INTERSECÇÕES. Sumário:

Transcrição

1 5 INTERSECÇÕES O estudo das Intersecções é de grande importância para o aprofundamento dos capítulos anteriores. Além disso, os assuntos aqui tratados surgem também aplicados aos capítulos que se seguem a este. Este capítulo engloba intersecções de planos com planos e de rectas com planos. Sumário: 2. Intersecção de planos projectantes do mesmo género 3. Intersecção de planos projectantes de género contrário 4. Intersecção do plano oblíquo com planos projectantes 5. Intersecção do plano oblíquo com o plano de rampa 6. Intersecção entre planos oblíquos 7. Intersecção do plano de rampa com planos projectantes 8. Intersecção entre planos de rampa 9. Intersecção do plano passante com planos projectantes 10. Intersecção do plano passante com planos não projectantes 11. Intersecções que envolvem planos perpendiculares ao β 2/4 12. Intersecção de planos cujos traços se cruzam apenas num ponto 13. Intersecção de planos cujos traços se cruzam ambos fora do papel 14 e 15. Intersecção entre três planos 16. Intersecção entre rectas e planos projectantes 17. Intersecção entre uma recta e um plano oblíquo 18. Intersecção entre uma recta e um plano de rampa 19 e 20. Intersecção da recta de perfil com planos diversos 21 e 22. Intersecção entre uma recta e um plano definido por rectas 23. Intersecção da recta de perfil com planos definidos por rectas 24. Intersecção de planos projectantes com planos definidos por rectas 25. Intersecção do plano oblíquo com planos definidos por rectas 26. Intersecção do plano de rampa com planos definidos por rectas 27, 28 e 29. Intersecção entre planos definidos por rectas 30, 31, 32 e 33. Eercícios Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 1

2 Intersecção de planos projectantes do mesmo género Mostra-se aqui a intersecção entre planos projectantes horizontais e entre planos projectantes frontais, de onde resulta uma recta projectante do mesmo género. fθ fω hω hβ ( ) ( ) (hδ) ( ) hθ Intersecção entre planos projectantes horizontais Quando se intersectam dois planos projectantes horizontais resulta uma recta projectante horizontal, ou seja, uma recta vertical. Neste grupo integra-se também o plano de perfil e o plano frontal, que não surgem no traçado. fρ hβ (fθ) fψ ( ) ( ) fσ ( ) hψ hρ hσ Intersecção entre planos projectantes frontais Quando se intersectam dois planos projectantes frontais resulta uma recta projectante frontal, ou seja, uma recta de topo. Neste grupo integra-se ainda o plano de perfil e o plano horizontal, que não surgem no traçado. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 2

3 Intersecção de planos projectantes de género contrário Aqui mostra-se a intersecção entre planos projectantes de género oposto, ou seja, de um plano projectante horizontal com outro projectante frontal. (fθ) fσ hβ (hδ) hσ fρ fω () hω () hρ Intersecção entre planos projectantes de género contrário Quando se intersectam dois planos projectantes de género contrário acontece que as projecções da recta de intersecção vão coincidir com os traços sobre os quais os planos são projectantes. Apresentam-se aqui os traços das rectas mas pode-se prescindir deles. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 3

4 Intersecção do plano oblíquo com planos projectantes Veremos aqui as várias hipóteses de conjugar o plano oblíquo com os planos projectantes, e que tipo de rectas daí resultam. // (fδ) (hβ) // Intersecção do plano oblíquo com os planos frontal, horizontal e de perfil Da intersecção de um plano oblíquo com um plano frontal resulta uma recta frontal, com um plano horizontal resulta uma recta horizontal, ambas paralelas ao traço homónimo do plano oblíquo. Da intersecção do plano oblíquo com o plano de perfil resulta uma recta de perfil. fθ // // fρ fθ Intersecção do plano oblíquo com o plano de topo hρ A intersecção entre estes dois planos pode dar origem a duas situações diferentes. Quando ambos os traços se cruzam resulta uma recta oblíqua; quando os traços frontais são paralelos resulta uma recta frontal. hθ fω hσ fσ Intersecção do plano oblíquo com o plano vertical A intersecção entre estes dois planos pode dar origem a duas situações diferentes. Quando ambos os traços se cruzam resulta uma recta oblíqua; quando os traços horizontais são paralelos resulta uma recta horizontal. hω hσ // // Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 4

5 Intersecção do plano oblíquo com o plano de rampa Mostra-se aqui a intersecção entre um plano oblíquo e um plano de rampa, o que pode dar origem a dois tipos de rectas. fω hω hβ Intersecção do plano oblíquo com o plano de rampa, resultando uma recta oblíqua Quando os traços da recta de intersecção têm diferentes abcissas, essa recta será oblíqua. Mostram-se dois eemplos dessa situação. fρ fδ hρ hθ fθ hδ Intersecção do plano oblíquo com o plano de rampa, resultando uma recta de perfil Quando os traços da recta de intersecção têm abcissas iguais, essa recta será de perfil. Mostram-se dois eemplos dessa situação. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 5

6 Intersecção entre planos oblíquos A intersecção entre dois planos oblíquos apresenta quatro possibilidades, cada uma correspondendo a um tipo de recta das que o plano pode conter. fδ hβ hδ Intersecção entre dois planos oblíquos, resultando rectas com dois traços Os traços dos planos oblíquos podem cruzar-se de modo a que os traços da recta de intersecção tenham abcissas diferentes ou iguais, dando origem a uma recta oblíqua ou de perfil, respectivamente. // // fθ fθ fω hθ hω // // hω Intersecção entre dois planos oblíquos, resultando rectas com um traço Se os traços frontais dos planos forem paralelos entre si resulta uma recta frontal paralela aos traços homónimos dos planos. Sendo paralelos os traços horizontais resulta uma recta horizontal paralela a esses traços. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 6

7 Intersecção do plano de rampa com planos projectantes Apresentam-se aqui intersecções entre um plano de rampa e cada um dos planos projectantes. fθ hρ fρ hθ hβ Intersecção do plano de rampa com os planos de topo, vertical e de perfil Para a determinação destas intersecções basta determinar os traços da recta de intersecção e uni-los. Devido ao facto de um dos planos ser projectante, eiste coincidência entre uma projecção da recta e um traço do plano, os dois no caso do plano de perfil. y z y z lδ L 2 L 3 (i 3 ) (fσ) lσ L 2 L 3 lα lα L 1 L 1 (hδ) Intersecção do plano de rampa com os planos frontal e horizontal Da intersecção do plano de rampa com os planos frontal e horizontal resulta uma recta fronto-horizontal. Para a determinar recorre-se aqui aos traços laterais dos planos, uma vez que o ponto onde se cruzam é o traço lateral da recta. Estes casos podem resolver-se recorrendo a um plano auiliar, como se mostra na página seguinte. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 7

8 Intersecções entre planos de rampa Da intersecção entre dois planos de rampa resulta uma recta fronto-horizontal. Como os traços do plano de rampa são paralelos não se consegue determinar directamente a recta de intersecção. Apresentam-se aqui três maneiras de resolver a mesma situação. y z lπ L 2 L 3 lα L 1 Intersecção entre planos de rampa, recorrendo aos traços laterais Os traços principais dos planos de rampa são paralelos, mas os seus traços laterais cruzam-se. O ponto desse cruzamento é o ponto L, traço lateral da recta de intersecção. fδ hδ p 2 p 1 p 2 p 1 hδ R a 2 F 2 F 2 b 2 H 2 F 1 fδ R F 1 H 2 I R F R F R p R H R hβ a 1 b 1 p R H 1 H 1 H R Intersecção entre planos de rampa, recorrendo a planos auiliares Utilizando um plano auiliar (aqui um vertical e um de perfil) cujos traços intersectem os dos planos de rampa, obtém-se também a recta de intersecção. Começa-se por determinar as rectas de intersecção desse plano com os de rampa (rectas a e b na primeira situação, rectas p e p na segunda). Pelo ponto I, onde essas rectas se cruzam, passa a recta de intersecção i. De notar que, na segunda situação, se rebateu o plano de perfil para se determinar esse ponto. Normalmente utilizam-se planos projectantes, mas também se poderia utilizar um plano oblíquo. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 8

9 Intersecção do plano passante com planos projectantes O plano passante é um plano de rampa com características específicas. O facto de esse plano se apresentar definido pelo eio e por um ponto ou uma recta faz com que trabalhar com ele obrigue a alguns procedimentos peculiares. fθ hθ i1 i2 P 2 a 2 F1 F2 H1 H2 F1 F2 H1 H2 A1 A2 P 1 hβ a 1 r 1 Intersecção do plano passante com os planos de topo, vertical e de perfil Na primeira situação coloca-se o ponto P, idêntico ao ponto P define o plano passante, no plano de topo; por esse ponto passa a recta i. Na segunda situação é a recta fronto-horizontal a que ajuda a definir o plano passante; da sua intersecção com o plano vertical resulta o ponto I, contido na recta i. Na terceira situação a recta oblíqua r, passante no ponto A, define o plano passante; ao cruzar-se com o plano de perfil temos o ponto I que, juntamente com os traços H e F, coincidentes, define a recta de intersecção, que é de perfil. Como se pode verificar, todas as rectas de intersecção destes casos são passantes. Um plano passante pode também estar definido por uma recta de perfil passante, situação essa que não se mostra aqui. y z y z lω P 3 P 3 lρ (fρ) lρ L 2 L 3 L 2 L 3 lπ hρ fρ (hω) L 1 L 1 Intersecção do plano passante com os planos horizontal e frontal Aqui optou-se por mostrar o plano passante definido por um ponto, que é P, e recorreu-se ao cruzamento dos traços laterais, onde se encontra o ponto L, traço lateral da recta de intersecção. Da intersecção destes planos resulta uma recta fronto-horizontal. Sendo o plano passante definido por uma recta pode-se escolher um ponto seu para determinar o traço lateral. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 9

10 Intersecção do plano passante com planos não projectantes Apresentam-se aqui dois eercícios, cada um resolvido por dois processos diferentes; uma vez recorrendo a um plano projectante, a outra utilizando os traços laterais dos planos. y z lπ (fδ) n 2 a 2 P 3 H1 H2 F1 F2 H1 H2 F1 F2 L 2 L 3 lα n 1 L 1 a 1 Intersecção do plano passante com o plano oblíquo À esquerda utiliza-se um plano auiliar horizontal que cruza os planos dados nas rectas a e n; onde essas rectas se cruzam surge o ponto I, contido na recta i. No segundo caso recorre-se aos traços laterais dos planos, que se cruzam no ponto L, traço lateral da recta i. Da intersecção entre estes planos resulta uma recta oblíqua passante. y z fδ a 2 b 2 lβ P 3 lπ L 2 L 3 H2 H 1 H 2 F 1 F 2 L 1 hβ hβ a 1 b 1 hδ Intersecção do plano passante com o plano de rampa Também aqui se mostra a mesma situação resolvida de duas maneiras. No primeiro caso recorreu-se ao cruzamento dos traços laterais, onde se encontra o ponto L, traço lateral da recta de intersecção. No segundo utilizou -se um plano auiliar de topo. As rectas a e b, de intersecção desse plano com os planos dados, cruzam-se no ponto I, contido na recta i. Da intersecção entre os planos de rampa e passante resulta uma recta frontohorizontal, bastando determinar um ponto. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 10

11 Intersecções que envolvem planos perpendiculares ao β 2/4 Os primeiros casos aqui apresentados envolvem dois planos perpendiculares ao β 2/4 ; os restantes envolvem um plano passante e um plano perpendicular ao β 2/4. hβ fω hω F2 H1 F1 H2 F1 H2 F2 H1 Intersecção entre planos perpendiculares ao β 2/4 A intersecção de dois planos perpendiculares ao β 2/4 determina-se recorrendo aos traços da recta de intersecção. Como se pode verificar, destas intersecções resulta uma recta perpendicular ao β 2/4, ou seja, de perfil. fδ s 2 (fδ) n 2 a 2 hβ F 2 F 2 H 1 F1 F2 H1 H2 F 1 F 1 F1 F2 H1 H2 H 2 a 1 n 1 r 1 s 1 hδ Intersecção do plano passante com planos perpendiculares ao β 2/4 P 2 P 1 hβ F1 F2 H1 H2 Nestas três situações, o plano passante está definido pelo ponto P e pelo eio. No primeiro caso, com o plano oblíquo, recorreu-se a um plano auiliar horizontal, que cruza os outros nas rectas a e n. No segundo caso, com o plano de rampa, utilizou-se um plano auiliar de topo, que cruza os outros nas rectas r e s. Onde essas rectas se cruzam surge o ponto I, contido na recta i. No terceiro caso colocou-se o ponto P, idêntico a P (que define o plano passante), no plano de perfil. Esse ponto, juntamente com os traços H e F, definem a recta i. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 11

12 Intersecção de planos cujo traços se cruzam apenas num ponto À partida, estas situações dão apenas um ponto da recta de intersecção. Para determinar outro utilizam-se, preferencialmente, planos auiliares horizontais ou frontais. F 2 f 2 (fδ) n 2 n 2 fθ f 2 F 1 F 2 H1 H2 n 1 F 1 F 1 F 2 H 1 H 2 H2 H 2 hβ (hρ) f 1 f 1 H 1 n 1 hθ Intersecção de dois planos cujos traços se cruzam no mesmo ponto do eio À esquerda estão dois planos oblíquos; utilizou-se aí um plano auiliar horizontal, que cortou os planos dados em duas rectas horizontais. À direita temos um plano oblíquo e um de topo; utilizou-se um plano auiliar frontal que cortou os planos dados em rectas frontais. Onde essas rectas se cruzam surgem o ponto I, contido na recta i, passante. f 2 f 2 (fσ) n 2 n 2 fω F 2 H 2 F 1 hβ hω n 1 (hρ) f 1 f 1 H 1 n 1 Intersecção de dois planos com um dos traços a cruzarem-se fora dos limites do papel Se se considerar que os traços frontais ou os horizontais não se cruzam nos limites do papel, só se tem acesso a um dos traços da recta de intersecção. Nestes casos utiliza-se também um plano auiliar frontal ou horizontal. Esse plano vai cruzar os planos dados em duas rectas que se cruzam no ponto I, que pertence à recta i. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 12

13 Intersecção de planos cujos traços se cruzam ambos fora do papel Considera-se nestas situações que o cruzamento dos traços se faz fora dos limites do papel, de modo a que não haja acesso aos traços da recta de intersecção. Para determinar estas intersecções utilizam-se aqui planos auiliares horizontais e frontais. (fδ) a 2 b 2 G 2 I 2 a 2 I 2 (fσ) a 2 b 2 G 2 a 2 F 2 fθ b 2 b 2 F 1 a 1 a 1 G 1 b 1 b 1 G 1 hβ H 2 J 2 J 2 hθ (hω) a 1 b 1 J 1 I 1 (hρ) a 1 b 1 H 1 J 1 I 1 G 2 Planos cujos traços se cruzam fora dos limites do papel fδ H 1 F 2 F 1 hδ hβ I 1 G 1 G 2 G 1 J 1 J 1 Em cima, à esquerda, temos a intersecção de dois planos oblíquos resolvida com a utilização de planos auiliares horizontais. Em cima, à direita, está a intersecção de um plano oblíquo com um de topo resolvida com dois planos frontais. Ao lado temos a intersecção entre dois planos oblíquos resolvida com planos auiliares de rampa. Este método utiliza-se quando os traços dos planos dados têm grandes aberturas ou cruzam o eio em pontos muito distantes. Dada a quantidade de traçado que produz, mostra-se aqui apenas como se determina uma das projecções da recta de intersecção; para determinar a outra aplicamse mais dois planos rampa, posicionados de forma inversa. Nos três casos, os planos auiliares permitem determinar os pontos I e I, contidos na recta i. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 13

14 Intersecção entre três planos Surgem algumas possibilidades diferentes quando se intersectam três planos. Mostram-se aqui três delas, com recurso a planos oblíquos definidos pelos seus traços. Intersecção entre três planos oblíquos, resultando uma recta hβ Se os três traços horizontais dos planos se encontraram num mesmo ponto, e a mesma coisa suceder entre os três traços horizontais, da intersecção entre esses planos resulta uma recta. F 2 Intersecção entre três planos oblíquos, resultando duas rectas paralelas i 2 fθ Dos três planos que estão à direita, dois são concorrentes, dois são paralelos, resultam daí duas rectas paralelas entre si. Em relação ao eercício anterior, em vez do plano β, está θ, paralelo a α. H2 H 2 F 1 i 1 hθ H1 H 1 θ // α F 2 fθ i 2 H2 i 2 H 2 F 1 i 1 i 1 hθ H 1 H 2 H 1 F 2 F 1 hρ θ // α fρ Intersecção entre três planos oblíquos, resultando três rectas paralelas Esta situação é idêntica à anterior, mas o plano α é utilizado como auiliar para garantir duas rectas paralelas. O plano ρ, contendo uma dessas rectas, cruza-se com θ numa terceira recta, que será paralelas às outras. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 14

15 Aqui mostra-se mais uma possibilidade resultante da intersecção entre três planos oblíquos definidos pelos seus traços. A intersecção entre três planos não variará muito mesmo que se utilizem diferentes tipos de planos. Aliás, havendo planos projectantes os traçados ficarão reduzidos, devido às coincidências entre projecções das rectas e traços dos planos; salvo em casos em que seja necessário utilizar algum plano auiliar, o que torna, naturalmente, os traçados mais elaborados. Contudo, se um ou mais planos estiverem definidos por pontos ou rectas que não os seus traços, os traçados tornam-se muito compleos e labirínticos, mais ainda se se optar, por eemplo, em encontrar rectas que, além de concorrentes, sejam também perpendiculares entre si. Embora interessantes, essas situações não são abordadas neste manual. De referir ainda que uma maior compleidade dos enunciados aumenta também o grau de dificuldade dos eercícios. F 2 i 1 H 1 F 2 i 2 H 2 F 1 F 1 F1 H 2 hβ i 1 H 1 i 2 Intersecção entre três planos oblíquos, resultando três rectas concorrentes Três planos oblíquos traçados de forma aleatória, ou sem que haja qualquer condição especial entre eles, darão origem a três rectas concorrentes num mesmo ponto. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 15

16 Intersecção entre rectas e planos projectantes A intersecção entre rectas e planos projectantes determina-se directamente, eceptuando no caso da recta de perfil. fθ hθ () (t 2 ) f 2 (hψ) f 1 r 1 t 1 Intersecção entre rectas e os planos horizontal, frontal e de perfil O plano horizontal é projectante frontal, pelo que a projecção frontal do ponto I se determina no cruzamento do seu traço com a projecção frontal da recta. No caso do plano frontal, que é projectante horizontal, é a projecção horizontal do ponto I que se determina em primeiro lugar. No caso do plano de perfil, que é duplamente projectante, basta indicar as projecções do ponto I nos cruzamentos das projecções da recta com os traços do plano. fδ v 2 n 2 (v 1 ) hδ n 1 hβ Intersecção entre rectas e os planos de topo e vertical O plano de topo é projectante frontal, pelo que a projecção frontal do ponto I se determina no cruzamento entre o traço frontal do plano e a projecção frontal da recta. No caso do plano vertical, que é projectante horizontal, é a projecção horizontal que se determina em primeiro lugar. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 16

17 Intersecção entre uma recta e um plano oblíquo Eceptuando a recta de perfil, a intersecção de qualquer recta com o plano oblíquo pode-se resolver utilizando qualquer plano auiliar projectante que contenha a recta. fρ fω hω r 1 hρ v 2 n 2 (fδ) (hρ) (v 1 ) n 1 Intersecção entre diferentes rectas e o plano oblíquo No primeiro caso, com a recta oblíqua, utilizou-se um plano auiliar de topo. No segundo, com uma recta horizontal, utilizou-se um plano horizontal. No último caso, onde a recta é vertical, utilizou-se um plano frontal. Em qualquer das situações se podia ter utilizado um plano vertical contendo a recta. O plano auiliar cruza o plano dado na recta i; essa recta, por sua vez, vai cruzar a recta dada no ponto I. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 17

18 Intersecção entre uma recta e um plano de rampa Mostra-se aqui a intersecção entre algumas rectas e o plano de rampa. Verifica-se que não eistem diferenças significativas em relação ao plano oblíquo. Nos dois eemplos de baio eemplifica-se com o plano passante. fσ fρ (t 2 ) hρ r 1 hσ t1 Intersecção de rectas com o plano de rampa No primeiro caso temos uma recta oblíqua e um plano auiliar vertical. No segundo temos uma recta de topo e um plano auiliar de topo. A recta i resulta da intersecção do plano auiliar com o plano dado; o ponto I resulta da intersecção da recta auiliar com a dada. f 2 (fδ) P 2 P 1 f 1 Intersecção de uma recta com o plano passante À esquerda temos uma recta frontal e um plano passante definido pelo ponto P. Utilizando um plano auiliar de topo desloca-se para esse plano o ponto P, idêntico a P. A recta i é passante e contém esse ponto, cruzando a recta dada no ponto I. O plano de topo aqui utilizado está representado apenas pelo seu traço frontal, dado que o horizontal é desnecessário. Como tal, indica-se entre parêntesis. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 18

19 Intersecção da recta de perfil com planos diversos Caso a recta de perfil esteja definida pelos seus traços, é preferível a utilização de planos auiliares oblíquos, independentemente de o plano dado ser projectante ou não. p 2 p 1 p 2 p 1 fσ fρ F 2 () H 2 H 1 hσ hρ F 1 H 2 H 1 Intersecção de uma recta de perfil com planos projectantes No primeiro caso temos um plano frontal, no segundo um plano de topo. Onde o plano auiliar oblíquo cruza o plano dado surge a recta i, que se cruza com a recta de perfil no ponto I. Devido ao facto de os planos serem projectantes, sabe-se de antemão uma das projecções do ponto I, contudo é necessária a utilização do plano auiliar para determinar a projecção em falta. p 2 p 1 p 2 p 1 F 2 fθ F 2 fσ fρ H 2 F 1 F 1 H 2 hρ hσ hθ H 1 H 1 Intersecção de uma recta de perfil com planos não projectantes À esquerda temos um plano oblíquo, à direita um plano de rampa. Onde o plano auiliar oblíquo cruza o plano dado surge a recta i, que se cruza com a recta de perfil no ponto I. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 19

20 Aqui a recta de perfil está definida por dois pontos que não os seus traços. Recorre-se ao plano lateral de projecção e ao plano auiliar de perfil. Embora se mostre apenas os planos de rampa e oblíquo, qualquer dos processos se pode aplicar à recta de perfil, seja qual for o plano dado, esteja a recta definida pelos traços ou não. y p 2 p 1 A 2 A 3 lπ Intersecção da recta de perfil com o plano de rampa B 2 I 3 B 3 Achando a intersecção da projecção lateral da recta com o traço lateral do plano, descobre-se a projecção lateral do ponto I. A partir dela, indicam-se as projecções principais desse ponto. p 3 y B 1 p 2 p 1 A 2 A 3 lβ P 3 Intersecção da recta de perfil com o plano passante Procedendo como na situação anterior, facilmente se determina o ponto de intersecção da recta de perfil com o plano passante, aqui definido pelo ponto P. hβ B 2 I 3 B 3 p 3 p 2 p 1 hδ fδ hδ R B 1 H R A 2 Intersecção da recta de perfil com o plano oblíquo fδ R B 2 F R I R A R p R Aqui utilizou-se um plano auiliar de perfil, contendo a recta dada. Esse plano intersecta o plano dado na recta i, também de perfil. No rebatimento do plano auiliar determina-se o ponto I R, que, contra-rebatido, permite determinar as suas projecções. B 1 B R i R Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 20

21 Intersecção entre uma recta e um plano definido por rectas Para a determinação da intersecção entre uma recta e um plano definido por rectas é também necessário utilizar processos auiliares. Por norma recorre-se a um plano projectante que contenha a recta que vai intersectar o plano. b 2 a 2 A 2 B 2 B 1 a 1 (hδ) b 1 a 2 b 2 () A 2 B 2 r 1 B 1 a 1 b 1 Intersecção entre uma recta e um plano definido por duas rectas No primeiro caso temos uma recta oblíqua e um plano definido por rectas concorrentes; utilizou-se um plano auiliar vertical. No segundo caso temos uma recta fronto-horizontal e um plano definido por rectas paralelas; utilizou-se um plano auiliar horizontal. Em ambos os casos o plano auiliar corta o plano definido pelas rectas na recta i, que resulta da união dos pontos A e B e se cruza com a recta dada no ponto I. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 21

22 Aqui mostram-se mais alguns eemplos de intersecção de rectas com planos definidos por rectas. d α2 i π2 B 2 n 2 (fδ) (t 2 ) D 2 f 2 A 2 f 2 i π2 f 1 B 1 D 1 t 1 d α1 n 1 (hρ) d α1 i π1 Intersecção de rectas com planos definidos por rectas de maior declive e de maior inclinação À esquerda temos a intersecção da recta de topo t com o plano α, definido pela recta de maior declive d α. Tratase de um caso curioso que se resolve facilmente com a aplicação de um plano auiliar horizontal, que corta o plano α na recta i, horizontal e perpendicular à recta d α. À direita está a intersecção da recta horizontal n com o plano π definido pela recta de maior inclinação i π. Foi acrescentada uma recta frontal, perpendicular a i π, e utilizou-se um plano auiliar vertical. Resulta assim uma situação comum de um plano definido por rectas concorrentes. a 2 a 1 A 2 r 1 (hβ) Intersecção de uma recta com um plano passante definido por uma recta Aqui temos uma recta oblíqua e um plano passante definido pela recta a, passante. O plano auiliar vertical corta essa recta no ponto A, por onde passa a recta i, também passante, que se cruza com a recta dada no ponto I. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 22

23 Intersecção da recta de perfil com planos definidos por rectas Dada a especificidade da recta de perfil ela é tratada com uma atenção particular. Mostra-se aqui a mesma situação resolvida por dois processos. p 2 p 1 q 2 q 1 y z A 2 p 3 R 2 R 3 A 3 I 3 S 2 S 3 s 2 B 2 B 3 q 3 R 1 B 1 r 1 S 1 s 1 p 2 p 1 hβ hβ R A 2 R 2 Intersecção de uma recta de perfil com um plano definido por duas rectas R s 2 r 1 S 2 B 2 R 1 B 1 B R I R i R R R Em cima temos o eercício resolvido com recurso às projecções laterais. A recta q é uma recta de perfil do plano, definida pelos pontos A e B, das rectas a e b. com a mesma abcissa da recta dada p; trata-se de uma recta Onde essa recta cruza a recta dada está o ponto I. Ao lado temos o mesmo eercício resolvido com um plano auiliar de perfil, que se rebate. Esse plano cruza o plano definido pelas rectas na recta i, que contém os pontos A e B. Essa recta i corresponde à recta q da situação anterior. S 1 S R s 1 A R p R Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 23

24 Intersecção de planos projetantes com planos definidos por rectas Se, à partida, um plano é definido por três pontos ou por uma recta e um ponto, transforma-se essa situação em planos definidos por duas rectas paralelas ou concorrentes, o mesmo sucedendo se o plano estiver definido por uma recta de maior declive ou de maior inclinação. s 2 s 2 S 2 () S 2 R 2 R 2 R 1 S 1 s 1 S 1 s 1 R 1 r 1 r 1 Intersecção de planos projectantes com planos definidos por duas rectas Nestas duas situações, um plano está definido pelas rectas r e s, concorrentes num caso, paralelas no outro. Estas intersectam os planos projectantes nos pontos R e S, que definem a recta i. d ρ2 f 2 i δ2 n 2 A 2 N 2 fω D 2 i δ2 f 2 A 2 (hθ) d ρ1 N 1 hω f 1 n 1 d ρ1 D 1 n 1 i δ1 Intersecção de planos projectantes com planos definidos pela recta de maior declive e de maior inclinação À esquerda temos um plano definido por uma recta de maior declive, ao qual se acrescentou uma recta horizontal. À direita um dos planos está definido por uma recta de maior inclinação, tendo-se acrescentado uma recta frontal. Essas rectas são concorrentes e perpendiculares à recta dada. Ficando o plano definido por duas rectas, procede-se como nos casos anteriores. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 24

25 Intersecção do plano oblíquo com planos definidos por rectas Para determinar a intersecção de planos definidos por duas rectas com planos oblíquos utilizam-se planos auiliares horizontais ou frontais, que cortam os planos dados em rectas também horizontais ou frontais. s 2 (fρ) a 2 a 2 F 2 I 2 (fδ) n 2 n 2 S 2 R 2 F 1 n 1 a 1 n 1 R 1 S 1 a 1 I 1 s 1 r 1 Intersecção de um plano oblíquo com um plano definido por duas rectas Cada um dos planos auiliares horizontais corta os planos dados segundo rectas horizontais. Essas rectas cruzam-se nos pontos I e I, que definem a recta i. Optou-se por passar o segundo plano por P, onde se intersectam as rectas dadas, o que é possível porque as rectas horizontais de cada plano são paralelas entre si. Assim poupou-se traçado. (fρ) a 2 a 2 D 2 F 2 I 2 (fδ) n 2 n 2 d ρ2 D 2 Intersecção de um plano oblíquo com um plano definido por uma recta de maior declive d ρ1 D 1 a 1 n 1 D 1 I 1 F 1 a 1 n 1 Devem utilizar-se planos auiliares horizontais caso um dos planos seja definido por uma recta de maior declive, dado que as rectas horizontais desse plano são perpendiculares a essa recta. Com um plano definido por uma recta de maior inclinação devem utilizar-se planos auiliares frontais. n 1 d ρ1 a 1 d ρ1 Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 25

26 Intersecção do plano de rampa com planos definidos por rectas Para determinar a intersecção de planos definidos por duas rectas com planos de rampa apresentam-se dois processos. Aqui um dos planos está definido por duas rectas paralelas. s 2 a 2 R 2 f 2 R 2 f 2 I 2 A 2 h 2 S 2 A 2 h 2 I 1 A 1 (hρ) f 1 h 1 R 1 a 1 R 1 S 1 (hδ) f 1 h 1 r // s r 1 s 1 r // s fθ F 2 a 2 r 1 hβ F 1 I 2 I 1 s 2 a 2 H 2 H 1 s 1 hθ Intersecção de um plano de rampa com um plano definido por duas rectas No primeiro caso utilizam-se planos frontais que cortam o plano definido pelas rectas r e s em rectas frontais e o plano de rampa em rectas fronto-horizontais. Para se poder representar estas rectas traçou-se de antemão a recta oblíqua a, do plano de rampa. No segundo caso utilizaram-se planos projectantes, cada um deles contendo uma recta dada, o que permite determinar os pontos de intersecção de cada uma das rectas com o plano dado. Obviamente, esses pontos pertencem à recta i. Este segundo processo apresenta menos traçado e pode também ser empregue no plano oblíquo. Contudo, com este processo, corre-se o risco de as rectas de intersecção resultantes da aplicação dos planos auiliares não encontrarem as rectas dadas nos limites do papel. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 26

27 Intersecção entre planos definidos por rectas Sendo ambos os planos definidos por rectas, utilizam-se também planos auiliares horizontais ou frontais. a 2 b 2 s 2 (fρ) m 2 m 2 A 2 B 2 I 2 (fδ) n 2 n 2 A 2 B 2 S 2 R 2 n 1 n 1 R 1 m 1 m 1 a 1 B 1 S 1 b 1 I 1 r 1 s 1 Intersecção entre dois planos definido por duas rectas Um dos planos está definido pelas rectas a e b, paralelas, o outro pelas rectas r e s, concorrentes. Aplicando planos auiliares horizontais surgem quatro rectas horizontais que se cruzam duas a duas nos pontos I e I, por onde passa a recta i. I 2 f 2 i π2 j 2 s 2 R 2 f 2 S 2 j 2 B 2 A 2 f 2 i π2 j 2 i π2 (hδ) f 1 f 1 R 1 S 1 (hρ) j 1 j 1 I 1 B 1 s 1 i π1 r 1 Intersecção de um plano definido por duas rectas com um definido por uma recta de maior inclinação Estando um plano definido por uma recta de maior inclinação, é preferível utilizar planos auiliares frontais, já que sabemos que as rectas frontais daí resultantes serão perpendiculares à recta dada. Tudo o resto se assemelha ao caso anterior. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 27

28 Apresentam-se nesta página mais algumas intersecções entre planos definidos por rectas. f 2 d α2 (fδ) n 2 n 2 i π2 A 2 B 2 D 2 D 2 (fρ) m 2 m 2 I 2 D 1 n 1 n 1 m 1 m 1 B 1 D 1 f 1 d α1 I 1 i π1 f 2 m 1 n 1 i π2 d α1 d α1 Intersecção entre um plano definido por uma recta de maior declive e um definido por uma recta de maior inclinação Planos auiliares horizontais dão-nos rectas horizontais perpendiculares à recta de maior declive. Contudo, é necessário acrescentar uma recta frontal, perpendicular à recta de maior inclinação, para se determinarem as rectas horizontais do plano definido por ela. a 1 a 2 b 2 (fδ) n 2 h 2 A 2 B 2 R 2 (fρ) n 2 h 2 R 2 I 2 B 1 S 1 S 2 h 1 R 1 I 1 n 1 h 1 m 1 b 1 n 1 R 1 r 1 Intersecção entre um plano definido por duas rectas e um plano passante definido por uma recta oblíqua O plano passante está definido pela recta r passante em S; o outro plano está definido pelas rectas a e b, concorrentes no ponto P, sendo b oblíqua e a de perfil, definida também pelo ponto A. Os planos auiliares horizontais cortam o plano passante em rectas fronto-horizontais, como acontece com qualquer plano de rampa. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 28

29 Aqui apresentam-se dois eemplos curiosos de intersecção de planos definidos por rectas paralelas. f 2 f 2 a 2 I 2 R 2 S 2 S 2 s 2 b 2 r 1 s 1 (hρ) a 1 f 1 R 1 S 1 (hδ) b 1 f 1 I 1 S 1 Intersecção entre um plano definido por rectas frontais e um definido por rectas horizontais Planos auiliares frontais contêm as rectas frontais dadas e, ao cruzarem as rectas r e s dão origem a outra rectas frontais. Umas e outras cruzam-se nos pontos I e I, que definem a recta i. a 2 (fθ) c 2 d 2 A 2 R 2 b 2 B 2 S 2 s 2 a 1 c 1 d 1 s 1 b 1 S 1 r 1 R 1 B 1 Intersecção entre dois planos definidos por rectas fronto-horizontais Neste caso é preferível utilizar um plano auiliar de topo ou vertical, para que o seu traço possa cortar as rectas que definem os planos. Aqui utilizou-se um plano de topo, tendo sido traçado apenas o seu traço frontal, dado que o horizontal não teria utilidade. Como se sabe de antemão que a recta i é fronto-horizontal basta utilizar um plano auiliar e determinar um ponto. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 29

30 Intersecções Eercícios Intersecção entre planos projectantes 1. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos verticais: - α, que cruza o eio num ponto com 2cm de abcissa e faz 25ºae; - π, que cruza o eio num ponto com -1cm de abcissa e faz 55ºae. 2. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos de topo: - θ, que cruza o eio num ponto com 3cm de abcissa e faz 65ºae; - β, que cruza o eio num ponto com -2cm de abcissa e faz 30ºad. 3. Determinar a recta de intersecção i, entre os seguintes planos, ambos contendo o ponto P(1;3;2): - ρ, de topo, que faz 40ºad; - δ, vertical, que faz 30ºae. 4. Determinar a recta de intersecção i, entre os seguintes planos, ambos contendo o ponto R(2;4;-2): - ω, vertical, que faz 35ºad; - σ, horizontal. 5. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos: - π, horizontal, com 3cm de cota; - β, frontal, com -2cm de afastamento. 11. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos: - φ, oblíquo, que cruza o eio num ponto com 4cm de abcissa, cujos traços frontal e horizontal fazem, 60ad e 35ºae, respectivamente; - θ, de perfil, com 1cm de abcissa. 12. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos: - δ, oblíquo, perpendicular ao β 2/4, que cruza o eio num ponto com 2cm de abcissa, fazendo o seu traço frontal 40ºae; - ω, horizontal, com 3cm de abcissa. 13. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos: - δ, do eercício anterior; - π, de perfil, com -2cm de abcissa. 14. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos: - δ, do eercício 12; - θ, de topo, que cruza o eio num ponto com 6cm de abcissa, fazendo 50ºad. 15. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos: - δ, do eercício 12; - ψ, vertical, que cruza o eio num ponto com -3cm de abcissa e faz 40ºae. 6. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos: - δ, de perfil; - ω, horizontal, com -2cm de cota. 7. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos: - σ, de perfil, com 2cm de abcissa; - ρ, vertical, que cruza o eio num ponto com -2cm de abcissa e faz 30ºad. 8. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos: - θ, de topo, que faz 45ºad; - α, frontal, com -3cm de afastamento. Intersecção de planos projectantes com planos não projectantes 9. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos: - β, oblíquo, cujos traços fazem ambos 50ºad; - ψ, frontal, com 3cm de afastamento. 10. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos: - π, oblíquo, perpendicular ao β 1/3, fazendo o seu traço frontal 60ºae; - ν, horizontal, com -4cm de cota. 16. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos: - β, de rampa, cujos traços frontal e horizontal têm 4cm de cota e -2cm de afastamento, respectivamente; - ψ do eercício anterior. 17. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos: - α, de rampa, cujos traços frontal e horizontal têm -5cm de cota e 3cm de afastamento, respectivamente; - θ, do eercício Determinar a recta i, de intersecção entre os planos: - σ, de rampa, perpendicular ao β 2/4, cujo traço frontal tem 3cm de cota; - π, de perfil, com 2cm de abcissa. 19. Determinar a recta i, de intersecção entre os planos: - σ, de rampa, perpendicular ao β 1/3, cujo traço frontal tem 5cm de cota; - ν, horizontal, com 3cm de cota. 20. Determinar a recta i, de intersecção entre: - σ, do eercício anterior; - φ, frontal, com -3cm de afastamento. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 30

31 Intersecção entre planos não projectantes 21. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos oblíquos: - π, que cruza o eio num ponto com 5cm de abcissa, cujos traços frontal e horizontal fazem 65ºad e 30ºad, respectivamente; - ρ, que cruza o eio num ponto com 1cm de abcissa, cujos traços frontal e horizontal fazem 25ºad e 55ºad, respectivamente. 22. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos oblíquos: - π, do eercício anterior; - θ, perpendicular ao β 2/4, que cruza o eio num ponto com 1cm de abcissa, fazendo o seu traço horizontal 55ºad. 23. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos: - θ, do eercício anterior; - ρ, perpendicular ao β 1/3, que cruza o eio num ponto com 4cm de abcissa, sendo o seu traço horizontal paralelo ao traço homónimo do outro plano. 24. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos: - ρ, do eercício anterior; - α, de rampa, perpendicular ao β 1/3, cujo traço frontal tem 4cm de cota. 25. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos: - ρ, do eercício 23; - π, passante, contendo o ponto P(-3;4;2). 26. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos de rampa: - δ, perpendicular ao β 1/3, cujo traço frontal tem -5cm de cota; - ω, cujos traços frontal e horizontal têm -2cm de cota e -3cm de afastamento, respectivamente. 27. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos de rampa: - ψ, cujos traços frontal e horizontal têm 4cm de cota e -2cm de afastamento, respectivamente; - θ, passante, contendo a recta fronto-horizontal b, com 3cm de afastamento e 1cm de cota. 28. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos de rampa: - σ, perpendicular ao β 2/4, cujo traço horizontal tem 3cm de afastamento; - ρ, passante, contendo o ponto P(4;3;-3). 29. Determinar a recta de intersecção i, entre os planos de rampa: - α, cujos traços frontal e horizontal têm -2cm de afastamento e -4cm de cota, respectivamente - π, passante, contendo o ponto R(3;4;-5). Intersecção de planos cujos traços não se encontram nos limites do papel 30. Determinar a recta de intersecção i, sem cruzar os traços frontais dos planos: - δ, perpendicular ao β 1/3, que cruza o eio num ponto com 4cm de abcissa, fazendo o o seu traço frontal 50ºad; - ω, que cruza o eio num ponto com -4cm de abcissa, fazendo os seus traços frontal e horizontal 70ºad e 45ºae, respectivamente. 31. Determinar a recta de intersecção i, sem cruzar os traços horizontais dos planos: - ψ, perpendicular ao β 2/4, que cruza o eio num ponto com -5cm de abcissa, fazendo o seu traço horizontal 40ºad; - σ, que cruza o eio num ponto com 2cm de cota, fazendo os seus traços frontal e horizontal 45ºad e 65ºad, respectivamente. 32. Determinar a recta de intersecção i, sem cruzar os traços horizontais nem frontais dos planos: - θ, que cruza o eio num ponto com 4cm de abcissa, fazendo os seus traços frontal e horizontal 55ºae e 65ºae, respectivamente; - β, que cruza o eio num ponto com -3cm de abcissa, fazendo os seus traços frontal e horizontal 65ºad e 50ºad, respectivamente. 33. Determinar a recta de intersecção i, sem cruzar os traços horizontais nem frontais dos planos: - θ, do eercício anterior; - π, vertical, que cruza o eio num ponto com 2cm de abcissa e faz 50ºae. Intersecção de três planos 34. Representar a recta i, que contém o ponto P (4;3;3), fazendo as suas projecções frontal e horizontal 40ºae e 60ºad, respectivamente. Traçar três planos que se intersectem nessa recta, sendo: - α, oblíquo, com os traços com abertura para a direita; - θ, de rampa; - π, perpendicular ao β 2/ Determinar as rectas i e i, resultantes da intersecção entre os planos: - ρ, que cruza o eio num ponto com 4cm de abcissa, fazendo os seus traços frontal e horizontal 45ºad e 60ºae, respectivamente; - δ, perpendicular ao β 1/3, que cruza o eio num ponto com -1cm de abcissa, fazendo o seu traço frontal 50ºad; - θ, paralelo ao anterior, cruzando o eio num ponto com -4cm de abcissa. 36. Representar os pontos P(4;2;2), F(4;0;5) e H(-5;6;0) que contêm, respectivamente, as rectas i, i e i, paralelas à recta i do eercício 34. Determinar os traços dos planos α, π e β que se cruzam segundo essas rectas. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 31

32 Intersecção de três planos (Continuação) 37. Determinar as rectas i, i e i, assim como o ponto I, onde se cruzam, resultantes da intersecção entre os planos: - ω, cujos traços frontal e horizontal têm 6cm de cota e 4cm de afastamento; - σ, perpendicular ao β 2/4 e que cruza o eio num ponto com -3cm de abcissa, fazendo fazendo o seu traço frontal 45ºae; - ρ, de topo, que faz 35ºad e cruza o eio num ponto com 5cm de abcissa. 38. Determinar as rectas i, i e i, assim como o ponto I, onde se cruzam, resultantes da intersecção entre os planos: - ω, do eercício anterior; - ρ, do eercício anterior; - θ, cujos traços têm 3cm de cota e 7cm de afastamento. 39. Determinar as rectas i, i e i, assim como o ponto I, onde se cruzam, resultantes da intersecção entre os planos: - θ, do eercício anterior; - φ, frontal, com 4cm de afastamento; - π, perpendicular ao β 1/3, que cruza o eio num ponto com -5cm de abcissa, fazendo o seu traço frontal 40ºae. Intersecção de rectas com planos projectantes 40. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - δ, de topo, que faz 55ºae; - a, fronto-horizontal, cujas projecções frontal e horizontal têm -5cm de cota e 2cm de afastamento. 41. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - π, vertical, que cruza o eio num ponto com 2cm de abcissa e faz 40ºad; - r, do β 2/4, passante no ponto com -3cm de abcissa, fazendo a sua projecção frontal 45º ad. 42. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - ω, horizontal, com -2cm de cota; - v, vertical, com 4cm de afastamento. 43. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - φ, frontal, com -2cm de cota; - p, de perfil, cujos traços são F(3;0;-2) e H(3;3;0). 46. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - π, que cruza o eio num ponto com 4cm de abcissa, fazendo os seus traços frontal e horizontal 65ºae e 45ºad; - f, frontal, com traço em H(6;3;0), fazendo 40ºad. 47. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - π, do eercício anterior; - r, passante num ponto com -1cm de afastamento, contendo o ponto A(8;4;3). 48. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - π, do eercício 46; - v, vertical com 3cm de cota e 1cm de abcissa. 49. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - α, que cruza o eio num ponto com 6cm de abcissa, fazendo o seus traços frontal e horizontal, 40ºad e 55ºad, respectivamente; - s, que contém os pontos A(2;2;1) e B(2;-2;-5). 50. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - ω, cujos traços têm -5cm de cota e 2cm de afastamento; - t, de topo, com 4cm de cota. 51. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - ω, do eercício anterior; - n, horizontal, com -2cm de cota, fazendo 60ºae. 52. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - β, perpendicular ao β 2/4, cujo traço frontal tem 2cm de cota; - r, paralela ao β 2/4, que contém o ponto P(4;1), fazendo a sua projeção frontal 50ºad. 53. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - β, do eercício anterior; - p, cujos traços são F(3;0;3) e H(3;-7;0). Intersecção de rectas com planos definidos por rectas ou pontos 54. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - a, fronto-horizontal, com 2cm de cota e 3cm de afastamento; - ρ, definido pelas rectas paralelas r e s, contendo r o ponto R(2;2;1) e s o ponto S(-5;7;3), fazendo as suas projecções frontal e horizontal 45ºad e 60ºad, respectivamente. Intersecção de rectas com planos não projectantes 44. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - β, cujos traços fazem ambos 40ºae; - a, fronto-horizontal, cujas projecções têm 1cm de afastamento e -3cm de cota. 45. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - β, do eercício anterior; - b, fronto-horizontal do β 2/4, com 3cm de cota. 55. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - b, que contém o ponto B(-2;4;3) fazendo as suas projecções frontal e horizontal 50ºae e 40ºad, respectivamente; - ρ, do eercício anterior. 56. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - v, vertical, com abcissa nula e 3cm de afastamento; - ρ, do eercício 54. Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 32

33 Intersecção de rectas com planos definidos por rectas ou pontos (Continuação) 57. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - r, que contém o ponto A(-3;6;4), fazendo as suas projecções frontal e horizontal 35ºad e 50ºad, respectivamente; - π, definido pelas rectas a e b, concorrentes no ponto P(4;5;2), sendo a frontal fazendo 40ºae e b oblíqua paralela ao β 2/4, fazendo a sua projecção frontal 50ºad. 58. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - p, de perfil, passante, contendo o ponto S(2;6;5); - π, do eercício anterior. 59. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - r, passante num ponto de abcissa nula e contendo o ponto M(6;5;6); - α, definido pelos pontos A(4;5;2), B(1;2;5) e C(-3;6;4). 60. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - t, de topo, com 2cm de abcissa e 4cm de cota; - α, do eercício anterior. 61. Determinar o ponto I, de intersecção entre: - s, fronto-horizontal, que contém P(-3:2;4); - ω, definido pela recta d ω, que contém o ponto D(0;3;2), fazendo as suas projecções frontal e horizontal 35ºad e 60ºae, respectivamente. Intersecção de planos definidos pelos traços com planos definidos por rectas ou pontos 62. Determinar a recta i, de intersecção entre: - β, que cruza o eio num ponto com 5cm de abcissa fazendo os seus traços frontal e horizontal 45ºad e 55ºad; - α, do eercício Determinar a recta i, de intersecção entre: - θ, perpendicular ao β 2/4, que cruza o eio num ponto com -4cm de abcissa, fazendo a sua projecção frontal 50ºae; - ρ, definido pelos pontos A(3;4;2), B(0;2;1) e C(0;7;4). 64. Determinar a recta i, de intersecção entre: - π, vertical, que cruza o eio num ponto com -4cm de abcissa e faz 40ºae; - δ, definido pelos pontos P(6;-6;-3), Q(4;-1;-5) e R(2;-5;-1). 65. Determinar a recta i, de intersecção entre: - π, perpendicular ao β 1/3, cruzando o eio num ponto com 2cm de abcissa, fazendo o seu traço frontal 40ºae; - θ, passante, definido pela recta frontohorizontal a, com 3cm de cota e 4cm de afastamento. Intersecção entre planos definidos por rectas ou pontos 66. Determinar a recta i, de intersecção entre: - α, definido por A(1;5;1), B(4;2;4) e C(7;2;2); - π, definido por D(-4;5;2), E(-8;3;1) e F(-2;0;5). 67. Determinar a recta i, de intersecção entre: - α, do eercício anterior; - β, passante contendo o ponto P(-3;2;4). 68. Determinar a recta i, de intersecção entre: - π, do eercício 66; - θ, definido pela recta i θ, que contém os pontos P(3;5;1) e Q(6;1;4). 69. Determinar a recta i, de intersecção entre: - θ, do eercício anterior; - ω, definido pelas rectas fronto-horizontais, a e b, contendo os pontos A(-3;2;4) e B(-5;4;1), respectivamente. 70. Determinar a recta i, de intersecção entre: - ω, do eercício anterior; - ρ, passante, contendo a recta frontohorizontal, com 1cm de afastamento e -3cm de cota. 71. Determinar a recta i, de intersecção entre: - δ, definido por d δ, que contém o ponto P(5;3;4), fazendo as suas projecções frontal e horizontal 45ºad e 35ºae, respectivamente; - σ, definido por i σ, que contém o ponto R(-4;3;5), fazendo as suas projecções frontal e horizontal 35ºad e 50ºae, respectivamente. 72. Determinar a recta i, de intersecção entre: - α, definido pelas rectas r e s, concorrentes no ponto P(5;5;3), fazendo as projecções frontal e horizontal de r 50ºae e 65ºad, respectivamente, e sendo s frontal fazendo 50ºad; - β, definido pelas rectas a e b, paralelas entre si e paralelas ao β 2/4, contendo os pontos A(-2;7;2) e B(-5;3;2), respetivamente, e fazendo as suas projecções frontais 60ºae. 73. Determinar a recta i, de intersecção entre: - β, do eercício anterior; - π, que contém as rectas fronto-horizontais m e n, que contêm os pontos M(6;-2;2) e N(4;7;5). 74. Determinar a recta i, de intersecção entre: - π, do eercício anterior; - θ, passante, contendo o ponto P(0;2;2) 75. Determinar a recta i, de intersecção entre os planos de rampa: - ψ, que contém os pontos A(4;-3;-1) e B(2;3;-4); - ρ, que contém os pontos C(0;-1;6) e D(-2;3;1). Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Intersecções - 33