UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA VOLATILIDADE IMPLÍCITA VERSUS VOLATILIDADE ESTATÍSTICA: UMA AVALIAÇÃO PARA O MERCADO BRASILEIRO A PARTIR DOS DADOS DE OPÇÕES E AÇÕES DA TELEMAR S.A. Auor: João Gabe Poro Alegre 003

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA VOLATILIDADE IMPLÍCITA VERSUS VOLATILIDADE ESTATÍSTICA: UMA AVALIAÇÃO PARA O MERCADO BRASILEIRO A PARTIR DOS DADOS DE OPÇÕES E AÇÕES DA TELEMAR S.A. Auor: João Gabe Orienador: Prof. Dr. Marcelo Savino Porugal Disseração submeida ao Programa de Pós- Graduação em Economia, como quesio parcial de obenção do Grau de Mesre em Economia. Poro Alegre 003

3 Ao Giovanni e a Rosicler minha única riqueza e fone de esímulo

4 AGRADECIMENTOS À consecução de uma disseração são necessários inúmeros faores: aprendizado, conhecimeno, financeiro,... Porém, sem dúvida, além dos auores desacados na capa dese rabalho, muios ouros auores implícios devem ser enumerados. É praicamene impossível lisar odas as pessoas que conribuíram para ese rabalho, que aravés de uma forma ou oura, possibiliaram-me concreizar esse passo ao meu desenvolvimeno pessoal. Porém, anes de odos, quero agradecer em especial a minha esposa Rosicler e ao meu filho Giovanni, que ao longo de odos esses anos - com muio amor e carinho, êm acompanhado-me nesa rajeória. Igualmene devo agradecer ao meu orienador Prof. Dr. Marcelo Savino Porugal, que aravés de seus ensinamenos ao longo do curso de mesrado, conribui na elaboração e aprimorameno dese rabalho. Com o seu aprendizado e o do Prof. Dr. Eduardo Ponual Ribeiro, a Esaísica e a Economeria ornaram-se disciplinas angíveis, que associadas a conribuição do Prof. Dr. Jorge Paulo Araújo e do Prof. Dr. Sabino da Silva Poro Junior, foram de vial imporância ao objeivo desa pesquisa. A que desacar ambém os ouros professores do meu curso de mesrado em Economia, que foram imporanes ao meu aprendizado: Profs. Drs. Eugênio Lagemann, Robero Camps de Moraes, Ronald Oo Hillbrech e o Prof. Dr. Gilbero Kloeckner pelas idéias inicias a disseração. E ao Prof. Aod Cunha Moraes pelos conselhos e orienação desde a época da graduação. Gosaria de agradecer a odos os meus colegas a paciência e relevanes conribuições: em especial a Izee, o Ângelo e o Luis; e ao Rony, Flávio, Paulo, Larissa, Viviane, Sidney, Marcelo, Rodrigo, Arnildo, Arioso, Crisiane, Márcio, Túlio,... Agradeço ambém as meninas da Secreária do Curso de Pós-Graduação: Iara, Claudia, Raquel, Lourdes. Ao Banco do Brasil S.A. pelo financiameno do meus esudos. Ao Gerson de Oliveira pela orienação écnica e a odos aqueles colegas do Banco, que ao longo de duas décadas, ive o prazer de conhecer e conviver. Por fim, gosaria de agradecer a oda a minha família e aos amigos pelo apoio, presença, amor,...: a minha Mãe, meu Irmão, meu Sogro e Sogra, minhas Irmãs, meus Cunhados e Cunhadas, meus Tios e Tias, as Sobrinhas, a Lidiane, a Célia e Arleu, ao Derci, Chico, Picolé, enfim, a odas as pessoas que in memoriam sempre esiveram comigo.

5 SUMÁRIO LISTA DE ILUSTRAÇÕES RESUMO ABSTRACT INTRODUÇÃO... O MERCADO DE OPÇÕES CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM MERCADOS DE OPÇÕES TIPOS DE OPÇÕES E PAYOFFS ALGUNS ASPECTOS EM OPÇÕES....4 PREÇOS DAS OPÇÕES Principais Deerminanes do Preço das Opções Arbiragem A Paridade enre Calls e Pus ESTRATÉGIAS COM OPÇÕES Hedge Spread Combinação MERCADO BRASILEIRO DE OPÇÕES Bolsa de Valores de São Paulo Bolsa de Mercadorias e Fuuros MODELOS DE PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES CONJECTURA RANDOM WALK Conceio de Mercado Eficiene e a Conjecura Maringale Críicas e Revisão do Conceio de Mercado Eficiene... 43

6 II. UM MODELO DO COMPORTAMENTO DOS PREÇOS EM TEMPO CONTÍNUO Lemma de Iô FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES O Méodo Black-Scholes de Precificação de Derivaivos A Equação de Black-Scholes e as Condições de Froneira Fórmulas de Black-Scholes para Call e Pu Européias Medidas de Sensibilidade das Opções CONCLUSÕES VOLATILIDADE VOLATILIDADE IMPLÍCITA O Sorriso da Volailidade VOLATILIDADE ESTATÍSTICA Modelos de Média Móvel Modelos GARCH Equação da Média Equação da Variância Esimação dos Modelos GARCH Previsão da Variância Condicional A INFORMAÇÃO E O PODER DE PREVISÃO DA VOLATILIDADE IMPLÍCITA E VOLATILIDADE ESTATÍSTICA INTRODUÇÃO ESPECIFICAÇÃO DOS TESTES DE CONTEÚDO DE INFORMAÇÃO E PODER DE PREVISÃO DESCRIÇÃO DOS DADOS CÁLCULO DA VOLATILIDADE IMPLÍCITA ESTIMAÇÃO DOS MODELOS DE VARIÂNCIA INCONDICIONAL ESTIMAÇÃO E PREVISÃO DOS MODELOS DE VOLATILIDADE CONDICIONAL REGRESSÕES DE PREVISÃO Regressões do Coneúdo de Informação Regressões do Poder de Previsão... 08

7 III 4.8 CONCLUSÕES CONCLUSÕES... BIBLIOGRAFIA... 5 ANEXO A: Correlograma das séries de volailidades em nível...

8 LISTA DE ILUSTRAÇÕES FIGURAS Figura. Hisograma dos reornos diários do ln de preços de fechameno das ações da TNLP Figura 4. Hisograma e sumário esaísico dos reornos sobre os preços médios diários da TNLP GRÁFICOS Gráfico. Payoff de reornos do comprador de uma opção de compra européia... 0 Gráfico. Payoff de reornos do lançador de uma opção de compra européia... 0 Gráfico.3 Payoff de reornos do comprador de uma opção de venda... Gráfico.4 Payoff de reornos do lançador de uma opção de venda... Gráfico.5 Hedge: posição comprada na ação e vendida em opção de compra... Gráfico.6 Hedge: posição vendida na ação e comprada em opção de compra... Gráfico.7 Hedge: posição comprada na ação e em opção de venda... Gráfico.8 Hedge: posição vendida na ação e em opção de venda... Gráfico.9 Spread de ala com call... 3 Gráfico.0 Spread de ala com pu... 3 Gráfico. Spread de baixa com call... 4 Gráfico. Spread de baixa com pu... 4 Gráfico.3 Spread borbolea com call... 5 Gráfico.4 Combinação: sraddle de compra boom sraddle... 6 Gráfico.5 Combinação: sraddle de venda op sraddle... 7 Gráfico.6 Combinação: srip... 7 Gráfico.7 Combinação: srap... 7 Gráfico.8 Combinação: srangle de compra... 8 Gráfico.9 Combinação: srangle de venda... 8 Gráfico. Evolução hisórica dos preços diários de fechameno da Telemar S.A. PN (TNLP4), em loe de 000 ações Gráfico 3. Sorriso da volailidade implícia (período de 0/0/000 a 5/0/00)... 64

9 Gráfico 4. Evolução hisórica dos preços médios diários da Telemar S.A., no período de /09/998 a /0/ Gráfico 4. Reornos diários dos preços médios da TNLP4 (de /09/998 a /0/00) Gráfico 4.3 Evolução hisórica dos preços médios diários da TNLP4 e do Ibovespa (de 0/0/000 a /0/00)... 9 Gráfico 4.4 Volailidade fuura e do dia seguine (de 0/0/000 a 5/0/00) Gráfico 4.5 Volailidade implícia ponderada e volailidade fuura (de 0/0/000 a 5/0/00) Gráfico 4.6 Volailidade implícias Gráfico 4.7 Volailidades incondicionais (de 0/0/000 a 5/0/00) Gráfico 4.8 Volailidades realizadas e MA (0) Gráfico 4.9 Esimaivas volailidades condicionais da Telemar S.A. (de /09/998 a /0/00)... 0 Gráfico 4.0 Previsões das volailidades condicionais um passo a frene (de 0/0/000 a 5/0/00)... 0 Gráfico 4. Previsões fuuras das volailidades condicionais (de 0/0/000 a 5/0/00) Gráfico 4. Volailidade fuura e FIGARCHPREV (de 0/0/000 a 5/0/00) TABELAS Tabela. Sínese do efeio no valor da opção de um aumeno numa variável deerminane do preço das opções, quando as demais permanecem inaleradas... 5 Tabela. Volume financeiro negociado na Bovespa nos anos de 999 a Tabela.3 Idenificação do ipo da opção associado ao seu vencimeno aravés da lera que aparece após o código do aivo-objeo... 3 Tabela.4 Principais produos negociados na BM&F no mês de seembro de Tabela.5 Volume financeiro negociado na BM&F nos anos de 000 a Tabela 4. Sumário esaísico das volailidades implícias e realizadas Tabela 4. Resumo esaísico das volailidades incondicionais Tabela 4.3 Modelos GARCH esimados Tabela 4.4 Erros esaísicos da previsão da variância II

10 Tabela 4.5 Esimaivas dos parâmeros das variâncias condicionais...00 Tabela 4.6 Esaísicas descriivas das previsões das volailidades condicionais dia. 0 Tabela 4.7 Esaísicas descriivas das previsões das volailidades incondicionais Tabela 4.8 Teses de raiz uniária Tabela 4.9 Resulados das regressões do coneúdo de informação Tabela 4.0 Resulados das regressões do poder de previsão III

11 RESUMO A parir de uma base de dados de ações da Telemar S.A., do período de /09/998 a /0/00, e de opções de 0/0/000 a /0/00, foi avaliado qual o previsor que prevê com maior precisão a volailidade fuura: o implício ou o esaísico. A volailidade implícia foi obida por indução reroaiva da fórmula de Black-Scholes. As previsões esaísicas da volailidade foram obidas pelos modelos de média móvel ponderada igualmene, modelo GARCH, EGARCH e FIGARCH. Os resulados das regressões do coneúdo de informação revelam que a volailidade implícia ponderada possui subsancial quanidade de informações sobre a volailidade um passo à frene, pois apresena o maior R ajusado de odas as regressões. Mesmo sendo eficiene, os eses indicam que ela é viesada. Porém, a esaísica Wald revela que os modelos EGARCH e FIGARCH são previsores eficienes e não viesados da variação absolua dos reornos da Telemar S.A. enre e +, apesar do R um pouco inferior a volailidade implícia. Esse resulado a parir de parâmeros baseados em dados ex-pos, de cero modo refua a hipóese de que as opções possibiliam melhores informações aos paricipanes do mercado sobre as expecaivas de risco ao longo do próximo dia. Nas regressões do poder de previsão, que esam a habilidade da variável explicaiva em prever a volailidade ao longo do empo de mauridade da opção, os resulados rejeiam a hipóese da volailidade implícia ser um melhor previsor da volailidade fuura. Elas mosram que os coeficienes das volailidades implícias e incondicionais são esaisicamene insignificanes, além do R ajusado ser zero ou negaivo. Iso, a princípio, conduz à rejeição da hipóese de que o mercado de opções é eficiene. Por ouro lado, os resulados apresenados pelos modelos de volailidade condicional revelam que o modelo EGARCH é capaz de explicar 60% da volailidade fuura. No ese de previsor eficiene e não viesado, a esaísica Wald não rejeia esa hipóese para o modelo FIGARCH. Ou seja, um modelo que oma os dados ex-pos consegue prever a volailidade fuura com maior precisão do que um modelo de naureza forward looking, como é o caso da volailidade implícia. Desse modo, é melhor seguir a volailidade esaísica - expressa pelo modelo FIGARCH, para prever com maior precisão o comporameno fuuro do mercado.

12 ABSTRACT The main goal of his work was o idenify he bes way o make forecas abou fuure volailiy: if is using implici or saisic forecas. I was made based on Telemar S. A. share s daabase during he period from /09/998 o /0/00 and Telemar S. A. opion s daabase from 0/0/000 o /0/00. The implici volailiy was go using back-ou procedure from he Black-Scholes model. The saisics forecass were go using weighed moving average models as he same o GARCH, EGARCH and FIGARCH models. The resuls from conen informaion regression using implici volailiy weighed showed ha here is imporan informaion abou one sep ahead volailiy. I is because i has he bigges adjused R among all he regressions. In spie of implici volailiy s efficiency, he eses show ha i is biased. However, he Wald saisic shows ha EGARCH and FIGARCH models are efficien in forecas works and hey are no biased in Telemar S.A. absolue variaion beween and +. This resul of he parameers based on ex-pos daes, in some way, refuse he hypohesis ha opions can improve he amoun of informaion o marke users abou expecaions of he risk over nex day. A power forecas regressions, which es he explanaory variable abiliy o forecas he volailiy during he mauriy ime of opion, he resuls rejec he hypohesis ha implici volailiy is he bes forecas o fuure volailiy. I shows ha in implici and uncondiional volailiy s are insignifican saisically. This is, in he beginning, causes he rejecion of he hypohesis ha opion s marke is efficien. On he oher hand, shows resuls hrough condiional volailiy models ha EGARCH model can explain abou 60% of fuure volailiy. The efficien and no biased forecas es by Wald saisic, no refuse his hypohesis o FIGARCH model. I means ha a model ha ake ex-pos dae can forecas fuure volailiy wih more precision han a forward looking model as implici volailiy case. So, he bes way is following he saisic volailiy by FIGARCH model, o forecas he fuure marke behaviour wih more precision.

13 INTRODUÇÃO A parir da implemenação do Plano Real em 994, e a conseqüene esabilização da economia brasileira, novos desafios surgiram. O Brasil é uma das chamadas economias emergenes, que são caracerizadas por mercados financeiros alamene voláeis que, a princípio, podem propiciar alos reornos aos invesidores. Essa caracerísica desses mercados deveria ser um indicador de locais araenes para um grande fluxo de invesimenos, pois além de possibiliarem a diversificação de porfólios, hedding,..., oferecem alos rendimenos. Porém, geralmene acarream em alos riscos financeiros. A grande susceibilidade das economias emergenes a faores ano exernos quano inernos, que podem desesabilizar a economia desses países, levou a um consenso geral: não somene políicas moneárias e fiscais são imporanes ao crescimeno de um país, mas um sisema financeiro esável e um mercado de capiais capaz de promover o emprego e a renda são igualmene condições inerenes a ese fim. Quano maior for a ransparência dos mercados financeiros, com cereza, maior será o número de paricipanes desses mercados. Nesse senido, várias normas e écnicas êm sido proposas por acadêmicos e profissionais de mercado que possibiliam impulsionar o mercado financeiro brasileiro. Assim como os conraos fuuros, os conraos de opções ambém são classificados como um derivaivo. São negociados nos Esados Unidos desde 973 e no Brasil desde 979. As séries de opções são opções do mesmo ipo (call ou pu) para o mesmo aivo e com a mesma daa de vencimeno. Conudo, dependendo do preço de exercício, que difere de uma série para oura, os prêmios das opções podem ser diferenes. O único componene na precificação de uma opção de ação que não é observável direamene é a volailidade fuura do preço da ação. Volailidade é o nome genérico para o desvio-padrão (in)condicional. Indica se o preço de um aivo esá variando pouco ou muio. Ela é uma medida da incereza quano às variações de preço. Os períodos em que a oscilação dos preços esá muio ala são aqueles em que o risco é maior. Quando a volailidade é baixa, o risco é menor. Exisem vários modelos que podem ser uilizados para descrever ou gerar a volailidade fuura. Em alguns casos, várias previsões diferenes de volailidade sobre um mesmo aivo podem ser obidas ou uma grande similaridade, dependendo do modelo que se uiliza. Nesse conexo, inserem-se os modelos de volailidade implícia e esaísica. A volailidade implícia é a previsão da volailidade ao longo do empo de mauridade de

14 uma opção, que iguala o preço de mercado observado com o modelo de precificação de uma opção. O modelo mais simples e mais uilizado para precificar uma opção de compra (call) ou uma opção de venda (pu) é o modelo Black-Scholes. Uilizando esse modelo, a volailidade implícia é a volailidade do movimeno geomérico Browniano, que governa as variações de preço do aivo ao longo do empo de mauridade da opção. A volailidade implícia pode ser uilizada para verificar a opinião do mercado sobre a volailidade de cera ação, que varia com o empo. Pode ser uilizada ambém para calcular o preço de uma opção a parir do preço de oura opção. Sendo assim, é comum ober-se simulaneamene muias volailidades implícias em diferenes opções sobre o mesmo aivo. A volailidade esaísica depende da escolha de um modelo esaísico que é aplicado aos dados hisóricos do reorno do aivo. O modelo esaísico é usualmene um modelo de série de empo, al como um processo de média móvel ou Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy (ARCH). Aplicando o modelo aos dados hisóricos obêm-se esimaivas esaísicas da volailidade do passado. Iso ambém possibiliará ober-se previsões da volailidade de agora aé um pono fuuro no empo - o horizone de risco. Enão, ao conrário do que ocorre com o preço de um aivo específico, a volailidade não é direamene observável no mercado. Ela só pode ser esimada no conexo de um modelo. Assim, modelos de volailidade implícia e volailidade esaísica normalmene providenciam esimaivas ou previsões do mesmo processo específico de preço. Assim, ese esudo avalia qual o melhor previsor da volailidade fuura. O problema básico será esar o poder de previsão e o coneúdo de informação das volailidades implícia e esaísica, e dessa forma, inferir se é a volailidade implícia que prevê com maior precisão o fuuro ou é a volailidade esaísica. Muias pesquisas êm sido publicadas na enaiva de deerminar qual o esimador que prediz com maior eficiência a volailidade dos mercados financeiros. Os resulados apresenados não são conclusivos, pois, dependendo do modelo de precificação da opção uilizado para exrair a volailidade implícia ou o modelo esaísico usado para analisar os dados hisóricos, um approach pode prevalecer sobre o ouro. DAY & LEWIS (99), que esudaram o índice opções S&P 00 com expiração de , e LAMOUREUX & LASTRAPES (993), que examinaram opções em dez ações com expiração de 98 a 984, concluíram que a volailidade implícia é viesada e ineficiene e a volailidade passada coném informação prediiva sobre volailidade fuura além do que conido na volailidade implícia.

15 3 CANINA & FIGLEWSKI (993), que ambém uilizaram o mercado de índice de opções S&P 00 (dados incluem somene o período anerior a ouubro de 987), enconraram que a volailidade implícia não em nenhuma correlação com o reorno fuuro da volailidade e não incorpora a informação conida na mais recene volailidade observada. Por ouro lado, CHRISTENSEN & PRABHALA (998) enconraram que a volailidade implícia em uma melhor performance do que a volailidade hisórica na previsão da volailidade fuura. O esudo de FLEMING (998), que ambém examina a performance da volailidade implícia do índice S&P 00, indicou que a volailidade implícia é um predior viesado posiivamene, mas ambém que ele coném relevanes informações sobre volailidade fuura. A informação conida e o poder prediivo da volailidade implícia em opções de câmbio fuuro, negociadas no Chigago Mercanile Exchange (CME), são invesigadas em JORION (995). Em conrase com as opções de índice de ações, Jorion enconrou que modelos esaísicos de séries de empo são ulrapassados em performance pela previsão implícia de opções. Conudo, as volailidades implícias são esimadores viesados posiivamene da volailidade fuura. TAYLOR & XU (995) realizam similares resulados para opções de câmbio à visa negociadas na Philadelphia Sock Exchange (PHLX). Nesse arigo, os previsores implícios são ambém superiores aos hisóricos. Se os preços das opções de compra da axa diária de câmbio real/dólar negociadas na Bolsa de Mercadorias e Fuuros (BM&F), coném informação sobre a volailidade fuura dos reornos desse aivo que não pode ser exraída de reornos passados, são verificados por ANDRADE & TABAK (00). Seus resulados sugerem que a volailidade implícia no preço das opções de compra R$/US$, possui informação sobre subsequene volailidade realizada que não esá presene nos reornos passados. Concluem, que é válido seguir a volailidade implícia para inferir sobre a volailidade fuura, pois previsões que somene uilizam reornos passados não são eficienes, no senido que elas não incorporam oda informação pública disponível. A acuracidade da volailidade fuura é vial em eoria de finanças. Auferir a previsão da volailidade de um aivo de modo preciso é a chave para um bom sisema de gerenciameno de risco. A correa previsão da volailidade é imporane não só no esboço de esraégias óimas de hedge com derivaivos, como ambém para capar momenos de grande incereza no mercado. Quano mais incero esiver o mercado, frene a crises ou

16 4 faos exógenos, mais os preços dos aivos endem a variar, implicando em maiores possibilidades de ganhos ou perdas. Expecaivas sobre a volailidade jogam um papel crucial em eoria das finanças: a) o lançador de uma opção precisa prever a volailidade do processo de preço do aivo ao longo do empo de vida da opção; b) os adminisradores de risco de porfólios requerem previsão da volailidade principalmene para um curo espaço de empo; c) a volailidade implícia é necessária para compuar a apropriada razão de hedge do porfólio; d) a volailidade esaísica é necessária para posições líquidas e para calcular o risco oal de capial requerido pelo mercado para uma firma ou insiuição financeira; e) para validar modelos de precificação e hedging usados pelos profissionais financeiros é requerida a avaliação independene de odas as volailidades implícias e esaísicas. Principalmene, o que impora para a precificação de uma opção é somene a volailidade do movimeno de preço específico e não a endência no preço da ação. Logo, quano mais precisa for a sensibilidade à volailidade, provavelmene mais próximo o preço da opção vai esar de seu preço juso. Ademais, as úlimas crises financeiras crise da Ásia em 997, crise da Rússia em 998, roca do regime de câmbio fixo para fluuane no Brasil em 999, e crise da Argenina em 000/00 - levou à necessidade de impor criérios rígidos de adminisração de riscos. Nesse senido, a volailidade possui uma função primordial na deerminação do Value a Risk (VaR). Igualmene, a habilidade para predições da volailidade fuura é ambém imporane para o Banco Cenral como insumo nos processos de políica moneária. Esima-se que o número de pessoas que invesem em ações no Brasil seja no máximo de 0 milhões, enre pessoas físicas e jurídicas, ou seja, 6% da população. Nos Esados Unidos, direamene ou indireamene exisem 80 milhões de invesidores pessoas físicas em ações, o que eqüivale a dizer que para cada rês habianes nore-americanos um invese recursos em ações. Em suma, não resam dúvidas de que o poencial para o crescimeno do mercado acionário no Brasil é enorme, ano pelas perspecivas de crescimeno do país, Segundo JORION (997), o VaR é um méodo de mensuração de risco que aravés de écnicas esaísicas padrões, mede a pior perda esperada ao longo de deerminado inervalo de empo sob condições normais de mercado e denro de deerminado nível de confiança. Com base em fundamenos cieníficos, o VaR fornece aos usuários uma medida concisa do risco de mercado.

17 5 quano pelo ingresso de um maior número de invesidores. Assim, espera-se que a precisão na deerminação da volailidade fuura seja um elemeno que conribua à eficiência do mercado de capiais. Dessa forma, para deerminar qual o melhor previsor da volailidade fuura para o mercado brasileiro, uiliza-se uma base de dados de opções e ações da Tele Nore Lese Paricipações S.A. negociadas na Bovespa. Nesse senido, além desa inrodução, o objeivo do primeiro capíulo dese esudo é conceiuar e apresenar o mercado de opções brasileiro aravés da familiarização aos seus principais conceios e definições. Acredia-se que a análise e a compreensão dos jargões financeiros é vial ao rabalho com derivaivos. O próximo capíulo é desinado a apresenar o modelo Black-Scholes de precificação de opções, o qual é uilizado na derivação da volailidade implícia. Conudo, como esse modelo de precificação é descrio em função dos parâmeros que regem o movimeno dos preços do aivo-objeo, primeiramene são descrios os modelos que descrevem o processo de formação desses preços. No erceiro capíulo, os modelos de volailidade implícia e esaísica são definidos e apresenados formalmene. Como a volailidade não é direamene observável no mercado, ela só pode ser obida no conexo de um modelo. O méodo e a forma de se ober essas esimaivas são cruciais à verificação de qual o melhor previsor da volailidade fuura. Por úlimo, a parir dos vários méodos de se ober a volailidade de um deerminado aivo financeiro, é realizado a mensuração empírica dessas alernaivas. A parir das opções e ações da Telemar S.A. a ação com o maior peso no índice Bovespa e a opção mais negociada no mercado brasileiro, é invesigado se a volailidade implícia prediz com maior precisão o fuuro do que a volailidade esaísica ou se é o conrário. Para ano, são realizados eses do coneúdo de informação e de poder de previsão das volailidades.

18 O MERCADO DE OPÇÕES Um dos principais preceios a respeio da moderna eoria e engenharia de finanças, é que cabe a ela analisar as propriedades das esruuras financeiras e enconrar a maneira mais facível para operar os recursos de erceiros. Para ano, uiliza vários insrumenos écnicos e esraégias com a devida conabilização a faores como o empo, risco e ambiene aleaório. As esruuras que compõem a eoria microeconômica podem ser classificadas como: a) os indivíduos dilema consumir/invesir; b) as corporações firmas, companhias, que emiem íulos, ações,...; c) os inermediários bancos, companhias de invesimenos, fundos de pensão, bolsa de valores, bolsa de fuuros e opções; d) os mercados financeiros. Dessas quaro esruuras, os mercados financeiros são aponados como a principal preocupação da eoria maemáica financeira. A engenharia financeira é uma das áreas que mais se desenvolveu nas insiuições financeiras e corporações no mundo moderno. Esse rápido crescimeno, associado a produos sofisicados, originou um complexo sisema que requer o aprimorameno e acompanhameno consane de profissionais alamene qualificados. A complexidade pode ser devida a vários ipos de mercados financeiros, ais como: Bolsa de Valores; Mercado de Tíulos que negociam íulos governamenais e ouros; Mercados de Moedas ou Mercado de Moedas Esrangeiras, em que moedas são compradas e vendidas; Mercados de Comodiies, onde aivos físicos como peróleo, ouro, praa, soja, elericidade, ec., são negociados; Mercados de Opções e Fuuros, em que produos derivaivos são negociados. Os insrumenos financeiros disinguem-se como: Insrumenos primários: são os relacionados direamene ao aivo-objeo conas em banco, íulos, ações; Insrumenos secundários: são os derivaivos, os quais são híbridos, pois são consruídos baseados nos insrumenos primários opções, conraos fuuros, warrans, swaps, combinações, spreads,... O maerial apresenado aé a seção.5 (inclusive os gráficos) baseiam-se em ALEXANDER (00), CAMPBELL e alli (997), COX & RUBINSTEIN (985), HULL (997), JORION (997), SHIRYAEV (999), SILVA NETO (996 E 998), WILMOTT a alli (995).

19 7 Em odos os mercados financeiros exisem vários ipos de aivos que são comprados ou vendidos. Como os mercados ornam-se cada vez mais sofisicados, conraos cada vez mais complexos são inroduzidos do que simplesmene negociações direas de compra e venda (negociações de balcão). Conhecidos como derivaivos financeiros, íulos derivaivos, produos derivaivos, ou somene derivaivos, eles oporunizam ao invesidor grandes oporunidades de lucros, hedge, diversificação e adminisração de risco em porfólio. Nesse senido, a análise e a compreensão dos jargões financeiros é vial ao rabalho com derivaivos. Como o objeivo dese esudo é avaliar o poder de previsão da volailidade implícia (derivada de opções) em relação a volailidade esaísica, delineai-se abaixo, em primeiro lugar, o mercado de opções aravés da familiarização aos seus principais conceios, ipos e payoffs, aspecos, preços, esraégias, bem como são apresenados algumas paricularidades referenes as duas maiores bolsas de valores que negociam opções no Brasil: Bolsa de Valores de São Paulo (BOVESPA) e a Bolsa de Mercadorias & Fuuros (BM&F). Os capíulos poseriores apresenam os modelos de precificação de opções, a caracerização das volailidades implícias e esaísicas, para, por úlimo, inferir empiricamene sobre qual é o melhor previsor da volailidade fuura.. CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM MERCADOS DE OPÇÕES Uma opção é um íulo ou conrao emiido por um governo, uma empresa, um banco, uma companhia financeira e dá ao comprador o direio (não a obrigação) de comprar ou vender algo de valor (uma ação, um índice de ações, uma noa promissória, uma moeda,...) em ermos especificados em um insane fixado ou durane um cero período de empo no fuuro. O preço fixado do conrao é conhecido como preço de exercício srike-price, e a daa de vencimeno é a daa de mauridade ou a daa de expiração da opção. Usualmene, a pessoa disposa a comprar é dia maner uma posição comprada long posiion, enquano que aquele que vai enregar o bem esá manendo uma shor posiion posição vendida. Os dealers que esperam que o preço de um aivo-objeo aumene, são denominados bulls. Um bull abre uma long posiion esperando vender com lucro mais arde, quando o preço do aivo-objeo subir no mercado, pois adquire o aivo-objeo pelo preço de exercício que é inferior ao preço correne de mercado. Numa radução lieral, dealer é o negociane, revendedor.

20 8 Os dealers que esperam que o mercado mova-se para baixo são chamados bears. Um bear ende a vender íulos que possui ou mesmo que ele não os em (iso é referido como shor selling 3 ). Ele espera fechar sua shor posiion por comprando o aivo-objeo a preços menores do que o preço de exercício. Essa diferença será seu lucro. Ouro ermo comumene uilizado na lieraura de finanças é o spread bid/ask, iso é, a diferença enre o bid price (preço de compra) e o ask price (preço de venda). Geralmene, o preço de venda é superior ao preço de compra. As opções podem se diferenciar em radicionais e não radicionais. Tradicionais são as opções negociadas em balcão, como: i) seguro; ii) arras de compra e venda de imóvel; iii) debênures conversíveis; iv) leasing com opção de compra; ec. Por ouro lado, as opções não radicionais são realizadas conra as Bolsas (de Valores ou Mercados Fuuros), como: a) opções sobre ações; b) opções sobre índice de ações; c) opções sobre moedas e opções sobre índices de moedas; d) opções sobre comodiies; e) opções sobre íulos do governo; f) opções sobre conraos fuuros; ec. Deve-se assumir que as ransações com opções podem ocorrer no empo: n = 0,,,..., N, e odo negócio ermina após o insane N. As opções são baseadas em algum aivoobjeo de valor descrio por uma seqüência aleaória discrea: S = (S n ) 0 n N.. TIPOS DE OPÇÕES E PAYOFFS Disinguem-se dois ipos de opções: opções de compra (call opion) dá o direio a alguém adquirir, e opções de venda (pu opion) dá o direio a alguém vender. É chamado de lançador ou emissor aquele que lança (vende) uma opção sobre um aivo-objeo, assumindo a obrigação de vender ou comprar do iular da opção, se ese exercê-la, o objeo a que se refere o conrao. Assim, uma opção de compra dá ao iular o direio de comprar do lançador o aivo-objeo da opção, na daa de vencimeno, pelo preço de exercício acordado na conraação. Por esse direio, o comprador deve pagar um valor anecipado chamado de prêmio, iso é, o preço de mercado da opção. Uma opção de venda dá ao iular o direio de vender ao lançador o aivo-objeo da opção, na daa de vencimeno, pelo preço de exercício. Para ano, deve pagar um prêmio. Todo conrao de opção de um mesmo ipo emiido (lançado) no mesmo aivo-objeo consiui uma classe de opções. Logo, opções de compra e venda de um aivo-objeo são consideradas classes diferenes. Denro de uma dada classe, odos os conraos de opções com a mesma daa de expiração e preço de exercício consiuem uma série de opção. 3 Venda à descobero.

21 9 É imporane para a engenharia financeira que esses dois insrumenos financeiros auem em direções oposas, ou seja, quando o ganho de um iular de uma opção de compra aumena, decresce o ganho do iular de uma opção de venda. Iso explica a práica amplamene uilizada de diversificação, de operando com opções de classes diferenes, algumas vezes combinadas com ouros íulos. Quando se considera o seu exercício, duas formas: a) européia: se o conrao de opção esabelecer que a opção somene pode ser exercida na daa de expiração da opção N; b) americana: se a opção pode ser exercida em um insane aleaório qualquer τ denro do seu período de mauridade N, iso é, τ N. Para uma definição mais precisa 4, seja uma opção de compra ipo européia com daa de expiração N, o preço de exercício K (acordado no ao de emissão da opção) valor pelo qual o comprador erá o direio de comprar o aivo-objeo, cujo preço de mercado S N no empo N pode ser diferene de K. Se S N > K, a siuação é favorável ao comprador da opção, pois ele vai comprar o aivoobjeo ao preço K, e pode imediaamene vendê-lo ao preço de mercado S N. Seu reorno será igual a S N K. Como o comprador da opção pagou um cero prêmio c N para a aquisição dese insrumeno financeiro, seu lucro líquido será S N K c N. 5 Por ouro lado, se S N < K, o comprador da opção não a exerce, pois ele pode ir no mercado e adquirir a ação pelo preço S N, o qual é inferior ao preço de exercício K. Esa siuação é favorável ao lançador da opção de compra. A perda do comprador será igual a c N, enquano o lucro do lançador limia-se ao valor do prêmio c N. Combinando esas suposições, pode-se expressar o reorno do comprador f N no empo N pela fórmula: f N = (S N K) +, (.) onde a + = max (a, 0). Assim, o reorno líquido para um comprador de uma opção de compra ipo européia será: (S N K) c N para S N > K; e c N para S N K. Analogamene, o ganho líquido do lançador da opção de compra é: 4 Esa definição segue SHIRYAEV (999). 5 Como aé ese momeno não foi incluída a hipóese da exisência de uma axa de juros, c N é o valor do prêmio aualizado do empo n (daa da compra da opção) para N (daa de vencimeno da opção).

22 0 c N (S N K) para S N > K; e c N para S N K. Esses payoffs de reornos líquidos de uma opção de compra ipo européia, são demonsrados nos gráficos. posição comprada, e. posição vendida. Analisando esses diagramas, verifica-se que o adquirene de uma opção de compra esá anecipando uma ala no preço do aivo-objeo. Similarmene, um lançador de uma opção de compra esá aposando na queda do preço do aivo-objeo. Gráfico. Payoff de reornos do comprador de uma opção de compra européia reorno K -c N S N Gráfico. Payoff de reornos do lançador de uma opção de compra européia reorno c N K S N No caso de uma opção de venda as siuações do comprador e do lançador da opção são inversas às obidas no caso de uma opção de compra. Seja uma opção de venda ipo européia com daa de mauridade N, o preço de exercício K, em que ao comprador é conferido o direio de vender o aivo-objeo na daa N. A função payoff do comprador de uma opção de venda será dada pela fórmula: f N = (K S N ) +. (.) O ganho líquido para o comprador desa opção levando em cona o prêmio p N para adquiri-la é: p N para S N K; e (K S N ) p N para S N < K.

23 Do mesmo modo, o ganho líquido do lançador da opção de venda é: p N para S N K; e p N (K S N ) para S N < K. Nesa siuação, o comprador de uma opção de venda acredia numa queda no preço do aivo-objeo, enquano que o lançador desa opção aposa em um aumeno no preço do aivo-objeo. Os gráficos.3 posição comprada, e.4 posição vendida, apresenam os payoffs de reornos líquidos para uma opção de venda ipo européia. Gráfico.3 Payoff de reornos do comprador de uma opção de venda reorno K -p N S N Gráfico.4 Payoff de reornos do lançador de uma opção de venda reorno p N K S N.3 ALGUNS ASPECTOS EM OPÇÕES A parir da relação enre o preço de mercado do aivo-objeo S 0 em = 0 e o preço de exercício K, as opções podem ser classificadas de rês maneiras: Classificação Opção de Compra Opção de Venda Denro-do-dinheiro (inhe-money) S 0 > K S 0 < K No-dinheiro (a-hemoney) S 0 = K S 0 = K Fora-do-dinheiro (ou-ofhe-money) S 0 < K S 0 > K

24 Usando esa erminologia, somene as opções denro-do-dinheiro é que serão exercidas. No caso de uma opção americana denro-do-dinheiro, muias vezes, é melhor ao iular dessa opção aguardar aé o vencimeno, em vez de exercê-la imediaamene. Nesa siuação diz-se que a opção possui um valor-empo. O valor inrínseco de uma opção será dado pelo payoff de reornos, ou seja, será zero ou a diferença enre S N K (para uma opção de compra) quando exercida, ou K S N (para uma opção de venda) quando exercida. Logo, uma opção fora-do-dinheiro não possui valor inrínseco, pois não represena ao deenor da opção nenhuma vanagem comparaivamene a compra à visa do aivo-objeo. O valor oal de uma opção geralmene é a soma do valor inrínseco com seu valor-empo 6. Um fao imporane que pode ser deduzido pelos diagramas dos payoffs de reornos, são as enormes diferenças que exisem enre o comprador e o lançador de uma opção. O comprador de uma opção pode aguardar aé a daa da mauridade N, e verificando a dinâmica da evolução do preço do aivo-objeo êm condições de arbirariamene auferir grandes lucros, enquano sua perda é limiada pelo prêmio pago na aquisição da opção. Por ouro lado, o emissor de uma opção pode incorrer em grandes perdas e o seu lucro será limiado pelo prêmio da opção. Nesse pono, pode-se argumenar por que alguém emie uma opção? A resposa para al quesão reside no uso primário de opções para especulação 7 e hedding. O emissor de opção espera realizar lucros omando esa posição no mercado. Se ele vende uma opção de compra, esá vendendo o direio ao deenor da opção o direio de comprar o aivo-objeo por K, durane o período de mauridade da opção n = 0,,,..., N, no caso de uma opção ipo americana. Logo, ele aposa na queda do preço do aivo-objeo, siuação na qual a opção não será exercida, e seu lucro será igual ao prêmio da opção ou prêmio de risco. Da mesma forma, se o emissor acredia na ala do preço do aivo-objeo, ele vende uma opção de venda que dá o direio ao deenor da opção vender o aivo-objeo pelo preço de exercício K, numa daa aleaória denro do período de mauridade da opção (no caso se a opção for americana). Se no empo N, S N > K o deenor não exerce a opção de venda, e o 6 Geralmene o prêmio de uma opção anes de seu vencimeno é superior ao seu valor inrínseco, pois mesmo em opções sem valor inrínseco, o prêmio de uma opção deve remunerar o lançador ano pelo seu risco na operação como pela imobilização de recursos. 7 Vale regisrar uma imporane disinção enre o especulador e o manipulador. O especulador é um invesidor que compra algo na expecaiva de vendê-lo com lucro. Ele deve esar preparado para o risco assumido nesa ransação. Conudo, a presença do especulador no mercado de opções é de exrema imporância, pois é ele que confere liquidez ao mercado. Por ouro lado, o manipulador geralmene aua ilegalmene no senido de auferir vanagens (desonesas) sobre informações privilegiadas. Sua presença é nociva ao mercado, pois além de prejudicar a liquidez, orna-o ineficiene no criério informacional.

25 3 emissor não precisa comprar o aivo-objeo do deenor e percebe um lucro equivalene ao prêmio da opção. Apesar desa moivação ser plausível, ano os bears como os bulls, podem não suporar o risco numa posição exposa desa maneira. Enão, é a parir da idéia de reduzir o risco que surge o objeo de hedding. Criar um porfólio que conenha o aivo-objeo, bem como opções desse aivo-objeo (ou mesmo de ouros aivos), de forma a assegurar uma garania conra os movimenos imprevisos no preço do aivo-objeo S, omando direções oposas em diferenes insrumenos financeiros. Na práica, os grandes invesidores reduzem seus riscos pelo uso exensivo de diversificação, hedding, invesindo em fundos composos de vários íulos (ação, opções, íulos governamenais,...), em comodiies, ec..4 PREÇOS DAS OPÇÕES.4. Principais Deerminanes do Preço das Opções Aé o momeno oda a análise de opções eseve cenrada somene em duas variáveis o preço do aivo-objeo e o preço de exercício. Porém, exisem inúmeras ouras variáveis que podem esar influenciando o preço de uma opção denro do seu empo de vida. A seguir, são enumerados alguns dos principais faores mais comumenes aponados na lieraura que podem influenciar o preço de uma opção, quando um desses faores se alera, com os demais permanecendo inalerados: a) o preço do aivo e o preço de exercício: eses dois faores ceramene vão imporar no preço da opção ano anes da daa de expiração como na daa de vencimeno. Para uma opção de compra européia ou americana, quano maior for o preço do aivo, maior será o prêmio, pois maior a probabilidade da opção ser exercida. Porém, quano maior for o preço de exercício, menor a probabilidade de a opção ser exercida, menor dever ser o valor da opção. Por ouro lado, as opções de venda européia ou americana assumem siuações oposas às opções de compra maior o preço do aivo, menor o valor da opção de venda; maior o preço de exercício, maior o valor desa opção; b) volailidade do aivo-objeo: se a volailidade for uma medida da variabilidade do movimeno fuuro no preço do aivo, quano maior a volailidade, maior a probabilidade de o aivo er um desempenho muio bom ou muio ruim. Esses efeios se compensam para o deenor do aivo, mas não para o deenor de uma opção de compra ou de venda. Para o deenor da opção de compra elevações de preço beneficiam-no, enquano que uma queda no preço do aivo limia sua perda

26 4 ao prêmio da opção. Ao possuidor de uma opção de venda, quedas de preço no aivo razem ganhos e o risco é limiado ao prêmio da opção se o preço do aivo subir acima do preço de exercício. Assim, os valores das opções devem aumenar com o aumeno da volailidade; c) o empo para a expiração: o efeio de um período mais longo para expiração rabalha na mesma direção de uma maior volailidade do aivo no caso de opções americanas. Ao longo de um período de empo maior, uma grande quanidade de evenos pode aconecer, mesmo em um aivo com baixa volailidade. Logo, para opções ipo americana (que podem ser exercidas aleaoriamene no período de mauridade), quano maior o empo resane de vida da opção, maior o prêmio, pois como o deenor de uma opção de longa duração em no mínimo as mesmas condições de exercício que o deenor de uma opção de cura duração, no mínimo, a opção de longa duração vai valer ano quano a opção de cura duração. Por sua vez, opções de compra e venda européias podem não se ornar mais valorizadas com o amanho do empo para a expiração, já que nese ipo de opção o iular da opção só poderá exercê-la no vencimeno, e podem ocorrer evenos nese período que a ornem mais valiosa ou não; 8 d) a axa de juro livre de risco: quano maior essa variável, menor o valor presene do preço de exercício para o iular da opção, bem como ende a aumenar a axa de crescimeno esperada para o preço do aivo-objeo. No caso de uma opção de venda, esses efeios endem a diminuir o seu valor. Para uma opção de compra, o menor valor presene do preço de exercício diminui o prêmio da opção, enquano que a axa de crescimeno esperada para o preço do aivo ende a aumenar o prêmio. Porém, como ese úlimo efeio se sobrepõe ao primeiro, iso faz com que o preço das opções de compra sempre aumenam com a axa de juro; 9 e) dividendos: ese faor reduz o preço do aivo-objeo na daa ex-dividendo 0, siuação favorável para o valor das opções de venda e desfavorável para o valor das 8 Vale regisrar que, na práica, o prêmio de uma opção (ano européia como americana) ende a zero, quando se aproxima a daa de expiração da opção. SHIRYAEV (999), p.3-34, desenvolve o preço juso, racional de uma opção de compra c N, no qual o prêmio da opção aumena com o empo de mauridade N à razão de N. 9 Conforme mencionado por HULL (997), na práica um aumeno nas axas de juros livre de risco ende a diminuir o preço do aivo e o efeio líquido dessa mudança pode não ser o mencionado. 0 De acordo com CAMPBELL a alli (997), por convenção, seja a daa de pagameno do dividendo do aivo e assuma que ese dividendo é pago na daa, mas anes em que o preço P é regisrado. Enão, P é dio ser o preço ex-dividendo na daa.

27 5 opções de compra. Logo, quano maior o valor do dividendo, maior o valor da opção de venda e menor o valor da opção de compra. A abela. sineiza os efeios acima relacionados de um aumeno numa variável que influencia o preço das opções, com as demais permanecendo inaleradas. Tabela. Sínese do efeio no valor da opção de um aumeno numa variável deerminane do preço das opções, quando as demais permanecem inaleradas. Variável Efeio do Aumeno Tipo européia Tipo americana Opção de compra Opção de venda Opção de compra Opção de venda Preço do aivoobjeo (S) + + Preço de exercício (K) + + Volailidade do aivo Tempo para a Indeerminado Indeerminado + + expiração (n) Taxa de juro livre + + de risco Dividendos + + Fone: Elaborado pelo auor. O símbolo (+) significa endência de ala no preço da opção, enquano que ( ) significa endência de queda no valor da opção. COX & RUBINSTEIN (985) ciam mais alguns faores que podem deerminar mudanças no preço das opções, porém não de forma ão direa como os seis faores ciados acima, pois em algumas siuações esses faores não influenciam o preço da opção:. Taxa esperada de crescimeno do preço do aivo: como quano maior o preço correne do aivo implica em maior o valor da opção de compra, com os ouros faores permanecendo iguais, inuiivamene, se maior é o preço esperado do aivo no fuuro, maior é o valor correne da opção de compra (para a opção de venda ocorre o inverso). Porém, a parir da paridade enre calls e pus (apresenada na subseção.4.3) ver-se-á que a axa esperada de crescimeno do preço do aivo não é um deerminane direo no valor de uma opção;. Propriedades adicionais do movimeno de preço do aivo-objeo: a imporância dese faor depende do que é incluído na variável volailidade. Se volailidade for uma medida que engloba odas as possíveis relevanes informações sobre a disribuição de probabilidade do preço fuuro do aivo, ceramene propriedades adicionais não influenciarão no valor de uma opção;

28 6 3. Aiudes dos invesidores em direção ao risco: esa variável impora no valor de qualquer aivo. Porém, afea indireamene o valor de uma opção, aravés de sua influência no preço do aivo, volailidade do aivo e axas de juros. Por úlimo, são ciados na lieraura mais quaro variáveis relacionadas ao ambiene insiucional, que podem, em princípio, influenciar o valor da opção: i) regras de ribuação; ii) normas de margens de garania; iii) cusos de ransação; iv) esruura do mercado..4. Arbiragem Anes de prosseguir no desenvolvimeno de algumas relações enre os preços das opções e esraégias com opções, é necessário inroduzir um dos conceios fundamenais na eoria de precificação de derivaivos financeiros e hedding arbiragem: não exise nunca qualquer oporunidade de fazer um lucro insanâneo livre de risco. As palavras chaves na definição de arbiragem são os ermos insanâneo e livre de risco. Assuma que exise um invesimeno livre de risco que dê um reorno garanido com nenhuma oporunidade de defaul - invesimeno em um íulo governamenal crível ou um depósio numa cona remunerada em um banco sólido. Pode ocorrer que o reorno do invesimeno em ações de empresas negociadas em Bolsas de Valores seja superior aquele obido em um banco. Mas, iso não será possível sem um grau de risco. Logo, se um indivíduo quer um reorno maior, deverá aceiar um risco maior. Assim, o maior reorno livre de risco que um porfólio de aivos pode realizar deve ser igual ao reorno de aplicando equivalene quanidade de dinheiro, por exemplo, em um banco. Caso não exisa al igualdade, o arbirador pode er lucros de arbiragem. Ignorado cusos de ransação, margens de garania, imposos, pode-se realizar um cero lucro com invesimeno zero por vendendo e comprando opções, juno com uma apropriada posição nos aivos e omando emprésimo em proporções correas para realizar ais operações. Logo, em princípio, o mercado deve ser inabiado por ganhos de arbiragem. Esa hipóese é fundamenal na precificação de opções, pois implica que o preço de mercado de uma opção, em princípio, será o preço juso, racional. Nese capíulo a discussão do valor de uma opção ocorre de forma inuiiva. Uma apresenação formal do processo de precificar opções será efeuada no capíulo subsequene. É óbvio que muios ouros condicionanes, além dos mencionados, podem esar influenciando o preço de mercado de uma opção, ano direamene como indireamene.

29 7.4.3 A Paridade enre Calls e Pus Exise uma imporane relação enre os valores de opções de venda e de compra com a mesma daa de expiração e mesmo preço de exercício e uma posição no mesmo aivoobjeo. Para desenvolver ese relacionameno, inroduz-se abaixo algumas noações que serão exensivamene uilizadas nese esudo: S: preço aual do aivo-objeo; K: preço de exercício do aivo; σ: volailidade do aivo-objeo; T: daa de vencimeno ou expiração da opção; : daa de aquisição da opção ou o empo correne; r: axa de juro livre de risco coninuamene capializada; S T : preço do aivo-objeo no insane T; C: valor de uma opção americana de compra; P: valor de uma opção americana de venda; c: valor de uma opção européia de compra; p: valor de uma opção européia de venda. Igualmene, algumas hipóeses são necessárias para essa análise. Assim, supõem-se: i) inexisência de cusos de ransação; ii) odas as fones de rendas (lucros) são axadas à mesma alíquoa de imposo; iii) é possível omar empresado e empresar a uma mesma axa de juro livre de risco; e iv) não exisem oporunidades de arbiragem. Em primeiro lugar, considerar-se-á o caso de opções européias sobre uma ação 3 que não paga dividendos durane o empo de vida da opção. Suponha um porfólio em, que seja consiuído por uma posição comprada em uma ação, uma posição comprada em uma opção de venda e uma posição vendida (lançada) em uma opção de compra. As opções call e a pu possuem a mesma daa de expiração T e o mesmo preço de exercício K. Denoando o valor dese porfólio por Π, obém-se: Π = S + p c. (.3) Conforme demonsrado na subseção. acima, o payoff para ese porfólio na daa de expiração T será: S T + (K - S T ) 0 = K se S T K, ou S T (S T - K) = K se S T K. 3 Dado o amplo uso na lieraura, referir-se-á a opções somene sobre ações, mencionando-se quando não for o caso.

30 8 Enão, independenemene do valor de S T ser maior ou menor do que K, o payoff dese porfólio é sempre o mesmo, iso é, é igual ao preço de exercício K. Logo, para um porfólio que dá um reorno garanido K em T, e como as opções são do esilo europeu (elas não podem ser exercidas anes do empo de expiração), em o porfólio deverá ser igual ao valor presene de K, ou seja, K desconado pelo empo e por uma axa de juro livre de risco: Ke -r(t ). Iso iguala o reorno do porfólio com o reorno de um depósio em um banco. Se iso não for o caso, enão operações de arbiragem podem realizar um lucro insanâneo sem risco em com um payoff zero em T. Assim: S + p c = Ke -r(t ). (.4) Esa equação é conhecida como a paridade enre calls e pus para opções européias de ações que não pagam nenhum dividendo no empo de vida da opção. A parir dessa relação pode-se, por exemplo, deduzir o valor de uma opção de compra européia do valor de opção de venda européia, desde que as duas opções enham o mesmo preço de exercício e daa de vencimeno. 4 Por segundo lugar, é imporane enender o efeio dos dividendos sobre a paridade da relação em (.4). Se for possível prever os dividendos com cereza, anes da expiração de uma opção, esa relação pode ser corrigida para levar em cona eses dividendos. Denoando por D o valor presene dos dividendos durane a vida da opção, e que o seu pagameno ocorre na daa ex-dividendo anerior a daa de expiração da opção. Como viso na subseção.4.-e, e na abela., o efeio do dividendo ende a aumenar o valor da opção de venda e diminuir o valor de uma opção de compra, pois a ação geralmene decresce em igual valor aos dividendos. Logo, a paridade enre pus e call européias ornase igual a: S D + p c = Ke -r(t ), ou c + D + Ke -r(t ) = p + S. (.5) Ou seja, o preço da ação S é subsiuído pela sua diferença enre ele e o valor presene dos dividendos S D. Novamene, se esa relação não for válida, exisirão oporunidades de lucro sem risco arbirariamene. Uma erceira análise, refere-se a paridade enre os preços de opções americanas de compra e venda sobre uma ação que não paga dividendos. Segundo HULL (997), para uma ação que não paga dividendos durane o empo de vida de um opção, o valor de uma 4 HULL (997), p.83, apresena um exemplo em que se a equação (.4) não for válida, haverá oporunidades de arbiragem. Do mesmo modo, COX & RUBINSTEIN (985), p.4, dão um exemplo se esá relação é violada.