CONSTRUÇÃO DOS CÓDIGOS (2 M, M+1, 2 M - 1 ), COM M 3, USANDO BLOCOS LEXICOGRÁFICOS

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1 CONSTRUÇÃO DOS CÓDIGOS (2 M, M+, 2 M - ), COM M 3, USANDO BLOCOS LEXICOGRÁFICOS Francisco Antonio e ALENCAR MENEZES Elio César GIRAUDO 2 RESUMO: Conceitos relacionaos à teoria a coificação linear são apresentaos para funamentar a noa construção e cóigos lexicográficos e propor para o cóigo (8, 4, 4), uma construção por matrizes ou por bloco lexicográfico. Na construção, a partir a matriz geraora, suas palaras cóigo estão a uma mesma istância e amming e a uma mesma istância eucliiana, ois a ois. Como proprieae funamental, a matriz e pariae o cóigo é a transposta e sua matriz geraora, o que sugere um proceimento e ecoificação iferenciao o cóigo e amming. Nesse contexto é efinia a família e cóigos e parâmetros (2 M, M+, 2 M- ), com M 3. Cura e taxa e erro e bit é apresentaa para este cóigo num sistema e moulação igital PSK. PALAVRAS-CAVE: Cóigo lexicográfico; cóigo linear; cóigo corretor e erro. Introução Os funamentos matemáticos para a comunicação igital foram estabelecios por Shannon (948) que formulou o problema básico a transmissão e informação confiáel, usano moelos probabilísticos para fontes e canais e comunicação. Baseao em tal formulação, aotou uma meia para o conteúo e uma fonte e informação e estabeleceu limites básicos sobre uma taxa máxima, que uma informação igital poe ser transmitia confiaelmente, atraés e um canal e comunicação. Os limites teóricos euzios por pesquisaores como Leenshtein (96), Van Lint (962), McWilliams e Sloane (977), Conway (99) e Calerbank (995), são referências na funamentação e projetos e esenolimento e sistemas e comunicação igital mais eficientes. Os cóigos corretores e erros são utilizaos sempre que se eseja transmitir ou armazenar aos. São exemplos, toas as comunicações ia satélite, as comunicações internas e um computaor e o armazenamento e aos. A classe e cóigos mais utilizaa é a os cóigos lineares, bem funamentaa por Lin e Costello Jr (983) e como exemplo poe-se citar, seguno efez e Vilela (22), o cóigo e amming, o cóigo e Golay e o cóigo e Ree-Muller. Centro e Ciências Exatas e Tecnologia, Coorenação e Ciências-Matemática, Uniersiae Estaual Vale o Acaraú, CEP: , Sobral, Ceará, Brasil, alencarmenezes@gmail.com 2 Departamento e Engenharia e Teleinformática, Centro e Tecnologia, Uniersiae Feeral o Ceará UFCE, Caixa Postal 67, CEP: , Fortaleza, Ceará, Brasil, elio@eti.ufc.br Re. Bras. Biom., São Paulo,.25, n.4, p.57-63, 27 57

2 O estuo a construção os cóigos lexicográficos, comproaamente lineares e e ótimo esempenho, com o conceito matemático e lexicografia e a efinição a lexicografia e cóigos, com Conway (99), erscoici (99) e Trachtenberg (22) é um ponto inicial na escoberta e um noo métoo e construção enominaa construção por bloco lexicográfico, funamentaa a partir o cóigo (8,4,4), objeto este trabalho. Na Seção 2, são apresentaas as seqüências lexicográficas e etores seguno Bruali e Pless (993). Na Seção 3, aboram-se breemente as características a matriz geraora. Já na Seção 4, o conceito e lexicografia e cóigos seguno Conway (99) e erscoici (99) e os cóigos lexicográficos e Trachtenberg (22) efinem uma construção lexicográfica baseaa na matriz geraora. Esta sere e funamentação para uma noa construção enominaa e construção por bloco lexicográfico que prouz uma família e cóigos e parâmetros (2 M, M+, 2 M- ), tal que, M > 3. Para M 3 é efinio o cóigo (8, 4, 4) cujo esempenho é analisao na Seção 5, comparano a taxa e erro e bit (BER) em função a relação em ecibéis entre a energia e bit e a ensiae espectral e potência o ruío E b /N para o sistema PSK coificao e não coificao, meiante simulação no ambiente computacional o software lire SCILAB, permitino conclusões e perspectias. 2 Sequência lexicográfica e etores Vetores orenaos por critérios conenientemente propostos poem sugerir iferentes lexicografias. No contexto o GF(2) consiera-se ois etores, em sequência, (x n ) (x, x 2,..., x n ) e (y n ) (y, y 2,..., y n ), tais que: ( y ) > ( x ) ( y ) > ( x ) : y x k < j. () n n j j k k A Tabela mostra uas seqüências lexicográficas. A seqüência 2 é a concepção lexicográfica e Bruali e Pless (993), que consieram um alfabeto infinito {,, 2, }, representao por sequências em orem. Na sequência, tem-se a lexicografia consieraa neste trabalho, efinia na Expressão (), que efine também a sequência 2, consierano y x k > j. k k Tabela - Vetores em orem lexicográfica Sequência Sequência 2 (...) (...) (...) (...) (...) (...) (...) (...) (...) (...) (...) (...) (...) (...) (...) (...) 58 Re. Bras. Biom., São Paulo,.25, n.4, p.57-63, 27

3 3 Matriz geraora e um cóigo linear n Definição. Sejam K um corpo finito com q elementos e C( n, k, ) K um cóigo linear, one k é a imensão e C, é a istância mínima e amming sobre K e β,,, ) uma base orenaa e C. A matriz G, cujas linhas são os etores ( 2 k ( i i 2 i k,,, ), i : k, tal que, G k k 2 k 2 n, kn é enominaa matriz geraora o cóigo C associaa à base β. (2) Em particular, as linhas e uma matriz geraora são linearmente inepenentes e a menor istância e amming entre elas é enominaa istância mínima o cóigo gerao, que sere e parâmetro para meição a capaciae e correção e erro o cóigo. Os cóigos apresentaos no contexto corrigem (-)/2 erros e nosso objetio é construir matrizes geraoras lexicograficamente, por blocos, para geração e cóigos com istâncias mínimas caa ez maiores, o que possibilita a correção e uma quantiae maior e erros. 4 Construção lexicográfica o cóigo (2 M, M+, 2 M - ) com M 3 O cóigo e comprimento n 8, imensão k 4 e istância mínima e amming min 4, mencionao por Trachtenberg (22), é exemplo e cóigo ótimo e a sua construção lexicográfica é aa a partir e sua matriz geraora T, na Equação (3). T. Esta construção escolhe etores linearmente inepenentes em orem lexicográfica obeeceno à istância mínima e amming requeria pelo cóigo. Obsera-se que nessa matriz, a istância máxima é max 8, iferente a istância mínima e amming min 4, o cóigo. Seno assim, poe-se izer que os etores escolhios lexicograficamente, que compõem T, iferem na istância e amming ois a ois. Definição 2. Um bloco lexicográfico é uma matriz geraora e um cóigo com istância mínima e amming 2 M-, tal que, M 3, construía lexicograficamente a partir o etor ( ) (...), e zeros e uns, one o peso e amming e a istância eucliiana entre os seus etores linha, tomaos ois a ois, são iguais a. Para M 3 tem-se o cóigo (2 M, M+, 2 M- ) (8, 4, 4) one sua matriz geraora, exibia na Equação (4), é construía a partir o etor ( 4 4 ) (), meiante a (3) Re. Bras. Biom., São Paulo,.25, n.4, p.57-63, 27 59

4 6 Re. Bras. Biom., São Paulo,.25, n.4, p.57-63, 27 escolha e etores linearmente inepenentes, consierano uma lexicografia one possuem a mesma istância e amming, ois a ois. Como proprieae funamental tem-se que a istância máxima a matriz é igual à sua istância mínima. Este fato não acontece para a construção lexicográfica a matriz T na Equação (3). Além isso, essa noa construção lexicográfica permite que toos os etores geraores a matriz, se encontrem ois a ois, à mesma istância eucliiana.. (4) Caa bloco lexicográfico que á origem a uma matriz geraora, á origem a outro bloco lexicográfico que é matriz geraora para outro cóigo em sequência. A matriz B a Equação (5) é o bloco lexicográfico que á origem a, na Equação (6). B. (5) Nesse caso tem-se que, na Equação (6), é um bloco lexicográfico e essa forma poe-se B B. (6) obter uma noa matriz geraora N, como efinia na Equação (7), o cóigo C(6, 5, 8), N, (7) exibia na Equação (8). N. (8) As matrizes B, e N formam uma sequência lexicográfica e matrizes. Como obeecem a um métoo e construção bem efinio, possuem as mesmas características e proprieaes funamentais, tal que, quano multiplicaas pela sua transposta, retornam a matriz nula, ou seja, BB T, T e NN T. Por efinição, tem-se que T é a matriz cheque e pariae o cóigo C(8, 4, 4). Essa proprieae é uma irtue os blocos lexicográficos que, além isso, eio à sua construção, apresentam-se irreutíeis

5 à forma parão, o que sugere um moelo e ecoificação iferente o cóigo e amming. 5 Simulação para a noa construção lexicográfica Na Figura, mostra-se o iagrama em blocos e um sistema e comunicação igital, one se estacam, entre outros, os blocos o canal e transmissão, coificaor e canal e moulaor, como em Lin e Costello Jr (983). Nesse contexto, se compara o esempenho este sistema e comunicação com moulação igital PSK, sem coificação e com coificação e canal pelo cóigo (8, 4, 4). O canal e transmissão usao nesta simulação é com ruío aitio branco e gaussiano. Too o sistema foi programao no ambiente computacional SciLab. Como resultao esta comparação, mostra-se na Figura 2, as curas e BER em função a E b /N [B] para o sistema coificao e não coificao. Poe-se obserar que tal sistema coificao com o cóigo (8, 4, 4), apresenta, por exemplo, para potências aproximaamente E b /N [B] > 5B, menores taxa e erro e bit que o sistema não coificao., PSK PSK coificao com (8,4,4) Fonte Coificaor e Canal Moulaor, BER Ruío Canal E-3 Destino Decoificaor e Canal Detector E-4 E E b /N [B] Figura - Diagrama em Blocos e um Sistema e Comunicações Digitais. Figura 2 - Desempenho o sistema PSK coificao e não coificao usano o cóigo (8, 4, 4). Conclusões Conceitos relacionaos à teoria a coificação linear foram apresentaos para funamentar uma noa construção para o cóigo (8, 4, 4), no contexto os corpos e Galois e característica 2, GF(2 m ), enominaa construção por bloco lexicográfico. O cóigo lexicográfico (8, 4, 4) aqui é efinio a partir e sua matriz geraora, construía a partir a matriz B, enominaa bloco lexicográfico. Note-se que, também Re. Bras. Biom., São Paulo,.25, n.4, p.57-63, 27 6

6 um bloco lexicográfico, é uma matriz cujos etores estão a uma mesma istância e amming e a uma mesma istância eucliiana, ois a ois. Como proprieae funamental, tem-se que t e nesse caso, t é a matriz cheque e pariae o cóigo. Dee-se ressaltar que o cóigo apresentao não é o e amming. Nesse contexto apresenta-se, por simulação computacional, o esempenho o cóigo (8, 4, 4) mostrano a taxa e erro e bit, BER, como função a energia e bit sobre a ensiae espectral e potência o ruío E b /N [B] para o sistema PSK coificao e não coificao. Como resultao mostra-se na Fig.2, a iminuição a BER com o aumento a relação E b /N o sistema PSK coificao em relação ao não coificao. Obsera-se que para uma aa probabiliae e erro, o sistema coificao com a noa construção lexicográfica, precisa menos potência e transmissão que o sistema não coificao. Uma ireção futura para a família e cóigos lexicográficos (2 M, M+, 2 M- ), tal que, M 3, é a efinição esses cóigos sobre corpos e Galois com característica iferente e 2. ALENCAR MENEZES, F. A. e; GIRAUDO, E. C. Construction of the coes (2 M, M+, 2 M- ), with M 3, using lexicographical blocks. Re. Bras. Biom., São Paulo,.25, n.4, p.57-63, 27. ABSTRACT: Concepts relate to the theory of the linear coification are presente to the new construction of lexicographical coes, an to propose for the coe (8, 4, 4), a lexicographic construction for matrices or for lexicographical blocks. The construction starts from the generating matrix, whose coe wors are at same amming istance an the same Eucliean istance, two by two. A funamental property is that the coe's parity check matrix is the transpose one of its generating matrix, what hints to the amming coe ifferentiate ecoe proceure. In this context the family of coes of parameters is efine (2 M, M+, 2 M- ), with M 3. Cures of bit error rate are present for this coe in a PSK igital moulation system. KEYWORDS: Lexicographic coe; linear coe; error correction coe. Referências BRUALDI, R. A.; PLESS, V. Greey coes. J. Comb. Theory Ser. A, New York,.64, p. 3, 993. CALDERBANK, A. R. (E.) Different aspects of coing theory: Am. Math. Soc. (Short Course). In: SYMPOSIAN IN APPLIED MATEMATICS, San Francisco, 995. Prociings San Francisco, p. CONWAY, J.. Integral lexicographic coes. Discrete Math., Amsteram,.83, p , 99. EFEZ, A.; VILELA, M. L. T. Cóigos corretores e erros. Rio e Janeiro: IMPA, p. ERSCOVICI, D. S. Minimal istance lexicographic coes oer an infinite alphabet. IEEE Trans. Inform. Theory, New York,.37, n.5, p , 99. LEVENSTEIN, V. I. A class of systematic coes. Soiet Math. Dokl., Proience,., n., p , Re. Bras. Biom., São Paulo,.25, n.4, p.57-63, 27

7 LIN, S.; COSTELLO Jr., D. Error control coing. Prentice all, p. MACWILLIAMS, F. J.; SLOANE, N. J. A. The theory of error correcting coes. North- ollan, Amsteram, p. SCILAB. copyright INRIA. Disponíel em: < Acesso em: jul. 27. SANNON, C. E. A mathematical theory of communication. Bell Syst. Tech. J., New York,.27, p , , 948. TRACTENBERG, A. Designing lexicographic coes with a gien trellis complexity. IEEE Trans. Inform. Theory, New York,.48, n., p.89-, 22. VAN LINT, J.. Introuction to coing theory. Berlin: Springer, 992. (Grauate Texts in Mathematics). 256p. Recebio em Aproao após reisão em Re. Bras. Biom., São Paulo,.25, n.4, p.57-63, 27 63