SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

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1 SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS NOTA: Se bem que os dados métricos dos enunciados estejam em centímetros, as soluções apresentadas a partir da página seguinte não consideraram o centímetro como unidade. De facto, entende-se que o objetivo da consulta das soluções dos exercícios, na perspetiva do estudante, deve ser a verificação da correção dos raciocínios e dos traçados e não a comparação métrica dos mesmos. Dessa forma, considerou-se de maior utilidade o desenvolvimento dos relatórios e a resolução gráfica dos problemas a uma escala que evite qualquer tentativa de comparação métrica. De qualquer forma, considera-se relevante informar que a escala utilizada nas resoluções apresentadas foi de 1 / 2, o que significa que a cada centímetro da resolução do aluno corresponderá 0,5 cm nestas soluções. 13 PARALELISMO 1. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções das retas p e p, em função dos dados. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pois todos os pontos de uma reta de perfil têm a mesma abcissa. Da mesma forma, os pontos C e D também têm a mesma abcissa. Sobre a posição relativa das duas retas, sabe-se imediatamente que não são concorrentes podem ser paralelas ou enviesadas. Se forem paralelas, então são complanares, pelo que quaisquer duas retas concorrentes com p e p serão, também elas, complanares. Recorreu-se a duas retas auxiliares, as retas r e s. A reta r é concorrente com p em A e com p' em D (está definida por dois pontos). A reta s é concorrente com p em B e com p' em C (está definida por dois pontos). As retas r e s não são complanares (não são paralelas nem con correntes), pelo que p e p' não são complanares logo, não são paralelas. 2. As projeções de p' determinaram-se imediatamente. No entanto, a reta p não fica totalmente definida, pois necessitamos de mais um ponto da reta (para além de M) para a definirmos. Como as retas p e p são paralelas, então são complanares, pelo que quaisquer duas retas concorrentes com p e p serão igualmente complanares. Assim, recorreu-se a uma reta do plano definido pelas retas p e p a reta r, que está definida por A e M (que são os pontos de concorrência de r com p e p, respetivamente). Em seguida, recorreu-se a uma outra reta, a reta s, paralela à reta r e concorrente com a reta p no ponto B a reta s está definida por um ponto e uma direção e é complanar com as retas r e p. A reta s terá, também, de ser complanar com a reta p, pelo que, não sendo paralela a esta, será necessariamente concorrente o ponto N é o ponto de con corrência das retas s e p. A reta p, definida por M e N, é necessariamente paralela à reta p. 3. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções das duas retas, que estão coincidentes (as projeções), uma vez que as duas retas se situam no mesmo plano de perfil. Para averiguar o paralelismo entre as duas retas, na presente situação é mais conveniente recorrer ao rebatimento do plano de perfil que contém as duas retas. O plano π é o plano de perfil que contém as retas p e p. Efetuou-se o rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projeção (a charneira foi f π ). Rebateram-se os pontos que definem as duas retas, obtendo-se p r (definida por F r e E r ) e p r (definida por M r e N r ). Em rebatimento observa-se que p r e p r são paralelas, pelo que, no espaço, as retas p e p são necessariamente paralelas. Note que este exercício poderia ser resolvido com o recurso, por exemplo, a uma mudança do diedro de projeção. 1

2 4. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projeções. Em seguida, desenhou-se a projeção frontal da reta r r 2 passando por P 2 e fazendo, com o eixo X, o ângulo pedido. Para a reta r ser paralela ao plano ρ, terá de ser paralela a uma reta do plano. Para tal, recorreu-se a uma reta auxiliar s, pertencente ao plano e garantindo que s seja paralela à reta r s 2 é paralela a r 2. A reta s está definida pelos seus traços (condição para que uma reta pertença a um plano). Em seguida, conduziu-se, por P 1, a projeção horizontal da reta r (r 1 ), paralela a s 1. A reta r é paralela ao plano ρ, pois é paralela a uma reta do plano (a reta s). 5. Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projeções. Em seguida, para determinar as projeções da reta h, paralela a α, é necessário que h seja paralela a uma reta do plano, reta essa que terá, necessariamente, de ser uma reta horizontal (de nível). O traço horizontal do plano é uma reta horizontal (de nível) do plano com cota nula, pelo que, para resolver o exercício, basta que a reta h, passando ponto P, seja paralela a h α a reta h fica, assim, paralela a uma reta do plano, pelo que é paralela ao plano. 6. Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projeções. Para que a reta m seja paralela ao plano θ, tem de ser paralela a uma reta do plano. Uma vez que o plano θ é projetante frontal (projeta todas as suas retas e pontos no Plano Frontal de Projeção, no seu traço frontal) qualquer reta do plano tem necessariamente a sua projeção frontal sobre f θ, sendo que a sua projeção horizontal pode ter uma posição qualquer, à exceção da vertical. Assim, para que m seja paralela ao plano θ, basta que m 2 seja paralela a f θ, podendo m 1 ter uma posição qualquer. Sublinha-se que o facto de m 2 ser paralela a f θ garante que a reta m é necessariamente paralela a uma reta qualquer do plano θ. 7. Em primeiro lugar, representaram-se a reta r e o ponto C, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano contenha o ponto C, o ponto C tem de pertencer a uma reta do plano. Por outro lado, para que o plano α seja paralelo à reta r, tem de conter uma reta paralela à reta r. Assim, há que conduzir, por C, uma reta paralela à reta r, que será uma reta do plano α a reta s. Determinaram-se os traços da reta s, pois os traços da reta têm de estar sobre os traços homónimos do plano (condição para que uma reta pertença a um plano). Em seguida, pelo traço frontal de s conduziu-se f α, com o ângulo pretendido (f α está definido por um ponto e uma direção) h α é concorrente com f α sobre o eixo X e contém H, o traço horizontal de s (h α está definido por dois pontos). O plano α é paralelo a r, pois contém uma reta paralela a r (a reta s). O plano α contém o ponto C, pois C pertence a uma reta do plano (a reta s). 2

3 8. Ver relatório do exercício anterior. Pelos traços de s conduziram-se os traços homónimos de ρ, que são retas fronto-horizontais. O plano ρ é paralelo a r, pois contém uma reta paralela a r (a reta s). O plano ρ contém o ponto C, pois C pertence a uma reta do plano (a reta s). 9. Em primeiro lugar, representaram-se a reta f e o ponto N, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, por N conduziu-se uma reta f, paralela a f, e determinou-se H, o seu traço horizontal (ver relatório do exercício 7). O plano δ tem os seus traços coincidentes, pelo que f δ e h δ têm a mesma direção (na folha de papel). Por outro lado, f δ é paralelo a f, pois retas frontais de um plano são paralelas entre si. Assim, por H conduziu-se h δ, com a direção de f δ (paralelo a f e f ) f δ é concorrente com h δ sobre o eixo X e é paralelo a f e f, pelo que f δ h δ. O plano δ é paralelo à reta f e tem os seus traços coincidentes. 10. Em primeiro lugar, representaram-se a reta h, pelas suas projeções, e a projeção horizontal da reta r, em função dos dados. Em seguida, atendendo a que a reta r é paralela ao β 2/4, pelo que tem as suas projeções paralelas entre si, desenhou-se r 2, a projeção frontal da reta r, passando por P 2. Em seguida, determinaram-se os traços das duas retas e desenharam-se os traços do plano f α fica definido por F e F (os traços frontais das duas retas) e h α é concorrente com f α no eixo X, é paralelo a h (retas horizontais de um plano são paralelas entre si) e contém H (o traço horizontal da reta r). 11. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projeções. Em seguida desenhou-se a 1, a projeção horizontal da reta a, passando por P 1 e com o ângulo pedido. Atendendo a que a reta a é paralela ao β 1/3, a projeção frontal da reta a fará, também, um ângulo de 50 (a.d.) com o eixo X, passando por P 2 este raciocínio permitiu-nos desenhar a 2. Em seguida, para determinar o ponto de interseção da reta a com o plano ρ (ponto I), e atendendo a que nem a reta nem o plano são projetantes, recorreu-se ao método geral da interseção entre retas e planos, que consistiu em: 1. conduzir, pela reta, um plano auxiliar (o plano α é um plano vertical que contém a reta); 2. determinar a reta de interseção dos dois planos (a reta i, definida pelos seus traços, é a reta de interseção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de interseção das duas retas (reta a e reta i) é o ponto I. 3

4 12. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções da reta h, em função dos dados. Em seguida, determinaram-se as projeções do ponto R, o ponto da reta h que tem 4 cm de afastamento (R é o ponto de concorrência de h e p). Pelas projeções de R conduziram-se imediatamente as projeções da reta p. Estas, no entanto, não são suficientes para definir a reta p, pelo que necessitamos de um outro ponto para além de R. Para tal, recorreu-se a uma reta p, de perfil, contida no β 1/3 a reta p está definida por A e B, que são dois pontos do β 1/3. Por A e R conduziu-se uma reta r (ver relatório do exercício 2). Por B conduziu-se uma reta s, paralela a r a reta s é concorrente com a reta p em B e será concorrente com a reta p em S. O ponto S é, assim, um outro ponto da reta p (ver relatório do exercício 2). A reta p está definida por R e S. Para a determinação dos traços de θ, recorreu-se a uma outra reta horizontal (de nível), h, paralela a h e concorrente com a reta p em S. A partir desse raciocínio, o exercício resultou na determinação dos traços de um plano definido por duas retas horizontais paralelas f θ fica definido por F e F (os traços frontais das retas h e h ) e h θ é concorrente com f θ no eixo X e paralelo a h e h (retas horizontais de um plano são paralelas entre si). Note que os traços de θ ficam coincidentes. Uma outra forma de resolver o problema seria o recurso ao rebatimento do plano de perfil que contém a reta p, o que nos permitiria obter em rebatimento, e de forma simultânea, a reta p, paralela ao β 1/3, e os traços de p nos planos de projeção. 13. Para que dois planos sejam paralelos, duas retas concorrentes de um dos planos têm de ser paralelas a duas retas concorrentes do outro (os dois planos têm de ter duas «famílias» de retas em comum). Atendendo a que os traços de um plano oblíquo são duas retas concorrentes desse plano, para que o plano δ seja paralelo a α basta que os seus traços sejam paralelos aos traços homónimos de α. Por outro lado, para que o plano passe pelo ponto P, é necessário que P se situe numa reta do plano δ. Assim, em primeiro lugar há que conduzir, por P, uma reta do plano δ essa reta terá de ser uma reta frontal ou uma reta horizontal, que são as retas do plano δ que já conhecemos (f δ é uma reta frontal e h δ é uma reta horizontal). Optou-se pela segunda hipó tese a reta h, horizontal, que passa por P é uma reta do plano δ pois será paralela a h δ, uma vez que retas horizontais de um plano são paralelas entre si (e h δ é paralelo a h α, pelo que já sabemos a direção das retas horizontais de δ). Em seguida, determinou-se F, o traço frontal de h. Por F conduziu-se f δ, paralelo a f α e h δ é paralelo a h α (e a h) e concorrente com f δ no eixo X. O plano δ contém o ponto P e é paralelo a α. 14. Em primeiro lugar, representaram-se os dois planos, pelos seus traços. Dois planos de rampa, paralelos ou não, têm sempre os seus traços homónimos paralelos entre si tal deve-se ao facto de os dois traços de um plano de rampa serem retas da mesma «família» de retas (são retas fronto-horizontais). Para que se verifique o critério de paralelismo entre dois planos, é necessário encontrar uma outra «família» de retas comum aos dois planos. Assim, desenharam-se as projeções de uma reta r, oblíqua, qualquer, do plano ρ. Se houver, no plano σ, uma reta paralela à reta r, então os dois planos são paralelos, pois têm duas «famílias» de retas em comum. Assim, desenharam-se as projeções de uma reta s, pertencente ao plano σ, tentando que seja paralela à reta r para tal desenhou-se s 1 paralela a r 1. Determinaram-se os traços da reta s, o que nos permitiu desenhar s 2 e a sua projeção frontal. Observa-se que s 2 é paralela a r 2, pelo que r e s são paralelas. Logo, os planos ρ e σ são paralelos, pois têm duas «famílias» de retas em comum. 4

5 15. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projeções. De acordo com o exposto no relatório do exercício anterior, os traços de σ serão sempre paralelos aos traços homónimos de ρ, quer os planos sejam paralelos ou não (são retas da mesma «família» de retas). Assim, há que recorrer a outra «família» de retas para garantir o paralelismo entre os dois planos. Por outro lado, para que o plano σ contenha o ponto M, é necessário que M pertença a uma reta do plano. Assim, desenharam-se as projeções de uma reta r, oblíqua, qualquer, de ρ. A reta r é uma reta de uma outra «família» de retas qualquer que tem de ser comum aos dois planos. Em seguida, por M conduziu-se uma reta s, paralela a r, e determinaram-se os seus traços. Pelos traços de s conduziram-se os traços homónimos de σ. O plano σ é paralelo a ρ (pois contém duas retas concorrentes paralelas a duas retas concorrentes do plano ρ) e contém o ponto M (pois M pertence a uma reta do plano a reta s). 16. Ver relatório do exercício Ver relatório do exercício Em primeiro lugar, representaram-se as retas a e h, pelas suas projeções, em função dos dados. Para que um plano seja paralelo a uma reta, esse plano tem de conter uma reta paralela à reta dada. Por outro lado, a reta h, por si, é insuficiente para definir o plano α, pelo que necessitamos de mais outro elemento do plano esse elemento pode ser, em função do que é pretendido, uma reta paralela à reta a. Essa reta terá de ser concorrente com a reta h, pois duas retas de um plano ou são paralelas ou são concorrentes. A reta r, concorrente com a reta h no ponto C, é a reta paralela à reta a a que se recorreu. O plano está definido, agora, por duas retas concorrentes a reta h e a reta r. Sobre a determinação dos traços do plano, ver relatório do exercício 10. O plano α contém a reta h e é para lelo à reta a, pois contém uma reta paralela a a a reta r. 5

6 19. Em primeiro lugar, representaram-se a reta p e o ponto R, pelas suas projeções, em função dos dados. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pois situam-se na mesma reta de perfil. Para que o plano ρ seja paralelo à reta p, terá de conter uma reta paralela à reta p. Por outro lado, para que o plano contenha o ponto R, R terá de se situar numa reta do plano. Assim, há que conduzir, por R, uma reta paralela à reta p, que será uma outra reta de perfil. Há ainda que ter em consideração que será necessário, em seguida, determinar os traços nos planos de projeção da reta de perfil paralela à reta p este procedimento implicará o recurso a processos geométricos auxiliares, nomeadamente o do rebatimento do plano de perfil. Assim, para conduzir, por R, uma reta de perfil paralela à reta p e resolver a situação num único rebatimento, com o recurso a retas fronto-horizontais, definiu-se uma reta a, de perfil, paralela a p e contida no mesmo plano de perfil do ponto R a reta a está definida por A e B, que são os pontos correspondentes de A e B que se situam no plano de perfil do ponto R. Em seguida conduziu-se, por R, uma reta paralela à reta p (e à reta a) a reta p. O plano π é o plano de perfil que contém o ponto R e as retas a e p. Rebateu- -se o plano π para o Plano Frontal de Projeção (a charneira foi f π ), obtendo-se a r (passando por A r e B r ) e R r. Por R r conduziu-se p r, paralela a a r. Em rebatimento, determinaram- -se os traços de p nos planos de projeção, determinando-se, em seguida, as suas projeções, através da inversão do rebatimento. Pelos traços de p conduziram-se os traços homónimos de ρ. O plano ρ contém o ponto R (pois R pertence a uma reta do plano ρ a reta p ) e é paralelo à reta p (pois contém uma reta paralela a p a reta p ). 14 PERPENDICULARIDADE E ORTOGONALIDADE 20. Em primeiro lugar, representaram-se a reta h e o ponto S, pelas suas projeções, em função dos dados. Para desenhar as projeções da reta a, teve-se em conta que a projeção horizontal de uma reta frontal (de frente) nunca poderá ser perpendicular a h 1 (a ortogonalidade não se pode verificar em projeção horizontal), pelo que é necessário outro raciocínio. Atendendo a que a reta a é uma reta frontal (de frente), a ortogonalidade verifica-se diretamente em projeção frontal, pelo que a 2 terá de ser perpendicular a h 2 a reta a terá, assim, necessa riamente de ser uma reta vertical (que é um caso particular das retas frontais) que passa por S. Já em relação à reta b, a ortogonalidade verifica-se diretamente em projeção horizontal, pois ambas as retas (h e b) são horizontais (paralelas ao Plano Horizontal de Projeção) a reta b é ortogonal à reta h, pois b 1 é perpendicular a h Em primeiro lugar, representaram-se a reta f e o ponto N, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, e atendendo a que a reta f é uma reta paralela ao Plano Frontal de Projeção (a ortogonalidade entre a reta f e qualquer outra reta verifica-se diretamente em projeção frontal), para que a reta r seja ortogonal à reta f basta que r 2 seja perpendicular a f 2. Assim, por N 2 conduziu-se r 2 perpendicular a f 2, o que garante que as duas retas são ortogonais. A projeção horizontal de r, r 1, passa por N 1 e faz, com o eixo X, o ângulo pretendido. 6

7 22. a) Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A e B pelas suas projeções e desenharam-se as projeções das retas t e v, em função dos dados. b) As duas retas são enviesadas e são ortogonais (não são perpendiculares, pois não são complanares). c) Duas retas perpendiculares são, antes de mais, ortogonais. Uma reta ortogonal a uma reta vertical é uma reta horizontal (de nível) assim, a reta pre tendida terá necessariamente de ser uma reta horizontal (ou qualquer dos seus casos particulares). Por outro lado, uma reta ortogonal a uma reta de topo é uma reta frontal (de frente) a reta pretendida terá necessariamente de ser uma reta frontal (ou qualquer dos seus casos particulares). A reta pretendida é, assim, uma reta fronto-horizontal (reta g). Por outro lado, para ser perpendicular às retas v e t, a reta terá de ser concorrente com ambas. O ponto de concorrência das retas v e g é o ponto C, cuja projeção frontal se determinou imediatamente (t é projetante frontal) a partir de C 2 é possível desenhar g 2. Por outro lado, o ponto de concorrência das retas g e v é o ponto D, cuja projeção horizontal se determinou imediatamente (v é projetante horizontal) a partir de D 1 desenhou-se g 1. A partir das duas projeções da reta g determinaram-se as projeções em falta de C e D C 1 e D Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções da reta r, em função dos dados. Em seguida, e uma vez que é pedida uma reta perpendicular à reta r, logo concorrente com esta, determinaram-se as projeções do ponto de concorrência o ponto P, que é o ponto de r que tem 3 cm de cota. Com os conhecimentos adquiridos, e atendendo a que a reta r não é paralela a nenhum dos planos de projeção, a reta pretendida terá necessariamente de ser uma reta horizontal (de nível) ou uma reta frontal (de frente), pois a ortogonalidade entre retas só se verifica diretamente em projeções caso uma das retas seja paralela a um dos planos de projeção. Optou-se pela segunda hipótese desenharam-se as projeções de uma reta frontal (de frente), perpendicular à reta r. A perpendicularidade está garantida fazendo f 2 perpendicular a r 2. Note que, caso se tivesse optado por uma reta horizontal (de nível), teria de se ter h 1 perpendicular a r Em primeiro lugar, representou-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, para desenhar as projeções da reta p, teve-se em conta que a reta, para ser ortogonal ao plano α, terá de ser ortogonal a duas retas concorrentes do plano (ou a duas «famílias» de retas do plano). Assim, passando por P 2 desenhou-se p 2, perpendicular a f α, o que nos garante que a reta p é ortogonal à «família» das retas frontais (de frente) do plano α. Em seguida, por P 1 conduziu-se p 1, perpendicular a h α, o que nos garante que a reta p é ortogonal à «família» das retas horizontais (de nível) do plano α. Assim, as projeções da reta p são perpendiculares aos traços homónimos do plano α, o que nos garante que a reta p é ortogonal a duas retas concorrentes do plano (os traços do plano). 25. Em primeiro lugar representou-se o plano δ pelos seus traços, em função dos dados. Sobre a determinação das projeções da reta ortogonal ao plano, ver relatório do exercício anterior. Note que, não sendo dado nenhum ponto da reta, a reta apresentada é uma de entre as infinitas hipóteses, desde que se verifique, sempre, a perpendicularidade entre as projeções da reta e os traços homónimos do plano. Trata-se de uma reta horizontal (de nível). 7

8 26. Ver relatórios dos exercícios 24 e 25. Trata- -se de uma reta fronto-horizontal. 27. Ver relatório do exercício 24. Para determinar as projeções do ponto P, pertencente ao plano, recorreu-se a uma reta auxiliar do plano uma reta horizontal (de nível) h, com 3 cm de cota. Note que, na presente situação, as duas projeções da reta p são paralelas entre si trata-se de uma reta paralela ao β 2/ Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto R, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, desenharam-se imediatamente as projeções da reta p, perpendiculares aos traços homónimos de ρ. A reta p é uma reta de perfil, que não se encontra totalmente definida, por não verificar o Critério de reversibilidade. Assim, necessitamos de mais um ponto da reta p, para além de R. A reta p, para ser ortogonal ao plano ρ, tem de ser ortogonal a duas «famílias» de retas do plano. A reta p já é ortogonal às retas fronto-horizontais de ρ é necessário que seja ortogonal a outra «família» de retas do plano (às retas de perfil do plano, por exemplo). Por p conduziu-se um plano auxiliar π, de perfil. Em seguida, determinou-se a reta i, que é a reta de interseção de π com ρ a reta i é uma reta de perfil de ρ e está definida pelos seus traços. A reta p terá de ser perpendicular à reta i. É neces sário o recurso a um processo geométrico auxiliar optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projeção (a charneira foi f π ), obtendo-se i r (definida por F r e H r ) e R r. Por R r conduziu-se p r, perpendicular a i r. Sobre p r representou-se arbitrariamente um outro ponto, para além de R S r. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projeções de S a reta p, ortogonal a r, está definida por R e S. 29. Ver relatório do exercício anterior. O ponto U foi o ponto da reta p a que se recorreu para definir a reta. A reta p, ortogonal a ρ, está definida por T e U. 8

9 30. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ e o ponto A, em função dos dados. Em seguida, desenharam-se as projeções da reta p, ortogonal ao plano ρ e passando por A as projeções de p têm determinação direta. No entanto, e uma vez que se trata de uma reta de perfil, as suas projeções não são suficientes para definir a reta, pelo que necessitamos de um outro ponto da reta para além do ponto A. A reta p já é ortogonal às retas fronto - -horizontais do plano ρ, mas para ser ortogonal ao plano terá de ser ortogonal a uma outra reta do plano uma reta de perfil, por exemplo. Assim, pela reta p conduziu-se um plano de perfil π e determinou-se a reta i, a reta de interseção do plano π com o plano ρ. A reta i é uma reta de perfil do plano ρ trata-se de uma reta de perfil passante do plano ρ. A reta i está definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X e pelo ponto P, que é o ponto de interseção do plano π com a reta g, fronto-horizontal, pertencente ao plano ρ e passando por P. A reta p terá de ser ortogonal à reta i. Em seguida, resolveu-se o problema em rebatimento, rebatendo o plano π para o Plano Frontal de Projeção. A reta i r passa por P r e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo, pois é um ponto da charneira. A reta p r passa por A r e é perpendicular à reta i r. Sobre p r marcou-se um outro ponto B r. Inverteu-se o rebatimento e obtiveram-se as projeções do ponto B. A reta p, de perfil, passando por A r e B r, é ortogonal ao plano ρ, pois é ortogonal a duas «famílias» de retas do plano as retas fronto-horizontais e as retas de perfil. Note que as retas p e i são perpendiculares, pois são concorrentes são complanares (estão contidas no mesmo plano de perfil). 31. Em primeiro lugar, representaram-se a reta r e o ponto P, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano θ seja ortogonal à reta r, o plano θ tem de conter duas retas concorrentes ortogonais à reta r (duas «famílias» de retas ortogonais à reta r). Por outro lado, para que o plano θ contenha o ponto P, P terá de pertencer a uma reta do plano θ. Assim, por P conduziu-se uma reta h, horizontal (de nível), pertencente ao plano θ h é ortogonal à reta r, pois h 1 é perpendicular a r 1. Já temos uma «familía» de retas do plano θ que é ortogonal à reta r. Necessitamos de uma outra, que terá de ser a das retas frontais (de frente) de θ. Por F, traço frontal de h, conduziu-se f θ, perpendicular a r 2 f θ é uma reta frontal do plano θ e é ortogonal à reta r, pois a ortogonalidade verifica-se diretamente em projeção frontal. Em seguida desenhou-se h θ, que é concorrente com f θ num ponto do eixo X e é paralelo a h 1 (perpendicular a r 1 ). O plano θ é ortogonal à reta r (contém duas retas concorrentes ortogonais à reta r) e passa pelo ponto P, pois P pertence a uma reta do plano θ (a reta h). 32. Em primeiro lugar, representaram-se a reta s e o ponto T, pelas suas projeções, em função dos dados. Para que o plano δ seja ortogonal à reta s, o plano δ tem de conter duas retas concorrentes ortogonais à reta s (duas «famílias» de retas ortogonais à reta s) essas retas terão de ser uma reta horizontal (de nível), h, e uma reta frontal (de frente), f, concorrentes em T. Estas retas são ortogonais a s, pois h 1 é perpendicular a s 1 (a ortogonalidade entre a reta s e a reta h verifica-se diretamente em projeção horizontal, pois h é paralela ao Plano Horizontal de Projeção) e f 2 é perpendicular a s 2 (a ortogonalidade entre a reta s e a reta f verifica-se diretamente em projeção frontal, pois a reta f é paralela ao Plano Frontal de Projeção). 9

10 33. Em primeiro lugar, representaram-se a reta p e o ponto P, pelas suas projeções, em função dos dados. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pois situam-se na mesma reta de perfil. Um plano ortogonal a uma reta de perfil é, necessariamente, um plano de rampa. Assim, já sabemos uma das «famílias» das retas do plano que são ortogonais à reta p as retas fronto-horizontais. Por outro lado, para que o ponto P pertença ao plano, o ponto terá de pertencer a uma reta do plano essa reta poderá ser uma reta fronto-horizontal. Assim, por P conduziu-se uma reta g, fronto-horizontal, pertencente ao plano. Necessitamos de uma outra reta do plano essa reta terá, também ela, de ser ortogonal à reta p. Essa reta poderá ser uma reta de perfil. Conduziu-se, pela reta p, um plano de perfil π. A reta i, de perfil, é a reta de interseção do plano π com o plano de rampa ortogonal à reta p a reta i é necessariamente ortogonal à reta p e contém o ponto P, que é o ponto de interseção da reta g com o plano π. A reta i está, assim, definida por um ponto (o ponto P ) e por uma direção (é ortogonal à reta p). Resolveu-se o problema através do rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projeção. A reta p r está definida por A r e por B r. A reta i r passa por P r e é ortogonal à reta p r. Note que as retas p e i são perpendiculares, pois são concorrentes são complanares (estão contidas no mesmo plano de perfil). Em seguida, determinaram-se os traços da reta i, em rebatimento, e inverteu-se o rebatimento. Pelos traços da reta i conduziram-se os traços homónimos do plano ρ, de rampa, que é ortogonal à reta p. 34. Em primeiro lugar, representaram-se a reta r e o ponto P, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, uma vez que a ortogonalidade entre a reta r, que é oblíqua, e a reta p, que é também oblíqua, não se observa diretamente em nenhuma das projeções (nenhuma das duas retas é paralela a qualquer dos planos de projeção), é necessário fazer com que a reta p esteja contida num plano ortogonal à reta r. Por outro lado, uma vez que se pretende que a reta p contenha o ponto P, esse plano ortogonal à reta r tem, necessariamente, de conter o ponto P. Assim, conduziu-se, por P, um plano α perpendicular a r (para o que se recorreu a uma reta f, frontal) ver exercício 31. Todas as retas de α são ortogonais ou perpendiculares a r. A reta p é a reta do plano α que contém P tal que p 1 faz, com o eixo X, o ângulo pretendido. A reta p tem de ter os seus traços sobre os traços homónimos do plano α, para pertencer a α. Determinaram-se os traços da reta F e H. A reta p está definida por H, P (a reta passa por P) e F, mas poderia estar definida, apenas, por H e P, por exemplo (bastavam dois pontos). 35. Ver relatório do exercício anterior. A reta f, frontal (de frente), foi a reta a que se recorreu para determinar o plano ortogonal à reta m que contém o ponto A. O plano δ é o plano que contém o ponto A e é ortogonal à reta r δ tem os seus traços coincidentes. A reta p, pretendida, por ser passante, tem de ser concorrente com os traços do plano δ num ponto do eixo X, tendo sido esse o raciocínio que nos permitiu desenhar as duas projeções da reta p. A reta p está definida por dois pontos A e o seu ponto de concor rência com o eixo X. 10

11 36. Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano ρ seja ortogonal ao plano α, o plano ρ tem de conter uma reta ortogonal ao plano α. Por outro lado, para que o plano ρ contenha o ponto M, M tem de pertencer a uma reta do plano ρ. Assim, conduziu-se, por M, uma reta p, ortogonal ao plano α (ver exercício 24). Qualquer plano que contenha a reta p é ortogonal a α e contém o ponto M. Determinaram-se os traços da reta p F e H. Pelos traços de p conduziram-se os traços homónimos de ρ. O plano ρ é ortogonal ao plano α (pois contém uma reta ortogonal a α a reta p) e contém o ponto M (pois M pertence a uma reta de ρ a reta p). 37. Em primeiro lugar, representaram-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto T, pelas suas projeções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do plano θ, ortogonal a δ, ver relatório do exercício anterior. A reta p é a reta auxiliar do plano θ a que se recorreu, passando por T é uma reta frontal (de frente). H é o traço horizontal de p h θ contém H e faz, com o eixo X, o ângulo pretendido. Em seguida, determinou- -se que o traço frontal de θ, f θ f θ é concorrente com h θ no eixo X e é paralelo a p. 38. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ν, pelo seu traço frontal, e o ponto P, pelas suas projeções, em função dos dados. Para que um plano seja ortogonal a um plano horizontal (de nivel) é necessariamente uma reta do plano. Assim, por P conduziu-se uma reta v, vertical, ortogonal ao plano ν qualquer plano que contenha a reta v será necessariamente ortogonal ao plano ν e contém o ponto P. Optou-se por representar um plano vertical (projetante horizontal) qualquer. Note que existem infinitos planos verticais que podem conter a reta v, sendo que todos eles serão ortogonais ao plano ν. Assim, o presente problema admite infinitas soluções todos os planos verticais que contêm a reta v e, ainda, o plano frontal (de frente) e o plano de perfil que contêm a reta v. 39. Em primeiro lugar, representou-se o plano α pelos seus traços, em função dos dados os seus traços são coincidentes, pois o plano α é ortogonal ao β 2/4. Em seguida, para que um ponto pertença a um plano, o ponto tem de pertencer a uma reta do plano. Assim, recorreu-se a uma reta frontal (de frente) do plano, com 3 cm de afastamento a reta f (que é o lugar geométrico dos pontos do plano com 3 cm de afastamento). O ponto A é o ponto da reta f que tem 4 cm de cota. 11

12 40. Em primeiro lugar, representaram-se os planos α e δ pelos seus traços, em função dos dados. O plano α tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β 1/3, e o plano δ tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β 2/4. Recorrendo ao caso geral da interseção entre planos, determinou-se imediatamente o traço frontal da reta i (a reta de interseção dos dois planos), o ponto F, que é o ponto de concorrência dos traços frontais dos dois planos. Já temos um ponto para definir a reta i falta-nos outro ponto ou uma direção. Os traços horizontais dos dois planos, por sua vez, não se intersetam nos limites do papel. Assim, recorreu-se a um plano auxiliar frontal (de frente) ϕ e determinaram-se as retas de interseção de ϕ com os planos α e δ as retas a e b, respetivamente. As retas a e b são complanares (estão, ambas, contidas em ϕ) e não são paralelas, pelo que são concorrentes o ponto I é o ponto de concorrência das duas retas e é um outro ponto comum aos planos α e δ (I é um ponto comum aos três planos). A reta i está, assim, definida por dois pontos F, o seu traço frontal, e I. 41. Em primeiro lugar, representaram-se os planos ρ e σ, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ρ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X e σ tem os seus traços coincidentes (ver exercício anterior). Para a determinação das projeções da reta i ver relatório do exercicio 21. A reta de interseção entre dois planos é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aos dois planos, o que resulta numa reta pertencente à única «família» de retas comum aos dois planos. A única «família» de retas comum a dois planos de rampa é a das retas fronto-horizontais, pelo que a reta de interseção de ρ com σ é necessariamente uma reta fronto-horizontal. Já temos a direção necessitamos de um ponto para a definirmos. Recorreu-se a um plano auxiliar α, vertical, e determinaram-se as retas de interseção de α com ρ e σ as retas a e b, respetivamente. As retas a e b são complanares (estão ambas contidas no plano auxiliar α) e não são paralelas, pelo que são concorrentes o ponto I é o ponto de concorrência de a com b e é o ponto comum aos três planos, logo é um ponto comum aos planos ρ e σ. I é, assim, necessariamente um ponto da reta de interseção dos planos ρ e σ. A reta i é a reta fronto-horizontal que passa por I. 42. Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e a reta r, pelas suas projeções, em função dos dados. A reta r tem as suas projeções paralelas entre si, pois é paralela ao β 2/4. O plano α tem traços coincidentes, pois é ortogonal ao β 2/4. As projeções da reta r são perpendiculares aos traços homónimos do plano α, pois a reta é ortogonal ao plano α. Uma vez que nem a reta nem o plano são projetantes, para a determinação do ponto de interseção da reta com o plano recorreu-se ao método geral da interseção de retas com planos. Assim, conduziu-se, pela reta, um plano auxiliar o plano δ, que é um plano vertical. Em seguida, determinou-se a reta de interseção dos dois planos a reta i. O ponto de concorrência das retas r e i é o ponto I, o ponto de interseção da reta r com o plano α. 43. Ver relatório do exercício 30. O ponto da reta p que foi escolhido para a definir foi o seu traço frontal, F. A reta p, definida por P e por F, é ortogonal ao plano ρ. 12

13 44. Em primeiro lugar, representou-se a reta r, pelas suas projeções, em função dos dados a reta r é paralela ao β 1/3, pelo que a sua projeção frontal faz, com o eixo X, um ângulo de 30 (a.d.), que é igual ao ângulo que a sua projeção frontal faz com o eixo X. Em seguida, representou-se o ponto M. Uma vez que nem a reta r nem a reta pretendida são paralelas a qualquer dos dois planos de projeção, a ortogonalidade não se verifica diretamente em nenhuma das projeções. Assim, é necessário conduzir, por M, um plano ortogonal a r o plano α contém o ponto M e é ortogonal à reta r, pois os seus traços são perpendiculares às projeções homónimas da reta r. Todas as retas de α são perpendiculares a r. Tendo em conta que se pretende uma reta do β 1/3 que seja ortogonal à reta r, a reta p será a reta de interseção do plano α com o β 1/3. O ponto M é, já, um ponto dos dois planos, pelo que já temos um ponto falta-nos outro ponto ou uma direção. Recorreu-se a uma reta h, horizontal (de nível), do plano α e determinou-se o seu traço no β 1/3 o ponto Q. O ponto Q é, assim, um outro ponto que pertence aos dois planos (o plano α e o β 1/3 ). A reta p fica definida por M e Q. A reta p é uma reta do β 1/3, pois tem as suas projeções simétricas em relação ao eixo X, e é ortogonal à reta r, pois está contida num plano ortogonal à reta r o plano α. 15 PROCESSOS GEOMÉTRICOS AUXILIARES II 45. Em primeiro lugar, representou-se o segmento de reta [AB] pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que uma reta vertical é um caso particular das retas frontais (de frente). Assim, em primeiro lugar transformou-se [AB] num segmento frontal (de frente) com 2 cm de afastamento, substituindo o Plano Frontal de Projeção (plano 2) pelo plano 4, paralelo a [AB] e a 2 cm deste. O eixo X é a reta de interseção do plano 4 com o Plano Horizontal de Projeção (plano 1). Manteve-se o Plano Horizontal de Projeção, pelo que se mantiveram as projeções horizontais e as cotas dos pontos A e B. A 4 e B 4 são as projeções de A e B no plano 4, que se determinam em função das cotas dos pontos. No novo diedro de projeção, o segmento de reta [AB] é frontal (de frente) e tem 2 cm de afastamento. Um segmento vertical é ortogonal ao Plano Horizontal de Projeção. Assim, substituiu-se o Plano Horizontal de Projeção (plano 1) pelo plano 5, ortogonal a [AB]. O eixo X é a reta de interseção do plano 4 com o plano 5 e é perpendicular à reta suporte de [A 4 B 4 ]. Manteve-se o plano 4, pelo que se mantiveram as projeções no plano 4 e o afastamento dos pontos, que passou a ser 2 cm (e está referenciado ao plano 4). A 5 e B 5 determinam-se em função do seu afastamento, que é 2 cm. No diedro de projeção formado pelo plano 4 e pelo plano 5, [AB] é vertical e tem 2 cm de afastamento. A V.G. de A B é A 4 B Em primeiro lugar, representou-se o segmento de reta [MN] pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que uma reta fronto-horizontal é um caso particular das retas frontais (de frente) e das retas horizontais (de nível). Começou-se por transformar [MN] num segmento horizontal (de nível) com 3 cm de cota. Para tal, substituiu-se o Plano Horizontal de Projeção (plano 1) pelo plano 4, paralelo a [MN] e a 3 cm deste. O eixo X é a reta de interseção do Plano Frontal de Projeção (plano 2) com o plano 4. Manteve-se o Plano Frontal de Projeção, pelo que se mantiveram as projeções frontais e os afastamentos dos pontos M e N. M 4 e N 4 determinam-se em função dos seus afastamentos, que se mantêm. No novo diedro de projeção, o segmento de reta [MN] é horizontal (de nível) e tem 3 cm de cota. Um segmento fronto-horizontal é paralelo ao Plano Frontal de Projeção. Assim, em seguida substituiu-se o Plano Frontal de Projeção (plano 2) pelo plano 5, paralelo a [MN] e a 2 cm deste. O eixo X é a reta de interseção do plano 4 com o plano 5 e é paralelo a [M 4 N 4 ]. Manteve-se o plano 4, pelo que se mantiveram as projeções no plano 4 e a cota dos pontos, que passou a ser 3 cm (e está referenciada ao plano 4). M 5 e N 5 determinam-se em função das suas cotas, que é 3 cm. No diedro de projeção formado pelo plano 4 e pelo plano 5, [MN] é fronto-horizontal e tem 3 cm de cota e 2 cm de afastamento. A V.G. de M N é M N 4 4 ou M N

14 47. Em primeiro lugar, representou-se a reta r, pelas suas projeções a reta r tem as suas projeções paralelas entre si, pois é paralela ao β 2/4. Em seguida, teve-se em conta que uma reta de topo é um caso particular das retas horizontais (de nível). Assim, começou- -se por transformar r numa reta horizontal (de nível) com 2 cm de cota. Nesse sentido, substituiu-se o Plano Horizontal de Projeção (plano 1) pelo plano 4, paralelo a r e a 2 cm desta, cuja reta de interseção com o Plano Frontal de Projeção (plano 2) é o eixo X. Mantêm-se as projeções frontais e os afastamentos. R 4 determinou-se em função do seu afastamento, que se mantém. Para definir a reta r no novo diedro de projeção necessitamos de um outro ponto para além de R. Assim, recorreu-se a um outro ponto de r F, o seu traço frontal. F 4 determinou-se em função do seu afastamento, que é nulo e se mantém r 4 fica definida por R 4 e F 4. No novo diedro de projeção, a reta r é uma reta horizontal (de nível). Uma reta de topo é ortogonal ao Plano Frontal de Projeção. Assim, substituiu-se o Plano Frontal de Projeção (plano 2) pelo plano 5, ortogonal a r. O eixo X é a reta de interseção do plano 4 com o plano 5 e é perpendicular a r 4. Mantêm-se as projeções no plano 4 e as cotas (agora referenciadas ao plano 4) note que, agora, todos os pontos da reta já têm a mesma cota, que é 2. R 5 e F 5 determinaram-se em função das suas cotas (e estão coincidentes) r 5, a projeção da reta r no plano 5, é um ponto, pois no diedro de projeção formado pelo plano 4 e pelo plano 5 a reta r é de topo (projetante frontal). 48. Em primeiro lugar, representou-se o triângulo [ABC], em função dos dados. Note que os traços de α são simétricos em relação ao eixo X, pois α é ortogonal ao β 1/3. Um plano frontal (de frente) é um caso particular dos planos projetantes horizontais. Nesse sentido, em primeiro lugar há que transformar α num plano projetante horizontal, para o que se substituiu o Plano Horizontal de Projeção (plano 1) pelo plano 4, ortogonal a α. Manteve-se o Plano Frontal de Projeção, pelo que se mantiveram as projeções frontais e os afastamentos. O eixo X' é a reta de interseção do plano 2 com o plano 4 e é perpendicular a f α. As projeções de A, B e C no plano 4 (A 4, B 4 e C 4 ) determinaram-se em função dos seus afastamentos, que se mantiveram. O traço do plano α no plano 4, h 4α, passa por A 4, B 4 e C 4 e é concorrente com f α no eixo X. No novo diedro de projeção, o plano α já é um plano vertical (projetante horizontal). Um plano frontal (de frente) é um plano projetante horizontal que é paralelo ao Plano Frontal de Projeção. Assim, em seguida, substituiu-se o Plano Frontal de Projeção (plano 2) pelo plano 5, paralelo a α e situado a 2 cm deste (o afastamento pretendido). O eixo X é a reta de interseção do plano 4 com o plano 5 e é paralelo a h 4α. Mantiveram-se as projeções no plano 4 e as cotas, agora referenciadas ao plano 4. As projeções de A, B e C no plano 5 (A 5, B 5 e C 5 ) determinaram-se em função das suas cotas, que se mantiveram. No diedro de projeção formado entre o plano 4 e o plano 5, o plano α é frontal (de frente) com 2 cm de afastamento e não tem traço frontal. A V.G. do triângulo está no triângulo [A 5 B 5 C 5 ]. 49. Em primeiro lugar, representou-se o plano ρ pelos seus traços, em função dos dados. Os dados sobre os pontos P, Q e R permitem-nos, imediatamente, determinar as suas projeções frontais. A reta r foi a reta do plano ρ que foi utili zada para a determinação das projeções horizontais dos pontos P e Q r 2 contém P 2 e Q 2. Sobre a reta r represen tou-se um ponto R, com a cota de R. Note que os pontos R e R se situam, necessariamente, na mesma reta fronto-horizontal do plano, pelo que ambos têm a mesma cota e o mesmo afastamento, tendo, apenas, abcissas distintas. A partir das projeções dos três pontos desenharam-se as projeções do triângulo [PQR]. Em seguida, teve-se em conta que um plano horizontal (de nível) é um caso particular dos planos projetantes frontais. Assim, em primeiro lugar, co meçou-se por transformar o plano ρ num plano projetante frontal, substituindo o Plano Frontal de Projeção (plano 2) por um plano 4, ortogonal a ρ. O eixo X é a reta de interseção do plano 1 com o plano 4 e é perpendicular a h ρ. manteve-se o Plano Horizontal de Projeção, pelo que se mantiveram as projeções horizontais e as cotas. As projeções de P, (Continua na página seguinte) 14

15 Q e R no plano 4 (P 4, Q 4 e R 4 ) determinaram-se em função das suas cotas, que se mantiveram. O traço do plano ρ no plano 4, f 4 ρ, passa por P 4, Q 4 e R 4 e é concorrente com h ρ no eixo X. No novo diedro de projeção (formado pelo Plano Horizontal de Projeção e pelo plano 4), o plano ρ é um plano de topo (projetante frontal). Um plano hori zontal é um plano de topo que é paralelo ao Plano Horizontal de Projeção. Assim, em seguida substituiu-se o Plano Horizontal de Projeção (plano 1) pelo plano 5, paralelo a ρ e situado a 1 cm deste (a cota pretendida). O eixo X é a reta de interseção do plano 4 com o plano 5 e é paralelo a f 4 ρ. Mantiveram-se as projeções no plano 4 e os afas tamentos, agora referenciados a este. As projeções de P, Q e R no plano 5 (P 5, Q 5 e R 5 ) determinaram-se em fun ção dos seus afastamentos, que se mantiveram. No diedro de projeção formado pelo plano 4 e pelo plano 5, o plano ρ é um plano horizontal (de nível) com 1 cm de cota e não tem traço horizontal. A V.G. do triângulo está no triângulo [P 5 Q 5 R 5 ]. 50. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções do segmento [AB], em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que uma reta de topo é um caso particular das retas horizontais (de nível). Assim, começou-se por transformar [AB] num segmento horizontal (de nível). São as cotas que se alteram (de forma a ficarem todas iguais), pelo que a ro tação se processa em planos frontais (de frente) o eixo é uma reta de topo, qualquer, cujas projeções se dese nha ram imediatamente (reta e). O ponto P é o ponto a rodar e o centro da sua rotação é O [OP] é simultaneamente per - pendicular a [AB] e a e. O ponto P rodou até a reta suporte de [A 2 B 2 ] ficar paralela ao eixo X (o ponto P é o ponto P rodado e [OP ] é perpendicular ao eixo X). O ponto P manteve o seu afastamento, tal como A e B. Note que se omitiu a representação dos planos frontais (de frente) que contêm os arcos da rotação de A, B e P, apesar de se ter recorrido a eles (através das paralelas ao eixo X que passam por A 1, B 1 e P 1 ). A 2 e B 2 rodaram até encontrarem a reta suporte de [A 2 B 2 ] (que é paralela ao eixo X e passa por P 2 ). [A B ] é o segmento [AB] rodado e é horizontal (de nível). Uma reta de topo é uma reta horizontal (de nível) que é ortogonal ao Plano Frontal de Projeção assim, para transformar [A B ] num segmento de reta de topo, são os afastamentos que se alteram a rotação do segmento processa-se num plano horizontal (de nível), pelo que na rotação seguinte o eixo é vertical (o eixo e escolheu-se criteriosamente, de forma a ser P o ponto a rodar). O centro da rotação de P é Q [QP ] é simultaneamente perpendicular a [A B ] e a e. O ponto P rodou até a reta suporte de [A 1 B 1 ] ficar perpendicular ao eixo X (o ponto P é o ponto P rodado e [QP ] é paralelo ao eixo X). O ponto P manteve a sua cota, tal como A e B. A 1 e B 1 rodaram até encontrarem a reta su porte de [A 1 B 1 ] (que é perpendicular ao eixo X e passa por P 1 ([A B ] é [A B ] rodado). Na sua nova posição, [AB] é de topo e a sua V.G. é A 1 B Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções da reta r, em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que uma reta vertical é um caso particular das retas frontais (de frente). Assim, começou-se por transformar r numa reta frontal (de frente). São os afastamentos que se alteram (de forma a ficarem todos iguais), pelo que a rotação se processa em planos horizontais (de nível) o eixo é uma reta vertical, qualquer, cujas projeções se desenharam imediatamente (reta e). O ponto que nos permite rodar a reta é A e o centro da sua rotação é O [OA] é simultaneamente perpendicular a r e a e. O ponto A rodou até r 1 ficar paralela ao eixo X (A é o ponto A rodado e [OA ] é perpendicular ao eixo X). O ponto A manteve a sua cota, ao longo da sua rotação. Para definirmos uma reta necessitamos de dois pontos ou de um ponto e uma direção. Assim, é necessário o recurso a um outro ponto da reta r, para definirmos r 2. O ponto escolhido foi o seu traço frontal F. F 1 rodou até encontrar r 1, mantendo-se a cota de F r 2 fica definida por A 2 e F 2. A reta r é a reta r rodada e é frontal (de frente), na sua nova posição. Uma reta vertical é uma reta frontal (de frente) que é ortogonal ao Plano Horizontal de Projeção assim, para transformar r numa reta vertical são as cotas que se alteram, mantendo-se os afastamentos. A rotação seguinte processa-se, assim, num plano frontal (de frente) e o eixo é e e é de topo (note que se escolheu e criteriosamente, de forma a A ser o ponto a rodar). O centro da rotação de A é Q [QA ] é perpendicular a r e a e. O ponto A rodou até a reta r 2 ficar perpendicular ao eixo X o ponto A é o ponto A rodado e [QA ] é paralelo ao eixo X. A manteve o seu afastamento na sua rotação. A reta r é vertical e passa por A, não tendo sido necessária a rotação de F para a determinação das projeções da reta na sua nova posição. A projeção horizontal da reta é, agora, um ponto. 15

16 52. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções do segmento [RS], em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que um segmento fronto-horizontal é um caso particular tanto das retas frontais (de frente) como das retas horizontais (de nível). Assim, há que começar por transformar [RS] num segmento de reta horizontal (de nível) ou frontal (de frente). Optou-se pela segunda hipótese ver relatório do exercício anterior. A rotação processa-se em planos horizontais o eixo é uma reta e, vertical, qualquer. O ponto P é o ponto a rodar e o centro da sua rotação é O. P roda até [OP ] ficar perpendicular ao eixo X (P é o ponto P rodado) e a reta suporte de [R 1 S 1 ] ficar paralela ao eixo X. P, R e S mantiveram as suas cotas. [R S ] é [RS] rodado e é frontal (de frente). A rotação seguinte processa-se em planos frontais (de frente), pois para transformar [R S ] num segmento fronto-horizontal, as alterações processar-se-ão ao nível das cotas e não dos afastamentos. O novo eixo, e, é de topo e escolheu-se de forma a ser P o ponto a rodar, cujo centro de rotação é Q. P roda até [QP ] ficar perpendicular ao eixo X e a reta suporte de [R 2 S 2 ] ficar paralela ao eixo X. P, R e S mantiveram os seus afastamentos. [R S ] é [R S ] rodado. Na sua nova posição, [RS] é de topo e a sua V.G. é R 1 S 1 ou R 2 S Em primeiro lugar, representou-se o plano α, pelos seus traços, e o triângulo [ABC], pelas suas projeções, pertencente ao plano. Em seguida, teve-se em conta que um plano frontal (de frente) é projetante horizontal. Nesse sentido, começou-se por transformar o plano α num plano projetante horizontal (vertical) as retas frontais (de frente) de um plano vertical são verticais, pelo que f α tem de ficar perpendicular ao eixo X (vertical). Os afastamentos mantêm-se, pelo que a rotação se processa em planos frontais (de frente) o eixo da rotação, e, é uma reta de topo qualquer (por economia de traçados optou-se por conduzir e pelo ponto A). O ponto P é o ponto de f α que nos permite rodar o plano [OP] é simultaneamente perpendicular a f α e a e (O é o centro da rotação de P). O ponto P rodou até [OP] ficar paralelo ao eixo X f α, que é perpendicular a [OP], fica perpendicular ao eixo X e passa por P (que é o ponto P rodado). A A, pois A é um ponto do eixo da rotação (roda sobre si próprio, pois é fixo). O novo traço horizontal de α, h α, é concorrente com f α, no eixo X e contém A 1, pois α, após a rotação, é projetante horizontal (é vertical). Os pontos B e C mantêm os afastamentos na sua rotação, o que nos permite determinar B 1 e C 1 sobre h α. B 2 e C 2 rodaram até às respetivas linhas de chamada (a amplitude da rotação de B 2 e C 2 foi igual à da rotação de P 2 ). Um plano frontal (de frente) é um plano projetante horizontal que é paralelo ao Plano Frontal de Projeção. Assim, na rotação seguinte, com vista a tornar α num plano paralelo ao Plano Frontal de Projeção, as alterações processam-se ao nível dos afastamentos a rotação processa-se, pois, em planos horizontais (de nível), pelo que o eixo é vertical. O segundo eixo de rotação, e, escolheu-se por forma a A ser o ponto a rodar [QA ] é perpendicular a α e a e (Q é o centro da rotação de A ). A rodou até [QA ] ficar perpendicular ao eixo X h α, na sua nova posição (h α ) ficou paralelo ao eixo X. O plano α é, agora, frontal (de frente) e não tem traço frontal. B 1 e C 1 rodaram até (h α ), obtendo-se B 1 e C 1. B 2 e C 2 mantiveram as suas cotas, o que nos permitiu determinar B 2 e C 2 nas linhas de chamada de B 1 e C 1. O plano α, na sua nova posição, é um plano frontal (de frente), pelo que a V.G. do triângulo [ABC] está no triângulo [A 2 B 2 C 2 ]. 54. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o triângulo [PQR], pelas suas projeções, pertencente ao plano. Sobre a determinação das projeções do triângulo [PQR], ver relatório do exercício 49. O ponto M foi o ponto da reta r que nos permitiu determinar as projeções do ponto R. Em seguida, teve-se em conta que um plano horizontal (de nível) é projetante frontal. Assim, começou-se por transformar o plano ρ num plano projetante frontal (de topo) as retas horizontais (de nível) de um plano de topo são retas de topo, pelo que h ρ tem de rodar até ficar perpendicular ao eixo X (de topo). As cotas mantêm-se, pelo que a rotação processa-se em planos horizontais (de nível) o eixo da rotação, e, é uma reta vertical qualquer (por economia de traçados, optou-se por conduzir e pelo ponto P). O ponto A é o ponto de h ρ que nos permite rodar o plano [OA] é simultaneamente perpendicular a h ρ e a e (O é o centro da rotação de A). O ponto A rodou até [OA] ficar paralelo ao eixo X h ρ, que é perpendicular a [OA], fica perpendicular ao eixo X e passa por A (que é o ponto A rodado). P P, pois P é um ponto do eixo da rotação (roda sobre si próprio, pois é fixo). O novo traço frontal de ρ, f ρ é concorrente com h ρ no eixo X e contém P 2, pois ρ, após a rotação, é projetante frontal (é de topo). Os pontos Q e R mantêm as cotas na sua rotação, o que nos permite determinar Q 2 e R 2 sobre f ρ. Q 1 e R 1 rodaram até às respetivas linhas de chamada (a amplitude da rotação de Q 1 e R 1 foi igual à da rotação de A 1 ). Um plano horizontal (de nível) é um plano projetante frontal que é paralelo ao Plano Horizontal de Projeção. Assim, na rotação seguinte, com vista a tornar ρ num plano paralelo ao Plano Horizontal de Projeção, as alterações processam-se ao nível das cotas a rotação processa-se em planos frontais (de frente), (Continua na página seguinte) 16