Tratamento e Análise de Informação

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1 Tratamento e Análise de Informação Uma Introdução ao Raciocínio Científico e Quantitativo Renato Vicente Universidade de São Paulo

2 1 Dedução e Indução 1.1 Sacrifícios humanos e decisões essenciais No meio da selvas da Guatemala e do sul do México hoje é possível visitar prédios imponentes que um dia foram ocupados pela civilização Maia. Os maias não conheciam metais e não utilizavam a roda, mas foram responsáveis por construções impressionantes em cidades-estado como Tikal, Palenque e Copán. As pesquisas arqueológicas realizadas desde do século 19, quando as ruínas foram redescobertas no meio da selva, indicam que a civilização maia teve seu ápice por volta do século oitavo, colapsando completamente a partir do século nono. Estima-se que uma população entre 3 milhões e 14 milhões de habitantes no século oitavo foi reduzida a apenas certa de 30 mil por ocasião da conquista espanhola por Hernán Cortés entre 1524 e As razões para o colapso maia podem ser reduzidas a uma lista com cinco fatores ocorrendo simultaneamente [Diamond, 2005a, Diamond, 2005b]: 1. população excedendo a capacidade produtiva (crise malthusiana); 2. desflorestamento e erosão de solo cultivável; 3. intensificação de conflitos, reduzindo ainda mais a área cultivável; 4. mudanças climáticas; 5. incapacidade de ação por parte de reis e nobres. Curiosamente os mesmos cinco fatores parecem se repetir em nossa própria civilização. Talvez devessemos, portanto, procurar aprender com a história. Como boa parte das civilizações, antigas e modernas, a necessidade de produtividade agrícola para sobrevivência impunha aos maias um interesse obsessivo pelo clima. No entanto, desafortunadamente, a região ocupada por suas cidades era assolada por clima instável, baixa disponibilidade de água no solo, poucas opções de cultura (70% da dieta maia seria constituida por milho apenas) e ausência total de animais de tração. Os maias acreditavam que o clima seria regido por Chaac, um deus de natureza caprichosa que precisaria ser oferendado periodicamente com a 1

3 2 Dedução e Indução vida de jovens afogados em possos conhecidos como cenotes, que seriam portais de ligação com o mundo dos deuses. O rei era considerado diretamente responsável pela comunicação com os deuses e, por conseqüencia, pela estabilidade climática. Por outro lado, eventuais instabilidades climáticas representariam insatisfação de Chaac com as oferendas. Sabe-se hoje qua a causa provável para a ocorrência periódica de secas severas na região onde onde viviam os mais seria a mudança na atividade solar [Hodell et al., 2001] impondo longos ciclos com duração de 208 anos. O colapso final da civilização maia parece associado a um ciclo de seca muito severo iniciado por volta do ano 760 mas, tragicamente, tanto tentativas desesperadas de sacrifícios humanos em massa quanto a destruição de palácios são observações comuns nos registros arqueológicos maias provenientes desta época. Quando desafiados por questões tão essenciais quanto o planejamento de colheitas temos pelo menos três opções: 1. como os maias, a comunicação com entidades sobrenaturais; 2. a consulta a experiências prévias ou 3. a meteorologia. 1.2 Lógica e formas de argumento A Lógica é o estudo das formas válidas de inferência. Estas formas válidas delimitam as conexões possíveis entre hipóteses e evidências e entre premissas e conclusões. Mesmo um pequeno treino em Lógica pode produzir um aumento expressivo de produtividade tanto na construção dos próprios argumentos, quanto na avaliação de argumentos alheios. Uma argumentação é um conjunto estruturado de asserções no qual algumas delas são marcadas como premissas, estas premissas dão sustentação para asserções marcadas como conclusões, demonstrando-as. São três os tipos básicos de argumento: 1. dedutivo, 2. indutivo, 3. pressupositivo. Um argumento dedutivo é válido se a verdade das premissas tornar necessária a verdade das conclusões. Modernamente, muitos sistemas dedutivos, incluindo a aritmética e a geometria, são entendidos como derivados de uma forma lógica fundamental que é a lógica de predicados. Um exemplo simples de argumento dedutivo válido poderia ser: Premissa 1: Todo mamífero tem um coração. Premissa 2: Todo cavalo é um mamífero. Conclusão: Todo cavalo tem um coração. A dedução estabelece, portanto, uma conexão necessária e definitivo entre premissas e conclusões.

4 1.2 Lógica e formas de argumento 3 Num argumento indutivo a verdade das premissas apenas aumenta a probabilidade das conclusões serem verdadeiras. A relação entre premissas e conclusões é, portanto, mais fraca do que na dedução. É possível calcular a probabilidade das conclusões dadas as premissas (no caso da indução, denominadas evidências) utilizando as técnicas quantitativas da estatística. Um exemplo elementar de argumento indutivo poderia ser: Premissa: Todo cavalo já observado tinha um coração. Conclusão: Todo cavalo tem um coração. Note que a indução tem um caráter provisório, com a manutenção da relação entre as evidências e conclusões dependendo de informação presente em novas evidências. Uma terceira forma pode ser identificada como o argumento pressupositivo. Esta forma é comum na argumentação informal do dia a dia, normalmente realizada em um ambiente com informação incompleta. No argumento pressupositivo, a verdade das premissas torna a conclusão apenas plausível, ou seja, assumidas as premissas e assumido como pressuposto uma situação usual de senso comum, considera-se a conclusão verossímil. A argumentação pressupositiva é dentre as três formas aquela com caráter mais provisório, dependendo de informação que sustente tanto as premissas quanto os pressupostos assumidos para complementar a informação escassa. Um exemplo simples de argumento pressupositivo pode ser encontrado no diálogo platônico Fedro. De acordo com Platão o exemplo se deve a dois sofistas do século 5 a.c., Corax e Tisias. Trata-se de um julgamento no qual um homem baixo e fraco estava sendo acusado de atacar outro homem, alto e forte. No tribunal a defesa colocou em questão se seria plausível que o homem fraco atacasse o outro forte. Na forma de um argumento pressupositivo teríamos: Premissa 1: Normalmente, um homem magro e fraco não atacaria um outro bem mais forte. Premissa 2: O acusado é baixo e fraco. Premissa 3: O outro homem é bem mais alto e forte. Conclusão: Não é plausível que o acusado tenha atacado o outro homem. Note que a conclusão não segue das premissas de forma necessária e que a primeira premissa depende criticamente de um pressuposição sobre o comportamento de um homem magro e fraco. Este pressuposto sobre comportamentos usuais mudaria, por exemplo, com a informação de que o homem

5 4 Dedução e Indução fraco e magro é um mestre em artes marciais enquanto o outro, alto e forte, é um grandalhão desajeitado e sem nenhuma tendência marcial. Pela sua complexidade e características mais difusas, os argumentos pressupositivos não são passíveis de análise quantitativa como são a indução e a dedução. Mantendo nosso foco na indução e na dedução, podemos complementar nosso entendimento destas formas através de duas observações comparativas. Primeira: a conclusão de um argumento dedutivo já está contida, de forma implícita, nas premissas, ou seja, a dedução é não-ampliativa. As premissas em uma dedução dizem sempre respeito à um conjunto inteiro e não é possível produzir informação nova sobre este conjunto no processo, mas apenas revelar informação implícita através de rearranjos adequados das frases adotadas como premissas. Já as premissas em uma indução dizem respeito às propriedades dos elementos de um conjunto observados até o momento, enquanto a conclusão faz uma afiração sobre o conjunto inteiro. Em outras palavras, a indução é ampliativa, a conclusão contém mais informação do que as premissas e não há como garantir que a conclusão seja necessariamente verdadeira visto que faz afirmações sobre elementos nunca observados. Segunda: freqüentemente a dedução irá levar de premissas gerais à conclusões específicas e a indução fará o contrário, levando de premissas específicas para conclusões gerais. No entanto, é importante observar que isto não se trata de uma definição ou de uma lei geral. Como contra-exemplo, uma indução também pode partir de uma premissa geral e chegar a uma conclusão específica: Premissa 1: A maioria dos graduados nas universidades boas universidades brasileiras tem algum contato com discussões sobre argumentação. Premissa 2: Hiro Nakamura se graduou em uma universidade brasileira. Conclusão: Hiro Nkamura teve algum contato com discussões sobre argumentação. Da mesma forma uma dedução válida pode partir de premissas específicas e chegar a uma conclusão geral. Por exemplo: Premissa: Aquele cachorro está correndo. Conclusão: É possível que um cachorro corra. No entanto, o teste de teorias científicas irá usualmente envolver um ciclo do particular para o geral e de volta para o geral, com a dedução produzindo previsões específicas a partir de um modelo geral e com a indução (na forma de técnicas estatísticas) especificando, delimitando e alterando o modelo a partir do dados coletados.

6 1.3 Dedução Dedução Uma breve história da dedução Antes de seguirmos em frente com uma apresentação levemente mais técnica da dedução e indução, tentaremos colocar o assunto em perspectiva através de uma breve apresentação histórica. A mais antiga menção às categorias lógicas de que se tem conhecimento ocorre no Rigveda (significando aproximadamente versos do conhecimento ), a coleção de hinos em sâncrito védico composta em algum momento entre 1700 a.c. e 1100 a.c. e considerada sagrada pelo Hinduismo. O Rigveda lista como categoria lógicas possíveis: A (por exemplo, um objeto possui a propriedade A ), não A, A e não A e não A e não não A. O curioso nestas categorias é a suposição da possibilidade da contradição (um objeto possui e não possui, simultaneamente, uma propriedade) e o uso da dupla negação como uma categoria diferente da afirmação simples. O que é notável nisso é a constatação de que categorias lógicas dependem dos objetos considerados passíveis de categorização. Na visão de mundo dos vedas seria possível encontrar objetos com propriedades nessas quatro categorias. Na Grécia, é provável que os primeiros estudos estruturados sobre argumentação tenham ocorrido em Siracusa no século 5 a.c.. Segundo Heródoto, uma sucessão de tiranos iniciada com Gelo I (491 a.c. e 478 a.c.) e encerrada com Trasíbulo (466 a.c. a 465 a.c.) teria sido marcada por uma redistribuição forçada de propriedades. Com a deposição de Trasíbulo vários conflitos de propriedade teriam surgido e com isso uma forte demanda por professores de argumentação, conhecidos como sofistas (um dos mais famosos teria sido Protágoras de Abdera (480 a.c. a 410 a.c.). Os sofistas teriam sido resposnsáveis pela coleção de princípios de argumentação com o objetivo do convencimento, ou seja, da retórica.a conotação ngativa que o trabalho dos sofistas sofreu a posteriori se deveu à oposição de Sócrates aos seus métodos, divulgada por Platão (428 a.c. a 347 a.c.) em seus diálogos. Estas coleções seriam poteriormente sintetizadas em vários trabalhos dos quais teriam chegado a nós apenas uma pequena fração, na qual destacam-se os trabalhos de Aristóteles (384 a.c. a 322 a.c.). A primeira sistematização da dedução que conhecemos se deve a Aristóteles no Organon. Aristóteles tmbém sugeriu pela primeira vez conhecida a idéia de indução e como combiná-la com a dedução para a produção de conhecimento científico confiável. O marco seguinte na evolução da lógica é possivelmente Os Elementos de Euclides (cerca de 300 a.c.) que foi capaz de deduzir propriedades geométricas conhecidas (neste caso denominadas Teo-

7 6 Dedução e Indução remas) empiricamente há séculos por sumérios, babilônios e egípcios a partir de um pequeno conjunto de premissas (ou Postulados e Axiomas). Algo sobre os Estoicos... No século 6 d.c. o filósofo cristão romano Boécio traduziu do grego para o latim textos sobre lógica aristotélica que serviriam posteriormente como fonte primária sobre o assunto para estudiosos medievais. Boécio era decendente de um família romana antiga e importante, possuindo o título hereditário de cônsul. Seu pai havia sido cônsul quando o rei ostrogodo Odoacro depôs o último imperador romano no ocidente (Flavius Orestes) em 476. A mesma posição Boécio ocupou até sua execução pelo rei ostrogodo Teodorico em 525 que o acusou de conspirar com o império bizantino. O período atribulado após a queda de Roma no ocidente foi marcado pela presença de populações geralmente iletradas. Todo o conhecimento tecnológico de Roma foi progressivamente sendo perdido com os mosteiros servindo de depósitos dos documentos sobreviventes. A situação no Império Bizantino e no mundo islâmico era, no entanto, diferente com um acervo maior de documentos sobrevivendo e sendo copiados. Como conseqüência das rotas comerciais re-estabelecidas após as cruzadas houve um fluxo de antigos trabalhos gregos de volta para a Europa a partir do século 12. Marcantes neste período são os livros de lógica escritos por Peter Abelard (Paris, ) e a introdução ds numerais arábicos (e do zero) trazido pelo filho de mercador Leonardo de Pisa (Fibonacci, ). Este período, conhecido como Renascimento do Século 12, foi marcado pelo desenvolvimento de várias áreas do conhecimento centrado no eixo Oxford-Paris. Os métodos de Aristóteles foram aprimorados por vários estudiosos durante este período, entre eles nomes como Albertus Magnus ( ), Robert Grossetest ( ) e William de Ockham ( ) (sobre os quais voltaremos a falar quando discutirmos o método científico) Teoria do Silogismo Os trabalhos de Aristóteles consistiram de seis tratados: Categorias, Sobre Interpretação, À respeito do Silogismo, À respeito da Demonstração, Tópicos e Sobre Refutações Sofistas. Após sua morte, estes trabalhos foram reunidos em um único livro intitulado Orgánon que sobreviveu ao tempo. Em seu trabalho Aristóteles se propôs a sistematizar as formas de raciocínio dedutivo válidas. O ponto de partida é o reconhecimento de que inferências dedutivas devem Mesmo assim, boa parte o acervo da antiguidade, concentrado na biblioteca de Alexandria, teria sido perdido em uma sucessão de episódios entre o século 1 a.c. e o século 7 a.c.

8 1.3 Dedução 7 versar sobre asserções que podem ser ou falsas ou verdadeiras (proposições). Assim, por exemplo, Quem é você? não é uma proposição. Abra a porta!, também não. Já 2+2=9 é uma proposição falsa e Sócrates foi um jogador de futebol uma proposição verdadeira. Note que o critério de verdade dependerá em geral de informação externa à proposição. No caso de 2+2=9 dependerá de axiomas da aritmética que dão significado aos símbolos, no caso de Sócrates foi um jogador de futebol o critério de verdade será a observação dos fatos. Em alguns poucos casos no entanto é possível determinar a verdade ou falsidade apenas observando a proposição: (i) Lei da Identidade: A é A é sempre verdadeira. (ii) Lei da Não-contradição: A e não-a é sempre falsa. (iii) Lei do Terceiro Excluído: A ou não-a é sempre verdadeira. A estes casos Aristóteles atribuiu o caráter de Leis do Pensamento. Uma dedução válida deve respeitar estas leis, em um argumento não podem haver contradições e consideram-se apenas proposições que possam assumir dois valores de verdade ( Verdadeiro ou Falso ). O próximo passo de Aristóteles consistiu na delimitação dos tipos de proposição tratáveis pela teoria, seu modelo reduz estas proposições a quatro tipos: (i) A: Todo S é P. (Afirmativa Universal) (ii) I: Algum S é P. (Afirmativa Particular) (iii) E: Nenhum S é P. (Negativa Universal) (iv) O: Algum S não é P. (Negativa Particular) As letras de identificação representam a denominação latina medieval e vem de AffIrmo e nego, como mnemônicos do caráter afirmativo e negativo das proposições. Um outro mnemônico possível é ArIstOtelEs, no qual as letras mais externas indicam proposições universais, as do centro, partiulares. As da direita afirmativas as da esquerda negativas. Os estudiosos medievais também desenvolveram um diagrama ressaltando as relações de contrariedade e contradição entre estas proposições básicas. Assim A e E (ou I e O) são contrários e A e O (ou E e I) são contraditórios. Argumentos dedutivos elementares podem então ser construídos combinando proposições A,I,E,O. A forma básica, denominada silogismo, seria constituída por duas premissas e uma conclusão, por exemplo: Premissa 1: Todos os poodles são cachorros. (Tipo A) Premissa 2: Todos os cachorros são animais. (Tipo A)

9 8 Dedução e Indução Conclusão: Todos os poodles são animais. (Tipo A) Este argumento é intuitivamente válido com a concluão seguindo necessariamente das premissas. Contudo, todas as delimitações introduzidas acima permitem ir além da verificação intuitiva. De fato é possível classificar detalhadamente silogismos em válidos e inválidos. Um silogismo tem uma forma genérica. A conclusão sempre relaciona um termo S (sujeito, por exemplo, poodles ) a um termo P (predicado, por exemplo, animais ) e pode ser de quaquer um dos quatro tipos A,I,E,O. As premissas relacionam cada uma um único termo da conclusão S ou P com um terceiro termo M (termo do meio, por exemplo, cachorros ). Fixada esta estrutura básica, há quatro possibilidades de organização de um silogismo (figuras): (i) Primeira Figura: M-P (primeira premissa), S-M (segunda premissa), S-P (conclusão). (ii) Segunda Figura: P-M, S-M, S-P. (iii) Terceira Figura: M-P, M-S, S-P. (iv) Quarta Figura: P-M, M-S, S-P. Note que a ordem das premissas é irrelevante e que cada uma destas figuras, em princípio, pode ser preenchida com combinações dos tipos de premissa, assim a primeira figura poderia ser de 64 tipos (os medievais diriam 64 humores ). O exemplo acima está na primeira figura (S-M, M-P, S-P) com humor AAA (os medievais diriam humor BArbArA). Este silogismo é claramente válido, mas temos um total de 64 4 = 256 silogismos diferentes, nem todos válidos. Por exemplo: Premissa 1: Nenhum poodle é um cachorro. (Tipo E) Premissa 2: Todos os cachorros são animais. (Tipo A) Conclusão: Todos os poodles são animais. (Tipo A) Note que não estamos preocupados com a verdade das premissas, mas apenas na relação entre elas e a conclusão. Isto posto, o exemplo acima é claramente inválido. As premissas 1 e 2 (assumidas verdadeiras) quando combinadas levam a Nenhum poodle é um cachorro como necessariamente verdadeiro. Isso contradiz a conclusão. Assim um silogismo EAA na primeira figura é inválido. É possível analisar-se exaustivamente os 256 tipos de silogismo listando os modos válidos. Feito este trabalho, listam-se 19 modos válidos, utilizando a nomenclatura medieval temos, por exemplo: (i) Primeira Figura: BArbArA, CElArEnt, DArII, FErIO.

10 1.3 Dedução 9 (ii) Segunda Figura: CEsArE, CAmEstrEs, FEstInO, BArOcO. (iii) Terceira Figura: DArAptI, FElAptOn, DIsAmIs, DAtIsI, BOcArdO, FErIsOn. Na idade média os nomes serviam para facilitar a memorização dos modos válidos. Por exemplo, o trabalho Introductione in Logicam de William de Shyreswood da primeira metade do século 13 propunha os seguintes versos com os 19 modos válidos: Barbara celarent darii ferio baralipton Celantes dabitis fapemo frisesomorum; Cesare camestres festino baroco; darapti Felapton disamis datisi bocardo ferison. Para a mente moderna este tipo de mnemônico é de pouca utilidade. Diagramas para verificação de validade foram propostos por Leibnitz (pronunciase léibnitz ) em 1687 e Euler (pronuncia-se óiler ) em A forma mais moderna e útil se deve, no entanto, ao matemático britânico do século 19 John Venn ( ). Digamos que queiramos julgar a validade do seguinte silogismo: Premissa 1: Todos os mamíferos são animais de sangue quente. Premissa 2: Todas as baleias são mamíferos. Conclusão: Todas as baleias são animais de sangue quente. Para isso desenhamos três círculos que se intersectam mutuamente. O da direita representa o conjunto de baleias, o da direita representa o conjunto de animais de sangue quente e o do centro representa (o termo do meio) o conjunto de mamíferos. Temos que todos os mamíferos são animais de sangue quente, então hachuramos toda a região do conjunto dos mamíferos que não intersecte o conjunto dos animais de sangue quente. Nesta região não há elementos. A seguir hachuramos toda a região do conjunto das baleias que não intersecte o conjunto de mamíferos. A concluão afirma que todas as baleias são animais de sangue quente. Se olharmos o diagrama veremos que a única região não hachurada do conjunto das baleias está contida no conjunto dos animais de sangue quente, ou seja, a conclusão é necessária dadas as premissas. Analisemos um segundo silogismo: Premissa 1: Alguns advogados são homens. Premissa 2: Algumas mulheres são advogadas.

11 10 Dedução e Indução Conclusão: Algumas mulheres são homens. Para usarmos o diagrama de Venn com proposições partiulares precisamos fazer algumas adaptações. Começamos por desenhar os três círculos. O da direita representa o conjunto das mulheres, o da esquerda o conjunto dos homens, o do meio o conjunto dos advogados. Para representar a premissa 1 colocamos o número 1 na intersecção entre o conjunto de advogados e o de homens. Note que há duas possibilidades: ou colocamos o número na intersecção dos três conjuntos ou na região de intersecção dos conjuntos de homens e advogados exclusivamente. Para representar a premissa 2 colocamos o número 2 na intersecção entre o conjunto de mulheres e o de advogados, novamente tmos duas opções. É possível representar as premissas sem a necessidade de ocupar a região de intersecção dos três conjuntos, ou seja, é possível que alguns advogados sejam homens, algumas mulheres sejam advogados e nenhuma mulher seja um homem. Dessa forma a conclusão não segue necessariamente das premissas e a dedução não pode ser válida Lógica Proposicional A lógica moderna foi criada a partir do trabalho de Frege ( ), um dos fundadores da lógica matemática. Apesar da teoria dos silogismos permitir que discutamos um conjunto bastante rico de argumentos elementares, é possível desenvolver-se outros sistemas de análise de argumentos. Suponhamos o seguinte argumento: Se o componente x entrar em curto-circuito então o circuito y irá falhar. Se o circuito y falhar, o componente z ou o componente w irá queimar. O componente x entrou em curto, mas z não queimou, portanto, w queimou. Note que este argumento possui proposições que podem ser ou falsas ou verdadeiras. Estas proposições podem conter conectivo como condicional Se... então..., a disjunção Ou...ou, a negação e (por completeza) a conjunção...e.... Cada um destes conectivos liga declarações que podem, por sua vez, serem verdadeiras ou falsas. Por exemplo, o componente A entrou em curto-circuito ou o circuito B falhou podem ser verdadeiras ou falsas. Para que o argumento acima seja válido é necessário que a verdade de w queimou decorra necessariamente das premissas. A análise de um argumento desta natureza pode ser construida introduzindo um conjunto de simbolos matemáticos regidos por regras em definidas. Assim, a conjunção

12 1.3 Dedução 11 ( E ) é simbolizada por, a disjunção ( OU ) é simbolizada por, a negação é simbolizada por e o condicional é simbolizado por. Da mesma forma as declarações recebem nomes de variáveis: A = componente x entrou em curto, B = o circuito y falhou, C = o componente z queimou e D = o componente w queimou. O argumento pode então ser representado simbolicamente por: A B; B (C D); A C D Aqui o símbolo significa portanto ou de... segue que. Para que este argumento seja válido é necessário que a verdade simultânea das premissas (declarações a esquerda) implique na verdade da conclusão D. Colococando de ourtra maneira, dadas premissas P 1, P 2,...P n e uma conclusão C, o argumento será válido se (P 1 P 2...P n ) C for sempre verdade (for uma tautologia). Para sermo capazes de julgar a veracidade das declarações acima é necessário que entendamos melhor como as proposições complexas se comportam quanto aos seus valores de verdade. A conjunção (E) A B é verdadeira somente se ambas declarações forem verdadeiras. Por exemplo x entra em curtocircuito e y falha será verdadeira somente se x entra em curto-circuito e y falha forem separadamente verdadeiras. A disjunção (OU) A B será verdadeira se pelo menos um dos dois termos for verdadeiro. A negação A será verdadeira se A for falso. Finalmente, o condicional A B será verdadeiro se A e B forem verdadeiros (pois se um corre o outro segue), se A for falso e B apresentar qualquer valor de verdade (pois o condicional nada afirma caso A seja falso. Com estas relações é possível construir uma tabela de resumo (Tabela Verdade): A B B A B A B A B T T F T T T T F T F T F F T F F T T F F T F F T A análise de um argumento qualquer se resume então à construção (frequentemente tediosa) de sua tabela verdade. Na verdade, basta verificar o que o ocorre nos casos nos quais os termos combinam valores de verdade que geram premissas verdadeiras. Para todas estas situações (ode haver mais do que uma) a conclusão deve ser verdadeira. No nosso caso, isso apenas ocorre quando A, B e D são verdadeiros, enquanto C é falso. Neste caso temos A B verdadeiro, B (C D) verdadeiro e A C verdadeiro

13 12 Dedução e Indução com D verdadeiro. Como este é o único caso no qual isso ocorre, há uma relação de necessidade entre as premissas e a conclusão, implicando em uma dedução válida. Uma segunda maneira de mostrarmos a validade de um argumento é deduzir sua conclusão a partir de suas premissas e dos axiomas da lógica. Os axiomas da lógica clássica consistem das leis do pensamento de Aristóteles que de forma simbólica são: (i) Identidade (IDEN): p p. (ii) Terceiro excluído (TE): p p. (iii) Não-contradição (NC): (p p). O fato incrível é que a partir destes três axiomas apenas podem-se deduzir todos os argumentos válidos possíveis! Cada um destes argumentos válidos é um teorema. Alguns teoremas são tão úteis como ferramentas para dedução de outros teoremas que recebem nomes especiais. Por exemplo: (i) Modus ponens (MP): p q; p q. Exemplo: Se eu estudar serei aprovado. Estudei, portanto, fui aprovado. (ii) Modus tollens (MT): p q; q p. Exemplo: Se eu estudar serei aprovado. Nao fui aprovado, portanto, não estudei. (iii) Simplificação (SIMP): p q p ou p q q. Exemplo: Choveu e o chão está molhado, portanto, o chão está molhado. (iv) Conjunção (CONJ): p; q p q. Exemplo: Choveu. O chão está molhado. Portanto, choveu e o chão está molhado. (v) Introdução de disjunção (ID) p p q. Exemplo: Choveu. Portanto, ou choveu ou passou um carro vermelho na rua. (vi) Silogismo disjuntivo (SD): p q; p q ou p q; q p. Exemplo: Posso ir ao cinema ou ao teatro. Não fui ao cinema, portanto, fui ao teartro. (vii) Silogismo hipotético (SH): p q; q r; p r. Exemplo: Se os preços de combustíveis aumentarem, então a inflação subirá. Se a inflação subir os juros subirão. Portanto, se os preços de combustíveis aumentarem, os juros subirão. Agora podemos mostrar a validade do argumento de exemplo deduzindo a veracidade da conclusão a partir das premissas, utilizando os axiomas da lógica clássica e com auxílio dos teoremas acima. (i) A B (premissa 1) (ii) B (C D) (premissa 2) (iii) A C (premissa 3)

14 (iv) A (aplicando SIMP à (iii)) (v) B (aplicando MP à (i) e (iv)) (vi) C D (aplicando MP à (ii) e (v)) (vii) C (aplicando SIMP à (iii)) (viii) D (aplicando SD à (vi) e (vii)) 1.3 Dedução 13 Uma dedução é como um jogo no qual os movimentos simples permissíveis são substituições que respeitem os axiomas da lógica clássica, ou seja, as substituições preservam a verdade. Todas as proposições acima são assumidas verdadeiras e, utilizando os teoremas, são reescritas até que se produza a conclusão Lógica de Predicados, Aritmética e Incompleteza Suponha o seguinte argumento: Premissa 1: Todos os homens são mortais; Premissa 2: Sócrates é homem; Conclusão: Sócrates é mortal. Já vimos que este argumento é um silogismo válido. Do ponto de vista da lógica proposicional que exploramos acima o mesmo argumento seria p; q r. Ou seja, a conclusão parece independente das premissas, ela não segue das premissas (non sequitur). A lógica proposicional é, como vimos, um instrumento de análise de argumentos muito poderoso, mas não é suficiente para analisar mesmo o mais simples dos silogismos. Precisamos, portanto, de um sistema mais rico se quisermos extender as análises da seção anterior aos silogismos categóricos aristotélicos. Começamos por introduzir H(s) para indicar que o predicado s tem a propriedade H, assim, H poderá ser é homem e s será Sócrates. Também introduziremos dois novos símbolos: para todos e para algum. Se assumirmos que M(s) representa é mortal, poderemos reecrever o silogismo como: ( x)(h(x) M(x));H(s) M(s). Este sistema é denominado Lógica de Predicados ou Lógica de Primeira Ordem. Nesse sistema é possível analisar argumentos utilizando regras de dedução da mesma forma que fizemos no caso na lógica de proposições. Novamente, todos os argumentos válidos podem ser deduzidos diretamente de um conjunto pequeno de axiomas que epecificam como realizar substituições que preservem a verdade.

15 14 Dedução e Indução Digamos agora que queiramos construir um sistema lógico que também inclua argumentos aritméticos. Para isso precisamos icluir novos símbolos + = e 0 e a possibilidade de funções f(x) que representem relações entre variáveis. Também precisamos acrescentar um número de novos axiomas (os chamados axiomas de Peano). Este processo, equivalente à redução da matemática à lógica, foi realizado com enorme brilhantismo por Russell e Whitehead em seu livro Principia Mathematica ( ). Até aqui havíamos mencionado que seria possível avaliar a validade de qualquer argumento através da manipulação e combinação de um conjunto inicial de proposições (axiomas). No entanto, em um resultado surpreendente, Kurt Gödel demonstrou em 1931 que num sistema lógico suficientemente rico para representar argumentos da aritmética e com um número finito de axiomas há, necessariamente, teoremas que não podem ser demonstrados, ou seja, o sistema é necessariamente incompleto. Em outras palavras, em um sistema incompleto há proposições cuja verdade pode ser verificada para tantos casos específicos quanto se queira sem ser possível uma demonstração genérica por dedução a partir dos axiomas que regem o sistema Contradições e o princípio da explosão Na lógica clássica é possível mostrar que p; p q, ou seja, de uma contradição segue qualquer coisa. Esta característica é conhecida como princípio da explosão. Assim, na presença de uma contradição qualquer coisa pode ser deduzida, uma única inconsistência é capaz de destruir um sistema lógico inteiro. Um exemplo para ilustrar o princípio poderia ser: Se morcegos são pássaros e não são pássaros, então morcegos são pássaros ou vacas voam. Morcegos não são pássaros. Portanto, vacas voam. Podemos também demonstrar utilizando os teoremas para lógica proposicional : (i) (p p) (premissa) (ii) p (utilizando SIMP em (i)) (iii) p (utilizando SIMP em (i)) (iv) p q (utilizando ID em (ii)) (v) q (utilizando SD em (iii) e (iv))

16 1.4 Indução Indução Uma breve história da indução A fonte mais antiga de métodos de indução é novamente Aristóteles. Para Aristóteles a indução seria a forma de aquisição de princípios para dedução, correspondendo à primeira metade em um método de obtenção de conhecimento científico. No Orgánon são apresentados três tipos de indução: dialética, por enumeração simples e por intuição. A indução dialética consistiria em um diálogo, à maneira de Sócrates, com perguntas e respostas para explicitar e sustentar premissas de um argumento. Uma indução por enumeração simples consiste em um argumento da seguinte forma: a 1 tem a propriedade P; a 2 tem a propriedade P; a 3 tem a propriedade P; Portanto, a s tem a propriedade P. A indução por intuição consistiria na habilidade, conquistada pela experiência, de ver padrões na natureza. Os gregos já percebiam a relação genérica entre indução, aprendizado, memória e cognição. Epícuro (341 a.c.-271 a.c.) discutiu o papel da indução no aprendizado de linguagem para classificação de obsevações. Assim o conceito de cavalo derivaria de numerosas observações de cavalos. Este conceito armazenado em memória seria então utilizado na identificação de cavalos e na formulação de proposições sobre cavalos. O pensador romano Cícero (106 a.c a.c.) foi quem traduziu para o latim o termo grego para indução, utilizando o termo inductio em seus tratados sobre retórica. O renascimento europeu no século 12 trouxe um grande número de inovações nas técnicas para o método indutivo-dedutivo de Aristóteles. Novas técnicas de indução foram propostas em conexão com o método científico nesta época. Pensadores como John Duns Scotus ( ) em Paris compreenderam que um argumento indutivo poderia no máximo levar ao conhecimento provável, desviando-se da ênfase aristotélica sobre a necessidade do conhecimento certo. Entre as novas técnicas de indução (além da enumeração simples) há o Método da Verificação e do Falseamento (propostos Sendo um taxonomista de grande habilidade, é provável que este fosso exemplo que tivesse em mente.

17 16 Dedução e Indução por Grosseteste), o Método da Concordância (proposto por Duns Scotus), o Método da Diferença (proposto por William de Ockham ( )). O Método da Verificação consiste na busca de novas provisões de uma teoria e no seu teste experimental subsequente. O Método do Falseamento consiste no emprego do modus tollens para eliminação (ou manutenção) de uma hipótese. Assume-se a hipótese H, deduzem-se e testam-se experimentalmente suas consquências. Se alguma delas não for observada, conclui-se que H é falsa. Esta forma geral é essencialmente o teste de hipóteses moderno. O Método da Concordância consiste na observação de um efeito em diversas circunstâncias experimentais, procurando por circunstâncias recorrentes como candidatas a causa do efeito. Assim, por exemplo, se o efeito estiver presente quando circunstâncias ABCD, ACE, ABEF e ADF estiverem presentes, pode-se concluir que o efeito poderia ser causado por A. No Método da Diferença, buscam-se circunstâncias essenciais para a ocorrência do efeito. Assim se na circunstância experimental ABC o efeito for observado mas não na circunstância AB, conclui-se que a circunstância C é a causa provável do efeito. Nestes dois métodos não é possível afirmar causalidade com certeza pois não há garantia que a única diferença em cada experimento sejam exatamente as circunstâncias listadas. Os argumentos por indução sempre a estiveram intimamente ligados à discussão sobre métodos para investigação científica. A escola inglesa associada à criação da Royal Society of London patrocinou a divulgação de métodos indutivos-dedutivos com experimentação a partir do Novum Organum de Francis Bacon ( ) e do Método de Análise e Síntese de Issac Newton ( ). Em particular, Newton enfatizaria que teorias científicas, construídas por indução e testadas através de previsões deduzidas de modelos matemáticos, teriam caráter provisório devendo ser revisadas constinuamente à luz de novas evidências experimentais. No século 19, John Stuart Mill ( ) escreveu um tratado sobre lógicas indutiva e dedutiva (System of Logic) sustentando a posição de que a própria dedução seria um processo indutivo já que a indução seria a operação de descoberta e prova de proposições gerais. No século 20, com o trabalho de Jeffreys e Cox, estabeleceu-se a conexão definitiva entre o processo de argumentação indutiva e a teoria de probabilidades, permitindo-se a quantificação do processo de indução.

18 1.4 Indução O campo de croquet da rainha Em Alice no País das Maravilhas, Lewis Carroll, narra um jogo de croquet da rainha de copas jogado em um campo cheio de saliências e estrias, com ouriços vivos como bolas, falmingos vivos como tacos e soldados vivos fazendo o papel de arcos que se moviam o tempo todo. Além disso os jogadores jogando todos ao mesmo tempo sem respeitar qualquer ordem lógica. Se o universo fosse tão inconstante, a indução seria impossível e o conhecimento científico também. O argumento indutivo é ampliativo, ou seja, a partir de informação proveniente de um subconjunto inferem-se propriedades do conjunto inteiro. Este processo de ampliação de informação só tem sentido dados dois pressupostos: regularidade e parsimônia. Assume-se que o subconjunto observado seja representativo do conjunto inteiro. No caso da observação de fenômenos naturais, assume-se que o universo é regido por leis gerais e estáveis. Assume-se também que há parsimônia no universo, ou seja, a variedade da natureza é limitada. Assim, embora haja um número gigantesco de partículas no universo, há apenas um pequeno número de tipos diferentes com todos elétrons, todos os quarks top, idênticos entre si. Da mesma forma, há uma variedade gigantesca de formas animais, todas resultado dos mesmos mecânismos biológicos básicos Crenças e a fórmula de Bayes A idéia de probabilidades está associada tanto aos julgamentos indutivo tais como Provavelmente João é feliz ou Você provavelmente será aprovado em Estatística, quanto a experimentos físicos repetitivos tais como o arremesso de uma moeda ou de um dado. Quando um investigador de policia afirma que a chance de um determinado crime ter sido encomendado é de 80% ele certamente não se refere a um experimento que quando repetido um número muito grande de vezes retorna o crime em 80 a cada 100 vezes. O que ele quer dizer é que a experiência dele (I) e as evidênc as do caso permitem que ele atribua à hipótese do crime a probabilidade de 80%. O reverendo Thomas Bayes apresentou no século 18 um trabalho à Royal Society no qual procurava descrever matematicamente o processo de mudança de opinião após a observação de evidências: P(Crime Evidencia, I) = P(Evidencia Crime, I)P(Crime I), (1.1) P(Evidencia) Antes de coletar as evidências o investigator possuia uma crença na possibil-

19 18 Dedução e Indução idade de crime baseada em sua experiência prévia, ou a priori, P(Crime I). Após a coleta de evidências, esta crença foi atualizada para o posterior P(Crime Evidencia, I). A expressão define como a nova informação contida nas evidências deve ser utilizada na atualização das crenças do investigador, ou seja, basta multiplicar a distribuição a priori pela verossimilhança P(Evidencia Crime, I), que define a chance do crime produzir as evidências coletadas Teoria de probabilidades como lógica indutiva Na lógica dedutiva partimos de um conjunto de axiomas A 1, A 2,...A n e, utilizando algumas poucas regras, chegamos a uma conclusão T. As regras de dedução garantem que se os axiomas são verdadeiros então a conclusão tmbém o será, em qualquer lugar e a qualquer tempo. Na indução temos acesso a evidências E 1, E 2,...,E n. A partir destas evidências procuramos construir suas causas H. Do ponto de vista da lógica dedutiva, a indução utiliza um argumento inválido (ou uma falácia) conhecido por afirmar o conseqüente. Algo como: Todos os humanos são mamíferos. Pedro é um mamífero, portanto, Pedro é humano (Pedro poderia ser, por exemplo, um papagaio). A lógica indutiva, no entanto, não visa o estabelecimento de verdades necessárias, mas sim a atualização de crenças dadas evidências. Por exemplo, saber que Pedro é um mamífero apenas aumenta as chances de ele ser um humano. Precisariamos de outras evidências, por exemplo, saber que Pedro tem penas tornaria altamente improvável que ele fosse um humano. As idéias das probabilidades como crenças começaram com Bayes no século 18 e se desenvolveram com Laplace no século 19, foram depois esquecidas com as ondas de desenvolvimento da Estatística capitaneadas por Galton, Pearson e Fisher, na passagem do século 19 ao 20. Estas idéias foram retomadas por Jeffreys (colega de Fisher em Cambridge) e formalizadas na década de 1940 por Richard T. Cox em seu livro A Álgebra da Inferência Provável. Em seu livro Cox demonstra que são necessários dois axiomas sobre crenças e as regras da álgebra Booleana para reobtermos todas as propriedades das probabilidades físicas de Kolmogorov. Os Axiomas de Cox são: Axioma 1. A probabilidade de uma inferência dada determinada evidência determina a probabilidade da seu oposto dada a mesma evidência. Assim, a probabilidade de chover dado que o céu está nublado determina a probabilidade de não chover dado que o céu está nublado. Axioma 2. A probabilidade de que duas inferências (I1 e I2) sejam simultaneamente verdadeiras dada certa evidência (E) é determinada pela

20 1.5 Exercícios 19 probabilidade de que I1 seja verdadeira dada E e, separadamente, pela probabilidade de I2 ser verdadeira dada E e I1. Por exemplo, a probabilidade do Brasil ser hexacampeão na Alemanha e Adriano ser o artilheiro, dada a experiência que temos em assistir jogos da seleção, é determinada pela probabilidade do Brasil ser hexa, dados os jogos que assistimos, e pela probabilidade de Adriano ser o artilheiro, dados os jogos que assistimos e se o Brasil for hexacampeão. É claro que o evento composto só pode ocorrer se, pelo menos, o Brasil for primeiro hexacampeão. 1.5 Exercícios