Cálculo Diferencial e Integral por Kely Diana Villacorta e Felipe Garcia

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1 Cálculo Diferencial e Integral i Cálculo Diferencial e Integral por Kel Diana Villacorta e Felipe Garcia Ed. v1.0

2 Cálculo Diferencial e Integral ii Copright 2013 UAB Você tem a liberdade de: Compartilhar copiar, distribuir e transmitir a obra. Remiar criar obras derivadas. Sob as seguintes condições: Atribuição Você deve creditar a obra da forma especificada pelo autor ou licenciante (mas não de maneira que sugira que estes concedem qualquer aval a você ou ao seu uso da obra). Uso não comercial Você não pode usar esta obra para fins comerciais. Compartilhamento pela mesma licença Se você alterar, transformar ou criar em cima desta obra, você poderá distribuir a obra resultante apenas sob a mesma licença, ou sob uma licença similar à presente. Para maiores informações consulte:

3 Cálculo Diferencial e Integral iii COLLABORATORS TITLE : Cálculo Diferencial e Integral ACTION NAME DATE SIGNATURE WRITTEN BY Kel Diana Villacorta e Felipe Garcia 29 de julho de 2013 REVISION HISTORY NUMBER DATE DESCRIPTION NAME v1.0 Maio 2013 Primeira versão do livro Kel D. V. V., Felipe G. M.

4 Cálculo Diferencial e Integral iv Sumário 1 Números Reais Sistema dos Números Reais Adição e Multiplicação de Números Reais Subtração e Divisão de Números Reais Relação de Ordem Desigualdades e Intervalos Inequações Valor absoluto Aioma do Supremo Recapitulando Atividades Relações e Funções Relações Domínio, imagem e gráfico de uma relação Relação inversa Relações entre o gráfico de uma relação e gráfico de sua inversa Funções Translações e refleões de uma função Funções comuns Função par e função ímpar Função periódica Função crescente e função decrescente Função definida por partes Função injetiva, sobrejetiva e bijetiva Operações com funções Composição de funções Função inversa Recapitulando Atividades

5 Cálculo Diferencial e Integral v 3 Limites Introdução Vizinhança Limite de uma funcão Propriedades dos ites Leis do ite Limites laterais Limites no infinito Limites infinitos Limites infinitos no infinito Assíntotas Recapitulando Atividades Continuidade Introdução Noção intuitiva Definição precisa Tipos de descontinuidade Continuidade de funções em intervalos Teorema de valor intermediário Funções inversas e continuidade Recapitulando Atividades A Derivada Introdução A derivada e a reta tangente de uma função em um ponto A derivada como função Derivadas laterais Reta normal a uma curva em um ponto Regras de derivação A derivada da composição de funções Teorema da função inversa Derivadas de funções elementares Derivadas de ordem superior Derivação Implícita Recapitulando Atividades

6 Cálculo Diferencial e Integral vi Prefácio teto Público alvo estudantes Método de Elaboração Financiamento da capes. Contribuição Erros e etc.

7 Cálculo Diferencial e Integral 1 / 127 Capítulo 1 Números Reais OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de: Entender o conceito do sistema dos números reais e saber diferenciar os subconjuntos que o integram: naturais, inteiros, racionais e irracionais; Dados dois números reais, reconhecer a relação de ordem estabelecida entre eles; Dada uma desigualdade, establecer a que intervalo ela esta relacionada; Determinar o conjunto solução de uma inequação dada; Dominar o conceito de valor absoluto; Familiarizar-se com o Aioma do supremo. O sistema dos números reais que conhecemos atualmente foi obtido depois de muitas refleões por parte do homem. Desde o início de nossa civilização, já se conheciam os números inteiros positivos, ou seja, 1,2,3,... Os números inteiros tão grandes quanto já eram utilizados no Egito em épocas como 300 a. C. Na aritmética de números inteiros positivos que desarrolhou os antigos Egípcios e Babilônicos podiam efetuar-se as operações de adição e multiplicação, embora esta última não tenha sido desenvolvida por completo. Além disso, naquela época já se conheciam certas frações, isto é, os números racionais. Por outro lado, os Babilônicos tiveram maior êito no desenvolvimento da aritmética e da álgebra, a notação que eles usavam era superior à dos egípcios, com a diferença que eles trabalhavam na base 60 e não na 10. Nosso sistema decimal foi criado pelos Hindus e introduzido na Europa Ocidental no século XII mediante a tradução de tetos árabes. Porém, esta notação demorou para ter uma aceitação geral, e muito depois disto veio a aceitação dos números negativos, a qual aconteceu apenas no final do século XVI, época na qual eram descartadas as raízes negativas das equações. Ainda que a necessidade do número irracional, tais como 2 e π, tivesse se apresentado já aos matemáticos da antiga Grécia no seus estudos geométricos, não foram introduzidos métodos satisfatórios de construção dos números reais a partir dos racionais até finais do século XIX, quando os matemáticos conseguiram propor um ponto de partida para a construção total dos números reais, abordagem esta que ainda é usada até hoje.

8 Cálculo Diferencial e Integral 2 / 127 O ponto de vista adotado aqui não é construtivo, pois assume-se que eistam certos objetos, chamados de números reais, que verificam os 11 aiomas a serem enunciados neste capítulo. Todas as propriedades dos números reais que serão apresentadas neste livro, ou estão entre estes aiomas, ou podem ser deduzidos a partir destes. Portanto, neste capítulo revisaremos o sistema dos números reais, desigualdades e intervalos, inequações, valor absoluto, Aioma do Supremo, e resolveremos alguns problemas usando a teoria apresentada. 1.1 Sistema dos Números Reais Um conjunto não vazio de suma importância é o conjunto dos números reais, que é representado por R. O sistema dos números reais é o conjunto R fornecido de duas operações: adição (+) e multiplicação ( ), de uma relação de ordem (<), que se lê menor que e de um aioma chamado Aioma do supremo. O sistema dos números reais é denotado por (R;+; ;<), porém por simplicidade usamos a notação R. Cada elemento R é chamado de número real Adição e Multiplicação de Números Reais A adição e multiplicação de números reais são duas operações internas em R e se definem como segue: Adição dados a e b R se associa um único c R, chamado de soma de a e b, e se escreve c = a + b. A adição de números reais satisfaz os seguintes aiomas: Aioma 1: a + b = b + a, a,b R. Aioma 2: (a + b) + c = a + (b + c), a,b,c R. Aioma 3: Eiste o número real zero, denotado por 0, tal que a + 0 = a, a R. Aioma 4: Para cada número real a eiste um real chamado de oposto de a e é representado por a, tal que a + ( a) = 0. Multiplicação dados a e b R se associa um único d R, chamado de produto de a e b, e se escreve d = a b. A multiplicação de números reais satisfaz os seguintes aiomas: Aioma 5: a b = b a, a,b R. A1 a + b = b + a, a,b R(comutativa) A2 (a + b) + c = a + (b + c), a,b,c R(associativa) A3 Eiste o número real zero, denotado por 0, tal que a + 0 = a, a R. A4 Para cada número realaeiste um real chamado de oposto de a e é representado por a, tal que a + ( a) = 0.

9 Cálculo Diferencial e Integral 3 / 127 M1 a b = b a, a,b R(comutativa) M2 (a b) c = a (b c), a,b,c R(associativa) M3 Eiste o número real um, denotado por1, tal que a 1 = a, a R. M4 Para cada número real a, diferente de zero, eiste um real chamado de inverso de a e é representado por a 1 ou 1 a, tal que a a 1 = a 1 a = 1. M5 a(b + c) = a b + a c, a,b,c R(Distributiva) Os seguintes teoremas enunciam as propriedades destas duas operações.. Aioma 6: (a b) c = a (b c), a,b,c R. Aioma 7: Eiste o número real um, denotado por 1, tal que a 1 = a, a R. Aioma 8: Para cada número real a, diferente de zero, eiste um real chamado de inverso de a e é representado por a 1 ou 1 a, tal que a a 1 = a 1 a = 1. O aioma distributivo relaciona a adição e multiplicação de números reais Aioma 9: a(b + c) = a b + a c, Nota a,b,c R a. Os aiomas 1 e 5 são conhecidos como aiomas comutativos para a soma e multiplicação, respectivamente. b. Os aiomas 2 e 6 são conhecidos como aiomas associativos para a soma e multiplicação, respectivamente. O seguinte teorema enuncia as propriedades destas duas operações. TEOREMA 1 a. Os números 0, 1, a e a 1 são únicos; b. a = ( a), a R; c. Se a 0, então a = (a 1 ) 1 ; d. a 0 = 0, a R; e. a = ( 1) a, a R; f. a ( b) = ( a) b, a, b R; g. ( a) ( b) = a b, a, b R; h. Se a + c = b + c, então a = b; i. Se a c = b c e c 0, então a = b; j. a b = 0 a = 0 ou b = 0; k. a b 0 a 0 e b 0; l. a 2 = b 2 a = b ou a = b.

10 Cálculo Diferencial e Integral 4 / Subtração e Divisão de Números Reais Subtração dados a e b R, a diferença de a e b é a b = a + ( b). Divisão ou quociente dados a e b R, com b 0, o quociente de a e b é a b = a (b 1 ). Teorema 2 a. a b = (b a); b. a b = c a = b + c; c. Se b 0, então c = a b b c = a; d. a (b c) = a b a c; e. Se b 0 e d 0, então a b ± d c = a d ± b c. b d Relação de Ordem Aioma 10: Em R eiste um subconjunto chamado de reais positivos, denotado por R +, que satisfaz as seguintes propriedades: a. Se a R, então a R + ou a R + ou a = 0; b. Se a R + e b R +, então a + b R + e a b R +. Definição Sejam a, b R. Diz-se que: c. a é menor que b e se denota por a < b, b a R + ; d. a é menor ou igual que b e se escreve a b, a < b ou a = b. Nota a. Escrever a < b, é equivalente a escrever b > a e se lê b é maior que a ; b. Da mesma forma, se diz que b é maior ou igual que a e se escreve b a. O seguinte teorema enuncia as propriedades associadas à relação de ordem. Teorema 3 a. Lei da tricotomia: Dados a, b R, então a = b ou a < b ou a > b; b. a 2 0. a R. Se a 0, então a 2 > 0; c. Lei transitiva: Se a < b e b < c, então a < c; d. Lei da monotonia para a soma: Se a < b, então a + c < b + c, c R

11 Cálculo Diferencial e Integral 5 / 127 e. Se a < b e c < d, então a + c < b + d; f. Se a < b e c > 0, então a c < b c; g. Se a < b e c < 0, então a c > b c; h. Se a < b e 0 < c < d, então a c < b d; i. a e a 1 têm o mesmo sinal 1. Se a > 0, então a 1 > 0, 2. Se a < 0, então a 1 < 0; j. Se 0 < a < b, então a 1 > b 1 > 0. Se 0 > b > a, então a 1 > b 1 ; k. a b > 0 (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 ou b < 0) ; l. a b 0 (a 0 e b 0) ou (a 0 ou b 0) m. a b < 0 (a < 0 e b > 0) ou (a > 0 ou b < 0) ; n. a b 0 (a 0 e b 0) ou (a 0 ou b 0) o. Se a 0 e b 0, então a < b a 2 < b 2 ; p. a 2 + b 2 = 0 a = 0 e b = 0. Nota 1. Se a e b são dois números tais que a 2 = b, dizemos que a é a raiz quadrada de b e se escreve a = b. Por eemplo, 2 e 2 são raízes quadradas de 4, pois ( 2) 2 = 2 2 = 4. No decorrer deste livro, a notação b denotará a raiz quadrada positiva e b, la raiz quadrada negativa. 2. Se b < 0, pelo Teorema 3.b não eiste a R tal que a 2 = b. Em outras palavras, não eiste raiz quadrada de números negativos. 3. Se a 2 = 0, então se deduz que a = 0, Portanto, 0 = 0. No decorrer deste livro, entenderemos que resolver a equação E() = 0, onde E() é uma epressão algébrica, significa determinar todos os números reais que satisfazem a dita equação. a = 0; b = 1 3; c = 0. Eemplo 1.1 Resolvamos as seguintes equações a = 8 b = = 8 = 2 5, pois = 8.

12 Cálculo Diferencial e Integral 6 / 127 Esta equação não tem solução, em R, pois > 0, R. c = = = 4 = 1 2. d = = 0 (4 + 3)( 1) = = 0 ou 1 = 0 = 3 4 ou = 1. Outro método (Completando quadrados) ( = 0 (2) ) 2 = ou = = 3 2 ou 2 = 2 = 3 ou = 1. 4 ( 2 1 ) 2 = = 1.2 Desigualdades e Intervalos Os números reais são identificados por pontos numa reta. Esta identificação é da seguinte maneira: Figura 1.1: Reta Real Dada uma reta L (por conveniência horizontal) e uma unidade de medida arbitrária, fiamos o ponto 0 da reta, logo, a cada número real se identifica com o ponto que está situado a unidades à direita do 0, se > 0 e com o ponto situado a unidades à esquerda do 0, se < 0. Esta correspondência entre os números reais e os pontos da reta é biunívoca, isto é, a cada número real lhe corresponde um único ponto na reta, e a cada ponto na reta lhe corresponde um único número real. No decorrer deste livro, não faremos nenhuma diferença entre ambos elementos. Se, e z R tais que < < z, então esta à esquerda de, a uma distância de unidades e z esta à direita de, a uma distância de z unidades. - z- z Figura 1.2: Distância entre e, e distância entre e z Uma epressão que contém relações como <,, >, é chamada de desigualdade. Assim:

13 Cálculo Diferencial e Integral 7 / 127 < < z significa que < e < z; < z significa que < e z; < z significa que e < z; z significa que e z. Definição Dados os números reais a e b com a < b, os intervalos são subconjuntos de R e podem ser clasificados em: Intervalos Limitados 1. Intervalo Aberto: (a,b) = { R : a < < b} 2. Intervalo Fechado: [a,b] = { R : a b} a a 3. Intervalo Semi-aberto pela Direita: [a,b) = { R : a < b} a 4. Intervalo Semi-aberto pela Esquerda: (a,b] = { R : a < b} Intervalos Iitados 1. Intervalo Aberto: a. (a,+ ) = { R : a < } b. (,a) = { R : < a} 2. Intervalo Fechado: a. [a,+ ) = { R : a } b. (,a] = { R : a} 3. A Reta Real: (,+ ) = R a a a b b b b a a Nota os intervalos semi-abertos [a, b) e (a, b] também podem ser referenciados como intervalos semi-fechados pela esquerda e pela direita, respectivamente.

14 Cálculo Diferencial e Integral 8 / 127 Eemplo 1.2 Dados os intervalos A = [ 5,2], B = ( 2,3] e C = (2,6) A B C Então, a. A B = [ 2,2] -2 2 b. A C = /0 c. B C = (2,3] 2 3 d. A B = [ 5,3] -5 3 e. A C = [ 5,6) -5 6 f. B C = ( 2,6) -2 6 Eemplo 1.3 Se (1,2], provemos que 2 2 ( 1,0]. Desde que 2 2 é equivalente a ( 1) 2 1, trabalharemos com esta última epressão. (1,2] 1 < 2 0 < < ( 1) < ( 1) < Portanto, 2 2 ( 1,0].

15 Cálculo Diferencial e Integral 9 / 127 Eemplo 1.4 Se (0,2), encontremos m e M R tais que m < < M. Desde que é equivalente a 1 3, trabalharemos com este último. + 5 (0,2) 0 < < 2 5 < + 5 < < < < < < < < < 4 7. Portanto, m = 2 5 e M = Inequações Definição Uma inequação é uma epressão algébrica que contém alguma das relações <,, >,. Eemplo 1.5 Inequação de Primeiro grau Inequação de Segundo grau 3 4 < 2 Inequação de Racional < Definição Diz-se que um número real a satisfaz uma inequação, ou é solução da inequação, se ao substituir a variável da equação por a, a desigualdade se faz verdadeira. Eemplo 1.6 O número real 2 satisfaz a inequação de segundo grau acima, pois 3(2) 2 4(2) 5 0; porém o número real 4 não a satisfaz, pois 3(4) 2 4(4) 5 > 0. Definição O conjunto de todos os números que satisfazem uma inequação é chamado de conjunto solução, denotado por C. S., e resolver uma inequação significa encontrar seu conjunto solução.

16 Cálculo Diferencial e Integral 10 / 127 Eemplo 1.7 Encontremos o conjunto solução das seguintes inequações a. 3 4 < < < 6 < 3. Portanto, C. S. = (,3). b. 2 2 < Primeiro método (Decompondo) 2 2 < < 0 ( 4)(+1) < 0 ( 4 < 0 e +1 > 0) ou ( 4 > 0 e + 1 < 0) ( < 4 e > 1) ou ( > 4 e < 1) 1 < < 4 ( 1,4). Segundo método (Completando Quadrados) 2 2 < < < ( 4 3 ) 2 < < 3 2 < 5 1 < < 4 ( 1,4). 2 Terceiro método (Encontrando o quadro de sinais) 2 2 < < 0 ( + 1)( 4) < 0. Os valores de para os que ( + 1)( 4) = 0 são = 1 e = 4 (raízes de cada fator). Logo, sinal de sinal de sinal de (+1)(-4) Figura 1.3: Quadro de sinais Na Figura 1.3 observamos que ( + 1)( 4) < 0, se ( 1, 4). Portanto, C. S. = ( 1,4). Regra para determinar o sinal de um produto ou quociente a. Para determinar o sinal de a, temos que considerar: i. O sinal de a é + a > 0 > a está à direita de a. ii. O sinal de a é a < 0 < a está à esquerda de a. b. Para determinar o sinal de um produto, se consideram as seguintes regras: (+)(+) = +; ( )( ) = +; (+)( ) = ; (+)( ) =. c. O sinal de quocientes é obtido de forma análoga.

17 Cálculo Diferencial e Integral 11 / 127 Eemplo 1.8 Resolver a seguinte inequação a. 2 4 > > ( 4) > ( + 2)( 4) ( 2) < 0 < ( 4) ( 4) < 0 As raízes dos fatores são os valores de que fazem zero o numerador e o denominador, isto é, = 0 e = 4. sinal de sinal de Logo, C. S. = (0,4). sinal de (-4) Nota Para evitar o trabalho de determinar o sinal de cada fator, será suficiente considerar um ponto em cada intervalo e determinar o sinal de E() em dito ponto. Este sinal será, por sua vez, o sinal de E() em todo o intervalo. 1.4 Valor absoluto Definição O valor absoluto de um número real, denotado por a, se define como: a = { a, se a 0 a, se a < 0. Desde o ponto de vista geométrico, a representa a distância entre o ponto da reta real a e o origem 0. a 0 a Da mesma forma, a b = b a se interpreta como a distância entre os pontos a e b. b-a = a-b a b

18 Cálculo Diferencial e Integral 12 / 127 Eemplo 1.9 a. 7 = 7; b. 0 = 0; c. 4 = 4; d. a = a. Teorema 4 Se a e b R, então: a. a 0, a R e a = 0 a = 0; b. ab = a b ; c. a + b a + b. A seguir enunciamos outras propriedades adicionais que o valor absoluto verifica. Teorema 5 Se a, b e R, então: a. a 2 = a 2 ; b. Se b 0, a = b a = b ou a = b; c. a = b a = b ou a = b; d. a = a = a 2 ; e. a = a b b, b 0; f. Se a < < b < ma{ a, b }; g. Se b > 0, < b b < < b; h. Se b 0, b b b; i. Se > b > b ou < b; j. Se b b ou b; k. a b a b a + b. Eemplo 1.10 Resolvamos as seguintes equações com valor absoluto: a. 3 5 = = = 4 ou 3 5 = 4 = 3 ou = 1 3. Portanto, C. S. = { 1 3,3}. b = 9

19 Cálculo Diferencial e Integral 13 / = = 9 ou = = 12 ou 7 4 = 6, porém e 6 < 0. Então, só devemos analisar 7 4 = 12. Assim, 7 4 = = 12 ou 7 4 = 12 = 5 4 ou = Portanto, C. S. = { 5 4, 19 4 }. c = Denotemos por E() a equação = Neste caso, consideramos a definição de cada valor absoluto. Igualando cada valor absoluto a zero, obtemos os pontos = 2, = 4 e = 1 e podemos analisar os 4 casos a seguir: Caso 1 Se < 1, então + 1 < = 1 2 < 3 2 = < 5 4 = + 4 Logo, E() é equivalente a = 5 5. Assim, = 19 e 19 (, 1). Caso 2 Se 1 < 2, então < = < 0 2 = < 2 4 = + 4 Logo, E() é equivalente a = Assim, = 1 e 1 [ 1,2). Caso 3 Se 2 < 4, então < = < 2 2 = < 0 4 = + 4 Logo, E() é equivalente a = 5+5. Assim, = 5 7, porém 5 7 [2,4). Caso 4 Se 4, então = = = 4 Logo, E() é equivalente a = Assim, = 19, porém 19 [4,+ ). Portanto, o C. S. é obtido dos casos 1 e 2, isto é, C. S. = { 19,1}. 1.5 Aioma do Supremo Antes de começar a falar sobre os itantes de um conjunto A R, vejamos alguns conjuntos importantes em R:

20 Cálculo Diferencial e Integral 14 / 127 a. O conjunto dos números naturais, denotado por N, é o conjunto Se n N, então n é dito de número natural. N = {1,2,3,4,...,n,n + 1,...} b. O conjunto dos números inteiros, denotado por Z, é o conjunto Se z Z, então z é dito de número inteiro. Z = {..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,...} c. O conjunto dos números racionais, denotado por Q, é o conjunto Q = { a : a Z e b Z, com b 0} b Se q Q, então q é dito de número racional. d. O conjunto dos números irracionais, denotado por I, é o conjunto Se I, então é dito de número irracional. I = { R : Q} Nota Entre os números irracionais temos: 2, 3, 7 4, 7,... π = 3, e = 2, Uma propriedade importante dos números racionais e irracionais é que: Entre dois números racionais eiste um número infinito de números irracionais. Entre dois números irracionais eiste um número finito de números racionais. Verifica-se que: N Z Q R, R = Q I e Q I = /0. Definição Seja A um subconjunto não vazio de R. Diz-se que: a. A é itado superiormente se eiste M R tal que M, A. O número M é chamado de itante superior de A.

21 Cálculo Diferencial e Integral 15 / 127 b. A é itado inferiormente se eiste m R tal que m, A. O número m é chamado de itante inferior de A. c. A é itado se eiste k > 0 tal que k, A. Um conjunto é itado se é itado superiormente e inferiormente. Eemplo 1.11 Os conjuntos N e ( 1, + ) são itados inferiormente e um itante inferior destes conjuntos é 2, porém não são itados superiormente. Os conjuntos (, 4] e N são conjuntos itados superiormente e um itante superior destes conjuntos é 7, porém não são itados inferiormente. { } 2 Os conjuntos 3z : z Z \ {0} e { R : 2 2 7} são itados por 4. Definição Seja A um subconjunto não vazio de R. Diz-se que: a. s R é o supremo de A, denotado por Sup(A) se: i. s é itante superior de A, isto é, s, A. ii. Se b R e b < s, então eiste A tal que b < s. b. r R é o ínfimo de A, denotado por Inf(A) se: i. r é itante inferior de A, isto é, r, A. ii. Se c R e r < c, então eiste A tal que r < c. Nota O supremo de um conjunto é o menor itante superior e o ínfimo é o maior itante inferior. Se o supremo e o ínfimo de um conjunto A pertencem ao conjunto, estes elementos são chamados máimo de A, denotado por ma(a) e mínimo de A, denotado por min(a), respectivamente.

22 Cálculo Diferencial e Integral 16 / 127 Eemplo 1.12 Dados os conjuntos A = ( 1, 9 4 ], B = { 1 k : k N } e C = { Q : 20 } temos que: a. Inf(A) = 1, Sup(A) = 9 = ma(a). Portanto, A é itado. 4 b. Inf(B) = 0, Sup(B) = 1 = ma(b). Portanto, B é itado. c. Inf(C) = 20 = min(c). Porém, C não tem supremo, logo, não tem ínfimo. Portanto, não é itado. O aioma a seguir completa os aiomas que definem o sistema dos números reais. Aioma 11 (Aioma do Supremo): Todo subconjunto não vazio, itado superiormente, B R possui um supremo s = Sup(B) R. Teorema 6 Seja A R com A /0. Se A é itado inferiormente, então este possui ínfimo. Para finalizar, embora o princípio da boa ordem seja muito importante, somente o enunciaremos. Teorema 7 (Princípio da boa ordem) Todo subconjunto não vazio de Z, itado inferiormente, possui ínfimo. Este princípio é usado para demonstrar o Princípio da Indução Finita e muito usado para provar várias propriedades referentes aos números inteiros. 1.6 Recapitulando Neste capítulo, apresentamos as noções básicas sobre os Números Reais com o intuito de fazer com que o aluno tenha um melhor entendimento dos próimos capítulos. Desta forma, apresentamos o sistema dos números reais, e nele os aiomas que regem a adição e multiplicação, seguindo este raciocínio apresentamos, dois teoremas que mostram, as propriedades da substração e divisão. Desde que em matemática é importantíssimo entender qual é a relação de ordem entre dois elementos quaisquer, visando lidar com desigualdades, intervalos, inequações, etc., este conceito e suas principais propriedades foram revisadas. Nas seções subsequentes, trabalhamos os conceitos de desigualdades, intervalos, inequações e valor absoluto, e foram apresentados eemplos ilustrativos. Por último, e não menos importantes, o aioma do supremo e o princípio da boa ordem foram apresentados, estabelecendo-se os conceitos de conjuntos itados inferiormente, superiormente, supremo, ínfimo, máimo e mínimo. No proímo capítulo, apresentaremos as noções básicas sobre relações e funções, já que esta teoria é fundamental para, por eemplo, determinar com precisão o domínio e a imagem das funções reais.

23 Cálculo Diferencial e Integral 17 / Atividades 1. Encontrar M tal que R se verifique: a. 2 2 M b. ( ) M c M 2. Encontrar M tal que: a < M, (0,4) b < M, (2,5) c < M, (3,7) d < M, se 2 < 1 2 e < M, se + 1 < 1 3. Encontre as raízes reais das seguintes equações: a = b = 0 c = 0 d. 2 4 = e. 2 1 = 1 4. Encontre o conjunto solução das seguintes inequações: a. 3 8 < 5 2 b > 0 c. ( 2 + 6)(4 4 2 ) 0 d e > 2 f g > + 1 h > i > 2

24 Cálculo Diferencial e Integral 18 / 127 j < 1 ( k )

25 Cálculo Diferencial e Integral 19 / 127 Capítulo 2 Relações e Funções OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de: Determinar com precisão o domínio e a imagem de funções reais; Dado o gráfico de uma relação, estabelecer se esta relação é funcional; Dada uma função, saber estabelecer se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora; Realizar operações com funções, isto é, soma, substração, produto, divisão e composição de funções; Relacionar-se cada vez mais com a linguagem e simbolismo matemático relativo às funções definidas no conjunto dos números reais; Encontrar a inversa de uma função, se ela eistir. No nosso dia a dia, ao lermos um jornal, ao assistirmos televisão, nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações, pois estes são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um teto com ilustrações é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos, eles também estão presentes nos eames laboratoriais, nos rótulos de produtos aentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim, em todos os lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos necessários para o bom entendimento dos mesmos. Ao relacionarmos espaço em função do tempo, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é eposta, ou pessoa em função da impressão digital, percebemos quão importantes são os conceitos de funções para compreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos e sociais. Observamos então que as aplicações das relações e funções estão presentes no nosso cotidiano. Portanto, neste capítulo revisaremos um dos conceitos mais importante da Matemática: a função. Iniciaremos o capítulo dando as definições gerais de relação. Em seguida, definiremos as funções reais de variável real, pois são estas funções o objetivo de estudo deste capítulo e de todos os outros. 2.1 Relações Na matemática, como em outras ciências, muitas vezes se deseja estabelecer uma relação ou correspondência entre dois conjuntos. Suponhamos que temos os conjuntos A = {18,20,21,33} e

26 Cálculo Diferencial e Integral 20 / 127 B = {Joao, Maria, Pedro, Brenda} e queremos estabelecer uma relação entre estes conjuntos, de modo que a cada número do conjunto A associamo-lhes o nome de uma pessoa do conjunto B. Assim, podemos estabelecer o seguinte esquema conforme a figura abaio: A B João Maria Pedro Brenda No entanto, este esquema pode ser representado mediante pares ordenados, isto é: (18, João), (20, Maria), (21, Pedro), (33, Brenda). Esta correspondência determina um subconjunto do conjunto A B, e denotaremos este conjunto por: R = {(18,João), (20,Maria), (21,Pedro), (33,Brenda)}. É claro que a relação estabelecida não é única, pois é possível estabelecer outras relações entre estes dois conjuntos. Abaio apresentamos a definição formal de uma relação. Definição Sejam A e B dois conjuntos. Uma relação de A em B é um subconjunto de A B, isto é, R A B, e é denotada por R : A B. Definição Seja a relação R : A B. Então: a. Diz-se que o conjunto A é o conjunto de partida e o conjunto B é o conjunto de chegada; b. Se (,) R, diz-se que esta em relação com mediante R, e é denotado por R; c. Desde que /0 A B, /0 é uma relação de A em B, é chamada de relação nula; d. Se R A A, diz-se que R é uma relação em A. Eemplo 2.1 Sejam A = {1,2,3,4,5} e B = {2,4,6,8,10}, determinemos por etenso as relações R e S definidas por: R = {(,) A B : = 2}, S = {(,) A B : 3 + 1} Das definições das relações R e S, temos que: R = {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,10)}, S = {(1,4),(1,6),(1,8),(1,10),(2,8),(2,10),(3,10)}. Na figura a seguir são ilustradas estas relações.

27 Cálculo Diferencial e Integral 21 / 127 R A B A B S Domínio, imagem e gráfico de uma relação Definição Seja a relação R : A B, com R /0. Então: a. O domínio da relação R é o conjunto { A : (,) A B}, e é denotado por Dom(R); isto é, o domínio de R é o subconjunto de A cujos elementos são os primeiros componentes de todos os pares ordenados que pertencem à relação R. b. A imagem da relação R é o conjunto { B : (,) A B}, e é denotado por Im(R); isto é, a imagem de R é o subconjunto de B cujos elementos são os segundos componentes de todos os pares ordenados que pertencem à relação R. c. Se A e B são subconjuntos de R, o gráfico da relação R é o conjunto {(,) R R : (,) R}, e é denotado por Graf(R). Nota No momento de esboçar o gráfico de uma relação R, é usual posicionar o domínio no eio (horizontal) e a imagem no eio (vertical). Eemplo 2.2 Das relações R e S, definidas no Eemplo 2.1 [20], temos que: Dom(R) = {1,2,3,4,5}, Im(R) = {2,4,6,8,10}; Dom(S) = {1,2,3}, Im(S) = {4,6,8,10}; Os gráficos de R e S são apresentados nas figuras a seguir: Graf( R) Graf( S) 6

28 5-4- Cálculo Diferencial e Integral 22 / 127 Eemplo 2.3 Sejam as relações: R = { (,) N N : }, S = { (,) R R : }. Encontremos os domínios e as imagens delas e esboçemos seus gráficos. Da definição de R temos que: R = {(1,1),(1,2)(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)}, Dom(R) = {1,2,3,4} = Im(R). Da definição de S temos que = 16 representa uma circunferência com centro na origem e raio 4, concluímos que o gráfico de S está formado por todos os pontos da circunferência e também por todos os pontos interiores a esta. Além disso, Dom(S) = [ 4,4] = Im(S). Os gráficos de R e S são apresentados nas figuras a seguir: Graf( R) Graf( S) 2.2 Relação inversa Definição Seja uma relação R : A B, R /0. A relação inversa de R, denotada por R 1, é o conjunto R 1 = {(,) B A : (,) R}. Nota A partir da definição, é possível deduzir que R 1 é uma relação de B em A, isto é, R 1 : B A, e é obtida a partir da relação R, interligando os componentes dos pares ordenados que pertencem a R.

29 a- Cálculo Diferencial e Integral 23 / 127 Eemplo 2.4 Sejam as relações R e S estabelecidas no Eemplo 2.1 [20]. Então R 1 = {(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)}; S 1 = {(4,1),(6,1),(8,1),(10,1),(8,2),(10,2),(10,3)}. Propriedade Da definição de R 1, temos que: a. (,) R 1 (,) R; b. Dom(R 1 ) = Im(R) e Im(R 1 ) = Dom(R); c. (R 1 ) 1 = R; isto é, a relação inversa de R 1 é a própria R Relações entre o gráfico de uma relação e gráfico de sua inversa Se R : R R, então, da propriedade acima, temos que: (a,b) R (b,a) R 1. Logo, os pontos (a,b) e (b,a) são simétricos com respeito à reta L : = ; veja o item (a) da figura a seguir. Isto implica que, os gráficos de R e R 1 são simétricos com respeito à reta L : = ; veja o item (b) da figura a seguir. b- (a,b) L: = Graf(R) L: = a- 0 (a) - b (b,a) 0 (b) Graf(R -1 ) Eemplo 2.5 Sejam as relações R = { (,) R R : = 2 } e S = {(,) R R : 2 }. Determinemos as relações inversas e esbocemos seus respectivos gráficos. a. Da definição de relação inversa temos que: R 1 = { (,) R R : = 2 } Porém, é convenção escrever como primeiro componente de um par ordenado, e como o segundo componente, fazendo esta troca obtemos R 1 = { (,) R R : = 2 } = { (,) R R : 2 + ( 1) 2 = 1 } Os gráficos de R e R 1 são apresentados no item (a) da figura a seguir.

30 Cálculo Diferencial e Integral 24 / 127 Graf(R -1 ) Graf(S -1 ) (a) Graf(R) b. De forma análoga, para a relação S, obtemos que: (b) S 1 = {(,) R R : 2 } Os gráficos de S e S 1 são apresentados no item (b) da figura acima. 2.3 Funções Nesta seção definiremos e desenvolveremos o conceito de função, que é objeto matemático básico utilizado para descrever o mundo real em termos matématicos. Definição Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B, com domínio Dom( f ). Diz-se que f é uma função de A em B, se para cada elemento Dom( f ) eiste um único elemento B tal que (, ) f. Ou equivalentemente, f : A B é função, se (,) f e (,z) f implica que = z. Nota Desta definição temos que, em uma função não eistem dois pares ordenados com primeiros componentes iguais e segundos componentes diferentes. Eemplo 2.6 Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {a,b,c,d,e}. Então: a. A relação f 1 : A B, definida por f 1 = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d)}, é uma função de A em B. Veja o item (a) da figura abaio; b. A relação f 2 : A B, definida por f 2 = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(1,e)}, não é uma função de A em B, pois ao elemento 1 lhe corresponde a dois elementos do conjunto B (isto é, (1,a) e (1,e)). Veja o item (b) da figura abaio; c. A relação f 3 : A B, definida por f 3 = {(1,a),(2,a)}, é uma função de A em B. Veja o item (c) da figura abaio; d. A relação f 4 : A B, definida por f 4 = {(1,a),(2,a),(3,a),(4,e)}, é uma função de A em B. Veja o item (d) da figura abaio.

31 Cálculo Diferencial e Integral 25 / 127 f 1 f 2 f 3 f 4 (a) a b c d e (b) a b c d e (c) (d) a b c d e Nota Seja uma função f : A B. a. Se (,) f, se escreve = f () (leia-se é igual a f de ) e diz-se que é o valor de f em, neste caso, é denominada variável independente e variável dependente. b. Desde que f é também uma relação, as definições de domínio, imagem e gráfico de f são os mesmos estabelecidos na seção anterior. c. Se Dom( f ) = A, diz-se que f é uma aplicação de A em B. Além disso, se Im( f ) = B, diz-se que f é uma aplicação de A sobre B. d. Se A e B são subconjuntos de R, então f é chamada de função real de variável real. e. Se f é uma função real de variável real, definida pela regra de correspondência = f (), então: i. Quando Dom( f ) não é especificado, considera-se que este é o maior subconjunto de R para os quais a regra de correspondência tenha sentido e resulte em valores reais. Isso é denominado domínio natural da função. ii. Os valores de para os quais f () = 0 são as coordenadas para os quais o gráfico de f intersecta o eio. Estes valores são denominados zeros de f, raízes de f () = 0 ou pontos de corte de = f () com o eio. f. Os gráficos podem fornecer uma informação visual importante sobre uma função. Por eemplo, como o gráfico de uma função f no plano é o grafico da equação = f (), os pontos do gráfico são da forma (, f ()), ou seja, a coordenada de um ponto do gráfico de f é o valor de f na coordenada correspondente. Eemplo 2.7 Determinemos o domínio, a imagem e o gráfico de f, das funções a seguir: a. Sejam A = {1,2,3,4}, B = {5,6,7,8,9} e f : A B definida por f () = + 2. Desde que f (1) = = 3, f (2) = = 4, f (3) = = 5, f (4) = = 6, verificamos que os únicos valores de A que tem um correspondente no conjunto B são 3, 4. Portanto, Dom( f ) = {3,4} e Im( f ) = {5,6} e o gráfico de f é apresentado no item (a) da figura abaio

32 Cálculo Diferencial e Integral 26 / 127 b. Seja f : R R definida por f () = 1. A função f dada esta definida para todo R, eceto = 0; assim Dom( f ) = R \ {0}. Para determinar Im( f ) é conveniente introduzir uma variável dependente : = 1. Embora para muitos o conjunto dos possíveis valores de não seja evidente nessa equação, o gráfico de f. Veja o item (b) da figura abaio, que sugere que Im( f ) = R \ {0}. Para provar isto resolvamos a equação acima para em termos de : 0 = 1 = 1. Agora está evidente que essa epressão está definida para todo R, eceto = 0. Portanto, Im( f ) = R \ {0} Graf( f) 0 Graf( f ) Im( f) Dom( f) (a) (b) (c) Graf( f ) c. Seja f : (0,5] [1,10) definida por f () = ( 3) Da definição de f temos que Dom( f ) = (0,5]. Por outro lado, à medida que varia sobre o intervalo (0,5], o valor de ( 3) 2 varia sobre o intervalo [0,9); assim o valor de f () varia sobre o intervalo [1, 10). Portanto, Im( f ) = [1, 10). Nesse caso, f é uma aplicação de (0,5] sobre [1,10) e Im( f ) pode ser escrita como f ((0,5]) = [1,10). Veja o item (c) da figura acima. A próima nota nos diz que nem toda curva no plano pode ser gráfico de uma função.

33 Cálculo Diferencial e Integral 27 / 127 Teste da Reta Vertical Uma relação f : R R com domínio localizado no eio horizontal e a imagem localizada no eio vertical, é uma função se, e somente se, toda reta vertical intersecta o seu gráfico no máimo uma vez. O item (a) da figura a seguir corresponde a uma função, enquanto que o item (b) não corresponde a uma função. = f () L P Q R Graf( f ) T S Graf( f ) 0 (a) 0 (b) Translações e refleões de uma função Esta parte se dedicará a considerar o efeito geométrico de efetuar operações básicas com funções. Isso nos permitirá usar gráficos de funções conhecidas para visualizar ou esboçar gráficos de funções relacionadas. Teorema (Testes de simetria) a. Uma curva plana é simétrica em relação ao eio se, e somente se, subtituindo-se por em sua equação obtém-se uma equação equivalente; b. Uma curva plana é simétrica em relação ao eio se, e somente se, subtituindo-se por em sua equação obtém-se uma equação equivalente; c. Uma curva plana é simétrica em relação à origem se, e somente se, subtituindo-se por e por em sua equação obtém-se uma equação equivalente. Para esboçar o gráfico de uma função é importante considerar a relação entre ela e uma outra função já conhecida, = f (). Seja o gráfico de = f () apresentado no item (a) da figura abaio. Então o gráfico de: = f () é a função simétrica ao gráfico original com respeito ao eio. Veja o item (b) da figura abaio; = f ( ) é a curva simétrica ao gráfico original com respeito ao eio. Veja o item (c) da figura abaio; = f () se obtém transladando a parte do gráfico original que se encontra abaio do eio ( f () < 0) de forma simétrica a este último e mantendo a parte do gráfico que está por cima do eio ( f () 0). Veja o item (d) da figura abaio;

34 Cálculo Diferencial e Integral 28 / 127 = f () = f () = f () f() (a) (b) = - f () = f () = f (- ) (c) = f () (d) Sejam k > 0 e h > 0. Então o gráfico de: = f () + k se obtém transladando verticalmente o gráfico original k unidades para cima. Veja o item (a) da figura abaio; = f () k se obtém transladando verticalmente o gráfico original k unidades para baio. Veja o item (a) da figura abaio;. = f ( + h) se obtém transladando horizontalmente o gráfico original h unidades para a esquerda. Veja o item (b) da figura abaio; = f ( h) se obtém transladando horizontalmente o gráfico original h unidades para a direita. Veja o item (b) da figura abaio; = f ( h)+k se obtém efetuando uma dupla translação, h unidades para a direita horizontalmente e k unidades para cima verticalmente. Veja o item (c) da figura abaio. = f () + k = f () = f (+h) = f (-h) = f ( - h) + k 0 k k 0 h h 0 k h = f () (a) = f () - k = f () (b) (c) Eemplo 2.8 Dadas as seguintes funções: a. f () = 2 ; b. g() = 2 ; c. h() = 2 + 1; d. i() = ( + 1) 2 ; e. j() = ( 1) 2 2; f. k() = 2 2.

35 Cálculo Diferencial e Integral 29 / 127 Nas figuras abaio encontramos, na sua respectiva letra, o esboço do gráfico de cada uma delas. = = 2 = = 2 = - 2 (a) (b) (c) = ( +1) 2 = 2 = 2 = = ( -1) = 2-2 (d) (e) (f) Funções comuns Agora apresentaremos algumas funções reais de variável real que são de uso frequente em cálculo. Função linear É a função definida por f () = m + b, onde m e b são constantes. O domínio da função linear é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = R. Seu gráfico é a reta dependente m que intersecta o eio em (0,b); veja o item (a) da figura abaio. Casos particulares 0 a. Quando b = 0, a função f () = m passa pela origem; veja o item (b) da figura abaio. b. Quando m = 1 e b = 0, a função f () = é chamada de função identidade, também denotada por Id(), e seu gráfico é a reta diagonal do primeiro e terceiro quadrantes; veja o item (c) da figura abaio. c. Quando m = 0, a função f () = b é chamada de função constante, e nesse caso Im( f ) = {b}; veja o item (d) da figura abaio. = m + b = - 4 = - = 2 2 = 3 = = b 0 = b Dom( f) = R Im( f) = R (a) (b) (c) (d) Dom( f) = R Im( f) = {b}

36 Cálculo Diferencial e Integral 30 / 127 Função valor absoluto É a função definida por f () =, R. Da definição de valor absoluto temos: = 2 = {, se 0;, se < 0. O domínio da função valor absoluto é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = [0,+ ); veja o item (a) da figura abaio. Função raiz quadrada É a função definida por f () =, 0. O domínio da função raiz quadrada é Dom( f ) = [0,+ ) e sua imagem é Im( f ) = [0,+ ); veja o item (b) da figura abaio. Função raiz cúbica É a função definida por f () = 3, R. O domínio da função raiz cúbica é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = R; veja o item (c) da figura abaio. = = = Dom( f) = R Dom( f) = [0, + ) Dom( f) = Im( f) = [0, + ) Im( f) = [0, + ) Im( f) = (a) (b) (c) R R Função polinomial de grau n É a função definida por f () = a 0 n +a 1 n 1 + +a n, onde R, a 0,a 1,...,a n são constantes reais, a 0 0 e n N {0}. O domínio da função polinomial é Dom( f ) = R, porém, sua imagem depende de n. Casos particulares a. f () = n, n N: i. Se n é par, sua imagem é Im( f ) = [0,+ ), seu gráfico é simétrico em relação ao eio com formato geral de uma parábola, = 2, embora não sejam realmente consideradas assim quando n > 2, e cada gráfico passa pelos pontos ( 1,1) e (1,1); veja o item (a) da figura abaio. ii. Se n é impar, sua imagem é Im( f ) = R, seu gráfico é simétrico à origem com formato geral de uma cúbica = 3, e cada gráfico passa pelos pontos ( 1, 1) e (1,1), veja o item (b) da figura abaio. iii. Quando n cresce, no intervalo ( 1,1) os gráficos ficam mais achatados e nos intervalos (, 1) e (1,+ ) cada vez mais próimos ao eio ; b. Função quadrática ou função polinomial de 2 ( grau: f () = a 2 + b + c, a 0. O gráfico desta função é uma parábola de vértice b ) b2,c. 2a 4a

37 Cálculo Diferencial e Integral 31 / 127 i. Se a > 0, a parábola se abre para cima e Im( f ) = da figura abaio. ii. se a < 0, a parábola se abre para abaio e Im( f ) = (d) da figura abaio. ) [c b2 4a,+ ; veja o item (c) ] (,c b2 ; veja o item 4a iii. O valor máimo ou mínimo da função ocorre no vértice, isto é, f c b2 é o valor máimo ou mínimo da função. 4a ( b ) = 2a = 6 = 4 = 2 (a) 0 Dom( f) = R Im( f) = [0, + ) 8 = 7 = 5 = 3 0 (b) Dom( f) = R Im( f) = R c b 2 4a (c) 0 b 2a c b 2 4a (d) 0 b 2a Função racional É a função definida por f () = a 0 n + a 1 n a n b 0 m + b 1 m b m, R. Esta função é o quociente dos polinômios P() = a 0 n + a 1 n a n e Q() = b 0 m + b 1 m 1 + +b m, onde a 0,a 1,...,a n,b 0,b 1,...,b m são constantes reais, a 0,b 0 0 e n,m N {0}. O domínio da função racional é Dom( f ) = { R : Q() 0} R \ { R : Q() = 0}. Casos particulares a. f () = 1 n, n N: i. Se n é impar, o domínio da função é Dom( f ) = R \ {0}, sua imagem é Im( f ) = R \ {0} e seu gráfico é semelhante ao gráfico de = 1 e cada gráfico passa pelos pontos ( 1, 1) e (1,1); veja o item (a) da figura abaio; ii. Se n é par, o domínio da função é Dom( f ) = R\{0}, sua imagem é Im( f ) = [0,+ ) e seu gráfico é semelhante ao gráfico de = 1, e cada gráfico passa pelos pontos 2 ( 1,1) e (1,1); veja o item (b) da figura abaio; iii. O fato de / Dom( f ) implica que o gráfico tem uma quebra na origem. Por esse motivo, zero é denominado ponto de descontinuidade. Esse conceito será visto no próimo capítulo; iv. Quando n cresce, nos intervalos (, 1) e (1,+ ) os gráficos ficam mais achatados e nos intervalos ( 1,0) e (0,1) cada vez mais próimos ao eio. b. f () = n, n N:

38 Cálculo Diferencial e Integral 32 / 127 i. Se n é impar, o domínio da função é Dom( f ) = R \ { 1}, sua imagem é Im( f ) = R \ {0} e seu gráfico tem um comportamento semelhante à curva mostrada no item (c) da figura abaio; ii. Se n é par, o domínio da função é Dom( f ) = R, sua imagem é Im( f ) = (0,1] e seu gráfico tem um comportamento semelhante à curva mostrada no item (d) da figura abaio. = 1 = Dom( f) = R- {0} Im( f) = R- {0} Dom( f) = R- {0} Im( f) = [0, + ) 8 Dom( f) = R- {- 1} Im( f) = R- {0} Dom( f) = R Im( f) = (0, 1] (a) (b) (c) (d) Função algébrica É qualquer função construída a partir de polinômios por meio de operações algébricas (adição, subtração, multiplicação, divisão ou etração de raízes). Todas as funções racionais são algébricas, porém eistem outras funções mais compleas inclusas nesse conjunto. Os gráficos desse tipo de função variam amplamente, e assim sendo, é difícil fazer afirmações sobre elas. = (1 - ) 2/ = 3 1/3 (2+ ) 2 = 2/3 (+2) Dom( f) = R Im( f) = R Dom( f) = R Im( f) = , + 4 [ ) Dom( f) = R Im( f) = [0, + ) 8 (a) (b) (c) Função trigonomética Eistem 6 funções básicas trigonométricas, sen(), cos(), tg(), sec(), cossec() e cotg(). Os gráficos das funções seno e cosseno são mostrados na figura abaio nos itens (a) e (b), respectivamente. 1 = sen() 1 = cos() 2π 3π 2 π π 2 0 π -1 (a) 2 π 3π 2 2π Dom( f) = R Im( f) = [-1, 1] 2π 3π 2 π π 2 (b) 0 π -1 2 π 3π 2π 2

39 Cálculo Diferencial e Integral 33 / 127 Função eponencial É da forma f () = a, onde a base a > 0 é uma constante positiva e a 1. Em todos os casos o domínio é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = (0,+ ). Os gráficos para as bases 2, 3, 5, 70 são apresentados nos itens (a) e (b) da figura abaio. = 7 - = 5 - = 7 = 5 = log 2 = log 3 = 3 - = 3 = log 5 = log 7 = 2 - = (a) Dom( f) = R Im( f) = (0,+ ) 8 (b) (c) Dom( f) = (0,+ ) Im( f) = R 8 Função logarítmica É da forma f () = log a, onde a base a > 0 é uma constante positiva e a 1. Esta função é a inversa das funções eponenciais. Em todos os casos o domínio é Dom( f ) = (0,+ ) e sua imagem é Im( f ) = R. O item (c) da figura acima mostra os gráficos da função logarítmica para a = 2, 3, 5, 7. Função sinal É denotada por sgn(), R, leia-se sinal de e está definida por sgn() = 1, se < 0; 0, se = 0; 1, se > 0. O domínio da função sinal é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = { 1,0,1}. Seu gráfico é apresentado no item (a) da figura abaio. = sgn() 2 = Dom( f) = R Im( f) = {-1, 0, 1} (a) (b) -2-3 Dom( f) = Im( f) = R Função maior inteiro É denotada por, R, leia-se maior inteiro de e está definida por

40 Cálculo Diferencial e Integral 34 / 127 = n se, e somente se, n < n + 1, n Z Isto é, representa o maior número inteiro que não supera a. O domínio da função maior inteiro é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = Z. Seu gráfico é apresentado no item (b) da figura acima. Propriedades da função maior inteiro a. 1 <, R; b. Se n Z + n = + n, R; c. Se f () = a, com a 0, a longitude do intervalo onde a função permanece constante é l = 1 a, desde que a = n n a < n + 1 n a < n a + 1, se a > 0; a n a > n a + 1, se a < 0. a Em ambos casos, l = n a + 1 a n a = 1 a. Eemplo 2.9 Dada a função maior inteiro... Se = 3,1415 = 3;.. Se = 3 = 3;.. Se = 1,25 = 2;.. Se [ 2, 1) = 2;.. Se [ 1,0) = 1;.. Se [0,1) = 0;.. Se [1,2) = 1. Eemplo 2.10 Esbocemos os gráficos das seguintes funções: a. f () = 3 b. f () = Pela definição, 3 = n n 3 < n + 1 n 3 < n O gráfico desta função é 3 apresentado no item (a) da figura abaio. A amplitude do intervalo onde a função permanece constante é l = Pela definição, = n n < n + 1 3n 3 < 3n. O gráfico desta 3 3 função é apresentado no item (a) da figura abaio. A amplitude do intervalo onde a função é constante é l = 1 1 = 3. 3

41 Cálculo Diferencial e Integral 35 / 127 = 3 = (a) -3 (b) Função par e função ímpar Definição a. Uma função f : R R é chamada par se para todo Dom( f ) se verifica Dom( f ) e f ( ) = f (). = = n = 1 n 1 = 1 n Dom( f) = R Im( f) = [0, + ) 8 Dom( f) = R- {0} Im( f) = [0, + ) 8 Dom( f) = R Im( f) = (0, 1] Figura 2.1: Gráficos de funções pares, em todos eles n é par. b. Uma função f : R R é chamada ímpar se para todo Dom( f ) se verifica Dom( f ) e f ( ) = f (). = n 0 = Dom( f) = R Im( f) = R 0 0 = 1 n Dom( f) = R- {0} Im( f) = R- {0} 0 = n Dom( f) = R Im( f) = R Figura 2.2: Gráficos de funções ímpares, em todos eles n é ímpar.

42 Cálculo Diferencial e Integral 36 / 127 Nota a. O gráfico de toda função par é simétrico em relação ao eio, uma vez que f ( ) = f (), um ponto (,) estará no gráfico se, e somente se, o ponto (,) estiver no gráfico. Uma refleão através do eio não altera o gráfico. b. O gráfico de toda função ímpar é simétrico em relação à origem, uma vez que f ( ) = f (), um ponto (,) estará no gráfico se, e somente se, o ponto (, ) estiver no gráfico. c. Um gráfico é simétrico em relação à origem se uma rotação de 180 em relação à origem não altera o gráfico Função periódica Definição Uma função f : R R é dita periódica se eiste um número real t 0 tal que para todo Dom( f ) se verifica: a. +t Dom( f ) b. f ( +t) = f (). c. O menor valor de t é o período de f. Eemplo 2.11 As seguintes funções são periódicas: a. f () =, R Notamos que f (+1) = (+1) + 1 = +1 ( +1) = = f () e desde que não eiste outro número real t tal que 0 < t < 1 e que seja o período de f, assim f é de período 1; veja o item (a) da figura abaio. 1 f() = 1 f() = sen(2) π -π 2-1 π 2 π (a) Dom( f) = R Im( f) = [0, 1] (b) a. f () = sen(), R O período de f é t = π. De fato, f (+π) = sen(+π) = sen() = sen() = f (); veja o item (b) da figura acima Função crescente e função decrescente Definição Seja f uma função definida em um intervalo I e 1 e 2 dois pontos em I.

43 Cálculo Diferencial e Integral 37 / 127 a. Se f ( 2 ) > f ( 1 ) sempre que 1 < 2, então dizemos que f é crescente em I; veja o item (a) da figura abaio. f( 2 ) f( 1 ) f( 1 ) f( 2 ) 0 a I 1 2 b 0 a 1 2 b. Se f ( 2 ) < f ( 1 ) sempre que 1 < 2, então dizemos que f é decrescente em I; veja o item (b) da figura acima. I b Nota Uma função é crescente se seu gráfico é ascendente e é decrescente se seu gráfico é descendente, em ambos casos da esquerda para a direita. Eemplo 2.12 A função f () = 2 4, veja gráfico abaio, é crecente nos intervalos [ 2,0] e [2,+ ), e decrescente nos intervalos (, 2] e [0,2]. 4 f() = Função definida por partes Definição Uma função f : R R é definida por partes se ela é descrita por funções diferentes em partes diferentes de seu domínio. f () = f 1 (), se I 1 ; f 2 (), se I 2 ;.. f n (), se I n ; onde I i Dom( f i ), i, Dom( f ) = n i=1 I i e I i I j = /0, i, j {1,2,...,n}, i j.

44 Cálculo Diferencial e Integral 38 / 127 Eemplo 2.13 A função ( + 1) 2 + 1, se (, 1);, se [ 1,1); f () = 1, se [1,π); cos(), se [π,+ ); é definida por partes, e na figura abaio podemos ver seu gráfico. 1 f() π 2.4 Função injetiva, sobrejetiva e bijetiva Nesta seção apresentamos três conceitos muito importantes para funções: injetividade, sobrejetividade e bijetividade. Definição Seja f : A B uma função. Diz-se que: a. f é injetiva se f ( 1 ) = f ( 2 ) implica que 1 = 2 para todo 1, 2 Dom( f ). Ou equivalentemente, 1, 2 Dom( f ), com 1 2, temos que f ( 1 ) f ( 2 ). b. f é sobrejetiva ou sobre se para todo B eiste A tal que f () =. Em outras palavras, f : A B é sobrejetiva se Im( f ) = B. c. f é bijetiva se, e somente se, f é injetiva e sobrejetiva. Nota A função injetiva também é conhecida como função univalente ou um a um, já que eiste uma correspondência um para um entre os elementos do domínio e a imagem. Geometricamente, uma função definida por = f () é injetiva se ao traçar retas paralelas ao eio, essas intersectam o seu gráfico em não mais um ponto. 0

45 Cálculo Diferencial e Integral 39 / 127 Eemplo 2.14 a. A função f : R R definida por f () = 3 + 2, é injetiva. De fato, se f ( 1 ) = f ( 2 ) = = = 2. Além disso, f é sobrejetiva desde que se R, eiste = 2 ( ) ( ) 2 2 tal que f () = f = =, assim f é sobrejetiva e concluimos que f é bijetiva. b. A função f : R [0,+ ) definida por f () = 2, é sobrejetiva pois Im( f ) = [0,+ ). Porém, 1 = 2 e 2 = 2 geram a mesma imagem, isto é, f ( 2) = 4 = f (2). Portanto, f não é bijetiva Operações com funções Da mesma forma que fazemos operações aritméticas com números, podemos realizar este tipo de operações entre funções, produzindo outras novas. Definição Sejam f e g duas funções reais de variáveis reais com domínios Dom( f ) e Dom(g), respectivamente. Define-se: A função soma A função diferença A função produto ( f + g)() := f () + g(), Dom( f + g) = Dom( f ) Dom(g). ( f g)() := f () g(), Dom( f g) = Dom( f ) Dom(g). ( f g)() := f () g(), Dom( f g) = Dom( f ) Dom(g). A função quociente ( ) f () := f () g g(), A função valor absoluto ( ) f Dom = Dom( f ) (Dom(g) \ { : g() = 0}). g f () := f (), Dom( f ) = Dom( f ). A função produto de uma constante por uma função (c f )() := c f (), Dom(c f ) = Dom( f ), onde c R é uma constante real.

46 Cálculo Diferencial e Integral 40 / 127 Eemplo 2.15 As funções a. f () = e g() = (6 4 3 ) são iguais desde que Dom( f ) = Dom(g) = R e f () = g(). b. f () = ( 2)( 5) e g() = 2 5 são diferentes, sendo Dom( f ) = (,2] [5,+ ) e Dom(g) = [5,+ ) ou seja Dom( f ) Dom(g). Eemplo 2.16 Sejam f () = 9 2 e g() = Caculemos os domínios: Encontremos as regras de correspondência das funções: f + g, f g, f g, 8g, ( ) f, g. g Dom( f ) = { R : } = [ 3,3]; Dom(g) = { R : 2 14 } ( 0 =, 1 ] [ ) 1 2 2,+ ; [ Dom( f ) Dom(g) = 3, 1 ] [ ] 1 2 2,3 a. ( f + g)() = f () + g() = , [ 3, 1 2 ] [ 1 2,3]; b. ( f g)() = f () g() = , [ 3, 1 2 ] [ 1 2,3]; c. ( f g)() = f () g() = , [ 3, 1 2 ] [ 1 2,3]; d. ( 8g)() = 8g() = , [ 3,3]; ( ) f e. () = f () 9 g g() = 2, [ 3, ) ( 1 2,3]; f. g () = g() = = 2 1 4, [ 1 2, 1 2 ]. 2.5 Composição de funções A composição é outra forma de combinar funções, esta operação não tem analógo direto na aritmética usual.

47 Cálculo Diferencial e Integral 41 / 127 Definição Sejam f : A B e g : B C duas funções reais tais que Im( f ) Dom(g) /0. A composição de g com f, denotada por g f, é a função g f : A C definida por: (g f )() := g( f ()) O domínio da função composta g f é dado por Dom(g f ) = { R : Dom( f ) e f () Dom(g)} Na seguinte figura ilustramos a função composta g f f g A B C Dom( f ) Dom( g ) g f f (g()) Nota Falando de forma informal, a operação de composição de duas funções é a operação de substituir a variável dependente da sua definição pela função que a precede. Eemplo 2.17 Sejam as funções f () = 2 6 e g() =. Encontremos g f e f g a. (g f )() = g( f ()) = g(2 6) = 2 6, logo, o domínio da g f é Dom(g f ) = { R : Dom( f ) e f () Dom(g)} = { R : R e 2 6 0} = [3, + ) b. ( f g)() = f (g()) = f ( ) = 2 6, logo, o domínio da f g é Dom( f g) = { R : Dom(g) e g() Dom( f )} = { R : 0 e R} = [0, + ) A seguinte figura ilustra cada uma destas composições.

48 Cálculo Diferencial e Integral 42 / (g f )() = (f g )() = Nota Deste eemplo, podemos concluir que a composição de funções não é comutativa, isto é, g f e f g em geral são diferentes. Eemplo 2.18 Sejam as funções + f () = { 2 se < 1; 3 se 2; g() = + Encontremos f g. :: Neste caso cada uma das funções é definida por partes: + { f1 () se Dom( f f () = 1 ); g() = f 2 () se Dom( f 2 ); { se < 2; 2 se 4. { g1 () se Dom(g 1 ); g 2 () se Dom(g 2 ). + Logo, o domínio de f g será obtido analisando todas as combinações possíveis de f 1, f 2, g 1 e g 2, isto é: a. f 1 g 1 : Dom( f 1 g 1 ) = { R : Dom(g 1 ) e g 1 () Dom( f 1 )} = { R : (,2) e (,1)} = { R : (,2) e ( 1,+ )} = ( 1, 2) Então, ( f g)() = f 1 (g 1 ()) = f 1 ( ) = 2, ( 1,2). b. f 1 g 2 : c. f 2 g 1 : Dom( f 1 g 2 ) = { R : Dom(g 2 ) e g 2 () Dom( f 1 )} = { R : [4,+ ) e 2 (,1)} = { R : [4,+ ) e (, 12 } ) = /0

49 Cálculo Diferencial e Integral 43 / 127 Dom( f 2 g 1 ) = { R : Dom(g 1 ) e g 1 () Dom( f 2 )} = { R : (,2) e [2,+ )} = { R : (,2) e (, 2]} = (, 2) Então, ( f g)() = f 2 (g 1 ()) = f 2 ( ) = 3, (, 2). d. f 2 g 2 : Dom( f 2 g 2 ) = { R : Dom(g 2 ) e g 2 () Dom( f 2 )} = { R : [4,+ ) e 2 [2,+ )} = { R : [4,+ ) e [1,+ )} = [4, + ) Então, ( f g)() = f 2 (g 2 ()) = f 1 (2) = 8 3, [4,+ ). Portanto, 2, se (, 2); ( f g)() = 3, se ( 1,2); 8 3, se [4,+ ). Propriedades da composição de funções Sejam f,g e h funções reais com domínios Dom( f ), Dom(g) e Dom(h), respectivamente. Então se verifica que: a. ( f g) h = f (g h) b. f Id = f = Id f c. ( f + g) h = f h + g h d. ( f g) h = f h g h e. f g) h = ( f h) (g h) ( ) f f. h = f h g g h 2.6 Função inversa Dada uma função f : A B, sempre temos alguma das duas possibilidades: f é injetiva ou f não é injetiva. a. Se f não é injetiva, eistem pelo menos dois elementos 1, 2 A tais como: ( 1,) f e ( 2,) f. Portanto, a (relação) inversa de f, f 1, não é uma função de B em A. a. Se f : A B é injetiva, então a inversa f 1 : B A é uma função injetiva e é chamada de função inversa de f

50 Cálculo Diferencial e Integral 44 / 127 Ambos casos são apresentados nos itens (a) e (b) da figura abaio, respectivamente. No item (c) é apresentada a interpretação da função inversa. A f B A f B A f B 1 2 f f -1 () = = f() f -1 (a) (b) f -1 (c) Propriedades da função inversa Seja uma função f. Então: a. f tem inversa se, e somente se, f for injetiva; b. Se f 1, a inversa de f, eiste. Então: i. Dom( f 1 ) = Im( f ); ii. Im( f 1 ) = Dom( f ); iii. ( f 1 f )() =, Dom( f ); iv. ( f f 1 )() =, Dom( f 1 ); v. os gráficos de = f () e = f 1 () são simétricos com respeito à reta L : = ; veja o item (a) da figura abaio. c. Sejam as funções f, g injetivas. Se eiste g f, então (g f ) 1 = f 1 g 1. = f () L: = L: = 0 = f -1 () 0 = f () = f -1 () (a) (b) Nota Seja f uma função real definida por = f () a qual tem função inversa. Para encontrar a regra de correspondência da f 1, colocamos em evidência em termos da variável. Assim obtemos = f 1 (); porém a convenção de representar a variável independente por a variável dependente por, faz com que escrevamos f 1 em função de, isto é, trocando as variáveis e em = f 1 (), para obter = f 1 ().