Custo de produção Custo de transporte F2 4 6 Modelo A 5 5 Modelo B 13 2 Modelo C

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1 CAPITULO MATRIZ INVERSA 1.1 OPERAÇÕES COM MATRIZES REVISÃO 1) aplicações práticas KOLMANN(1999, p.12), um fabricante de determinado produto produz de três modelos, A, B e C. Cada modelo é manufaturado parcialmente na fabrica F 1 em formosa e depois terminado na fabrica F 2 nos Estados Unidos. O custo total de cada produto é a soma do custo de produção com custo de transporte. Então, os custos em cada fabrica(em dólares) podem ser descritos pelas matrizes 3x2 F 1 e F 2.Os custos total de cada produto é a soma do custo de produção com o custo de transporte. Então, os custos em cada fabrica ( em dólares) podem ser descritos pelas matrizes 3x 2 F 1 e F 2 : Custo de produção Custo de transporte F1 2 4 Modelo A 5 8 Modelo B 7 2 Modelo C Custo de produção Custo de transporte F2 4 6 Modelo A 5 5 Modelo B 13 2 Modelo C A matriz F1 + F2 fornece os custos totais de produção e de transporte para cada produto. Os custos totais de produção e de transporte para os modelos são: 2) KOLMANN(1999, p. 37),Seja A=[ B=[ 2 0 C=[ 0 4 mostre que AB=AC. 3)T1 Seja A=[ Encontre a) A² +3A b) 2A³ +3A² + 4A +5I 2.

2 4)T1 KOLMANN(1999, p. 84) Calcule os determinantes: A=[ B=[ C=[ D=[ ) T1 Sejam A=[ B=[ C=[ D=[ E=[ F=[ calcule se possível: a)c+e b)2b+f c)3(b+d) d)a t e)(2a ) t f)ac g)bf h)ef i)2d+3d 6) T1 KOLMANN(1999, p. 84) Calcule: a det [ λ λ 2 b [λ λ λ 3 7)T1 Para que valores de a a 0 a a a 2 =14 8) T1Encontre todos os valores de (a) para os quais a matriz * faça o determinante igual zero para matriz singular. [a² a 3 seja 3 0 singular.

3 Para ilustrar a Regra de Cramer, consideremos o sistema linear 3 x3 : 3 x 2y 3z=1/2 4x 5y 6z=8 7x 8y 9z=7/2 Calculando o determinante det(a)= cuja matriz dos coeficientes é A=[ Como o determinante é diferente de zero, o sistema possui solução única. Para calcular a solução pela Regra de Cramer, substituímos sucessivamente as colunas da matriz A pela matriz coluna dos termos independentes b=[ 1/2 8 7 /2 Isto nos leva às matrizes 0s determinantes das respectivas matrizes det(a1)= 0 det(a2)= 120 det(a3)= 60 Portanto, pela Regra de Cramer,

4 4 Você pode constatar que a tripla (0;1;1/2) é, de fato, solução do sistema conferindo a igualdade fonte: 9) T1 Resolva o sistema linear a seguir usando a regra de Cramer. x y z= 1 2x y 3z=8 x 2y 3z= 5 10) T1 Verifique que det(ab)=det(a)det(b) para as seguintes matrizes: A=[ B=[ MATRIZ INVERSA MATRIZ ADJUNTA Definição: dada uma matriz quadrada A de ordem n, a inversa de A a uma matriz B tal que A*B=B*A=I n, onde I n é a matriz identidade de ordem n. Escreve se A 1 para a inversa de A. BOLDRINI (1980, p.73) KOLMANN (1999, p.86) Definição : seja A=[aij uma matriz nxn e seja Mij a submatriz (n 1)x(n 1) de A obtida eliminando se a i ésima linha e j ésima coluna de A. O determinante det(mij) é chamado de determinante menor de aij. O cofator Aij de aij é definido por

5 A ij = 1 i j det M ij KOLMANN (1999, p. 89) Definição: Seja A=[aij uma matriz nxn. A matriz adjunta de A, denotada por adj A, é a matriz nxn cujo elemento (i,j) é o cofator Aji, de aji, ou seja, A 11 A A n1 A adj A=[ 12 A 22.. A n2... A 1n A 2n... A nn. Se A é uma matriz nxn e det(a) <> 0, então : A11 A21... An1 A 1 = 1 A det A [ 12 A 22.. A n2... A 1n A 2n... A nn APLICAÇÕES DA MATRIZ INVERSA 11) BOLDRINI (1980, p.94) uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes. Vamos associar letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência: A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z Seja C ( chave ) uma matriz qualquer 3x3 inversível: C=[ 1 Para obter uma matriz codificada multiplica se a matriz M ( matriz 0 1 mensagem) pela matriz C ( chave inversível). Quem recebe a mensagem decodifica a através da multiplicação pela inversa ((M*C)*C 1 =M) e posteriormente transcrição dos números para letras A matriz MC=[ , descubra qual é mensagem. a) você recebeu a mensagem: ; 48; 23; 2; 42; 26; 1; 42; 29, utilizando a mesma chave traduza a mensagem.

6 6 b) aconteceu que o inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda voce substituir a matriz chave por [ Voce transmite a mensagem CRETINO..a ele ( codificada, naturalmente!). Por que não será possivel a ele decodificar a sua mensagem? c)escolha uma matriz chave que dê para codificar palavras até 16 letras. Codifique e descodifique a vontade! 12)T'1 KOLMANN (1999, p. 97), resolva o sistema linear pela matriz inversa, se possível: a) 2x 4y 6z=2 x 2z=0 2x 3y z= 5 b) x 2y+z= 0 2x+3y+z=0 3x+y+ 2z=0 c)lay (1999,p.189) 5x 7y=3 2x 4y= 1 13) LAY (1999, p ), determine a inversa das matrizes: A=[ B=[ C=[ F=[ )LAY( 1999, p.109),use a inversa para resolver o sistema linear: 4x 5y= 4 5x + 6y= D=[ E=[ )T1 KOLMAN (1999, p 70),encontre todos os valores de a para os quais a inversa de 1 0 A=[1 a existe. 0 2 Calcule A 1 nesses casos. 16) T1 KOLMAN (1999, p 70), determine quais das matrizes a seguir são inversíveis A=[ B=[ C=[

7 Prof. Jorge Roberto Grobe 11/09/ :12:18 Calculo Numérico 7 17)KOLMANN (1999, p 71), determine as inversas das matrizes. A=[ B=[ C=[ USANDO WXMAXIMA Construção de matrizes de listas. (%i1) x: matrix ([17, 3, [ 8, 11); [ 17 3 (%o1) [ [ (%i2) y: matrix ([%pi, %e, [a, b); [ %pi %e (%o2) [ [ a b Multiplicação, elemento por elemento. (%i5) x * y; [ 17 %pi 3 %e (%o5) [ [ - 8 a 11 b Multiplicação não comutativa de matrizes. (%i10) x. y; [ 3 a + 17 %pi 3 b + 17 %e (%o10) [ [ 11 a - 8 %pi 11 b - 8 %e (%i11) y. x; [ 17 %pi - 8 %e 3 %pi + 11 %e (%o11) [ [ 17 a - 8 b 11 b + 3 a

8 Prof. Jorge Roberto Grobe 11/09/ :12:18 Calculo Numérico construção de matrizes 8 exemplo : matriz de Hilbert (%i1) h [i, j := 1 / (i + j 1); 1 (%o1) h := i, j i + j - 1 (%i2) genmatrix (h, 3, 3); [ 1 1 [ [ 2 3 [ [ (%o2) [ [ [ [ [ [ Fonte: REFERÊNCIAS LAY, David C. Álgebra Linear e suas aplicações. 2.ed. RJ: Editora LTC, KOLMAN, Bernard.Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações. 6 a edição.rj.editora LTC BOLDRINI, L. J.et.al. Algebra Linear. 3 a edição. SP. Editora Harbra disponível em acessado em 01/09/2009 disponivel em acessado em 17/09/2009.