Geometria Descritiva Sistema Mongeano

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1 Geometria Descritiva Prof. Luiz Antonio do Nascimento Método da Dupla Projeção A Geometria Descritiva utiliza um sistema de projeções elaborado por Garpard Monge, conhecido como, Ortogonal ou Diédrico. O método da dupla projeção de Monge consiste em determinar duas projeções ortogonais cilíndricas do objeto sobre dois planos perpendiculares Plano Horizontal de Projeção (π) Plano Vertical de Projeção (π ) Método da Dupla Projeção Os planos de projeções π e π dividem o espaço em quatro regiões denominadas diedros e interceptam por linha chamada Linha de Terra. O 1 diedro é formado pelos semiplanos: Vertical Superior (VS) e Horizontal Anterior (HA). O 2 diedro é formado pelos semiplanos: Vertical Superior (VS) e Horizontal Posterior (HP). O 3 diedro é formado pelos semiplanos: Vertical Inferior (VI) e Horizontal Posterior (HP). O 4 diedro é formado pelos semiplanos: Vertical Inferior (VI) e Horizontal Anterior (HA). 1

2 Projeções Os objetos representados no sistema mongeano possui uma projeção no plano horizontal (π) chamada Projeção Horizontal e a projeção no plano vertical (π ) é chamada Projeção Vertical. Épura Rebatendo-se o plano horizontal sobre o vertical, ou vice e versa, em torno da linha terra no sentido horário é possível representar uma figura do espaço em um plano chamado Épura. Para determinar a posição de um ponto (A) é necessário projetá-lo sobre os dois planos de projeção. A projeção horizontal designa-se por A ou (A1) A projeção vertical por (A ) ou (A2). 2

3 Coordenadas Um ponto no espaço é determinado por três coordenadas: Abscissa (eixo X - longitude) Ordenada (eixo Y - latitude) Cota (eixo Z - altitude) Coordenadas Exemplo: P(2,4,2) Coordenadas Exemplo: P(2,4,2) 3

4 Convenção de sinais Um ponto pode estar localizado em qualquer dos quatro diedros: São positivas as cotas dos pontos localizados acima do plano vertical de projeção e negativas as cotas dos pontos localizados abaixo; São positivos os afastamentos dos pontos anteriores ao plano vertical de projeção e negativos os afastamentos dos pontos posteriores. Abscissa de um ponto na Épura A abcissa do ponto pode ser positiva ou negativa conforme a linha de chamada esteja à direita ou à esquerda do ponto origem da Linha de Terra designado por Oo. Normalmente são usadas apenas abcissas positivas. Exemplo: Épuras dos pontos (M), (N), (P) e (Q), utilizando uma mesma Linha de Terra. d(oo,mo): abcissa de (M) d(oo,no): abcissa de (N) d(oo,po): abcissa de (P) d(oo,qo): abcissa de (Q) 4

5 Cota e Afastamento Os sinais da cota e afastamento são definidos se a projeção estiver acima ou abaixo da Linha de Terra. Os sinais das cotas podem variar de acordo com o diedro. 1º Diedro Os sinais da cota e afastamento são positivos. A (Projeção Vertical Vista frontal) em cima da LT. A (Projeção Horizontal Vista Superior) abaixo da LT. 2º Diedro O sinal da cota é positivo e do afastamento negativo. B (Projeção Vertical Vista Frontal) em cima da LT. B (Projeção Horizontal Vista Superior) em cima da LT. 5

6 3º Diedro Os sinais da cota e afastamento são negativos. C (Projeção Vertical Vista Frontal) abaixo da LT. C (Projeção Horizontal Vista Superior) em cima da LT. 4º Diedro Os sinais da cota é negativa e do afastamento positiva. D (Projeção Vertical Vista Frontal) abaixo da LT. D (Projeção Horizontal Vista Superior) abaixo da LT. Ponto com afastamento nulo Os sinal da cota é positivo. E =(E) (Projeção Vertical Vista Frontal) acima da LT. E (Projeção Horizontal Vista Superior) na LT. 6

7 Ponto com afastamento nulo Os sinais da cota é negativo. F =(F) (Projeção Vertical Vista Frontal) abaixo da LT. F (Projeção Horizontal Vista Superior) na LT. Ponto com cota nula Os sinais do afastamento é positivo. G (Projeção Vertical Vista Frontal) na LT. G=(G) (Projeção Horizontal Vista Superior) abaixo da LT. Ponto com cota nula Os sinais do afastamento é negativo. J (Projeção Vertical Vista Frontal) na LT. J=(J) (Projeção Horizontal Vista Superior) acima da LT. 7

8 Ponto com cota e afastamento nulos Pontos na Linha Terra. Exemplo 1: representar o ponto (A) na épura (coordenadas em cm). Dados: (A)[ 1 ; -3 ; 2 ]. Exemplo 2: representar os pontos na épura (coordenadas em cm). Dados: (A)[ -1 ; -2 ; -1 ],. (B)[ 0 ; 1,5 ; -2 ] e (C)[ 1,5 ; 1 ; 1,5 ]. (A) 3º diedro (B) 4º diedro (C) 1º diedro 8

9 Exercício 1: Identificar os diedros dos pontos. Exercício 2: Utilizando uma mesma linha de terra, construir as projeções dos seguintes pontos: (A):[2; 3;5] (B):[6; 2; 3,5] (C):[9; 3; 3] (D):[12; 4; 2], (E):[16; 0; 4] (F):[19; 0; 0] 9