CAPITULO MATRIZ

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1 7 CAPITULO.0 MATRIZ Para BATSCHELET (978, p.437), as matrizes tornaram-se indispensáveis da matemática à biologia, estatística. As matrizes são disposições retangulares de números. Nas equações simultâneas tais como ax+by+cz=d a2x+b2y+c2z=d2 escrevem-se três matrizes A=[ a b c; a2 b2 c2] B=[x; y;z] D=[d;d2].Suponhamos que um pesquisador desenvolva uma experiência, repetidamente, sob varias condições, usando diferentes tratamentos. Sendo que o numero de tratamentos por m e o numero de medidas em cada tratamento por n. É conveniente escrever os dados da tabela ou da matriz x, x2,... Tratamento (m) numero Medida (n) numero 2 3 n x x2 x3 xn 2 x2 x22 x23 x2n m xm xm2 xm3 xmn Cada x é um elemento ou componente da matriz. O elemento geral na linha i e na coluna j.. Adição de Matrizes A adição de matrizes considera-se através deste exemplo conhecido atraves da sensibilidade gustativa para Feniltiocarbamida que é hereditario. Numero de filhos Tipos de pais sensiveis Não sensiveis Sensível x sensivel 88 3 Sensível x não sensível não sensível x não sensível 0 9 Mais tarde foi coletada uma outra amostra: Prof M Sc. Jorge Roberto Grobe 4:26 24/03/ 08

2 272 Numero de filhos Tipos de pais sensiveis Não sensiveis Sensível x sensivel 22 8 Sensível x não sensível não sensível x não sensível 0 9 Em geral pode-se reunir os dados em uma tabela apenas, esta operação é conhecida como adição ou subtração de duas matrizes. Esta operação consiste que as duas matrizes possuam o mesmo numero de linhas e o mesmo numero de colunas..2 Multiplicação de Matrizes BOLDRINI (980, p.9), tem-se a seguinte matriz que fornece as quantidades das vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I e II. A B C Alimento I Alimento II 5 0 Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II, quanto consumiremos de cada tipo de vitamina? Resposta: [30 5 2] Se o custo dos alimentos depender somente do seu conteudo vitaminico e soubermos que os preços por unidade de vitamina A, B e C são :,5, 3 e 5 $, quanto pagariamos pela porção de alimentos indicada anteriormente? Resposta:$00.3 Exercicios ) BOLDRINI (980, p.), sejam A=[ 2 3;2 -] B=[-2 0 ; 3 0 ] C=[- ; 2; 4] e D=[2 -] encontre: a) A+B b) AC c) BC d) CD e) DA f) DB g) -A h) -D 2) Kolman (998, p.8) joga-se pesticida nas plantas para eliminar insetos daninhos. Entretanto, parte do pesticida é absorvida pela planta. Os pesticidas são absorvidos pelos absorvidos pelos herbivoros que comem essas plantas. Para determinarmos a quantidade de pesticida absorvida por um herbívoro,vamos proceder da maneira descrita a seguir. Suponha Prof M Sc. Jorge Roberto Grobe 4:26 24/03/ 08 2

3 373 que temos tres tipos de pesticidas e 4 tipos de plantas. Denote por aij a quantidade do pesticida i ( em miligramas) que foi absorvida pela planta j. Esta informação pode ser representada pela tabela: Planta Planta 2 Planta 3 Planta 4 A Pesticida Pesticida Pesticida 3 Suponha, agora, que temos 3 herbivoros e denote por bij o numero de plantas do tipo i que um herbivoro do tipo j come por mês. Esta informação poder ser representada pela tabela: Herbivoro Herbivoro 2 Herbivoro Planta B Planta Planta Planta 4 O elemento (i,j) de AB fornece a quantidade de pesticida de tipo i que o animal j absorveu. Calcule AB. 3) KOLMAN (998, p.27), um fabricante faz dois tipos de produtos, P e Q,em cada uma de 2 fabricas, X e Y.Ao fazer esses produtos, são produzidos dioxido de enxofre, oxido de nitrico e particulas de outro materiais poluentes. As quantidades de poluente produzidas são dadas em kg ) pela tabela : Dioxido de enxofre Oxido nitrico particulas A Produto P Produto Q Leis estaduais e federais exigem a remoção desses poluentes.o custo diario para remover cada kg de poluentes. O custo diario para remover cada kg de poluente é dado ( em dolares) pela matriz. Prof M Sc. Jorge Roberto Grobe 4:26 24/03/ 08 3

4 474 Fabrica X Fabrica Y B 8 2 Dicxido de enxofre 7 9 Oxido nitrico 5 0 particulas Qual o significado dos elementos do produto matricial AB? 4) KOLMAN (998, p.27), um projeto de pesquisa alimentar com a participação de adultos e crianças de ambos os sexos. A composição dos participantes no projeto é dada pela matriz A: adulto Crianças Sexo masculino Sexo feminino O numero de gramas diários de proteínas, gordura e carboidratos por cada criança e cada adulto é dado pela matriz B Proteína Gordura Carboidrato Adulto criança a) quantos gramas de proteína são consumidos diariamente pelos homens que participam do projeto? b) quantos gramas de gordura são consumidos diariamente pelas mulheres que participam do projeto? 5) KOLMAN (998, p.25), sejam as matrizes A=[ 2-3;4 0 2] B=[ 3 ;2 4; - 5] C=[2 3 ; 3-4 5; - -2] D=[ 2 3; - -2] E=[ 0-3;-2 5;3 4 2] F=[2-3;4 ] a) AB b)ba c) CB+D d)ab+df e) BA + FD 6) KOLMAN (998, p.35), sejam A=[ 3 2; 2-3] B=[0 ;2 2;3 -] Então (AB) T = e B T A T = 7) KOLMAN (998, p.37), encontre uma constante k tal que (ka) T (ka)=, onde A=[-2;;-] 8) Seja A=[ -;2 3], encontre : a) A 2 +3A b) 3A 3 +2A 2 +5A-4I 2 Prof M Sc. Jorge Roberto Grobe 4:26 24/03/ 08 4

5 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES BOLDRINI ( 980, p.29), na natureza existem varias transformações e o ser humano necessita garantir sua sobrevivência para melhorar sua existência e dominar processos de mudanças. Exemplo descreve-se a transformação, onde hidrogênio (H 2 ) reage com o oxigeno (O 2 ) para produzir água (H 2 O). Quanto de hidrogênio e de oxigênio precisamos? Esta mudança que descreve-se do seguinte modo:x moléculas de H 2 reagem com y moléculas de O 2 produzindo z moléculas de H 2 O: xh 2 + y O 2 zh 2 O Os átomos não são modificados, o numero de átomos de cada elemento no inicio da reação deve ser igual ao numero de átomos desse mesmo elemento, no final da reação. Então escreve-se um sistema linear e resolver os valores das variáveis x, y e z. 2. Exercícios ) BOLDRINI ( 980, p.50), foram estudados 3 tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade ( g) determinou-se que: i) o alimento I tem unidade de vitamina A, 3 de unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C. ii) o alimento II tem 2 unidade de vitamina A, 3 de unidades de vitamina B e 5 unidades de vitamina C. iii) o alimento III tem 3 unidades de vitamina A, 3 de unidades de vitamina C e não contem vitamina B. Se são necessárias unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C. a) encontre todas as possiveis quantidades dos alimentos I,II e III, que fornecem a quantidade de vitaminas desejada. b) se o alimento I custa $0,60 por grama e os outros dois custam $0,0, existe uma solução custando exatamente $,00? Prof M Sc. Jorge Roberto Grobe 4:26 24/03/ 08 5

6 676 2) Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas: resposta:{ x=-; y=2 e z=5} 2x-y+3z= 4x-3y+2z=0 x+y+z=6 3x+y+z=4 3) BOLDRINI ( 980, p.54), necessita-se adubar um terreno acrescentando a cada 0m 2 40 g de nitrato 90 g de fosfato e 205 g de potássio. Dispõe-se de 4 qualidades de adubo com as seguintes características: i) cada kg do adubo I custa $5 e contem 0 g de nitrato, 0 g de fosfato e 00 g de potássio. ii) cada kg do adubo II custa $ 6 e contem 0 g de nitrato, 00 g de fosfato e 30 g de potássio. iii) cada kg do adubo III custa $ 5 e contem 50 g de nitrato, 20 g de fosfato e 20 g de potássio iv) cada kg do adubo IV custa $ 5 e contem 20 g de nitrato, 40 g de fosfato e 35 g de potássio.quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a gastar $ 54 para cada 0 m 2 com adubação? 4) BOLDRINI ( 980, p.49), reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas: B=[ ] 2 3 A=[ ] C=[ ] 5) BOLDRINI ( 980, p.54)faça o balanceamento das reações: a) N 2 O 2 NO 2 +O 2 ( decomposição térmica do N 2 O 5 ) b)hf + SiO 2 SiF 4 +H 2 O ( dissolução do vidro em HF) c)(nh 4 ) 2 CO 3 NH 3 +H 2 O+CO 2 6) BASTCHELET( 978, p.500), qual dos sistemas de equações tem: ) uma unica solução;2) um numero infinito de soluções: 3) somente a solução trivial; 4) não tem solução? Prof M Sc. Jorge Roberto Grobe 4:26 24/03/ 08 6

7 777 a) A+3B=0 b) 5L-3u=7 c)8m-6n=4 d)2r +0s=7 2A-B=0 L+u=- 4m-3n=2 8r+5s=6 e) 28p +6q =0 f) x+y-4=0 2p+2q=0 -x-y+5=0 7) KOLMANN( 998, p.56) uma editora publica um best-seller em potencial com tres encadernações diferentes: capa mole, capa dura e encadernação de luxo. Cada exemplar de capa mole necessita de minuto para costura e de 2 minutos para a cola. Cada exemplar de capa dura necessita de 2 minutos para costura e de 4 minutos para a cola. Cada exemplar com encadernação de luxo necessita de 3 minutos para a costura e de 5 minutos para a cola. Se o local onde são feitas as costuras fica disponível 6 horas por dia e o local onde se cola fica disponível horas por dia, quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia de modo que os locais de trabalho sejam plenamente utilizados? 8) KOLMANN( 998, p.26), considere o seguinte sistema linear: 2x+ w=7 3x+2y+3z=-2 2x+3y-4z=-2. x+3z=5 a) encontre a matriz dos coeficientes b) escreva o sistema linear em forma matricial c)encontre a matriz aumentada do sistema 9) BOLDRINI ( 980, p.5), resolva os sistemas lineares: a) x +2x 2 -x 3 +3x 4 = b) x+y+z=4 c) x +y+z=4 d) x-2y+3z=0 2x+5y-2z=3 2x+5y-2z=3 2x+5y+6z=0 x+7y-7z=5 3.0 DETERMINANTES Prof M Sc. Jorge Roberto Grobe 4:26 24/03/ 08 7

8 878 Definição: Seja A=[ a ij ] uma matriz nxn. Definimos o determinante de A denotado por det(a) ou por A por det (A)= A = ±a a j 2j2... a njn, onde o somatorio é tomado sobre todas as permutações j, j 2...,j n do conjunto S={,2,..., n} O sinal do termo correspondente à permutação j, j 2...,j n + se ela for par e se for impar. 3. Exercicios ) STEINBRUCH (987, p.462), resolver as equações: a) x 2x x 3x = x x = 28 b) c) x 3 x X = ) KOLMAN (999, p,.85), encontre o determinante de cada uma das matrizes : A= B= ) KOLMAN (999, p,.97), resolva se possível, o sistema linear dado pela regra de Cramer. a) 2x+4y+6z=2 b) x +y -z +2w=-4 c) 2x+y+z=6 d) 2x+3y+7z=2 x +2z=0 2y+z +3w=4 3x+2y-2z=-2-2x -4z=0 2x+3y-z=-5 2x+y -z +2w=5 x+y +2z=4 x+2y +4z=0 x -y +w=4 4) KOLMAN (999, p,.96), encontre todos os valores de λ para os quais : a) det ƛ ƛ 3 =0 b) det (λi 3 -A), onde A= MATRIZ INVERSA 4. DEFINIÇÃO Para STEINBRUCH (987, p.466) dada uma matriz quadrada A, de ordem n se existir uma matriz quadrada B de mesma ordem, que satisfaça à condição: Prof M Sc. Jorge Roberto Grobe 4:26 24/03/ 08 8

9 979 AB=BA=I B é inversa de A e se representa por AA - =A EXERCICIOS.LAY (999, p.08 ) Use determinantes para determinar quais das seguintes matrizes são inversíveis. Faça a mão e depois calcule no software com o comando: det ( A ) A=[3-9; 2 6] B=[4-9;0 5] C=[6-9;-4 6] D=[0 2; 0 3;4-3 8] 4.2 OPERAÇÕES ELEMENTARES permutação de duas linhas ( ou de duas colunas) multiplicação de todos os elementos de uma linha ( ou coluna) por um numero real diferente de zero. Substituição dos elementos de uma linha ( coluna) pela soma deles com os elementos correspondentes de outra linha ( coluna) previamente multiplicados por um numero real diferente de zero. 4.3 EQUIVALÊNCIA DE MATRIZES Conforme STEIMBRUCH (987, p.47), dadas as matrizes A e B, de mesma ordem, são equivalentes quando for possível transformar em B por meio de uma sucessão finita de operações elementares. È representado por {B A} 4.4 MATRIZ ELEMENTAR Uma matriz elementar é uma matriz obtida a partir da identidade, através da aplicação de uma operação elementar com linhas. BOLDRINI (980, p.84) 4.5 UM ALGORITMO PARA DETERMINAR A MATRIZ INVERSA Prof M Sc. Jorge Roberto Grobe 4:26 24/03/ 08 9

10 070 LAY (999, p.07), posicionando a A e I lado a lado, de modo a formar uma matriz completa [AI], então as operações elementares nessa matriz produzem operações idênticas em A e e em I. Escalone a matriz completa [AI]. Se a A for equivalente por linha a I, então [AI] é equivalente por linha a [IA - ]. Caso, contrário, A não tem inversa. 4.5.Teorema Para LAY (999, p.07) uma matriz nxn é inversível se A é linha equivalente a I n e, neste caso toda seqüência de operações elementares que transforma A em I n também transforma I n A -. Demonstração: Suponha que A seja inversível então a equação A x =b tem solução para todo b, A tem uma posição de pivô em cada linha 2. Por ser quadrada a matriz A, as n posições de pivô precisam 3 estar na diagonal, o que implica que a forma escalonada reduzida para A é I n, isto é, A I n Suponha que A I n..então cada passo do escalonamento de A corresponde a uma multiplicação por uma matriz elementar pela esquerda,existem matrizes elementares E,...E p tais que A E A E 2 E... E p...e A=I n () Como o produto E p...e de matrizes inversíveis é inversível, a equação () leva a (E p...e ) - (E p...e )A=(E p...e ) - I n A=(E p...e ) - A é uma matriz inversível, também A - =((E p...e ) - ) - =E p...e. Então A - =E p...e I n o que nos diz que A - resulta da multiplicação sucessiva de E...E p por I n. Essa mesma seqüência que em () reduziu A a I n. 4.6 EXERCICIOS.LAY (999, p.07-09) Determine a inversa das matrizes: proposição cuja verdade necessita de demonstração 2 o sistema pode ser possível ou impossível 3 A é equivalente a matriz identidade Prof M Sc. Jorge Roberto Grobe 4:26 24/03/ 08 0

11 7 A=[0 2; 0 3;4-3 8] B=[ -2 -;- 5 6;5-4 5]. C=[-4-5;5 6] D=[3-8;- 3] E=[3-7 ;-6 3] F = [7 9;-6-8] 2.LAY( 999, p.09),use a inversa para resolver o sistema linear: -4x - 5y=-4 5x + 6y=2 3.LAY (999, p.0), determine as inversas das matrizes usando os comandos inv e rref: a) [ 2;5 9] b)[-3 6;- 3] c)[ 0 5; 0;3 2 6] d)[ 4-3; ; 7-2] e)[ 3 - ;0 2 ;- 0 8] f)[ 5 0 ;-2-7 6; 3-4] 4. KOLMAN (999, p 70),encontre todos os valores de a para os quais a inversa de A=[ 0; 0 0; 2 a] existe. Calcule A - nesses casos. 5. KOLMAN (999, p 70), determine quais das matrizes a seguir são inversíveis.use o comando rref A=[ 2;-2 ] B=[ 2 3;4 5 6;7 8 9] C=[ 2 3 ;4 5 6;7 8 0] 6.KOLMANN (999, p 7), determine as inversas das matrizes. Use o comando inv ou A^- A=[ 2;2 4] B=[ 0 0;0 0; ] C=[ 2 ;0 2 ; 0 0] 7.BOLDRINI (980, p.94) uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes. Vamos associar letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência: Prof M Sc. Jorge Roberto Grobe 4:26 24/03/ 08

12 272 A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z Seja C ( chave ) uma matriz qualquer 3x3 inversível: 0 3 C=[ ]. Para obter uma matriz codificada multiplica-se a matriz M ( matriz 0 mensagem) pela matriz C ( chave inversível). Quem recebe a mensagem decodifica-a através da multiplicação pela inversa ((M*C)*C - =M) e posteriormente transcrição dos números para letras. A matriz MC =[ 5 ] 2 22, descubra qual é mensagem a) voce recebeu a cadeia de números MC: [ ; ; 42 29], utilizando a mesma chave traduza a mensagem. b) aconteceu que o inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda voce substituir matriz chave Voce transmite a mensagem CRETINO..a ele ( codificada, naturalmente!). Por que não será possivel a ele decodificar a sua mensagem? c)escolha uma matriz chave que dê para codificar palavras até 6 letras. Codifique e descodifique a vontade! 5.0 CADEIAS DE MARKOV Segundo KOLMAN (999, p ), uma cadeia de Markov ou processo de Markov é um processo no qual a probabilidade de um sistema estar em determinado estado em um dado Prof M Sc. Jorge Roberto Grobe 4:26 24/03/ 08 2

13 373 período de observação depende apenas do estado no período de observação imediatamente anterior. Exemplo: Suponha que o tempo em determinada cidade é chuvoso ou seco. Como resultado do grande numero de registros existentes, determinou-se que a probabilidade de se ter um dia chuvoso logo após um dia seco é de /3 e a probabilidade de se ter um dia chuvoso logo após um dia chuvoso é de /2. Se representarmos por D o estado de um dia seco e por R um dia chuvoso, então a matriz de transição dessa cadeia de Markov é: R[ 2 ] T = D TEOREMA. Se T é uma matriz de transição de um processo de Markov, então o vetor de estado x k+, no (k+) - ésimo período de observação, pode ser a partir do vetor de estado x k, no k-ésimo período de observação, por x (k+) =Tx (k) x () =Tx (0) x (2) =Tx () x (3) =Tx (2) em geral x (n) =T n x (0) Então a matriz de transição e o vetor de estado inicial determinam completamente todos dos outros vetores de estado. Exemplo:Suponha que, ao iniciar as observações ( dia zero), o dia está seco de modo que o Prof M Sc. Jorge Roberto Grobe 4:26 24/03/ 08 3

14 474 o vetor de estado inicial é : x =[ R[ o 0] e a matriz de transcrição é T = D ] 2 3 Calcule os vetores no estado ( dia seguinte); estado 2 ( segundo dia); estado 3 ( terceiro dia). respostas: x =[ 2/3 /3] =[ ; 0,64 0,386] x2 ; x =[ 3 0,604 0,396] 5. EXERCICIOS ) Uma organização que faz pesquisa de mercado esta estudando um grupo grande de compradores de café que compram uma pacote por semana. Descobriu-se que 50% dos que utilizam atualmente a marca A vão para comprar novamente a marca A na próxima semana, enquanto de 25% vão mudar para a marca B e 25% vão para a outra marca. Entre os que usam atualmente a marca B, 30% vão comprar novamente a marca B na próxima semana, enquanto que 60% vão mudar para a marca A e 0% vão mudar para outra marca. Entre os que usam atualmente outra marca, 30% vão continuar com outra marca na próxima semana, 40% vão mudar para A e 30% vão mudar para B. Os estados A, B e D correspondentes às marcas A, B e outras, respectivamente. A probabilidade de que uma pessoa usando A vai mudar para B é de 0,25 a probabilidade de que uma pessoa usando B vai continuar com B é de 0,30, e assim por diante. Então, a matriz de transição dessa cadeia de Markov é: Suponha que, no inicio das pesquisas, verificamos que a marca A detém 20% do mercado, B detem 20% do mercado e as marcas restantes ficam 60% do mercado. Calcule o vetor de estado na segunda semana. resposta: x 2 =[ 0,5040 0,2770 0,290] 2) Quais matrizes a seguir podem ser matrizes de transição de um processo de Markov? Prof M Sc. Jorge Roberto Grobe 4:26 24/03/ 08 4

15 575 a) [ 0,3 0,7 b) 0,4 0,6] [ 0,2 0,3 0, 0,55 0,33 0,8 0,5 0,7 c) 0 0,2 0,2] [ d) 0,45 0,67] [ 0,3 0,4 0,2 0,2 0 0,8 0, 0,3 0,6] 3) Considere a matriz de transição T= [ 0 0 0,2 0,3 0,5 0 0,3 0,7] =[ 0 0] a) Se x o, calcule x (), x (2), x (3). Vetor de estado estacionário é quando o processo de Markov atinge o equilibrio á medida que o numero de observações aumenta, tendem a um vetor fixo. Para calcular este vetor de estado estacionário, resolver o sistema homogêneo Tu=I n u, I n T u=0 I= matriz identidade e soma das componentes do vetor u= * calcular a solução em função de uma variável livre e substituir no vetor u= 4) Encontre o vetor de estado estacionário para cada uma das matrizes regulares a seguir: /3 a) [ 2/3 /2] [ b) 0,3 0, c) 0,7 0,9] [ /4 0 3/4 /2 /2 0 ] [ 0,4 0 0, 0,2 0,5 0,3 /3 2/3 0 0,4 0,5 0,6] Prof M Sc. Jorge Roberto Grobe 4:26 24/03/ 08 5

16 676 5) Considere uma planta que pode ser flores vermelhas (V), cor de rosa (R) ou brancas (B), dependendo dos genotipos VV, VB e BB. Ao cruzar cada uma desses genotipos com um genotipo VB, obtemos a matriz de transição flores de planta descendente flores da planta original V R B V 0,5 0,25 0 R 0,5 0,5 0,5 B 0 0,25 0,5 Suponha que cada operação sucessiva é produzida cruzando-se apenas com plantas de genotipo VB. Quando o processo equilibrio, que percentagem das plantas terá flores vermelhas, cor de rosa ou brancas? 6) Um novo sistema de transporte de massas começou a funcionar. As autoridades fizeram estudos que previram o percentual de pessoas que mudarão para esse sistema de transporte de massas (M) ou que continuarão a dirigir seus automóveis (A). Foi obtida a seguinte matriz de transição: esse ano proximo ano M A M 0,7 0,2 A 0,3 0,8 Suponha que a população da area permanece constante e que, inicialmente, 30% das pessoas usam trannsporte de massa e 70% usam seus carros. a) qual porcentagem das pessoas que estarão usando o transporte de massa depois de ano? E depois de 2 anos? Respostas: 35%, 37,5% b) qual a % das pessoas que estarão usando o transporte de massa em um futuro mais longinquo? Resposta: 40% Prof M Sc. Jorge Roberto Grobe 4:26 24/03/ 08 6

17 777 7) Uma pesquisa descobriu que a atividade de um menino, ao se tornar adulto, depende da atividade de seu pai e é dada pela matriz de transição a seguir, onde P = profissional, A= agricultor e O= operário. profissão do pai profissão do filho Profissional Agricultor Operário Profissional 0,8 0,3 0,2 Agricultor 0, 0,5 0,2 Operário 0, 0,2 0,6 Então, a probabilidade de que um filho de um profissional torne-se um profissional é de 0,8 e assim por diante. a) qual a probabilidade de o neto de um profissional ser também um profissional. Resposta: faça T 2 0,69 b) depois de um período longo de tempo, qual a proporção de profissionais,agricultores e operários na população? * resolva I 3 -T =0 ( matriz identidade de ordem 3) menos a ( matriz de transição) ; substituir no vetor de probabilidade u= u + u 2 + u 3 =, respostas: u=0,5520 ; u2=0,2058 ; u3=0,242 REFERÊNCIAS LAY, David C. Álgebra Linear e suas aplicações. 2.ed. RJ: Editora LTC, 999. KOLMAN, Bernard.Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações. 6 a edição.rj.editora LTC.999. STEINBRUCH, A; WINTERLE, P. Álgebra Linear.2.ed. SP.McGRaw-Hill.987. BOLDRINI, L. J.et.al. Algebra Linear. 3 a edição. SP. Editora Harbra BATSCHELET, E. Introdução A Matemática para Biocentistas. SP.Editora da Universidade de São Paulo.978. Prof M Sc. Jorge Roberto Grobe 4:26 24/03/ 08 7