SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS"

Transcrição

1 SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS NOTA: Se bem que os dados métricos dos enunciados estejam em centímetros, as soluções apresentadas a partir da página seguinte não consideraram o centímetro como unidade. De facto, entende-se que o objetivo da consulta das soluções dos exercícios, na perspetiva do estudante, deve ser a verificação da correção dos raciocínios e dos traçados e não a comparação métrica dos mesmos. Dessa forma, considerou-se de maior utilidade o desenvolvimento dos relatórios e a resolução gráfica dos problemas a uma escala que evite qualquer tentativa de comparação métrica. De qualquer forma, considera-se relevante informar que a escala utilizada nas resoluções apresentadas foi de 1 / 2, o que significa que a cada centímetro da resolução do aluno corresponderá 0,5 cm nestas soluções. 13 PARALELISMO 1. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções das retas p e p, em função dos dados. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pois todos os pontos de uma reta de perfil têm a mesma abcissa. Da mesma forma, os pontos C e D também têm a mesma abcissa. Sobre a posição relativa das duas retas, sabe-se imediatamente que não são concorrentes podem ser paralelas ou enviesadas. Se forem paralelas, então são complanares, pelo que quaisquer duas retas concorrentes com p e p serão, também elas, complanares. Recorreu-se a duas retas auxiliares, as retas r e s. A reta r é concorrente com p em A e com p' em D (está definida por dois pontos). A reta s é concorrente com p em B e com p' em C (está definida por dois pontos). As retas r e s não são complanares (não são paralelas nem con correntes), pelo que p e p' não são complanares logo, não são paralelas. 2. As projeções de p' determinaram-se imediatamente. No entanto, a reta p não fica totalmente definida, pois necessitamos de mais um ponto da reta (para além de M) para a definirmos. Como as retas p e p são paralelas, então são complanares, pelo que quaisquer duas retas concorrentes com p e p serão igualmente complanares. Assim, recorreu-se a uma reta do plano definido pelas retas p e p a reta r, que está definida por A e M (que são os pontos de concorrência de r com p e p, respetivamente). Em seguida, recorreu-se a uma outra reta, a reta s, paralela à reta r e concorrente com a reta p no ponto B a reta s está definida por um ponto e uma direção e é complanar com as retas r e p. A reta s terá, também, de ser complanar com a reta p, pelo que, não sendo paralela a esta, será necessariamente concorrente o ponto N é o ponto de con corrência das retas s e p. A reta p, definida por M e N, é necessariamente paralela à reta p. 3. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções das duas retas, que estão coincidentes (as projeções), uma vez que as duas retas se situam no mesmo plano de perfil. Para averiguar o paralelismo entre as duas retas, na presente situação é mais conveniente recorrer ao rebatimento do plano de perfil que contém as duas retas. O plano π é o plano de perfil que contém as retas p e p. Efetuou-se o rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projeção (a charneira foi f π ). Rebateram-se os pontos que definem as duas retas, obtendo-se p r (definida por F r e E r ) e p r (definida por M r e N r ). Em rebatimento observa-se que p r e p r são paralelas, pelo que, no espaço, as retas p e p são necessariamente paralelas. Note que este exercício poderia ser resolvido com o recurso, por exemplo, a uma mudança do diedro de projeção. 1

2 4. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projeções. Em seguida, desenhou-se a projeção frontal da reta r r 2 passando por P 2 e fazendo, com o eixo X, o ângulo pedido. Para a reta r ser paralela ao plano ρ, terá de ser paralela a uma reta do plano. Para tal, recorreu-se a uma reta auxiliar s, pertencente ao plano e garantindo que s seja paralela à reta r s 2 é paralela a r 2. A reta s está definida pelos seus traços (condição para que uma reta pertença a um plano). Em seguida, conduziu-se, por P 1, a projeção horizontal da reta r (r 1 ), paralela a s 1. A reta r é paralela ao plano ρ, pois é paralela a uma reta do plano (a reta s). 5. Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projeções. Em seguida, para determinar as projeções da reta h, paralela a α, é necessário que h seja paralela a uma reta do plano, reta essa que terá, necessariamente, de ser uma reta horizontal (de nível). O traço horizontal do plano é uma reta horizontal (de nível) do plano com cota nula, pelo que, para resolver o exercício, basta que a reta h, passando ponto P, seja paralela a h α a reta h fica, assim, paralela a uma reta do plano, pelo que é paralela ao plano. 6. Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projeções. Para que a reta m seja paralela ao plano θ, tem de ser paralela a uma reta do plano. Uma vez que o plano θ é projetante frontal (projeta todas as suas retas e pontos no Plano Frontal de Projeção, no seu traço frontal) qualquer reta do plano tem necessariamente a sua projeção frontal sobre f θ, sendo que a sua projeção horizontal pode ter uma posição qualquer, à exceção da vertical. Assim, para que m seja paralela ao plano θ, basta que m 2 seja paralela a f θ, podendo m 1 ter uma posição qualquer. Sublinha-se que o facto de m 2 ser paralela a f θ garante que a reta m é necessariamente paralela a uma reta qualquer do plano θ. 7. Em primeiro lugar, representaram-se a reta r e o ponto C, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano contenha o ponto C, o ponto C tem de pertencer a uma reta do plano. Por outro lado, para que o plano α seja paralelo à reta r, tem de conter uma reta paralela à reta r. Assim, há que conduzir, por C, uma reta paralela à reta r, que será uma reta do plano α a reta s. Determinaram-se os traços da reta s, pois os traços da reta têm de estar sobre os traços homónimos do plano (condição para que uma reta pertença a um plano). Em seguida, pelo traço frontal de s conduziu-se f α, com o ângulo pretendido (f α está definido por um ponto e uma direção) h α é concorrente com f α sobre o eixo X e contém H, o traço horizontal de s (h α está definido por dois pontos). O plano α é paralelo a r, pois contém uma reta paralela a r (a reta s). O plano α contém o ponto C, pois C pertence a uma reta do plano (a reta s). 2

3 8. Ver relatório do exercício anterior. Pelos traços de s conduziram-se os traços homónimos de ρ, que são retas fronto-horizontais. O plano ρ é paralelo a r, pois contém uma reta paralela a r (a reta s). O plano ρ contém o ponto C, pois C pertence a uma reta do plano (a reta s). 9. Em primeiro lugar, representaram-se a reta f e o ponto N, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, por N conduziu-se uma reta f, paralela a f, e determinou-se H, o seu traço horizontal (ver relatório do exercício 7). O plano δ tem os seus traços coincidentes, pelo que f δ e h δ têm a mesma direção (na folha de papel). Por outro lado, f δ é paralelo a f, pois retas frontais de um plano são paralelas entre si. Assim, por H conduziu-se h δ, com a direção de f δ (paralelo a f e f ) f δ é concorrente com h δ sobre o eixo X e é paralelo a f e f, pelo que f δ h δ. O plano δ é paralelo à reta f e tem os seus traços coincidentes. 10. Em primeiro lugar, representaram-se a reta h, pelas suas projeções, e a projeção horizontal da reta r, em função dos dados. Em seguida, atendendo a que a reta r é paralela ao β 2/4, pelo que tem as suas projeções paralelas entre si, desenhou-se r 2, a projeção frontal da reta r, passando por P 2. Em seguida, determinaram-se os traços das duas retas e desenharam-se os traços do plano f α fica definido por F e F (os traços frontais das duas retas) e h α é concorrente com f α no eixo X, é paralelo a h (retas horizontais de um plano são paralelas entre si) e contém H (o traço horizontal da reta r). 11. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projeções. Em seguida desenhou-se a 1, a projeção horizontal da reta a, passando por P 1 e com o ângulo pedido. Atendendo a que a reta a é paralela ao β 1/3, a projeção frontal da reta a fará, também, um ângulo de 50 (a.d.) com o eixo X, passando por P 2 este raciocínio permitiu-nos desenhar a 2. Em seguida, para determinar o ponto de interseção da reta a com o plano ρ (ponto I), e atendendo a que nem a reta nem o plano são projetantes, recorreu-se ao método geral da interseção entre retas e planos, que consistiu em: 1. conduzir, pela reta, um plano auxiliar (o plano α é um plano vertical que contém a reta); 2. determinar a reta de interseção dos dois planos (a reta i, definida pelos seus traços, é a reta de interseção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de interseção das duas retas (reta a e reta i) é o ponto I. 3

4 12. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções da reta h, em função dos dados. Em seguida, determinaram-se as projeções do ponto R, o ponto da reta h que tem 4 cm de afastamento (R é o ponto de concorrência de h e p). Pelas projeções de R conduziram-se imediatamente as projeções da reta p. Estas, no entanto, não são suficientes para definir a reta p, pelo que necessitamos de um outro ponto para além de R. Para tal, recorreu-se a uma reta p, de perfil, contida no β 1/3 a reta p está definida por A e B, que são dois pontos do β 1/3. Por A e R conduziu-se uma reta r (ver relatório do exercício 2). Por B conduziu-se uma reta s, paralela a r a reta s é concorrente com a reta p em B e será concorrente com a reta p em S. O ponto S é, assim, um outro ponto da reta p (ver relatório do exercício 2). A reta p está definida por R e S. Para a determinação dos traços de θ, recorreu-se a uma outra reta horizontal (de nível), h, paralela a h e concorrente com a reta p em S. A partir desse raciocínio, o exercício resultou na determinação dos traços de um plano definido por duas retas horizontais paralelas f θ fica definido por F e F (os traços frontais das retas h e h ) e h θ é concorrente com f θ no eixo X e paralelo a h e h (retas horizontais de um plano são paralelas entre si). Note que os traços de θ ficam coincidentes. Uma outra forma de resolver o problema seria o recurso ao rebatimento do plano de perfil que contém a reta p, o que nos permitiria obter em rebatimento, e de forma simultânea, a reta p, paralela ao β 1/3, e os traços de p nos planos de projeção. 13. Para que dois planos sejam paralelos, duas retas concorrentes de um dos planos têm de ser paralelas a duas retas concorrentes do outro (os dois planos têm de ter duas «famílias» de retas em comum). Atendendo a que os traços de um plano oblíquo são duas retas concorrentes desse plano, para que o plano δ seja paralelo a α basta que os seus traços sejam paralelos aos traços homónimos de α. Por outro lado, para que o plano passe pelo ponto P, é necessário que P se situe numa reta do plano δ. Assim, em primeiro lugar há que conduzir, por P, uma reta do plano δ essa reta terá de ser uma reta frontal ou uma reta horizontal, que são as retas do plano δ que já conhecemos (f δ é uma reta frontal e h δ é uma reta horizontal). Optou-se pela segunda hipó tese a reta h, horizontal, que passa por P é uma reta do plano δ pois será paralela a h δ, uma vez que retas horizontais de um plano são paralelas entre si (e h δ é paralelo a h α, pelo que já sabemos a direção das retas horizontais de δ). Em seguida, determinou-se F, o traço frontal de h. Por F conduziu-se f δ, paralelo a f α e h δ é paralelo a h α (e a h) e concorrente com f δ no eixo X. O plano δ contém o ponto P e é paralelo a α. 14. Em primeiro lugar, representaram-se os dois planos, pelos seus traços. Dois planos de rampa, paralelos ou não, têm sempre os seus traços homónimos paralelos entre si tal deve-se ao facto de os dois traços de um plano de rampa serem retas da mesma «família» de retas (são retas fronto-horizontais). Para que se verifique o critério de paralelismo entre dois planos, é necessário encontrar uma outra «família» de retas comum aos dois planos. Assim, desenharam-se as projeções de uma reta r, oblíqua, qualquer, do plano ρ. Se houver, no plano σ, uma reta paralela à reta r, então os dois planos são paralelos, pois têm duas «famílias» de retas em comum. Assim, desenharam-se as projeções de uma reta s, pertencente ao plano σ, tentando que seja paralela à reta r para tal desenhou-se s 1 paralela a r 1. Determinaram-se os traços da reta s, o que nos permitiu desenhar s 2 e a sua projeção frontal. Observa-se que s 2 é paralela a r 2, pelo que r e s são paralelas. Logo, os planos ρ e σ são paralelos, pois têm duas «famílias» de retas em comum. 4

5 15. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projeções. De acordo com o exposto no relatório do exercício anterior, os traços de σ serão sempre paralelos aos traços homónimos de ρ, quer os planos sejam paralelos ou não (são retas da mesma «família» de retas). Assim, há que recorrer a outra «família» de retas para garantir o paralelismo entre os dois planos. Por outro lado, para que o plano σ contenha o ponto M, é necessário que M pertença a uma reta do plano. Assim, desenharam-se as projeções de uma reta r, oblíqua, qualquer, de ρ. A reta r é uma reta de uma outra «família» de retas qualquer que tem de ser comum aos dois planos. Em seguida, por M conduziu-se uma reta s, paralela a r, e determinaram-se os seus traços. Pelos traços de s conduziram-se os traços homónimos de σ. O plano σ é paralelo a ρ (pois contém duas retas concorrentes paralelas a duas retas concorrentes do plano ρ) e contém o ponto M (pois M pertence a uma reta do plano a reta s). 16. Ver relatório do exercício Ver relatório do exercício Em primeiro lugar, representaram-se as retas a e h, pelas suas projeções, em função dos dados. Para que um plano seja paralelo a uma reta, esse plano tem de conter uma reta paralela à reta dada. Por outro lado, a reta h, por si, é insuficiente para definir o plano α, pelo que necessitamos de mais outro elemento do plano esse elemento pode ser, em função do que é pretendido, uma reta paralela à reta a. Essa reta terá de ser concorrente com a reta h, pois duas retas de um plano ou são paralelas ou são concorrentes. A reta r, concorrente com a reta h no ponto C, é a reta paralela à reta a a que se recorreu. O plano está definido, agora, por duas retas concorrentes a reta h e a reta r. Sobre a determinação dos traços do plano, ver relatório do exercício 10. O plano α contém a reta h e é para lelo à reta a, pois contém uma reta paralela a a a reta r. 5

6 19. Em primeiro lugar, representaram-se a reta p e o ponto R, pelas suas projeções, em função dos dados. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pois situam-se na mesma reta de perfil. Para que o plano ρ seja paralelo à reta p, terá de conter uma reta paralela à reta p. Por outro lado, para que o plano contenha o ponto R, R terá de se situar numa reta do plano. Assim, há que conduzir, por R, uma reta paralela à reta p, que será uma outra reta de perfil. Há ainda que ter em consideração que será necessário, em seguida, determinar os traços nos planos de projeção da reta de perfil paralela à reta p este procedimento implicará o recurso a processos geométricos auxiliares, nomeadamente o do rebatimento do plano de perfil. Assim, para conduzir, por R, uma reta de perfil paralela à reta p e resolver a situação num único rebatimento, com o recurso a retas fronto-horizontais, definiu-se uma reta a, de perfil, paralela a p e contida no mesmo plano de perfil do ponto R a reta a está definida por A e B, que são os pontos correspondentes de A e B que se situam no plano de perfil do ponto R. Em seguida conduziu-se, por R, uma reta paralela à reta p (e à reta a) a reta p. O plano π é o plano de perfil que contém o ponto R e as retas a e p. Rebateu- -se o plano π para o Plano Frontal de Projeção (a charneira foi f π ), obtendo-se a r (passando por A r e B r ) e R r. Por R r conduziu-se p r, paralela a a r. Em rebatimento, determinaram- -se os traços de p nos planos de projeção, determinando-se, em seguida, as suas projeções, através da inversão do rebatimento. Pelos traços de p conduziram-se os traços homónimos de ρ. O plano ρ contém o ponto R (pois R pertence a uma reta do plano ρ a reta p ) e é paralelo à reta p (pois contém uma reta paralela a p a reta p ). 14 PERPENDICULARIDADE E ORTOGONALIDADE 20. Em primeiro lugar, representaram-se a reta h e o ponto S, pelas suas projeções, em função dos dados. Para desenhar as projeções da reta a, teve-se em conta que a projeção horizontal de uma reta frontal (de frente) nunca poderá ser perpendicular a h 1 (a ortogonalidade não se pode verificar em projeção horizontal), pelo que é necessário outro raciocínio. Atendendo a que a reta a é uma reta frontal (de frente), a ortogonalidade verifica-se diretamente em projeção frontal, pelo que a 2 terá de ser perpendicular a h 2 a reta a terá, assim, necessa riamente de ser uma reta vertical (que é um caso particular das retas frontais) que passa por S. Já em relação à reta b, a ortogonalidade verifica-se diretamente em projeção horizontal, pois ambas as retas (h e b) são horizontais (paralelas ao Plano Horizontal de Projeção) a reta b é ortogonal à reta h, pois b 1 é perpendicular a h Em primeiro lugar, representaram-se a reta f e o ponto N, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, e atendendo a que a reta f é uma reta paralela ao Plano Frontal de Projeção (a ortogonalidade entre a reta f e qualquer outra reta verifica-se diretamente em projeção frontal), para que a reta r seja ortogonal à reta f basta que r 2 seja perpendicular a f 2. Assim, por N 2 conduziu-se r 2 perpendicular a f 2, o que garante que as duas retas são ortogonais. A projeção horizontal de r, r 1, passa por N 1 e faz, com o eixo X, o ângulo pretendido. 6

7 22. a) Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A e B pelas suas projeções e desenharam-se as projeções das retas t e v, em função dos dados. b) As duas retas são enviesadas e são ortogonais (não são perpendiculares, pois não são complanares). c) Duas retas perpendiculares são, antes de mais, ortogonais. Uma reta ortogonal a uma reta vertical é uma reta horizontal (de nível) assim, a reta pre tendida terá necessariamente de ser uma reta horizontal (ou qualquer dos seus casos particulares). Por outro lado, uma reta ortogonal a uma reta de topo é uma reta frontal (de frente) a reta pretendida terá necessariamente de ser uma reta frontal (ou qualquer dos seus casos particulares). A reta pretendida é, assim, uma reta fronto-horizontal (reta g). Por outro lado, para ser perpendicular às retas v e t, a reta terá de ser concorrente com ambas. O ponto de concorrência das retas v e g é o ponto C, cuja projeção frontal se determinou imediatamente (t é projetante frontal) a partir de C 2 é possível desenhar g 2. Por outro lado, o ponto de concorrência das retas g e v é o ponto D, cuja projeção horizontal se determinou imediatamente (v é projetante horizontal) a partir de D 1 desenhou-se g 1. A partir das duas projeções da reta g determinaram-se as projeções em falta de C e D C 1 e D Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções da reta r, em função dos dados. Em seguida, e uma vez que é pedida uma reta perpendicular à reta r, logo concorrente com esta, determinaram-se as projeções do ponto de concorrência o ponto P, que é o ponto de r que tem 3 cm de cota. Com os conhecimentos adquiridos, e atendendo a que a reta r não é paralela a nenhum dos planos de projeção, a reta pretendida terá necessariamente de ser uma reta horizontal (de nível) ou uma reta frontal (de frente), pois a ortogonalidade entre retas só se verifica diretamente em projeções caso uma das retas seja paralela a um dos planos de projeção. Optou-se pela segunda hipótese desenharam-se as projeções de uma reta frontal (de frente), perpendicular à reta r. A perpendicularidade está garantida fazendo f 2 perpendicular a r 2. Note que, caso se tivesse optado por uma reta horizontal (de nível), teria de se ter h 1 perpendicular a r Em primeiro lugar, representou-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, para desenhar as projeções da reta p, teve-se em conta que a reta, para ser ortogonal ao plano α, terá de ser ortogonal a duas retas concorrentes do plano (ou a duas «famílias» de retas do plano). Assim, passando por P 2 desenhou-se p 2, perpendicular a f α, o que nos garante que a reta p é ortogonal à «família» das retas frontais (de frente) do plano α. Em seguida, por P 1 conduziu-se p 1, perpendicular a h α, o que nos garante que a reta p é ortogonal à «família» das retas horizontais (de nível) do plano α. Assim, as projeções da reta p são perpendiculares aos traços homónimos do plano α, o que nos garante que a reta p é ortogonal a duas retas concorrentes do plano (os traços do plano). 25. Em primeiro lugar representou-se o plano δ pelos seus traços, em função dos dados. Sobre a determinação das projeções da reta ortogonal ao plano, ver relatório do exercício anterior. Note que, não sendo dado nenhum ponto da reta, a reta apresentada é uma de entre as infinitas hipóteses, desde que se verifique, sempre, a perpendicularidade entre as projeções da reta e os traços homónimos do plano. Trata-se de uma reta horizontal (de nível). 7

8 26. Ver relatórios dos exercícios 24 e 25. Trata- -se de uma reta fronto-horizontal. 27. Ver relatório do exercício 24. Para determinar as projeções do ponto P, pertencente ao plano, recorreu-se a uma reta auxiliar do plano uma reta horizontal (de nível) h, com 3 cm de cota. Note que, na presente situação, as duas projeções da reta p são paralelas entre si trata-se de uma reta paralela ao β 2/ Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto R, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, desenharam-se imediatamente as projeções da reta p, perpendiculares aos traços homónimos de ρ. A reta p é uma reta de perfil, que não se encontra totalmente definida, por não verificar o Critério de reversibilidade. Assim, necessitamos de mais um ponto da reta p, para além de R. A reta p, para ser ortogonal ao plano ρ, tem de ser ortogonal a duas «famílias» de retas do plano. A reta p já é ortogonal às retas fronto-horizontais de ρ é necessário que seja ortogonal a outra «família» de retas do plano (às retas de perfil do plano, por exemplo). Por p conduziu-se um plano auxiliar π, de perfil. Em seguida, determinou-se a reta i, que é a reta de interseção de π com ρ a reta i é uma reta de perfil de ρ e está definida pelos seus traços. A reta p terá de ser perpendicular à reta i. É neces sário o recurso a um processo geométrico auxiliar optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projeção (a charneira foi f π ), obtendo-se i r (definida por F r e H r ) e R r. Por R r conduziu-se p r, perpendicular a i r. Sobre p r representou-se arbitrariamente um outro ponto, para além de R S r. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projeções de S a reta p, ortogonal a r, está definida por R e S. 29. Ver relatório do exercício anterior. O ponto U foi o ponto da reta p a que se recorreu para definir a reta. A reta p, ortogonal a ρ, está definida por T e U. 8

9 30. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ e o ponto A, em função dos dados. Em seguida, desenharam-se as projeções da reta p, ortogonal ao plano ρ e passando por A as projeções de p têm determinação direta. No entanto, e uma vez que se trata de uma reta de perfil, as suas projeções não são suficientes para definir a reta, pelo que necessitamos de um outro ponto da reta para além do ponto A. A reta p já é ortogonal às retas fronto - -horizontais do plano ρ, mas para ser ortogonal ao plano terá de ser ortogonal a uma outra reta do plano uma reta de perfil, por exemplo. Assim, pela reta p conduziu-se um plano de perfil π e determinou-se a reta i, a reta de interseção do plano π com o plano ρ. A reta i é uma reta de perfil do plano ρ trata-se de uma reta de perfil passante do plano ρ. A reta i está definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X e pelo ponto P, que é o ponto de interseção do plano π com a reta g, fronto-horizontal, pertencente ao plano ρ e passando por P. A reta p terá de ser ortogonal à reta i. Em seguida, resolveu-se o problema em rebatimento, rebatendo o plano π para o Plano Frontal de Projeção. A reta i r passa por P r e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo, pois é um ponto da charneira. A reta p r passa por A r e é perpendicular à reta i r. Sobre p r marcou-se um outro ponto B r. Inverteu-se o rebatimento e obtiveram-se as projeções do ponto B. A reta p, de perfil, passando por A r e B r, é ortogonal ao plano ρ, pois é ortogonal a duas «famílias» de retas do plano as retas fronto-horizontais e as retas de perfil. Note que as retas p e i são perpendiculares, pois são concorrentes são complanares (estão contidas no mesmo plano de perfil). 31. Em primeiro lugar, representaram-se a reta r e o ponto P, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano θ seja ortogonal à reta r, o plano θ tem de conter duas retas concorrentes ortogonais à reta r (duas «famílias» de retas ortogonais à reta r). Por outro lado, para que o plano θ contenha o ponto P, P terá de pertencer a uma reta do plano θ. Assim, por P conduziu-se uma reta h, horizontal (de nível), pertencente ao plano θ h é ortogonal à reta r, pois h 1 é perpendicular a r 1. Já temos uma «familía» de retas do plano θ que é ortogonal à reta r. Necessitamos de uma outra, que terá de ser a das retas frontais (de frente) de θ. Por F, traço frontal de h, conduziu-se f θ, perpendicular a r 2 f θ é uma reta frontal do plano θ e é ortogonal à reta r, pois a ortogonalidade verifica-se diretamente em projeção frontal. Em seguida desenhou-se h θ, que é concorrente com f θ num ponto do eixo X e é paralelo a h 1 (perpendicular a r 1 ). O plano θ é ortogonal à reta r (contém duas retas concorrentes ortogonais à reta r) e passa pelo ponto P, pois P pertence a uma reta do plano θ (a reta h). 32. Em primeiro lugar, representaram-se a reta s e o ponto T, pelas suas projeções, em função dos dados. Para que o plano δ seja ortogonal à reta s, o plano δ tem de conter duas retas concorrentes ortogonais à reta s (duas «famílias» de retas ortogonais à reta s) essas retas terão de ser uma reta horizontal (de nível), h, e uma reta frontal (de frente), f, concorrentes em T. Estas retas são ortogonais a s, pois h 1 é perpendicular a s 1 (a ortogonalidade entre a reta s e a reta h verifica-se diretamente em projeção horizontal, pois h é paralela ao Plano Horizontal de Projeção) e f 2 é perpendicular a s 2 (a ortogonalidade entre a reta s e a reta f verifica-se diretamente em projeção frontal, pois a reta f é paralela ao Plano Frontal de Projeção). 9

10 33. Em primeiro lugar, representaram-se a reta p e o ponto P, pelas suas projeções, em função dos dados. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pois situam-se na mesma reta de perfil. Um plano ortogonal a uma reta de perfil é, necessariamente, um plano de rampa. Assim, já sabemos uma das «famílias» das retas do plano que são ortogonais à reta p as retas fronto-horizontais. Por outro lado, para que o ponto P pertença ao plano, o ponto terá de pertencer a uma reta do plano essa reta poderá ser uma reta fronto-horizontal. Assim, por P conduziu-se uma reta g, fronto-horizontal, pertencente ao plano. Necessitamos de uma outra reta do plano essa reta terá, também ela, de ser ortogonal à reta p. Essa reta poderá ser uma reta de perfil. Conduziu-se, pela reta p, um plano de perfil π. A reta i, de perfil, é a reta de interseção do plano π com o plano de rampa ortogonal à reta p a reta i é necessariamente ortogonal à reta p e contém o ponto P, que é o ponto de interseção da reta g com o plano π. A reta i está, assim, definida por um ponto (o ponto P ) e por uma direção (é ortogonal à reta p). Resolveu-se o problema através do rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projeção. A reta p r está definida por A r e por B r. A reta i r passa por P r e é ortogonal à reta p r. Note que as retas p e i são perpendiculares, pois são concorrentes são complanares (estão contidas no mesmo plano de perfil). Em seguida, determinaram-se os traços da reta i, em rebatimento, e inverteu-se o rebatimento. Pelos traços da reta i conduziram-se os traços homónimos do plano ρ, de rampa, que é ortogonal à reta p. 34. Em primeiro lugar, representaram-se a reta r e o ponto P, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, uma vez que a ortogonalidade entre a reta r, que é oblíqua, e a reta p, que é também oblíqua, não se observa diretamente em nenhuma das projeções (nenhuma das duas retas é paralela a qualquer dos planos de projeção), é necessário fazer com que a reta p esteja contida num plano ortogonal à reta r. Por outro lado, uma vez que se pretende que a reta p contenha o ponto P, esse plano ortogonal à reta r tem, necessariamente, de conter o ponto P. Assim, conduziu-se, por P, um plano α perpendicular a r (para o que se recorreu a uma reta f, frontal) ver exercício 31. Todas as retas de α são ortogonais ou perpendiculares a r. A reta p é a reta do plano α que contém P tal que p 1 faz, com o eixo X, o ângulo pretendido. A reta p tem de ter os seus traços sobre os traços homónimos do plano α, para pertencer a α. Determinaram-se os traços da reta F e H. A reta p está definida por H, P (a reta passa por P) e F, mas poderia estar definida, apenas, por H e P, por exemplo (bastavam dois pontos). 35. Ver relatório do exercício anterior. A reta f, frontal (de frente), foi a reta a que se recorreu para determinar o plano ortogonal à reta m que contém o ponto A. O plano δ é o plano que contém o ponto A e é ortogonal à reta r δ tem os seus traços coincidentes. A reta p, pretendida, por ser passante, tem de ser concorrente com os traços do plano δ num ponto do eixo X, tendo sido esse o raciocínio que nos permitiu desenhar as duas projeções da reta p. A reta p está definida por dois pontos A e o seu ponto de concor rência com o eixo X. 10

11 36. Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano ρ seja ortogonal ao plano α, o plano ρ tem de conter uma reta ortogonal ao plano α. Por outro lado, para que o plano ρ contenha o ponto M, M tem de pertencer a uma reta do plano ρ. Assim, conduziu-se, por M, uma reta p, ortogonal ao plano α (ver exercício 24). Qualquer plano que contenha a reta p é ortogonal a α e contém o ponto M. Determinaram-se os traços da reta p F e H. Pelos traços de p conduziram-se os traços homónimos de ρ. O plano ρ é ortogonal ao plano α (pois contém uma reta ortogonal a α a reta p) e contém o ponto M (pois M pertence a uma reta de ρ a reta p). 37. Em primeiro lugar, representaram-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto T, pelas suas projeções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do plano θ, ortogonal a δ, ver relatório do exercício anterior. A reta p é a reta auxiliar do plano θ a que se recorreu, passando por T é uma reta frontal (de frente). H é o traço horizontal de p h θ contém H e faz, com o eixo X, o ângulo pretendido. Em seguida, determinou- -se que o traço frontal de θ, f θ f θ é concorrente com h θ no eixo X e é paralelo a p. 38. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ν, pelo seu traço frontal, e o ponto P, pelas suas projeções, em função dos dados. Para que um plano seja ortogonal a um plano horizontal (de nivel) é necessariamente uma reta do plano. Assim, por P conduziu-se uma reta v, vertical, ortogonal ao plano ν qualquer plano que contenha a reta v será necessariamente ortogonal ao plano ν e contém o ponto P. Optou-se por representar um plano vertical (projetante horizontal) qualquer. Note que existem infinitos planos verticais que podem conter a reta v, sendo que todos eles serão ortogonais ao plano ν. Assim, o presente problema admite infinitas soluções todos os planos verticais que contêm a reta v e, ainda, o plano frontal (de frente) e o plano de perfil que contêm a reta v. 39. Em primeiro lugar, representou-se o plano α pelos seus traços, em função dos dados os seus traços são coincidentes, pois o plano α é ortogonal ao β 2/4. Em seguida, para que um ponto pertença a um plano, o ponto tem de pertencer a uma reta do plano. Assim, recorreu-se a uma reta frontal (de frente) do plano, com 3 cm de afastamento a reta f (que é o lugar geométrico dos pontos do plano com 3 cm de afastamento). O ponto A é o ponto da reta f que tem 4 cm de cota. 11

12 40. Em primeiro lugar, representaram-se os planos α e δ pelos seus traços, em função dos dados. O plano α tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β 1/3, e o plano δ tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β 2/4. Recorrendo ao caso geral da interseção entre planos, determinou-se imediatamente o traço frontal da reta i (a reta de interseção dos dois planos), o ponto F, que é o ponto de concorrência dos traços frontais dos dois planos. Já temos um ponto para definir a reta i falta-nos outro ponto ou uma direção. Os traços horizontais dos dois planos, por sua vez, não se intersetam nos limites do papel. Assim, recorreu-se a um plano auxiliar frontal (de frente) ϕ e determinaram-se as retas de interseção de ϕ com os planos α e δ as retas a e b, respetivamente. As retas a e b são complanares (estão, ambas, contidas em ϕ) e não são paralelas, pelo que são concorrentes o ponto I é o ponto de concorrência das duas retas e é um outro ponto comum aos planos α e δ (I é um ponto comum aos três planos). A reta i está, assim, definida por dois pontos F, o seu traço frontal, e I. 41. Em primeiro lugar, representaram-se os planos ρ e σ, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ρ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X e σ tem os seus traços coincidentes (ver exercício anterior). Para a determinação das projeções da reta i ver relatório do exercicio 21. A reta de interseção entre dois planos é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aos dois planos, o que resulta numa reta pertencente à única «família» de retas comum aos dois planos. A única «família» de retas comum a dois planos de rampa é a das retas fronto-horizontais, pelo que a reta de interseção de ρ com σ é necessariamente uma reta fronto-horizontal. Já temos a direção necessitamos de um ponto para a definirmos. Recorreu-se a um plano auxiliar α, vertical, e determinaram-se as retas de interseção de α com ρ e σ as retas a e b, respetivamente. As retas a e b são complanares (estão ambas contidas no plano auxiliar α) e não são paralelas, pelo que são concorrentes o ponto I é o ponto de concorrência de a com b e é o ponto comum aos três planos, logo é um ponto comum aos planos ρ e σ. I é, assim, necessariamente um ponto da reta de interseção dos planos ρ e σ. A reta i é a reta fronto-horizontal que passa por I. 42. Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e a reta r, pelas suas projeções, em função dos dados. A reta r tem as suas projeções paralelas entre si, pois é paralela ao β 2/4. O plano α tem traços coincidentes, pois é ortogonal ao β 2/4. As projeções da reta r são perpendiculares aos traços homónimos do plano α, pois a reta é ortogonal ao plano α. Uma vez que nem a reta nem o plano são projetantes, para a determinação do ponto de interseção da reta com o plano recorreu-se ao método geral da interseção de retas com planos. Assim, conduziu-se, pela reta, um plano auxiliar o plano δ, que é um plano vertical. Em seguida, determinou-se a reta de interseção dos dois planos a reta i. O ponto de concorrência das retas r e i é o ponto I, o ponto de interseção da reta r com o plano α. 43. Ver relatório do exercício 30. O ponto da reta p que foi escolhido para a definir foi o seu traço frontal, F. A reta p, definida por P e por F, é ortogonal ao plano ρ. 12

13 44. Em primeiro lugar, representou-se a reta r, pelas suas projeções, em função dos dados a reta r é paralela ao β 1/3, pelo que a sua projeção frontal faz, com o eixo X, um ângulo de 30 (a.d.), que é igual ao ângulo que a sua projeção frontal faz com o eixo X. Em seguida, representou-se o ponto M. Uma vez que nem a reta r nem a reta pretendida são paralelas a qualquer dos dois planos de projeção, a ortogonalidade não se verifica diretamente em nenhuma das projeções. Assim, é necessário conduzir, por M, um plano ortogonal a r o plano α contém o ponto M e é ortogonal à reta r, pois os seus traços são perpendiculares às projeções homónimas da reta r. Todas as retas de α são perpendiculares a r. Tendo em conta que se pretende uma reta do β 1/3 que seja ortogonal à reta r, a reta p será a reta de interseção do plano α com o β 1/3. O ponto M é, já, um ponto dos dois planos, pelo que já temos um ponto falta-nos outro ponto ou uma direção. Recorreu-se a uma reta h, horizontal (de nível), do plano α e determinou-se o seu traço no β 1/3 o ponto Q. O ponto Q é, assim, um outro ponto que pertence aos dois planos (o plano α e o β 1/3 ). A reta p fica definida por M e Q. A reta p é uma reta do β 1/3, pois tem as suas projeções simétricas em relação ao eixo X, e é ortogonal à reta r, pois está contida num plano ortogonal à reta r o plano α. 15 PROCESSOS GEOMÉTRICOS AUXILIARES II 45. Em primeiro lugar, representou-se o segmento de reta [AB] pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que uma reta vertical é um caso particular das retas frontais (de frente). Assim, em primeiro lugar transformou-se [AB] num segmento frontal (de frente) com 2 cm de afastamento, substituindo o Plano Frontal de Projeção (plano 2) pelo plano 4, paralelo a [AB] e a 2 cm deste. O eixo X é a reta de interseção do plano 4 com o Plano Horizontal de Projeção (plano 1). Manteve-se o Plano Horizontal de Projeção, pelo que se mantiveram as projeções horizontais e as cotas dos pontos A e B. A 4 e B 4 são as projeções de A e B no plano 4, que se determinam em função das cotas dos pontos. No novo diedro de projeção, o segmento de reta [AB] é frontal (de frente) e tem 2 cm de afastamento. Um segmento vertical é ortogonal ao Plano Horizontal de Projeção. Assim, substituiu-se o Plano Horizontal de Projeção (plano 1) pelo plano 5, ortogonal a [AB]. O eixo X é a reta de interseção do plano 4 com o plano 5 e é perpendicular à reta suporte de [A 4 B 4 ]. Manteve-se o plano 4, pelo que se mantiveram as projeções no plano 4 e o afastamento dos pontos, que passou a ser 2 cm (e está referenciado ao plano 4). A 5 e B 5 determinam-se em função do seu afastamento, que é 2 cm. No diedro de projeção formado pelo plano 4 e pelo plano 5, [AB] é vertical e tem 2 cm de afastamento. A V.G. de A B é A 4 B Em primeiro lugar, representou-se o segmento de reta [MN] pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que uma reta fronto-horizontal é um caso particular das retas frontais (de frente) e das retas horizontais (de nível). Começou-se por transformar [MN] num segmento horizontal (de nível) com 3 cm de cota. Para tal, substituiu-se o Plano Horizontal de Projeção (plano 1) pelo plano 4, paralelo a [MN] e a 3 cm deste. O eixo X é a reta de interseção do Plano Frontal de Projeção (plano 2) com o plano 4. Manteve-se o Plano Frontal de Projeção, pelo que se mantiveram as projeções frontais e os afastamentos dos pontos M e N. M 4 e N 4 determinam-se em função dos seus afastamentos, que se mantêm. No novo diedro de projeção, o segmento de reta [MN] é horizontal (de nível) e tem 3 cm de cota. Um segmento fronto-horizontal é paralelo ao Plano Frontal de Projeção. Assim, em seguida substituiu-se o Plano Frontal de Projeção (plano 2) pelo plano 5, paralelo a [MN] e a 2 cm deste. O eixo X é a reta de interseção do plano 4 com o plano 5 e é paralelo a [M 4 N 4 ]. Manteve-se o plano 4, pelo que se mantiveram as projeções no plano 4 e a cota dos pontos, que passou a ser 3 cm (e está referenciada ao plano 4). M 5 e N 5 determinam-se em função das suas cotas, que é 3 cm. No diedro de projeção formado pelo plano 4 e pelo plano 5, [MN] é fronto-horizontal e tem 3 cm de cota e 2 cm de afastamento. A V.G. de M N é M N 4 4 ou M N

14 47. Em primeiro lugar, representou-se a reta r, pelas suas projeções a reta r tem as suas projeções paralelas entre si, pois é paralela ao β 2/4. Em seguida, teve-se em conta que uma reta de topo é um caso particular das retas horizontais (de nível). Assim, começou- -se por transformar r numa reta horizontal (de nível) com 2 cm de cota. Nesse sentido, substituiu-se o Plano Horizontal de Projeção (plano 1) pelo plano 4, paralelo a r e a 2 cm desta, cuja reta de interseção com o Plano Frontal de Projeção (plano 2) é o eixo X. Mantêm-se as projeções frontais e os afastamentos. R 4 determinou-se em função do seu afastamento, que se mantém. Para definir a reta r no novo diedro de projeção necessitamos de um outro ponto para além de R. Assim, recorreu-se a um outro ponto de r F, o seu traço frontal. F 4 determinou-se em função do seu afastamento, que é nulo e se mantém r 4 fica definida por R 4 e F 4. No novo diedro de projeção, a reta r é uma reta horizontal (de nível). Uma reta de topo é ortogonal ao Plano Frontal de Projeção. Assim, substituiu-se o Plano Frontal de Projeção (plano 2) pelo plano 5, ortogonal a r. O eixo X é a reta de interseção do plano 4 com o plano 5 e é perpendicular a r 4. Mantêm-se as projeções no plano 4 e as cotas (agora referenciadas ao plano 4) note que, agora, todos os pontos da reta já têm a mesma cota, que é 2. R 5 e F 5 determinaram-se em função das suas cotas (e estão coincidentes) r 5, a projeção da reta r no plano 5, é um ponto, pois no diedro de projeção formado pelo plano 4 e pelo plano 5 a reta r é de topo (projetante frontal). 48. Em primeiro lugar, representou-se o triângulo [ABC], em função dos dados. Note que os traços de α são simétricos em relação ao eixo X, pois α é ortogonal ao β 1/3. Um plano frontal (de frente) é um caso particular dos planos projetantes horizontais. Nesse sentido, em primeiro lugar há que transformar α num plano projetante horizontal, para o que se substituiu o Plano Horizontal de Projeção (plano 1) pelo plano 4, ortogonal a α. Manteve-se o Plano Frontal de Projeção, pelo que se mantiveram as projeções frontais e os afastamentos. O eixo X' é a reta de interseção do plano 2 com o plano 4 e é perpendicular a f α. As projeções de A, B e C no plano 4 (A 4, B 4 e C 4 ) determinaram-se em função dos seus afastamentos, que se mantiveram. O traço do plano α no plano 4, h 4α, passa por A 4, B 4 e C 4 e é concorrente com f α no eixo X. No novo diedro de projeção, o plano α já é um plano vertical (projetante horizontal). Um plano frontal (de frente) é um plano projetante horizontal que é paralelo ao Plano Frontal de Projeção. Assim, em seguida, substituiu-se o Plano Frontal de Projeção (plano 2) pelo plano 5, paralelo a α e situado a 2 cm deste (o afastamento pretendido). O eixo X é a reta de interseção do plano 4 com o plano 5 e é paralelo a h 4α. Mantiveram-se as projeções no plano 4 e as cotas, agora referenciadas ao plano 4. As projeções de A, B e C no plano 5 (A 5, B 5 e C 5 ) determinaram-se em função das suas cotas, que se mantiveram. No diedro de projeção formado entre o plano 4 e o plano 5, o plano α é frontal (de frente) com 2 cm de afastamento e não tem traço frontal. A V.G. do triângulo está no triângulo [A 5 B 5 C 5 ]. 49. Em primeiro lugar, representou-se o plano ρ pelos seus traços, em função dos dados. Os dados sobre os pontos P, Q e R permitem-nos, imediatamente, determinar as suas projeções frontais. A reta r foi a reta do plano ρ que foi utili zada para a determinação das projeções horizontais dos pontos P e Q r 2 contém P 2 e Q 2. Sobre a reta r represen tou-se um ponto R, com a cota de R. Note que os pontos R e R se situam, necessariamente, na mesma reta fronto-horizontal do plano, pelo que ambos têm a mesma cota e o mesmo afastamento, tendo, apenas, abcissas distintas. A partir das projeções dos três pontos desenharam-se as projeções do triângulo [PQR]. Em seguida, teve-se em conta que um plano horizontal (de nível) é um caso particular dos planos projetantes frontais. Assim, em primeiro lugar, co meçou-se por transformar o plano ρ num plano projetante frontal, substituindo o Plano Frontal de Projeção (plano 2) por um plano 4, ortogonal a ρ. O eixo X é a reta de interseção do plano 1 com o plano 4 e é perpendicular a h ρ. manteve-se o Plano Horizontal de Projeção, pelo que se mantiveram as projeções horizontais e as cotas. As projeções de P, (Continua na página seguinte) 14

15 Q e R no plano 4 (P 4, Q 4 e R 4 ) determinaram-se em função das suas cotas, que se mantiveram. O traço do plano ρ no plano 4, f 4 ρ, passa por P 4, Q 4 e R 4 e é concorrente com h ρ no eixo X. No novo diedro de projeção (formado pelo Plano Horizontal de Projeção e pelo plano 4), o plano ρ é um plano de topo (projetante frontal). Um plano hori zontal é um plano de topo que é paralelo ao Plano Horizontal de Projeção. Assim, em seguida substituiu-se o Plano Horizontal de Projeção (plano 1) pelo plano 5, paralelo a ρ e situado a 1 cm deste (a cota pretendida). O eixo X é a reta de interseção do plano 4 com o plano 5 e é paralelo a f 4 ρ. Mantiveram-se as projeções no plano 4 e os afas tamentos, agora referenciados a este. As projeções de P, Q e R no plano 5 (P 5, Q 5 e R 5 ) determinaram-se em fun ção dos seus afastamentos, que se mantiveram. No diedro de projeção formado pelo plano 4 e pelo plano 5, o plano ρ é um plano horizontal (de nível) com 1 cm de cota e não tem traço horizontal. A V.G. do triângulo está no triângulo [P 5 Q 5 R 5 ]. 50. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções do segmento [AB], em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que uma reta de topo é um caso particular das retas horizontais (de nível). Assim, começou-se por transformar [AB] num segmento horizontal (de nível). São as cotas que se alteram (de forma a ficarem todas iguais), pelo que a ro tação se processa em planos frontais (de frente) o eixo é uma reta de topo, qualquer, cujas projeções se dese nha ram imediatamente (reta e). O ponto P é o ponto a rodar e o centro da sua rotação é O [OP] é simultaneamente per - pendicular a [AB] e a e. O ponto P rodou até a reta suporte de [A 2 B 2 ] ficar paralela ao eixo X (o ponto P é o ponto P rodado e [OP ] é perpendicular ao eixo X). O ponto P manteve o seu afastamento, tal como A e B. Note que se omitiu a representação dos planos frontais (de frente) que contêm os arcos da rotação de A, B e P, apesar de se ter recorrido a eles (através das paralelas ao eixo X que passam por A 1, B 1 e P 1 ). A 2 e B 2 rodaram até encontrarem a reta suporte de [A 2 B 2 ] (que é paralela ao eixo X e passa por P 2 ). [A B ] é o segmento [AB] rodado e é horizontal (de nível). Uma reta de topo é uma reta horizontal (de nível) que é ortogonal ao Plano Frontal de Projeção assim, para transformar [A B ] num segmento de reta de topo, são os afastamentos que se alteram a rotação do segmento processa-se num plano horizontal (de nível), pelo que na rotação seguinte o eixo é vertical (o eixo e escolheu-se criteriosamente, de forma a ser P o ponto a rodar). O centro da rotação de P é Q [QP ] é simultaneamente perpendicular a [A B ] e a e. O ponto P rodou até a reta suporte de [A 1 B 1 ] ficar perpendicular ao eixo X (o ponto P é o ponto P rodado e [QP ] é paralelo ao eixo X). O ponto P manteve a sua cota, tal como A e B. A 1 e B 1 rodaram até encontrarem a reta su porte de [A 1 B 1 ] (que é perpendicular ao eixo X e passa por P 1 ([A B ] é [A B ] rodado). Na sua nova posição, [AB] é de topo e a sua V.G. é A 1 B Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções da reta r, em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que uma reta vertical é um caso particular das retas frontais (de frente). Assim, começou-se por transformar r numa reta frontal (de frente). São os afastamentos que se alteram (de forma a ficarem todos iguais), pelo que a rotação se processa em planos horizontais (de nível) o eixo é uma reta vertical, qualquer, cujas projeções se desenharam imediatamente (reta e). O ponto que nos permite rodar a reta é A e o centro da sua rotação é O [OA] é simultaneamente perpendicular a r e a e. O ponto A rodou até r 1 ficar paralela ao eixo X (A é o ponto A rodado e [OA ] é perpendicular ao eixo X). O ponto A manteve a sua cota, ao longo da sua rotação. Para definirmos uma reta necessitamos de dois pontos ou de um ponto e uma direção. Assim, é necessário o recurso a um outro ponto da reta r, para definirmos r 2. O ponto escolhido foi o seu traço frontal F. F 1 rodou até encontrar r 1, mantendo-se a cota de F r 2 fica definida por A 2 e F 2. A reta r é a reta r rodada e é frontal (de frente), na sua nova posição. Uma reta vertical é uma reta frontal (de frente) que é ortogonal ao Plano Horizontal de Projeção assim, para transformar r numa reta vertical são as cotas que se alteram, mantendo-se os afastamentos. A rotação seguinte processa-se, assim, num plano frontal (de frente) e o eixo é e e é de topo (note que se escolheu e criteriosamente, de forma a A ser o ponto a rodar). O centro da rotação de A é Q [QA ] é perpendicular a r e a e. O ponto A rodou até a reta r 2 ficar perpendicular ao eixo X o ponto A é o ponto A rodado e [QA ] é paralelo ao eixo X. A manteve o seu afastamento na sua rotação. A reta r é vertical e passa por A, não tendo sido necessária a rotação de F para a determinação das projeções da reta na sua nova posição. A projeção horizontal da reta é, agora, um ponto. 15

16 52. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções do segmento [RS], em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que um segmento fronto-horizontal é um caso particular tanto das retas frontais (de frente) como das retas horizontais (de nível). Assim, há que começar por transformar [RS] num segmento de reta horizontal (de nível) ou frontal (de frente). Optou-se pela segunda hipótese ver relatório do exercício anterior. A rotação processa-se em planos horizontais o eixo é uma reta e, vertical, qualquer. O ponto P é o ponto a rodar e o centro da sua rotação é O. P roda até [OP ] ficar perpendicular ao eixo X (P é o ponto P rodado) e a reta suporte de [R 1 S 1 ] ficar paralela ao eixo X. P, R e S mantiveram as suas cotas. [R S ] é [RS] rodado e é frontal (de frente). A rotação seguinte processa-se em planos frontais (de frente), pois para transformar [R S ] num segmento fronto-horizontal, as alterações processar-se-ão ao nível das cotas e não dos afastamentos. O novo eixo, e, é de topo e escolheu-se de forma a ser P o ponto a rodar, cujo centro de rotação é Q. P roda até [QP ] ficar perpendicular ao eixo X e a reta suporte de [R 2 S 2 ] ficar paralela ao eixo X. P, R e S mantiveram os seus afastamentos. [R S ] é [R S ] rodado. Na sua nova posição, [RS] é de topo e a sua V.G. é R 1 S 1 ou R 2 S Em primeiro lugar, representou-se o plano α, pelos seus traços, e o triângulo [ABC], pelas suas projeções, pertencente ao plano. Em seguida, teve-se em conta que um plano frontal (de frente) é projetante horizontal. Nesse sentido, começou-se por transformar o plano α num plano projetante horizontal (vertical) as retas frontais (de frente) de um plano vertical são verticais, pelo que f α tem de ficar perpendicular ao eixo X (vertical). Os afastamentos mantêm-se, pelo que a rotação se processa em planos frontais (de frente) o eixo da rotação, e, é uma reta de topo qualquer (por economia de traçados optou-se por conduzir e pelo ponto A). O ponto P é o ponto de f α que nos permite rodar o plano [OP] é simultaneamente perpendicular a f α e a e (O é o centro da rotação de P). O ponto P rodou até [OP] ficar paralelo ao eixo X f α, que é perpendicular a [OP], fica perpendicular ao eixo X e passa por P (que é o ponto P rodado). A A, pois A é um ponto do eixo da rotação (roda sobre si próprio, pois é fixo). O novo traço horizontal de α, h α, é concorrente com f α, no eixo X e contém A 1, pois α, após a rotação, é projetante horizontal (é vertical). Os pontos B e C mantêm os afastamentos na sua rotação, o que nos permite determinar B 1 e C 1 sobre h α. B 2 e C 2 rodaram até às respetivas linhas de chamada (a amplitude da rotação de B 2 e C 2 foi igual à da rotação de P 2 ). Um plano frontal (de frente) é um plano projetante horizontal que é paralelo ao Plano Frontal de Projeção. Assim, na rotação seguinte, com vista a tornar α num plano paralelo ao Plano Frontal de Projeção, as alterações processam-se ao nível dos afastamentos a rotação processa-se, pois, em planos horizontais (de nível), pelo que o eixo é vertical. O segundo eixo de rotação, e, escolheu-se por forma a A ser o ponto a rodar [QA ] é perpendicular a α e a e (Q é o centro da rotação de A ). A rodou até [QA ] ficar perpendicular ao eixo X h α, na sua nova posição (h α ) ficou paralelo ao eixo X. O plano α é, agora, frontal (de frente) e não tem traço frontal. B 1 e C 1 rodaram até (h α ), obtendo-se B 1 e C 1. B 2 e C 2 mantiveram as suas cotas, o que nos permitiu determinar B 2 e C 2 nas linhas de chamada de B 1 e C 1. O plano α, na sua nova posição, é um plano frontal (de frente), pelo que a V.G. do triângulo [ABC] está no triângulo [A 2 B 2 C 2 ]. 54. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o triângulo [PQR], pelas suas projeções, pertencente ao plano. Sobre a determinação das projeções do triângulo [PQR], ver relatório do exercício 49. O ponto M foi o ponto da reta r que nos permitiu determinar as projeções do ponto R. Em seguida, teve-se em conta que um plano horizontal (de nível) é projetante frontal. Assim, começou-se por transformar o plano ρ num plano projetante frontal (de topo) as retas horizontais (de nível) de um plano de topo são retas de topo, pelo que h ρ tem de rodar até ficar perpendicular ao eixo X (de topo). As cotas mantêm-se, pelo que a rotação processa-se em planos horizontais (de nível) o eixo da rotação, e, é uma reta vertical qualquer (por economia de traçados, optou-se por conduzir e pelo ponto P). O ponto A é o ponto de h ρ que nos permite rodar o plano [OA] é simultaneamente perpendicular a h ρ e a e (O é o centro da rotação de A). O ponto A rodou até [OA] ficar paralelo ao eixo X h ρ, que é perpendicular a [OA], fica perpendicular ao eixo X e passa por A (que é o ponto A rodado). P P, pois P é um ponto do eixo da rotação (roda sobre si próprio, pois é fixo). O novo traço frontal de ρ, f ρ é concorrente com h ρ no eixo X e contém P 2, pois ρ, após a rotação, é projetante frontal (é de topo). Os pontos Q e R mantêm as cotas na sua rotação, o que nos permite determinar Q 2 e R 2 sobre f ρ. Q 1 e R 1 rodaram até às respetivas linhas de chamada (a amplitude da rotação de Q 1 e R 1 foi igual à da rotação de A 1 ). Um plano horizontal (de nível) é um plano projetante frontal que é paralelo ao Plano Horizontal de Projeção. Assim, na rotação seguinte, com vista a tornar ρ num plano paralelo ao Plano Horizontal de Projeção, as alterações processam-se ao nível das cotas a rotação processa-se em planos frontais (de frente), (Continua na página seguinte) 16

13 PARALELISMO SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

13 PARALELISMO SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS NOTA: Se bem que os dados métricos dos enunciados estejam em centímetros, as soluções apresentadas a partir da página seguinte não consideraram o centímetro como unidade.

Leia mais

PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO

PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Exame Nacional de 2010 (2.ª Fase) 1. Em primeiro lugar representaram-se as retas a e b, bem como o ponto P, pelas respetivas projeções. As projeções da reta a desenharam-se em função dos respetivos ângulos

Leia mais

3. Representação diédrica de pontos, rectas e planos

3. Representação diédrica de pontos, rectas e planos 3. Representação diédrica de pontos, rectas e planos Geometria Descritiva 2006/2007 Geometria de Monge Utilizam-se simultaneamente dois sistemas de projecção paralela ortogonal. Os planos de projecção

Leia mais

PARALELISMOS. Sumário:

PARALELISMOS. Sumário: 9 PARALELISMOS Neste capítulo estudam-se as rectas e os planos nas suas relações de paralelismo, nas diferentes possibilidades: rectas com rectas, planos com planos e rectas com planos. Mostra-se também

Leia mais

Projeções de entidades geométricas elementares condicionadas por relações de pertença (incidência) 8

Projeções de entidades geométricas elementares condicionadas por relações de pertença (incidência) 8 Índice Item Representação diédrica Projeções de entidades geométricas elementares condicionadas por relações de pertença (incidência) 8 Reta e plano 8 Ponto pertencente a uma reta 8 Traços de uma reta

Leia mais

Geometria Descritiva. Alfabeto do Plano:

Geometria Descritiva. Alfabeto do Plano: Geometria Descritiva Alfabeto do Plano: Posição de um plano em relação aos: Planos projectantes - Paralelo - perpendicular a um só plano - perpendicular aos dois planos Planos não projectantes: Retas contidas

Leia mais

PARALELISMOS E PERPENDICULARIDADES

PARALELISMOS E PERPENDICULARIDADES 7 PARALELISMOS E PERPENDICULARIDADES Neste capítulo estudam-se as rectas e os planos nas suas relações de paralelismo e de perpendicularidade, nas diferentes possibilidades: rectas com rectas, planos com

Leia mais

Um plano fica definido por duas retas paralelas ou concorrentes.

Um plano fica definido por duas retas paralelas ou concorrentes. 1 3 - ESTUDO DOS PLANOS Um plano fica definido por duas retas paralelas ou concorrentes. 3.1. Traços do plano São as retas de interseção de um plano com os planos de projeção. απ' - traço vertical de (α)

Leia mais

Intersecção de duas rectas

Intersecção de duas rectas 3.6. Intersecções Geometria Descritiva 2006/2007 Intersecção de duas rectas É condição necessária e suficiente para que duas rectas sejam concorrentes que as suas projecções homónimas se intersectem sobre

Leia mais

Revisões de Geometria Descritiva

Revisões de Geometria Descritiva Revisões de Geometria Descritiva Projeção de Pontos Projeção de 2 Pontos numa reta proj. Hor., Frontal e simétricos Representação da reta Pontos Notáveis Percurso da reta, Visibilidades e Invisibilidade

Leia mais

Escola Secundária de Alberto Sampaio - Braga Junho de Proposta de correcção do exame nacional de Geometria Descritiva A (prova 708) 1ª fase

Escola Secundária de Alberto Sampaio - Braga Junho de Proposta de correcção do exame nacional de Geometria Descritiva A (prova 708) 1ª fase Exercício 1-1ª hipótese de resolução (escala 1:1) Jorge Marques e Estefânio Lemos 1 10 Exercício 1-2ª hipótese de resolução (escala 1:1) Jorge Marques e Estefânio Lemos 2 10 Exercício 1-3ª hipótese de

Leia mais

PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO

PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Exame Nacional de 2011 (2.ª Fase) 1. Em primeiro lugar representaram-se a reta d, pelas suas projeções, bem como o plano ρ, pelos seus traços, em fun ção dos dados. É pedida a reta de interseção entre

Leia mais

FAMEBLU Arquitetura e Urbanismo

FAMEBLU Arquitetura e Urbanismo FAMEBLU Arquitetura e Urbanismo Disciplina GEOMETRIA DESCRITIVA APLICADA A ARQUITETURA 1 Aula 8: Revisão Geral Exercícios Professor: Eng. Daniel Funchal, Esp. Revisão PLANOS Um plano pode ser determinado

Leia mais

INTERSECÇÕES. Sumário:

INTERSECÇÕES. Sumário: 5 INTERSECÇÕES O estudo das Intersecções é de grande importância para o aprofundamento dos capítulos anteriores. Além disso, os assuntos aqui tratados surgem também aplicados aos capítulos que se seguem

Leia mais

COLÉGIO PEDRO II U. E. ENGENHO NOVO II

COLÉGIO PEDRO II U. E. ENGENHO NOVO II COLÉGIO PEDRO II U. E. ENGENO NOVO II Terceira projeção da reta de perfil Determinação dos traços Pertinência de ponto à reta de perfil - 2º no do Ensino Médio Prof a. Soraya Coord. Prof. JORGE MRCELO

Leia mais

PLANIFICAÇÃO DA DISCIPLINA. Geometria Descritiva A 10º Ano Artes Visuais Curso Científico - Humanísticos do Ensino Secundário

PLANIFICAÇÃO DA DISCIPLINA. Geometria Descritiva A 10º Ano Artes Visuais Curso Científico - Humanísticos do Ensino Secundário PLANIFICAÇÃO DA DISCIPLINA Escola Secundária Campos de Melo Geometria Descritiva A 10º Ano Artes Visuais Curso Científico - Humanísticos do Ensino Secundário Professor: Ana Fidalgo Ano letivo 2011/2012

Leia mais

Posição Relativa. 1. Quatro pontos distintos e não coplanares determinam exatamente: (A) 1 plano (B) 2 planos (C) 3 planos (D) 4 planos (E) 5 planos.

Posição Relativa. 1. Quatro pontos distintos e não coplanares determinam exatamente: (A) 1 plano (B) 2 planos (C) 3 planos (D) 4 planos (E) 5 planos. SEI Ensina MILITAR Matemática Posição Relativa 1. Quatro pontos distintos e não coplanares determinam exatamente: (A) 1 plano (B) 2 planos (C) 3 planos (D) 4 planos (E) 5 planos. 2. Considere as seguintes

Leia mais

Representação de sólidos

Representação de sólidos 110 Representação de sólidos Pirâmides e prismas regulares com base(s) contida(s) em planos verticais ou de topo Desenhe as projecções de uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1. diedro e com a

Leia mais

Geometria Espacial Curso de Licenciatura em Matemática parte II. Prof.a Tânia Preto Departamento Acadêmico de Matemática UTFPR

Geometria Espacial Curso de Licenciatura em Matemática parte II. Prof.a Tânia Preto Departamento Acadêmico de Matemática UTFPR Geometria Espacial Curso de Licenciatura em Matemática parte II Prof.a Tânia Preto Departamento Acadêmico de Matemática UTFPR - 2014 1. Paralelismo de Retas L20 Postulado das Paralelas ( de Euclides )

Leia mais

MATÉRIAS SOBRE QUE INCIDIRÁ CADA UMA DAS PROVAS DE CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS

MATÉRIAS SOBRE QUE INCIDIRÁ CADA UMA DAS PROVAS DE CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS MATÉRIAS SOBRE QUE INCIDIRÁ CADA UMA DAS PROVAS DE CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS Prova de: GEOMETRIA DESCRITIVA Conteúdos: 1.1 Ponto 1.2 Recta 1.3 Posição relativa de duas rectas: - complanares - paralelas

Leia mais

Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b. a) a = 3, b, b R. b) a = 3 e b = 1. c) a = 3 e b 1. d) a 3

Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b. a) a = 3, b, b R. b) a = 3 e b = 1. c) a = 3 e b 1. d) a 3 01 Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b a) a = 3, b, b R b) a = 3 e b = 1 c) a = 3 e b 1 d) a 3 1 0 y = 3x + 1 m = 3 A equação que apresenta uma reta com o mesmo coeficiente angular

Leia mais

Curso Científico-Humanístico de Artes Visuais - Ensino Secundário

Curso Científico-Humanístico de Artes Visuais - Ensino Secundário ESCOLA SECUNDÁRIA DE AMORA - ANO LECTIVO 2014/2015 DEPARTMENTO DE EXPRESSÕES GRUPO 600 Planificação Anual Geometria Descritiva A 10º Ano Curso Científico-Humanístico de Artes Visuais - Ensino Secundário

Leia mais

RETA. Sumário: Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 1

RETA. Sumário: Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Reta - 1 2 RETA O alfabeto da reta é o conjunto das posições genéricas que uma reta pode ter em relação aos planos de projeção. Neste capítulo apresentam-se essas posições, assim como posições particulares que

Leia mais

PHA ( ) PHP ( ) Iº DIEDRO: PVI ( ) IIIº DIEDRO:

PHA ( ) PHP ( ) Iº DIEDRO: PVI ( ) IIIº DIEDRO: GEOMETRIA DESCRITIVA UNIDADE 01 GEOMETRIA DESCRITIVA PLANO DE PROJEÇÃO PHA ( ) PHP ( ) Iº DIEDRO: PVS ( ) IIº DIEDRO: PVI ( ) IIIº DIEDRO: LT ( ) IVº DIEDRO: 1 GEOMETRIA DESCRITIVA UNIDADE 01 Linha Terra

Leia mais

Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que

Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que Capítulo 11 1. Equações da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que AP = t AB Fig. 1: Reta r passando por A e B. Como o ponto

Leia mais

FIGURAS PLANAS. Sumário:

FIGURAS PLANAS. Sumário: 6 FIGURAS PLANAS Neste capítulo estudam-se os polígonos e as circunferências. Mostra-se como se representam estas figuras em diferentes posições, recorrendo ou não a processos auiliares. Sumário: 2 e 3.

Leia mais

Soluções do Capítulo 8 (Volume 2)

Soluções do Capítulo 8 (Volume 2) Soluções do Capítulo 8 (Volume 2) 1. Não. Basta considerar duas retas concorrentes s e t em um plano perpendicular a uma reta r. As retas s e t são ambas ortogonais a r, mas não são paralelas entre si.

Leia mais

Geometria Descritiva

Geometria Descritiva Geometria Descritiva Revisão: Interseção entre um plano projetante e um plano não projetante INTERSEÇÃO entre DOIS PLANOS NÃO PROJETANTES Interseção entre um plano projetante e um plano não projetante

Leia mais

SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 CONCEITOS GERAIS RELATIVOS A GEOMETRIA 1. O ponto, como elemento visual, é uma mancha pequena, de forma mais ou menos circular e de dimensões variáveis. O ponto, como

Leia mais

Geometria Descritiva. Desenho de Sólidos. Departamento de EXPRESSÃO GRÁFICA

Geometria Descritiva. Desenho de Sólidos. Departamento de EXPRESSÃO GRÁFICA Geometria Descritiva Desenho de Sólidos Departamento de EXPRESSÃO GRÁFICA Material elaborado para Disciplina CD014 - Geometria Descritiva do curso de Agronomia pelo Prof Dr. Rossano Silva em março de 2014

Leia mais

Estas notas de aulas são destinadas a todos aqueles que desejam ter. estudo mais profundo.

Estas notas de aulas são destinadas a todos aqueles que desejam ter. estudo mais profundo. Geometria Descritiva Prof. Sérgio Viana Estas notas de aulas são destinadas a todos aqueles que desejam ter um conhecimento básico de Geometria Descritiva, para um posterior estudo mais profundo. GEOMETRIA

Leia mais

exercícios de perspectiva linear

exercícios de perspectiva linear G E O M E T R I A D E S C R I T I V A E C O N C E P T U A L I exercícios de perspectiva linear MESTRADOS INTEGRADOS EM ARQUITECTURA e LICENCIATURA EM DESIGN - FA/UTL - 2010/2011 Prof.Aux. António Lima

Leia mais

AGRUPAMENTO DE CLARA DE RESENDE COD COD

AGRUPAMENTO DE CLARA DE RESENDE COD COD CRITÉRIOS ESPECÍFICOS DE AVALIAÇÃO ( Aprovados em Conselho Pedagógico de 16 outubro de 2012 ) No caso específico da disciplina de Geometria Descritiva do 11º ano de escolaridade, a avaliação incidirá ainda

Leia mais

FACULDADE DE ARQUITECTURA DA UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA ÁREA CIENTÍFICA DE DESENHO E COMUNICAÇÃO GRUPO DE DISCIPLINAS DE GEOMETRIA

FACULDADE DE ARQUITECTURA DA UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA ÁREA CIENTÍFICA DE DESENHO E COMUNICAÇÃO GRUPO DE DISCIPLINAS DE GEOMETRIA FACULDADE DE ARQUITECTURA DA UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA ÁREA CIENTÍFICA DE DESENHO E COMUNICAÇÃO GRUPO DE DISCIPLINAS DE GEOMETRIA MÚLTIPLA PROJECÇÃO ORTOGONAL (exercícios resolvidos) 2006 EXERCÍCIOS

Leia mais

GGM /11/2010 Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial

GGM /11/2010 Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial GGM00161-06/11/2010 Turma M2 Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial Postulados : - Por dois pontos distintos passa uma e somente uma reta - Três pontos não colineares determinam um único plano. - Qualquer

Leia mais

REGRAS GERAIS DE GEOMETRIA DESCRITIVAII 2010

REGRAS GERAIS DE GEOMETRIA DESCRITIVAII 2010 1 Isabel coelho 20. SECÇÕES PLANAS 20.1 Secções planas em poliedros 20.1.2 Secções planas produzidas por planos paralelos aos planos das bases A figura da secção será paralela à figura da base. Identificar

Leia mais

Geometria Espacial de Posição

Geometria Espacial de Posição Geometria Espacial de Posição Prof.: Paulo Cesar Costa www.pcdamatematica.com Noções primitivas POSTULADOS Postulados da existência Numa reta e fora dela existem infinitos pontos. Num plano e fora dele

Leia mais

Exercícios de exames e provas oficiais

Exercícios de exames e provas oficiais mata Exercícios de exames e provas oficiais. Na figura, está representado, no plano complexo, um quadrado cujo centro coincide com a origem e em que cada lado é paralelo a um eixo. Os vértices deste quadrado

Leia mais

4. Superfícies e sólidos geométricos

4. Superfícies e sólidos geométricos 4. Superfícies e sólidos geométricos Geometria Descritiva 2006/2007 4.1 Classificação das superfícies e sólidos geométricos Geometria Descritiva 2006/2007 1 Classificação das superfícies Linha Lugar das

Leia mais

PLANO. Sumário: Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 1

PLANO. Sumário: Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Plano - 1 3 PLANO O alfabeto do plano é o conjunto das posições genéricas que um plano pode ter em relação aos planos de projeção. Neste capítulo apresentam-se essas posições, assim como posições particulares que

Leia mais

ISOMETRIAS - TRANSLAÇÃO, ROTAÇÃO E REFLEXÃO -

ISOMETRIAS - TRANSLAÇÃO, ROTAÇÃO E REFLEXÃO - ISOMETRIAS - TRANSLAÇÃO, ROTAÇÃO E REFLEXÃO - MATEMÁTICA 8º Ano Professora: Patrícia Isidoro Antes de Começar para recordar Posição relativa de duas retas no plano Retas Concorrentes Perpendiculares Oblíquas

Leia mais

SÓLIDOS I. Sumário: Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos I - 1

SÓLIDOS I. Sumário: Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos I - 1 7 SÓLIDOS I Neste capítulo mostra-se como se representam pirâmides, prismas, cones e cilindros em diferentes circunstâncias, recorrendo ou não a processos auiliares. Mostra-se também como se traçam e determinam

Leia mais

UARCA-E.U.A.C. Escola Universitária de Artes de Coimbra

UARCA-E.U.A.C. Escola Universitária de Artes de Coimbra GDI - Geometria Descritiva I Exercícios práticos para preparação da frequência de semestre. Objectivos: Estes exercício-tipo, pretendem por um lado apresentar uma minuta, uma definição de exercício-tipo

Leia mais

AULA SISTEMA DE PROJEÇÃO

AULA SISTEMA DE PROJEÇÃO 1 É a parte da matemática aplicada que tem por finalidade representar sobre um plano as figuras do espaço de modo que seja possível resolver por geometria os problemas de três dimensões SISTEMAS PROJETIVOS

Leia mais

1. Quantos são os planos determinados por 4 pontos não coplanares?justifique.

1. Quantos são os planos determinados por 4 pontos não coplanares?justifique. Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Disciplina: Geometria euclidiana espacial (GMA010) Assunto: Paralelisno e Perpendicularismo; Distância e Ângulos no Espaço. Prof. Sato 1 a Lista

Leia mais

Escola Secundária de Francisco Franco Matemática 12.º ano Números Complexos - Exercícios saídos em (Exames Nacionais 2000)

Escola Secundária de Francisco Franco Matemática 12.º ano Números Complexos - Exercícios saídos em (Exames Nacionais 2000) Mais exercícios de.º ano: www.prof000.pt/users/roliveira0/ano.htm Escola Secundária de Francisco Franco Matemática.º ano Números Complexos - Exercícios saídos em (Exames Nacionais 000). Seja C o conjunto

Leia mais

a) Falsa. Dois ou mais pontos podem ser coincidentes, por exemplo. b) Falsa. Os três pontos não podem ser colineares.

a) Falsa. Dois ou mais pontos podem ser coincidentes, por exemplo. b) Falsa. Os três pontos não podem ser colineares. 01 a) Falsa. Dois ou mais pontos podem ser coincidentes, por exemplo. b) Falsa. Os três pontos não podem ser colineares. c) Verdadeira. Três pontos distintos e não colineares sempre determinam um plano.

Leia mais

Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Referência: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner

Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Referência: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Referência: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner 3 - Parábolas Definição 1.1: Dados um ponto no plano F e uma reta d no plano, é denominada Parábola

Leia mais

Ângulos entre retas Retas e Planos Perpendiculares. Walcy Santos

Ângulos entre retas Retas e Planos Perpendiculares. Walcy Santos Ângulos entre retas Retas e Planos Perpendiculares Walcy Santos Ângulo entre duas retas A idéia do ângulo entre duas retas será adaptado do conceito que temos na Geometria Plana. Se duas retas são concorrentes

Leia mais

3. Obter a equação do plano que contém os pontos A = (3, 0, 1), B = (2, 1, 1) e C = (3, 2, 2).

3. Obter a equação do plano que contém os pontos A = (3, 0, 1), B = (2, 1, 1) e C = (3, 2, 2). Lista II: Retas, Planos e Distâncias Professora: Ivanete Zuchi Siple. Equação geral do plano que contém o ponto A = (,, ) e é paralelo aos vetores u = (,, ) e v = (,, ).. Achar a equação do plano que passa

Leia mais

6. Calcular as equações paramétricas de uma reta s que passa pelo ponto A(1, 1, 1) e é ortogonal x 2

6. Calcular as equações paramétricas de uma reta s que passa pelo ponto A(1, 1, 1) e é ortogonal x 2 Lista 2: Retas, Planos e Distâncias - Engenharia Mecânica Professora: Elisandra Bär de Figueiredo x = 2 + 2t 1. Determine os valores de m para que as retas r : y = mt z = 4 + 5t sejam: (a) ortogonais (b)

Leia mais

PONTO E SEGMENTO DE RETA

PONTO E SEGMENTO DE RETA 1 PONTO E SEGMENTO DE RETA Neste capítulo aborda-se essencialmente o Ponto, elemento geométrico mais simples. Resultado da união de dois pontos, aborda-se também o Segmento de Reta. Com esses elementos

Leia mais

Retas e planos. Posições relativas

Retas e planos. Posições relativas Retas e planos. Posições relativas Recordar Noção de Plano Se prolongares indefinidamente e em todas as direções o tampo do quadro, obténs um Plano. Como desenhar um plano é impossível, convencionou-se

Leia mais

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias 4 Posição relativa entre retas e círculos e distâncias Sumário 4.1 Distância de um ponto a uma reta.......... 2 4.2 Posição relativa de uma reta e um círculo no plano 4 4.3 Distância entre duas retas no

Leia mais

GEOMETRIA DESCRITIVA. Professor: Luiz Gonzaga Martins, M.Eng. Acadêmica: Suelen Cristina da Silva

GEOMETRIA DESCRITIVA. Professor: Luiz Gonzaga Martins, M.Eng. Acadêmica: Suelen Cristina da Silva GEOMETRIA DESCRITIVA Professor: Luiz Gonzaga Martins, M.Eng. Acadêmica: SUMÁRIO DICAS PARA OS ALUNOS...2 1. BREVE HISTÓRIA...5 2. PROJEÇÃO...6 3. MÉTODO BIPROJETIVO...7 4. A ÉPURA...10 5. COMO REPRESENTAR

Leia mais

2ª série Ensino Médio. Aluno(a): N o Turma: Disciplina: DESENHO Coordenação: Prof. Jorge Marcelo Prof.ª: Soraya Izar

2ª série Ensino Médio. Aluno(a): N o Turma: Disciplina: DESENHO Coordenação: Prof. Jorge Marcelo Prof.ª: Soraya Izar COLÉGIO PEDRO II U E EN II 2ª série Ensino Médio Estudo do Ponto Março/ 2011 Aluno(a): N o Turma: Disciplina: DESENHO Coordenação: Prof. Jorge Marcelo Prof.ª: Soraya Izar Apostila extra 2 ESTUDO DO PONTO

Leia mais

Geometria Descritiva 28/08/2012. Elementos Primitivos da Geometria

Geometria Descritiva 28/08/2012. Elementos Primitivos da Geometria Geometria Descritiva Prof. Luiz Antonio do Nascimento ladnascimento@gmail.com www.lnascimento.com.br A Geometria, como qualquer outra ciência, fundamenta-se em observações e experiências para estabelecer

Leia mais

GEOMETRIA DE POSIÇÃO OU GEOMETRIA EUCLIDIANA

GEOMETRIA DE POSIÇÃO OU GEOMETRIA EUCLIDIANA GEOMETRIA DE POSIÇÃO OU GEOMETRIA EUCLIDIANA PONTO, RETA, PLANO E ESPAÇO; PROPOSIÇÕES GEOMÉTRICAS; POSIÇOES RELATIVAS POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E RETA POSIÇÕES RELATIVAS DE PONTO E PLANO POSIÇÕES

Leia mais

GEOMETRIA DE POSIÇÃO

GEOMETRIA DE POSIÇÃO GEOMETRIA DE POSIÇÃO 1- Conceitos primitivos 1.1- Ponto Não possui dimensão. Representado por letras maiúsculas. A B C 1.2 - Reta É unidimensional, possuindo comprimento infinito. Não possui largura ou

Leia mais

Exercícios de testes intermédios

Exercícios de testes intermédios Exercícios de testes intermédios 1. Qual das expressões seguintes designa um número real positivo, para qualquer x pertencente 3 ao intervalo,? (A) sin x cos x (B) cos x tan x tan x sin x sin x tan x Teste

Leia mais

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira:

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira: Aula 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r se define da seguinte maneira: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, Se as retas são concorrentes, isto

Leia mais

Geometria Espacial Curso de Licenciatura em Matemática parte I. Prof.a Tânia Preto Departamento Acadêmico de Matemática UTFPR

Geometria Espacial Curso de Licenciatura em Matemática parte I. Prof.a Tânia Preto Departamento Acadêmico de Matemática UTFPR Geometria Espacial Curso de Licenciatura em Matemática parte I Prof.a Tânia Preto Departamento Acadêmico de Matemática UTFPR - 2014 1 1. Conceitos Primitivos e Postulados L1. Noções 1. Conceitos primitivos:

Leia mais

Posições de Retas. Algumas definições sobre retas foram sistematizadas por Euclides, por volta de 300a.C.

Posições de Retas. Algumas definições sobre retas foram sistematizadas por Euclides, por volta de 300a.C. Posições de Retas Introdução: Conceitos Primitivos Algumas definições sobre retas foram sistematizadas por Euclides, por volta de 300a.C. A partir dessas definições estabeleceram-se os termos geométricos

Leia mais

1 Geometria Analítica Plana

1 Geometria Analítica Plana UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE CAMPO MOURÃO Curso: Matemática, 1º ano Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Professora: Gislaine Aparecida Periçaro 1 Geometria Analítica Plana A Geometria

Leia mais

REPRESENTAÇÕES EM MÚLTIPLAS VISTAS

REPRESENTAÇÕES EM MÚLTIPLAS VISTAS INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA REPRESENTAÇÕES EM MÚLTIPLAS VISTAS Professor: João Carmo INTRODUÇÃO A representação de Objetos em Desenho Técnico é feita, principalmente, a partir de

Leia mais

Geometria Analítica. Geometria Analítica 28/08/2012

Geometria Analítica. Geometria Analítica 28/08/2012 Prof. Luiz Antonio do Nascimento luiz.anascimento@sp.senac.br www.lnascimento.com.br Conjuntos Propriedades das operações de adição e multiplicação: Propriedade comutativa: Adição a + b = b + a Multiplicação

Leia mais

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Departamento de Engenharia Mecânica. ENG1705 Dinâmica de Corpos Rígidos.

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Departamento de Engenharia Mecânica. ENG1705 Dinâmica de Corpos Rígidos. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Departamento de Engenharia Mecânica ENG1705 Dinâmica de Corpos Rígidos (Período: 2016.1) Notas de Aula Capítulo 1: VETORES Ivan Menezes ivan@puc-rio.br

Leia mais

Desenho Técnico. Desenho Mecânico. Eng. Agr. Prof. Dr. Cristiano Zerbato

Desenho Técnico. Desenho Mecânico. Eng. Agr. Prof. Dr. Cristiano Zerbato Desenho Técnico Desenho Mecânico Eng. Agr. Prof. Dr. Cristiano Zerbato Introdução O desenho, para transmitir o comprimento, largura e altura, precisa recorrer a um modo especial de representação gráfica:

Leia mais

Prova Prática de Geometria Descritiva A pontos

Prova Prática de Geometria Descritiva A pontos EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei n.º 139/2012, de 5 de julho Prova Prática de Geometria Descritiva A 10.º e 11.º Anos de Escolaridade Prova 708/2.ª Fase Critérios de Classificação 7 Páginas

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições Exercícios de exames e testes intermédios 1. Na figura ao lado, está representado, no plano complexo, um quadrado cujo centro coincide com

Leia mais

Geometria Descritiva A

Geometria Descritiva A Escola Básica e Secundária de Velas Planificação Geometria Descritiva A 10º Ano Ano Letivo 2013/2014 Escola Básica e Secundária de Velas DISCIPLINA: GEOMETRIA DESCRITIVA A 10º Ano Objetivos Gerais. Conhecer

Leia mais

APOSTILA I DAC CRIADO POR DÉBORA M. BUENO FRANCO PROFESSORA DE DESENHO ASSISTIDO POR COMPUTADOR FACULDADE EDUCACIONAL DE ARAUCÁRIA - FACEAR

APOSTILA I DAC CRIADO POR DÉBORA M. BUENO FRANCO PROFESSORA DE DESENHO ASSISTIDO POR COMPUTADOR FACULDADE EDUCACIONAL DE ARAUCÁRIA - FACEAR APOSTILA I DAC Alunos O material aqui disponibilizado deve ser entendido como material de apoio às aulas de Desenho Assistido por Computador, não substituindo de qualquer forma o conteúdo da disciplina

Leia mais

Geometria Euclidiana Espacial e Introdução à Geometria Descritiva

Geometria Euclidiana Espacial e Introdução à Geometria Descritiva UNIVERSIDDE ESTDUL PULIST DEPRTMENTO DE MTEMÁTIC Geometria Euclidiana Espacial e Introdução à Geometria Descritiva Material em preparação!! Última atualização: 28.04.2008 Luciana F. Martins e Neuza K.

Leia mais

3. Achar a equação da esfera definida pelas seguintes condições: centro C( 4, 2, 3) e tangente ao plano π : x y 2z + 7 = 0.

3. Achar a equação da esfera definida pelas seguintes condições: centro C( 4, 2, 3) e tangente ao plano π : x y 2z + 7 = 0. Universidade Federal de Uerlândia Faculdade de Matemática Disciplina : Geometria Analítica (GMA00) Assunto: Superfícies, Quádricas, Curvas e Coordenadas Professor Sato 4 a Lista de exercícios. Determinar

Leia mais

PRIMEIRA LISTA DE EXERCICIOS DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL

PRIMEIRA LISTA DE EXERCICIOS DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL PRIMEIRA LISTA DE EXERCICIOS DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL I) Completes a lacunas: a) Postulado 1 - Por dois pontos...passa uma e só uma reta b) Postulado 2 Para todo...ab e todo...cd exist um único...e

Leia mais

O origami no ensino da Matemática

O origami no ensino da Matemática O origami no ensino da Matemática A construção de um origami parte sempre da dobragem de uma folha de papel num quadrado perfeito. Ao voltarmos a dobrar este quadrado podemos obter triângulos e outros

Leia mais

PROJECÇÃO DE SÓLIDOS

PROJECÇÃO DE SÓLIDOS PROJECÇÃO DE SÓLIDOS I- GENERALIDADES 1- BREVES NOÇÕES SOBRE SUPERFÍCIES 1.1- Noção Uma superfície pode definir-se como sendo o lugar geométrico gerado por uma linha (geratriz) que se desloca, segundo

Leia mais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ESTUDO DA RETA

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ESTUDO DA RETA 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ESTUDO DA RETA 1. SEJA O CUBO DADO NA FIGURA ABAIXO CUJOS VÉRTICES AB PERTENCEM À LT. PERGUNTA-SE: A) QUE TIPO DE RETAS PASSA PELAS ARESTAS EF, EC, EG. B) QUE TIPO DE RETAS PASSA

Leia mais

REVISÃO DE TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA ANALÍTICA

REVISÃO DE TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA ANALÍTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA SUPERIOR DE AGRICULTURA LUIZ DE QUEIROZ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE BIOSSISTEMAS LEB340 TOPOGRAFIA E GEOPROCESSAMENTO I PROF. DR. CARLOS ALBERTO VETTORAZZI REVISÃO DE

Leia mais

Curso de Geometria Analítica

Curso de Geometria Analítica Curso de Geometria Analítica Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis Resumo Teórico 10 - Posições relativas entre Pontos Retas e Planos. I.

Leia mais

Figura 9.1: Corpo que pode ser simplificado pelo estado plano de tensões (a), estado de tensões no interior do corpo (b).

Figura 9.1: Corpo que pode ser simplificado pelo estado plano de tensões (a), estado de tensões no interior do corpo (b). 9 ESTADO PLANO DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES As tensões e deformações em um ponto, no interior de um corpo no espaço tridimensional referenciado por um sistema cartesiano de coordenadas, consistem de três componentes

Leia mais

Geometria Analítica - AFA

Geometria Analítica - AFA Geometria Analítica - AFA x = v + (AFA) Considerando no plano cartesiano ortogonal as retas r, s e t, tais que (r) :, (s) : mx + y + m = 0 e (t) : x = 0, y = v analise as proposições abaixo, classificando-

Leia mais

Distância entre duas retas. Regiões no plano

Distância entre duas retas. Regiões no plano Capítulo 4 Distância entre duas retas. Regiões no plano Nesta aula, veremos primeiro como podemos determinar a distância entre duas retas paralelas no plano. Para isso, lembramos que, na aula anterior,

Leia mais

Bacharelado em Ciência e Tecnologia 2ª Lista de Exercícios - Geometria Analítica

Bacharelado em Ciência e Tecnologia 2ª Lista de Exercícios - Geometria Analítica MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS Bacharelado em Ciência e Tecnologia ª Lista de Exercícios - Geometria Analítica 008. ) São dados os pontos

Leia mais

7. INTERSECÇÕES ENTRE PLANOS E ENTRE RECTA E PLANO geometria descritiva 2010

7. INTERSECÇÕES ENTRE PLANOS E ENTRE RECTA E PLANO geometria descritiva 2010 7.2.2 a) Intersecção de dois planos projectantes 2 Plano de nível + plano vertical 2 Plano de nível + plano de topo 3 Plano de nível + plano de perfil 4 7.2.2b) Intersecção de um plano projectante e um

Leia mais

Geometria Descritiva Representação do Plano

Geometria Descritiva Representação do Plano Geometria Descritiva Representação do Plano Um plano pode ser determinado por uma das quatro possibilidades: - três pontos não alinhados; (1) - uma recta e um ponto exterior; (2) - duas rectas concorrentes;

Leia mais

Testa os conhecimentos de Geometria Descritiva

Testa os conhecimentos de Geometria Descritiva Testa os conhecimentos de Geometria Descritiva Para testar os conhecimentos de Geometria Descritiva, procede da seguinte forma: responde por escrito à questão escolhida; em seguida, clica no Hiperlink

Leia mais

Matemática - 3ª série Roteiro 04 Caderno do Aluno. Estudo da Reta

Matemática - 3ª série Roteiro 04 Caderno do Aluno. Estudo da Reta Matemática - 3ª série Roteiro 04 Caderno do Aluno Estudo da Reta I - Inclinação de uma reta () direção É a medida do ângulo que a reta forma com o semieixo das abscissas (positivo) no sentido anti-horário.

Leia mais

Plano. da - 2. Rodrigo Roberto plano. Geométricamente planos são definidos por: (B) (C) (A) a)três pontos distinos não colineares.

Plano. da - 2. Rodrigo Roberto plano. Geométricamente planos são definidos por: (B) (C) (A) a)três pontos distinos não colineares. lano Geométricamente planos são definidos por: a)rês pontos distinos não colineares. da - plano () b) Uma reta e um ponto exterior a ela. () () c) uas retas concorrentes. () d) uas retas paralelas. e)

Leia mais

EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA

EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA - 015 1. (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y 4. Para cada número real t tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0),

Leia mais

MATEMÁTICA - 3o ciclo Teorema de Pitágoras (8 o ano) Propostas de resolução

MATEMÁTICA - 3o ciclo Teorema de Pitágoras (8 o ano) Propostas de resolução MTEMÁTI - 3o ciclo Teorema de Pitágoras (8 o ano) Propostas de resolução Exercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. omo a base do prisma é um quadrado, os lados adjacentes são perpendiculares,

Leia mais

Ponto 1) Representação do Ponto

Ponto 1) Representação do Ponto Ponto 1) Representação do Ponto Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Plano Cartesiano, sistemas de coordenadas: pontos e retas Na geometria

Leia mais

GEOMETRIA DESCRITIVA A (Bloco I)

GEOMETRIA DESCRITIVA A (Bloco I) ACTIVIDADES LECTIVAS 1º Período 2º Período 3º Período para o ano lectivo Apresentação 2 ----- ----- 2 x 45 minutos Avaliação 3 Testes 3 Testes 2 Testes 16 x 45 minutos Auto-avaliação 2 2 2 6 x 45 minutos

Leia mais

, a equação. x, y x, y k. u, u, k. x, y 2, 3 k. 1, 2, k. Exemplo: Determina uma equação reduzida da reta que tem declive 3 e ordenada na origem 2.

, a equação. x, y x, y k. u, u, k. x, y 2, 3 k. 1, 2, k. Exemplo: Determina uma equação reduzida da reta que tem declive 3 e ordenada na origem 2. Escola Secundária de lberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática Geometria I Inclinação e declive de uma reta no plano; ângulo de duas retas; retas perpendiculares. º no Equação vetorial da reta: Dado

Leia mais

Equações da reta no plano

Equações da reta no plano 3 Equações da reta no plano Sumário 3.1 Introdução....................... 2 3.2 Equação paramétrica da reta............. 2 3.3 Equação cartesiana da reta.............. 7 3.4 Equação am ou reduzida da reta..........

Leia mais

PROVA FINAL DE MATEMÁTICA 9.º ano de escolaridade

PROVA FINAL DE MATEMÁTICA 9.º ano de escolaridade Nome: N.º Turma Data: / / Avaliação Professor Encarregado Educação Parte 1: 35 minutos. (é permitido o uso de calculadora) 1 2 1. Sabe-se que A ]3, 21 21 ] = ] 2, ]. 2 2 Qual dos conjuntos seguintes poderá

Leia mais

Exercícios de provas nacionais e testes intermédios

Exercícios de provas nacionais e testes intermédios Exercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. Considera o conjunto A = [ π[ Qual é o menor número inteiro que pertence ao conjunto A (A) 3 (B) 4 (C) π (D) π 1 2. Qual dos conjuntos seguintes é

Leia mais

Teorema de Tales no plano

Teorema de Tales no plano MA620 - Aula 3 p. 1/ Teorema de Tales no plano Teorema de Tales: (no plano) Se duas retas paralelas são cortadas por duas retas concorrentes, então as medidas dos segmentos correspondentes determinados

Leia mais

REVISÃO Lista 11 Geometria Espacial. para área lateral, total, V para volume, d para diagonal, h para altura, r para raio, g para geratriz )

REVISÃO Lista 11 Geometria Espacial. para área lateral, total, V para volume, d para diagonal, h para altura, r para raio, g para geratriz ) NOME: ANO: º Nº: PROFESSOR(A): Ana Luiza Ozores DATA: Algumas definições (Nas fórmulas a seguir, vamos utilizar aqui REVISÃO Lista Geometria Espacial A B para área da base, para área lateral, total, V

Leia mais

A 1. Na figura abaixo, a reta r tem equação y = 2 2 x + 1 no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B 0. estão na reta r, sendo B 0

A 1. Na figura abaixo, a reta r tem equação y = 2 2 x + 1 no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B 0. estão na reta r, sendo B 0 MATEMÁTICA FUVEST Na figura abaixo, a reta r tem equação y = x + no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B 0, B, B, B 3 estão na reta r, sendo B 0 = (0,). Os pontos A 0, A, A, A 3 estão no eixo

Leia mais