escrita à mão livre podem ser facilmente traçadas com auxílio de instrumentos adequados e se a escrita for executada em papel vegetal, pode-se desenhar uma pauta em papel separado que se coloca sob a folha de desenho. Na execução de escrita à mão livre há que desenhar pequenos traços rectos ou curvos de acordo com as regras. A configuração das letras e algarismos bem como a ordem de execução dos seus traços devem obedecer às regras, ainda que a princípio isso obrigue a certo esforço de auto-disciplina. Há apenas que fazer excepção no caso de o desenhador ser canhoto, pois então tanto o sentido como a ordem de execução dos traços podem variar. Para adquirir prática na execução da escrita normalizada é indispensável inicialmente seguir um treino intensivo e metódico, que compreende três fases:?? escrita de caracteres isolados;?? escrita de palavras e números;?? escrita de frases e títulos. -9-

163 A execução de escrita normalizada é um aspecto do desenho à mão livre e nada tem a ver com a qualidade da caligrafia corrente de cada pessoa. Fig

164 Legendas do Desenho Quando se executa um desenho, há geralmente necessidade de fazer constar do próprio desenho certo número de indicações que interessam à sua identificação. Concretamente interessa em geral indicar os seguintes elementos:?? identificação e designação do objecto representado no desenho;?? identificação dos responsáveis pela execução do desenho;?? identificação da pessoa ou entidade para quem foi executado o desenho;?? informações gerais relativas às características do desenho;?? referenciação de alterações que venham a ser introduzidas no desenho. Para simplicidade de quem consulta o desenho, as várias indicações referidas devem estar agrupadas sempre de forma análoga, constituindo um conjunto que se designa por legenda do desenho. A legenda deve ser executada encostada à margem no canto inferior direito do desenho e não deve, juntamente com a margem, Ter largura superior a 185 mm de modo que, quando o desenho ou uma cópia do desenho forem dobrados, a legenda fique sempre situada na sua totalidade no frontispício, facilitando a rápida identificação do desenho. A norma NP-204 (1968) fixa os tipos de legenda que se devem utilizar em Portugal no Desenho Técnico. Prevêm-se sete tipos diferentes de legendas que podem ser simples, completas ou desdobradas. De acordo com a referida norma, a legenda tipo 5 ou legenda tipo 2 desdobrada só se pode utilizar nos formatos A2, A3 e A4 usados ao alto e A3, A4 e A5 usados ao baixo. As legendas tipo 1 a 5 destinam-se sobretudo a desenhos da industria metalomecânica. Em desenhos de construção civil preferem-se as legendas do tipo 6 e 7. A mesma norma estabelece que as legendas devem ser desenhadas com três espessuras de traços a tinta, respectivamente 1.2 mm, 0.6 mm e 0.3 mm. Se for desenhada a lápis, não haverá a preocupação de respeitar estes valores. As várias zonas de legendas têm, de acordo com a norma NP-204 (1968), as seguintes utilizações: -11-

165 ?? Zona 1 Designação ou título?? Zona 2 Indicações complementares do título?? Zona 3 Responsáveis e executantes do desenho?? Zona 4 Entidade que executa ou promove a execução do desenho?? Zona 5 Número de registo do desenho?? Zona 6 Referências às alterações ou reedições do desenho?? Zona 7 Indicação do desenho efectuado anteriormente que foi substituído por aquele a que corresponde a legenda?? Zona 8 Indicação de um desenho efectuado posteriormente que veio substituir aquele a que diz respeito a legenda.?? Zona 9 Escala ou escalas em que o desenho está executado?? Zona 10 Especificação das tolerâncias das cotas?? Zona 11 Campo de aplicação do desenho, observações, etc.?? Zona 12 Anotações posteriores à execução. As indicações que constam das zonas 1 a 10 designam-se por indicações principais e as indicações que constam das zonas 11 a 12 chamam-se indicações complementares. -12-

166 Fig

167 Lista de Peças Em Desenho de Máquinas é necessário juntar ao desenho uma lista de peças, na qual se inscrevem os diversos elementos que interessem à identificação das peças que constituem um determinado conjunto representado no desenho. Os principais elementos que devem ser incluídos na lista de peças são:?? designação da peça;?? referência de identificação da peça no desenho;?? número de exemplares da peça que fazem parte do conjunto representado no desenho;?? material de que a peça é feita;?? informações diversas tais como: peso; normas que se referem à peça, tratamentos térmicos a que esta deve ser submetida, etc. A lista de peças deve obrigatoriamente acompanhar um desenho de conjunto e é muitas vezes útil num desenho de pormenor. A lista de peças pode ser colocada sobre a legenda ou apresentada em folha separada. A norma NP-205 (1970) estabelece os tipos de listas de peças que devem ser usados em Desenho Técnico. As indicações a fornecer para cada peça são as seguintes:?? Número de peças?? Designação?? Número da norma. Número do desenho?? Material?? Número de referência?? Produto semiacabado. Número de molde. Número de matriz?? Peso?? Observações Quando em relação a determinadas peças não for possível inscrever as indicações relativas a algumas colunas, deixam-se as respectivas casas em branco. -14-

168 Fig

169 Tipos de Linhas e Grupos de Traços Utilizados em desenho Técnico Espessura das Linhas e Natureza dos Traços De acordo com a norma NP-62 (1961) os traços que se utilizam em Desenho Técnico podem ser de várias naturezas e espessuras. Quanto ao tipo de traço, a norma estabelece cinco tipos que são os seguintes:?? traço contínuo grosso;?? traço contínuo fino;?? traço ponto grosso;?? traço ponto fino;?? traço interrompido. Quanto à espessura dos traços, a norma estabelece dez espessuras diferentes. Fig 06 As várias linhas representadas diferem entre si não só no tipo mas também na espessura. -16-

170 Para cada desenho ou cada parte de um desenho deve-se escolher o grupo de traços mais adequado, tendo em consideração a natureza e dimensões do objecto representado, a valorização que se pretende dar ao desenho e a escala em que é executado. De um modo geral o traço utilizado em Desenho de Máquinas é mais forte do que o que se utiliza em Desenho de Construção Civil. Os grupos de traços propostos pela NP-62 (1961) consideram-se suficientes para satisfazer todas as representações desejadas. Quando se executam desenhos a tinta, deve procurar-se respeitar as espessuras de traço normalizadas, de acordo com a respectiva norma. A proporcionalidade verificada entre as espessuras dos traços independentemente do grupo considerado, facilita o escalonamento dos traços no desenho a lápis. As várias espessuras de traços devem obter-se à custa de carregar igualmente com lápis ou minas de graduação diferente e não carregando de modo diferente com o mesmo lápis ou a mesma mina. Nos desenhos definitivos executados a lápis, os traços devem ser sempre negros e bem nítidos, por forma a permitirem reproduções do desenho de boa qualidade. -17-

171 Fig

172 Aplicação dos Vários Tipos de Linhas A utilização dos vários tipos de linhas é, de acordo com a NP-62 (1961), a seguinte:?? Linhas a traço contínuo grosso?? Arestas e linhas de contorno visíveis?? Linhas a traço interrompido?? Arestas e linhas de contorno ocultas?? Linhas a traço ponto médio?? Extremidades e zonas de mudança de direcção das linhas que representam os traços das superfícies de corte?? Indicação de superfícies que devem receber um acabamento ou tratamento suplementar?? Linhas a traço ponto fino?? Eixos?? Posições extremas de peças móveis?? Contornos que se fizeram rodar em torno de um eixo não contido no plano do próprio contorno Partes situadas à frente de um plano de corte?? Linhas que representam os traços das superfícies de corte nas zonas que não são representadas a traço ponto médio?? Linhas a traço contínuo fino?? Tracejados de cortes e secções?? Contornos e arestas fictícios?? Linhas de cota, de chamada e de referência?? Contornos de peças vizinhas desenhados só a título de indicação?? Contornos de secções rebatidas em torno de eixos contidas no plano do próprio contorno rebatido?? Limites de vistas ou cortes parciais se este limite não for um eixo. Neste caso a linha é sempre irregular. -19-

173 Fig 08 A utilização correcta dos vários grupos de traços e tipos de linhas é um aspecto muito importante do Desenho Técnico, pois uma utilização pouco criteriosa pode comprometer seriamente o aspecto e a clareza dos desenhos. Também é importante a definição das condições de intersecção dos vários tipos de linhas. Fig 09 Fig

174 Participaram neste trabalho os formadores abaixo referidos que cederam os respectivos direitos de propriedade e autoria: João Gonçalves Baptista Cabarrão Jorge Monteiro Sofia Silva Vítor Monteiro António Mota Vítor Capote David Cabarrão -21-

175 Manual n6 Construções Geométricas Simples Esta Publicação é propriedade do GICEA, Gabinete de Gestão de iniciativas comunitárias. Este produto é protegido pelas leis em vigor e copyright, estando reservados todos os seus direitos. Não pode ser reproduzido nem transcrito por qualquer processo seja ele qual for sem autorização dos titulares do direito. Os infractores são passíveis de procedimento judicial.

176 FICHA DE PLANIFICAÇÃO MODULAR Sub-Projecto : Módulo nº. : 6 Designação : 11 - Desenho Técnico Contruções Geométricas Curso : Horas prevista : 30 OBJECTIVOS 1. Traçar rectas perpendiculares e paralelas 2. Dividir segmentos de recta e ângulos em partes iguais 3. Desenhar polígonos - triângulos, quadriláteros e polígonos regulares inscritos numa circunferência 4. Desenhar circunferências e traçar tangentes 5. Explicar o conceito e efectuar o traçado de concordâncias 6. Desenhar curvas policêntricas: ovais, óvulos e arcos 7. Definir e desenhar cónicas - elipses, parábolas e hiperbóles - e traçar tangentes 8. Desenhar espirais 9. Desenhar curvas ciclodais e traçar tangentes CONTEÚDOS 1. Traçagem de rectas perpendiculares e paralelas 2. Divisão de segmentos de recta e ângulos em partes iguais 3. Desenho de polígonos - triângulos, quadriláteros e polígonos regulares inscritos numa circunferência 4. Desenho de circunferências e traçar tangentes 5. Explicação do conceito e efectuar o traçado de concordâncias 6. Desenho de curvas policêntricas: ovais, óvulos e arcos 7. Definição e desenho de cónicas - elipses, parábolas e hiperbóles - e traçar tangentes 8. Desenho de espirais ii

177 ACTIVIDADES Desenhar os vários tipos de contruções geométricas Análise dos trabalhos realizados. Dados referentes à participação. AVALIAÇÃO MATERIAIS / RECURSOS Sala de desenho com equipamento tradicional a definir no módulo 4. Rectro-projector. Formadores da área do Desenho Técnico PUBLICO ALVO BIBLIOGRAFIA Simões Morais, Desenho Básico 1 Alberto C. Ornelas, José V. Ribeiro, Manuel C. Silva, Desenho e Geometria Descritiva, Desenho Técnico, Edições Asa Veiga da Cunha, Desenho Técnico, Fundação Calouste Gulbenkian Data O Formador iii

178 Índice Construções geométricas simples... 4 Traçado de rectas perpendiculares... 4 Perpendicular a uma Recta Passando por um dos seus Pontos... 4 Perpendicular a uma Recta Passando por um Ponto Exterior a Ela... 5 Perpendicular a um Segmento de Recta Passando por um dos seus Extremos... 5 Traçado de Rectas Paralelas... 6 Paralela a uma Recta Passando por um Ponto... 6 Paralela a uma Recta a uma Distância Dada... 6 Divisão de Segmentos de Recta... 7 Divisão de um Segmento de Recta em Duas Partes Iguais... 7 Divisão de um Segmento de Recta em n partes iguais... 8 Divisão de um Ângulo... 8 Divisão de um Ângulo em Duas Partes Iguais... 8 Divisão de um Ângulo Recto em Três Partes Iguais... 9 Desenho de Polígonos...10 Traçado de Triângulos...10 Traçado de um Triângulo Dados os Três Lados...11 Traçado de um Triângulo Dados Dois Lados e o Ângulo por eles Formado...11 Traçado de um Triângulo Rectângulo Dada a Hipotenusa e um dos Lados...12 Traçado de um Triângulo Isósceles dadas a Base e a Altura...12 Traçado de um Triângulo Equilátero dado o Lado...13 Traçado de Quadriláteros...13 Traçado de um Rectângulo dados os Lados...13 Traçado de um Quadrado dada a Diagonal...14 Traçado de um Rectângulo dados um Lado e uma Diagonal...14 Traçado de um Paralelogramo dados dois Lados e o Ângulo por eles Formado...15 Traçado de Polígonos Regulares Inscritos uma Circunferência...16 Divisão de uma Circunferência em Três Partes Iguais...16 Divisão de uma Circunferência em Quatro Partes Iguais...17 Divisão de uma Circunferência em Cinco Partes Iguais...18 Divisão de uma Circunferência em Seis Partes Iguais...19 Divisão de uma Circunferência em n Partes Iguais...19 Traçado de Polígonos Regulares a Partir do Lado...20 Construções com circunferências...21 Traçado de Circunferências...21 Traçado de Circunferências de Raio Dado Passando por Dois Pontos...21 Traçado de Circunferências Passando por Três Pontos não Colineares...22 Determinação do Centro de uma Circunferência...22 Traçado de Tangentes a Circunferências...23 Traçado da Tangente a uma Circunferência Sendo Conhecido o Ponto de Tangência...23 Traçado da Tangente a uma Circunferência Passando por um Ponto Exterior a Esta...23

179 Traçado das Tangentes Exteriores Comuns a Duas Circunferências diferentes...24 Traçado das Tangentes Interiores Comuns a Duas Circunferências Diferentes...25 Traçado de uma Circunferência de Raio dado Tangente a uma Recta num dos Seus Pontos...26 Traçado de uma Circunferência de Raio dado Tangente a Duas Rectas Concorrentes...27 Traçado de uma Circunferência Tangente a Outra, Exteriormente...27 Traçado de uma Circunferência Tangente a Outra, Interiormente...28 Traçado de uma Circunferência Tangente a Outra e a uma Recta...28 Traçado de uma Circunferência Tangente a Duas Circunferências...29 Concordâncias...30 Curvas policêntricas...32 Oval e Óvulo...32 Traçado da Oval dado o Eixo Maior...32 Traçado da Oval dado o Eixo Menor...33 Traçado da Oval dados os Dois Eixos...34 Traçado do Óvulo dado o Diâmetro da Circunferência Construtiva...35 Traçado do Óvulo dados o Diâmetro da Circunferência Construtiva e o Eixo...36 Arcos...37 Construção do Arco de Volta Inteira ou Arco Romano...37 Construção do Arco Ogival ou Gótico...37 Ogiva Perfeita...37 Ogiva Encurtada...38 Ogiva Alongada...38 Construção do Arco Abatido...39 Construção do Arco Aviajado...40 Curvas Cónicas...41 Elipse...42 Traçado de uma Elipse dados o Eixo Maior e a Distância Focal...43 Traçado de uma Elipse dados os Dois Eixos º método º método º método...45 Tangentes a uma Elipse...46 Traçado da Tangente Passando por um Ponto T da Elipse...46 Traçado da Tangente Passando por um Ponto P Exterior à Elipse...46 Traçado da Tangente Paralela a uma Recta (r) dada...47 Parábola...48 Traçado de uma Parábola Sendo dado o Parâmetro...49 Tangentes a uma Parábola...50 Traçado da Tangente Passando por um Ponto T da Parábola...50 Traçado da Tangente Passando por um Ponto P Exterior à Parábola...50 Traçado da Tangente Paralela a uma Recta (r) dada...51 Hipérbole...52 Traçado de uma Hipérbole dados o Eixo e a Distância Focal...53 Tangentes a uma Hipérbole...54 Traçado da Tangente Passando por um Ponto T da Hipérbole

180 Traçado da Tangente Passando por um Ponto P Exterior à Hipérbole...54 Traçado da Tangente Paralela a uma Recta (r) dada...55 Espirais...56 Espiral de Arquimedes...56 Traçado da Espiral de Dois Centros...58 Traçado da Espiral de Três Centros...59 Traçado da Espiral de Quatro Centros...59 Traçado da Evolvente...61 Curvas Cicloidais...63 Traçado da Ciclóide...63 Traçado da Epiciclóide...64 Traçado da Hipociclóide...65 Tangentes às Curvas Cicloidais

181 Construções geométricas simples Traçado de rectas perpendiculares Perpendicular a uma Recta Passando por um dos seus Pontos Dada a recta a e o ponto A contido nela, com centro em A traça-se um arco com uma amplitude qualquer (r) que intersecta a recta em dois pontos (P e Q). Com uma abertura qualquer (R) do compasso fazendo centro em P e Q traçamse arcos que se intersectam no ponto X. Os pontos A e X definem a perpendicular pretendida. Fig

182 Perpendicular a uma Recta Passando por um Ponto Exterior a Ela Dada a recta a e o ponto A exterior a ela, com centro em A e abertura qualquer (R) do compasso traça-se um arco que intersecta a recta a em dois pontos (M e N). Com centro nestes pontos e uma abertura qualquer (r) do compasso traçam-se arcos que se intersectam no ponto X. Os pontos A e X definem a perpendicular pretendida. Fig. 02 Perpendicular a um Segmento de Recta Passando por um dos seus Extremos Dado o segmento de recta [AB], com centro na extremidade A e abertura qualquer (r) do compasso traça-se um arco de circunferência (1) que intersecta o segmento de recta no ponto M. Com centro em M e igual abertura (r) do compasso traça-se um arco (2) que intersecta o arco 1 no ponto N. Com centro em N e igual abertura (r) traça-se um arco (3). A intersecção da recta definida por M e N com o arco 3 determina o ponto X. Os pontos A e X definem a perpendicular pretendida. Fig

183 Traçado de Rectas Paralelas Paralela a uma Recta Passando por um Ponto Dada a recta a e o ponto A exterior a ela, com centro em A traça-se um arco (1) com uma amplitude qualquer (r) que intersecta a recta a no ponto M. Com a mesma amplitude e centro em M traça-se um arco que passa por A e intersecta a recta a em N. A distância entre N e A define o raio r. Com centro em M e raio r traça-se um arco que intersecta o arco 1 em Y. Os pontos A e Y definem a paralela pretendida. Fig. 04 Paralela a uma Recta a uma Distância Dada Dada a recta a e a distância d, marcam-se sobre recta a dois pontos M e N quaisquer. Traçam-se as perpendiculares à recta a passando pelos pontos M e N. Sobre estas perpendiculares marca-se a distância d determinando assim os pontos Y e Z que definem a paralela pretendida. Fig

184 Divisão de Segmentos de Recta Divisão de um Segmento de Recta em Duas Partes Iguais Dado o segmento de recta [AB], com centro nos extremos A e B, e com abertura (r) do compasso um pouco maior que metade do comprimento do segmento de recta traçam-se arcos que se intersectam nos pontos P e Q. Estes pontos definem a mediatriz do segmento de recta. A intersecção da mediatriz com o segmento de recta é o ponto que divide o segmento em duas partes iguais. Fig. 06 A divisão de um segmento de recta em 4, 8, 16,... partes iguais faz-se dividindo em duas partes cada segmento dividido anteriormente. Isto é, primeiro divide-se o segmento de recta em duas partes, seguidamente dividem-se ambas as partes em duas partes e assim sucessivamente. -7-

185 Divisão de um Segmento de Recta em n partes iguais Pelo extremo A do segmento de recta [AB] desenha-se uma oblíqua qualquer e sobre ela marcam-se segmentos iguais (tantos quantas as vezes em que se quer dividir o segmento de recta). Para a marcação destes segmentos traçam-se arcos de igual amplitude começando com centro em A e depois com centro nas intersecções dos arcos traçados com a oblíqua, seguintes. Une-se o extremo (N) do último segmento marcado com o ponto B. Pelos extremos dos segmentos marcados sobre a oblíqua traçam-se paralelas ao segmento [BN] que vão intersectar [AB] nos pontos de divisão do segmento. Fig. 07 Divisão de um Ângulo Divisão de um Ângulo em Duas Partes Iguais Dado o ângulo AVB, com abertura qualquer (R) do compasso e com centro em V traça-se um arco (1) que intersecta os lados do ângulo nos pontos P e Q. Com centro em P e em Q e com uma abertura qualquer (r) do compasso traçam-se dois arcos que se intersectam no ponto Y. O ponto Y e o vértice V definem a semi-recta que divide o ângulo em duas partes iguais. A esta semi-recta chama-se bissectriz. Fig. 08 Para a divisão de um ângulo em 4, 8, 16 partes iguais procede-se sucessivas vezes como o descrito anteriormente. Primeiro divide-se o ângulo em duas partes iguais, seguidamente divide-se cada um dos ângulos obtidos em duas partes iguais e assim sucessivamente. -8-

186 Divisão de um Ângulo Recto em Três Partes Iguais Dado o ângulo AVB, com centro em V e com abertura qualquer (r) do compasso traça-se um arco (1) que intersecta os lados do ângulo nos pontos P e Q. Com centros nos pontos P e Q e com o mesmo raio (r) traçam-se dois arcos que intersectam o arco 1 nos pontos X e Y. Estes pontos conjuntamente com o vértice V definem as semirectas que dividem o segmento em três partes iguais. Fig

187 Desenho de Polígonos Polígono é a porção de superfície plana limitada por segmentos de recta unidos dois a dois. A esses segmentos de recta chamam-se lados. Dois lados consecutivos formam um ângulo. Quando têm todos os lados iguais classificam-se como polígonos regulares. Polígonos irregulares são aqueles que têm os lados, ou os ângulos, ou os lados e os ângulos desiguais. Um polígono está inscrito numa circunferência quando todos os seus vértices estão sobre uma circunferência. Um polígono está circunscrito a uma circunferência quando todos os seus lados são tangentes à circunferência. Traçado de Triângulos Os triângulos são polígonos de três lados. Os triângulos podem classificar-se: Quanto aos lados?? equiláteros: quando têm os três lados iguais?? isósceles: quando têm dois lados iguais?? escalenos: quando têm os três lados diferentes Quanto aos ângulos?? acutângulos: quando têm os três ângulos agudos?? rectângulos: quando têm um ângulo recto?? obtusângulos: quando têm um ângulo obtuso -10-

188 Traçado de um Triângulo Dados os Três Lados Dados os comprimentos dos lados, AB, BC e CA, começa-se por traçar um dos lados, por exemplo [AB]. Com centro em A e com abertura igual a CA traça-se um arco (1). Com centro em B e com abertura igual a CB, traça-se um arco que intersecta o arco 1 no ponto C. Os pontos A, B e C definem o triângulo pretendido. Fig. 10 Traçado de um Triângulo Dados Dois Lados e o Ângulo por eles Formado Dados os comprimentos dos lados, AB e CA, e o ângulo por eles formado, começa-se por traçar o ângulo CAB a partir de uma semi-recta horizontal. A partir do vértice A marcam-se os comprimentos dos lados, obtendo os pontos B e C, vértices do triângulo. Unindo os pontos A, B e C desenha-se o triângulo pretendido. Fig

189 Traçado de um Triângulo Rectângulo Dada a Hipotenusa e um dos Lados Dados os comprimentos da hipotenusa, AB, e de um dos catetos, CA, começa-se por traçar a hipotenusa, que se divide a meio. Com centro na intersecção da mediatriz com [AB] traça-se uma semicircunferência cujo diâmetro é o comprimento da hipotenusa dado. Com centro num dos extremos da hipotenusa e com abertura igual a CA marca-se um arco que intersecta a semicircunferência no ponto C que é o vértice do ângulo recto. Os pontos A, B e C definem o triângulo pretendido. Fig. 12 Traçado de um Triângulo Isósceles dadas a Base e a Altura Dados o segmento [AB], base do triângulo, e a altura h, traça-se a mediatriz do segmento [AB], obtendo o ponto médio da base (D). Marca-se na mediatriz o segmento [DC] de comprimento igual a h, obtendo-se o ponto C. Os pontos A, B e C definem o triângulo pretendido. Fig

190 Traçado de um Triângulo Equilátero dado o Lado Dado o segmento [AB], com centro em A e em B e com abertura igual ao comprimento AB, desenham-se arcos que se intersectam em C. Unindo os pontos A, B e C desenha-se o triângulo pretendido. Fig. 14 Traçado de Quadriláteros Traçado de um Rectângulo dados os Lados Dados os comprimentos dos lados AB e DA, por um dos extremos do segmento [AB], por exemplo A, traça-se a perpendicular a [AB]. Sobre esta perpendicular marca-se o comprimento DA. Com centro em D e abertura igual a AB traça-se um arco (1). Com centro em B e abertura igual a DA traça-se um arco que intersecta o arco 1 em C. Os pontos A, B, C e D definem o rectângulo pretendido. Fig. 15 O traçado de um quadrado é um caso particular do traçado de um rectângulo em que todos os lados têm o mesmo comprimento. -13-

191 Traçado de um Quadrado dada a Diagonal Num quadrado as diagonais são perpendiculares e têm o mesmo comprimento. Dada a diagonal [AB], determina-se a mediatriz de [AB] que intersecta [AB] em O. Com centro em O e raio OA igual a metade de AB traçam-se arcos que intersectam a mediatriz nos pontos C e D, determinando, assim, os restantes vértices do quadrado. Note-se que o quadrado fica inscrito numa circunferência, de raio igual a metade do comprimento da diagonal e centro no ponto médio dela. Fig. 16 Traçado de um Rectângulo dados um Lado e uma Diagonal Dados o segmento [AB] e o comprimento da diagonal, BC, pelo extremo A traça-se a perpendicular a [AB]. Com centro em B e raio igual a BC traça-se um arco que intersecta a perpendicular no ponto C, obtendo-se assim os lados [AB] e [AC], sendo a construção a partir destes lados feita como descrito no traçado de rectângulos dados os lados. Fig

192 Traçado de um Paralelogramo dados dois Lados e o Ângulo por eles Formado Dado o ângulo CAB e os comprimentos dos lados, AB e CA, começa-se por traçar o ângulo e sobre os seus lados marcam-se os comprimentos dados, obtendo-se assim os pontos B e C. Com centro em B e abertura AC marca-se um arco (1). Com centro em C e abertura AB marca-se um arco que intersecta o arco 1 em D, obtendo-se assim o 4º vértice do paralelogramo. Fig

193 Traçado de Polígonos Regulares Inscritos uma Circunferência O método de desenho de um polígono regular de n lados a partir de uma circunferência circunscrita consiste na divisão dessa circunferência em n partes iguais. O método de desenho de um polígono regular a partir de um lado consiste na determinação, a partir do lado dado, do centro e do raio da circunferência circunscrita, construindo-se a partir desta circunferência o polígono por divisão da circunferência em n partes iguais Divisão de uma Circunferência em Três Partes Iguais Dada a circunferência de centro O e raio r começa-se por desenhar um diâmetro qualquer [AD]. Com centro em D e raio r desenha-se um arco que intersecta a circunferência nos pontos B e C que, conjuntamente com A, a divide em três partes iguais. Fig. 19 Se se unirem os pontos A, B e C obtém-se o triângulo inscrito na circunferência. -16-

194 Divisão de uma Circunferência em Quatro Partes Iguais Dada a circunferência de centro O e raio r começa-se por desenhar um diâmetro qualquer [AB]. Traça-se a mediatriz do segmento [AB] que intersecta a circunferência nos pontos C e D que conjuntamente com A e B dividem a circunferência em 4 partes iguais. Fig. 20 Unindo os pontos A, B, C e D obtém-se o quadrado inscrito na circunferência. -17-

195 Divisão de uma Circunferência em Cinco Partes Iguais Dada a circunferência de centro O e raio r começa-se por desenhar um diâmetro qualquer [AB]. Traça-se a mediatriz do segmento [AB] que o intersecta em O e intersecta a circunferência nos pontos C e D. Traça-se a mediatriz do segmento [OB] que o intersecta no ponto M. Com centro em M e abertura até C traça-se um arco que intersecta [AB] no ponto P. O comprimento CP é o tamanho do lado do pentágono inscrito na circunferência. O conhecimento do vértice C e do comprimento do lado (CP) permite a divisão da circunferência em cinco partes iguais. Assim, com centro em C (=P 1 ) e abertura CP traça-se um arco que intersecta a circunferência em P 2, seguidamente, com centro em P 2 e abertura CP traça-se um arco que intersecta a circunferência em P 3, e assim sucessivamente até se obterem os cinco vértices do pentágono. Fig. 21 Unindo os vértices (P 1... P 5 ) obtém-se o pentágono inscrito na circunferência. -18-

196 Divisão de uma Circunferência em Seis Partes Iguais Dada a circunferência de centro O e raio r começa-se por traçar um diâmetro qualquer [AD], com centro em A e em D traçam-se arcos com raio r. Estes arcos intersectam a circunferência nos pontos B, F, C e E que, conjuntamente com A e D, dividem a circunferência em seis partes iguais. Fig. 22 Unindo todos os pontos obtém-se o hexágono inscrito na circunferência. Divisão de uma Circunferência em n Partes Iguais Dada a circunferência de centro O e raio r começa-se por traçar um diâmetro qualquer [AB]. Divide-se o segmento [AB] em n partes iguais. Com centro em A e em B e com abertura igual ao diâmetro da circunferência traçam-se dois arcos que se intersectam no ponto Q. Unindo o ponto Q ao segundo ponto da divisão de [AB] determina-se o ponto C de intersecção desta recta com a circunferência. O comprimento AC é o tamanho do lado do eneágono. Traçando arcos de comprimento AC sobre a circunferência obtêm-se os n pontos de divisão da circunferência. Fig. 23 Unindo os pontos de divisão da circunferência obtém-se o eneágono inscrito nela. -19-

197 Traçado de Polígonos Regulares a Partir do Lado Dado comprimento do lado, AB, e o número n de lados do polígono, começa-se por traçar o lado [AB] e, prolongando este lado, constroi-se um ângulo de 360º/n. Sobre o lado do ângulo obtido traça-se o segmento [AC] de comprimento igual a AB. Traçam-se as mediatrizes dos segmentos [AB] e [AC] que se intersectam no ponto O que é o centro da circunferência circunscrita ao polígono. Traçando arcos de comprimento AB sobre a circunferência obtêm-se os n pontos de divisão da circunferência. Fig. 24 Unindo os pontos de divisão da circunferência obtém-se o eneágono inscrito nela. -20-

198 Construções com circunferências Traçado de Circunferências Traçado de Circunferências de Raio Dado Passando por Dois Pontos Dados os pontos A e B e o raio r da circunferência, começase por traçar o segmento [AB] e a sua mediatriz. Com centro num dos extremos do segmento traça-se um arco de raio r que intersecta a mediatriz em dois pontos O e O que são os centros das duas circunferências de raio r que passam por A e B, ambas solução deste problema. Fig

199 Traçado de Circunferências Passando por Três Pontos não Colineares Dados os três pontos A, B e C não colineares começa-se por traçar os segmentos de recta, [AB] e [BC], que unem os três pontos. Traçam-se as mediatrizes de ambos os segmentos que se intersectam no ponto O, centro da circunferência pretendida. Fig. 26 Determinação do Centro de uma Circunferência Dada uma circunferência qualquer a determinação do seu centro faz-se procedendo da forma descrita no ponto anterior. Isto é, começa-se por marcar três pontos quaisquer pertencentes à circunferência, traçam-se os segmentos de recta que unem os três pontos e determinam-se as mediatrizes destes segmentos que se intersectam no ponto O que é o centro pretendido. Fig

200 Traçado de Tangentes a Circunferências Uma recta diz-se tangente a uma circunferência quando toca a circunferência num único ponto, a que se chama ponto de tangência. O raio de circunferência que passa no ponto de tangência é perpendicular à tangente. Duas circunferências dizem-se tangentes quando se tocam num só ponto (ponto de tangência). Podem ser tangentes interiores ou exteriores. Traçado da Tangente a uma Circunferência Sendo Conhecido o Ponto de Tangência Dada a circunferência de centro O e o ponto de tangência T, traça-se o segmento de recta que une O a T. A perpendicular a [OT] que passa no ponto T é a tangente pretendida. Fig. 28 Traçado da Tangente a uma Circunferência Passando por um Ponto Exterior a Esta Dada a circunferência de centro O e o ponto N exterior a ela, começa-se por unir N a O e determina-se a mediatriz do segmento [NO] que o intersecta no ponto M. Com centro em M traça-se uma circunferência de raio. Esta circunferência intersecta a outra nos pontos T 1 e T 2, de tangência. Unindo T 1 e T 2 a N obtêm-se as duas tangentes à circunferência, ambas solução deste problema. Fig

201 Traçado das Tangentes Exteriores Comuns a Duas Circunferências diferentes Dadas as circunferências de centros C 1 e C 2 e raios R 1 e R 2, respectivamente, e sendo R 2 maior que R 1, começa-se por unir os centros das circunferências e determina-se o ponto médio (M) do segmento [C 1 C 2 ]. Com centro em M desenhase a circunferência que passa por C 1 e C 2. Com centro em C 2 desenha-se uma circunferência de raio R= R 2 -R 1. Esta última circunferência intersecta a circunferência de centro M nos pontos A e B. Unindo C 2 a A e a B obtêm-se as rectas que intersectam a circunferência de centro C 2 nos pontos T 1 e T 2, de tangência. Traçam-se as paralelas aos segmentos [C 2 A] e [C 2 B] que passam por C 1, estas paralelas intersectam a circunferência de centro C 1 nos pontos T 3 e T 4, de tangência. Unindo T 1 a T 3 e T 2 a T 4 obtêm-se as tangentes pretendidas. Fig

202 Traçado das Tangentes Interiores Comuns a Duas Circunferências Diferentes Dadas as circunferências de centros C 1 e C 2 e raios R 1 e R 2, respectivamente, e sendo R 2 maior que R 1, começa-se por unir os centros das circunferências e determina-se o ponto médio (M) do segmento [C 1 C 2 ]. Com centro em M desenhase a circunferência de raio MC 1 (=MC 2 ). Com centro em M traça-se uma circunferência de raio R=R1+R2. Esta última circunferência intersecta a circunferência de centro M nos pontos A e B. Unindo C 2 a A e a B obtêm-se as rectas que intersectam a circunferência de centro C 2 nos pontos T 1 e T 2, de tangência. Traçam-se as paralelas aos segmentos [C 2 A] e [C 2 B] que passam por C 1. Estas paralelas intersectam a circunferência de centro C 1 nos pontos T 3 e T 4, de tangência. Unindo T 1 a T 4 e T 2 a T 3 obtêm-se as tangentes pretendidas. Fig

203 Traçado de uma Circunferência de Raio dado Tangente a uma Recta num dos Seus Pontos Dada a recta a, o ponto A pertencente à recta, e um raio r da circunferência a construir, começa-se por traçar a perpendicular à recta a que passa pelo ponto A. Sobre essa perpendicular marca-se, a partir de A, o comprimento r, obtendo-se os pontos O e O, simétricos em relação a A. Os pontos O e O são os centros das duas circunferências, ambas solução do problema. Fig

204 Traçado de uma Circunferência de Raio dado Tangente a Duas Rectas Concorrentes Dado um raio r da circunferência a construir e as rectas a e b, definidas respectivamente pelos pontos A, V e B, V, em que V é o ponto em que as duas rectas se intersectam, começa-se por traçar a bissectriz do ângulo AVB formado pelas duas rectas. Desenha-se uma recta paralela a uma das rectas dadas à distância r. Esta recta intersecta a bissectriz no ponto O, centro da circunferência pretendida. Fig. 33 Traçado de uma Circunferência Tangente a Outra, Exteriormente Dada a circunferência de centro A e um raio r da circunferência a construir, começa-se por marcar sobre o prolongamento do raio [AC], e a partir de C, um comprimento igual a r, obtendo-se assim o ponto B, centro da circunferência pretendida. Fig

205 Traçado de uma Circunferência Tangente a Outra, Interiormente A construção é análoga à descrita no ponto anterior, à excepção de que o ponto B marca-se a partir de C para dentro da circunferência de centro A. Fig. 35 Traçado de uma Circunferência Tangente a Outra e a uma Recta Dada a circunferência de centro O e a recta r, começa-se por traçar a perpendicular à recta r que passa pelo ponto exterior O. Esta recta intersecta a circunferência de centro O no ponto B e a recta r no ponto A. Determina-se o ponto médio (O 1 ) do segmento [AB]. Com centro em O 1 e raio O 1 A (=O 1 B) desenha-se a circunferência pretendida. Fig

206 Traçado de uma Circunferência Tangente a Duas Circunferências Dadas as circunferências de centro C e C 1 começa-se por traçar o segmento [CC 1 ], este segmento intersecta as circunferências de centro C e de centro C 1 em A e B respectivamente. Seguidamente determina-se o ponto médio (O) de [AB]. Com centro em O e raio OA ( =OB) desenhase a circunferência pretendida. Fig

207 Concordâncias Concordância é a passagem suave de uma linha para outra. Para uma linha recta se prolongar para um arco de circunferência, em concordância, é necessário que a circunferência seja tangente à recta. O ponto de tangência é o ponto onde termina a recta e começa o arco. Ao ponto de tangência chama-se também ponto de concordância. Para um arco se prolongar para outro é necessário que as circunferências sejam tangentes e o ponto de tangência indica a passagem de um arco para o outro. As construções apresentadas no ponto anterior são portanto muito importantes para o desenho de linhas concordantes. Alguns exemplos de concordâncias: Concordância entre uma recta dada e um arco de circunferência que se prolonga a partir de um ponto. Este ponto é o ponto de tangência, ponto de contacto entre a recta e a circunferência. O desenho faz-se recorrendo ao descrito em Traçado da tangente a uma circunferência sendo conhecido o ponto de tangência Fig

208 Concordância entre um arco de circunferência e outro arco de circunferência que o prolonga a partir de um seu ponto. O ponto de contacto entre as duas circunferências é ponto de tangência, que se encontra sobre a recta que une os dois centros. O desenho faz-se recorrendo ao descrito em Traçado de uma circunferência tangente a outra, exteriormente ou Traçado de uma circunferência tangente a outra, interiormente Fig

209 Curvas policêntricas Oval e Óvulo A oval e o óvulo são curvas fechadas constituídas por quatro arcos de circunferência tangentes. No caso da oval os quatro arcos de circunferência são iguais dois a dois, enquanto que no óvulo dois arcos são iguais e os outros dois são diferentes. A oval tem dois eixos de simetria e o óvulo apenas um. Traçado da Oval dado o Eixo Maior Dado o eixo maior [AB], começa-se por dividi-lo em três partes iguais (obtendo-se os segmentos [AO], [OO 1 ] e [O 1 B], de comprimento igual a 1/3 de AB). Com centro nos pontos O e O 1 traçam-se duas circunferências de raio igual a 1/3 de AB. Estas circunferências intersectam-se nos pontos C e D. Traçam-se as semirectas CO, CO 1, DO e DO 1 que intersectam as duas circunferências nos pontos de concordância T 1, T 2, T 3 e T 4. A oval é definida pelos quatro arcos de circunferência:?? - T 1 T 2 e T 3 T 4 de centros respectivamente em O e O 1 e raio O 1 B (igual a OA)?? - T 1 T 3 e T 2 T 4 de centros respectivamente em D e C e raio DT 3 (igual a CT 2 ) Fig

210 Traçado da Oval dado o Eixo Menor Dado o eixo menor [DE], começa-se por dividi-lo em quatro partes iguais (obtendo-se os segmentos [DO 1 ], [O 1 O 2 ], [O 2 O 3 ]e [O 3 E], de comprimento igual a 1/4 de DE). Com centros em O 1, O 2, O 3 traçam-se três circunferências de raio igual a ¼ de DE. A circunferência de centro O2 intersecta a mediatriz de DE nos pontos C1 e C2. Traçam-se as semirectas OC 1, OC 2, O 3 C 1 e O 3 C 2 que vão determinar os pontos de concordância T 1, T 2, T 3 e T 4. A oval é definida pelos quatro arcos de circunferência:?? - T 1 T 2 e T 3 T 4 de centros respectivamente em O 3 e O e raio O 3 D (igual a O 1 E)?? - T 1 T 3 e T 2 T 4 de centros respectivamente em C 1 e C 2 e raio C 1 T 2 (igual a C 2 T 4 ) Fig

211 Traçado da Oval dados os Dois Eixos Dados os dois eixos [AB] e [DE] perpendiculares, começase por desenhar o paralelogramo [ADBE] e o arco de centro O (ponto de intersecção dos segmentos [AB] e [DE]) e raio OD. Este arco intersecta o eixo maior no ponto F. A partir de D e de E marcam-se no paralelogramo comprimentos iguais a AF, definindo os pontos G, H, I e J. Determinam-se as mediatrizes dos segmentos [AG], [AI], [BH], e [BJ] que intersectam a recta que contem o eixo menor nos pontos C 3 e C 4.e que intersectam o eixo maior nos pontos C 3 e C 4. As mediatrizes definem os pontos de concordância T 1, T 2, T 3 e T 4. A oval é constituída pelos arcos de circunferência:?? - T 1 T 2 e T 3 T 4 de centros respectivamente em C 3 e C 4 e raio C 3 A (igual a C 4 B)?? - T 1 T 3 e T 2 T 4 de centros respectivamente em C 2 e C 1 e raio C 2 T 1 (igual a C 1 T 2 ) Fig

212 Traçado do Óvulo dado o Diâmetro da Circunferência Construtiva Dado o diâmetro [AB], começa-se por traçar a circunferência de diâmetro AB e determina-se a mediatriz de [AB]. A mediatriz intersecta o diâmetro no ponto C 1 (centro da circunferência ) e intersecta a circunferência no ponto C 2. Traçam-se as semirectas AC 2 e BC 2 que vão determinar os pontos de concordância T 1, T 2. O óvulo é constituído pelos arcos de circunferência:?? AB de centro em C 1 e raio C 1 A (igual a C 1 B)?? AT 1 e BT 2 de centros respectivamente em B e A e raio BA?? T 1 T 2 de centro em C 2 e raio C 2 T 1 (igual a C 2 T 2 ) Fig

213 Traçado do Óvulo dados o Diâmetro da Circunferência Construtiva e o Eixo Dado o diâmetro [AB] e o eixo [DE], começa-se por traçar a circunferência de diâmetro AB e determina-se a mediatriz de [AB]. A mediatriz intersecta o diâmetro no ponto C 1 (centro da circunferência ) e intersecta a circunferência nos pontos D e F. Sobre a mediatriz marca-se o eixo DE.Traçam-se os segmentos [AE] e [BE]. Sobre estes segmentos e a partir de A e de B respectivamente marca-se o comprimento EF, obtendo-se os pontos G e H. Determinam-se as mediatrizes dos segmentos [EG] e [EH] que vão intersectar a recta que contém o diâmetro nos pontos C 2 e C 3.e o eixo no ponto C 4. Estas mediatrizes determinam os pontos de concordância T 1, T 2. O óvulo é constituído pelos arcos de circunferência:?? ADB de centro em C 1 e raio AC 1 (igual a BC 1 )?? BT 2 e AT 1 de centros respectivamente em C 2 e C 3 e raio BA?? T 1 T 2 de centro em C 4 e raio C 4 T 1 (igual a C 4 T 2 ) Fig

214 Arcos Construção do Arco de Volta Inteira ou Arco Romano Sejam A e B os pontos de apoio do arco, o segmento [AB] designa-se por vão do arco. Dado o vão [AB] começa-se por traçar a sua mediatriz que intersecta o segmento [AB] no ponto O. Com centro em O e raio OA (=OB) traça-se o arco AB pretendido. A distância medida entre o ponto mais alto do arco e a linha que contém os apoios designa-se por flecha do arco. No caso do arco de volta inteira a flecha é igual a AB/2 Fig. 45 Construção do Arco Ogival ou Gótico Ogiva Perfeita Dado o vão [AB], com centro em A e em B traçam-se arcos de raio AB. Estes arcos intersectam-se no ponto V, vértice da ogiva perfeita. Fig. 46 No caso da ogiva perfeita o triângulo definido pelos pontos A, V e B é um triângulo equilátero. -37-

215 Ogiva Encurtada Dados o vão [AB] e a flecha [ZV], começa-se por traçar o vão [AB] e a sua mediatriz, que intersecta [AB] no ponto Z. Sobre a mediatriz, e a partir de Z, marca-se o segmento [ZV]. Traçam-se as mediatrizes dos segmentos [AV] e [VB] que intersectam [AB] nos pontos C 2 e C 1, respectivamente. Com centro em C 1 e em C 2 e raio C 1 V (=C 2 V) traçam-se os arcos BV e AV que definem a ogiva pretendida. Fig. 47 No caso da ogiva encurtada, os lados iguais do triângulo isósceles, definido pelos pontos A, V e B, são menores do que a base. Ogiva Alongada A construção da ogiva alongada é análoga à descrita no ponto anterior exceptuando que, neste caso, os centros C 1 e C 2 marcam-se no prolongamento do vão [AB]. Fig. 48 No caso da ogiva alongada, os lados iguais do triângulo isósceles, definido pelos pontos A, V e B, são maiores do que a base. -38-

216 Construção do Arco Abatido Dados o vão [AB] e a flecha [DE], começa-se por traçar o vão [AB] e a sua mediatriz, que intersecta [AB] no ponto D. Sobre a mediatriz, e a partir de D marca-se o segmento [DE]. Traçam-se os segmentos [AE] e [EB]. Com centro em D e raio DA traça-se uma circunferência que intersecta a mediatriz de [AB] no ponto F. Com centro em E e raio EF traça-se outra circunferência que intersecta [AE] e [EB] nos pontos G e H, respectivamente. Traçam-se as mediatrizes dos segmentos [AG] e [HB]. Estas mediatrizes intersectamse no ponto C 1 e intersectam o segmento [AB] nos pontos C 2 e C 3, respectivamente. Os pontos T 1 e T 2 de concordância dos arcos que definem o arco abatido encontram-se sobre estas mediatrizes. O arco abatido é definido pelos arcos:?? AT 1 de centro em C 2 e raio AC?? BT 2 de centro em C 3 e raio BC?? T 1 T 2 de centro em C 1 e raio C 1 T 1 (igual a C 2 T 2 ) Fig

217 Construção do Arco Aviajado Dados os pontos A e A 1, de apoio do arco, começa-se por traçar as horizontais que os contêm. Traça-se a perpendicular que passa em A 1. Esta perpendicular intersecta a horizontal que contém A, no ponto M. Com centro em M e raio MA, traça-se um arco que vai determinar, no prolongamento de [AM], o ponto B. Determina-se a mediatriz do segmento [AB]. Esta mediatriz cruza as horizontais que contêm A e A 1 nos pontos de concordância, O e O 1, respectivamente. O arco aviajado, também designado por esconso, é definido pelos arcos:?? AC de centro em O e raio OA (igual OC)?? CA 1 de centro em O 1 e raio O 1 C (igual a O 1 A 1 ) Fig

218 Curvas Cónicas As curvas que resultam da intersecção de um plano com uma superfície cónica ou cilíndrica têm a designação de curvas cónicas. Considere-se uma superfície cónica completa, isto é, com as duas folhas, e considere-se também um plano que intersecta a superfície, o ângulo que o plano seccionante faz com o eixo da superfície cónica determina o tipo de curva cónica resultante da intersecção. Seja? o ângulo que as geratrizes da superfície cónica fazem com o eixo e? o ângulo que o plano seccionante faz com o eixo da superfície cónica, da relação entre? e? resulta:?? se? <?, a intersecção é uma elipse?? se? =?, a intersecção é uma parábola?? se? >?, a intersecção é uma hipérbole No caso particular de?=90º, isto é, o plano seccionante é perpendicular à superfície cónica, a intersecção é uma circunferência. Fig

219 Elipse Elipse é uma curva plana fechada, lugar geométrico dos pontos tais que a soma das distâncias de cada ponto a dois pontos fixos do plano, chamados focos, é constante. A elipse define-se pela equação x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1, onde a e b são constantes e iguais, respectivamente aos semicomprimentos dos eixos maior [AB] e menor [CD]. Os eixos [AB] e [CD] de comprimento, respectivamente 2a e 2b são perpendiculares entre si e o seu ponto de intersecção (ponto médio dos eixos), designa-se por centro da elipse. Os extremos dos eixos são os vértices da elipse. Os dois focos, F 1 e F 2, são pontos do eixo maior, equidistantes do centro. A distância focal (distância entre os focos), representada por 2c é tal que c= a2 - b2. Os segmentos que partem dos focos e tocam num ponto qualquer da elipse, são chamados raios vectores; por definição de elipse r 1 +r 2 =2a (onde r 1 e r 2 são raios vectores de um ponto da elipse). As elipses são traçadas à mão livre, fazendo passar uma linha suave pelos vários pontos determinados a partir das condições da definição. Fig

220 Traçado de uma Elipse dados o Eixo Maior e a Distância Focal Dados o eixo maior [AB], de comprimento 2a, e os focos F 1 e F 2 distanciados de 2c, por definição, os pontos da elipse são as intersecções dos arcos com centros nos focos e cuja soma dos raios é igual ao comprimento 2a. Marcam-se, arbitrariamente, entre um dos focos e o centro vários pontos (1,2,3,...). Para determinar o ponto 1 procede-se da seguinte forma, com centro em cada um dos focos traçam-se arcos de raio A1 e B1 que se intersectam em quatro pontos pertencentes à elipse. Procede-se para os outros pontos como para o ponto 1 obtendo tantos pontos quantos se ache necessário. Fazendo passar uma curva suave pelos vários pontos obtidos desenha-se a elipse pretendida. Fig

221 Traçado de uma Elipse dados os Dois Eixos Dados o eixo maior [AB], de comprimento 2a e o eixo menor [CD], de comprimento 2b apresentam-se de seguida 3 métodos para o traçado da elipse: 1º método Dados o eixo maior [AB], de comprimento 2a e o eixo menor [CD], de comprimento 2b começa-se por localizar os focos por intersecção, com o eixo maior, do arco de centro em C e raio a. Em seguida procede-se como no ponto anterior. Fig. 54 2º método Com centro no centro da elipse traçam-se as circunferências de raio a e b, semicomprimentos dos eixos maior e menor, respectivamente. Traça-se um raio qualquer comum a ambas as circunferências e, pela intersecção desse raio com ambas as circunferências, traçam-se perpendiculares aos eixos da elipse. A intersecção dessas perpendiculares é um ponto da elipse. Repete-se este procedimento para tantos pontos da elipse quantos se julgue necessário. Fazendo passar uma curva suave pelos vários pontos obtidos desenha-se a elipse pretendida. Fig

222 3º método Desenha-se o rectângulo que tem por medianas os eixos da elipse. Dividem-se os eixos em n partes iguais (pontos 1, 2, 3 sobre o eixo maior 1, 2, 3 sobre o eixo menor). Traçamse as rectas que passam por C e pelos pontos marcados na metade superior do eixo menor. Traçam-se as rectas que passam por D e pelos pontos marcados no eixo maior. A intersecção das rectas traçadas que passam em pontos de igual número (1 e 1 por exemplo) é um ponto da elipse. Para a metade inferior da elipse procede-se de forma simétrica, isto é, fazem-se passar rectas por D e pela metade inferior do eixo menor e fazem-se passar rectas por C e pelo eixo maior obtendo-se, nas suas intersecções, pontos pertencentes à elipse. Fig

223 Tangentes a uma Elipse Traçado da Tangente Passando por um Ponto T da Elipse Unindo os focos F 1 e F 2 com o ponto T obtêm-se os raios vectores r 1 e r 2. A bissectriz do ângulo formado por r 2 e pelo prolongamento de r 1 é a recta tangente pretendida. Fig. 57 Traçado da Tangente Passando por um Ponto P Exterior à Elipse Traça-se um arco (2) de centro em P e que passa por F 2 ; traça-se um arco (1) de centro em F 1 e com raio igual ao eixo maior. Os dois arcos traçados intersectam-se nos pontos M e N. Unindo F 1 a M e a N obtêm-se as rectas que intersectam a elipse nos pontos de tangência, T 1 e T 2, ambos solução do problema. Unindo P a T 1 e a T 2 obtêm-se as rectas pretendidas. Fig

224 Traçado da Tangente Paralela a uma Recta (r) dada Traça-se uma recta r 1 paralela a r que intersecta a elipse nos pontos A e B. A recta que passa pelo centro (O) da elipse e pelo ponto médio (M)de [AB], intersecta a elipse no ponto de tangência T pretendido. A recta paralela a r e que contém o ponto T é a recta tangente pretendida. Fig

225 Parábola Parábola é uma curva plana aberta, lugar geométrico dos pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo, chamado foco, e de uma recta, chamada directriz. A directriz é perpendicular ao eixo de simetria. A parábola tem um eixo de simetria, um vértice A e um foco F. Por definição de parábola o vértice A está à mesma distância de F e da directriz. A parábola define-se pela equação y 2 =2px 2 onde 2p é uma constante denominada parâmetro da parábola. A distância do foco à directriz é igual a p. A distância do vértice ao foco é igual a p/2. Os raios vectores r 1 e r 2 são os segmentos que unem qualquer ponto da parábola ao foco e à directriz (perpendicularmente a esta). Fig

226 Traçado de uma Parábola Sendo dado o Parâmetro Dado o parâmetro 2p, começa-se por traçar duas rectas perpendiculares entre si e, sobre a recta que se toma para eixo, marca-se o foco F à distância p da intersecção das duas rectas (ponto D). O ponto médio do segmento [DF] é o vértice A da parábola. A partir de A marcam-se arbitrariamente vários pontos (1,2,3,...) e por eles traçamse rectas paralelas à directriz. Com centro em F e raio D1 traça-se um arco que intersecta a paralela, que passa no ponto 1, num ponto pertencente à parábola. Procede-se para os outros pontos como para o ponto 1. Fazendo passar uma curva suave pelos vários pontos obtidos desenha-se a parábola pretendida. Fig

227 Tangentes a uma Parábola Traçado da Tangente Passando por um Ponto T da Parábola Unindo o ponto T a F e traçando a perpendicular à directriz, que passa no ponto T, obtêm-se os raios vectores r 1 e r 2. A tangente tem a direcção da bissectriz do ângulo formado pelos raios vectores. Fig. 62 Traçado da Tangente Passando por um Ponto P Exterior à Parábola Com centro em P e raio igual a PF traça-se um arco que intersecta a directriz nos pontos A e B, por A e por B traçam-se paralelas ao eixo que intersectam a parábola nos pontos T 1 e T 2, ambos solução do problema. Unindo P a T 1 e a T 2 obtêm-se as tangentes pretendidas. Fig

228 Traçado da Tangente Paralela a uma Recta (r) dada Traça-se a recta perpendicular à recta r e que passa pelo foco F. Esta recta intersecta a directriz no ponto E. A perpendicular à directriz que passa no ponto E intersecta a parábola no ponto de tangência T. A recta paralela a r e que contém o ponto T é a recta tangente pretendida. Fig

229 Hipérbole Hipérbole é uma curva plana aberta, lugar geométrico dos pontos de um plano tais que a diferença das suas distâncias a dois pontos fixos deste plano, chamados focos, é constante, e igual ao comprimento do eixo maior. A hipérbole tem dois eixos de simetria, perpendiculares entre si que se cruzam num ponto (O). Os focos encontram-se sobre um dos eixos que se designa por eixo real, [AB], de comprimento 2a. Ao eixo perpendicular a [AB] designa-se por eixo imaginário, [CD] de comprimento 2b. A hipérbole define-se pela equação x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =1. Os dois focos F 1 e F 2 são equidistantes do centro O à distância c = a2? b2. A distância focal é, portanto, 2c. Os raios vectores r 1 e r 2 são os segmentos que unem um ponto qualquer da hipérbole aos focos. Por definição de hipérbole a diferença entre os dois raios vectores é igual a 2a. ASSÍMPTOTAS Fig

230 Traçado de uma Hipérbole dados o Eixo e a Distância Focal Dados o comprimento, 2a, do eixo e a distância focal, 2c, começa-se por traçar duas rectas perpendiculares entre si, que se cruzam no ponto O. Marca-se sobre o eixo real, simetricamente em relação a O, os focos F 1 e F 2 que distam 2c entre si; marcam-se os vértices A e B simétricos em relação a O que distam 2a entre si. A partir de F 1, e sobre o eixo real, marcam-se arbitrariamente vários pontos (1, 2, 3,...). Com centro em F 1 e F 2 e aberturas A1 e B1, traçamse oito arcos que se intersectam dois a dois em pontos que pertencem à hipérbole. Fazendo passar uma linha suave pelos pontos obtidos desenha-se a hipérbole pretendida. Fig

231 Tangentes a uma Hipérbole Traçado da Tangente Passando por um Ponto T da Hipérbole Unindo o ponto T aos focos F 1 e F 2 obtêm-se os raios vectores r 1 e r 2. A bissectriz do ângulo formado pelos raios vectores é a tangente pretendida. Fig. 67 Traçado da Tangente Passando por um Ponto P Exterior à Hipérbole Traçam-se os arcos de circunferência de centro em P e raio igual a PF 1, e de centro em F 2 e raio igual ao eixo real da hipérbole, 2a. Estes arcos intersectam-se nos pontos A e B. As rectas que contêm F 2 A e F 2 B intersectam a hipérbole nos pontos de tangência T 1 e T 2, ambos solução do problema. Unindo P a T 1 e a T 2 obtêm-se as tangentes pretendidas. Fig

232 Traçado da Tangente Paralela a uma Recta (r) dada Traça-se uma recta r 1 paralela à recta r, que intersecta um dos ramos da hipérbole em dois pontos quaisquer C e D. Traça-se uma recta que passa por C e por O e que intersecta o outro ramo da hipérbole no ponto E. Pelo centro O traça-se uma recta paralela a [DE] intersectam a hipérbole nos pontos de tangência T 3 e T 4, ambos solução do problema. Fig

233 Espirais Espiral é a linha plana que representa a trajectória de um ponto que se desloca em movimento rectilíneo ao longo de um raio que tem, simultaneamente, movimento de rotação. Considerando fixa a velocidade angular do movimento de rotação do raio condutor, a forma da espiral varia com a velocidade do movimento rectilíneo do ponto ao longo do raio condutor. Espiral de Arquimedes A espiral de Arquimedes é a espiral que representa a trajectória de um ponto que tem velocidade uniforme. A distância do ponto móvel ao ponto fixo é directamente proporcional ao ângulo de rotação?. A espiral de Arquimedes define-se pela equação: r=a? onde:?? a é uma constante;??? é o ângulo de rotação;?? r distância do ponto móvel ao ponto fixo. Ao fim de uma rotação completa r=2? a; ao fim de n rotações r=2n? a. Designa-se por passo da espiral a distância entre os pontos consecutivos da espiral situados sobre o mesmo raio. A espiral de Arquimedes fica definida desde que seja conhecido o passo (r 1 ), a equação que a define é : r=r 1 /2??. -56-

234 Para traçar uma espira completa da espiral de Arquimedes começa-se por traçar uma circunferência de raio OA = r 1 (passo da espiral). Divide-se o raio em n partes iguais. Com centro em O desenham-se circunferências concêntricas que contenham cada um dos pontos da divisão. Divide-se a circunferência em n partes iguais. Traçam-se as linhas radiais que passam pelo centro (O) e por cada uma das divisões da circunferência. Numeram-se por ordem, as circunferências (1, 2, 3, ) e as linhas radiais (1, 2, 3 ), e determinam-se os pontos de intersecção (1 com 1, 2 com 2, etc.) correspondentes que definem a espira. A espira é traçada fazendo passar uma curva suave pelos pontos determinados. Para o traçado de mais espiras desenham-se outras circunferências concêntricas, mantendo a equidistância entre elas e determinam-se novos pontos de intersecção. Fig

235 Traçado da Espiral de Dois Centros A espiral de dois centros é constituída por semicircunferências concordantes cujos pontos de tangência se encontram sobre a mesma recta. Dados os centros C 1 e C 2, começa-se por marcar os centros sobre uma recta horizontal. Com centro em C 1 desenha-se uma semicircunferência de raio C 1 C 2 que intersecta a recta horizontal no ponto A (arco C 1 A). Com centro em C 2 e raio C 2 A desenha-se uma semicircunferência que intersecta a recta horizontal no ponto B (arco AB), volta a fazer-se centro em C 1 e com raio C 1 B desenha-se uma semicircunferência que intersecta a recta horizontal no ponto C (arco BC), completando-se assim um espira completa. Para o desenho de mais espiras procede-se como atrás descrito alternando, entre C 1 e C 2, o centro da semicircunferência a desenhar. Fig

236 Traçado da Espiral de Três Centros O traçado da espiral de três centros é análogo ao da espiral de dois centros, sendo que neste caso os três centros (C 1, C 2 e C 3 ) definem um triângulo equilátero cujos lados se prolongam. Os pontos de concordância dos arcos encontramse sobre estas semi-rectas. Com centro em C 1 e raio C 1 C 3 desenha-se um arco (C 3 A) que intersecta a recta que contém C 2 e C 1 no ponto A. Com centro em C 2 e raio C 2 A desenhase um arco (AB) que intersecta a recta que contém C 2 e C 3 no ponto B. Com centro em C 3 e raio C 3 B desenha-se um arco (BC) que intersecta a semi-recta que contém C 1 e C 3 no ponto C. Com centro em C 1 e raio C 1 C desenha-se um arco (CD) que intersecta a semi-recta que contém C 2 e C 1 no ponto D, completando assim uma espira completa. Para o traçado das outras espiras procede-se como o descrito anteriormente. Fig. 72 Traçado da Espiral de Quatro Centros Neste caso os quatro centros são os vértices de um quadrado cujos lados se prolongam. Os pontos de concordância dos arcos que definem a espiral encontram-se sobre estas semirectas. Cada um destes arcos é um quarto de uma circunferência. O traçado é análogo ao descrito para as espirais de dois e de três centros. Fig

237 -60-

238 Traçado da Evolvente Chama-se evolvente de uma figura plana à curva gerada por um ponto de uma recta que roda sem escorregar apoiada no contorno dessa figura plana. Imagine-se uma circunferência e um fio enrolado em torno dela, com uma das extremidades fixa e a outra livre. Se se desenrolar o fio mantendo-o bem esticado a curva gerada pela extremidade livre do fio é, por definição, a evolvente da circunferência. Para o traçado da evolvente de uma circunferência de raio r começa-se por dividir a circunferência em n partes iguais (obtendo-se os pontos 1, 2, 3, n). Traça-se uma recta horizontal tangente à circunferência num ponto A qualquer, que corresponderá ao inicio do traçado da circunferêcia e que coincide como o ponto n da divisão. Sobre esta recta e a partir de A marca-se o comprimento AB igual ao perímetro da circunferência (2? r). Divide-se o segmento [AB] em n partes iguais (obtendo-se os pontos 1, 2, 3, n ). Os pontos da evolvente são tais que satisfazem simultaneamente as condições:?? AP = PP?? AP = PP Assim, com centro em A e raio PP traça-se um arco (1) e, com centro em P e raio AP traça-se outro arco que intersecta o arco 1 no ponto P da evolvente. Repetindo a construção para os n pontos da divisão da circunferência e do segmento [AB] obtêm-se n pontos da evolvente. Fazendo passar uma linha suave pelos pontos obtidos desenha-se a evolvente pretendida. Fig

239 A tangente à evolvente num ponto qualquer desta é perpendicular à tangente à circunferência que passa nesse ponto. Fig

240 Curvas Cicloidais Curva cicloidal é a curva que é gerada por um ponto de um círculo quando este roda, sem escorregar, sobre uma linha. Ao circulo que roda chama-se geratriz e à linha sobre a qual ele roda chama-se directriz. Se a directriz for uma recta a curva chama-se ciclóide, se for uma circunferência chama-se epicicloide ou hipocicloide consoante a geratriz seja, respectivamente, exterior ou interior à directriz. Traçado da Ciclóide Dada uma circunferência de raio r (geratriz), começa-se por traçar uma recta (directriz), tangente à circunferência no ponto A. Sobre a directriz marca-se o comprimento AB igual ao perímetro da geratriz (2? r). Divide-se o segmento [AB] em n partes iguais (obtendo-se os pontos 1, 2, 3, n ); divide-se também a circunferência em n partes iguais (obtendo-se os pontos 1, 2, 3, n). Para traçar a cicloide gerada pelo movimento do ponto A determinam-se os pontos 1, 2, 3, n que satisfazem as duas condições: PP =AP e AP=P P (onde P=1,2,3, n). Assim, com centro em P e raio AP traça-se um arco (1) e, com centro em A e raio PP, traça-se outro arco que intersecta o arco 1 no ponto P, pertencente à cicloide. Repete-se esta construção para os n pontos das divisões da geratriz e da directriz determinandose n pontos da cicloide. Fazendo passar uma curva suave pelos pontos obtidos desenha-se a cicloide pretendida. Fig

241 Traçado da Epiciclóide Dadas a circunferência geratriz e a circunferência directriz começa-se por traçar as duas circunferências tangentes exteriormente num ponto A que corresponderá ao inicio do traçado da epicicloide. Divide-se a geratriz em n partes iguais (obtendo-se os pontos 1, 2, 3, n), sobre a directriz marcam-se arcos iguais aos obtidos pela divisão da geratriz (obtendo-se os pontos 1, 2, 3, n ). Note-se que para que o ponto A percorra, sobre a directriz, uma volta completa da geratriz o perímetro da directriz terá que ser superior ao perímetro da geratriz. À semelhança do descrito no caso do traçado da cicloide os pontos da epicicloide os pontos da epicicloide são tais que:?? PP =AP?? AP=P P?? (onde P=1,2,3, n) Assim, com centro em P e raio AP traça-se um arco (1) e, com centro em A e raio PP traça-se outro arco que intersecta o arco 1 em P, ponto da epicicloide. Determinam-se os pontos 1, 2, 3, n procedendo como o descrito para o ponto genérico P. Fazendo passar uma curva suave pelos pontos obtidos desenha-se a epicicloide pretendida. Fig

242 Traçado da Hipociclóide A construção da hipocicloide é análoga à da epicicloide com a exepção de que as duas circunferência são tangentes interiormente. Fig. 78 Tangentes às Curvas Cicloidais Para traçar a tangente a uma curva cicloidal num ponto qualquer P traça-se, em primeiro lugar, o segmento P P, onde P é um ponto da curva e P o seu correspondente sobre a directriz. A este segmento chama-se normal à curva. A perpendicular à normal é a tangente pretendida. -65-

243 Participaram neste trabalho os formadores abaixo referidos que cederam os respectivos direitos de propriedade e autoria: João Gonçalves Baptista Cabarrão Jorge Monteiro Sofia Silva Vítor Monteiro António Mota Vítor Capote David Cabarrão -66-

244 MANUAL Nº 7 Projecções Ortogonais - Técnica da Projecção de Sólidos em Superfícies Planas Esta Publicação é propriedade do GICEA, Gabinete de Gestão de iniciativas comunitárias. Este produto é protegido pelas leis em vigor e copyright, estando reservados todos os seus direitos. Não pode ser reproduzido nem transcrito por qualquer processo seja ele qual for sem autorização dos titulares do direito. Os infractores são passíveis de procedimento judicial.

245 FICHA DE PLANIFICAÇÃO MODULAR Sub-Projecto : Módulo nº. : 7 Designação : 11 - Desenho Técnico Projecções Ortogonais Curso : Horas prevista : 50 OBJECTIVOS 1. Explicar a noção de projecção e os conceitos de centro de projecção e de projectante 2. Descrever e distinguir os sistemas de projecção cónica e paralela e dar exemplos 3. Descrever e distinguir os sistemas de projecção paralela ortogonal e oblíqua e dar exemplos 4. Explicar a utilidade da utilização de projecções múltiplas, recorrendo a exemplos 5. Descrever e aplicar o Método das Vistas na representação de peças 6. Descrever as posições relativas e efectuar os traçados das Vistas, consoante se adopte o Método Europeu ou Americano 7. Verificar a simetria existente na disposição das vistas em ambos os métodos 8. Explicar a utilidade e aplicar o método das setas referenciadas 9. Escolher adequadamente as vistas necessárias e suficientes à representação de uma peça e, de entre estas, a que deve representar o seu alçado principal 10. Explicar a necessidade e utilizar vistas deslocadas, parciais, interrompidas e auxiliares 11. Utilizar as convenções descritas na norma no desenho de projecções CONTEÚDOS 1. Explição da noção de projecção e os conceitos de centro de projecção e de projectante 2. Descrição e distinção dos sistemas de projecção cónica e paralela e dar exemplos 3. Descrição e distinção dos sistemas de projecção paralela ortogonal e oblíqua e dar exemplos 4. Explição da utilidade da utilização de projecções múltiplas, recorrendo a exemplos 5. Descrição e aplicação do Método das Vistas na representação de peças 6. Descrição das posições relativas e efectuar os traçados das Vistas, consoante se adopte o Método Europeu ou Americano 7. Verificação da simetria existente na disposição das vistas em ambos os métodos 8. Explicaçao da utilidade e aplicar o método das setas referenciadas 9. Escolha adequada das vistas necessárias e suficientes à representação de uma peça e, de entre estas, a que deve representar o seu alçado principal 10. Explicação da necessidade e utilizar vistas deslocadas, parciais, interrompidas e auxiliares 11. Utilização das convenções descritas na norma no desenho de projecções ii

246 ACTIVIDADES Desenhar várias peças empregando a técnica das proecções ortogonais Análise dos trabalhos realizados. Dados referentes à participação. AVALIAÇÃO MATERIAIS / RECURSOS Sala de desenho com equipamento tradicional a definir no módulo 4. Rectro-projector. Formadores da área do Desenho Técnico PUBLICO ALVO BIBLIOGRAFIA Simões Morais, Desenho Básico 3 Alberto C. Ornelas, José V. Ribeiro, Manuel C. Silva, Desenho e Geometria Descritiva, Desenho Técnico, Edições Asa Veiga da Cunha, Desenho Técnico, Fundação Calouste Gulbenkian Oscar Soares e Luis Filipe Carvalho, Desenho e Geometria Descritiva - 12º, Texto Editora Norma Portuguesa Data O Formador iii

247 Índice Introdução... 2 Projecção - Noção e Conceitos... 2 Sistemas de Projecção... 4 Sistema de Projecção Central ou Cónica... 4 Sistema de Projecção Paralela ou Cilíndrica... 5 Sistema de Projecção Paralela Ortogonal / Oblíqua... 6 Método da Múltipla Projecção Ortogonal ou Método das Vistas... 7 Necessidade de Projecções Múltiplas... 7 Designação das Vistas Posições Relativas das Vistas Cubo Envolvente Método Europeu (Método do Primeiro Diedro ou Método E) Posição das Vistas Símbolo Simetria das Vistas Alternadas Método Americano (Método do Terceiro Diedro ou Método A) Utilização de Setas Referenciadas Escolha das Vistas Escolha do Alçado Principal Vistas Necessárias Outras Vistas Vistas Deslocadas Vista Parcial Peças Simétricas Detalhes Detalhes em Escala de Ampliação Vista Interrompida Vistas Auxiliares Convenções de Utilização Geral Peças Contíguas Intersecções Representação de Faces Planas Peças Repetidas Peças com furos repetidos e equidistantes Representações simbólicas... 40

248 Introdução Importa, no Desenho Técnico, representar adequadamente objectos tridimensionais e formas do espaço num plano - o plano do desenho. A noção de projecção surge como resposta a esta necessidade. Projecção - Noção e Conceitos Observe-se a figura seguinte, na qual se representa o ponto P projectado no plano?: Fig.01 P' é a projecção de P no plano? e consiste na intersecção da recta OP com esse plano. O ponto O é o Centro de Projecção ou Ponto de Vista da projecção. À recta OP chama-se projectante. A projectante é a recta que passa pelo Centro de Projecção e pelo ponto que se pretende projectar. Se, em vez de um ponto, se pretender projectar uma figura plana ou um sólido, o raciocínio é idêntico, aplicado agora a um conjunto de pontos. É o caso da próxima figura, onde se observam o quadrado? ABCD? e a sua projecção? A' B' C' D'? no plano?: -2-

249 Fig.02 Partindo do Centro de Projecção ou Ponto de Vista - o ponto O - traçam-se quatro projectantes, cada uma delas passando por um dos vértices do quadrado. Os pontos de intersecção das projectantes com o plano? - os pontos A', B', C' e D' - são as projecções dos vértices A, B, C e D. Unindo estas projecções, obtém-se a projecção do quadrado. Nesta situação, em que existem várias projectantes, o Centro de Projecção é o ponto exterior ao plano de projecção onde concorrem todas as projectantes. -3-

250 Sistemas de Projecção Sistema de Projecção Central ou Cónica A classificação dos Sistemas de Projecção tem por base a distância do plano de projecção ao Centro de Projecção. No sistema de projecção central ou cónica, considera-se que a distância do Centro de Projecção ao plano de projecção é finita. O quadrado? ABCD? da figura anterior foi projectado de acordo com este sistema: as projectantes AA', BB', etc. são concorrentes em O, que se encontra a uma distância finita de?. Este sistema é o que mais se assemelha ao da visão humana. É o processo dominante em técnicas de pintura, na fotografia e no cinema. -4-

251 Sistema de Projecção Paralela ou Cilíndrica No sistema de projecção paralela ou cilíndrica, considera-se que o Centro de Projecção está a uma distância infinita do plano de projecção. Consequentemente, as projectantes são paralelas entre si (intersectando-se no infinito). A figura seguinte mostra o quadrado? ABCD? projectado deste modo: as projectantes AA', BB', etc. são rectas paralelas. Fig.03-5-

252 Sistema de Projecção Paralela Ortogonal / Oblíqua A projecção paralela pode ser ortogonal ou oblíqua. No primeiro caso, as projectantes são perpendiculares ao plano de projecção e, no segundo, são-lhe oblíquas. O triângulo da figura abaixo foi projectado, à esquerda, segundo o sistema de projecção paralela oblíqua e, à direita, segundo o sistema de projecção paralela ortogonal. Fig.04 A projecção paralela ortogonal á a mais utilizada em Desenho Técnico. As projecções obtidas através deste sistema representam em verdadeira grandeza as faces do objecto. Aplica-se, por exemplo, no Método da Dupla Projecção Ortogonal ou Método de Monge. Um exemplo de aplicação da projecção paralela oblíqua é a Teoria das Sombras, com a fonte luminosa a distância infinita. -6-

253 Método da Múltipla Projecção Ortogonal ou Método das Vistas Necessidade de Projecções Múltiplas Conhecer uma projecção de uma figura do espaço não é suficiente para a sua completa definição. Um exemplo desta insuficiência é o da figura abaixo, em que diferentes figuras do espaço - figuras A, B, e C - têm a mesma projecção num plano. Fig.05 Utilizando dois planos de projecção (e dois Centros de Projecção), ou seja, adoptando o método da dupla projecção ortogonal, obtém-se um conhecimento mais aprofundado das figuras do espaço projectadas. No caso do exemplo, esse conhecimento ainda não é o suficiente. De facto, a utilização de duas projecções revela-se insuficiente por não permitir distinguir as figuras B e C. As figuras A,B e C da figura só ficam completamente definidas se se utilizarem três planos de projecção. -7-

254 Fig.06 Se, em vez de formas paralelepipédicas simples, se pretender projectar uma forma mais complexa, é necessário recorrer a mais planos de projecção, até um máximo de seis. Chama-se Método das Vistas ao método da múltipla projecção ortogonal na sua forma mais exaustiva, em que se obtêm seis projecções ortogonais - ou vistas - de um dado objecto do espaço. A figura seguinte exemplifica a utilização deste método, na representação de um dado, em que são necessários seis planos de projecção, por as suas faces serem distintas entre si. -8-

255 Fig.07-9-

256 Designação das Vistas As normas NP e ISO 128 estabelecem os princípios de representação de um objecto por meio do Método das Vistas. Segundo a norma, as seis projecções ortogonais ou vistas de um dado objecto, obtidas através do Método das Vistas, classificamse, segundo a posição do Centro de Projecção, da seguinte forma: Designação da Vista Descrição Exemplo da Figura Alçado de frente ou principal Vista frontal Vista segundo A Planta Vista superior Vista segundo B Alçado lateral esquerdo Vista da esquerda Vista segundo C Alçado lateral direito Vista da direita Vista segundo D Vista por debaixo Vista inferior Vista segundo E Alçado posterior ou vista por detrás Vista posterior Vista segundo F Fig

257 Posições Relativas das Vistas Cubo Envolvente Considere-se novamente o exemplo da projecção múltipla de um dado. Fig.09 O dado projecta-se em seis planos ortogonais, paralelos dois a dois, que constituem um cubo, designado geralmente por cubo envolvente. -11-

258 A representação das seis projecções no plano do desenho é conseguida através da planificação desse cubo. Fig.10 Não existe uma forma única de projectar o dado nos planos das faces do cubo envolvente. Por esta razão, é possível obter diferentes disposições das vistas do objecto projectado. Convencionaram-se dois tipos de posições relativas das vistas obtidas no método de múltipla projecção ortogonal: o Método Europeu e o Método Americano. A disposição das vistas em cada um destes métodos encontra-se regulamentada nas normas NP-327 e ISO 128. Segundo a norma, ambos os métodos podem ser utilizados, mas recomenda-se a adopção do Método Europeu, "sempre que não existirem razões particulares que justifiquem a adopção do outro". Por esta razão, será este o método adoptado neste manual, excepto quando existir indicação em contrário. -12-

259 Método Europeu (Método do Primeiro Diedro ou Método E) Posição das Vistas Considere-se um objecto qualquer, do qual se pretende obter 6 projecções ortogonais. Como foi referido, considera-se que o objecto se encontra no interior de um cubo e utilizam-se para planos de projecção as faces desse cubo envolvente. No Método Europeu (ou Método do Primeiro Diedro ou Método E), cada vista resulta da projecção do objecto na face mais distante do cubo envolvente. Por outras palavras, neste método, considera-se que o plano de projecção fica para além do objecto em relação ao observador. A figura seguinte mostra uma peça tridimensional, projectada ortogonalmente em cada um dos planos correspondentes às faces do cubo. Fig.11 Esta peça foi projectada segundo o Método Europeu. Logo, o seu alçado principal (ou vista de frente) projecta-se na face posterior do cubo e a sua planta (ou vista de cima) na face inferior do mesmo. As restantes vistas posicionam-se nas restantes faces de forma análoga. Considerando principal a face posterior do cubo, que se encontra por detrás da peça, e rebatendo as restantes, obtém-se a planificação do mesmo, como exemplifica a figura. -13-

260 Fig.12 A posição relativa das vistas é a seguinte: Vista Posição relativamente ao alçado principal Nº da Vista na Figura Alçado de frente ou principal? 1 Planta Por baixo 2 Alçado lateral esquerdo À direita 3 Alçado lateral direito À esquerda 4 Vista por debaixo Por cima 5 Alçado posterior ou vista por detrás À direita 6 Em relação ao alçado posterior ou vista por detrás (vista nº 6 na figura), a norma refere que esta pode "ser disposta à direita ou à esquerda indiferentemente". No entanto, esta vista é geralmente colocada à direita do alçado lateral esquerdo. As vistas devem corresponder-se horizontal e verticalmente, apresentando-se alinhadas, dado que resultam de projecções em planos ortogonais, paralelos dois a dois. Deve deixar-se um espaço, geralmente de 25 mm, entre as vistas. Os seis quadrados da figura, correspondentes às faces do cubo envolvente, foram ali colocados para uma melhor compreensão do exemplo. Na prática, esses quadrados não se representam. -14-

261 A figura seguinte apresenta outro exemplo de representação de uma peça pelo Método Europeu. Fig.13 Pode ser útil, neste método, imaginar-se que o objecto rodou 90º, quando se pretende desenhar a vista contígua de uma vista já desenhada, como se este tombasse para a zona do papel onde se quer desenhar a vista. Fig

262 Símbolo O símbolo representativo do Método Europeu é o indicado na figura. Fig.15 Este símbolo representa duas vistas de um tronco de cone, obtidas segundo o Método Europeu (Método do Primeiro Diedro ou Método E). Pode ser colocado na legenda do desenho ou perto dela. -16-

263 Simetria das Vistas Alternadas Verifica-se, na disposição das vistas de uma qualquer peça (obtidas quer pelo Método Europeu quer pelo Americano), existir simetria entre os contornos de duas vistas alternadas, podendo variar as linhas interiores de contínuo para interrompido ou viceversa. Assim:?? o alçado de frente ou principal é simétrico ao alçado posterior,?? a planta é simétrica à vista por debaixo, e?? o alçado lateral esquerdo é simétrico ao alçado lateral direito. Fig

264 Método Americano (Método do Terceiro Diedro ou Método A) O Método Europeu é o método corrente nos países da Europa. O outro método normalizado, usado em alguns países anglo-saxões, é o Método Americano, ou Método do Terceiro Diedro ou Método A. No Método Americano, considera-se que o plano de projecção se situa entre o observador e a peça. Consequentemente, cada face da peça projecta-se na face mais próxima do cubo envolvente. A figura seguinte mostra uma peça projectada segundo o Método Americano. Fig.17 Ao contrário do Método Europeu, neste método, o alçado principal (vista de frente) projecta-se na face anterior do cubo, e a planta (vista de cima) na face superior do mesmo. As restantes vistas posicionam-se, de forma análoga, nas restantes faces do cubo. A planificação do cubo efectua-se mantendo fixa a face anterior do cubo (no Método Europeu era a face posterior) e rebatendo as restantes, como exemplifica a figura. -18-

265 Fig.18 A posição relativa das vistas é a seguinte: Vista Posição relativamente ao alçado principal Nºda Vista na Figura Alçado de frente ou principal? 1 Planta Por cima 2 Alçado lateral direito À direita 3 Alçado lateral esquerdo À esquerda 4 Vista por debaixo Por baixo 5 Alçado posterior ou vista por detrás À direita 6 De acordo com a norma, a vista por detrás pode ser indiferentemente colocada à direita do alçado lateral direito (opção mais usual) ou à esquerda do alçado lateral esquerdo. A figura seguinte representa o símbolo deste método. Fig

266 Utilização de Setas Referenciadas Quando se pretende, na representação de um objecto, utilizar vistas diferentes das que se utilizam nos Métodos Europeu ou Americano, indica-se a direcção de observação dessas vistas através de setas. Junto a cada seta coloca-se uma letra maiúscula, que a referencia. As vistas são, necessariamente, acompanhadas pela letra que se escolheu para referenciar a seta respectiva e podem ser colocadas em qualquer posição relativamente à vista principal. A próxima figura mostra um exemplo de utilização de setas referenciadas. Fig

267 Escolha das Vistas Escolha do Alçado Principal Numa projecção, a disposição das vistas depende da forma como a peça é colocada perante o observador. A norma estabelece que "o alçado principal representa geralmente a peça na sua posição de serviço". Ou seja, representa a peça na posição em que esta se encontra quando desempenha a sua função. Fig.21 Depois de identificada a posição de serviço da peça, deve imaginar-se a sua rotação nessa mesma posição, segundo um eixo vertical, até se encontar a vista mais esclarecedora. Esta vista deve ser adoptada para alçado principal, uma vez que representa a peça na sua posição de serviço e, para além disso, fornece o máximo de informação sobre a mesma. -21-

268 A figura abaixo representa um outro objecto na sua posição de fabrico. Fig.22 O alçado principal deverá ser o indicado pela seta 1, e não o da seta 2, uma vez que é o que melhor define a sua configuração geral. Fig.23 Se se escolhesse para alçado principal o indicado pela seta 2, as projecções da figura não seriam suficientes para representar a peça. Seria necessário conhecer também um dos alçados laterais, pelo que se perderia em simplicidade e em economia de recursos. De facto, as duas projecções da figura acima, respeitantes à seta 2, podem representar igualmente a peça da figura abaixo, originando uma situação de ambiguidade, inadmissível em Desenho Técnico. -22-

269 Fig.24 Segundo a norma, "as peças utilizáveis em qualquer posição tais como parafusos, veios, etc., são geralmente representadas na sua posição principal de fabrico". No entanto, se estas peças se representarem em desenhos de conjunto com outras peças, devem ser desenhadas na posição de serviço que ocupam nesse conjunto. Vistas Necessárias Geralmente, não são necessárias seis vistas para representar uma peça. Com efeito, a simetria que se verifica entre as vistas, duas a duas, leva a que algumas delas sejam dispensáveis por não acrescentarem informação útil para a compreensão do objecto projectado. Na maioria dos casos, três vistas convenientemente escolhidas são suficientes para definir uma peça. Uma opção que muitas vezes se revela eficaz, é a que inclui o alçado principal, a planta e o alçado lateral esquerdo. -23-

270 A figura seguinte mostra uma peça e a sua representação no plano do desenho. Esta peça ficou perfeitamente definida pelas três vistas referidas. Fig.25 Fig 25 a -24-

271 Apenas como curiosidade, apresenta-se de seguida a mesma peça, projectada segundo o Método Americano. As vistas escolhidas foram o alçado principal, a planta e, desta vez, o alçado lateral direito. Fig.26 Fig 26 a -25-

272 Alguns objectos, devido à sua simplicidade, podem ser definidos apenas por duas vistas. É o caso de peças com um eixo de simetria, como a representada na figura seguinte. Esta peça encontra-se definida pelo alçado principal e planta. Fig.27 A peça da figura abaixo é outro exemplo. Apesar de não ter eixo de simetria, pode ser representada através de duas projecções apenas, desde que escolhidas adequadamente. Fig.28 Se em vez do par alçado principal / alçado lateral tivesse sido escolhido o alçado principal / planta, a peça estaria incorrectamente representada: este par de projecções corresponde à peça em L da próxima figura. Fig

273 Em suma, não existe uma regra rígida que fixe o número mínimo de vistas a utilizar numa projecção. Cada caso deve ser analisado, identificando-se as vistas que, para além do alçado principal, devem também ser representadas, de forma a definir a peça sem ambiguidade. Por outras palavras, a leitura das projecções de uma peça não pode conduzir a interpretações diferentes daquela que corresponde ao objecto desenhado. -27-

274 Outras Vistas Vistas Deslocadas Por vezes, pode ser conveniente apresentar uma ou mais vistas deslocadas das posições indicadas pelos métodos normalizados. Tal conveniência pode resultar de, por exemplo, falta de espaço na folha de desenho. Fig.30 Quando, excepcionalmente, se optar pela utilização de vistas deslocadas, estas devem ser identificadas através de setas referenciadas. -28-

275 Vista Parcial Por vezes, não é necessário representar completamente uma vista, por se verificar que determinada parte da mesma - determinada vista parcial - é suficiente para transmitir a informação pretendida. Peças Simétricas A NP-671, complementar da já referida NP-327, refere que "para aproveitar tempo e espaço, as peças simétricas podem ser representadas por uma fracção da vista completa." Assim, se uma vista tiver um eixo de simetria, é possível desenhar apenas metade, já que a parte suprimida é simétrica da representada, não acrescentando informação ao desenho. É este o caso da figura. Fig.31 Se a vista possuir dois eixos de simetria ortogonais, é possível representar apenas um quadrante, como no caso da vista representada na próxima figura. -29-

276 Fig.32 Detalhes Existem peças que, embora simples, apresentam pequenos detalhes que tornam necessária a utilização de mais do que uma vista para a sua completa definição. Nestes casos é útil optar pela utilização de vistas parciais, representando apenas o pormenor a esclarecer. A figura mostra uma peça cuja planta parcial esclarece a forma da base. Fig.33 À linha ondulada, desenhada desta forma para não ser confundida com uma das arestas do objecto, dá-se o nome de linha de fractura. Esta linha pode ser ligeiramente sinuosa ou recta com zigzag. -30-

277 Detalhes em Escala de Ampliação Por vezes, utilizam-se vistas parciais ampliadas para acrescentar informação sobre partes pouco claras do desenho. O detalhe ampliado deve ser identificado através de uma seta referenciada. A zona que contém o detalhe deve ser envolvida por uma circunferência, tal como indica a figura. Fig.34 Vista Interrompida De acordo com a NP-671, "para aproveitar espaço, podem representar-se, numa peça comprida, apenas as zonas suficientes para defini-la". Assim, se uma peça comprida apresentar as mesmas características em toda a sua extensão, pode-se reduzir o comprimento de uma ou mais vistas, desenhando apenas as partes inicial e final das mesmas, como no exemplo da figura. Fig.35 As partes da vista interrompida que são representadas são limitadas por linhas de fractura. -31-

278 Note-se ainda que, ao representar objectos com uma superfície inclinada, as duas partes separadas pela linha de fractura não podem apresentar-se no prolongamento uma da outra. Tal equivaleria a omitir apenas uma porção da peça, e não a reduzirlhe o comprimento, como pretendido. A figura abaixo mostra uma vista que foi incorrectamente interrompida. Fig.36 Vistas Auxiliares Uma face plana só é projectada ortogonalmente em verdadeira grandeza se o plano de projecção lhe for paralelo. Logo, quando uma peça possui uma face inclinada em relação a um dos planos de projecção, essa face não se projectará em verdadeira grandeza nesse plano. Observe-se a peça da figura e respectivas projecções. Fig

279 A planta e o alçado lateral representam a parte inclinada da peça com deformações: os comprimentos não estão em verdadeira grandeza e os contornos cilíndricos projectaram-se segundo elipses. Estas projecções, para além de serem de traçado difícil, não esclarecem convenientemente as características da peça projectada. Em situações deste tipo, e para contornar esta dificuldade, considera-se um plano de projecção auxiliar, sobre o qual se obtêm vistas auxiliares. -33-

280 O plano de projecção auxiliar a considerar deve ser paralelo à face inclinada e perpendicular ao plano de projecção principal, como mostra a figura. Fig.38 A projecção obtida no plano auxiliar é, de seguida, rebatida sobre o plano a que é perpendicular. A peça do exemplo projecta-se nos planos considerados da seguinte forma: Fig.39 Como se observa, a planta esclarece sobre a forma da base mas apresenta deformada a aba inclinada. Inversamente, a vista auxiliar esclarece a forma real da aba mas apresenta deformada a base da peça. -34-

281 Por esta razão, é usual apresentar vistas parciais, representando apenas as partes da peça projectadas em verdadeira grandeza, como se exemplifica na figura. Fig.40 Quando a direcção de observação da vista auxiliar não é evidente, indica-se a mesma através de uma seta referenciada. A figura seguinte exemplifica a utilização destas setas, referenciando vistas auxiliares. Fig

282 Convenções de Utilização Geral A NP-671 estabelece "algumas convenções de utilização geral, para maior clareza ou simplificação da representação no desenho." A utilização destas convenções simplifica os desenhos, uma vez que, fornecendo informações complementares acerca de características das peças, dispensa a representação de certas vistas ou partes de vistas. Peças Contíguas Quando for necessário representar peças contíguas, adjacentes ao objecto principal representado, deve utilizar-se um traço fino contínuo. Segundo a norma, "a peça contígua nunca deve esconder a peça principal, mas pode ser escondida por esta". Fig

283 Intersecções Muitas vezes, a intersecção das superfícies de uma peça faz-se, não segundo uma aresta viva, mas através de concordâncias de pequeno raio. Em rigor, estas zonas de concordância não deveriam ser representadas, dado que não são arestas. No entanto, a fim de facilitar a compreensão da peça, convencionou-se representá-las. Estas arestas fictícias devem ser traçadas "a traço contínuo fino, sem atingir a aresta." A figura mostra uma cruzeta com arestas fictícias, representadas na zona de intersecção das tubagens. Fig.43 Representação de Faces Planas Para indicar a forma plana de uma superfície de uma peça, sem necessitar de vistas adicionais, "podem traçar-se as diagonais dessa face a traço contínuo fino." Fig

284 Peças Repetidas Quando se pretende desenhar peças repetidas, pode desenhar-se uma delas completamente e representar as restantes, "desenhando apenas o contorno exterior". A figura exemplifica esta convenção: os desenhos contêm exactamente a mesma informação. O da direita, no entanto, apresenta vantagens óbvias de maior facilidade e rapidez de traçado. Fig

285 Peças com furos repetidos e equidistantes A figura seguinte mostra uma peça com furos iguais e equidistantes. Fig.46 A mesma peça pode representar-se mais simplificadamente. De facto, a norma estabelece que, nestes casos, "podem representar-se apenas um ou dois furos", indicando a posição dos centros dos restantes, como se pode observar na figura abaixo. Fig

286 Representações simbólicas Em Desenho Técnico, é usual representar elementos variados através de símbolos normalizados. Elementos como parafusos, rebites, soldaduras, canalizações e aparelhos eléctricos são representados convencionalmente através dos símbolos respectivos, facilitando a execução e leitura dos desenhos. A figura seguinte mostra duas representações de uma mesma canalização: a real e a simbólica. Esta última é simultaneamente mais simples e mais elucidativa, desde que o significado dos símbolos seja conhecido. Fig

287 Participaram neste trabalho os formadores abaixo referidos que cederam os respectivos direitos de propriedade e autoria: João Gonçalves Baptista Cabarrão Jorge Monteiro Sofia Silva Vítor Monteiro António Mota Vítor Capote David Cabarrão -41-

288 Manual n.º 8 Cortes e Secções - Técnica de Representação de Cortes de Sólidos Esta Publicação é propriedade do GICEA, Gabinete de Gestão de iniciativas comunitárias. Este produto é protegido pelas leis em vigor e copyright, estando reservados todos os seus direitos. Não pode ser reproduzido nem transcrito por qualquer processo seja ele qual for sem autorização dos titulares do direito. Os infractores são passíveis de procedimento judicial.

289 FICHA DE PLANIFICAÇÃO MODULAR Sub-Projecto : Módulo nº. : 8 Designação : 11 - Desenho Técnico Cortes e Secções Curso : Horas prevista : 20 OBJECTIVOS 1. Técnica da representação de cortes de sólidos. 2. Conhecer o conceito, princípios e normas referentes aos cortes e secções de peças. 3. Conhecer a metodologia para a representação simbólica dos cortes. 4. Compreender a diferença entre corte e secção. 5. Aplicar os conceitos e princípios representando cortes e secções de peças de forma conveniente. CONTEÚDOS 1. Definição de corte. 2. Representação de corte. 3. Tipos de cortes. 4. Elementos de peças e zonas que não se cortam. 5. Definição de secção. 6. Representação de secção. 7. Tipos de secção. 8. Elementos de secções. ACTIVIDADES Exercícios de aplicação sobre cortes e secções, baseados nas normas e conceitos enumerados, contemplando situações características utilizando a representação simbólica normalizada. Análise dos trabalhos realizados. Dados referentes à participação. AVALIAÇÃO MATERIAIS / RECURSOS Sala de desenho com equipamento tradicional a definir no módulo 4. Retro-projector. PUBLICO ALVO Formadores da área Do Desenho Técnico Clerici, Carlo Dibujo Industrial Ediciones Tecnicas Rede Morais, Simões Desenho de Construções Mecânicas Porto Editora Cunha, L. Veiga da Desenho Técnico Fundação Calouste Gulbenkian Ornelas Alberto, Ribeiro José e Costa e Silva Manuel Desenho Técnico Edições Asa Data BIBLIOGRAFIA O Formador -ii-

290 Índice Introdução... 2 Cortes e Secções... 3 Definição de corte:... 3 Planos de Corte... 5 Corte Total por um só Plano Secante... 6 Vista de frente em corte... 6 Vista da esquerda em corte... 7 Vista de cima em corte... 7 Cortes Parciais... 9 Meio Corte... 9 Corte Simples... 9 Corte em Linha Quebrada por Planos Paralelos...10 Corte em Linha Quebrada por Planos Convergentes...10 Corte Local...11 Cortes por Planos Paralelos...13 Cortes por Vários Planos Concorrentes...14 Cortes por Planos Sucessivos...15 Meia Vista e Corte...16 Vistas e Cortes Auxiliar...16 Elementos que não se cortam...17 Elementos aquem do Plano de Corte...18 Faces coincidentes com o Plano de Corte...19 Erros mais frequentes...19 Exemplos de cortes...20 Secções em Desenho Técnico...21 Secção de Corte Rebatida no Local...22 Secção de Corte Rebatida Deslocada...24 Tracejados...25 Forma dos Tracejados...25 Traçado de Tracejados...26 Exercícios...30 Exercício N.º Exercício N.º Exercício N.º Exercício N.º Exercício N.º Exercício N.º

291 Introdução A utilização dos cortes é aplicada quando a peça a desenhar apresenta partes ocultas, tornando difícil a interpretação clara do desenho. A técnica de representação em corte, apresenta-se como solução técnica adequada, sobretudo nos desenhos de conjunto tendo como objectivo a representação da totalidade a peça cortada ou representação de um detalhe em corte. -2-

292 Cortes e Secções Definição de corte: Os objectos com cavidades interiores têm projecções nas quais se incluem linhas a tracejado de modo a que fiquem representados todos os detalhes (contornos e arestas) não visíveis. Este facto, acrescenta dificuldades na interpretação e leitura do desenho técnico. Um corte representa a secção e a parte do objecto situada para lá do plano do corte (Plano secante) A-A' A A' Fig01-3-

293 Para facilitar a leitura do desenho técnico de peças com cavidades, utiliza-se o corte. Imaginamos que se suprime a parte anterior do objecto que seccionamos por um plano (plano de corte ou plano secante), paralelo ao plano de projecção. Fig02 Fazemos de seguida a projecção da parte do objecto que ficou. Fig03-4-

294 Finalmente tracejamos as superfícies «cortadas». Esta projecção designada por vista cortada ou simplesmente corte ocupa a posição como de uma vista normal. Fig04 O corte é portanto, uma representação convencional em que se supõe que a peça é seccionada, é retirada a sua parte anterior, e é projectada a parte que fica entre o plano secante e o plano de projecção. Planos de Corte Em peças mais complexas, o plano de corte não terá de passar necessariamente pelo eixo do oco, que pode mesmo não existir. Nestes casos teremos de usar um ou vários planos de corte paralelos ou concorrentes. -5-

295 Corte Total por um só Plano Secante As figuras seguintes mostram de novo como efectuar o corte de uma peça diferente. Neste caso como a peça tem vários ocos alinhados é suficiente um só plano de corte para esclarecer claramente a forma da peça. Vista de frente em corte Fig. 05 Fig. 06 Fig

296 Vista da esquerda em corte Fig. 08 Fig. 09 Vista de cima em corte Fig. 11 Fig

297 A posição do plano de corte e do sentido de observação do operador são assinalados nas figuras 12 ou 12 a, do seguinte modo:?? uma linha de traço misto fino com as extremidades fora do contorno exterior da vista a traço grosso. Esta linha representa a intercepção do plano de corte com o plano em que está projectada a vista de referência?? setas apoiadas no traço grosso, junto das quais escrevemos duas letras maiúsculas iguais. Estas indicações são localizadas entre o plano de corte e o observador (desenhador). Na projecção indicativa do corte escreve-se por exemplo A-A?? As letras devem ficar sempre na fila vertical;?? As setas são a traço grosso Fig. 12 Ou Fig. 12 a -8-

298 Cortes Parciais Quando as peças são simétricas não é necessário nem conveniente (por facilidade de leitura e de interpretação) haver repetição das indicações de corte. Nestes casos reduzse o corte a parte da peça que se considere suficiente. Podemos nestes casos ter: Meio Corte A representação por meio corte, figura 13, tem a vantagem de permitir interpretação clara do exterior e interior da peça figura14. Fig. 13 Fig. 14 As arestas e contornos escondidos não são representados, pois tornam-se evidentes apartir da meia vista (ou exteriores) e do meio corte (os interiores). O meio corte deve situar-se, de preferência, à direita ou em baixo. O meio corte é limitado pela linha mista representativa do eixo ou plano de simetria da peça. Corte Simples A figura 15 representa o modo como dispor e desenhar o corte como uma vista normal, com tracejado na secção. A designação do corte é feita com as mesmas letras utilizadas para indicar o plano secante. A-A A A Fig15-9-

299 Corte em Linha Quebrada por Planos Paralelos Trata-se de representar na realidade vários cortes simples parciais, deslocados por translação com o objectivo de obter um corte completo da peça. Os planos do cortes A fig 16 Corte em Linha Quebrada por Planos Convergentes Neste caso um dos planos é rebatido sobre o plano de projecção. A A-A A Fig17-10-

300 Corte Local Por vezes basta mostrar o interior de uma pequena zona da peça para que fique devidamente indicado a sua forma. O corte local é feito com base numa projecção normal, em que numa zona da peça é retirado uma porção que permita identificar o detalhe que se pretende esclarecer. Fig18 Fig. 18 a O corte local é uma boa solução para peças predominantemente maciças com pequenos ocos, ou para peças simétricas. Fig. 19 Fig. 19 a Os cortes locais são usados com muita frequência em desenhos técnicos. A figura 19 mostra uma peça com duas vistas de projecção onde são indicados vários cortes parciais. -11-

301 As figuras 20, 20 a e 20 b mostram modos diferentes de representar peças com cortes locais. Fig 20 Fig 20 a Fig. 20 b -12-

302 Cortes por Planos Paralelos Quando um objecto tem cavidade interiores que um só plano secante não pode mostrar, podemos usar dois ou mais planos de corte paralelos ao plano de projecção Fig. 21 Fig21 a A figura 22 exemplifica o modo de representar o corte utilizando dois planos paralelos auxiliares. Fig22-13-

303 Na figura 23 temos uma peça em que a solução de corte por dois planos paralelos identifica claramente os ocos e formas interiores. Fig23 Cortes por Vários Planos Concorrentes Há peças com ocos radiais como exemplo a peça da figura 24, em que é necessário utilizar um plano secante principal e dois planos concorrentes no eixo principal. Fig24 Fig. 24 a -14-

304 Cortes por Planos Sucessivos As peças com formas sinuosas podem ser cortadas por vários planos secantes que acompanham a forma dos seus elementos Fig. 25 Fig

305 Meia Vista e Corte Na figura 27, temos a peça representada pela vista de frente em corte e pela meia vista superior em planta. Fig. 27 Vistas e Cortes Auxiliar Em alguns casos, como os exemplo das figura 28, 29 e 30 a vista auxiliar pode ser uma vista auxiliar em corte. Fig. 28 Fig. 29 Fig

306 Elementos que não se cortam Nos cortes de certas peças não são representadas em corte:?? os traços dos tambores ou dos volantes figura 31 e 32?? as nervudas de reforço figura 33?? os dentes das rodas dentadas?? A orelha de peças compostas figura 34 e 35?? Longitudinalmente os veios, chavetas, parafusos figura 34, 35 e 36 Fig 31 Fig 32 Fig 33 Fig 33 a Fig

307 Fig. 35 Fig. 36 Elementos aquém do Plano de Corte Quando numa peça há elementos anteriores ao plano de corte que convém representar, esse elemento é representado a traço misto. Fig37-18-

308 Faces coincidentes com o Plano de Corte Quando o plano de corte contêm um plano da peça, procedese como se o plano fosse o anterior a essa face. Fig38 Observações: Em todos os casos considerados antes, o corte do elemento considerado não é representado quando o plano secante é longitudinal. Quando o plano secante é transversal, esses elementos são representados em corte. Os cortes só são usados quando permitem clarificar a leitura do desenho. De um modo geral, se um plano secante escolhido como mais conveniente para uma peça, corta uma grande zona maciça ou um furo com eixo perpendicular a esse plano secante, devemos limitar o corte (fazendo um corte parcial) à parte da peça em que o corte é realmente necessário. Erros mais frequentes Fig

309 Exemplos de cortes Fig

310 Secções em Desenho Técnico Às superfícies que imaginamos cortadas, resultantes da intersecção de uma peça ou outro qualquer objecto por um plano secante, chamamos SECÇÕES EM CORTE. As secções em corte são representadas a tracejado e sempre a traço continuo. A secções de corte são utilizadas para definir a forma detalhada de certas zonas das peças, como:?? perfis metálicos?? nervuras?? outros detalhes considerados necessários Como as secções de corte são desenhadas no próprio plano de projecção considerado e o plano secante é ortogonal com esse plano de projecção, temos de rebater o plano secante. Daqui resulta: -21-

311 Secção de Corte Rebatida no Local A secção de corte pode ser rebatida em torno de um eixo contido nessa secção, ficando localizada na própria vista Fig. 41 Fig. 41 a -22-

312 A secção rebatida no local é totalmente desenhada com traço contínuo fino, e é usada para esclarecer as partes das peças que não são cortadas (nervuras, raios de volante, etc.) e de um modo geral para mostrar as secções de peças longas (perfilados, tubos, etc.) Fig. 42 Fig

313 Secção de Corte Rebatida Deslocada Em determinadas peças torna-se necessário representar as várias secções ou desenvolvimento da secção ao longo da vista considerada. Neste caso, as secções de corte são desenhadas fora da vista considerada, ocupando na folha de desenho uma posição que facilite a colocação de cotas. Os planos secantes são identificados por letras maiúsculas e as respectivas secções de corte são identificadas respectivamente pelas mesmas letras. Fig 44 Fig

314 Tracejados As superfícies que representam as partes da peça seccionadas, devem de ser identificadas a tracejado, o que permite rápida leitura e interpretação do desenho. Forma dos Tracejados Os tracejados devem de ser realizados, normalmente, com linha paralelas a traço contínuo fino, com espaço regular e com inclinação de 45º relativamente aos eixos ou às linhas principais do contorno a tracejar. Fig. 46 Fig. 47 Um tracejado com intervalos irregulares prejudica uma leitura fácil do desenho. O intervalo entre as linha paralelas de um tracejado, deve de ser escolhido de acordo com a dimensão da superfície a tracejar, sendo usual:?? para pequenas superfícies, intervalos com cerca de 1,5mm.?? para grandes superfícies, intervalos com cerca de 3mm. Em qualquer dos casos, os intervalos entre linhas de um tracejado, não devem de ser inferiores a 1mm nem superiores a 5mm. -25-

315 Quando as superfícies a tracejar são bastante grandes, tracejado pode ser localizado junto dos seus contornos (Figura 48) Fig. 48 quando as superfícies a tracejar são muito estreitas, tracejado é substituído por traço cheio (Figura 49) Fig. 49 Traçado de Tracejados Com auxilio de estirador, ou prancha de desenho, a utilização de um esquadro a 45º (previamente preparado, como mostra a figura 50) permite traçar uma primeira linha, correndo o esquadro da direita para a esquerda. Fig

316 Em desenhos de maior importância podem ser usadas tramas recortadas pelos contornos da secção. Deve-se ter em atenção que: as linhas de um tracejado nunca devem interceptar linhas a traço contínuo grosso (que representam arestas ou contornos à vista) As linhas de um tracejado, nunca começam ou acabam em linhas de traço interrompido fino ( que representam arestas ou contornos encobertos) As linhas de um tracejado podem ser interrompidas quando se pretende assinalar um número de cota (Figura 51) o que deve de ser evitado sempre que tal seja possível. Fig. 51 As superfícies separadas resultantes de um mesmo plano de corte de uma peça, deveram ter tracejados iguais (figura 52) Fig

317 Nos cortes de conjuntos de peças, as superfícies a tracejar deveram ter tracejados diferenciados, quer na orientação quer no intervalo entre linhas (figura 53) Fig. 53 Em conjunto de peças constituído por peças de pequenas espessuras, em vez do tracejado das secções, usasse o traço forte, ficando as peças contíguas separadas por um pequeno intervalo (figura 54). Fig. 54 Nos conjuntos em que as peças são constituídas por diferentes naturezas de materiais, devem de ser usados tracejados específicos a que se refere a NP 167 ISO???? (figura 55). Fig

318 Como exemplo de aplicação temos a figura 56. Fig

319 Exercícios Exercício N.º. 01 Considerando a peça referência 01, represente as suas projecções utilizando o corte necessário. Ref.01 Exercício N.º. 02 Considerando a peça referência 02, represente as suas projecções utilizando o corte necessário. Ref

320 Exercício N.º. 03 Considerando a peça referência 03, represente as suas projecções utilizando o corte necessário. Ref.03 Exercício N.º. 04 Considerando a peça referência 04, represente as suas projecções utilizando o corte necessário. Ref

321 Exercício N.º. 05 Considerando a peça referência 05, represente as suas projecções utilizando o corte necessário. Ref.05 Exercício N.º. 06 Considerando a peça referência 06, represente as suas projecções utilizando o corte necessário. Ref.06 Normas de referência ISO 128 NP 328 Cortes e secções NP 167 Tracejado de materiais em corte -32-